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FORMULACION ELASTICA DE LA RIGIDEZ DE ELEMENTOS DE SECCION
VARIABLE
Arturo Tena Colunga y Alejandro Zaldo GarcaCentro de
Investigacin Ssmica, A. C., Fundacin Javier Barros Sierra, A.C.,
Carretera al Ajusco # 203,14200 Mxico, D. F
RESUMENDesde finales de los aos cincuenta, cuando la Portland
Cement Association (PCA) public sus tablas paradefinir los factores
de rigidez de elementos de seccin variable, en donde se utilizaron
varias hiptesissimplificadoras, poco se ha avanzado en la
representacin analtica de este tipo de miembros. El modeladode la
rigidez de elementos de seccin variable ha recibido poca atencin en
la literatura mundial en la ltimadcada, en donde se han propuesto
mtodos "prcticos" muy burdos, como es representar stos por medio
dehasta cinco elementos prismticos.Se presenta una formulacin
robusta basada en la teora de vigas y el mtodo de las
flexibilidades para ladefinicin de las matrices de rigidez elsticas
bidimensionales y tridimensionales de elementos de seccinvariable,
en donde se toman en cuenta adems las deformaciones por cortante y
la forma de su seccintransversal, factores que fueron ignorados en
el clculo de las tablas de la PCA. La metodologa se presentade tal
manera que su implementacin en programas de anlisis estructural, as
como su aplicacin directaresulta relativamente sencilla. El
procedimiento propuesto, que para fines prcticos puede
considerarsecomo exacto, se compara con las tablas de la PCA.
Basados en estas comparaciones, se demuestra lanecesidad de
actualizar las ayudas de disefto de la PCA ya que en el presente
resultan obsoletas debido a lashiptesis simplificado ras utilizadas
en esa poca, algunas de las cuales pueden llevar a errores
significativos.
ABSTRACTThere has been little development in the elastic
modeling of tapered members since the 1950's, when thePortland
Cement Association (PCA) published their handbook of frarne
constants, where some hypothesiswere taken to simplify the problem.
Few research has been devoted to approximate modeling the
elasticstiffness of tapered elements during the last decade. Some
authors have suggested a crude method ofmodeling the tapered
elements by using up to five prismatic elements as an equivalent
representation of thetape red section.Paper presents a robust
methodology to define two-dimensional and three-dimensional elastic
stiffnessmatrices for tapered elements based upon traditional beam
theory and the flexibility method. The proposedmethod takes into
account shear deformations and the shape of the cross section,
factors ignored in thedevelopment of the PCA design tables. The
method is proposcd in such a way that its direct application or
itsimplementation in computer programs for structural analysis is
straightforward. The proposed method,which for practical purposed
can be considered as exact, is compared against thedesign tables of
the PCA. Itis demonstrated that the PCA tables are obsolete for
today's state-of-the-knowledge on tapered members,because sometimes
they can lead to significant errors. Therefore, a new set of design
tables to substitute thePCA handbook of frame constants should be
developed.
