Mini–Curso Campos de Gauge Cl´ assicos: Maxwell, Chern–Simons Maria Teresa Thomaz † Instituto de F´ ısica Universidade Federal Fluminense R. Gal. Milton Tavares de Souza s/n. o Campus da Praia Vermelha Niter´oi, R.J., 24210–340 BRASIL ´ Indice 1. Princ´ ıpio de M´ ınimaA¸c˜ ao 1 2. Campos Eletromagn´ eticos:Equa¸c˜ oes de Maxwell 7 3. Espa¸co de Minkowski 13 4. Lagrangeana de Campos de Gauge Cl´ assicos 22 4.1. Campos Eletromagn´ eticos: Campos de Maxwell 23 4.2. Campos de Gauge de Maxwell–Chern–Simons 37 5. Figuras 53 Apˆ endice A: Revis˜ao de An´alise Vetorial e Teoremas de Gauss e Stokes 55 Apˆ endice B: Princ´ ıpio de Hamilton para Campos Cl´assicos 57 Referˆ encias 62 † E-mail: [email protected]0
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Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
A partir do princípio de mínima ação reobtemos as equações de movimento clássicas reescritas através das equações de Lagrange. Mostramos como estender esse princípio para obter as equações de movimento dos campos clássicos e o aplicamos ao caso dos campos eletromagnéticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, estudaremos a noção de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformação da Relatividade Restrita e escrever as equações de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos elétrico e magnético em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariância de calibre é implementada nestes campos.
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Transcript
Mini–Curso
Campos de Gauge Classicos: Maxwell, Chern–Simons
Maria Teresa Thomaz†
Instituto de FısicaUniversidade Federal Fluminense
R. Gal. Milton Tavares de Souza s/n.o
Campus da Praia VermelhaNiteroi, R.J., 24210–340 BRASIL
Indice
1. Princıpio de Mınima Acao 1
2. Campos Eletromagneticos: Equacoes de Maxwell 7
3. Espaco de Minkowski 13
4. Lagrangeana de Campos de Gauge Classicos 22
4.1. Campos Eletromagneticos: Campos de Maxwell 23
4.2. Campos de Gauge de Maxwell–Chern–Simons 37
5. Figuras 53
Apendice A: Revisao de Analise Vetorial e Teoremas de Gauss e Stokes 55
Apendice B: Princıpio de Hamilton para Campos Classicos 57
Todos nos aprendemos a descrever quantitativamente o movimento dos corpos que nos
cercam atraves da aplicacao das tres Leis de Newton[1]:
1. Um corpo se mantem em repouso ou em movimento retilıneo uniforme a menos queuma forca atue sobre ele.
2. Um corpo sobre o qual atua uma forca se move de tal forma que a taxa de variacaodo momento e igual a essa forca.
3. Se dois corpos exercem forca um sobre o outro, essas forcas sao iguais em intensidadee direcao, mas tem sentidos opostos.
A 2.a Lei de Newton da a dinamica do movimento de uma partıcula pontual:
d~pdt
= ~F(t), (1.1)
onde ~p(t) e o momento linear da partıcula no instante t e ~F(t) a forca que age sobre a partıcula
neste instante. Na descricao do movimento dos corpos, a 2.a Lei de Newton relaciona a causa
( a forca que age sobre a partıcula) com a consequencia ( o movimento induzido no corpo).
Portanto, se conhecemos a expressao da forca que age sobre a partıcula em todos os instantes
e os valores iniciais da posicao e velocidade da partıcula, a partir da solucao da 2.a Lei de
Newton determinamos a sua trajetoria: ~x(t). Em alguns casos e possıvel obter a expressao
algebrica para essa trajetoria, mas na maioria das vezes o que se obtem e a solucao numerica.
A equacao que da a dinamica de uma partıcula de massa constante e:
md2~x(t)
dt2= ~F(t). (1.2)
Voces ja estudaram varias aplicacoes[1] da 2.a Lei de Newton; dentre elas destacamos:
Exemplo 1. Partıcula sujeita a uma forca conservativa: neste caso definimos a funcaopotencial V (~x) cuja relacao com a forca que atua sobre a partıcula e:
~F(~x) = −~∇V (~x). (1.3)
Para partıculas sujeitas a forcas conservativas a equacao de movimento e:
1
md2~x(t)
dt2= −~∇V (~x). (1.4)
Exemplo 2. Partıcula sujeita a uma forca conservativa descrita pela funcao potencialV (~x) e uma forca ~F(t) dependente do tempo. Neste caso a equacao de movimento fica:
md2~x(t)
dt2= −~∇V (~x) + ~F(t). (1.5)
Sera que e possıvel obter atraves de um outro conjunto de postulados a
equacao (1.2) que descreve a dinamica de partıcula pontual?
Vamos entao comecar a discutir o Princıpio de Hamilton[2] em 1 dimensao espacial. A
sua extensao para 2 e 3 dimensoes espaciais e direta.
O princıpio de Hamilton nao vai dar nenhuma equacao de movimento nova para a
partıcula nao–relativıstica1. No entanto, o Princıpio de Hamilton e geral, de maneira que a
partir dele podemos obter as equacoes que governam a evolucao dinamica tanto de partıculas
quanto de campos, como por exemplo os campos eletromagneticos.
