El Tensor de Esfuerzo - metalurgia.usach.clmetalurgia.usach.cl/sites/metalurgica/files/paginas/cap_3_el... · está asociado con la componente de esfuerzo perpendicular a la superficie

Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo

Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 1

El Tensor de Esfuerzo

Cuando un cuerpo es sometido a cargas, ya sea por esfuerzos aplicados sobre su

superficie externa o debido a la influencia de la fuerza de gravedad o fuerzas similares

deben cumplirse las condiciones de equilibrio mecánico.

El estudio de los esfuerzos sobre los cuerpos continuos conforma el área de la mecánica

de sólidos. Una parte esencial en la formulación de problemas en esta área, es la

descripción de las relaciones existentes entre los esfuerzos que actúan sobre los

elementos.

3.1 Esfuerzos

Al considerar la transmisión de fuerzas a través de un cuerpo, se deben tomar en cuenta

no tan sólo las fuerzas, sino también su distribución. Es necesario definir la intensidad

de distribución de fuerzas en un punto. Esta cantidad se denomina esfuerzo.

Si se aplica una fuerza 1F

sobre el área A1, entonces el esfuerzo promedio viene dado

por:

1

1

AF

El esfuerzo actúa en la misma dirección que la fuerza F1.

La notación es:

ij

i = superficie sobre la que actúa

j = dirección sobre la que actúa

11 está asociado con la componente de esfuerzo perpendicular a la superficie 1.

12 y 13 están asociados a las componentes paralelas a la superficie 1 (componentes de

cizalle).


3 - 2 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.

Las componentes del tensor esfuerzo son:

333231

232221

131211

333231

232221

131211

ij

Las componentes de esfuerzo representan las componentes promedio de esfuerzo en un

punto sobre la superficie únicamente si la fuerza está uniformemente distribuida.

A1

3e

2e

1e

1F

Figura 1. Definición de esfuerzo.

Figura 2. Diversas componentes del tensor esfuerzo.

x2

x1

x3

dx2

dx3

dx1

11

12

21

22

23

31

32

33



Si A1 es muy pequeña, es decir, 01 A , el esfuerzo anterior representa el esfuerzo en el

centro de A1.

1

11

011

1

límA

f

A

1

12

012

1

límA

f

A

1

13

013

1

límA

f

A

3.2 Simetría del Tensor Esfuerzo

Para que el cuerpo esté en equilibrio se debe cumplir que la suma de los momentos con

respecto a cualquier eje debe ser cero.

Por ejemplo:

03

xM

Dx

2

2

Dx2

Dx

x

x2

x

C

21122

31211

321222

D

DDD

DDx

xxx

xx

En general jiij σσ , es decir, el tensor esfuerzo es simétrico como una

consecuencia del equilibrio de momentos.

3.3 Equilibrio de tensiones o esfuerzos

Se derivan considerando el equilibrio dinámico de un pequeño elemento del cuerpo.

Debe cumplirse la segunda ley de Newton para todo el cuerpo F ma

Figura 3. Equilibrio de momentos de un sólido.



El incremento de esfuerzo producido sobre una distancia dx es

xdx por lo tanto el

esfuerzo total incrementado es

xdx .

La ecuación de balance global en la dirección x es, como se muestra en la figura 4:

dx

2

2

x

x2

x

22

1

1

1111 dx

x

2

2

2222 dx

x

dx2

dx

( ) ( ) ( )

11

11

1

1 11 2 3 21

21

2

2 21 1 3 31

31

3

3 31 1 2 x

dx dx dxx

dx dx dxx

dx dx dx

X dx dx dx a dx dx dx1 1 2 3 1 1 2 3

donde X 1 representa fuerzas de volumen: gravitacionales , electromagnéticas, etc

Al simplificar términos equivalentes se obtiene:

11

1

21

2

31

3

1 1x x x

X a

De igual forma resulta:

12

1

22

2

32

3

2 2x x xX a

y también

13

1

23

2

33

3

3 3x x xX a

Figura 4. Equilibrio de fuerzas en un sólido.



Nota: Usando notación indicial podemos escribir:

ij

i

j j ij i j jx

X a X a ,

3.4 Balance general de Momentos

Si se considera el balance de momentos alrededor del eje X 3 que corresponde al centro

del elemento tenemos

( ) ( ) / ( ) ( ) /

12

12

1

1 12 2 3 1 21

21

2

2 21 1 3 22 2 0 x

dx dx dx dxx

dx dx dx dx

o bien:

12

12

1

1 21

21

2

21 2 1 2 0 ( / ) ( / )x

dxx

dx

Nota : 211221 00 dxydxsi . Análogamente:

32233113 y

Ecuaciones de equilibrio en coordenadas cilíndricas

r r rz zr z z

rr

rrrzrrr aXrzrr

)(

r z r

r r z rX a

2

zzzrzzzrz aX

rzrr

Ecuaciones de equilibrio en coordenadas esféricas

rr r r rr r

r rr r r

g

rX a

1 1 2

sen

cot

r r

r r r rX a

1 1 3 2

sen

cot



r r

r r r

g

rX a

1 1 3

sen

( ) cot

3.5 Vector de Esfuerzo

El vector de esfuerzo o de tracción se define como ds

df

s

FT

s

D

D

D 0lím

, este vector

representa el esfuerzo en un punto al que se le puede relacionar con el área ds.

jijv

v

v

v

TTTT

3

2

1

333231

232221

131211

321

donde ij son los esfuerzos de corte (cizalle), i≠j y

ii son los esfuerzos normales

vj son las componentes del vector unitario en la dirección perpendicular a la superficie

Una nueva forma de escribir lo anterior es la siguiente:

x2

x3

x1

ds

32

33

31

21

22

23

1T

2T

3T

T

v

Figura 5. Representación geométrica del vector tracción T

.



