Teoria Dos Fractais

8/2/2019 Teoria Dos Fractais

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Fractais

Fernando R. Secco, Tatiane T. Rocha

Trabalho da disciplina Teoria da Computação

Prof. Jorge M. Barreto

Curso Ciência da Computação - 2003.2

Universidade Federal de Santa Catarina

{secco, tatiane}@inf.ufsc.br13 de abril de 2004

Resumo

Neste trabalho iremos apresentar um resumoda teoria dos fractais. Aqui procurar-se-ámostrar a definição de fractais, o que elesrepresentam na natureza, seus os principais

autores, pesquisas desenvolvidas, descobertasimportantes e possíveis aplicações.

Palavras-chave: fractais, conjuntos deJulia, conjuntos de Mandelbrot, curva deKoch.

1 Introdução

Na geometria somos acostumados a descrever

as coisas através de suas formas regularesretas, circunferências, cones etc. Mas serámesmo que uma nuvem formada por esferas,uma montanha formada por cones e conti-nentes por circunferências?Existem alguns comportamentos na naturezaque são tão irregulares, tão sem-forma que fo-gem completamente da geometria Euclidiana,

que é a geometria por nós conhecida. Essasformas na geometria chamadas de amorficas,na geometria euclidiana, foram estudadase analisadas por vários pesquisadores e em1960, Benoit B. Mandelbrot, apresentou umaposição concreta sobre o que seriam essas

“não-formas”. Refazendo alguns estudosnessa área e conhecendo idéias de outrosautores apresentou estudos sobre fractaiscriando assim a teoria dos fractais.

Fractais caracterizam-se por terem umaaparência confusa e bagunçada mas quandoolhadas matematicamente sua análise denotafiguras regulares e apresentam comportamen-tos curiosos como o de se assemelharem a elas

mesmas quando observadas de diferentes es-calas de tamanho.O objetivo desse estudo é mostrar o que sãofractais, a matemática por traz deles, os prin-cipais autores e aplicações baseadas em frac-tais . Para apresentar a teoria de fractais ire-mos inicialmente citar algumas teorias impor-tantes que aparecem inclusas na teoria dos

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fractais como números complexos, teoria do

caos, curva de Koch entre outros.

2 Números Complexos

Para que possamos entender a teoria de frac-tais e conjuntos de Mandlebort precisamosantes de mais nada entender de números com-plexos. Abaixo segue uma explicação sim-ples sobre o que são e como são representadosnúmeros complexos.

2.1 O que são números com-

plexos?

Números complexos são números que pos-suem características especiais, um poucodiferente dos números que nos deparamosdiariamente. Eles possuem uma parte real

e parte imaginária. A parte real é formadapor números comuns, como, por exemplo

1, 2, 50. A parte imaginária é um númerocomum multiplicando um número i, estechamado de imaginário. Assim um númerocomplexo pode ser 2 + 3i por exemplo, partereal mais parte imaginária. A origem destenome imaginário vem do fato de que nenhumnúmero real multiplicado por ele mesmo poderesultar em um número negativo, ou seja,não é possível obter-se a raíz quadrada deum número imaginário expressa em númerosreais [MATH2] ou em outras palavras não

é possível obter-se a raíz quadrada de umnúmero negativo.

O número i é definido como sendo a raízquadrada de -1, logo i =

√−1. Assim épossível obter-se raízes de números negativoscomo segue:

√−9 =√

9 ∗ −1 = 3√−1 =

3i.

2.2 Representação de números

complexos no plano

Para representar os números reais precisamosde uma linha de uma dimensão chamada de“linha dos números reais”. Para separar osnúmeros reais em negativos e positivos us-amos a origem ( o zero ) como limitador. As-sim os números negativos ficam a esquerda daorigem e os positivos a direita da origem.

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

positivosnegativos

Figura 1: reta dos reais

Já para os números complexos precisamoster duas dimensões: a que representa a reta dosreais e a que representa a reta dos imaginários.

5i

4i

3i

2i

1i

−1i

−2i−3i

−4i

−5i

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 R

I

Figura 2: reta dos imaginarios (y) reta dosreais (x)

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3 A teoria do Caos

O que é o caos? A definição de caos segundoo dicionário é turbulência, aleatoriedade nãodesejada, falta de ordem entre outros termos.Mas a teoria do Caos pode ser vista comoum universo com sistemas extremamente sen-síveis as condições iniciais. Sistemas caóti-cos são indeterminísticos e é muito difícil pr-ever seus resultados. Seu comportamento nãoé periódico portanto não se tem a expressãodescrevendo o estado do sistema.