Enunciado do Princıpio de Hamilton:
Dentre todos os caminhos em que um sistema dinamico poderia se mover de um ponto aoutro dentro de um intervalo de tempo fixo (consistente com todos os vınculos que o sistemadeve satisfazer), o caminho escolhido por ele e aquele que minimiza a integral no tempo dafuncao lagrangeana L:
S[x(t); t0, tf ] =∫ tf
t0
dtL(x(t), x(t); t), (1.6)
onde S e a acao. A cada trajetoria x(t) entre os pontos fixos x(t0) e x(tf ) associamos umnumero que e o valor da acao. A acao e uma quantidade dimensional, e sua dimensao iguala dimensao do momento angular.
Se xcl(t) e a trajetoria que a partıcula classica segue para ir da posicao x(t0) a posicaox(tf ) no intervalo de tempo (tf − t0), entao qualquer trajetoria que passe nestas mesmasposicoes nestes mesmos instantes e que corresponda uma pequena modificacao na trajetoriaclassica podem ser escritas como:
1 Partıcula nao–relativıstica e aquela cuja velocidade e muito menor que a velocidade da
luz.
2
x(t; α) = xcl(t) + αη(t), (1.7a)
onde α e uma constante e η(t) uma funcao arbitraria que corresponde a uma pequenadeformacao da trajetoria classica mas com os extremos fixos ( veja a Figura 1.1):
η(t0) = η(tf ) = 0. (1.7b)
A expressao matematica correspondente ao Princıpio de Hamilton para trajetorias quedifiram pouco da trajetoria classica e:
δS[x(t)] = S[x(t; α)]− S[xcl(t)]
= S[xcl(t) + αη(t)]− S[xcl(t)] = 0. (1.8)
Para entendermos porque o Princıpio de Hamilton e dado pela eq.(1.8) (δS[x(t)] = 0),notemos que para t0 e tf fixos, a acao S[x(t); t0, tf ] e uma funcao de α:
G(α) =∫ tf
t0
dtL(xcl + αη, xcl + αη; t). (1.9)
Dizer que a trajetoria xcl(t) minimiza a acao e equivalente a dizer que a funcao G(α)tem um mınimo em α = 0. O que caracteriza o mınimo de uma funcao e que a sua derivadano ponto e zero. Portanto,
∂G(α)∂α
∣∣∣∣α=0
⇒ ∂S
∂α
∣∣∣∣α=0
= 0. (1.10)
Vejamos como obter a equacao de Lagrange a partir da condicao da acao ser um mınimoquando expandimos as possıveis trajetorias em torno da trajetoria classica.
A acao de qualquer trajetoria representada pela eq. (1.7a) e:
S[x(t; α)] ==∫ tf
t0
dt L(xcl + αη, xcl + αη; t). (1.11)
Da condicao de extremo (1.10), obtemos que:
∂S
∂α
∣∣∣∣α=0
=∫ tf
t0
dt∂L
∂x
∂x
∂α+
∂L
∂x
∂x
∂α
=∫ tf
t0
dt∂L
∂xη(t) +
∂L
∂xη(t)
. (1.12)
3
Ao se escolher a funcao η(t) estamos tambem escolhendo a funcao η(t), de forma que osdois termos do lado direito (l.d.) da equacao (1.12) nao sao independentes entre si. Usamosentao integracao por partes2 para reescrever o termo em η(t) no l.d. da eq.(1.12):
∫ tf
t0
dt∂L
∂xη(t) = η(t)
∂L
∂x
∣∣∣∣t=tf
t=t0
−∫ tf
t0
dtd
dt
(∂L
∂x
)η(t)
= −∫ tf
t0
dtd
dt
(∂L
∂x
)η(t), (1.13)
uma vez que o valor da funcao η(t) para t = t0 e t = tf e zero.Finalmente, a condicao de extremo da acao e escrita como:
∂S
∂α
∣∣∣∣α=0
=∫ tf
t0
dt
∂L
∂x− d
dt
(∂L
∂x
)η(t) = 0. (1.14)
Para que a igualdade (1.14) seja valida para qualquer pequena deformacao η(t), cujovalor em t = t0 e t = tf e nula, e necessario que o integrando seja identicamente nulo:
∂L
∂x− d
dt
(∂L
∂x
)= 0, (1.15)
onde, para o calculo das derivadas parciais, as variaveis x(t) e x(t) da lagrangeana L saotratadas como independentes.
A equacao (1.15) e chamada de equacao de Lagrange.Para que a equacao de Lagrange faca algum sentido para nos e possamos ver se ela re–
obtem, no caso das partıculas pontuais, a eq.(1.2), precisamos definir a lagrangeana em termosdas quantidades cinematicas (x(t), x(t)), que caracterizam de forma unıvoca o movimento dapartıcula.
De uma maneira geral, a forma que se escolhe para a lagrangeana depende do sistemaque estamos tratando: partıculas nao–relativısticas, partıculas relativısticas, campos eletro–magneticos, ...
Nesta secao vamos nos restringir a postular as lagrangeanas de partıculas nao–relativıs-ticas que correspondem aos dois exemplos que apresentamos no inıcio da secao.
