TEORIA ONDULATORIA-trabajo de fisica.docx

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1. Clasificacin de las ondas.. 1 2. Elementos de una onda senoidal 23. Rapidez de propagacin de una perturbacin. 34. Ecuacin general de una onda viajera 45. Ondas senoidales viajeras 55.1. Ecuacin general de una onda senoidal viajera 56. Ondas viajeras en una cuerda tensa. 66.1. Clculo de la rapidez de un pulso en una cuerda 66.2. Potencia y energa transmitida en una cuerda tensa. 87. Ondas estacionarias 87.1. Interpretacin de la ecuacin de una onda estacionaria. 97.2. Modos normales de vibracin. 118. Ondas sonoras.. 128.1. Rapidez de las ondas sonoras 128.2. Intensidad, potencia y energa de las ondas sonoras peridicas 14

TEORIA ONDULATORIAEl movimiento ondulatorio es el proceso por el que se propaga energa de un lugar a otro sin transferencia de materia, mediante ondas mecnicas o electromagnticas. En cualquier punto de la trayectoria de propagacin se produce un desplazamiento peridico, u oscilacin, alrededor de una posicin de equilibrio. Puede ser una oscilacin de molculas de aire, como en el caso del sonido que viaja por la atmsfera, de molculas de agua (como en las olas que se forman en la superficie del mar) o de porciones de una cuerda o un resorte. En todos estos casos, las partculas oscilan en torno a su posicin de equilibrio y slo la energa avanza de forma continua.

1. CLASIFICACIN DE LAS ONDASPueden ser clasificadas de distintas formas, dependiendo de los factores que se tengan en cuenta para hacerlo o dependiendo de su materia la cual vara dependiendo de la onda o su modo de propagacin: En funcin del medio de propagacin Mecnicas(medio material): Las ondas mecnicas necesitan un medio elstico (slido, lquido o gaseoso) para propagarse. Las partculas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a travs del medio. Dentro de las ondas mecnicas tenemos las ondas elsticas, las ondas sonoras y las ondas de gravedad. No mecnicas(medio no material): Son aquellas que no necesitan de un medio elstico, se propagan por el vaco. Dentro de estas ondas se encuentran las electromagnticas.

En funcin de su propagacin Escalares: Es una magnitud, sin direccin ni sentido. Por ejemplo, la presin en un gas, o la onda emitida por las partculas elementales del tomo. Vectoriales: La magnitud tiene una direccin y un sentido. Ondas longitudinales: El movimiento de las partculas que transporta la onda es paralelo a la direccin de propagacin de la misma. Por ejemplo, el sonido. Ondas transversales: Las partculas se mueven perpendicularmente a la direccin de propagacin de la onda. Por ejemplo, las ondas electromagnticas (son ondas transversales perpendiculares entre s).

En funcin de su periodicidad Ondas peridicas: La perturbacin local que las origina se produce en ciclos repetitivos por ejemplo una onda conoidal. Ondas no peridicas: La perturbacin que las origina se da aisladamente o, en el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen caractersticas diferentes. Las ondas aisladas se denominan tambin pulsos.

En funcin de su frente de onda Ondas unidimensionales: Las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola direccin del espacio, como las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una direccin nica, sus frentes de onda son planos y paralelos. Ondas bidimensionales o superficiales: Son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan tambin ondas superficiales. Un ejemplo son las ondas que se producen en la superficie de un lago cuando se deja caer una piedra sobre l. Ondas tridimensionales o esfricas: Son ondas que se propagan en tres direcciones. Las ondas tridimensionales se conocen tambin como ondas esfricas, porque sus frentes de ondas son esferas concntricas que salen de la fuente de perturbacin expandindose en todas direcciones. El sonido es una onda tridimensional. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mecnicas) y las ondas electromagnticas.

2. ELEMENTOS DE UNA ONDA SENOIDALUna onda sinusoidal es aquella para la cual las posiciones de los elementos del medio varan en forma sinusoidal. Una onda sinusoidal que viaja hacia la derecha se puede expresar con una funcin de onda

AMPLITUD (A): Es la distancia vertical entre una cresta y el punto medio de la onda. CRESTA: Es el punto ms alto de la amplitud o punto mximo de saturacin de la onda. PERIODO: Es el tiempo que tarda la onda de ir de un punto de mxima amplitud al siguiente. FRECUENCIA: Nmero de veces que es repetida la vibracin, en otras palabras, es una simple repeticin de valores por un periodo determinado. VALLE: Es el punto ms bajo de una onda. LONGITUD DE ONDA: Distancia que hay entre dos crestas consecutivas.