3.1 Instabilidade inicial de um sis-

tema

A teoria do caos foi, formalmente, descobertaprimeiramente pelo metereologista EdwardLorenz em 1960. Lorenz, querendo rever umade suas seqüências, usara 3 casas decimais deprecisão ao invés de 6 casas decimais. O aevolução da série foi completamente diferente

da original. Este efeito é conhecido tambémcomo efeito borboleta [IS].

Figura 3: Ao mudar a precisão em 1000vezes Lorenz defronta-se com instabilidadenumérica

Este fenômeno é comum na teoria do Caos

mostra o comportamento de um sistema que

é sensível as condições iniciais. Uma simplesalteração nestas condições pode levar o experi-mento a ter um resultado completamente difer-ente do esperado. Essas pequenas alteraçõespodem ser causadas por ruídos no ambiente ouproblemas com o equipamento e não podemser evitadas.

3.2 Aspiral dupla e Replicação

Lorenz concluiu que não havia como afirmar

as condições do tempo. Então começou aprocurar um sistema simples que possuía sen-sibilidade as condições iniciais. A principioesse sistema era composto por doze equaçõese foram simplificadas até ter-se três equações.O resultado dessas equações parecem ser com-pletamente aleatórios, mas quando plotadoscriam uma espiral dupla.

Figura 4: Aspiral dupla encontrada quandocoloca-se os pontos em um gráfico

Outro exemplo de um sistema caótico é

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encontrado na biologia na análise do cresci-

mento populacional. Em teoria o resultado daequação sempre cresceria, mas os predadorescausam instabilidade no sistema. A equaçãovaria entre 0 e 1 onde 0 é extinção e 1 apopulação máximo, r é a taxa de crescimento, pp é o crescimento populacional e pa é apopulação atual. Assim temos:

pp = r ∗ pa(1 − pa)

O biologista Robert May fez experimentoscom a equação de crescimento a fim deverificar o seu comportamento a medida emque a população crescia. Utilizando r = 2.7o pp ficava em .6296. Na medida em quea r aumentava, o pp tenderia a aumentartambém. Mas quando chegou ao valor 3a linha de crescimento se partiu em duas,ou seja, a população se separaria em duas.Fazendo r = 4 a linha se partiu em 4 e assimquanto maior o grau de r mais rápido rápido a

população se bifurcava até o caos aparecer.

Figura 5: Gráfico do crescimento popula-cional quando r ≥ 4

Mas o caos criado pelo crescimento quando

observado de maneira mais minuciosa apre-

senta espaços em branco. Quando observa-se os espaços em branco é possível verificarque eles revelam pequenas janelas de ordemno gráfico. É possível ver as curvas crescendonovamente e bifurcando-se e então retornandoao caos. Este fato mostra que o gráfico possuipequenas cópias dele mesmo inseridas no seuinterior.

4 Fractais

A palavra “fractal” vem da junção daspalavras Latinas fractus que significa “irreg-ular”e frangere que significa ”quebrar” e apronuncia correta é “frac’tal”.Fractais são comumente conhecidos por seremgeradores de figuras , aparentemente, irreg-ulares. Mas também possuem muitas outrasaplicações científicas tais como compressãode dados, simulação de filmes, análise de

pulsos elétricos no cérebro e dos batimentoscardíacos, estudos demográficos entre outros.

A geometria de fractais é relativamentenova, mas teorias de conjuntos de dimen-sões fractais e equações não-lineares diferen-ciais datam de mais de um século [MATH4][MANDELBROT]. Os fractais foram real-mente reconhecidos quando Mandlebort con-seguiu juntar tanto os estudos nessa áreaquanto seus estudos provando que existia reg-

ularidade por tráz das figuras , aparente-mente, amorficas. Um importante recursoutilizado por Mandelbrot foi o computador.Através dele foi possível fazer as simulaçõesnecessárias, algo que os matemáticos ante-riores a ele não possuíam. Vale lembrarque fractais são praticamente impossíveis deserem gerados sem recursos computacionais

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devido a quantidade quase infinita de paços de

iterações que estes necessitam.Nesta seção ira-se montar os estudos maisimportantes na área de fractais, seus descobri-dores e teorias existentes.

