TEORIA DOS CONJUNTOS 1 – INTRODUÇÃO George Cantor (1845-1918) Em 1870 definiram e classificaram tipos diferentes de infinito. Richard Dedeking (1831-1916) Utilizaram-se da nova teoria criada por Cantor em 1872: teoria dos conjuntos. Objetivo: unificar a linguagem em todos os ramos da Matemática. 2 – CONCEITOS PRIMITIVOS São aceitos sem definição os conceitos conjunto e pertinência entre elemento e conjunto. Sinônimo de conjunto: coleção Símbolos utilizados entre elementos e conjuntos ∈ ; ∉ ã . Ex: Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto. Você é um elemento que pertence a esse conjunto. 3 – REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO Tipos de representação Nomes de conjuntos – letras maiúsculas = {1, 2, 3, 4} − çã Elementos dos conjuntos – letras minúsculas A 1 2 3 __ 4 = { ⁄ } é país da América do Sul – propriedade característica, significa: Enumerar todos os países da América do Sul. 4 – CONJUTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO = {5} – conjunto unitário – um único elemento = { ⁄ é ú 0.5 = 5} = ∅ - conjunto vazio – não há elemento que o represente. 5 – CONJUNTO FINITO E CONJUNTO INFINITO Conjunto das vogais – E = {a, e, i, o, u} – conjunto finito. Conjunto dos números naturais – N ={ 0,1, 2, 3, 4....} – conjunto infinito – não tem fim. 6 – SUBCONJUNTO Dados dois conjuntos e , ou mais, diz-se que o conjunto é subconjunto de , se e somente se, todos os elementos de B sejam também elementos de A, ou seja, que ⊂ (lê-se: á ). Exs: = {2, 5, 3} = {2, 5, 3, 8, 9} ã ⊂ = {2, 3, 5}; ã . = {2, 5, 3} = {2, 5, 7, 9} ã ⊄ (lê-se ã á ); ã, é, . : ⊂ á ; ⊄ ã á ; ⊅ ã é ; ⊃ é
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TEORIA DOS CONJUNTOS 1 – INTRODUÇÃO · Objetivo: unificar a linguagem em todos os ramos da Matemática. 2 – CONCEITOS PRIMITIVOS . ... Tipos de representação . Nomes de conjuntos
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TEORIA DOS CONJUNTOS
1 – INTRODUÇÃO
George Cantor (1845-1918) Em 1870 definiram e classificaram tipos diferentes de infinito.
Richard Dedeking (1831-1916) Utilizaram-se da nova teoria criada por Cantor em 1872: teoria dos conjuntos.
Objetivo: unificar a linguagem em todos os ramos da Matemática.
2 – CONCEITOS PRIMITIVOS
São aceitos sem definição os conceitos conjunto e pertinência entre elemento e conjunto.
Sinônimo de conjunto: coleção
Símbolos utilizados entre elementos e conjuntos ∈ 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒; ∉ 𝑛ã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒.
Ex: Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto. Você é um elemento que pertence a esse conjunto.
3 – REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO
Tipos de representação
Nomes de conjuntos – letras maiúsculas 𝐴 = {1, 2, 3, 4} − 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜 𝑡𝑎𝑏𝑢𝑙𝑎𝑟
Elementos dos conjuntos – letras minúsculas A 1
2 3 __ 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑛𝑛
4
𝐴 =
{𝑥 𝑥⁄ 𝑡𝑒𝑚 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝 } 𝑥 é país da
América do Sul – propriedade característica, significa:
Enumerar todos os países da América do Sul.
4 – CONJUTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO
𝐵 = {5} – conjunto unitário – um único elemento
𝐶 = {𝑥 𝑥⁄ é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒 0.5 = 5} = ∅ - conjunto vazio – não há elemento que o represente.
5 – CONJUNTO FINITO E CONJUNTO INFINITO
Conjunto das vogais – E = {a, e, i, o, u} – conjunto finito.
Conjunto dos números naturais – N ={ 0,1, 2, 3, 4....} – conjunto infinito – não tem fim.
6 – SUBCONJUNTO
Dados dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, ou mais, diz-se que o conjunto 𝐵 é subconjunto de 𝐴, se e somente se, todos os
elementos de B sejam também elementos de A, ou seja, que 𝐵 ⊂ 𝐴 (lê-se: 𝐵𝑒𝑠𝑡á 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝐴).