3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

v

v

v

T

T

T

Ejemplo: Consideremos el siguiente tensor de esfuerzo

210

185

057

ij (MPa)

Calcular el vector Tracción en un punto P situado en el plano de la figura o paralelo a él.

Solución:

3

2

1

3

2

1

210

185

057

v

v

v

T

T

T

La ecuación del plano que pasa por los

puntos a, b y c en cada eje es 1c

z

b

y

a

x

y la normal es

cba

1,

1,

1 en este caso )3/1,3/2,3/2(ˆ)2/1,1,1( vv

por lo tanto

para esta situación

3/4

3/7

3/4

3/1

3/2

3/2

210

135

057

3

2

1

T

T

T

T

es decir,

3/43/73/4 321 TTT (MPa)

x3

x1

x21

1

2

Figura 6. Espacio x1 x2 x3



3.6 Esfuerzos Principales

En un estado general de esfuerzos, el vector tracción que actúa sobre una superficie de

normal v , depende del valor del módulo y de la dirección de este vector. La dirección en

la que el vector T

tiene la misma dirección que el vector v (por lo que no existen

componentes de corte) define un plano principal y la dirección del vector v es la

dirección principal, en tanto que T

es el esfuerzo principal. ijij TvT

Sea un esfuerzo principal y iv una dirección principal entonces:

0, jijjijjijiijijii vvvvcomovvvTT

entonces

0

0

0

0)(

3

2

1

3332.31

232221

131211

v

v

v

v jijij

Las 3 raíces de este polinomio cúbico se denominan esfuerzos principales. v es un

vector unitario 12

3

2

2

2

1 vvv . Para obtener las direcciones principales se reemplaza

cada 0)( jijiji ven

Observaciones:

1) Si 321 los planos principales son únicos y las 3 direcciones principales

son perpendiculares.

x1

x2

x3

P

T

v

Figura 7. Definición de esfuerzo Principal.



2) Si 321 existe un número infinito de vectores asociados a los valores

propios iguales y un vector 3v ortogonal a éstos (cilindro).

3) Si los 3 valores propios son iguales cualquier conjunto ortogonal de 321, vyvv son

direcciones principales (esfera).

4) Si los ejes de referencia coinciden con las direcciones principales entonces:

33

22

11

00

00

00

ij

Ejemplo: Calcular esfuerzos y direcciones principales del tensor

021

201

113

ij

Solución: 0)6232)(2(0

21

21

1132

Det

De donde se obtiene: 2,1,4 321 y las direcciones principales son:

)1,1,0(2

1,)1,1,1(

3

1,)1,1,2(

6

1321 vvv

caso particular: Hallar los esfuerzos principales correspondientes al tensor de esfuerzo.

300

010

002

Conclusión

3

2

1

00

00

00

tiene esfuerzos principales 1, 2 y 3.

También se puede decir que cualquier matriz de esfuerzo puede escribirse:



zyzxz

yzyxy

xzxyx

o bien

3

2

1

00

00

00

3.7 Estado Hidrostático y Desviador del tensor de esfuerzo

Un estado de esfuerzo dado por el tensor ij puede ser descompuesto en 2 componentes:

i) Componente hidrostática (o esférica) o esfuerzo normal medio se define como

3

)(

3

3322111

Ih

en que I1 es el primer invariante del tensor esfuerzo.

ii) Tensor desviador del esfuerzo, se define como: ijkijij '

Por ejemplo 12

'

12

332211

11

'

11 ,3

)(

por lo tanto

h

h

h

h

h

h

ij

00

00

00

333231

232221

131211

333231

232221

131211

Esfuerzo = Esfuerzo desviador + Esfuerzo Hidrostático

Conclusiones:

a) En un sólido elástico isotrópico un estado de esfuerzo con una componente

hidrostática nula produce solamente distorsión.

b) Un estado hidrostático puro de esfuerzo no produce distorsión pero sí un cambio en

las dimensiones del sólido.