123
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1. INTRODUCCION
Aunque se ha prestado cierta atencin al modelado de la rigidez
de elementos de seccin variable en laliteratura mundial,
principalmente desde el punto de vista prctico, estas formulaciones
realmente handejado mucho que desear por la falta de inters (o
ingenio) en el medio por desarrollar elementos elsticos deseccin
variable que puedan ser definidos como tales en programas de
anlisis estructural comerciales.Varios investigadores han sugerido
un mtodo muy burdo, en el cual la rigidez de elementos de
seccinvariable es modelada por medio de hasta cinco elementos
prismticos (Kosko, 1982; Funk YWang, 1988), loque ejemplifica muy
bien la tendencia de muchos analistas que prefieren emplear su
ingenio para sacarlejugo al mximo a una herramienta de trabajo
conocida (por ejemplo, un programa de anlisis estructural
quecontiene en sus librerias elementos elsticos prismticos
exclusivamente), en lugar de utilizarlo paradesarrollar o
implementar nuevas herramientas de trabajo, lo cual es realmente
preocupante.Hasta donde se sabe, la nica excepcin a esta apatia
terica y tcnica es debida a Brown (1984), quiensugiere un mtodo
basado en el clculo de variaciones. Brown propone que se utilicen
funciones deinterpolacin consistentes con la teora de vigas y el
prncipio de trabajo virtual para definir la matriz derigidez de
elementos de seccin variable, lo que constituye una buena
aproximacin. Otra excepcin a laregla son las ayudas de diseo
publicadas por la Portland Cement Association (pCA, 1958) o por
algunosinvestigadores de antao (Guldan, 1956), pues sus tablas estn
basadas en un mtodo riguroso de anlisis,como es el reconocido mtodo
de las flexibilidades. Sin embargo, en ambos casos se realizan
varias hiptesissimplificatorias, como el considerar la variacin de
la rigidez de las cartelas (lineal o parablica, segn seael caso de
la geometria de acartelamiento) en funcin del momento de inercia
principal en flexin, el cual esindependiente de la seccin
transversal. Adems, se desprecian las deformaciones por cortante,
as como larelacin peralte-claro de la viga en la definicin de los
diversos factores de rigidez. Estas simplificacionespueden llevar,
en algunos casos, a errores significativos en la determinacin de
los factores de rigidez, comose demostrar posteriormente.La
determinacin de la rigidez de elementos de seccin variable por
medio del mtodo de las flexibilidadesse propuso desde hace mucho
tiempo (Guldan, 1956), sin embargo, pocos han sido los catedrticos
querealmente han mostrado el inters debido en difundir este
conocimiento en tiempos recientes (Damy, 1986).Tal vez esa sea la
razn por la que los desarrolladores modernos de programas de
anlisis estructural no hanprestado atencin a este respecto, porque,
de hecho, existe un sinnmero de aplicaciones de
elementosestructurales de seccin variable, que van desde postes de
alumbrado y voladizos, hasta puentes, edificios,marcos de apoyo
para oleoductos o estructuras con diseos especiales desde el punto
de vista arquitectnico,como son iglesias, auditorios, hoteles,
etc.En las siguientes secciones se presenta la metodologa para
definir las matrices de rigidez de elementos deseccin variable
bidimensionales y tridimensionales para las secciones transversales
ms tpicamenteutilizadas en edificaciones por medio del mtodo de las
flexibilidades. El procedimiento presentado estparcialmente basado
en aquel enseado por Damy (1986).
2. OBTENCION DE MATRICES DE ELEMENTOS DE SECCION VARIABLE POR EL
METODO DELAS FLEXIBILIDADES
La definicin de elementos tipo viga-columna de seccin variable
bidimensionales y tridimensionales esrelativamente sencilla
utilizando el mtodo de las flexibilidades. Aunque en dcadas pasadas
el clculo de lamatriz de rigidez de elementos de seccin variable
utilizando este procedimiento resultaba un pocoengorroso debido a
que se requiere de integracin numrica en la mayora de los casos,
hoy en da resultamuy sencillo implementar este tipo de elementos en
paqueterias de anlisis estructural debido al grandesarrollo que ha
tenido el campo de la computacin.La matriz bsica de flexibilidades
de elementos de seccin variable bidimensionales, como el ilustrado
en lafig 1, se puede calcular de la siguiente manera:
124
-
y y
1 F,_L- (32 I
! I ,(11 ,'--' I ---~---~(22 J Zz
CD CD (2) CD (2)O) Fz =1 b) Fy = 1 e) Mxo=1
Figura 1. Definicin de los trminos de la matriz de
flexibilidades para elementos de seccin variable
(1)
en donde:
( dzin = JoEA(z) (2)
(3)
(4)
rl d;A3 = Jo Elx(z) (5)
Para elementos tridimensionales, los trminos de la matriz de
rigidez se calculan de la siguiente manera:
fil O O O O OO In O O O .h6
[J] = O O h3 O -As OO O O i44 O O
(6)
O O - !s3 O !ss OO h,2 O O O h,6
en donde:
r dzfil = o EA(z) (7)
125
-
(8)
(9)
(lO)
r1 zdz.As = Jo Ely(z)
(11)
(12)
r1 dzAs = Jo El (z)y
(13)
r1 dzf6 = Jo El.(z)153 =.hs.h2 =T
(14)
(15)
(16)
I .'