3) Dos 180 funcionários que trabalham no escritório de uma empresa, precisamente: 108 falam inglês 68 falam espanhol 32 não falam inglês nem espanhol.
Quantos funcionários desse escritório falam as duas línguas¿ R: 2810 –
10 – CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS – N N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} ou seja, N* = N – {0} Números consecutivos, antecessor e sucessor. Se n é um número natural, então n+1 é um número natural tal que: n e n +1 são consecutivos; n é o antecessor de n + 1; n + 1 é o sucessor de n. Ex: 3 e 4 são consecutivos; 3 é o antecessor de 4; e 4 é o sucessor de 3. PROPRIEDADES DOS NÚMEROS NATURAIS 1 – Todo número natural tem um sucessor. 2 – A soma de dois números naturais quaisquer é um número natural 3 – O produto de dois números naturais quaisquer é um número natural
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z OBSERVE O BALANCETE DE UM CONDOMÍNIO
Assim dizemos que o condomínio arrecadou 200 reais a menos a menos do que gastou. O saldo desse mês foi negativo.
𝑍 = {… , −4, −3, −2, −1,0,1,2,3, 4, … } Subconjuntos de Z
𝑧 ∗ = {… , −4, −3, −2, −1,1,2,3,4, . . } é o conjunto dos números inteiros não nulos 𝑍+ = {0, 1,2, 3,4,5,6 … } é o conjunto dos números inteiro não negativos 𝑧 +
∗ = {1,2,3,4, … } é o conjunto dos números positivos 𝑍− = {… , −4, −3, −2, −1} é o conjunto dos números inteiros não positivos 𝑧−
∗ = {… − 4, −3, −2, −1} é o conjunto dos números inteiros negativos Número par
Um número é par se, e somente se, pode ser representado sob a forma de 2n, com 𝑛𝜖 𝑧. Exs: O número 6 é par, pois pode ser representado por 2.3, e 3 ∈ 𝑍. O número – 8 é par, pois 2. (– 4), e – 4 ∈ 𝑍. Um número inteiro é ímpar se, e somente se, pode ser representado sob a forma 2n +1, com 𝑛 ∈ 𝑍. Exs: O número 11 é ímpar, pois pode ser representado por 2.5 +1, e 5 ∈ 𝑍. O número – 15 é ímpar, pois pode ser representado por 2.(– 8) +1, e – 8∈ 𝑍.
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS 1 – Sendo P o conjunto dos números inteiros pares e I o conjunto dos números inteiros ímpares, respectivamente, temos: 𝑃𝑈𝐼 = 𝑍 e 𝑃 ∩ 𝐼 = ∅. 2 – Todo número inteiro tem sucessor e antecessor.
3 – A soma de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro.
4 – A diferença entre dois números inteiros quaisquer é um número inteiro.
5 – O produto de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro.
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q NÚMERO RACIONAL é todo aquele que pode ser representado por uma razão entre dois números inteiros , sendo o segundo não nulo.
𝑄 = {𝑎
𝑏𝑎 ∈ 𝑧⁄ 𝑒 𝑏 ∈ 𝑧∗}
Exs: 3
7 ,
−4
9,
3
5,
12
6 e também os números: 0,3 ; 1,5; 0,33333. . ..; são racionais (Q).
Obs: os números racionais são representados por frações, números decimais exatos ou dízimas periódicas (representação decimal infinita, mas periódica).
𝑄 ∗ é o conjunto dos números racionais não nulos.
𝑄+é o conjunto dos números racionais não negativos. 𝑄+
∗ é o conjunto dos números racionais positivos. 𝑄−é o conjunto dos números racionais não positivos. 𝑄−
∗ é o conjunto dos números racionais negativos. PROPRIEDADES DOS NÚMEROS RACIONAIS
1 – A soma de dois números racionais quaisquer é um número racional.
2 – A diferença de dois números racionais quaisquer é sempre um número racional.
3 – O produto de dois números racionais quaisquer é um número racional.
4 - O quociente de dois números racionais quaisquer, sendo o divisor diferente de zero, é um número racional.
NOTA: Todo número racional é inteiro, pois pode ser representado sob a forma de razão entre dois inteiros.