Ejemplo: Sea

200

010

004

encuentre planos y direcciones principales



0)2)(1)(4(0

200

010

004

Det

los esfuerzos principales son 4, 1 y –2

Con 132

3

2

1

1

0

0

0

600

030

000

4 vyvv

v

v

v

es arbitrario, luego el

vector propio (dirección principal) correspondiente al valor propio (esfuerzo principal)

es )0,0,1(1 v

De igual forma se obtiene para )1,0,0(2)0,1,0(1 32 vyv

3.8 Descomposición del vector tracción en componente normal y de corte

Figura 8. Componentes normal y de corte del vector tracción.

esfuerzo normal

T

3x

1x 2x



Sea

33

22

11

3

2

1

3

2

1

3

2

1

00

00

00

ˆ

l

l

l

l

l

l

T

l

l

l

v

Además de la figura 8 se tiene:

2

33

2

22

2

11

3

2

1

332211

222),,(ˆ, lll

l

l

l

lllvTT

además:

2

3

2

2

2

32

2

3

2

1

2

31

2

2

2

1

2

21

2

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

)()( llllll

lllT

De acuerdo a esto existirán valores estacionarios para dependiendo de los cosenos

directores (li ).

Los llamados esfuerzos de corte principales se obtienen de la ecuación anterior dando

valores a li tal que:

20

2

1

2

1

22

10

2

1

22/12/10

213

31

2

32

1

321

maxlll

Como 2321 es el máximo.

Por cada par de tensiones principales hay 2 planos de tensiones de cizallamiento

principales que bisectan a las direcciones principales para las tensiones normales o

principales, tal como se muestra en la figura 9, donde se muestra la ubicación de los

esfuerzos máximos.



3.9 Esfuerzo y deformación planos.

3.9.1 Estado de esfuerzo plano es aquel en el que una fila (y por lo tanto una columna)

del tensor de esfuerzos es cero. Por ejemplo 3j = 0, o con lo cual

2221

1211

ij

3.9.2 Estado de deformación plano

Un estado de deformación plana es aquel, en que una fila (y por tanto una columna) de

la matriz de deformación, es cero. Por ejemplo:

3j = 0 con lo cual

2221

1211

ij

3.10. Círculo de Mohr

3.10.1. Círculo de Mohr en dos dimensiones

El círculo de Mohr es un método gráfico propuesto para representar el estado de tensión

en un punto sobre cualquier plano oblicuo que pase por ese punto.

2

31

2

x3

x2

x1

3

2

1

3

2

1

2

32

1

2

213

Figura 9. Esfuerzos cortantes máximos.



y

x

xy

xy

n

n

dsdy

dx

Figura 10. Estado de esfuerzos en un sólido.

¿ Cuánto valen los esfuerzos en un plano cualquiera?

),,,(,),,,( xyyxnxyyxn gf además en la dirección de

0in F

Considerando espesor igual a 1 se tiene

0)1()1(cos)1(cos)1()1( dxsendydxdysends xyxyyxn

al dividir por ds resulta

sencoscossends

dx

ds

dy

ds

dx

ds

dyxyxyyxn

pero para un triángulo de catetos dx, dy e hipotenusa ds

sen,cosds

dy

ds

dx cossen2cossen 22

xyyxn

En términos del ángulo doble se puede escribir:

2sen2

2cos)(

2xy

xyyx

n

El esfuerzo máximo y mínimo se obtiene de la condición 0

d

d n



xy

xy

xy

xyn

d

d

22tg02cos22sen

2

)(2

Esta es la condición de planos principales. Evaluando se tienen los siguientes valores

para el esfuerzo principal

2

2

mínmáx/4

)(

2xy

xyyx

n

son los valores máximos y mínimos

Los esfuerzos principales son mín2máx1 ,

Esfuerzo Cortante n

En la dirección 0 i

in F

0cossensencos dxdydxdyds xyxyyxn dividiendo por ds

2cos2sen2

)(xy

xy

n

La condición 0

d

d n entrega el esfuerzo cortante óptimo

Al igual que para el esfuerzo normal en éste caso se obtiene xy

xy

2)2tg( '

Los valores máximos y mínimos son 2

2

mínmáx/4

)(xy

xy

Observación: 1)2tg(2tg ' ángulo 2 es perpendicular a ')2( luego ' y

están a 45º. Esto se obtiene multiplicando las expresiones para ambas tangentes

Al elevar al cuadrado y sumar las ecuaciones (1) y (2) queda

2

2

2

2

22xy

xy

n

yx

n



La que corresponde a la ecuación de un círculo en el espacio centrado en 2

yx

y de radio R, con 2

2

4

)(xy

xyR

cuya representación geométrica se muestra en

la figura 11.

3.10.2 Metodología para trazar el círculo de Mohr

Sean xyyx y, las componentes del esfuerzo dado.

Sobre el eje horizontal se ubican los esfuerzos yx y y sobre el eje vertical se ubica

xy . Se ubican los puntos ),(y),( xyyxyx teniendo presente las siguientes reglas:

a) Los esfuerzos tractivos se toman positivos

b) Los esfuerzos cortantes se toman positivos si tienden a producir una rotación en el sólido

en el sentido de las agujas del reloj

c) Al unir los puntos ),(y),( xyyxyx mediante un trazo, el intercepto con el eje

horizontal define el centro del círculo.

. .

1

2

.2

yx

R

Figura 11. Representación geométrica del círculo de Mohr.



. .0

.