A lagrangeana associada a um certo sistema e escolhida como funcao das quantidadescinematicas que caracterizam o sistema, de tal forma que a eq.(1.15) nos de a equacao demovimento classica (1.2) para partıculas nao–relativısticas.
2 Integracao por partes:∫
udv = uv −∫
vdu.
Escolhemos no nosso caso: u = ∂L∂x e dv = dt η.
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Exemplo 1. Partıcula sujeita a uma forca conservativa em 1 dimensao: a relacao entre aforca F (x) que atua na partıcula e a funcao potencial V (x) e:
F (x) = −dV (x)dx
. (1.16)
A lagrangeana de partıculas sujeitas a forcas conservativas e:
L(x(t), x(t); t) =12mx(t)2 − V (x), (1.17a)
pois,
∂L
∂x= mx, (1.17b)
∂L
∂x= −dV (x)
dx. (1.17c)
e, substituindo as eqs.(1.17b–c) na equacao de Lagrange (1.15), obtemos
−dV (x)dx
− d(mx)dt
= 0 ⇒ md2x(t)
dt2= −dV (x)
dx. (1.18).
Exemplo 2. Partıcula sujeita a uma forca conservativa descrita pela funcao potencialV (x) e uma forca F (t) dependente do tempo.
A lagrangeana que descreve este sistema e:
L(x(t), x(t); t) =12mx(t)2 − V (x) + F (t)x(t), (1.19a)
pois,
∂L
∂x= mx, (1.19b)
∂L
∂x= −dV (x)
dx+ F (t). (1.19c)
e substituindo as eqs. (1.19b–c) na equacao de Lagrange (1.15) obtemos
−dV (x)dx
+ F (t)− d(mx)dt
= 0 ⇒ md2x(t)
dt2= −dV (x)
dx+ F (t), (1.20)
que e identica a eq.(1.5) em 1–dimensao.
Uma propriedade importante que se obtem a partir do Princıpio de Hamilton e que, se
duas lagrangeanas diferem entre si por uma derivada total, ou seja
sendo ρ(~x, t) a densidade de carga eletrica na posicao ~x e no instante t, e ~(~x, t) a densidade de
corrente. Q(t) e a carga eletrica total contida dentro do volume V delimitado pela superfıcie
fechada S:
Q(t) =∫
V
d3~x ρ(~x, t). (2.3)
3 Estamos usando o sistema de unidades CGS para escrever as equacoes envolvendo os
campos eletromagneticos[5].4 A velocidade da luz e: c= 299.792.456,2 ± 1,1 m/seg.
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∫S
~B(~x, t) · nds e o fluxo de campo magnetico que atravessa a superfıcie S no instante
t e∫
S~E(~x, t) · nds o fluxo de campo eletrico que atravessa a superfıcie S no instante t. n e
o vetor unitario normal a superfıcie S em cada ponto, ds e a area infinitesimal e d~l o vetor
infinitesimal tangente a curva Γ. A curva Γ e a fronteira da superfıcie S.
Para obtermos as equacoes de Maxwell na sua forma local a partir de sua formulacao
global bastar aplicar os Teoremas de Gauss e Stokes, que estao enunciados no Apendice A.
Para resolver exatamente o problema do movimento da carga eletrica na presenca de cam-
pos eletromagneticos e sua influencia sobre eles, terıamos de resolver simultaneamente as eqs.
(2.1) e (2.2a–d). Entretanto, nao sabemos resolver esse conjunto de equacoes acopladas. O que
faremos e estudar situacoes fısicas em que o efeito da variacao dos campos eletromagneticos
e pequeno sobre o movimento das partıculas com carga eletrica. Neste caso, vamos supor
que conhecemos a distribuicao de cargas e correntes em todos os pontos do espaco em cada
instante, e que estas distribuicoes nao sao afetadas pelos campos eletromagneticos.
Durante o mini–curso iremos trabalhar com as equacoes de Maxwell na sua forma local.
Ate agora temos chamado de campo aos vetores eletrico e magnetico. A razao de usarmos
essa nomenclatura para esses vetores e que no caso de uma partıcula pontual, ~x(t) corresponde
a posicao que a partıcula ocupa no instante t. Portanto ~x(t) representa uma unica posicao
do espaco no instante t e e toda a informacao que voce precisa para localizar a partıcula
neste instante. No entanto, dizer que voce conhece os campos eletromagneticos no instante
t implica que voce sabe os valores dos vetores ~E(~x, t) e ~B(~x, t) em cada ponto ~x do espaco
neste instante. Neste contexto o vetor ~x e um parametro da mesma forma que o tempo, e
representa um ındice utilizado para localizar os diferentes pontos do espaco.
Na posicao do espaco que uma partıcula carregada eletricamente ocupa no instante t, a
forca de Lorentz que ela sente e:
~FL(~x, t) = e~E(~x, t) + e~v(t)
c× ~B(~x, t), (2.4)
sendo ~E(~x, t) e ~B(~x, t) os campos eletrico e magnetico, respectivamente, na posicao da
partıcula, e a sua carga eletrica e ~v(t) a sua velocidade.