4.1 Similaridade-própria ou Auto-

similaridade

No espaço euclidiano uma dada escala r ,onder > 0, determina a transformação que é

chamada similaridade. Essa transforma oponto x = (x1, ...xn) no ponto r(x) =(rx1, ...rxn) e o conjunto S em r(S ). Abaixosegue uma explicação simplificada do queseriam conjuntos auto-similar. A definiçãode auto-similaridade e outros conceitos rela-cionados é encontrada em [HUTCHINSON].Um conjunto é dito auto-similar se:

• Dado um conjunto limitado S, com es-cala r e um inteiro N , S é a união de N

sem sobreposição e congruente (idênti-cos exceto pelo deslocamento e rotação),r(S ), r ∈ R | S > 0, S i

S j ∧

S i

S j = 0.

• Dado um conjunto limitado S, com umvetor de escalas r1, r2....rn, S é a uniãode N sem sobreposição e congruentern(S ), r ∈ R |S > 0, S i

S j ∧

S i

S j = 0.

• Dado um conjunto ilimitado s, com es-cala r , r(S) é congruente a S, r(S )

S .

4.2 Conjuntos de Cantor

Matemático alemão da Universidade de Halle,onde desenvolveu a Teoria dos Conjuntos. ATeoria dos Conjuntos é uma das mais notáveis

inovações matemáticas dos últimos séculos.

Ao distinguir números algébricos e transcen-dentais (número irracional), Cantor encontroua maneira de comparar os tamanhos de con-

juntos infinitos, mostrando que o conjunto detodos os números é maior do que o conjuntodos números algébricos. Encarar totalidades, enão objetos individuais ( números, pontos oufunções ), foi uma das inovações de Cantor,revelando-se que as totalidades possuem pro-priedades que não são partilhadas pelos obje-tos dessas totalidades. Em 1873, ele provou

que os números racionais podem ser colo-cados em correspondência biunívoca com osnúmeros naturais. Em 1874, Cantor demon-stra que a classe de todos os números al-gébricos é enumerável; em 1878 apresenta re-gra para construir classe não enumerável denúmeros reais. Entre as conseqüências dosestudos de Cantor está a de que existem to-talidades que não são eqüipotentes, podendoum conjunto infinito ser colocado em corre-

spondência com uma de suas partes próprias.E Peitgen ([PETGEN1] , p79) exalta a im-portância de Cantor dizendo: “It is probablyfair to say that in the zôo of mathematicalmonsters ? or early fractals ? the Cantor setis by far the most important.” Pois através doseu modelo é que foram derivados os modelosposteriores, como por exemplo o de Julia.

Figura 6: Sucessivas divisões de um segmentode reta formando um conjunto de Cantor

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4.3 Função de Weierstrass

A função de Weierstrass é a soma da série:f (x) =

∞

k=1sin(Πk2x)

Πk2

que é uma função contínua em R mas não é de-rivável em nenhum ponto de R , [MANDEL-BROT].

A figura gerada pela plotagem do gráfico éuma função que possui similaridade-prórpia, ena medida que nos aproximamos dela isso setorna mais nítido.

Figura 7: Função diferenciável e não derivávelem nenhum ponto

4.4 Triângulo de Pascal

Blaise Pascal (1623 - 1662) - matemático e

cientista francês. O qual em 1654 divul-gou o Triângulo de Pascal. Triângulo dePascal - É um quadro de forma triangularonde são dispostos, sucessivamente e de cimapara baixo, os coeficientes das expansões de :

n!r!(n−r)!

≡

n

r

aonde

n

r

é um coeficiente

binomial também conhecido como combi-nação com visto em [MATH4]. O resultado

é um quadro triangular que cresce indefinida-

mente para baixo e cujas cinco primeiras lin-has são mostradas na figura abaixo:

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1 3 6 10 15

1 4 10 20 35

1 5 15 35 70

Figura 8: Triângulo de pascal no quadro trian-gular

4.5 Triângulo de Sierpinski

Waclaw Sierpinski (1882 - 1969) - matemáticopolonês, que foi professor em Lvov e Warsaw.Em 1915 descreveu o Triângulo de Sierpinski.Este triângulo é obtido como limite de um pro-cesso recursivo. Para começar o processo par-timos de um triângulo equilátero. Em seguida

unem-se os pontos médios de cada lado dotriângulo, formando 4 triângulos cujos ladosestão ligados. Retira-se agora o triângulo cen-tral. A recursão consiste em repetir indefinida-mente o procedimento anterior em relação acada um dos triângulos obtidos. O Triân-gulo de Sierpinski tem várias propriedades cu-riosas como a de ter tantos pontos como odo conjunto dos números reais, ter área iguala zero, ser auto-semelhante (isto é, uma pe-quena porção do triângulo é idêntica ao triân-

gulo todo a menos de uma escala adequada) enão perder a sua definição inicial à medida queé ampliado..