(a) (b)

Ejemplo:

Hallar:

a) Planos principales

b) Esfuerzos principales

c) Direcciones de esfuerzo cortante máximo y mínimo

d) mínmáx y

e) Los esfuerzos normales en los planos de mínmáx /

=6 MPa

9 MPa

14 MPa

Figura 13. Sólido sometido a cargas.

Figura 12. Casos de estados de esfuerzos. (a) Tensión Uniaxial. (b) Tensión Biaxial equilibrada.



Solución:

a)

º6,207

º6,272522.0

2

149

6

2

2tg

xy

xy

= 13,8º ; 103,8º

15,5 MPa

9 MPa

6 MPa

14 MPa

13.8°

103.8°

10,5 MPa

58.8°

148.8° = -13 MPa

= 13 MPa

b)

2

2

2

2

mínmáx/

62

149

2

914

22

xy

xyyx

Para = 13,8º = -10,5 MPa

= 103,8º = 15,5 MPa

c) Los planos de máx/mín se encuentran: a 45º de los planos máx/mín.

Figura 14. Esfuerzos normales y cortantes máximos.



= 13,8º + 45º = 58,8º

= 103,8º + 45º = 148,8º

d) máx/mín = MPa

MPaxy

xy

13

13

2 mín

máx2

2

Para = 58,8º = -13 MPa

e) para = 58,8º y = 148,8º

vale = 2,5 MPa

1= 15.5 MPa

max

= 13 MPa

.

min

= -13 MPa

2= -10.5 MPa

..

Figura 15. Circulo de Mohr del problema



3.10.4. Círculo de Mohr en 3 dimensiones

Si se define un estado triaxial de esfuerzos a través de los tres esfuerzos principales, la

representación gráfica es la siguiente:

Puede demostrarse que todas las posibles condiciones de esfuerzo dentro del cuerpo,

caen dentro del área sombreada entre los círculos. Al existir un esfuerzo compresivo el

área sombreada aumenta.

Si los 3 esfuerzos principales son iguales el círculo se reduce a un punto (no existe

cizalle).

Dados los esfuerzos principales 321 , y el esfuerzo normal en un plano

cualquiera cuyos cosenos directores son l, m y n viene dado por, ver figura 17.

3

2

2

2

1

2 nml (*)

El esfuerzo cortante sobre este plano está dado por (**):

2

2

2

Figura 16. Círculo de Mohr en tres dimensiones.

:queda(*)en rreeemplazaal 11

**)(

222222

2

3

2

2

2

1

22

3

22

2

22

1

22

lnmnmlcomo

nmlnml



23

212

22

3

2

2

22

1

2 )()1(

lnnnll

reemplazando en (**) resulta:

2

23

2

221

22

2

2

3

22

2

2

2

2

1

22 ))()(()()( nlnl

y nuevamente reemplazando se puede obtener:

))((

))((,

))((

))((

2123

13

22

1312

32

22

ml

))((

))((

))((

))((

3231

21

2

3231

21

22

n

La ecuación para 2l se puede escribir como

))(())(( 3121

22

32 l

o en forma equivalente por:

2))((

2

)(2

32

3121

22

2

32

l

en la figura 17 se muestran diversas situaciones de la construcción del Círculo de Mohr

y en la figura 18 se muestran varios casos de esfuerzos aplicados.



Figura 17. Círculos de Mohr para sistemas tridimensionales de esfuerzos.

Figura 18. Diversas situaciones de esfuerzos.

(a) Tracción simple; (b) Comprensión simple; (c) Tracción Biaxial; (d) Tracción Triaxial;

(e) Tracción Comprensión Triaxial

(e)



Ejercicios resueltos

1.- En un elemento de máquina en el que la tensión )/(4 2mmKgz existe un estado de tensiones

ij tal que en un plano cuya normal es kjin ˆ2ˆ6ˆ3

el vector esfuerzo es:

7/)ˆ29ˆ12ˆ32( kjiT

En otro plano normal kjin ˆ2ˆˆ2

, el vector esfuerzo es: 3/)ˆ7ˆ14ˆ12( kjiT

a) Determinar el tensor ij respecto de un sistema de coordenadas ortogonales x-y-z, que originan

los esfuerzos en un plano dado.

b) Esfuerzos principales y sus respectivos ángulos

c) ¿Ud. Recomendaría para estas solicitación de esfuerzos el acero A37/24?

(37 kg/mm² de ruptura y 24 kg/mm² de fluencia).

