Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostale teorie wyboru Teoria preferencji i jej alternatywy Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ 10 maj 2012 Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ Teoria preferencji i jej alternatywy
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Teoria preferencji i jej alternatywy
Dariusz ZawiszaInstytut Matematyki UJ
10 maj 2012
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Racjonalność
Racjonalny decydent:I rzetelnie pozyskuje informacje i właściwie je interpretuje -decydent zna możliwe konsekwencje swoich decyzji,
I na podstawie dostępnych informacji porządkuje projekty,działania i inwestycje w celu maksymalizacji własnych korzyści.
I jest wolny od obciążeń emocjonalnych i norm etycznych.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Teoria oczekiwanej użyteczności
Zastosowania
Teoria dualna i jej zastosowania
Pozostałe teorie wyboru
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Oznaczenia
(Ω,F ,P) - przestrzeń probablistyczna,
X - zbiór zmiennych losowych przyjmujących wartości w odcinku[0, 1] (zmienne opisujące wyniki różnych loterii lub zyski zinwestycji),
SX (z) := P(X > z) - funkcja przeżycia,
- relacja preferencji określona na zbiorze X porządkująca losowekorzyści z różnych inwestycji.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944)
EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X .EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i.EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L1: dla
dowolnych X ,Y ∈ X , X Y istnieje ε > 0 takie, że jeśli‖X − V ‖L1 < ε ‖Y − Z‖L1 < ε, to V Z .
EU4 Monotoniczność: jeśli SX ≤ SY , to X Y .EU5 Niezależność: jeśli α ∈ [0, 1] i Z ∈ X , to
X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944)
EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X .
EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i.EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L1: dla
dowolnych X ,Y ∈ X , X Y istnieje ε > 0 takie, że jeśli‖X − V ‖L1 < ε ‖Y − Z‖L1 < ε, to V Z .
EU4 Monotoniczność: jeśli SX ≤ SY , to X Y .EU5 Niezależność: jeśli α ∈ [0, 1] i Z ∈ X , to
X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944)
EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X .EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i.
EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L1: dladowolnych X ,Y ∈ X , X Y istnieje ε > 0 takie, że jeśli‖X − V ‖L1 < ε ‖Y − Z‖L1 < ε, to V Z .
EU4 Monotoniczność: jeśli SX ≤ SY , to X Y .EU5 Niezależność: jeśli α ∈ [0, 1] i Z ∈ X , to
X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944)
EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X .EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i.EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L1: dla
dowolnych X ,Y ∈ X , X Y istnieje ε > 0 takie, że jeśli‖X − V ‖L1 < ε ‖Y − Z‖L1 < ε, to V Z .
EU4 Monotoniczność: jeśli SX ≤ SY , to X Y .EU5 Niezależność: jeśli α ∈ [0, 1] i Z ∈ X , to
X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944)
EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X .EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i.EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L1: dla
dowolnych X ,Y ∈ X , X Y istnieje ε > 0 takie, że jeśli‖X − V ‖L1 < ε ‖Y − Z‖L1 < ε, to V Z .
EU4 Monotoniczność: jeśli SX ≤ SY , to X Y .
EU5 Niezależność: jeśli α ∈ [0, 1] i Z ∈ X , to
X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944)
EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X .EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i.EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L1: dla
dowolnych X ,Y ∈ X , X Y istnieje ε > 0 takie, że jeśli‖X − V ‖L1 < ε ‖Y − Z‖L1 < ε, to V Z .
EU4 Monotoniczność: jeśli SX ≤ SY , to X Y .EU5 Niezależność: jeśli α ∈ [0, 1] i Z ∈ X , to
X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Twierdzenie o reprezentacji
TwierdzenieAksjomaty EU1 - EU5 są spełnione wtedy i tylko wtedy gdy istniejefunkcja u ciągła i niemalejąca na [0,1] taka, że
X Y ⇔ Eu(X ) ≤ Eu(Y ).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Funkcja u powinna być funkcją wklęsłą (malejące przyrostyposiadają interpretację ekonomiczną).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
I Dla decydenta z wklęsłą funkcją użyteczności
Eu(X ) ≤ u(EX ).
I Powiemy, że takiego decydenta cechuje awersja do ryzyka.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
I Dla decydenta z wklęsłą funkcją użyteczności
Eu(X ) ≤ u(EX ).
I Powiemy, że takiego decydenta cechuje awersja do ryzyka.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Funkcja użyteczności przykłady
I Funkcja HARA
u(x) =
xγγ , dla γ 6= 0, γ < 1,ln x , dla γ = 0.
