Teoria do Equilíbrio Geral Prof. João Manoel Pinho de Mello Depto. de Economia, PUC-Rio [email protected] Outubro, 2006
Apr 07, 2016
Teoria do Equilíbrio Geral
Prof. João Manoel Pinho de MelloDepto. de Economia, PUC-Rio
Outubro, 2006
Referência: capítulo 29, Varian
Aparece o mercado... Até agora não os preços não apareceram Tudo o que fizemos foi:
Definir alocação factível Descrever uma alocação graficamente Dizer se esta alocação tinha uma certa característica, qual
seja:• Se ela é eficiente do ponto de vista de Pareto• Em outras palavras, se ela pertence ao conjunto de Pareto
Os agentes eram totalmente passivos até agora Na realidade, não importava quem tinha o que na dotação
inicial da economia ω1
A, ω2A, ω1
B e ω2B não importavam, mas sim ωA e ωB
A pergunta Agora queremos fazer uma previsão sobre o mundo
Queremos prever a alocação que sairá como resultado do processo de troca no mercado
E depois dizer algo sobre as propriedades desta alocação que sai como resultado de troca
A partir de ω1A, ω2
A, ω1B e ω2
B vamos prever quanto de cada bem fica com cada pessoa
Economia de trocas Dois agentes, 1 e 2, e dois bens, A e B,
completamente divisíveis Os dois têm dotações
• (ω1A, ω1
B) e (ω2A, ω2
B) E preferências representadas por
• u1(x1A,x1
B) e u2(x2A,x2
B) É uma economia de trocas, ou seja, não há produção
Mas não é escambo. Há um sistema de preços para realizar as trocas
Os preços aparecem a partir de um processo de troca que será descrito a seguir
O leiloeiro Walrasiano Eles se comportam como tomadores de preço
O que isto significa?• Strictu sensu, eles não percebem que são duopolistas e
duopsonistas nos dois produtos• Não percebem que suas decisões afetam preço• Não se comportam estrategicamente
É preciso pensar nisto como um modelo, como se houvesse muitos agentes do tipo A e muitos agentes do tipo B
O leiloeiro Walrasiano Uma terceira parte, o leiloeiro Walrasiano, diz um
par de preços relativos pA e pB
A estes preços, os agentes (i = 1,2) resolvem o seguinte problema de maximização de utilidade:
Bi
BAi
ABi
BAi
A
Bi
Aii
xx
ppxpxp
xxuBi
Ai
a sujeito ,max,
Restrição orçamentária
O leiloeiro Walrasiano Como soluções deste problema saem as demandas:
Agente 1
Agente 2
Aí o leiloeiro “vê” se estas demandas fazem com que o mercado esteja em equilíbrio, ou seja, demanda = oferta Se sim, então pA e pB são preços de equilíbrio Se não tenta outros preços, e assim por diante
BABBAA ppxppx , e , 11
BABBAA ppxppx , e , 22
O leiloeiro Walrasiano
BAB ppx ,2
B
A
pp
BAB ppx ,1
x1B
x1A
x2A
x2B
Agente 1
Agente 2
Dotação inicial
Leiloeiro Walrasiano cota estes preços
BAA ppx ,2
BAA ppx ,1
Uma representação gráfica
BAB ppx ,2
B
A
pp
BAB ppx ,1
x1B
x1A
x2A
x2B
Agente 1
Agente 2
Dotação inicial
BAA ppx ,2
BAA ppx ,1
excesso de demanda de 2 por A
excesso de demanda de 1 por A
Excesso de demanda de 2 por B Excesso de
demanda de 2 por B
O leiloeiro Walrasiano Demanda líquida, bem j agente i:
Um mercado j está em equilíbrio se a soma das demadas líquidas dos agentes é zero
BAji
ji
BAji ppxppe ,,
0,, 21 BAjBAj ppeppe
O leiloeiro Walrasiano Outra maneira de ver
0,, 21 BAjBAj ppeppe
BAjj ppx ,22 BAjj ppx ,11 + = 0
jj21 = BAjBAj ppxppx ,, 21
Oferta Demanda
O leiloeiro Walrasiano Os mercados estão em equilíbrio no exemplo
anterior?
Mercado A?
Mercado B?
Qual preço está muito alto?
O leiloeiro Walrasiano
BAB ppx ,2
B
A
pp
BAB ppx ,1
x1B
x1A
x2A
x2B
Agente 1
Agente 2
Dotação inicial
BAA ppx ,2
BAA ppx ,1
excesso de demanda de 2 por A
excesso de demanda de 1 por A
Excesso de demanda de 2 por B Excesso de
demanda de 2 por B
B
A
pp~~
Equilíbrio: Definição Definição: Um equilíbrio Walrasiano é uma
alocação e um par de preços (pA, pB) tais que
1.