En las ecs 1 a 16, fl1 a f66 son los trminos de la matriz de
flexibilidades, los cuales son obtenidos pormedio de integracin
numrica, por ejemplo, aplicando la regla de Simpson (Damy, 1986).
La matriz derigidez se puede obtener invirtiendo la matriz de
flexibilidades, sin embargo, debido a la porosidad de sta,la matriz
de rigidez se calcula invirtiendo submatrices de flexibilidades,
por lo que sus trminos se definenimplcitamente. La matriz de
rigidez global en coordenadas locales de un elemento tipo
viga-columna de dosnodos como los mostrados en las figs 2 y 3 se
expresan como:
(17)
FIYAII
F2YAII
Figura 2. Elemento bidimensional de seccin variable
126
-
Para el caso bidimensional, las submatrices de rigidez se
calculan de la siguiente manera:
[r~ O 01[k) = O r"" r"bO r"b 'it
[k"l~n~O r:1-raa-r"b 'b
[r~ O -~l["12] = ~ r""-rb" r22["11] = [k12y
en donde:
1r =-
-
-rlU o o o o oo ralU o o o rabxo o raay o -raby o
(30)[kll] = O O O 1j O OO O -raby O 'i Iy OO rabx O O O 'ilx
-rlU O O O O OO -ralU O O O rblUO O -raay O -rbay O
(31)[kI2] = O O O -1j O OO O raby O 'i2y OO -rabJC O O O
'i2x
IIl.
rax O O O O OO raax O O O -rbax
[kn] =O O raay O rbay O
(32)O O O rj O OO O rbay O r22y OO -rbax O O O r22x
[~I] = [k12t (33)F2 ,
F2 J
Figura 2.3 Elemento tridimensional de seccin variable
128
-
'l$Z
.;',
en donde:
1r. ;-tU 111
(34)
11j; 144
Dei = .h2166 - h62
(35)
(36)
_ h2'iu ---o,(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
r22x + '2xrbaz = L
De!y = lnfss - h/
(42)
(43)
r. - 133lly - Det
y(44)
_ hsL- h3'i2y - Det
y(45)
(46)
(47)
(48)
_ r22y + 'i2yrbay - L (49)
129
-
La representacin fisica de los trminos de la matriz de rigidez
bidimensional se presentan en la fig 4. Elsistema de ecuaciones a
resolver en coordenadas locales es de la forma :
(50)
en donde, para el caso bidimensional, se tiene que:
(51)
(52)
y para el caso tridimensional se tiene:
'!
{Do} =
Dolz
A1yDoIx()z '
()y
Blz
(53)
I Fiz F2zIFiy Fiy
{Fi} = Fiz {Fi} = F2x (54)Mlz
,M2z
Mly M2yu M2x
Una vez que se define la matriz de rigidez del elemento de
seccin variable en coordenadas locales, resultarelativamente simple
implementar este tipo de elementos en programas de anlisis
estructural. La matriz derigidez del elemento en coordenadas
globales se obtiene utilizando matrices de transformacin, y
laconectividad entre elementos se define por medio de la regla del
ensamble, procedimientos muy utilizados enpaqueteras de anlisis
estructural y de elementos finitos.
130
-
oo.oo. 1'7, ,..
I,.~.~IJ ~
~z = 1. y. = 1,..
~,~ I II I
'......(:1 .11 1
(~I~~
+. = 1
Figura 4 Definicin de los trminos de la matriz de rigideces para
elementos de seccin variable
3 CALCULO DE GIROS DE FIJACION y MOMENTOS DE EMP01RAMJENTO
Aplicando el mtodo de las flexibilidades se pueden determinar
los giros de fijacin y los momentos deempotrarniento de elementos
de seccin variable ante cualquier condicin de carga que se desee.