3. RAPIDEZ DE PROPAGACIN DE UNA PERTURBACINSe pueden observar ejemplos de movimiento ondulatorio en la vida diaria: el sonido producido en la laringe de los animales y de los hombres que permite la comunicacin entre los individuos de la misma especie, las ondas producidas cuando se lanza una piedra a un estanque, las ondas electromagnticas producidas por emisoras de radio y televisin, etc.Para el caso de la propagacin de las ondas en la superficie de un estanque (la superficie de un lquido en equilibrio es plana y horizontal). Supongamos que arrojamos un objeto a un estanque. Cuando el objeto entra en contacto con la superficie del agua se produce una perturbacin de su estado fsico. Una perturbacin de la superficie produce un desplazamiento de todas las molculas situadas inmediatamente debajo de la superficie. Teniendo en cuenta las fuerzas que actan sobre los elementos de fluido: peso del fluido situado por encima del nivel de equilibrio y la tensin superficial, se llega a una ecuacin diferencial, a partir de la cual se puede calcular la velocidad de propagacin de las ondas en la superficie de un fluido.

DESCRIPCIN DE LA PROPAGACIN

Consideremos una funcinY=f(x), si reemplazamosxporx-a, obtenemos la funcin Y=f(x-a). La forma de la curva no cambia, los mismos valores se obtienen deYpara valores dexaumentados ena. Siaes una cantidad positiva, la curva se traslada sin cambiar de forma hacia la derecha desde el origen a la posicina. Del mismo modoY=f(x+a) corresponde a un desplazamiento de la funcin hacia la izquierda, en la cantidada.Sia=vt, dondetes el tiempo, la funcin "se desplaza" con velocidadv.Y=f(x-vt) describe la propagacin de una perturbacin representada por la funcinf(x), sin distorsin, a la largo del eje X, hacia la derecha, con velocidadv.

ECUACION DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO

Cada vez que conozcamos que una propiedad fsicaY, por ejemplo el desplazamiento de un punto de una cuerda, satisface la ecuacin diferencial

podemos estar seguros que estamos describiendo un movimiento ondulatorio que se propaga a lo largo del eje X, sin distorsin y con velocidadv.Podemos comprobar que una solucin de esta ecuacin diferencial esY=f(x-vt).

4. ECUACIN GENERAL DE UNA ONDA VIAJERA

La solucin general puede escribirse como la suma de dos funciones arbitrarias:

La primera funcin representa una onda progresiva, o tambin llamada viajera, que se propaga con velocidad hacia la izquierda, y la segunda funcin representa otra onda progresiva que se propaga hacia la derecha con la misma velocidad. En general, la velocidad de propagacin de una onda es la velocidad a la que vara la fase de la onda. Con esto, para determinarla basta la condicin

Y obtenemos las velocidades

As, la primera fase se propaga hacia la izquierda y la segunda fase hacia la derecha. La naturaleza de las funciones es arbitraria. Pueden ser funciones sinusoidales o pueden describir pulsos de onda. De hecho, las dos funciones siempre pueden escogerse de forma que su suma represente cualquier estado inicial de desplazamiento y velocidad , siendo la velocidad de oscilacin vertical del punto del medio material que soporta la onda situada en la coordenada X.

5. ONDAS SENOIDALES VIAJERAS

5.1. ECUACION GENERAL DE UNA ONDA SENOIDAL VIAJERA

En el origen del movimiento (x=0) la elongacin vendra dada por la ecuacin del Movimiento Armnico Simple (M.A.S) que origina la onda:

es la frecuencia angular o pulsacin, es la frecuencia, es la amplitud del Movimiento Vibratorio Armnico Simple que origina la onda.Si consideramos un punto cualquiera del medio donde se propaga la perturbacin, distante del origen una longitud x, al que llega la vibracin despus de un tiempo t, tendremos que la ecuacin que caracteriza el movimiento de este punto (movimiento en la vertical, elongacin) ser:

Ya que este punto a comenzado a vibrar t segundos ms tarde.Por razones obvias es interesante expresar t en funcin de la distancia x que ha tenido que recorrer la perturbacin hasta situarse en este punto, con lo que llamando v a la velocidad de propagacin de la onda queda que: ya que

Teniendo en cuenta que (PERIODO) es el tiempo que tarda en pasar lo que se denomina una LONGITUD DE ONDA , que es la mnima distancia a la que se repite la forma de la onda (distancia entre dos puntos consecutivos de la onda que estn en fase), entonces, como , queda:

Que es la ECUACIN DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO UNIDIRECCIONAL, o lo que es lo mismo la ECUACIN DE UNA ONDA PROGRESIVA O VIAJERA SENOIDAL.

