teori siskon

BAB IPENDAHULUAN1.1. Sistem Kontrol Sistem kendali merupakan bagian yang terintegrasi dari sistem kehidupan modern saat ini. Sebagai contoh : kendali suhu ruang, mesin cuci, robot, pesawat, dan lain sebagainya. Manusia bukan satu-satunya pembuat sistem kendali otomatis. Justru secara alami telah ada, baik di tubuh manusia itu sendiri maupun di alam semesta. Sebagai contoh: pankreas yang mengendalikan kadar gula dalam darah. Mekanisme berkeringat ketika kepanasan untuk mempertahankan suhu tubuh. Pergerakan mata saat melihat sesuatu. Peredaran seluruh benda di angkasa.Sistem kendali dapat dikatakan sebagai hubungan antara komponen yang membentuk sebuah konfigurasi sistem, yang akan menghasilkan tanggapan sistem yang diharapkan. Jadi harus ada yang dikendalikan, yang merupakan suatu sistem fisis, yang biasadisebut dengan kendalian (plant). Kendalian masukan keluaran

kendalianmasukan keluaran

Gambar 1.1 Diagram Masukan-KeluaranMasukan dan keluaran merupakan variabel atau besaran fisis. Keluaran merupakan hal yang dihasilkan oleh kendalian, artinya yang dikendalikan, sedangkan masukan adalah yang mempengaruhi kendalian, yang mengatur keluaran. Kedua dimensi masukan dan keluaran tidak harus sama. Sistem kontrol loop terbuka Sistem kendali lingkar terbuka menggunakan actuator(actuating device) secara langsung untuk mengendalikan proses tanpa melalui umpan balik. Contoh : Sistem kendali suhu ruang Misalkan di daerah dingin, diinginkan mengatur suhu ruangan dengan menggunakan pemanas (heater). Pemanas dapat dibuat dari suatu rangkaian listrik yang berintikan adanya resistor R. Bila resistor R dialiri arus listrik, akan terjadi disipasi daya ( ) R I2, yang menghangatkan ruangan r.

Gambar 1.2 Diagram Blok Sistem Kendali Suhu Ruang Lingkar Terbuka Sistem kontrol loop tertutupSistem kendali lingkar tertutup menggunakan pengukuran keluaran (actual response), yang dijadikan umpan balik untuk dibandingkan dengan nilai referensi (desired response), sehingga menghasilkan galat. Dengan galat inilahpengendali dapat memberikan sinyal kendali agar keluaran proses mencapai kondisi yang diinginkan. Dengan contoh yang sama pada sistem lingkar terbuka ditambahkan saklar S yang akan membatasi aliran listrik I. Bila suhu ruangan lebih kecil atau sama dengan suhu yang diinginkan maka saklar harus dalam keadaan tertutup, sehingga arus mengalir dan ruangan menghangat. Bila suhu ruangan lebih besar dari suhu yang diinginkan, makasaklar S harus dibuka untuk memutuskan aliran arus listrik, sehingga ruangan tidak bertambah panas. Untuk itu diperlukan seorang operator yang senantiasa mengamati penunjukkan thermometer T. Operator ini berfungsi sebagai elemen umpan balik dan juga sebagaierror detector (bersama-sama dengan saklar S).

Operatorberfungsi mengamati keluaran, lalu mengevaluasi (membandingkan keluaran dan masukannya) dan membangkitkan sinyal penggerak yang akan menggerakkan sistem sehingga keluaran seperti yang diinginkan. Terlihat bahwa keluaran mempengaruhi masukan (melalui operator). Sistem inidisebut sistem kendali lingkar tertutup. Beberapa istilah yang sering dipakai sebagai berikut. a. Keluaran sistem merupakan variabel yang diatur (controlled variable). b. Masukan sistem terdiri dari o Masukan komando (command input) = masukan informatif = masukan fiktif, yang oleh masukan tranduser diubah (bila perlu) menjadi masukan referensi (reference input) o Masukan referensi = masukan fisis bersama-sama dengan sinyal umpan balik akan menghasilkan sinyal penggerak (sinyal galat). c. Sinyal galat merupakan masukan dari pengendali (controller). d. Masukan kendalian dihasilkan oleh pengendali. e. Elemen umpan balik mengamati keluaran dan mengumpanbalikkan ke masukan, yaitu dengan adanya sinyal umpan balik.1.2. Fungsi alihDalam teori kendali, fungsi yang disebut fungsi alih seringkali digunakan untuk mencirikan hubungan masukan dan keluaran dari sistem linier parameter konstan. Konsep fungsi alih ini hanya digunakan pada sistem linier parameter konstan. Fungsi alih sistem linier parameter konstan didefinisikan sebagai perbandingan dari transformasi Laplace keluaran dan transformasi Laplace masukan dengan asumsi semua kondisi awal bernilai nol. Sistem linier parameter konstan dinyatakan dengan persamaan linier diferensial berikut :

