Page 1
Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
TEOREMA DE GREEN, GAUSS E STOKES
Junho 2012
Prof. Félix Pedro Quispe Gómez Doutor em Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Brasil.
Aline G. C. de Vasconcelos Graduanda de Engenharia Sanitária e Ambiental - UFSC Matrícula: 08240003
Page 2
1
Índice
1. Teorema de Green ..................................................................................................... 2
1.1. Aplicação: Área de uma região plana ................................................................ 4
1.2. Exercícios ........................................................................................................... 5
1.3. Teorema de Green - Uma extensão para Stokes e Gauss ................................ 10
2. Teorema da Divergência – Teorema de Gauss. ....................................................... 11
2.1. Interpretação física da Divergência ................................................................. 12
2.1. Exercícios ......................................................................................................... 14
3. Teorema de Stokes. ................................................................................................. 18
3.1. Exercícios ......................................................................................................... 20
4. Referências Bibliográficas: ..................................................................................... 25
Page 3
2
1. Teorema de Green
O teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada C
no plano xy com uma integral dupla sobre a região limitada por C. Este teorema será
generalizado para curvas e superfícies no ℝ3.
Definição: Seja D região plana limitada, que é reunião
finita de regiões simples, cada uma com fornteira
constituída de uma curva suave por partes. Se A(x,y) e
B(c,y) são de classe C1 num aberto contendo D e sua
fonteira γ então:
∫ ( ) ( ) ∬ [
( )
( )]
( )
onde γ é percorrida deixando D sempre à esquerda (dizemos γ -orientada
positivamente).
De maneira abreviada:
∫ ∬(
) ( )
Prova:
1º Caso:
Suonhamos D-região sim ples (com o aspecto abaixo, por exemplo)
Page 4
3
∬
( ) ∫ ∫
( )
( )
( )
∫ [ ( ( ) ( ) ( ( ) )]
∫ ( ( ) ( ) ∫ ( ( ) )
∫ ( )
A última igualdade ocorre, uma vez que a parte paralela ao eixo x em nada contribui
com a integral.
Analogamente,
∫ ( ) ∬
( )
A soma destas igualdades fornece a prova deste primeiro caso.
2º Caso:
Suponhamos D = D1 U ... UDn reunião finita de regiões simples, cada uma com uma
fronteira constituída de uma curva suave por partes γi, i = 1,...,n.
Temos já provado:
∫ ∬ (
)
A soma das integrais sobre Di é uma integral sobre D. Logo,
∬ (
)
∑ ∫ ( )
A fronteira de D é constituida por partes das curvas γi.
Podem existir partes das curvas γi que não fazem parte de γ, como mostra a figura.
Page 5
4
Estas partes serão percorridas duas vezes, uma em cada sentido, em nada contribuindo
com o membro direito de (3).
Logo,
∬ (
)
∫
1.1. Aplicação: Área de uma região plana
Tomando-se A= 0 e B(x,y)= x, temos Área de D = ∬ ∫
Tomando-se A(x,y) = -y e B = 0, temos Área de D = ∬ ∫
Ainda, somando-se as duas igualdades anteriores temos Área de D =
∫
Exemplos:
1. Use o Teorema de Green para calcular :
∮( ( )
onde gama é o quadrado de vértices (0,0), (a,0), (0,a) e (a,a).
Resolução:
∮( ( )
∬[( ) ( )]
= ∬
= ∫
∫
2. Usando o Teorema de Green calcule ∮
, ao
longo da circunferência ( ) = 1, no sentido
(1.4)
Page 6
5
horário, sendo ( √ )
Resolução: A figura mostra a curva C . Como C está
orientada no sentido horário, não podemos usar o teorema
de Green diretamente. No entanto, podemos aplicar esse
teorema para calcular a integral sobre a curva –C e depois
usar a propriedade ∫ ∫
.
Temos:
∫ ∬( ) ∬( )
Passando para coordenadas polares, vem
∫ ∫ [∫ ( )
]
∫ (
)
|
∫ (
)
.
1.2. Exercícios:
1. Sejam P(x,y) e Q(x,y), funções reais de classe C1 em U=IR
2 – {A,B}, tais que
em U. Sendo C1,C2, e C3 as curvas, cacule ∮
, supondo
que ∮ ∮
.
Resolução:
Page 7
6
∬(
)
∬(
)
∬(
)
∬(
)
∮
∮
∮
∮
∬(
)
∮
∮
∮
∮
∮
∮
∮
( )
2. Considere o campo vetorial:
( ) (
( )
( )
( )
( )
( ) )
Calcule o trabalho de f ao longo da elipse definida pela equação
percorrida
no sentido anti-horário.