Em resumo, temos que as componentes dos vetores eletromagneticos sao funcoes definidas
em todos os pontos do espaco; daı se dizer que sao campos.
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Para termos a forca de Lorentz (eq.(2.4)) que age sobre partıculas carregadas precisamos
conhecer: ~E(~x, t) e ~B(~x, t), sendo que cada um desses vetores tem tres componentes. Logo,
para descrevermos a forca de Lorentz necessitamos de seis funcoes. Entretanto, essas seis
funcoes nao sao independentes entre si, uma vez que as equacoes de Maxwell (2.2a–d) acoplam
os campos eletrico e magnetico. A partir da eq. (2.2c) vemos que a variacao do fluxo do campo
magnetico atraves da superfıcie aberta S depende da integral de linha do campo eletrico ao
longo da fronteira Γ da area S. Por outro lado, a variacao do fluxo do campo eletrico atraves
da superfıcie aberta S depende da integral de linha do campo magnetico ao longo da fronteira
Γ que delimita a area S e o fluxo da densidade de corrente que atravessa a mesma area S. Em
resumo, temos que a evolucao no tempo dos campos eletrico e magnetico e inter–relacionada.
Vamos introduzir campos auxiliares em que temos um numero menor de funcoes a serem
determinadas e a partir das quais podemos determinar os campos ~E(~x, t) e ~B(~x, t). Para isso,
usaremos as equacoes de Maxwell na sua forma local e as propriedades de Analise Vetorial
que estao apresentadas no Apendice A.
Da equacao (2.2b), temos que
~∇ · ~B(~x, t) = 0, (2.5a)
que pela propriedade (A.5) da divergencia de um vetor implica em que
~B(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t). (2.5b)
~A(~x, t) e denominado de potencial vetor. Substituindo a eq.(2.5b) na eq. (2.2c) obtemos que
~∇×(
~E(~x, t) +1c
∂ ~A(~x, t)∂t
)= 0. (2.5c)
Pela propriedade (A.6) do rotacional concluimos que
~E(~x, t) +1c
∂ ~A(~x, t)∂t
= −~∇A0(~x, t), (2.5d)
onde A0(~x, t) e denominado de potencial escalar.
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Em resumo, temos que os campos fısicos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) que aparecem na forca de
Lorentz (eq.(2.4)) podem ser obtidos a partir dos campos auxiliares A0(~x, t) e ~A(~x, t) atraves
das relacoes:
~B(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t) (2.6a)
e
~E(~x, t) = −~∇A0(~x, t)− 1c
∂ ~A(~x, t)∂t
. (2.6b)
Vamos mostrar agora que as quatro funcoes: A0, Ax, Ay e Az nao sao independentes
entre si. Para vermos isso usaremos o fato de que, dadas as funcoes A0(~x, t) e ~A(~x, t) atraves
das relacoes (2.6a–b), obtemos um unico vetor ~E(~x, t) e um unico vetor ~B(~x, t); no entanto,
a operacao inversa nao e verdadeira, ou seja, dados os campos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) temos um
conjunto infinito de pares de funcoes (A0(~x, t), ~A(~x, t)) que podem dar origem a esses campos
fısicos.
Vamos mostrar entao que nao e possıvel inverter as relacoes (2.6a–b). Para explorarmos
essa ambiguidade, lembremos que pela propriedade (A.6), temos que
~∇× (~∇G(~x, t)) = 0, (2.7)
onde G(~x, t) e uma funcao qualquer que nao possui singularidades. Entao, o potencial vetor
~A′(~x, t) definido como:
~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t) (2.8a)
da o mesmo campo magnetico que o obtido pelo potencial vetor ~A(~x, t), ou seja
~∇× ~A′(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t) + ~∇× (~∇G(~x, t))
= ~∇× ~A(~x, t). (2.8b)
Entretanto, pela eq.(2.6b), temos que o potencial ~A′(~x, t) nao gera o mesmo campo
eletrico que o potencial vetor ~A(~x, t), a menos que, simultaneamente, o potencial escalar seja
modificado para:
10
A′0(~x, t) = A0(~x, t)− 1
c
∂G(~x, t)∂t
. (2.8c)
Neste caso,
−~∇A′0(~x, t)− 1
c
∂ ~A′(~x, t)∂t
= −~∇A0(~x, t)− 1c
∂ ~A(~x, t)∂t
. (2.8d)
As funcoes potenciais A′0(~x, t) e ~A′(~x, t) geram os mesmos campos eletromagneticos
~E(~x, t) e ~B(~x, t) que os potenciais A0(~x, t) e ~A(~x, t). Concluimos que os campos fısicos
~E(~x, t) e ~B(~x, t) sao invariantes sob a transformacao simultanea (2.8a) e (2.8c). As trans-
formacoes (2.8a) e (2.8c) sao as chamadas transformacoes de gauge:
A′0(~x, t) = A0(~x, t)− 1
c
∂G(~x, t)∂t
(2.9a)
e
~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t), (2.9b)
onde G(~x, t) e uma funcao qualquer cujas derivadas espaciais e temporal estao definidas em
todos os pontos do espaco e em qualquer instante.
