PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL NIVELACIÓN DE FÍSICA SOBRE VECTORES UNIDADES ACREDITABLES I ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulo: ÁNGULOS CORRESPONDIENTES: Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal. ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Son los que están "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son: 1) Los ángulos correspondientes son iguales entre sí. 2) Los ángulos alternos internos son iguales entre sí. 3) Los ángulos alternos externos son iguales entre sí. Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.
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PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
NIVELACIÓN DE FÍSICA SOBRE VECTORES UNIDADES ACREDITABLES I
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los
siguientes tipos de ángulo:
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES: Son los que están al mismo lado de las paralelas y
al mismo lado de la transversal.
ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son los que están entre las paralelas a distinto
lado de ellas y a distinto lado de la transversal.
ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Son los que están "fuera" de las paralelas a
distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.
Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:
1) Los ángulos correspondientes son iguales entre sí.
2) Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.
3) Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.
Ángulos formados por rectas
paralelas cortadas por una
transversal.
TEMA V: VECTORES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 TRAYECTO I
TIPOS DE ÁNGULOS FORMADOS
Ángulos correspondientes entre paralelas.
1 = 5
2 = 6
3 = 7
4 = 8
Ángulos alternos entre paralelas.
Externos
1 = 7
2 = 8
Internos
3 = 5
4 = 6
Son
suplementarios
(suman 180°)
Ángulos contrarios o
conjugados.
1 6
2 5
3 8
4 7
Ángulos colaterales.
1 8
2 7
3 6
4 5
TEMA V: VECTORES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 3 TRAYECTO I
OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas
opuestas a los lados del otro. En la figura los ángulos a, c y b, d son opuestos por el vértice.
Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
Realice las siguientes demostraciones:
1. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
2. Si dos ángulos alternos internos son congruentes entonces los otros dos ángulos
alternos internos también lo son.
3. Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal de rectas paralelas, son
suplementarios. Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal de rectas
paralelas, son suplementarios.
4. Toda transversal forma con dos paralelas ángulos alternos externos congruentes.
5. Toda transversal forma con dos paralelas ángulos alternos internos congruentes
6. La suma de los ángulos interiores de un triángulo, es igual a dos rectos (180º).
7. La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, es igual a 90º.
8. En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es la suma de las medidas de los
ángulos internos no contiguos.
9. En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es mayor que cualquier ángulo
interior no adyacente.
10. La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo vale cuatro ángulos rectos
(360º).
TEMA V: VECTORES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 4 TRAYECTO I
LEY DE LOS COSENOS
En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual
a la suma de los cuadrados de los otros dos lados MENOS el doble producto de estos lados
por el coseno del ángulo que forman, así:
Cos Ac b - + c = ba 2222
Cos Bc a - + c = ab 2222
Cos Cb a - + b = ac 2222
De las anteriores expresiones podemos despejar los ángulos y obtener:
ba
cbaCCos
ca
bcaBCos
cb
acbACos
222
222222222
Esta ley se aplica cuando: Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos (L-A-L).
Se conocen los tres lados (L-L-L).
LEY DE LOS SENOS
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos
de los ángulos opuestos así:
triángulodelladoscbayángulossonCBADondec
CSeno
b
BSeno
a
ASeno,,,,,
Esta ley se aplica cuando se conocen: Dos ángulos y un lado (A - L–A).
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L–L–A).
Ejemplos:
1) Resuelve el siguiente triángulo: .60,3,2 0 ba Según la figura:
Solución: Usando la ley del coseno
TEMA V: VECTORES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 5 TRAYECTO I
7
7
613
2
11294
60cos32232cos2
2
2
2
222222
c =
= c
- = c
- + = c
° - + c) (ab - + b = ac
Determinemos los ángulos y .
236,2 35 40
7
2cos
7
2cos
732
479cos
732
273cos
2coscos2 : Para
0
1
222
222222
=
=
= α
+= α
+= α
bc
- a + c b=α αbc+c=ba
823,7 6 79
72
1cos
72
1cos
74
974cos
722
372cos
2coscos2 : Para
1
222
222222
°=
=
=
+=
+=
ac
- b + c a=ac+c=ab
Ejercicio: Use la Ley del seno para hallar estos ángulos.