Solución:

29

12

32

7

1

2

6

3

7

1*

4yzxz

yzyxy

xzxyx

a

29863

12263

32263

yzxz

yzyxy

xyxyx

)(

)(

)(

c

b

a

7

14

12

3

1

2

1

2

3

1*

4yzxz

yzyxy

xzxyx

b

782

1422

1222

yzxz

yzyxy

xyxyx

)(

)(

)(

f

e

d

De las ecuaciones ( c ) y ( f )

2163 yzxz 2163 yzxz

12 yzxz /6 6612 yzxz

------------------------ ------------------------

)/(11515 2mmkgxzxz



)/(3

)/(1

2

2

mmkg

mmkg

xz

xz

De las ecuaciones ( b) y (e )

1863 yxz 1863 yxz

82 yxy /6 48612 yxy

---------------------- ---------------------

3015 xy

)/(4

)/(2

2

2

mmkg

mmkg

y

xy

de a) )/(63

12232 2mmkgxx

Luego

431

342

126

ij

1502

30)(

6

222

3

222

2

1

xyzxzyyzxyzxzxyzyx

yzxzxyzyzxyx

zyx

I

I

I

0150306 23

93,3

29,7

22,5

'

3

'

2

'

1

22,5

93,3

29,7

3

2

1

c) Como el esfuerzo principal 2429,71 entonces el sistema no colapsa, por lo cual se

recomienda el acero.



2- Sobre las caras de un paralelepípedo elemental que envuelve a un punto P de un

sólido elástico existen las tensiones indicadas en la figura 2, en MPa. Se pide:

a) Las tensiones y direcciones principales

b) Obtener analítica y gráficamente, las componentes intrínsecas del vector tensión

correspondientes a un plano cuya normal forma ángulos iguales con los semiejes

cartesianos ortogonales x, y, z indicado en la figura.

y

z

x

10

4020

20

10 20

Solución

a) Según la figura el estado de tensiones seria =

102040

202020

402010

Las tensiones principales son las raíces de la ecuación característica:

0

102040

202020

402010

0)20·(40·4020·20)·10()10·(20·2020·20·4040·20·20)10)·(20)·(10(

Cuya factorización entrega

MPa

MPa

30

60

0540002700

32

1

3



Como MPa3032 , la única dirección principal que se puede determinar es la

correspondiente a la raíz simple 1 . Las componentes del vector unitario se

pueden encontrar mediante la resolución del sistema homogéneo:

0

0

0

·

60102040

20602020

40206010

0524

0282

0425

Con la condición 1222 tenemos que la solución del sistema nos entrega:

3

2

3

1

3

2u

está mala la solución (2,1,-2)/3

Por lo que encontramos el plano donde se encuentran las direcciones principales es

022 xyx .

b) El vector unitario normal al plano que forma ángulos iguales con los tres ejes

principales es

3

1

3

1

3

1u

A este vector corresponde un vector tensión

3

503

203

10

3

13

13

1

102040

202020

402010

Cuyas componentes intrínsecas son:



MPaun3

80

3

50

3

20

3

10

3

1

3

1

3

1·

3

503

203

10

·

MPa

MPaMPa

MPa

n

n

17

277.26

3

2600

9

6400

3

3000

3

1600

3

2500400100

3

80

3

50

3

20

3

102222

22

3.- El campo de esfuerzos que rodea una dislocación de borde en coordenadas

rectangulares es:

222

223

12 yx

yx

v

Gbyxx

222

22

12 yx

yx

v

Gbyyy

yyxxzz v

222

22

12 yx

yx

v

Gbxyxxy

0 yzxz

a) Determinar la magnitud y dirección de los esfuerzos principales en un punto situado

en (a,2a), en que:

a = parámetro atómico = 0.2866 nm

3.0v

G = módulo de corte = 75GPa

b = vector de Burger.

Solución:



222

2

2222

2222

12400

0

03

yxv

Gb

yvx

yxyyxx

yxxyxy

ij

Evaluar en punto (a, 2a)

222

3

2222

2222

412800

0424

04432

)2,(aav

Gb

va

aaaaaa

aaaaaa

aaij

av

Gbaaij

1504,200

063

0314

)2,(

Pero GPabm

bm

N

a

Gb38.2

102866.07.050

²1075

)1(50 9

9

Por lo que:

b

bb

bb

aaij

72.500

028.1414.7

014.732.33

)2,(

Ahora…

0)2;(det ijij aa

0

72.500

028.1414.7

014.732.33

det

b

bb

bb

0)789.52604.19()72.5(1 22 bbb

b

b

b

37.34

72.5

33.15

3

2

1

Estos son los esfuerzos principales de )2;( aaij

GPab37.343

GPab72.52

GPab33.151

Dirección

1 :



0

0

0

33.1572.500

033.1528.1414.7

014.733.1532.33

3

2

1

x

x

x

bb

bbb

bbb

1221 81.6014.765.48 xxxbxb

03 x

0;99,0;14,0

14,014.099.0

99,0

114.01

14.0005.114.7

1

2

2

2

2

2

22

3

2

2

2

1

2121

x

x

x

xxxxx

xxxx

Vector dirección principal asociado al esfuerzo 1

2 :

0

0

0

72.572.500

072.528.1414.7

014.772.532.33

3

2

1

x

x

x

bb

bbb

bbb

02014.7

014.76.27

21

21

xx

bxbx Sistema inconsistente, x3 puede ser cualquier número.