En elpresente trabajo se presenta el planteamiento general para
determinar los giros de fijacin y los momentos deempotra miento de
elementos de seccin variable ante una condicin de carga dada. Las
expresionesespecficas para los casos de cargas uniformemente
repartidas y carga puntual se presentan en otros trabajos(Tena y
Zaldo, 1993 y 1994).Considrese la viga de seccin variable
doblemente empotrada que se presenta en la fig 5a, la cual
seencuentra sujeta a una condicin de carga general en su plano
principal de flexin. Aplicando el mtodo dela viga conjugada, se
pueden determinar los giros de fijacin ( fig. 5b), los cuales, por
equilibrio y tomandoen cuenta las deformaciones por cortante, se
calculan como:
L LlfzM f \1,(J2. = - __ o_x_dz + Ox d:L EI.(z) GA.-x(z)o o
L M(J = f--OX-dZ - ()1.. El ( ) 2.ro .r Z
(55)
(56)
Los momentos de empotramiento en la direccin principal de flexin
se calculan, de acuerdo con la fig 5c,de la siguiente manera :
Mt.x = 'i.r(JI.r -'i2.r(J2.r
M2 . = r22.r(J2.t - '2.r(JI .(57)
(58)
Los giros de fijacin y los momentos de empotramiento ante cargas
que actan en la direccin secundaria deflexin se calculan de la
misma manera, suponindose que la condicin de empotra miento
perfecto est dadatambin en esa direccin (Tena y Zaldo, 1993 y
1994).
--131
-
pQ)
Mh C.o) Viga de seccion variable doblemente empotrado ante cargo
qenerol
b] Vigo conjugado
e) Momentos de empotramiento en funcion de los qiros y las
riqideces de lo borro
Figura 5. Clculo de los momentos de empotramiento para elementos
de seccin variable
4 PROPIEDADES GEOMETRICAS DE ELEMENTOS DE SECCION VARIABLE
Para determinar las flexibilidades de un elemento de seccin
variable cualquiera, se requiere definir lavariacin de las
propiedades geomtricas de su seccin transversal a lo largo de su
eje longitudinal. Enestructuras, los elementos de seccin variable
pueden dar mejores resultados en vigas y en columnas. Enestructuras
de concreto reforzado, las secciones ms usuales para vigas y
columnas son la rectangular, lacuadrada, la circular y la T;
mientras que en estructuras de acero, los perfiles ms utilizados
para estospropsitos son las secciones 1, T, cajn y anular. Tena y
Zaldo (1993 y 1994) presentan expresiones paradefinir la variacin
de las propiedades geomtricas de las secciones transversales de
mayor uso enestructuras, principalmente en prticos.
5 COMPARACION DEL METODO PROPUESTO CON LAS TABLAS DE LA PCA
El mtodo propuesto en este trabajo es ms robusto que el
utilizado hace casi 50 aos por los investigadoresde la Portland
Cement Association para elaborar sus tablas de diseo (pCA, 1958),
ya que se consideran lasdeformaciones por cortante, la relacin
claro-peralte y la forma de la seccin transversal. Por lo tanto, es
deesperarse que existan diferencias entre ambos mtodos. Las tablas
de la peA consideran que, para cartelasque varan linealmente, la
variacin del momento de inercia de la seccin transversal se puede
calcularcomo:
132
-
l..(z>'= l.r{ 1+ r( 1-~JJ (59)en donde a representa el
porcentaje de la longitud de acartelamiento con respecto al claro
total y r es elcambio de la profundidad del miembro (de mayor a
menor) a consecuencia del acartelamiento, es decir :
r = !:L:..!!:l. (60)hG) (!)c;.~ .T;l , -L- O'=:j O I I Df J I-L
.J
J Q.J l o.,q O.JL0.6 hOcaso 1 G G
G) (!)
T;j , -L- -L-~
OI I
D'r,
J OI....L .J
110 J O~ l O~ lcoso 2 G> (!) G> (!)
G) (!)c;.~ .T; , ....L -L=:j O I 1 D'r O'J I-L- .J1,5 N) J Q.ll
Oll 0.4 t
caso 3 G) (!) G> (!)
G> (!)
I.~ T;, -L -L
OI I
D'r O,
J I
-L .J
lhO J Q.lL O.'l O.J lcaso 4 G (!) G (!)