Dimana y adalah keluaran sistem dan x adalah masukan sistem. Fungsi alih dari sistem ini diperoleh dengan mencari transformasi Laplace dari kedua persamaan (3.14) dengan asumsi semua kondisi awal bernilai nol.

1.3. Analisis tanggapan peralihan Dalam prakteknya, sinyal masukan sistem kendali tidak dapat diketahui sebelumnya tetapi mempunyai sifat acak sehingga masukan sesaattidak dapat dinyatakan secara analitis. Untuk analisis dan perancangan sistem kendali, harus dipunyai dasar perbandingan kinerja berbagai sistem kendali. Dasar ini disusun untuk melakukan perbandingan tanggapan berbagai sistem, yaitu dengan memberikan masukan uji. Masukan uji yang biasa digunakan adalah fungsi undak, fungsi laju, fungsi percepatan, fungsi impulsa, fungsi sinusoida dan sebagainya.- Respon transienSistem Orde Satu Fungsi alih dari suatu sistem orde satu dapat ditulis sebagai berikut

Dimana C(s) : fungsi masukan R(s) : fungsi keluaranContoh soal : Tentukan tanggapan sistem untuk masukan undak satuan dengan fungsi alih lingkar terbuka sebagai berikut

Jawab :

ole dari fungsi alih pada s = -1 memberikan konstanta waktu = 0.75 detik . Nilai keadaan tunak tanggapan adalah 20/3. Dengan konstanta waktu sistem sebesar 0.75 maka keluaran mencapai keadaan tunak kira-kira dalam 3 detik.Listing program Matlab clc clear allclose all% Contoh Soal 4-1num = [ 0 5]; den = [ 0.75 0.75]; %[r,p,k] = residue(num,den) %step(num,den) grid on title('Tanggapan Terhadap Masukan Undak Satuan ') ylabel('Keluaran') xlabel('t detik') Hasil program r = 6.6667 p = -1 k = [] Hasil plot tanggapan terhadap masukan undak satuan

Sistem Orde Dua Bentuk standard dari fungsi alih orde kedua adalah

Dimana : rasio redaman n : frekuensi tidak teredam atau frekuensi naturalcontoh soal : Tentukan n , serta tanggapan undak satuan dari sistem lingkar tertutup berikut

Berdasarkan persamaan diperoleh

Untuk tanggapan undak dari sistem lingkar tertutup diperoleh

Dengan menggunakan transformasi Laplace balik diperoleh

Listing program Matlab clc clear all close all % Contoh Soalnum = [ 0 0 130]; den = [ 1 15 130]; % omega_n = sqrt(den(3)) zeta = den(2)/(2 * omega_n) % num1 = [ 0 0 0 130]; den1 = [ 1 15 130 0 ]; % [z,p,k] = residue(num1,den1) step(num,den) grid on title('Tanggapan Terhadap Masukan Undak Satuan ') ylabel('Keluaran') xlabel('t detik') Hasil program omega_n = 11.40175425099138 zeta = 0.65779351448027 z = -0.50000000000000 + 0.43666688230469i -0.50000000000000 - 0.43666688230469i 1.00000000000000 p = -7.50000000000000 + 8.58778201865883i -7.50000000000000 - 8.58778201865883i 0 k = []Hasil plot tanggapan terhadap masukan undak satuan