Tomo x3 = 0

25,0

97.0

126.01

1

26.0

1

2

2

2

2

2

3

2

2

2

1

21

x

x

x

xxxcomoy

xx

0;97,0;25,0x


3 :

0

0

0

37.3472.500

037.3428.1414.7

014.737.3432.33

3

2

1

x

x

x

bb

bbb

bbb

0

065.4814.7

014.705.1

3

21

21

x

xx

xx



99,0

14,0

181.6

1

81.6

1

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

1

21

x

x

xx

xxxcomoy

xx

0;14,0;99,0x


b) Dibuje el círculo de Mohr

b

143252

32

1

b

85.242

31

2

b

53.102

213

bc

33.142

32

1

bc

52.92

31

2

bc

81.42

213

2

2

c

c2

c

b



c) Determine las componentes hidrostáticas y desviadoras de los puntos (0, a), (0,-a) y

(a,0). Explique.

i.- (0, a)

4

3

3

12000

00

00

),0(av

Gba

a

aij

av

Gbaij

12000

010

001

),0(

000

000

000

03

1IH

No hay componente hidrostática, entonces no hay cambio de volumen (distorsión)

10

01'

'

ijij

ijHijij

Componente desviadora, estado de corte puro

ii.- (0,-a)

av

Gbaij

12000

010

001

),0(

0 H No hay distorsión

ijij ' Estado de corte puro

iii.- (a,0)



av

Gbaij

12000

001

010

),0(

0 H No hay distorsión

ijij ' Hay deformación

En resumen, si se analiza el estado de esfuerzos en la vecindad de una

dislocación de borde, se tiene:

4.- Demostrar que la componente del vector tracción es igual a:

2

3

2

2

2

32

2

2

2

1

2

31

2

2

2

1

2

21

2 llllll

Solución:

En un sistema de esfuerzos triaxial se tiene que el vector Tracción se puede

descomponer en dos componentes, una componente normal y otra componente de corte

de tal manera que se cumple la siguiente igualdad:

222 T

(0,a)

(a,0)

(0,-a)



x1

x3

x2

v

T

El vector tensión tiene además sus componentes en los tres ejes de manera que se debe

demostrar que se cumple que el esfuerzo cortante al cuadrado es igual a lo siguiente,

expresado en términos de los esfuerzos principales:

2

3

2

2

2

32

2

3

2

1

2

31

2

2

2

1

2

21

2 llllll

Si se desarrollan los términos de los cuadrados de los binomios, se tiene:

2

3

2

2

2

332

2

2

2

3

2

1

2

331

2

1

2

2

2

1

2

221

2

1

2 222 llllll

2

3

2

2

2

3

2

3

2

232

2

3

2

2

2

2

2

3

2

1

2

3

2

3

2

131

2

3

2

1

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

121

2

2

2

1

2

1

2 222 llllllllllllllllll

Reordenando se tiene que:

2

3

2

232

2

3

2

131

2

2

2

121

2

3

2

2

2

3

2

1

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

2

2

3

2

1

2

2

2

1

2

1

2 222 llllllllllllllllll

Como 12

3

2

2

2

1 lll , si se despeja cada uno de los cosenos directores tenemos que:

2

3

2

2

2

1 1 lll , 2

3

2

1

2

2 1 lll , 2

2

2

1

2

3 1 lll

Reemplazando cada uno de los términos en la expresión anterior, tenemos que:



2

3

2

232

2

3

2

131

2

2

2

121

2

3

2

2

2

3

2

2

2

3

2

3

2

3

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

3

2

1

2

3

2

1

2

1

2

1

2

22

2111

llll

lllllllllllllllll

Desarrollando los paréntesis se tiene la siguiente expresión:

2

3

2

232

2

3

2

131

2

2

2

121

4

3

2

3

2

3

4

2

2

2

2

2

4

1

2

1

2

1

2 222 llllllllllll

2

3

2

232

2

3

2

131

2

2

2

121

4

3

2

3

4

2

2

2

4

1

2

1

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2 222 llllllllllll

El término en paréntesis lo denominaremos como (*).

Como 2

33

2

22

2

1 lll , esto implica que

22

33

2

22

2

11

2 lll

Luego: 2

3

2

232

2

3

2

131

2

2

2

121

4

3

2

3

4

2

2

2

4

1

2

1

2 222 lllllllll , expresión que es igual

al término (*), luego como

22

3

2

3

4

2

2

2

4

1

2

1

2 lll y si 2

3

2

3

4

2

2

2

4

1

2

1

2 lllT , se llega a la

expresión:

2

3

2

2

2

32

2

3

2

1

2

31

2

2

2

1

2

21

2 llllll

La cual es la expresión que se quería demostrar.



5.- Demostrar que Z tiene máx. /mín. (derivada) para:

l1 = 1/2 l2 = 1/2 l3 = 1/2

donde 2

3

2

2

2

32

2

3

2

1

2

31

2

2

2

1

2

21

2 llllllZ

Sujeto a la condición: 12

3

2

2

2

1 lll

Solución:

Construyendo la función de Lagrange donde:

L: Función de Lagrange.

Z: Función de interés.

1,,, 2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

32

2

3

2

1

2

31

2

2

2

1

2

21321 llllllllllllL

Se deben resolver las derivadas parciales respecto de l1, l2, l3 y e igualar a cero en la

función de Lagrange.

Derivando con respecto a l1, l2, l3 y se tiene:

0222 1

2

31

2

31

2

21

2

21

1

lllll

l

L

0222 2

2

32

2

322

2

1

2

21

2

lllll

l

L

0222 33

2

2

2

323

2

1

2

31

3

lllll

l

L

012

3

2

2

2

1

lll

L

Expresándolo como un sistema de ecuaciones se tiene lo siguiente:

1) 01

2

31

2

31

2

21

2

21 lllll

2) 02

2

32

2

322

2

1

2

21 lllll

3) 033

2

2

2

323

2

1

2

31 lllll



4) 12

3

2

2

2

1 lll

Del sistema de ecuaciones se ve claramente que una de las soluciones que

correspondería a la solución trivial es que l1, l2 y l3 sean cero.

I. Si l1 = 0

Simplificando para las ecuaciones 1), 2) y 3) los componentes l1, l2 y l3, y considerando

la primera solución de l1 = 0 para el cálculo de las soluciones no triviales se tiene lo

siguiente:

Haciendo (1 - 2)2 = A, (1 - 3)

2 = B y (2 - 3)2

= C, se tiene que el sistema de

ecuaciones queda expresado de la siguiente forma:

1) 02

3

2

2 BlAl

2) 02

3

2

1 ClAl

3) 02

2

2

1 ClBl

4) 012

3

2

2

2

1 lll

Si se despeja l22 de 4) y reemplazamos en 3) se tiene lo siguiente:

4) 2

1

2

3

2

2 1 lll

3) 02

2

2

1 ClBl

5) 01 2

1

2

3

2

1 llCBl

Luego sumando 2) y 5) con la consideración de que l1 = 0, se llega a:

02022

1

2

1

2

1 CClCBlAl

Se despeja y se obtiene:

2C reemplazando en 3) se obtiene el valor de l3:

02

3

2

1 ClAl , como l1 = 0.



2

3Cl

Reemplazando el valor de

21

22

3 C

Cl

por lo tanto:

21

3 l

Reemplazando en la expresión 4):

012

3

2

2

2

1 lll

Se obtiene el valor de:

21

2 l

Entonces se tiene que:

21

21

0

3

2

1

l

l

l

II. Si l2 = 0

1) 02

3

2

2 BlAl

3) 02

2

2

1 ClBl

4) 2

3

2

2

2

1 1 lll

Reemplazando 4) en 3) y sumando ambas expresiones:

1) 02

3

2

2 BlAl

3) 01 2

2

2

3

2

2 ClllB



Se tiene que:

02

2

2

3

2

2

2

3

2

2 ClBlBlBBlAl

02

2

2

2

2

2 ClBlBAl

Reordenando la expresión y como l22 es igual a cero se tiene:

2B

Reemplazando el valor de en 1) se llega a que:

02

2

3

2

2 BBlAl

Y como 02

2 l , entonces:

21

21

3

2

3 ll


012

3

2

2

2

1 lll

12

3

2

1 ll


2

2

1 211

l

21

1 l


21

21

0

3

1

2

l

l

l



III. Si l3 = 0

1) 02

3

2

2 BlAl

2) 02

3

2

1 ClAl

4) 2

3

2

2

2

1 1 lll

Reemplazando 4) en 2) y sumando ambas expresiones:

4) 2

3

2

2

2

1 1 lll

2) 02

3

2

1 ClAl

01 2

3

2

3

2

2 ClllA

Se tiene que:

02

3

2

3

2

3 ClAlABl

BCAlA 2

32

Reordenando la expresión y como l32 es igual a cero se tiene:

2A

Reemplazando el valor de en 1) se llega a que:

02

3

2

2 BlAl

2

2Al

21

2 l


01 2

3

2

3

2

2

2

1 lylll



12

2

2

1 ll


21

1 l


0

21

21

3

2

1

l

l

l

Que es lo que se quería demostrar.

6.- Se tiene el siguiente sólido:

T

X1

X2

X3

1T

3T

2T

33

31

32

v

22

23

21

Demostrar que : jijvt

Donde

t = Vector de esfuerzo de tracción.

v = vector normal al sólido de componentes:



),,( 321 vvvv

Solución:

Previo:

La proyección de un vector sobre otro se obtiene a través del producto punto de uno de

ellos por el vector unitario en la dirección del otro. Asimismo, la proyección de un área

sobre otra se obtiene a través del producto punto del vector normal a una de las áreas por

el vector normal unitario del área sobre la cual se realiza la proyección. De esta

formador ejemplo, se puede determinar la proyección del área A de la figura sobre el

plano X1X2, a través de )1,0,0(vA , es decir:

3321 1,0,0,, AvvvvA

El problema planteado corresponde a un estado de esfuerzo en tres dimensiones. Este es

un estado general de esfuerzo que consiste en tres esfuerzos no iguales actuando en un

punto. El cuerpo libre debe estar en equilibrio esto significa que las fuerzas actuando en

cada una de las caras es cero.