Resolução:
O campo f pode ser escrito na forma: , em que:
( ) (
( )
( ) )
( ) ( ( )
( )
( ) )
( ) ( )
O campo h é fechado, é singular no ponto (-1,0) e não é um gradiente. Seja C
circunferência de raio 1 centrada em (-1,0), verifica-se que trabalho de h ao longo de C,
no sentido anti-horário é igual a 2π, ou seja, o campo h não é conservativo.
Page 8
7
O campo g é radial com centro no ponto (1,0), pelo que g é um gradiente em ℝ2 \
{(1,0)}.
Seja E a elipse descrita pela equação
e percorrida no sentido anti-horário.
Pelo Teorema de Green :
∫
∫
Por outro lado, como g é gradiente ℝ2 \ {(1,0)}, temos ∫
O Campo ( ) é de classe C1 na gerião A limitada pela elipse E. Pelo Teorema de
Green temos:
∫ ∫ (
)
Portanto:
∫
∫
∫
∫
3. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada
com orientação positiva.
a) ∫ ( ) ( ) ( )
b) ∫ ( )
e .
Resolução:
a) A região D é dada por: {( )| }, então
∫
∬[ ( )
( )
]
∫ ∫( )
∫[ ] ∫( )
Page 9
8
b)
∫ ( )
∬[ ( )
( )
]
∬( )
∬ ( )
∫ ∫( )( ) ∫ ( ) ∫( )
[ ] [
]
4. a) Se C é o segmento de reta ligando o ponto ( ) ao ponto ( ), mostre
que
∫
b) Se os vérticers de um polígono, na ordem anti-horária, são ( ), ( ), . .
., ( ), mostre que a área do polígono é
[( ) (
) ( )]
c) Determine a área do pentágono com vértices (0,0), (2,1), (1,3), (0,2) e (-1,1).
Resolução
a) Parametrizando temos : ( ) ( )
( ) ( )
∫ ∫[( ) ]
( )
[( ) ]( )
∫
( ) ( ) [( )( ) ( )( )]
∫(
)
b) Aplicando o Teorema de Green à trajetória , onde é
o segmento de linha que une ( ) a ( ), para , e
é o segmento de linha que une ( ) a ( ).
Page 10
9
Pela equação (4)
∫
∬
, onde D é o polígono limitado por
Assim, a área do poligono é:
∬
∫
(∫
∫
∫
∫
)
Para avaliar essas integrais pode-se usar a formula em a) para chegar em:
( ) [( ) ( ) ( ) (
].
c) ( )
[( ) ( ) ( ) ( ( ) )
( )]
( )
( )
5. Uma lâmina plana com densidade constante ρ(x,y) = ρ ocupa uma região do plano
xy limitada por um caminho fechado simples C. Mostre que seus momentos de
inércia em relação aos eixos são :
∮
∮
Resolução:
Pelo Teorema de Green,
∮
∬( ) ∬
∮
∬( ) ∬
6. Se uma circunferência C de raio l rola ao longo do interior da circunferência
um ponto fixo P de C descreve uma curva chamada epiciclóide,
com equações paramétricas Faça o
gráfico da epiciclóide e use (4) para calcular a área da região que ela envolve.
Page 11
10
Resolução:
∮ ∫ (
) ( )
∫ (
)
[ (
) (
)
(
)]
1.3. Teorema de Green - Uma extensão para Stokes e Gauss
Suponhamos A, B, Γ, D nas condições do teorema de Green. Então:
∫ ∬ (
)
Colocando
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A equação acima fica:
∮
∬
( )
Lembrando que
∮
∮
E notando que
(1.6)
obtemos:
∮
∬ ( )
Prova de (1.6):
Seja ( ) e ( ) (rotação de 90º de no sentido anti-horário).
Page 12
11
Temos: ( ) e ( )
Assim:
O teorema de Green, na formulação anterior admite uma extensão.
2. Teorema da Divergência – Teorema de Gauss.
O teorema da divergência expressa uma relação entre uma integral tripla sobre um
sólido e uma integral de superfície sobre a fronteira desse sólido.
Definição: Seja Ω um sólido limitado por uma superfície fechada S, formada por um
número finito de superfícies suaves e seja normal externa unitária. Se as componentes
de ( ) tem derivadas parciais contínuas num aberto contendo Ω, então
∬
∭ ( )
Para continuar é bom relembrar o Teorema do Valor Médio do Cálculo Integral:
Seja [ ] ℝ contínua. Então, existe ( ) tal que
∫ ( ) ( ) ( )
Resultado análogo continua válido para integrais triplas. Mais especificamente:
ℝ contínua na esfera E. Então existe P0 no interior de E tal que:
∭ ( ) ( ( )
( )
Page 13
12
2.1. Interpretação física da Divergência
P – ponto arbitrário
Bε – bola fechada de centro P, raio ε 0, imersa em um fluído.
Sε – superfície de Bε
( ) – velocidade do fluído no ponto (x,y,z), com derivadas parciais contínuas.
Pelo teorema da Divergência, temos:
∬
∭
( )
Logo, ∭
= fluxo para fora de Sε.
Aplicando o Teorema do Valor Médio para o segundo membro de (2.2), temos:
∬
( ) ( )
onde Pε Bε, ou seja:
∬
( )
Fazendo ε 0 temos Pε P e assim:
∬
( ) = intensidade de fluxo em P.
Assim: é o valor limite do fluxo por unidade de volume sobre uma esfera de
centro em P, quando o raio da esfera tende a zero.
Se conhecermos e tomamos uma pequena esfera de centro P, temos
Page 14
13
Logo: se então o fluído “se afasta” de P, isto é, P é uma fonte. Se
então o fluído “se aproxima” de P, isto é, P é um poço ou sumidouro.
Se diz-se que o fluído é incompressível.
é chamada equação de continuidade dos fluídos incompressíveis.
Exemplos:
1. Calcular ∬ [( ) ]
, onde S é a superfície
exterior do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 1, y = 1
e z = 1.
Resolução:
Como S é formada por seis partes suaves, para
obtermos I usando a definição devemos calcular seis
integrais de superfície. Pelo teorema da divergência,
podemos transformá-la em uma única integral tripla.
Seja o vetor normal unitário exterior a S.
Como ( ) é uma função vetorial contínua que possui
derivadas parciais contínuas em ℝ3, temos:
∬[( ) ]
∭[ ]
∫ ∫ ∫ ( )
2. Sejam Ω – sólido limitado por
( ) . Use o teorema da divergência para calcular o fluxo
∬
Resolução:
∬
∭ ( )
Page 15
14
A região D {( z) ℝ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑧
2.1. Exercícios:
1. Considere a superfície {( ) ℝ }
e o campo vetorial ( ) ( ). Calcule o fluxo F através de S no
sentido da normal à sua escolha:
a) Pela definição de fluxo.
b) Usando o Teorema da Divergência.
Resolução:
S é um hiperbolóide que em coordenadas cilindricas (ρ,θ,
z) é descrito por √ , e
encontra-se representado pela figura:
Para o cálculo do fluxo basta considerar a
parametrização
( ) (√ √ )
Nota-se que a imagem de g é S/L, sendo L a linha sobre S em que y=0; x >0.
Assim:
( √ √ )
(
√
√ )
(√ √ )
∫ ∫ ∫ ( ( ))
∫ ∫ (√ √ ) (√ √ )
∫ ∫(√ √ ) (√ √ )
Page 16
15
∫ ∫[( ) ] ( )
2. a) Os pontos P1 e P2 são fontes ou
sorvedouros para o campo vetorial F
mostrado na figura? Dê uma
explicação baseada exclusivamente na
figura.
b) Dado F(x,y) = (x,y2), use a
definição da divergência para verificar
sua resposta da parte a).
Resolução:
a) Os vetores que terminam próximos à P1 são menores que os vetores que iniciam
próximos à P1, então o fluxo da rede é para fora, e P1 é uma fonte. Os vetores
que terminam próximos à P2 são maiores que os vetores que iniciam próximos à
P2, sendo assim, o fluxo da rede é para dentro e P2 é um sorvedouro.
b) ( ) ⟨ ⟩ ⇒ O valor de y em P1 é positivo,
então é positivo, assim, P1 é uma fonte. Em P2, y < -1, então
é negativo, e P2 é um sorvedouro.
3. Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície ∬
, ou
seja, calcule o fluxo F através de S.
a) ( ) , S é a superfície da caixa
delimitada pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 2.
b) ( ) , S é a superfície do sólido limitado
pelo cilindro e os planos z = x + 2 e z = 0
c) ( ) ( ) ( ) S é a superfície do
sólido limitado pelos hemisférios √ √ e
pelo plano z = 0.
d) Use um sistema algébrico computacional para plotar o campo vetorial
( ) no cubo
Page 17
16
obtido cortando o primeiro octante pelos planos
Em
seguida calcule o fluxo através da superfície do cubo.
Resolução:
a)
( )
( )
z( )
Assim, pelo teorema da divergência
∬ ∭
∫∫∫
∫ ∫ ∫ [ ] [
]
[
]
b)
∬ ∭ ( ) ∫ ∫ ∫ ( )
∫ ∫(
) ∫ (
)
c)
∬ ∭ ( ) ∫ ∫ ∫ (
⁄
)
∫ [
] [
(
) ]
⁄
⁄
Page 18
17
d)
Pelo teorema de Gauss, o fluxo de F, pela superfície do cubo é:
∬ ∫ ∫ ∫ [
⁄
⁄
⁄
]
4. Use o Teorema da Divergência para calcular
∫∫( )
Onde S é a esfera
Resolução
∫∫
∫∫( )
Então Fn=2x+2y+z2.
Para S,
√
Assim F=2i + 2j + zk e div F = 1.
Se B = {(x,y,z) | x2
y2
z2 1}, então
∫∫( )
∫ ∫∫ ( )
( )
5. – 7. Prove cada identidade admitindo que S e E satisfaçam as confições do
Teorema da Divergência e que as funções escalares e compontentes do campo vetorial
tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
Page 19
18
5. ∫∫
Resolução
∫∫
∫ ∫∫
6. V(E) =
∫∫
onde F(x,y,z) = xi + yj + zk
Resolução
∫∫
∫ ∫∫
∫ ∫∫
( )
7. ∫∫
∫∫ ∫
Resolução
∫∫
∫∫( )
∫ ∫∫ ( )
∫ ∫∫
3. Teorema de Stokes.
O teorema de Stokes é uma generalização do teorema de Green para o espaço
tridimensional e pode ser utilizado para transformar determinadas integrais curvilíneas
em integrais de superfíce, ou vice-versa.
Definição: Seja S: z = f(x,y) superfície suave que se projeta numa região Ω do plano xy,
nas condições do Teorema de Green.
– normal unitária superior
Γ – curva que delimita Ω orientada no sentido positivo.
Seja γ a imagem de Γ por f, orientada no mesmo sentido de Γ.
Se as componentes de tem derivadas parciais contínuas num espaço aberto contendo
S, então:
∫
∬( )
( )
Page 20
19
Exemplos:
1. Usando o teorema de Stokes, calcular ∫ ( )
, onde C é
o contorno da parte do plano x + y + z = a, a que está no 1º octante, no
sentido anti-horário.
Resolução:
A figura mostra o caminho C de integração.
Como C é formado por três partes suaves, para
obtermos a integral, devemos calcular três
integrais curvilíneas. Pelo teorema de Stokes,
podemos transformá-la em uma única integral
de superfície.
Vamos escolher uma superfície S que seja
delimitada pela curva C e orientar S de forma a ser possível a aplicação do teorema.
Como a curva dada é plana, escolhemos para S o próprio plano que contém a curva.
∬[ ]
∬{ [( ) ( )( )] ( )( ) }
∬
, onde R é a projeção de S sobre o plano xy.
Logo,
.
2. Seja S a parte do gráfico de com normal exterior.
Determinar
∬ ( )
Resolução: A figura mostra a superfície S e a curva C que
delimita S. Como a normal considerada é a normal exterior,
podemos observar que a curva C deve ser orientada no sentido
anti-horário.
Usando a representação vetorial de C dada por ( )
Page 21
20
( ) , aplicando o teorema, obtemos:
∫
∬( )
∫ ( )
( )
∫ ∫ (
)
3.1. Exercícios:
1. Seja um balão de ar quente, com um formato esférico de raio r = 5, conforme a
figura abaixo. O ar quente escapa através dos poros da superfície deste balão com
um campo de velocidade vetorial (x,y,z) = × Φ (x,y,z), quando Φ(x,y,z) = -y
+ x . Se o raio da circunferência do bordo é r =
, calcule o volume do fluxo de
ar quente que atravessa a superfície do balão.
Resolução
A figura mostra a representação de alguns vetores
do campo vetorial dado por (x,y,z) = -y + x .
Como o raio do balão é r = 5, e o seu centro está
sobre o eixo-z, a variação do raio das curvas de
nível desta esfera (balão) é de 0 a 5.
Aplicando o Teorema de Stokes ,(11), tem-se que
a circulação através da superfície é igual à circulação em torno do bordo desta
superfície.
Seja [ ] ℝ ,
( ) (
)
( ) (
)
( ( )) (
)
Substituindo ( ) e ( ) em
∮ ∫ (
( ) ( ))
Page 22
21
∫ (
) (
) ∫ [
]
∫ [ ]
∫ [ ]
( )
2. Aplique o Teorema de Stokes para calcular ∬ (
) onde
e S é a parte da superfície parabólica que está abaixo
do plano z = 4 e cuja orientação é dada pelo vetor normal unitário superior .
Reolução:
Parametriza-se o círculo fronteira C de S por x = 2cos(t), y = 2sen(t), z = 4, com
0 ≤ t ≤ 2π. Então, dx = -2sent dt, dy = 2cost dt e dz = 0.
Pelo Teorema de Stokes :
∬(
) ∮ ∮
∫ ( ) ( )( ) ( )
∫ (
) ∫ (
)
[ ]
3. Seja o campo de forças definido por (x,y,z) = -4y + 2z +3x e suponha
que S seja a parte do parabolóide z = 10 – – acima do plano z = 1.
Verifique o Teorema de Stokes para esse e para S, calculando:
∬( )
Page 23
22
Resolução:
Plotando o gráfico vemos que a interseção entre o parabolóide e o plano projeta uma
euperfície S sobre o plano xy. A região é delimitada pela circunferência + = 9. A
curva C, que é a fronteira de S, é a circunferência com centro em (0,0,1) e raio 3 no
plano z = 1.
Calculamos primeiro o rot .
rot = |
| = -2 +4
Assim,
∬( ) ∬( )
∬( )
∬[ ( )( ) ( )( ) ]
∬( )
Fazendo a mudança de parâmetros, x=rcosθ, y=rsenθ E dxdy=rdrdθ. Com 0 ≤ r ≤ 3 e
0 ≤ θ ≤ 2π, temos:
∫ ∫ ( )
∫ [
]
∫ ( )
[ ]
4. e 5. Use o Teorema de Stokes para calcular ∬
.
4. F(x,y,z) = yzi + xzj + yzk, S é a parte do parabolóide que está
acima do plano z = 5, com orientação para cima.
Resolução:
O plano z=5 intercepta a parabolóide no círculo .
Essa curva limite C está orientada no sentido anti-horário, então a equação vetorial é
r(t)=cost i+2sent j+5k, 0 ≤ t ≤ 2π. Então ( ) ( ( ))
, e pelo Teorema de Stokes:
Page 24
23
∬
∫
∫ ( ( )) ( )
∫ ( )
∫
5. F(x,y,z) = + sem(xyz)j + xyzk. S é a parte do cone que
está entre os planos y = 0, e y = 3, orientado na direção positiva do eixo y.
Resolução:
O limite da curva X é a circunferência com a equação vetorial
r(t)=3sent i+3 j+3cost k, 0 ≤ t ≤ 2π com orientação positiva. Então
F(r(t))=729 ( )
F(r(t))- ( )
Assim
∬
∮
∫ ( ( )) ( )
∫ (
)
∫ ( (
)
)
[
(
)
]
( )
Page 25
24
6. a) Use o teorema de Stokes para calcular ∫
, onde
F(x,y,z) =
e C é a curva de interseção do plano x + y + z = l com o cilindro
com orientação no sentido anti-horario quando visto de cima.
b) Trace o gráfico do lano e do cilindro com janelas de inspeção escolhidas de
forma a ver a curva C e a superfície que você usou na parte (a).
c) Determine as equações paramétricas para C e use-as para traçar o gráfico de C.
Resolução
a) A curva de interseção é uma elipse no plano x+y+z=1 com normal n=
√ (
), rot F=x2
j+y2
k, e rot F n=
√ (x
2 + y
2). Então
∮
∫
√ ( )
∬ ( )
∫ ∫
(
)
b) .
c) Uma possível parametrização é x=3cost, z=1-3cost-esent, .
7. Use o teorema de Stokes para calcular ∫
, onde F(x,y,z) = yi + zj + xk.
S é o hemisfério x2 + y
2 + z
2 = 1, y=0, orientado a direção positiva do eixo y.
Resolução:
Page 26
25
A curva limite é a circunferência orientado no sentido anti-horario,
na visão positiva no eixo y . Então C pode ser descrito por r(t)=costi – sentk, 0
2 , e r’(t)= sent i – cost k. Assim
F(r(t)) = sent j+cost k, F(r(t))r’(t) = cos
2t
e
∮
∫
]
Agora rot F=-i-j-k, e S pode ser parametrizado
∫∫
∬ ( )
∫ ∫(
)
∫(
) [
]
4. Referências Bibliográficas:
1) Simmons, G. F., Cálculo com Geometria Analítica, Vol.2, McGraw-
Hill, 1987
2) Stewart, J., Cálculo, Vol. 2 - 5ª Edição, Thomson Learning, 2005.