Para podermos trabalhar com os potenciais escalar e vetorial precisamos impor uma
condicao arbitraria adicional sobre estes campos. Esta condicao adicional e chamada de
fixacao de gauge. Como exemplo de condicoes de gauge usualmente utilizadas temos:
i. Gauge de Coulomb:
~∇ · ~A(~x, t) = 0. (2.10a)
ii. Gauge de Lorentz:
~∇ · ~A(~x, t) +1c
∂A0(~x, t)∂t
= 0. (2.10b)
iii. Gauge de Weyl:
A0(~x, t) = 0. (2.10c)
11
Os potenciais escalar e vetorial tem que satisfazer as equacoes de Maxwell e uma escolha
arbitraria de gauge. As expressoes obtidas para A0(~x, t) e ~A(~x, t) dependem da escolha
do gauge; no entanto, os campos fısicos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) nao dependem da particular
escolha de gauge que se faca. Daı dizermos que as quantidade fısicas sao independentes da
particular escolha que se faz para fixar o gauge e sermos entao capazes de calcular as funcoes
potenciais: A0(~x, t) e ~A(~x, t).
Apesar dos campos A0(~x, t) e ~A(~x, t) nao serem fısicos, eles sao importantes para a
descricao da teoria, uma vez que a lagrangeana que descreve campos eletromagneticos inter-
agindo com partıculas carregadas eletricamente e escrita atraves desses campos auxiliares,
como veremos mais adiante.
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3. Espaco de Minkowski.
Estamos interessados em estudar neste mini–curso a lagrangeana dos campos de gauge de
Maxwell (campos eletromagneticos), e os campos de gauge de Maxwell–Chern–Simons. Em
particular, os campos eletromagneticos (luz) possuem velocidade c em qualquer referencial,
de maneira que este e um sistema relativıstico.
Na Mecanica Nao–Relativıstica o tempo e um parametro que e o mesmo em qualquer
referencial, o que nao e verdade com o vetor posicao da partıcula medido a partir de diferentes
referenciais inerciais.
Na Mecanica Relativıstica cada referencial inercial tem o seu conjunto de reguas e relogios
com os quais realiza as medidas dos fenomenos fısicos. Num sistema relativıstico o instante
em que a partıcula ocupa uma certa posicao do espaco depende do referencial a partir do qual
o movimento da partıcula esta sendo observado. Em cada referencial inercial o movimento
de uma partıcula e descrito como um evento que contem quatro informacoes: ~x(t), t. Desta
forma para sistemas relativısticos nao podemos dissociar o conceito de espaco do conceito de
tempo, daı usarmos a nomenclatura de espaco–tempo para representar o quadri–vetor (ct, ~x).
O quadri–vetor (ct, ~x) representa o instante t em que a partıcula ocupa a posicao ~x. Todas
as componentes de um quadri–vetor tem que ter a mesma dimensao, daı multiplicarmos o
tempo t pela velocidade da luz c no quadri–vetor (ct, ~x). Lembrando que a velocidade da luz
e a mesma em qualquer referencial.
Nao discutiremos a Relatividade Especial neste mini–curso; para aqueles que estejam
interessados numa introducao ao assunto sugerimos a leitura da referencia 6.
Em 1908 H. Minkowski propos um formalismo matematico em que o espaco e o tempo
formam um espaco com 4 dimensoes. No espaco 4–dimensional o eixo do tempo e perpendicu-
lar aos eixos das coordenadas espaciais. Na linguagem de espaco–tempo fica simples descrever
as transformacoes de Lorentz na Relatividade Especial.
Da Analise Vetorial temos que o vetor nao depende de eixos coordenados para ser definido.
Qualquer que seja o conjunto de eixos coordenados que escolhemos para decompor o vetor em
termos de suas componentes, o modulo do vetor tem sempre o mesmo valor. Este resultado
e um caso particular da invariancia do produto escalar entre dois vetores ~u e ~v quaisquer. O
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angulo relativo entre esses vetores e independente dos eixos coordenados que utilizamos. Seja
α o angulo relativo entre os vetores ~u e ~v, o produto escalar entre esses dois vetores e
~u · ~v =| ~u | | ~v | cosα, (3.1)
que escrito em termos das componentes num conjunto de eixos coordenados cartesianos
(x, y, z) fica:
~u · ~v = uxvx + uyvy + uzvz. (3.2)
Apesar da soma dos termos do l.d. da eq.(3.2) ser independente dos eixos coordenados
escolhidos, cada termo do l.d. da eq.(3.2) depende da escolha feita para estes eixos.
Apenas para simplificar, exemplificaremos o que se segue com vetores no plano (vetores
bi–dimensionais).
Vejamos como as componentes de um vetor bi–dimensional variam ao serem escritas em
relacao a dois conjuntos de eixos coordenados cujas origens coincidem mas cujos eixos estao
girados de um angulo θ.
Considere o vetor ~v na Figura 3.1.