Dalam menentukan karakteristik tanggapan peralihan sistem kendali terhadap masukan undak satuan biasanya ditentukan parameter sebagai berikut o Waktu tunda (delay time) (td)Waktu tunda adalah waktu yang diperlukan tanggapan untuk mencapai setengah harga akhir yang pertama kali. o Waktu naik (rise time), (tt)Waktu naik adalah waktu yang diperlukan tanggapan untuk naik dari 10 % sampai 90 %, 5 % sampai 95 % atau 0 sampai 100 % dari harga akhirnya. Untuk sistem orde kedua redaman kurang biasanya digunakan waktu naik 0 sampai 100 % dan untuk system redaman lebih biasanya digunakan waktu naik 10 % sampai 90 % o Waktu puncak (time overshoot) (tp)Waktu puncak adalah waktu yang diperlukan tanggapanuntuk mencapai puncak lewatan pertama kali o Lewatan maksimum (maximum overshoot) (Mp ) Lewatan maksimum adalah harga puncak maksimum dari kurva tanggapan yang diukur dari satu. Jika harga keadaan tunak tanggapan tidaksama dengan satu maka biasa digunakan persentase lewatan maksimum dengan rumusan berikutLewatan maksimum (maximum overshoot)

o Waktu penetapan(settling time) (ts )Waktu penetapan adalah waktu yang diperlukan kurva tanggapan untuk mencapai dan menetap dalam daerah disekitar harga akhir yang ukurannya ditentukan dengan persentase mutlak dari harga akhir biasanya 5 % atau 2%. Waktu penetapan ini dikaitkan dengan konstanta waktu terbesar dari sistem kendali. Jika harga-harga td, tt, tp, Mp dan ts telah ditetapkan maka bentuk kurva tanggapan peralihan dapat ditentukan berikut

Sistem Orde Tinggi Tinjau sistem yang ditunjukkan pada Gambar 4.10 dengan fungsi alih lingkar tertutupnya

Pada umumnya G(s) dan H(s) diberikan sebagai rasio polinomial dalam s atau

Dimana p(s), q(s), n(s) dan d(s) adalah polinomial dalam s. Fungsi alih lingkar tertutup yang diberikan oleh persamaan selanjutnya dapat ditulis

- Respon keadaan tunakTinjau sistem lingkar tertutup berikut ini

Fungsi alih lingkar tertutup

Fungsi alih antara sinyal masukan kesalahan penggerak e(t) dan sinyal masukan r(t) adalah

Dimana sinyal kesalahan penggerak e(t) adalah selisih antara sinyal masukan dan sinyal umpan balik. Dengan menggunakan teorema harga akhir dapat ditentukan performansi keadaan tunak sistem stabil karena E(s) adalah

Maka sinyal kesalahan penggerak keadaan tunaknya adalah

1.4. Sinyal Uji (Sinyal masukan) Fungsi undak satuan Fungsi Impulse satuan Fungsi ramp satuan Fungsi eksponensial1.5. Analisa Kestabilan systemSebuah sistem dikatakan tidak stabil jika tanggapannya terhadap suatu masukan menghasilkan osilasi yang keras atau bergetar pada suatu amplitudo/harga tertentu. Sebaliknya suatu sistem disebut stabil jika sistem tersebut akan tetap dalam keadaan diam atau berhenti kecuali jika dirangsang (dieksitasi oleh suatu fungsi masukan dan akan kembali dalam keadaan diam jika eksitasi tersebut dihilangkan). Ketidakstabilan merupakan suatu keadaan yang tidak menguntungkan bagi suatu sistem lingkar tertutup sedangkan pada suatu sistem lingkar terbuka tidak dapat tidak harus stabil. Jelas untuk memperoleh nilai yang memberikan manfaat praktis sebuah sistem kendali harus stabil. Masukan sistem tidak memberikan pengaruh terhadap kestabilan suatu sistem sehingga jika sistem tersebut stabil terhadap suatu masukan maka sistem akan stabil untuk masukan yang ada. Sebaliknya kestabilan hanya bergantung pada karakteristik daripada sistem itu sendiri . Tanggapan suatu sistem stabil dapat dikenali dari adanya peralihan yang menurun menuju nol terhadap pertambahan waktu. Ini berarti bahwa untuk mendapatkan sebuah sistem yang stabil, koefesien-koefesien dari suku eksponensial yang terdapat dalam tanggapan peralihan tersebut harus merupakan bilangan-bilangan nyata yang negatif atau bilangan kompleks dimana bagian nyata adalah negatif. Persamaan karakteristikFungsi alih sebuah elemen atau sistem disebut juga fungsi karakteristik sistem. Fungsi ini menentukan kelakuan tanggapan peralihan dan dapat memberikan informasi mengenai kestabilan sistem tersebut.