4.6 Curva de Koch

Helge von Koch (1870 - 1924) - matemáticosuíço. Em 1904 introduziu a Curva de Koch.

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Figura 9: Triângulo de Sierpinski após de niterações

A Curva de Koch é uma forma fractal clás-sica simples de ser entendida. Partindo de umtriângulo equilátero divide-se cada lado emtrês segmentos. Os segmentos intermediáriossão então substituídos por dois segmentossemelhantes que vêm a formar os lados de umtriângulo equilátero menor. Isto resulta numafigura na forma de uma estrela com 12 lados(6 pontas). Realizando o mesmo processo emcada um dos 12 lados e assim sucessivamenteobtém-se uma figura em evolução constanteque lembra um floco de neve. O comprimentototal do contorno da figura - a soma de todosos lados - cresce à medida que se realizam su-cessivas divisões. Após infinitas divisões, seucomprimento será também infinito. No en-tanto a sua área será sempre menor do que aárea de um círculo em torno do triângulo orig-

inal. No limite, trata-se de uma linha infinita-mente longa que delimita uma área finita.

4.7 Conjuntos de Julia

Pierre Fatou (1878-1929) e Gaston Julia(1893-1978) utilizaram métodos iterativos épossível fazer o estudo de fractais. Dadas as

Figura 10: Curva de Koch, da esquerda para a

direita, quatro iterações e abaixo infinitas iter-ações

funções x → f (x) = z2 − µ | µ = λ, 4 − λ, w

e z → f (x) = z2 − µ | z = x + iy ∧ z, i ∈I a técnica consiste na geração do gráficopara um dado λ ∈ R e então escreve-se estepasso numa árvore e o processo é repetido in-definidamente. Enquanto Fatou utiliza µ ∈ R,Julia utiliza um µ

∈R

| {µ > 0 < µ

}e en-

tão um µ ∈ I . O método iterativo consiste nosseguintes passos, dado um µ a cada iteraçãomantém-se o µ fixo e modifica o valor de Z

como explicado em [MATH3] e [MANDEL-BROT] página 183.

Assim um conjunto de Julia é um conjuntode pontos, gerados por cada nova iteração, quese aproximam infinitamente mas nunca se to-cam.

Ao plotarmos o gráfico com um conjunto de

Julia temos:

4.8 Conjuntos de Mandelbrot

Bertold B. Mandelbrot reolvera refazer todosos estudos de Julia pois este não havia gostadodos estudos que Julia havia feito. QuandoMandelbrot terminou sua pesquisa chegou

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Figura 11: uma surpresa quando a amostra demilhões de pontos é plotada

a mesma conclusão que Gaston Julia havia

chegado. Por ser um modelo mais simplesque o de Julia e por possuir recursos com-putacionais, Mandelbrot conseguiu fazer deseu trabalho o berço da teoria dos fractaise também foi possível encontrar relação dotrabalho de outros pesquisadores ( Koch,Julia, Cantor, entre outros ), com o seu.

Conjuntos de Mandelbrot é o domínio deconvergência da série dos números complexos

obtidos através da equação Z n+1 = Z n2

+ C .Onde a variável C permanece constante en-tretanto Z vai variando durante o processo.Na medida em que interagimos com Z , duascoisas podem ocorrer: ou Z ≤ 2 para qual-quer valor dado ou Z > 2. Caso Z supere ovalor 2 o número C não faz parte do conjuntode Mandlebort. Em outras palavras, se esseponto permanecer próximo à origem ( Z < 2) ele pertence ao conjunto de Mandelbort, sesair das proximidades da origem e tender ao

infinito ele não pertence ao conjunto.É possível saber se uma dado número C

pertence ou não a esse conjunto verificandosua magnitude, a sua distância até origem.Para obter-se a magnitude de um dado pontoaplicando-se o teorema de Pitágoras: D2 =A2 + B2 logo, D =

√A2 + B2, onde D é a

magnitude.

A

BD

I

R

Figura 12: reta dos imaginários em y, reta dosreais em x, e D é a magnitude

Em [MANDELBROT] Mandelbrot defineseu conjunto da seguinte maneira: “Conjun-tos de Mandelbrot marcam os pontos no planocomplexo para os quais o conjunto de Julia éconexo (pode ser separado em dois subconjun-tos que possuam ao menos um elemento), enão computável .”