Os vetores unitarios nas direcoes x e y sao ı e respectivamente. Os vetores unitarios nas
direcoes x′ e y′ sao ı′ e ′ respectivamente. O resultado do produto escalar entre os vetores
unitarios e:
ı · ı′ = cos θ e ı · ′ = − sin θ, (3.3a)
· ı′ = sin θ e · ′ = cos θ, (3.3b)
O vetor ~v escrito em termos das componentes nos dois conjuntos de eixos coordenados:
~v = vx ı + vy (3.4a)
= v′x ı′ + v′y ′. (3.4b)
Para obtermos as componentes v′x e v′y em termos das componentes vx e vy, usamos que
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v′x = ~v · ı′ e v′y = ~v · ′, (3.4c)
e os resultados (3.3a–b) dos produtos escalares dos vetores unitarios, de maneira que, final-
mente, escrevemos a transformacao das coordenadas numa forma matricial:
(v′xv′y
)=
(cos θ sin θ− sin θ cos θ
)(vx
vy
). (3.4d)
Todos os vetores satisfazem a lei de transformacao (3.4d) sob uma mudanca de eixos
coordenados que corresponda a uma rotacao rıgida dos eixos de um angulo θ.
A matriz
R(t) =(
cos θ sin θ− sin θ cos θ
), (3.4e)
e a matriz de rotacao que liga as componentes de um mesmo vetor escrito em dois conjuntos
de eixos coordenados girados entre si de um angulo θ. Para qualquer angulo θ temos que
det(R(θ)) = 1. (3.4f)
Para vermos porque as transformacoes de Lorentz das coordenadas espaco–temporais
entre dois referenciais inerciais podem ser escritas como uma rotacao no espaco–tempo, consi-
deremos as transformacoes de Lorentz para a posicao da partıcula e para o instante em que
a medida de posicao e feita. Por simplicidade, vamos supor que o movimento da partıcula e
ao longo da direcao x que coincide com a direcao do movimento relativo entre os referenciais
inerciais (veja Figura 3.2).
15
Na Figura 3.2, ~V = V ı e a velocidade do referencial inercial S′ medida por um observador
em repouso no referencial inercial S.
Assumindo que no instante t = 0 as origens dos dois conjuntos de eixos coordenados
(x, y) e (x′, y′) coincidem, a transformacao de Lorentz e[6,7]:
x′0
= γ(x0 − βx1), (3.5a)
x′1
= γ(−βx0 + x1), (3.5b)
onde x0 = ct e x1 = x, x′0
= ct e x′1
= x′,e c e a velocidade da luz. As constantes β e γ sao
definidas como sendo
β =V
ce γ =
1√1− β2
. (3.5c)
Das relacoes (3.5c) temos que −1 ≤ β ≤ 1 e 1 ≤ γ ≤ ∞.
As transformacoes de Lorentz escritas na forma matricial ficam:
(x′
0
x′1
)=
(γ −βγ−βγ γ
) (x0
x1
), (3.6)
e possuem uma forma similar a rotacao de vetores num plano5 tambem representada pela
transformacao (3.4d).
Os elementos da matriz que aparecem do l.d. da expressao (3.6) nao podem ser escritos
como funcoes trigometricas, pois o produto βγ assume valores no intervalo [0,∞), e os valores
de γ estao no intervalo [1,∞).
Como os valores que a constante β pode assumir estao no intervalo [−1, 1], podemos usar
a parametrizacao:
β = tanh ζ, (3.7a)
de maneira que
5 Girar os eixos coordenados (x′, y′) de um angulo θ em relacao aos eixos (x, y) e equivalente
do ponto de vista de transformacao de coordenadas a manter os eixos coordenados (x, y) fixos
e rodar de −θ o vetor ~v em relacao a origem desses eixos.
16
γ =1√
1− β2=
1√1− tanh2 ζ
⇒
⇒ γ = cosh ζ, (3.7b)
e
βγ = tanh ζ · cosh ζ ⇒⇒ βγ = sinh ζ. (3.7c)
Portanto, as transformacoes de Lorentz (3.5) do espaco–tempo sao finalmente escritas
como
(x′
0
x′1
)=
(cosh ζ − sinh ζ− sinh ζ cosh ζ
)(x0
x1
). (3.8)
De forma analoga ao produto escalar de vetores bi–dimensionais, no espaco de Minkowski
e possıvel definir uma operacao de produto escalar que obtenha como resultado um numero que
seja o mesmo em todos os referenciais inerciais6. Podemos tentar obter a expressao de escalares
de Lorentz atraves de varias tentativas de funcoes das coordenadas e usar a transformacao
(3.8) para verificar se o resultado e independente do referencial inercial escolhido.
Mas ao inves de procedermos dessa maneira, utilizamos o postulado da Mecanica Rela-
tivıstica que afirma que a velocidade da luz e a mesma em qualquer referencial. A equacao de
uma frente de onda luminosa em qualquer instante, vista de dois referenciais inerciais distintos
e:
0 = −x2 + c2t2 (3.9a)
= −x′2 + c2t′2, (3.9b)
de forma que o resultado da combinacao (x0)2 − (x1)2 e o mesmo em qualquer referencial
inercial. Logo, esta particular combinacao das 4–coordenadas forma um escalar de Lorentz.
Definimos um 4–vetor de Lorentz como aquele cujas componentes, sob uma transformacao
de Lorentz (3.5), satisfacam a relacao (3.8) . Entao, para qualquer 4–vetor de Lorentz a
combinacao acima e tambem um escalar de Lorentz.