2.
2,1 ,maxarg~,~ ixxuxx ji
ji
ji
ji
BABA xxxx 2211~,~,~,~
BAjxx jjjj , ~~2121
A álgebra do equilíbrio: Lei de Walras
A lei de Walras Nós vamos mostrar um resultado surpreendente:
Se um par de preços equilibra um mercado (digamos o A) então ele necessariamente equilibra o outro mercado (B)
Este resultado é conhecido como lei de Walras
BA pp ~,~
A lei de Walras Suponha que seja um par de preços de
equilíbrio, ou seja, que equilibra os dois mercados A e B. Da restrição orçamentária dos dois agentes, temos
BA pp ~,~
BBAABABBBAAA
BBAABABBBAAA
ppppxpppxp
ppppxpppxp
2222
1111
~~~,~~~,~~
~~~,~~~,~~
0~,~~~,~~0~,~~~,~~
~,~
22
~,~
22
~,~
11
~,~
11
22
11
BABBAA
BABBAA
ppe
BBABB
ppe
ABAAA
ppe
BBABB
ppe
ABAAA
ppxpppxp
ppxpppxp
A lei de Walras Somando as duas equações temos:
Se o mercado A está em equilíbrio, então
(*) 0~,~~,~~~,~~,~~por agregada líquida Demanda
21
por agregada líquida Demanda
21 B
BABBABB
A
BAABAAA ppeppepppeppep
0~,~~,~21 BAABAA ppeppe 0~,~~,~~
21 BABBABB ppeppep
A lei de Walras O que isto significa?
O MERCADO B TAMBÉM ESTÁ EM EQUILÍBRIO
A lei de Walras
Numa economia com N bens, se os preços pA, pB,..., pN equilibriam os N – 1 primeiros mercados, então ele também equilibra o enésimo mercado
A lei de Walras: intuição Temos N condições de equilíbrio, uma para cada
mercado:
A lei de Walras diz que uma destas equações é redundante O sistema é sub-identificado Um preço não está determinado
• Podemos normalizá-lo para 1, e todos os outros preços ficam em função deste preço (o numerário, pode ser a moeda)
SOMENTE PREÇOS RELATIVOS IMPORTAM
0,...,,,...,,
0,...,,,...,,
0,...,,,...,,
21
21
21
NBANNBAN
NBABNBAB
NBAANBAA
pppxpppx
pppxpppx
pppxpppx
Um exemplo Cobb-Douglas Preferências
Dotações iniciais
(ω1A, ω1
B) e (ω2A, ω2
B)
1
22222
111111
,
,BABAA
BABAA
xxxxu
xxxxu
Um exemplo Cobb-Douglas1º passo: achar as demandas como função das dotações iniciais e dos preços
BBAABBAA
BA
xx
ppxpxp
xxBA
1111
111
,
a sujeito
max11
B
BBAABAB
A
BBAABAA
pppppx
pppppx 11
111
11, e ,
B
BBAABAB
A
BBAABAA
pppppx
pppppx 22
222
21, e ,
A solução deste problema éAnalogamente para o agente 2
Um exemplo Cobb-Douglas 2º passo: achar a demanda agregada de um dos bens
3º passo: normalize um dos preços para 1 Por exemplo pA = 1
A
BBAA
A
BBAABAABAABA
ppp
pppppxppxppD 2211
21 ,,,
BBABBABAABAABA ppppxppxppD 221121 ,,,
Um exemplo Cobb-Douglas 4º passo: construa a condição de equilíbrio no
mercado A
(*) 212211AABBABBA pp
DEMANDA OFERTA
Um exemplo Cobb-Douglas 5º passo: resolva (*) para o preço relativo de
BB
AA
A
B
pp
21
21 11
Um exemplo Cobb-Douglas 6º passo: substituir nas demandas e achar as
quantidades de equilíbrio
BAAA
BBB
BBB
AAAA
BAAA
BBB
BBB
AAAA
x
x
x
x
2221
212
221
2122
1121
211
121
2111
111
11
111
11
Equilíbrio Walrasiano e Eficiência: os dois teoremas do
bem-estar
Pareto e Walras
Pareto
Alocações eficientes do
ponto de Pareto
Walras
Alocações que são equilíbrios
Walrasinos
?
?
1º teorema do bem-estar
2º teorema do bem-estar
1º Teorema do Bem-Estar: a mão invisível de Adam Smith Equilíbrio → eficiência?