Ao plotar uma amostra de milhões de pon-tos de um número do conjunto de Mandlebortobtemos:

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Figura 13: uma surpresa quando a amostra demilhões de pontos é plotada

Para os valores fora das proximidades daorigem, onde Z > 2 pode-se aplicar umacor. Essa cor serve para dizer o quão longe daorigem esse ponto se encontra. Quanto mais

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rápido a série convergir para o infinito maior

é sua velocidade de escape e mais quente é acor aplicada a este ponto ao contrário das coresmais próximas ao centro que recebem coresmais frias.

Figura 14: as cores mais quentes representampontos mais afastados da origem, enquanto ascores mais frias pontos mais próximos

4.9 Aplicações

Fractais tem sido usados para descrevermuitos aspectos da natureza . Biólogos uti-lizam fractais para investigar a influência dasuperfície irregular de proteínas nas iteraçõesmoleculares, matemáticos montam modelosde crescimento demográficos, modeladoresgráficos os utilizam para a geração de terrenose atmosferas. Fractais também podem ser usa-

dos na composição de músicas, compactaçãode imagens [ZHANG], Conjuntos de Man-dlebort são utilizados em aplicações paralelascomo benchmarks, criptografia, codificação edecodificação de audio e vídeo [Moha], entremuitas outras aplicações. Dimensões fractaistem sido utilizadas em geo-tecnologias para aclassificação de imagens e estudo de paisagens

[HOTT], estudo do comportamento da World

Wide Web (WWW).Por exemplo, o princípio básico da cod-

ificação baseada em fractais é aplicar algu-mas transformações em alguns segmentos (grandes ) da imagem. Algumas dessas trans-formações utilizam redundância na imagemem escalas diferentes. Utilizando-se do fatode que partes diferentes da imagem em es-calas diferentes são semelhantes. Pode-se en-tão reconstruir a imagem ( com perda ) uti-lizando somente os parâmetros da transfor-mação [ZHANG].

5 Conclusão

Fractais são uma outra visão da geometria domundo, uma nova maneira de ver e organizarvelhas coisas. Como sempre, as criações dohomem acabam refletindo em alguma coisa jáexistente na natureza, nesse caso, os fractais.

Os fractais da natureza não são tão perfeitoscomo os fractais gerados pelo homem, e porisso que por muitos séculos achava-se que es-sas formas naturais eram não pussuiam formasgeométricas.Muitas teorias foram criadas em cima dessasformas mas nunca consegui-se organizar asidéias a ponto de criar uma definição formalpara o que viria se tornar a teoria dos frac-tais. Mandelbrot foi o matemático que con-seguiu unir todos os fragmentos de idéias e

criar uma grande idéia, e esta deu origem àteoria de fractais. Um dos pontos importantede Mandelbrot foi o uso de computadores parafazer seus os cálculos e simulações algo muitopoderoso e que pode-se dizer que tenha tidouma grande chave em todos os seus estudos.Como fractais necessitam de muitas passos deiterações para serem gerados isso é pratica-

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mente impossível de ser feito de forma man-

ual, e com a ajuda do computador isso torna-se mais viável e o tempo de pesquisa é re-duzido em muito. Fractais podem ser usa-dos de tanto para geração de imagens colori-das quanto para desenhar terrenos complexos.Também é muito utilizado em várias áreas depesquisa como medicina e física, por exemplo,para explicar muitos fenômenos.

Referências[HOTT] Hott, Marcos C. et al. Apli-

cação da Relação Fractal Com-primento / Área em uma mi-crobacia hidrográfica.

[ZHANG] Ying Zhang, Lai-Man Po .Frac-tal Color Image CompressionUsing Vector Distortion Mea-sure. Proceedings ICIP-95.

[MOHA] Mohammad Gharavi-Alkhansari, Thomas S. Huang.Video Coding : The SecondGeneration Approach.

[MANDELBROT] Mandelbrot B.B, The Fac-tal Geomety of Nature. Up-dated Version. 1983. ISBN 0-7167-1186-9

[PEITGEN1] PEITGEN, Heinz-Otto; JÜR-GENS, Hartmut; SAUPE, Di-etmar. Fractals for the class-room. Springer-Verlag, NewYork, 1992.

[PEITGEN2] PEITGEN, Heinz-Otto;RICHTER, Peter H.. The

beauty of fractals. Springer-

Verlag, Berlin Heidelberg,1986.

[HUTCHINSON] HUTCHINSON,J.E; Frac-tals and the Self-similarity, In-diana university Mathematics,p. 16, 1981

[MATH1]http://www.emayzine.com/infoage/math/ math4.htm

[MATH2]http://www.olympus.net/personal/dewey/ mandelbrot.html

[MATH3]http://www.geocities.com/CapeCanaveral/2854/mandelbrot.html

[MATH4] http://mathworld.wolfram.com/

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