𝑁 ⊂ 𝑍 ⊂ 𝑄
Q
Z
N
NÚMERO IRRACIONAL – 𝑄´
Número irracional é todo número que , na sua forma decimal, é uma dízima não periódica.
𝑄´ = {𝑥\𝑥 é 𝑑í𝑧𝑖𝑚𝑎 𝒏ã𝒐 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎}
Exs: √2 , √3
, √11, 𝜋 , … ou seja, números resultantes de raízes não exatas, e também, aqueles que não podem ser representados como uma razão de dois números inteiros.
OBS: √17
∉ 𝑄`, pois √17
= 1 e 1 é inteiro.
√8 3
∉ 𝑄´, pois √83
= 2 e 2 é inteiro. PROPRIEDADES DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
1 – Sejam 𝑛 e 𝑎 números naturais, com 𝑛 ≠ 0. Se √𝑎𝑛
não é inteiro, então √𝑎𝑛
é irracional. 2 – A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional.
1 + √2 = 1 + 1,414213562 … = 2,414213562 … 𝑞𝑢𝑒 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙. 3 – A diferença entre um número racional e um número irracional, em qualquer ordem, é um número irracional.
2 − 𝜋 = 2 − 3,14159265 … = −1,14159265 … 𝑞𝑢𝑒 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙. 4 – O produto de um número racional não nulo por um número irracional é um número irracional.
2. √3 = 2√3 = √12 𝑞𝑢𝑒 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙. 5 – O quociente de um número racional não nulo por um número irracional é um número irracional.
12: √6 =12
√6 =
12√6
6= 2√6 = √24 𝑞𝑢𝑒 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙.
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS – R
Qualquer número racional ou número irracional é chamado de número real. 𝑅 = {𝑥\𝑥 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙} ou 𝑅 = 𝑄 𝑈 𝑄´
𝑅∗ é o conjunto dos números reais não nulos. 𝑅+é o conjunto dos números reais não negativos. 𝑅+
∗ é o conjunto dos números reais positivos. 𝑅− é o conjunto dos números reais não positivos. 𝑅−
∗ é o conjunto dos números reais negativos.
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS REAIS 1 – A soma de dois números reais quaisquer é um número real. 2 – A diferença de dois números racionais quaisquer é um número real.
3 – O produto de dois números reais quaisquer é um número real.
4 – O quociente de dois números reais quaisquer, sendo o divisor diferente de zero, é um número real.
5 – Se 𝑛 é um número natural ímpar e 𝑎 um número real, temos:
√𝑎 𝑛
∈ 𝑅, 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 6 – Se 𝑛 é um número natural par não nulo e 𝑎 um número real, temos:
a) O que é uma dízima periódica¿ b) O que é uma dízima não periódica¿ c) Explique com suas palavras como reconhecer um número:
*natural *inteiro *racional *irracional *real
(FUERN) A soma da fração 8
9 com a dízima periódica 3,222... é:
a) 40
9
b) 39
9
c) 37
9
d) 34
7
e) 13
3
2018
MÓDULO I
MATEMÁTICA – ÁLGEBRA
PISM I CONJUNTOS NUMÉRICOS
REPRESENTAÇÃO DE INTERVALOS REAIS
BIBLIOGRAFIA: MATEMÁTICA
MANOEL PAIVAE OUTROS AUTORES
OBJETIVOS:
1º - facilitar o direcionamento dos conteúdos.
2º - evidenciar a parte teórica.
3º - saber aplicar a teoria. Observação: os exercícios serão elaborados no decorrer do curso, ou seja, todo conteúdo
embora pertinente ao módulo I, pode sofrer alterações de acordo com as necessidades das
turmas, portanto é flexível.
Lúcia Helena Campos Corrêa – Professora Supervisora
MÓDULO I
GEOMETRIA
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
ÁREA DAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS
Áreas de Figuras Planas
As áreas das figuras planas medem o tamanho da superfície da figura. Desse modo, podemos pensar que quanto maior a superfície da figura, maior será sua área.