G
@ ~ U; , -L -LO i I D'f O'J I1110 -Lo .JJ1110 O.H 0.5 lG G
caso 5Figura 6. Trabes acarteladas en consideracin (Tabla 1)
133
-
-Las hiptesis de las tablas de la PCA son ms consistentes con la
variacin de los momentos de inercia de laseccin rectangular, por lo
se espera una mejor correlacin para este caso, sin embargo, es
claro que parasecciones irregulares como la seccin T o secciones
regulares de alma abierta como la seccin 1,en donde lospatines
contribuyen de manera importante en el momento de inercia de la
seccin, se pueden tener
. diferencias que pudieran no ser despreciables (Tena y Zaldo,
1993 y 1994).Esto ltimo se ejemplifica en la tabla 1, en donde se
comparan los factores de rigidez y los momentos deempotramiento
para los cinco casos distintos de trabes acarteladas que se
ilustran en la fig 6, de acuerdo conlas tablas de la peA, o con el
procedimiento propuesto, considerando la forma de la seccin
transversal devigas T con anchos de patines de acuerdo con el
RCDF-87 y vigas de seccin rectangular, cuyas dimensionestambin se
ilustran en la fig 6. La relacin entre el claro del elemento y el
peralte de la seccin de menorperalte es en todos casos de 20 (L/ho
= 20). Los momentos de empotramiento proporcionados en la tabla
1corresponden a los casos de carga uniformemente repartida y carga
puntual al centro del claro de la viga. Lanomenclatura utilizada en
la tabla corresponde a la presentada en este captulo.
'11
.1j
Tabla 1 Comparacin de los factores de rigidez y momentos de
empotramiento de las tablas de laPCA contra los obtenidos con la
formulacin propuesta para secciones rectangulares y T
para los casos ilustrados en la fig 2.14 (L/hO=20)
Caso Hiptesis Factores de rgidez! Momentos de Empotramientocarga
uniformcZ carga puntual CLJ
rllx fJ2x r22x Mlx M?x M1x M2xpeA (34) 8.25 5.68 9.27 0.0969
0.1001 0.1495 0.1606
1 Rect 8.17 5.60 9.17 0.0969 0.1001 0.1500 0.1613T 7.92 5.35
8.86 0.0966 0.0996 0.1488 0.1600
PCA (41) 17.34 12.00 17.34 0.1023 0.1023 0.1667 0.16672 Rect
17.05 11.71 17.05 0.1022 0.1022 0.1663 0.1663
T 15.89 10.70 15.89 0.1015 0.1015 0.1650 0.1650peA (44) 15.69
13.42 19.44 0.1034 0.1139 0.1587 0.1965
3 Rect 15.39 13.07 19.05 0.1033 0.1139 0.1588 0.1963T 14.41
12.00 17.71 0.1031 0.1136 0.1588 0.1925
PCA (54) 32.77 28.02 32.77 0.1153 0.1153 0.1934 0.19344 Rect
31.70 26.97 31.70 0.1152 0.1152 0.1938 0.1938
T 28.87 24.18 28.87 0.1147 0.1147 0.1925 0.1925peA (53) 37.04
10.92 6.63 0.2036 0.0393 0.3655 0.0370
5 Rect 36.29 10.64 6.53 0.2028 0.0396 0.3638 0.0375T 33.33 9.78
6.27 0.1942 0.0420 0.3463 0.0425
Notas :1 Factores de rigidez multiplicados por E10IL. donde lO
es el momento de inercia del elemento en suseccin transversal
mnima.2 Momentos de empotramiento multiplicados por ffiL23 Momentos
de empotramiento multiplicados por PLpeA (xy) significa que en la
tabla de la PCA nmero :o.:yse obtienen los factores presentados en
esta tabla
I para los casos en estudio
l'
1
De acuerdo con la tabla 1, los errores que se cometen en la
estimacin de los momentos de empotramientoutilizando las tablas de
la PCA son despreciables. De la inspeccin de la tabla 1 tambin se
confirma elhecho que los errores en que se incurren en la estimacin
de los factores de rigidez utilizando las tablas de lapeA son
menores en elementos acartelados de seccin rectangular (entre el 1%
y el 3.5% en los casos que se
134
-
--
presentan), que en las secciones T consideradas (entre el 4% y
el 13.5% en los casos que se presentan). Sepuede afirmar con
certeza que la forma de la seccin transversal y la relacin entre
sus distintas dimensionesinfluyen directamente en los factores
rigidez de los miembros, por 10 que para algunos casos, las tablas
de lapeA pueden llevar a errores significativos, como, por ejemplo,
en trabes acarteladas de seccin T conpatines muy anchos y gruesos
en donde las longitudes y profundidades de acartelamiento sean
relativamentegrandes. En general, las tablas de la peA sobre
estiman los factores de rigidez, como se observa en la tabla1.