Ahora, haciendo un balance de fuerzas en cada eje, y donde T1 representa a la

componente del vector esfuerzo en el eje x1, T2 representa la componente del vector

esfuerzo en el eje x2, T3 representa la componente del vector esfuerzo en el eje x3.

31321211111 0 AvAvAvATFx



3132121111 vvvT

3232221122 vvvT

3332321313 vvvT

Escribiendo esta expresión en forma matricial se tiene:

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

v

v

v

T

T

T

y se demuestra que: jijvt



7.- Demostrar que

2

23

2

2212

2

2

2

3

22

2

2

2

2

1

22 nlnl

en que es el esfuerzo cortante sobre un plano cuya normal es nml ,, y 1, 2 y 3 so

los esfuerzos principales.

Se sabe que el esfuerzo cortante está dado por:

2

3

2

2

2

1

22

3

22

2

22

1

22 nmlnml

Y como se debe cumplir que 1222 nml . Si ahora se despeja el valor de m2, se

tiene que:

222 1 nlm

Reemplazando en la expresión anterior y ordenando tenemos lo siguiente:

2

3

2

2

22

1

22

3

22

2

222

1

22 11 nnllnnll

2

3

2

2

2

2

2

21

22

3

22

2

22

2

22

2

2

1

22 nnllnnll

2

23

2

221

22

2

2

3

22

2

2

2

2

1

22 nlnl

que corresponde a la expresión que se quiere demostrar.

8.- Demostrar que

a) )''''''(2''' 313221

2

321

en que ',',' 321 son los esfuerzos desviadores.

033

3'''

'

321321

321321321

11

hh

hhhh

h

pero

querecordar



0'''2

321

0''2''2''2''' 323121

2

3

2

2

2

1

)''''''(2''' 323121

2

3

2

2

2

1

b) 2

13

2

32

2

2126

1' J .

3

2

1

00

00

00

ij

h

h

h

ij

3

2

1

00

00

00

'

''''''2

1''

2

1' 3322112 jjjjjjijijJ

0''''''2

1231312

2

3

2

2

2

1 queya

Además

h

h

h

33

22

11

'

'

'

3232

3131

2121

''

''

''

2

32

2

31

2

21

2

32

2

31

2

21 )()()()''()''()''(

2

332

2

2

2

331

2

1

2

221

2

1 '''2''''2''''2'

'6'23'''3''''''2'''2 22

2

3

2

2

2

1323121

2

3

2

2

2

1 JJ

2

13

2

32

2

2126

1' J

9.- El estado tensional plano referido a los ejes cartesianos XY en un sólido elástico en

equilibrio viene determinando por:

dycxby

bybyax

donde (x,y) son las coordenadas de un punto de dicho sólido.



En ausencia de fuerzas de volumen. ¿Existe alguna restricción sobre los coeficientes a,

b, c, d? Justificar.

Solución:

Se deben cumplir que:

a) 0

i

ij

x

b) jiij

Luego:

0000

00

2

22

1

12

2

21

1

11

ddxx

babaxx

con esto observamos que c no tiene condiciones.

10.- En un sólido elástico en equilibrio se determina el estado tensional (en MPa) en las

orientaciones indicadas en los alrededores de un punto P:

¿Cuál sería el tensor de tensiones en P referido a los ejes de la figura? Hallar las

componentes intrínsecas de la tensión según las siguientes orientaciones en P:

Solución:

De la figura podemos obtener la siguiente matriz:



000

021

014

zyzxz

yzyxy

xzxyx

Según la orientación de la primera figura tendíamos que:

)0,2/1,2/1(n

Luego,

0

2/1

2/5

0

2/1

2/1

000

021

014

Como nn

· , n

2

2

0

2/1

2/1

·02/12/5

n

342

1

2

25

Para la orientación de la segunda figura tendremos que:

)0,1,0(n

Luego,

0

2

1

0

1

0

000

021

014

Como nn

· , n

2

1414

2

0

1

0

)021(

n



11.- Respecto a unos ejes cartesianos XY el estado de tensión plano en una región de un

sólido elástico es:

01

12

Determinar el estado de tensión respecto a unos ejes X`Y` obtenidos al girar 30º en

sentido antihorario los ejes iniciales XY.

Solución

El cambio de coordenadas se puede apreciar realizando un pequeño esquema del giro de

los ejes coordenados

Tenemos que:

``` nT

nT

La matriz de cosenos de ángulos entre los ejes nuevos y ejes antiguos la denominaremos

[a], luego tenemos que,

naaT

anaTa

nan

TaT

··`·

/··`·

·`

·`

1

1

T

T

aa

aa

··`

·`·

Luego se tiene que,



2/32/1

2/12/3

2/32/1

2/123

cos

cos

Ta

sen

sena

Luego,

T

YX aa ··` ``

3113

1333

2

1

2/32/1

2/12/3·

2/12/31

2/32/13

2/32/1

2/12/3·

01

12·

2/32/1

2/12/3

El Tensor de Esfuerzo - metalurgia.usach.clmetalurgia.usach.cl/sites/metalurgica/files/paginas/cap_3_el... · está asociado con la componente de esfuerzo perpendicular a la superficie

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