Vamos mostrar que, sob algumas condições, todo equilíbrio Walrasiano é eficiente do ponto de vista de Pareto
É a mão invisível de Adam Smith• O funcionamento descentralizado, desorganizado do mercado leva
a um resultado social que possui algo de desejável• É o mesmo que dizer que todas as oportunidades de troca são
exauridas pelo mercado O resultado é completamente silencioso quanto às
considerações de igualdade
1º Teorema do Bem-Estar As condições são
Os agentes são tomadores de preço• Porque são muito pequenos em relação ao mercado• Porque não reconhecem que seu comportamento afeta preços,
potencialmente. Ou seja, não se comportam estrategicamente• Oligopólio, monopólio
O comportamento dos agentes não afeta a utilidade dos outros diretamente
• xj2 não pertence a u1
• Não há poluição neste mundo• Externalidade, bens públicos
1º Teorema do Bem-Estar, graficamente
BAB ppx ,2
B
A
pp
BAB ppx ,1
x1B
x1A
x2A
x2B
Agente 1
Agente 2
Dotação inicial
BAA ppx ,2
BAA ppx ,1
excesso de demanda de 2 por A
excesso de demanda de 1 por A
Excesso de demanda de 2 por B
B
A
pp~~
1º teorema do bem-estar, a demonstração
1º teorema do bem-estar, formulação algébrica Se as funções utilidade são bem comportadas
Crescentes e diferenciáveis nos bens Côncavas nos bens
• Bom exemplo é Cobb-Douglas Então as soluções dos problemas de
maximização de utilidade dos agentes são “interiores”
1º teorema do bem-estar, formulação algébrica Isto é
Bi
BAi
ABi
BAi
A
Bi
Aii
xx
ppxpxp
xxuBi
Ai
a sujeito ,max,
2,1
e
CPOs
ipp
xu
xu
pxup
xu
B
A
Bi
i
Ai
i
BBi
iAAi
i B
A
B
A
B
A
pp
xuxu
xuxu
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1 TMgTMg
Onde vimos isto?
O monopolista na caixa de Edgeworth Suponha agora que já não há leiloeiro
Walrasiano, mas o agente 1 cota preços para o agente 2 Ele se comporta de forma estratégica
O agente 2 aceita ou rejeita a oferta O agente 1 sabe as preferências (u2(.)) e a
dotação inicial de 2 (x2A, x2
B)
O monopolista na caixa de Edgeworth Relembrar o conceito de curva de preço-
oferta de micro I
É o locus (a curva) das alocações escolhidas pelo agente como função dos preços
O monopolista na caixa de Edgeworth
x1B
x1A
x2A
x2B
Agente 1
Agente 2
Dotação inicial
Curva de preço-oferta de 2
Curva de utilidade de 1
Curva de utilidade de 2
O monopolista discriminador perfeito na caixa de Edgeworth
x1B
x1A
x2A
x2B
Agente 1
Agente 2
Dotação inicial
Curva de utilidade de 1
Curva de indiferença de 2
Discussão do 1º teorema O primeiro teorema diz uma coisa muito
profunda Se os agentes são tomadores de preço e
enfrentam todos os preços de suas ações Então o resultado da interação de mercado será
“eficiente” no sentido de Pareto Solução centralizada?
• Duas pessoas, 1.000.000 pesssoas• Hayek e os requerimentos informacionais
2º teorema do bem-estar Pergunta reversa: eficiência → equilíbrio? Será que podemos implementar uma alocação
eficiente do ponto de vista de Pareto como um equilíbrio Walrasiano?
Se pudermos redistribuir as dotações iniciais, há como achar um vetor de preços tal que o equilíbrio Walrasiano é exatamente esta alocação eficiente do ponto de vista de Pareto? É o sonho socialista!!
A resposta é: sob algumas condições (mais fortes que para o 1º teorema do bem-estar) sim
2º teorema do bem-estar: motivação gráfica
x1B
x1A
x2A
x2B
Agente 1
Agente 2
Dotação inicial
Dotação inicial
2º teorema do bem-estar: motivação gráfica
x1B
x1A
x2A
x2B
Agente 1
Agente 2
Curva de indiferença de B
Discussão do 2º teorema O segundo teorema do bem-estar diz que os
problemas de distribuição e eficiência podem ser resolvidos separadamente Eficiência alocativa é alcançada através do sistema de
preços Objetivos distributivos são alcançados via tributação de
“dotação” ou “riqueza” Não é eficiente tributar consumo. Tudo o que distorce
decisões é ineficiente “Igualdade de dotação”: tributo sobre herança, provisão de
bens como educação e saúde