Investigaciones recientes en elementos finitos (El-Mezaini et al,
1991) han demostrado que los factores derigidez de trabes
acarteladas proporcionados por las tablas de la peA pueden cometer
errores tan grandescomo el 50% o incluso hasta el 100%.Por otro
lado, las tablas de la peA consideran que los factores de rigidez
son independientes de la relacinclaro-peralte. Por aos, se han
diseando trabes acarteladas bajo este criterio, el cual no es
correcto. Larelacin claro-peralte afecta directamente a los
factores de rigidez en trabes acarteladas. Esto se ilustra en lafig
7, en donde se presenta la variacin de los factores de rigidez de
trabes acarteladas de seccin T similaresen dimensiones a las
consideradas en la tabla 1, para cartelas simtricas con longitudes
de acartelamiento de0.30L (rango de acartelamiento ms comnmente
observado en trabes acarteladas de concreto reforzado enla, ciudad
de Mxico) y profundidades de acartelamiento entre 0.2110 y 2.110.
Dichos factores estnnormalizados con respecto a los factores de
rigidez obtenidos para una relacin claro-peralte menor de 10(hoIL =
10). Se puede observar de la fig 7 que, efectivamente, los factores
de rigidez no son constantes y quedependen de la relacin
claro-peralte mnimo.
1.3r----,---------,.----,------,
l.lr-------~---__:======.,/~-:::., : :-~-=~~_.__._---_._--_.-/ i
I
I-_.------I
--,--;'-'-i'---+----+----
i: ,'---o-J:~-'-!----+---+---~
I
,'I-------i-J>-~l-='..-----;.-,-_._._._ .1.1 I ./; I'---~--
--t---_.._----~ V I ! ,.O~--i'---T----L---L---1----~ 1 i
.9 II .: t----
.af--l--I----+----t----~--+----i I
I.7f--tic........--+----r---7---'-~----!
.6-0""'O';""'--~---':.O---.....6O---...J.ao---...J,00
60 80 '00L/h L/h
Notas: y = 0.2 (lnea continua) y = 2.0 (lnea discontinua)
Figura 7 Curvas de correccin para trabes T acarteladas con
longitudes de acartelamiento de 0.3L
A partir de la observacin de la fig 7 se concluye que, en la
direccin principal de flexin y para claroscortos (5~hofL ~1O), los
factores de rigidez son menores y varan del 60% al 100% del valor
nominal dehofL = 10, lo cual se debe, en parte, a que las
deformaciones por cortante son ms importantes en claroscortos. Para
claros largos (hofL > 20), dichos factores se increrncntan con
una tendencia asinttica. Se puedeconsiderar que la mayor parte de
las trabes acarteladas se comprenden en el rango de relaciones
claro-peraltemenor 10 ~hofL ~ 30. Para fines prcticos, se pueden
elaborar tablas para relaciones hofL = 10 (secciones Ttipicas de
concreto reforzado) halL = 20 (perfiles 1 de acero estructural) y
proporcionar tablas 6 grficas deajustes para otras relaciones.
6 NUEVAS AYUDAS DE DISEO
Tena y Zaldo (1994) presentan ayudas de diseo para vigas T e I
de seccin variable, as como sus. respectivas curvas de correccin
para el plano principal de flexin del elemento. Los criterios
utilizados en la
135
--
-
elaboracin de las tablas de las vigas T fueron los siguientes.