I funkcja CARA
u(x) = 1− e−γx , γ > 0.
I funkcja kwadratowa
u(x) = ax − 12bx2, a, b > 0.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Wybór najlepszej strategii finansowej
rs - stopa zwrotu z pewnej akcji (zmienna losowa),
w - procentowa wartość kapitału zainwestowanego w akcje,
r - stopa procentowa na lokacie,
rw := wrs + (1− w)r stopa zwtotu z całego portfela (zmiennalosowa),
Ile powinno wynosić w?
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Wybór najlepszej strategii finansowej
rs - stopa zwrotu z pewnej akcji (zmienna losowa),
w - procentowa wartość kapitału zainwestowanego w akcje,
r - stopa procentowa na lokacie,
rw := wrs + (1− w)r stopa zwtotu z całego portfela (zmiennalosowa),
Ile powinno wynosić w?
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Optymalna strategia c. d.
Odpowiedź:w∗ ∈ argmaxEu(rw ).
Warunek konieczny istnienia maksimum:
E[(rs − r)u′(rw )] = 0.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Optymalna strategia c. d.
Odpowiedź:w∗ ∈ argmaxEu(rw ).
Warunek konieczny istnienia maksimum:
E[(rs − r)u′(rw )] = 0.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Model Markowitza
H. Markowitz [1952](Nagroda Nobla w 1990 ) zaproponowałoptymalizację portfela za pomocą maksymalizacji funkcji
L(w) := Erw −θ
2Var(rw ), θ > 0 - parametr awersji do ryzyka .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Równoważnik pewności
DefinicjaRównoważnikiem pewności nazywamy taką wielkość zysku, jakąmożna uzyskać bez ryzyka, a której użyteczność jest równaoczekiwanej użyteczności X . Innymi słowy równoważnik pewnościCX zmiennej losowej X spełnia warunek
u(CX ) = Eu(X ).
Korzystając z rozwinięcia Taylora
Eu(X ) ≈ u(EX ) +12u′′(EX )Var(X ),
Eu(X ) ≈ u(CX ) ' u(EX ) + u′(EX )(CX − EX ).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Stąd
Cx ≈ EX +12u′′(EX )
u′(EX )Var(X ).
DefinicjaNiech u będzie dwukrotnie różniczkowalną funkcją użyteczności.Wtedy
α(x) := −u”(x)u′(x)
nazywana jest współczynnikiem bezwzględnej awersji do ryzykaArrowa-Pratta.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Stąd
Cx ≈ EX +12u′′(EX )
u′(EX )Var(X ).
DefinicjaNiech u będzie dwukrotnie różniczkowalną funkcją użyteczności.Wtedy
α(x) := −u”(x)u′(x)
nazywana jest współczynnikiem bezwzględnej awersji do ryzykaArrowa-Pratta.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Składka ubezpieczeniowaw - majątek ubezpieczyciela,
X - strata spowodowana wypłatą ubezpieczenia,
H - składka ubezpieczeniowa,
Zakład ubezpieczeń powinien ustalić składkę H tak, aby
u(w) ≤ Eu(w − X + H).
Minimalny poziom składki powinien spełniać równanie
u(w) = Eu(w − X + H).
czyliw ≤ E(w − X + H)
iEX ≤ H.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Krytyka
I Nie można aksjomatyzować zachowań: ludzie pod wpływemstresu i strachu mogą podejmować decyzje inne od„racjonalnych”.
I H. Simon (Nagroda Nobla 1978) zwraca uwagę, żenapotykając różnorodne ograniczenia czasowe i technologiczneludzie nie są w stanie uzyskać i przetworzyć wszystkichinformacji istotnych dla danego problemu.
I Krytyka aksjomatów (najmocniej aksjomatu niezależności):eksperymenty socjologiczne i psychologiczne nie potwierdziłyzachowań zgodnych z teorią oczekiwanej użyteczności(paradoks Allaisa, paradoks Ellsberga)
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Dual theory of choice
Yaari [1987] zmienił aksjomat niezależności otrzymującreprezentację liczbową relacji preferencji postaci.
X Y ⇔∫ 10g(P(X > x)
)dx ≤
∫ 10g(P(Y > x)
)dx .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Całka Choqueta
I Centralne miejsce w powyższej reprezentacji zajmuje całka∫ +∞
0g(P(X > x)
)dx .
I Jeśli g(x) = x , to∫ +∞
0g(P(X > x)
)dx =
∫ +∞
0P(X > x)dx = EX .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Całka Choqueta
I Centralne miejsce w powyższej reprezentacji zajmuje całka∫ +∞
0g(P(X > x)
)dx .