Fungsi alihnya adalah :

sehingga

Contoh : Jika pada Gambar 5.3 fungsi alihnya adalah

Persamaan karakteristik adalah

berubah menjadi

maka akar-akarnya : r = -4 dan r = -1 Karena bagian nyata dari kedua akar-akar dari persamaan karakteristik ini semuanya bernilai negatif maka sistem bersifat stabil.Listing program Matlab clear all close all % Contoh Soal 5.3 % p = [1 5 4] roots(p) Hasil program K = -4 -1 Kriteria RouthPenentuan kestabilan suatu sistem berdasarkan persamaan karakteristik akan mengakibatkan kesulitan bagi persamaan yang tingkatannya (orde) yang lebih tinggi yaitu dalam menentukan akar-akar persamaan karakteristik tersebut. Suatu cara lain untuk menentukan kestabilan suatu sistem tanpa menghitungakar-akar persamaan karakteristiknya adalah menggunakan kriteria Routh.Kriteria ini merupakan metode aljabar untuk menentukan kestabilan dalam wawasan s(Laplace). Cara ini akan menunjukkan adanya akar-akar yang tidak stabil beserta jumlahnya tetapi tidak menentukan nilai atau kemungkinan cara untuk mencegah ketidakstabilan. Prosedur penentuan stabilitas berdasarkan kriteria Routh berikut a. Tuliskan persamaan karakteristik sistem dalam bentuk polinomial berikut

Dimana a0, a1 dst adalah koefesien dari persamaan tersebut. b. Koefesien koefesien persamaan tersebut disusun dalam suatu barisan yang menyerupai sebuah matriks dengan bentuk beriku

Dimana cara penyusunannya - Baris pertama adalah koefesien-koefesien yang terdiri dari indeks genap (a0, a2, a4, a6, ..dst)- Baris kedua adalah koefesien-koefesien yang terdiridari indeks ganjil (a1, a3, a5, a7,.dst) yang dimulai dari angka satu - Baris ketiga dinyatakan oleh b1, b3, b5, b7,..dst, dimana harga b1, b3, b5, b7,..dst ditentukan dari harga-harga dari baris pertama dan kedua - Baris ketiga dinyatakan oleh c1, c3, c5, c7, ..dst, dimana harga c1, c3, c5, c7, ..dst ditentukan dari harga-harga dari baris kedua dan ketiga - Baris keempat dinyatakan oleh d1, d3, d5, d7, ..dst dimana harga d1, d3, d5, d7, ,dst ditentukan dari harga-harga dari baris ketiga dan keempat - Demikian seterusnya Jumlah baris ini bergantung pada orde persamaan karakteristik tersebut. Susunan barisan ini disebut barisan Routh. Untuk menentukan harga-harga b1, b3, b5, b7, ..; d1, d3, d5, d7, ..dst.Susunan barisan ini dianggap suatu determinan sehingga harga-harga tersebut dapat ditentukan berikut

dan seterusnya Selanjutnya harga-harga c1, c3, c5, c7, ..dst ditentukan berikut

dan seterusnya Selanjutnya harga d1, d3, d5,..;ditentukan dengan cara yang sama. Dengan demikian pada pada akhirnya akan diperoleh suatu susunan barisan yang lengkap berbentuk segitiga dimana jumlah baris adalah sebanyak pangkat tertinggi dari s ditambah satu. Berarti untuk persamaan orde-dua jumlah baris adalah 3 (tiga), untuk persamaan orde-tiga menjadi 4 (empat) dan seterusnya. Setelah itu periksa kolom pertama dari persamaan (5.36) apakah terjadi perubahan tanda. Jika tidak terjadi perubahan tanda pada kolom pertama berarti sistem bersifat stabil dan begitu pula sebaliknya jika terjadi perubahan tanda pada kolom pertama berarti sistem tidak stabil Kriteria HurtwithCara lain menetukan stabilitas sebuah sistem adalah metoda Hurwitz. Dengan metoda Hurtwitz ini dilakukan pemeriksaan apakah semua akar-akar persamaan karakteristik memiliki bagian nyata yang negatif. Hal ini ditentukan dengan cara menggunakan determinan. Persamaan karakteristik dibuat dalam bentuk determinan berikut

Dan seterusnya sampai n-1 maka semua akar-akar persamaan karakteristik mempuyai bagian nyata yang negatif hanya dan hanya jika i>0 untuk i=1,2,3,,n . Sebagai ilustrasi bila n = 3 diperoleh

Agar semua akar-akar memiliki bagian nyata yang negatif, harus dipenuhi