6. ONDAS VIAJERAS EN UNA CUERDA TENSA

6.1. CLCULO DE LA RAPIDEZ DE UN PULSO EN UNA CUERDA

Se determinar la velocidad del movimiento ondulatorio generado en una cuerda tensa cuando en uno de sus extremos se produce una perturbacin transversal. Se comprueba experimentalmente que si la cuerda es uniforme y homognea, el pulso viaja a una velocidad constante.Para este anlisis se considerar que la onda transversal viaja hacia la derecha por la cuerda con una velocidad de mdulo y consideramos un sistema de referencia que se mueve en la misma direccin de la perturbacin y con la misma velocidad respecto de la tierra. Para un observador ubicado en este sistema la cuerda se mover hacia la izquierda con una rapidez pasando a travs de una superficie que tiene la forma de un montculo.

Analicemos una porcin de cuerda de longitud L que pasa a travs de un montculo. Un arco de longitud L suficientemente pequeo es el arco de una circunferencia de radio R. Las fuerzas externas que actan sobre el elemento de cuerda son las fueras de tensin T tangentes a la cuerda como se muestran en la figura mostrada arriba (supondremos que la fuerza gravitacional es pequea en comparacin con la tensin de la cuerda). Los componentes horizontales de T se equilibran ya que la velocidad horizontal es constante. Las componentes verticales se suman y su suma es la fuerza resultante sobre ese elemento de cuerda. Del diagrama vemos que:

Donde m es la masa del elemento de cuerda y es el ngulo central subtendido por esta.Como para ngulos lo suficientemente pequeos el seno de un ngulo (en radianes) es aproximadamente igual al valor de este ngulo, se cumplir en este caso que es aproximadamente igual a :

Tambin como , entonces:

De donde simplificando y haciendo que la suma por unidad de longitud (m/L), es decir, la densidad lineal de masa, sea igual a , tenemos que:

Donde: T= Tensin de la cuerda (es una fuerza) = Densidad lineal de la cuerda m= masa de la cuerda L= Longitud de la cuerda

Como se puede apreciar, la velocidad de propagacin de una onda transversal en una cuerda tensa no depende de su frecuencia, ni de su longitud de onda, ni de su amplitud.En general, las expresiones para determinar la velocidad de propagacin de una perturbacin mecnica, depende si el medio es slido, lquido o gas, pero todas tienen la siguiente forma:

6.2. POTENCIA Y ENERGIA TRANSMITIDA EN UNA CUERDA TENSACuando la onda se traslada por la cuerda, aporta energa necesaria para producir el desplazamiento de cada elemento. La energa que se transmite por unidad de tiempo es la potencia.Puesto que la onda se propaga una longitud de onda en el tiempo de u periodo, la potencia se obtiene multiplicando la energa de un elemento unitario por la velocidad. Si es la masa del elemento con longitud unidad su energa tiene el valor de la ENERGA CINTICA MXIMA y viene dada por:

Donde la velocidad mxima se obtiene derivando el desplazamiento:

La POTENCIA transmitida por una onda armnica:

Y resulta proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia

7. ONDAS ESTACIONARIAS

Lasondas estacionariasson aquellas ondas en las cuales, ciertos puntos de la onda llamados nodos, permanecen inmviles.Las ondas estacionarias no son ondas viajeras sino que diferentes maneras de vibracin.Una onda estacionaria se forma por lainterferencia de dosondasde la misma naturaleza con igual amplitud,longitud de onda(ofrecuencia) que avanzan en sentido opuesto a travs de un medio.Se producen cuando interfieren dos movimientos ondulatorios con la misma frecuencia, amplitud pero con diferente sentido, a lo largo de una lnea con una diferencia de fase de media longitud de onda.Las ondas estacionariaspermanecen confinadas en un espacio(cuerda, tubo con aire, membrana, etc.). La amplitud de laoscilacinpara cada punto depende de su posicin, la frecuencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas que interfieren. Tiene puntos que no vibran (nodos), que permanecen inmviles, estacionarios, mientras que otros (vientres o antinodos) lo hacen con una amplitud de vibracin mxima, igual al doble de la de las ondas que interfieren, y con una energa mxima. El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos. La distancia que separa dos nodos o dos antinodos consecutivos es media longitud de onda.