6 Um numero que e o mesmo em todos os referenciais inerciais cujas quadri-coordenadas
estao relacionadas atraves das transformadas de Lorentz e denominado de escalar de Lorentz.
17
O produto escalar (3.9) nao pode ser escrito diretamente na forma (3.2). No entanto, se
definimos os vetores contra–variantes xµ, µ = 0, 1, como[7]
xµ = (x0, x1) ≡ (x0, x), (3.10a)
e os vetores covariantes xµ, µ = 0, 1, como
xµ = (x0, x1) ≡ (x0,−x), (3.10b)
sendo x0 = ct e x a coordenada x usual, entao o produto escalar no espaco de Minkowski e
definido como:
−x2 + c2t2 = x0x0 + x1x
1
=1∑
µ=0
xµxµ. (3.10c)
Definimos a regra da soma implıcita dizendo que somamos sobre ındices repetidos num
mesmo termo, ou seja,
1∑µ=0
xµxµ ≡ xµxµ. (3.10d)
Os ındices somados (contraıdos) estao ao longo da diagonal, ou seja, cada parcela da
soma (3.10d) e o produto da componente do vetor covariante pela componente do vetor
contra–variante.
A extensao do que fizemos em d=2 (1+1) (uma dimensao espacial e uma dimensao
temporal) para d=4 (3+1) ( tres dimensoes espaciais e uma dimensao temporal) esta contida
nas Referencias 6 e 7.
De agora em diante trataremos o caso em d=4 (3+1) e utilizaremos a regra da soma
implıcita.
Em quatro dimensoes espaco–temporal o 4–vetor posicao e
xµ = (x0, ~x) (3.11a)
xµ = (x0,−~x). (3.11b)
18
O produto escalar e entao
3∑µ=0
xµxµ = xµxµ (3.11c)
= −~x · ~x + c2t2.
Como relacionar os vetores covariantes e os vetores contra–variantes? A partir das
definicoes (3.11a) e (3.11b), vemos que a relacao entre esses vetores e linear homogenea,
de maneira que podemos escreve–la como:
xµ = gµνxν , (3.12a)
onde estamos somando sobre o ındice ν, ν = 0, 1, 2, 3. A matriz gµν , tambem chamada de
metrica, em d=4 (3+1) e representada por
gµν = gµν =
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
. (3.12b)
A matriz gµν e simetrica (par) pela troca dos ındices ( gµν = gνµ) e
gµνgντ = δ τµ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
. (3.12c)
Seja Bµ = (B0, ~B) um 4–vetor qualquer. A relacao entre a forma covariante e contra–
variante de qualquer 4–vetor e dada pela eq. (3.12a),
Bµ = gµνBν ⇒ Bµ = (B0,−~B). (3.12d)
Como exemplo de 4–vetores de Lorentz temos:
i. 4–posicao: xµ = (ct, ~x) (3.13a)ii. 4–momento7 pµ =
(Ec , ~p
), (3.13b)
7 A expressao da energia relativıstica total da partıcula livre e:
19
onde E e a energia relativıstica total da partıcula.iii. 4–potencial vetor: Aµ(~x, t) = (A0(~x, t), ~A(~x, t)), (3.13c)
onde A0(~x, t) e o potencial escalar e ~A(~x, t) o potencial vetor associados aos campos eletro-magneticos.
iv. 4–densidade de corrente: jµ(~x, t) = (cρ(~x, t),~(~x, t)) (3.13d)onde ρ(~x, t) e a densidade de carga eletrica na posicao ~x no instante t e ~(~x, t) e a densidadede corrente eletrica na posicao ~x no instante t.
Os operadores diferenciais possuem uma definicao diferente da apresentada em (3.12d):
∂µ ≡ ∂
∂xµ=
(∂
∂x0, ~∇
)(3.14a)
e
∂µ ≡ ∂
∂xµ=
(∂
∂x0,−~∇
). (3.14b)
Comparando as expressoes (3.14a) e (3.14b) vemos que a relacao entre os operadores
diferenciais covariante e contra–variante ainda e dada pela relacao (3.12a),
∂µ = gµν∂ν , (3.14c)
onde estamos somando sobre o ındice ν, ν = 0, 1, 2, 3.
O operador diferencial d’Alambertiano,
tu =(−∇2 +
1c2
∂2
∂t2
), (3.15a)
onde ∇2 = ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 + ∂2
∂z2 , pode ser escrito na forma
tu = ∂µ∂µ. (3.15b)
O operador diferencial d’Alambertiano tu aparece na equacao de ondas eletromagneticas
como veremos na secao 4.1.
E2 =| ~p |2 c2 + m2c4 ⇒ E
c
2
− | ~p |2= m2c2 = const.
Portanto, a quantidade Ec e a componente zero do 4–vetor momento.
20
A relacao entre tensores covariantes e contra–variantes de qualquer ordem e:
A presenca da massa 4πµ no denominador da eq.(4.2.31), faz com que o campo magnetico
do modelo de Maxwell–Chern–Simons seja de curto alcance. No caso das componentes do
campo eletrico, elas tambem vao a zero para | ~x |→ ∞ mais rapidamente que na teoria de
Maxwell pura, uma vez que Ei ∼ e−4π|µ|r para | ~x |→ ∞.