I Jeśli g(x) = x , to∫ +∞
0g(P(X > x)
)dx =
∫ +∞
0P(X > x)dx = EX .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Całka Choqueta dla zmiennych dyskretnychZmienna X przyjmuje wartości w zbiorze dyskretnymx0, x1, . . . , xn.0 = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn .P(X = xi ) = pi ,
s(xi ) := P(x > xi ) =∑nk=i+1 pk ,
s(xn) = 0, s(xk−1)− s(xk) = pk ,
g(0) = 0, g(1) = 1
∫ +∞
0g(P(X > x))dx =
n−1∑k=0
g(s(xk)
)(xk+1 − xk)
=n∑k=1
xk[g(s(xk−1)
)− g
(s(xk)
)].
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Zdeformowane miary ryzyka-definicja
X - zmienna losowa reprezentująca stratę, lub płatności, którepowinny zostać dokonane.
DefinicjaZdeformowaną miarą ryzyka (distortion risk measure) wyznaczonąprzez funkcję rosnącą g (g(0) = 0, g(1) = 1), nazywamyfunkcjonał
ρg (X ) =
∫ 0−∞
[g(P(X > x))− 1]dx +
∫ +∞
0g(P(X > x))dx .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
WłasnościI Monotoniczność
Jeśli X ≤ Y , to ρg (X ) ≤ ρg (Y ).
I Dodatnia jednorodność
ρg (λX ) = λρg (X ), dla λ > 0.
I Niezmienniczość względem przesunięcia
ρg (X − c) = ρg (X )− c, dla c ∈ R.
I Subaddytywność (dla wklęsłej funkcji g)
ρg (X + Y ) ≤ ρg (X ) + ρg (Y ).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
WłasnościI Monotoniczność
Jeśli X ≤ Y , to ρg (X ) ≤ ρg (Y ).
I Dodatnia jednorodność
ρg (λX ) = λρg (X ), dla λ > 0.
I Niezmienniczość względem przesunięcia
ρg (X − c) = ρg (X )− c, dla c ∈ R.
I Subaddytywność (dla wklęsłej funkcji g)
ρg (X + Y ) ≤ ρg (X ) + ρg (Y ).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
WłasnościI Monotoniczność
Jeśli X ≤ Y , to ρg (X ) ≤ ρg (Y ).
I Dodatnia jednorodność
ρg (λX ) = λρg (X ), dla λ > 0.
I Niezmienniczość względem przesunięcia
ρg (X − c) = ρg (X )− c, dla c ∈ R.
I Subaddytywność (dla wklęsłej funkcji g)
ρg (X + Y ) ≤ ρg (X ) + ρg (Y ).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
WłasnościI Monotoniczność
Jeśli X ≤ Y , to ρg (X ) ≤ ρg (Y ).
I Dodatnia jednorodność
ρg (λX ) = λρg (X ), dla λ > 0.
I Niezmienniczość względem przesunięcia
ρg (X − c) = ρg (X )− c, dla c ∈ R.
I Subaddytywność (dla wklęsłej funkcji g)
ρg (X + Y ) ≤ ρg (X ) + ρg (Y ).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Przykłady
I VaR (Value at Risk) (dla rozkładów ciągłych)
VaRα(X ) = supx |P(X > x) ≥ α = ρgα(X ),
gα(x) =
0, jeśli 0 ≤ x < α,
1, jeśli α ≤ x ≤ 1.
I CVaR (Conditional Value at Risk) (dla rozkładów ciągłych)
CVaRα(X ) = E(X |X > VaRα(X )),
gα(x) = min(xα, 1).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Przykłady
I VaR (Value at Risk) (dla rozkładów ciągłych)
VaRα(X ) = supx |P(X > x) ≥ α = ρgα(X ),
gα(x) =
0, jeśli 0 ≤ x < α,
1, jeśli α ≤ x ≤ 1.
I CVaR (Conditional Value at Risk) (dla rozkładów ciągłych)
CVaRα(X ) = E(X |X > VaRα(X )),
gα(x) = min(xα, 1).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Przykłady c. d.
I Potęgowa funkcja deformująca
gα(x) = xα, 0 < α < 1.
I Deformująca funkcja Giniego
gα(x) = (1+ α)x − αx2, 0 < α < 1.
I Deformacja Wanga
gWα (x) = Φ[Φ−1(x) + α],
gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładunormalnego.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Przykłady c. d.
I Potęgowa funkcja deformująca
gα(x) = xα, 0 < α < 1.
I Deformująca funkcja Giniego
gα(x) = (1+ α)x − αx2, 0 < α < 1.
I Deformacja Wanga
gWα (x) = Φ[Φ−1(x) + α],
gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładunormalnego.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Przykłady c. d.
I Potęgowa funkcja deformująca
gα(x) = xα, 0 < α < 1.
I Deformująca funkcja Giniego
gα(x) = (1+ α)x − αx2, 0 < α < 1.
I Deformacja Wanga
gWα (x) = Φ[Φ−1(x) + α],
gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładunormalnego.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Przykłady c. d.
I Potęgowa funkcja deformująca
gα(x) = xα, 0 < α < 1.
I Deformująca funkcja Giniego
gα(x) = (1+ α)x − αx2, 0 < α < 1.
I Deformacja Wanga
gWα (x) = Φ[Φ−1(x) + α],
gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładunormalnego.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Rank dependent expected utility theory
I Preferencje wyznaczone za pomocą funkcjonału
X →∫ +∞
0g[P(u(X ) > x
)]dx .
I Dla zmiennych przyjmujących wartości dyskretne∫ +∞
0g[P(u(X ) > x
)]dx =
n∑k=1
u(xk)[g(s(xk−1)
)−g(s(xk)
)].
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Rank dependent expected utility theory
I Preferencje wyznaczone za pomocą funkcjonału
X →∫ +∞
0g[P(u(X ) > x
)]dx .
I Dla zmiennych przyjmujących wartości dyskretne∫ +∞
0g[P(u(X ) > x
)]dx =
n∑k=1
u(xk)[g(s(xk−1)
)−g(s(xk)
)].
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Teoria perspektyw
Eksperymenty wykonane przez Kahnemana (Nagroda Nobla w2002 r) i Tversky’ego [1979] wykazały, że
I Ludzie oceniają dostępne im alternatywy ze względu napewien punkt odniesienia, którego umiejscowienie zależy odich aktualnego bogactwa, przeszłych doświadczeń, etc.
I Funkcja użyteczności (tu nazwana funkcją oceny) jest wklęsładla prognoz pozytywnych i wypukła dla prognoz negatywnych.
I Ludzie bardzo rzadkie zdarzenia traktują jako niemożliwe aniektóre zdarzenia uznane jako wysoce prawdopodobnetraktują jak pewne.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Teoria perspektyw
Eksperymenty wykonane przez Kahnemana (Nagroda Nobla w2002 r) i Tversky’ego [1979] wykazały, że
I Ludzie oceniają dostępne im alternatywy ze względu napewien punkt odniesienia, którego umiejscowienie zależy odich aktualnego bogactwa, przeszłych doświadczeń, etc.
I Funkcja użyteczności (tu nazwana funkcją oceny) jest wklęsładla prognoz pozytywnych i wypukła dla prognoz negatywnych.
I Ludzie bardzo rzadkie zdarzenia traktują jako niemożliwe aniektóre zdarzenia uznane jako wysoce prawdopodobnetraktują jak pewne.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Teoria perspektyw
Eksperymenty wykonane przez Kahnemana (Nagroda Nobla w2002 r) i Tversky’ego [1979] wykazały, że
I Ludzie oceniają dostępne im alternatywy ze względu napewien punkt odniesienia, którego umiejscowienie zależy odich aktualnego bogactwa, przeszłych doświadczeń, etc.
I Funkcja użyteczności (tu nazwana funkcją oceny) jest wklęsładla prognoz pozytywnych i wypukła dla prognoz negatywnych.
I Ludzie bardzo rzadkie zdarzenia traktują jako niemożliwe aniektóre zdarzenia uznane jako wysoce prawdopodobnetraktują jak pewne.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Teoria perspektyw
Eksperymenty wykonane przez Kahnemana (Nagroda Nobla w2002 r) i Tversky’ego [1979] wykazały, że
I Ludzie oceniają dostępne im alternatywy ze względu napewien punkt odniesienia, którego umiejscowienie zależy odich aktualnego bogactwa, przeszłych doświadczeń, etc.
I Funkcja użyteczności (tu nazwana funkcją oceny) jest wklęsładla prognoz pozytywnych i wypukła dla prognoz negatywnych.
I Ludzie bardzo rzadkie zdarzenia traktują jako niemożliwe aniektóre zdarzenia uznane jako wysoce prawdopodobnetraktują jak pewne.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Teoria perspektyw c. d.Kierując się przedstawionymi przesłankami ustalono, że preferencjepowinny być oparte na funkcjonale