7.1. INTERPRETACION DE LA ECUACIN DE UNA ONDA ESTACIONARIAUn caso interesante de interferencia de ondas surge cuando interfieren dos ondas idnticas que se propagan en sentidos contrarios (lo que sucede, por ejemplo, cuando la onda reflejada y el incidente se encuentran). Podemos obtener la onda resultante realizando la suma de las ondas que interfieren:

El anlisis del resultado obtenido nos muestra que hemos obtenido la ecuacin de un MAS en el que la amplitud depende de la distancia al origen (x):

La onda resultante de la interferencia hace que los puntos vibren arriba y abajo, unos con mayor amplitud, otros con menor, algunos con amplitud nula, pero en situacin estacionaria. La energa no se transmite de unos a otros como en las ondas. Por eso la onda resultante recibe el nombre de onda estacionaria.Los puntos de amplitud nula reciben el nombre de nodos y estarn situados a una distancia de:

La amplitud tendr su valor mximo (vientre) cuando el seno adquiera su valor mximo:

Los vientres de una onda estacionaria se localizan a distancias iguales a un nmero impar de cuartos de la longitud de onda.

Observar que la onda correspondiente a la ecuacin tiene un nodo en el origen (x =0) ,

7.2. MODOS NORMALES DE VIBRACINLa formacin de ondas estacionarias e una cuerda se debe a la suma (combinacin lineal) de infinitos modos de vibracin, llamados modos normales, los cuales tienen una frecuencia de vibracin dada por la siguiente expresin (para un modo n):

Donde es la velocidad de propagacin, normalmente dada por , para una cuerda de densidad y tensin .La frecuencia ms baja para la que se observan ondas estacionarias en una cuerda de longitud L es la que corresponde a n=1 en la ecuacin de los nodos, que representa la distancia mxima posible entre dos nodos de una longitud dada. Esta se denomina frecuencia fundamental, y cuando la cuerda vibra de este modo no se presentan nodos intermedios entre sus dos extremos.La siguiente posibilidad de la ecuacin, el caso n=2, se llama segundo armnico, y presenta un nodo intermedio.

(Modos normales de vibracin en una cuerda)8. ONDAS SONORASUnaonda sonoraes unaonda longitudinalque transmite lo que se asocia consonido. Si se propaga en un medio elstico y continuogenera una variacin local depresinodensidad, que se transmite en forma deonda esfricaperidica o cuasiperidica. Mecnicamente las ondas sonoras son un tipo deonda elstica.Las variaciones de presin, humedad o temperatura del medio, producen el desplazamiento de lasmolculasque lo forman. Cada molcula transmite la vibracin a las que se encuentren en su vecindad, provocando unmovimientoen cadena. Las diferencias de presin generadas por la propagacin del movimiento de las molculas del medio, producen en el odo humano una sensacin descrita como sonido.

8.1. RAPIDEZ DE LAS ONDAS SONORAS

La rapidez de las ondas en un medio depende de la compresibilidad y de la densidad del medio; si ste es un lquido o un gas y tiene un mdulo volumtrico B y densidad , la rapidez de las ondas sonoras en dicho medio es de:de Young Y y de la densidad " ".

La rapidez del sonido depende del tipo de material en el que se encuentra. En la siguiente tabla se muestra la rapidez del sonido en distintos tipos de materiales.

GASES:

MedioVelocidad (m/s)

Hidrgeno1286

Helio972

Aire (20 C)343

Aire (0C)331

Oxgeno31

LIQUIDOS A 25C:

MedioVelocidad (m/s)

Glicerol1904

Agua de mar1533

Agua1493

Mercurio1450

Queroseno1324

Alcohol metlico1143

Tetracloruro de mercurio926

SOLIDOS:

MedioVelocidad (m/s)

Vidrio Pyrex5640

Hierro5950

Aluminio6420

Latn4700

Cobre5010

Oro3240

Lucita2680

Plomo1960

caucho1600

8.2. INTENSIDAD, POTENCIA Y ENERGIA DE LAS ONDAS SONORAS PERIDICAS

Se denomina intensidad sonora a la cantidad de energa por unidad de tiempo (Potencia) acstica transferida por una onda sonora por unidad de rea (A) perpendicular a la direccin de propagacin.Por lo tanto, la intensidad de una onda sonora es:

As veremos que la intensidad de una onda sonora peridica es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia.Esta intensidad tambin se puede escribir en funcin de la presin mediante la siguiente expresin:

La potencia es:

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