Se consider un ancho de patin igual a b+16t,ya que es el ancho de
patn equivalente que las Normas Tcnicas Complementarias para
Estructuras deConcreto sugiere tomar para efectos de rigidez
lateral para sistemas de piso formados por vigas y losasmacizas,
que es el sistema ms comnmente utilizado en edificios de concreto
reforzado en la ciudad deMxico. La relacin claro > peralte
rninimo del alma se tom igual a 10, ya que esta es la relacin
msfrecuente en vigas de marcos de concreto reforzado. La relacin
entre el ancho del patn y el peralte mnimodel alma es de 1/4, la
cual es comn en los edificios con trabes acarteladas de los cuales
se recabinformacin. La relacin entre el ancho del alma y el peralte
mnimo del alma es de 3/4. Los criteriosutilizados en la elaboracin
de las tablas para las secciones 1 son los siguientes. Las
dimensiones de lasecci6n 1 se bas en un estudio estadstico de los
perfiles W del grupo 2 (AISC, 1987). Estos perfiles sonW36" 135 a
194, W33 x 118 a 152, W30 x 99 a 121, W27 x 84 a 178, W24 x 68 a
162, W21 x 57 a 147,W18 x 65 a 119, W16 x 57 a 110, W14 x 61 a 132,
W12 x 65 a 106, WI0 x 49 a 112 y W8 x 58 a 67. Seseleccionaron
estos perfiles por ser de los ms comnmente utilizados en la
prctica. Las medias y lasdesviaciones estandar de las relaciones
que deben de guardar los perfiles para cumplir con los criterios de
lassecciones compactas se resumen en la tabla 2. '
Tabla 2 Estadsticas de los criterios para secciones compactas
para las secciones W del grupo 2Estadstica bp'2tf d/tw dlbf
x-" 6.51 39.23 1.96
; 1.29 12.24 0.72O"n-l 1.30 12.32 0.73
Para la elaboracin de las tablas, la relacin del patn (b12tf) se
tom como 6.51, correspondiente a la mediaobtenida para las
secciones W del grupo 2 de acuerdo con la tabla 2, puesto que los
patines se mantienenconstantes en los elementos de seccin variable
a considerar. En cuanto a las relaciones de esbeltez del alma(d/tw)
y la relacin entre la altura del alma y el ancho del patn (dlbf),
se tomaron valores de la media menosuna vez la desviacin estndar de
la muestra, tomando en consideracin que las tablas se elaboran
enfuncin de las propiedades de la seccin de menor peralte, y que,
para las relaciones de profundidad deacartelamiento consideradas en
la tabla (O s;Ys; 2), las relaciones mencionadas en las zonas de
mayor peraltede las trabes acarteladas se encontraran en valores de
la media ms menos una desviacin estndar de lamuestra. Por tanto,
para la seccin de menor peralte (d=ho) se tom d/tw = 26.91 Y de
dlbf = 1.23. Larelacin claro - peralte mnimo del alma se tom igual
a 20, ya que esta es una relacin comn en vigas demarcos de
acero.
7. RESUMEN Y CONCLUSIONES
Se present una formulacin robusta basada en la teora de vigas y
el mtodo de las flexibilidades para ladefinici6n de las matrices de
rigidez elsticas bidimensionales y tridimensionales de elementos de
seccinvariable, en donde se toman en cuenta adems las deformaciones
por cortante y la forma de su seccintransversal. La implementacin
del mtodo propuesto en programas de anlisis estructural, as como
suaplicacin directa resulta relativamente sencilla. El
procedimiento propuesto, que para fines prcticos puedeconsiderarse
como exacto, se compar con tablas de la peA y se demostr que en el
presente stas resultanobsoletas debido a las hiptesis
simplificadoras utilizadas en la poca en que fueron elaboradas,
algunas delas cuales pueden llevar a errores significativos, como
por ejemplo, el ignorar que los factores de rigidez delos elementos
de seccin varable son independientes de la relacin claro-peralte.
Por tanto, se sugiereelaborar nuevas ayudas de diseo de elementos
de seccin variable basadas en el mtodo propuesto.
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AGRADECIMIENTOS
Los autores quieren agradecer el patrocinio de la Secretara
General de Obras del Departamento del DistritoFederal en el
desarrollo del presente proyecto de investigacin.
REFERENCIAS
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Institute of Steel Construction, octavaedicin.
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computadoras al anlisis estructural,Facultad de Ingeniera,
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editorial El Ateneo, primera edicin,Buenos Aires, Argentina.
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member", ASCE Structural Journal,vol 108, no 1, pp 245-264.
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Cernent Association
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marcos con trabes acarteladas y columnasde seccin variable",
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Fundacin JavierBarros Sierra, septiembre.
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I IX CONGRESO NACIONAL DE INGENIERIA ESTRUCTURALZacatecas,
Zcc.
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