50
Vejamos como o 4–potencial vetor Aν se comporta na fronteira do plano infinito (| ~x |→∞). Para isso, consideremos a lei de Gauss (eq.(4.2.20a)) do modelo de Maxwell–Chern–
que integrando sobre todos os pontos do plano fica,
∫
S∞d2~x ~∇ · ~E(~x, t)− 4πµ
∫
S∞d2~x B(~x, t) = 4πQ(t), (4.2.32b)
sendo Q(t) a carga eletrica total contida no plano (x, y),
Q(t) =∫
S∞d2~x ρ(~x, t). (4.2.32c)
Usando o Teorema de Gauss (eq.(A.9)) em duas dimensoes espaciais, temos que
∮
Γ∞
~E(~x, t) · d~l − 4πµ
∫
S∞d2~x B(~x, t) = 4πQ(t), (4.2.32d)
sendo Γ∞ o contorno da que delimita a area S∞.
Mostramos anteriormente que o campo eletrico vai a zero para | ~x |→ ∞, de maneira que
a integral de linha do campo eletrico ao longo de Γ∞ e nula. Assim, a lei de Gauss escrita na
forma global e,
−4πµ
∫
S∞d2~x B(~x, t) = 4πQ(t). (4.2.32e)
Entretanto, o campo magnetico pode ser escrito como sendo
B(~x, t) = (~∇× ~A(~x))z, (4.2.32f)
sendo z a direcao perpendicular ao plano (x, y). Substituindo (4.2.32f) em (4.2.32e) e apli-
cando o Teorema de Stokes (eq.(A.10)), obtemos finalmente que
−µ
∮
Γ∞
~A(~x, t) · d~l = Q(t), (4.2.32g)
51
que mostra que apesar dos campos fısicos serem de curto alcance, o 4–potencial vetor e de
longo alcance. A solucao assintotica dos 4–potenciais vetores que satisfazem a (4.2.32g) e:
~A(~x, t) |~x|→∞−→ −Q(t)8π2µ
arctan(x
y
). (4.2.32h)
O potencial vetor ~A(~x, t) e localmente um campo de gauge puro. Ele possui o mesmo
comportamento do efeito Aharanov–Bohm[14].
52
5. Figuras.
t
x(t)
Figura 1.1
2
3
1
t t0 f
Figura 1.1: A curva 1 representa a trajetoria classica, enquanto que as curvas 2 e 3 repre-sentam curvas que diferem da trajetoria classica por pequenas deformacoes.
Figura 3.1: Os vetores i e j sao os vetores unitarios dos eixos coordenados(x, y), e, i’ e j’ saoos vetores unitarios dos eixos coordenados(x′, y′). O vetor V e o mesmo nos dois conjuntosde eixos coordenados, enquanto que as suas componentes dependem dos eixos coordenadosque utilizamos para obte–las.
53
x
y y’S
V
Figura 3.2
x’
S’
Figura 3.2: O referencial inercial S’ se desloca com velocidade V= V i em relacao ao refer-encial S.
Agradecimentos:
Desejo agradcer a M.C. Batoni Abdalla e E. Abdalla por discussoes sobre invariancia
de gauge na Eletrodinamica Classica, a J.S. Sa Martins pela leitura do texto, correcoes e
sugestoes, e, a A. T. Costa Jr. pela ajuda na colocacao das figuras no texto. Tenho um
agradecimento especial ao International Center for Theoretical Physics, Trieste, Italia, onde
parte deste texto foi pensado e escrito.
54
Apendice A: Revisao de Analise Vetorial e Teoremas de Gauss e Stokes
A.1) Revisao de Analise Vetorial[15]:
Seja ~v(~x) um vetor com componentes escritas em coordenadas cartesianas:
~v(~x) = vx(~x)ı + vy(~x) + vz(~x)k; (A.1)
ı, e k sao vetores unitarios nas direcoes x, y e z respectivamente.
O operador gradiente ~∇ escrito em coordenadas cartesianas e:
~∇ = ı∂
∂x+
∂
∂y+ k
∂
∂z. (A.2)
i. Divergencia de um vetor em coordenadas cartesianas:
~∇ · ~v(~x) =∂vx(~x)
∂x+
∂vy(~x)∂y
+∂vz(~x)
∂z. (A.3)
ii. Rotacional de um vetor em coordenadas cartesianas:
~∇× ~v(~x) = ı
(∂vz(~y)
∂y− ∂vy(~x)
∂z
)+
(∂vx(~x)
∂z− ∂vz(~x)
∂x
)+ k
(∂vy(~x)
∂x− ∂vx(~x)
∂y))
= εijk∂jvk, i, j, k = 1, 2, 3, (A.4)
onde estamos usando a regra da soma implıcita e a notacao: v1 = vx, v2 = vy e v3 = vz.
εklm e o tensor de Levi–Civita, e e definido como:
ε123 = ε231 = ε312 = 1,
ε213 = ε132 = ε321 = −1,
εklm = 0 se dois ou mais ındices forem iguais.
55
iii. Propriedades gerais da divergencia e rotacional: