Tensor de Esfuerzo - metalurgia.usach.clmetalurgia.usach.cl/sites/metalurgica/files/paginas/cap_7_micro... · En el caso general de un cristal sometido a un estado arbitrario de tensiones

Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo VII. Microplasticidad de Cristales

Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH. 7 - 1

Microplasticidad de Cristales.

En este capítulo se aborda el problema de la plasticidad desde un punto de vista

microscópico. Se toma en consideración la naturaleza discontinua y anisotrópica de los

cristales y se establecen criterios de fluencia plástica a partir de las consideraciones

planteadas.

7.1 Criterio de fluencia para la deformación por deslizamiento

Schmid (1924) propuso el siguiente criterio empírico de fluencia plástica por

deslizamiento en materiales cristalinos:

“En un sistema cristalino ocurre deslizamiento cuando la tensión de cortadura sobre el

plano de deslizamiento en la dirección de deslizamiento alcanza un valor crítico que se

conoce como tensión reducida crítica”.

El incremento de deslizamiento ocurre en el sentido de la tensión crítica aplicada

(producción de trabajo positivo).

A continuación se examinarán los distintos casos de fluencia plástica en cristales,

ordenados por su grado de complejidad:

Caso I Monocristal con un solo sistema de deslizamiento sometido a un ensayo de

Tracción

Si se somete un monocristal a un ensayo de tracción, la fuerza aplicada dará origen a un

esfuerzo, el que se transformará en un esfuerzo cortante sobre cada uno de los planos del

cristal. Sea:

: Angulo que hace la dirección de tracción con la normal al plano de deslizamiento

(NPD)

: Angulo que hace la dirección de tracción con la dirección de deslizamiento

Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo VII. Microplasticidad de cristales

7 - 2 Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH

La tensión de cortadura reducida a ese sistema será:

mA

F

A

F

A

F

AA

A

A

p

p

p

coscoscoscoscoscos/

cos

coscos

0<m<1/2

El límite elástico o tensión de fluencia del cristal se alcanzará cuando esa tensión

alcance el valor crítico c

c

c

y Mm

donde 2M es el factor de orientación y su valor depende de la

orientación del cristal respecto del eje de tracción.

El límite de fluencia de un monocristal es fuertemente anisótropo.

Ej: Los monocristales de metales hexagonales como el Mg (sistema basal predominante)

se comportan de esta manera en tracción. En la figura 2 se muestra la variación del

límite elástico con la orientación para monocristales de Mg.

M relaciona propiedades macroscópicas (tensión medida en un ensayo mecánico), con

una propiedad microscópica del material (la tensión crítica reducida c ).

Nota: c suele denominarse CRSS (critical resolved shear stress).

Figura 1. Criterio de Schmid.

A NPD

F

Ap

DD

F



c puede relacionarse con la resistencia al deslizamiento de las dislocaciones sobre los

planos de deslizamiento.

Figura 2.- Variación del límite elástico de monocristales de Mg en función de la orientación

( coscos ).

Caso II. Monocristal con varios sistemas de deslizamiento.

En un ensayo de tracción a cada sistema le corresponde un valor del factor de

orientación

iiim coscos

Al someter al cristal a tensiones crecientes, la fluencia ocurrirá cuando se alcance la

tensión crítica en algún sistema. Si la tensión crítica es uniforme (igual para todos los

sistemas) el sistema activo será aquel cuyo valor de m sea máximo (M mínimo).

m

0



Los demás sistemas permanecerán inactivos. A esta condición se le denomina

deslizamiento simple.

Si el valor de m es máximo simultáneamente en varios sistemas con igual tensión crítica,

el límite de fluencia se alcanzará en ellos al mismo tiempo, por lo que la deformación

plástica tendrá lugar por deslizamiento múltiple.

Caso III Monocristal con varios sistemas de deslizamiento cada uno con diferente

tensión crítica.

En el caso general de un cristal sometido a un estado arbitrario de tensiones ij la

aplicación del criterio de fluencia consistirá en calcular la tensión reducida en cada

sistema y compararla con la tensión crítica en ese sistema.

7.2. Proyección estereográfica.

La proyección estereográfica es una herramienta que permite visualizar con facilidad los

distintos planos y direcciones de un cristal. La forma de construir la proyección

estereográfica es la siguiente:

a) Se posiciona el cristal en el centro de una esfera, denominada esfera fundamental.

b) Se trazan las normales a los planos de interés.

c) Se intersectan estas normales con la esfera fundamental.

d) Se une el polo sur de la esfera fundamental con el punto de intersección

encontrado en (c).

e) Se determina la intersección con el plano ecuatorial de la recta determinada en

(d).

El plano ecuatorial es el que finalmente termina representando la proyección

estereográfica, tal como se aprecia en la figura 3.



Figura 3. Proyección estereográfica de un monocristal FCC que desliza sobre el sistema BIV

plano (111) y dirección 011 .

Tal como se aprecia, todos los planos y direcciones de la celda cúbica tienen su

representación en la proyección estereográfica.

Es posible definir triángulos estereográficos fundamentales, tales como el OAI,

mostrado en la figura 3 y ampliado en la figura 4. Este triángulo es el que está formado

por los planos (100), (110) y (111). Cuando la orientación del eje de tracción cae dentro

del área definida por este triángulo, el sistema de deslizamiento que se activa

corresponde al BIV, esto es, la deformación se produce a través del plano B=(111) y a

través de la dirección IV= 011 .

En la figura 5 se muestran los diversos valores del factor de orientación del sistema de

deslizamiento 011 111 de un cristal cúbico sometido a una tensión normal, en función

de la orientación del eje de aplicación de la fuerza.

F



Figura 4. Ampliación de los ocho triángulos fundamentales de la proyección estereográfica de un cristal

BCC que desliza sobre el plano 011 en la dirección <111> y sobre el plano 211 en la dirección

<111>.

Figura 5. Ampliación del triángulo estereográfico fundamental.

7.3. Sistemas de referencia.

Es necesario referir el estado de tensiones aplicado a un sistema de referencia externo.

Este sistema externo está relacionado con la aplicación de cargas, la máquina de ensayos

o la forma de la probeta monocristalina. El sistema de referencia asociado a la red

cristalina más natural en los metales cúbicos es el constituido por las 3 aristas del cubo

elemental de la red.



A cada sistema de deslizamiento se puede asociar un sistema de referencia ortogonal,

dos de cuyos ejes son la dirección de deslizamiento 1’ y la normal al plano de

deslizamiento 3’.

Para aplicar el criterio de fluencia cristalográfico interesa la componente de cortadura

S

13 correspondiente al sistema de referencia asociado al sistema de deslizamiento s. Si

se obtiene el estado de tensiones referido al sistema de referencia del cristal, c, para

obtener S

'3'1 , sólo se necesitan los cosenos directores de las direcciones DDS 1 y

NPDS 3 respecto a los ejes del sistema C (y son simplemente los índices unitarios

de Miller de esas dos direcciones)

'3'1'3'1 ji

C

ij

S

7.4. Efectos producidos por un incremento de deslizamiento.

Sea un elemento unitario de volumen de un sólido cristalino orientado de acuerdo con el

sistema asociado de un sistema de deslizamiento, s, y sea un elemento en el que se

producen los deslizamientos en ese sistema. Sea Sd la cantidad de deslizamiento total

acumulada en el elemento por unidad de volumen (figura 6).

Figura 6. Cantidad de deslizamiento total acumulada en el elemento por unidad de volumen.

1

1

1

2`

1` (DD)

3`(NPD)

Plano d

e

desliza

mie

nto

s



Si se prescinde de las discontinuidades locales en los afloramientos de los

deslizamientos a la superficie del elemento, (lo cual será aceptable siempre que el

deslizamiento no se localice fuertemente; en general, siempre que podamos considerar

un elemento de dimensiones muy superiores a las de los escalones de deslizamiento)

podemos tratarlo como un elemento continuo. Respecto al sistema de referencia

considerado, la matriz de desplazamiento relativos corresponde al deslizamiento Sd

es:

00

000

000

''

S

ji

d

u

es decir, una cizalladura “simple”, que puede descomponerse en una matriz más una

matriz antisimétrica

002

0002

00

002

0002

00

''

S

S

S

S

ji

d

d

d

d

u

es decir, en una matriz de deformación (que vemos una “distorsión” sin cambio de

volumen) que referida a ese sistema es una cizalladura “pura”.

2/'3'1 sdd

más una matriz de rotación cuya única componente es una rotación positiva alrededor

del eje 2´ (normal a la dirección de deslizamiento y sobre el plano de deslizamiento),

2/'1'3'2 Sddd

Respecto a otro sistema de referencia distinto, el incremento de deslizamiento habrá

dado lugar a la deformaciones y tensiones:

'1´'3'3'12

jijiS

ij

dd

'3´'1'1'32

jijiS

ij

dd



En general, si se activaran simultáneamente varios sistemas de deslizamiento, para un

pequeño incremento (infinitesimal), la composición de todos ellos da lugar a:

'1´'3'3'12

jijiS

Sij

dd

'3´'1'1'32

jijiS

Sij

dd

La formulación empleada es válida tan sólo para deformaciones infinitesimales. Para

deformaciones plásticas grandes, puede realizarse la aproximación de considerar una

sucesión de pequeños incrementos consecutivos. Asimismo, dada la heterogeneidad

intrínseca de la deformación a escala cristalina, el elemento de volumen mínimo debe

ser grande respecto a la distancia entre líneas o bandas de deslizamiento (escala habitual:

una micra) aunque dentro de un mismo grano cristalino (escala habitual: decenas de

micras) pueden activarse combinaciones distintas de deslizamiento y, por lo tanto,

ocurrir deformaciones y rotaciones distintas.

7.5. El factor de orientación como relación entre la deformación macroscópica y el

deslizamiento.

En un ensayo de tracción, la tensión de fluencia externa aplicada y la tensión crítica de

cortadura están relacionadas a través del factor de orientación. Si se ensaya un cristal

según la dirección 1 de un sistema de referencia externo, para el sistema activo,

)()( 1131 CC y Mmll y /3111

Además, si únicamente se ha producido deslizamiento en el sistema 1´3´,

Mdmdllllddd SSS /)(2/ 1131311111

Por lo que el factor de orientación se puede ver alternativamente como la relación entre

la tensión microscópica de fluencia y la tensión crítica de cortadura o como la relación

entre la cantidad de deslizamiento y la deformación externa registrada:

ddM Cy //

Visto de otra manera, lo expresado no es sino el resultado de calcular el trabajo plástico

respecto a un sistema de referencia asociado al deslizamiento o respecto a otro sistema.

Por unidad de volumen se tiene que:



Mdd

ddV

dW

Cy

Cy

//

7.5. Consecuencias de la Rotación Asociada a un Incremento de Deslizamiento

La activación de un sistema de deslizamiento da lugar a un incremento de deformación y

un incremento de rotación del elemento de volumen respecto al sistema de referencia

asociado al sistema de deslizamiento. Referido a este sistema (o al sistema cristalino,

cuya relación con el primero no varía pues a deformación plástica no distorsiona la red)

un vector, {s}, del sólido será transformado, por efecto del deslizamiento, en otro,

{s*}, tal que:

sxdssddIss ij

TT

ijij

TT *

siendo [I] la matriz identidad y

d el vector de rotación, de módulo igual al incremento

de ángulo girado y dirección y sentido los del eje de giro. Como se recordará, las

componentes de este vector se corresponden con los elementos de la matriz de giro:

0

0

0

xy

xz

yz

ij

dd

dd

dd

d

Si en la expresión procedente sólo se consideran las componentes de rotación, se puede

calcular, trabajando en el sistema asociado al cristal, las nuevas orientaciones cristalinas

que toma una dirección trazada inicialmente en el sólido (por ejemplo, si no existe

rotación relativa del sólido respecto a un sistema de referencia externo asociado al

laboratorio o la máquina de ensayos, la nueva orientación de esos ejes tras un

incremento de deslizamiento). Para deformaciones finitas, se deben integrar las

rotaciones correspondientes a sucesivos incrementos de deslizamiento.

La consecuencia general de la rotación asociada a un incremento de deslizamiento es

una reorientación del cristal respecto del sistema de referencia externo. Visto desde este

sistema, si al cristal no se le ha impuesto un giro adicional, su cambio de orientación

respecto al sistema externo es un giro opuesto al derivado del deslizamiento:

CREOR dd

En el caso más general, durante la deformación plástica puede imponerse una rotación al

sólido; en este caso el cambio de orientación de los ejes asociado al cristal respecto al



sistema fijo es una rotación resultante de la composición de la impuesta externamente

más la opuesta a la derivada del deslizamiento referida al cristal:

CEXTREOR ddd

Ejemplos:

a) En la figura 7 se ha esquematizado el cambio de orientación de un monocristal

deformándose por deslizamiento simple durante un ensayo de tracción. En este

caso, CREOREXT ddd

,0

b) En un ensayo de cizalladura simple, al cristal se le impone, además de la

deformación plástica, una rotación respecto a un sistema externo de valor

0,2/,0 dd EXT

si la cizalladura se realiza según el plano normal al eje 3 y

en dirección del eje 1. En este caso, CEXTREOR ddd

.

Como conclusión general, la deformación plástica de los cristales se acompaña de

cambios de orientación; en el caso de los policristales, ese es el origen del desarrollo de

“texturas de deformación”.

2a

1a1a

Figura 7. Cambio de orientación de un monocristal deformándose por deslizamiento simple

durante un ensayo de tracción.



Por otro lado en la curva de fluencia de un cristal se superponen dos efectos: la variación

de la tensión de fluencia intrínseca, c, por cambios estructurales inducidos por la

deformación, y la variación del “factor de orientación”, M, que relaciona la tensión

macroscópica-externa con c, por el efecto del cambio de orientación.

7.6. Evolución de la orientación del eje de tracción durante el ensayo de un

monocristal

El ensayo mecánico más común con monocristales es sin duda el de tracción; pueden

encontrarse sin ningún esfuerzo numerosos ejemplos en la bibliografía (especialmente

en la de hace 20 o 25 años). Si el ensayo se realiza procurando que las restricciones al

giro de la muestra impuestas por el sistema de mordazas sean mínimas, la situación

inicial y final del cristal tras un incremento finito de deslizamiento se aproximará a la

que muestra la figura 8. Habrá ocurrido – en general – deslizamiento simple en

dirección b

sobre el plano normal n

(se está utilizando un sistema de referencia

asociado a la red cristalina y se va a realizar un planteamiento vectorial). Un elemento

del eje de tracción de la probeta, de magnitud y orientación inicial l, se transforma por

la acción del deslizamiento en el vector L

. El cambio de dirección equivale a un cierto

giro de magnitud . La orientación del eje de rotación es la misma que la del vector,

Lxlr

Si el deslizamiento total en el sistema mencionado es , se puede expresar:

bnllL

.

siendo nyb

vectores unitarios

ET ET

DDD

D

L

I

NPD

Figura 8. Cristal tras un incremento finito de deslizamiento



bxnlr

l .

En consecuencia, el eje de giro es perpendicular a la dirección de deslizamiento y al eje

de tracción. Si se consideran grandes deformaciones:

bnlL

. .

es decir, el eje de tracción tiende a orientarse con la dirección de deslizamiento del

sistema activo.

Aplicación: ensayo de tracción de un monocristal FCC.

En este caso, si , kh dirección situada en el triángulo “fundamental”

111011001 , el sistema activo es el 111 011 . Al ir alargando el cristal, la

orientación del eje gira hacia 011 alrededor de un eje perpendicular a ambas

direcciones. En la proyección estereográfica, figura 9, se desplazará por el círculo

máximo que las conecta.

Al llegar a la frontera 111001

, si la tensión crítica es uniforme en todos los sistemas

de la familia 11 1 < 110 >, la posición simétrica del eje de tracción hace que se active

además el sistema correspondiente al triángulo equivalente al vecino, 011 111 . La

combinación equilibrada de ambos giros produce el desplazamiento de la orientación del

eje por la frontera 111001 :

22211

*

1

*

21 bnbnllLCC

Por simetría: nlnlnl

2

*

1

*

21 ,2

21

* 2 bbnllL

en este caso:

011 / /

2 1 1 / / 21

r

bb

y, para grandes deformaciones,

0

121

r

L

La orientación 121 es una “orientación final estable”de los cristales FCC deformados

a tracción sin restricciones. Las orientaciones de alta simetría <001>, <011> y <111>



son orientaciones finales del eje de tracción, como puede fácilmente comprobarse, pero

inestables: cualquier pequeña desviación de la orientación ideal tiende a producir un

alejamiento progresivo del eje de tracción de dichas orientaciones durante el

alargamiento posterior.

001011

111(NPD)

hklDD)( 011

111 111

hkl

121

Figura 9. Proyección estereográfica de un cristal BCC deformado.

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