Geometria Plana e Espacial A Geometria plana é a área da matemática que estuda as figuras planas. Ou seja, aquelas que possuem comprimento e largura, sendo figuras bidimensionais (duas dimensões). O que as difere das figuras geométricas espaciais é que estas apresentam três dimensões e incluem, portanto, o conceito de volume. Saiba mais:
Geometria Plana Geometria Espacial
Principais Figuras Planas
Antes de apresentar as fórmulas das áreas das figuras planas, devemos atentar para cada uma delas:
Triângulo: polígono formado por três lados. São classificados de acordo com as medidas dos lados, bem
como seus ângulos:
Quanto a medida dos lados:
Triângulo Equilátero: apresenta lados e ângulos internos iguais (60°);
Triângulo Isósceles: apresenta dois lados e dois ângulos internos congruentes;
Triângulo Escaleno: apresenta todos os lados e ângulos internos diferentes.
Exercícios Resolvidos Confira abaixo dois exercícios de vestibular sobre áreas de figuras planas. 1. (PUC RIO-2008) Um festival foi realizado num campo de 240 m por 45 m. Sabendo que por cada 2 m2 havia, em média, 7 pessoas, quantas pessoas havia no festival? a) 42.007 b) 41.932 c) 37.800 d) 24.045 e) 10.000 VER RESPOSTA Para saber o número de pessoas que estavam no festival, temos primeiro encontrar a área. Pela descrição, o local tem forma de retângulo: A = b . h A = 240 . 45 A = 10 800 m2 Assim, se em cada 2 m2 havia, em média, 7 pessoas, sabemos que em 1m2 havia cerca de 3,5 pessoas. Logo, multiplica-se a medida da área pela quantidade de pessoas em casa m2. 10.800 . 3,5 = 37.800 Alternativa C
2. (UFSC-2011) Um ciclista costuma dar 30 voltas completas por dia no quarteirão quadrado onde mora, cuja área é de 102400 m2. Então, a distância que ele pedala por dia é de: a) 19200 m b) 9600 m c) 38400 m d) 10240 m e) 320 m VER RESPOSTA Se a área do quarteirão é de 102400 m2 , podemos descobri o valor de seu lado uma vez que sabemos que ele é quadrado. Assim, se para calcularmos a área do quadrado utilizamos a fórmula: A = L2 102400 = L2 √102400 = L L = 320 m Agora que já sabemos a medida de cada lado do quarteirão, podemos descobrir seu perímetro, ou seja, a soma de todos os lados. Se o quadrado tem 4 lados, podemos multiplicar o valor por 4: P = 320 . 4 P = 1280 m Desse modo, se o ciclista percorre 30 voltas completas por dia, ele percorre 30 vezes o valor do perímetro: 30.1280m = 38 400 m Alternativa C
Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são semelhantes quando possuem os três ângulos ordenadamente congruentes
(mesma medida) e os lados correspondentes proporcionais. Usamos o símbolo ~ para indicar que dois
triângulos são semelhantes.
Para saber quais são os lados proporcionais, primeiro devemos identificar os ângulos de mesma medida. Os
lados homólogos (correspondentes) serão os lados opostos a esses ângulos.
Razão de Proporcionalidade
Como nos triângulos semelhantes os lados homólogos são proporcionais, o resultado da divisão desses lados
será um valor constante. Esse valor é chamado de razão de proporcionalidade.
Considere os triângulos ABC e EFG semelhantes, representados na figura abaixo:
Os lados a e e, b e g, c e f são homólogos, sendo assim, temos as seguintes proporções: Onde k é a razão de proporcionalidade.
Leia também sobre Razão e Proporção.
Casos de Semelhança
Para identificar se dois triângulos são semelhantes, basta verificar alguns elementos.
Ao traçar a altura relativa à hipotenusa, dividimos o triângulo retângulo em dois outros triângulos retângulos. Conforme figura abaixo:
Observando os medidas dos ângulos desses três triângulos, percebemos que eles são semelhantes, ou seja: . Usando as proporções entre os lados, determinamos as seguintes relações:
Essas relações são muito importantes e são chamadas de relações métricas no triângulo retângulo. Para saber mais sobre triângulos, leia também:
Congruência de Triângulos Triângulos semelhantes não são triângulos iguais. Os triângulos são considerados congruentes (iguais)
quando coincidem ao serem sobrepostos.
Casos de congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes quando for verificado um dos seguintes casos:
1º caso: Os três lados são respectivamente congruentes.