Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 1 La Transformada de Laplace La Transformada Bilateral de Laplace La Transformada Unilateral de Laplace Región de Convergencia (ROC) Cálculo de La Transformada de Laplace Propiedades de La Transformada de Laplace Teorema del Valor Inicial Teorema del Valor Final Indice: Tema 5. La Transformada de Laplace.
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Tema 5. La Transformada de Laplace. Indice: La ... · La transformada de Laplace puede interpretarse como una generalización de la transformada de Fourier, que permite manejar problemas
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Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 1
La Transformada de Laplace
La Transformada Bilateral de Laplace
La Transformada Unilateral de Laplace
Región de Convergencia (ROC)
Cálculo de La Transformada de Laplace
Propiedades de La Transformada de Laplace
Teorema del Valor Inicial
Teorema del Valor Final
Indice:
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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La transformada de Laplace puede interpretarse como una generalización de la
transformada de Fourier, que permite manejar problemas no tratables con esta
última como son funciones que no cumplen la condición de convergencia.
Para solventar el problema, en vez de utilizar una frecuencia puramente
imaginaria jw, se utiliza una frecuencia compleja s = σ + jw, con σ = Re {s} y w
= Im {s}. Así, se garantiza la convergencia de la integral.
Se distinguen dos versiones de la transformada de Laplace: La Transformada de
Laplace Bilateral y la Unilateral.
1. La Transformada de Laplace
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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La bilateral está directamente relacionada con la transformada de Fourier.
La unilateral es la herramienta ampliamente utilizada en ingeniería, que se
deriva de la transformada bilateral para señales causales.
En ingeniería, la mayoría de las veces en que se habla de “Transformada de
Laplace” se hace implícitamente referencia a su versión unilateral.
1. La Transformada de Laplace
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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2. La Transformada Bilateral de Laplace
Transformada de Laplace
Notese que:
Por otro lado
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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2. La Transformada Bilateral de Laplace
Lo que quiere decir que la transformada de Laplace puede interpretarse como la
transformada de Fourier de la función f(t) multiplicada por una señal exponencial
real e-σt que será creciente o decreciente dependiendo del signo de σ, el factor e-
σt es un factor de convergencia.
Región de Convergencia (ROC)
Región de convergencia puede interpretarse como el conjunto de puntos del
plano s = σ + jw para los cuales la transformada de Fourier de f(t)e−σt existe, lo
que implica que f(t)e−σt debe ser absolutamente integrable:
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Si f(t) es finita y absolutamente integrable entonces todo el plano s constituye su
ROC.
Una señal acotada por su izquierda (señal derecha) es aquella que cumple f(t) = 0
para t < t1 , su ROC contendrá siempre el semiplano derecho de s a partir de un
cierto valor σ0.
Una señal acotada por su derecha, (señal izquierda) es aquella que cumple f(t) = 0
para t > t2 su ROC contendrá siempre el semiplano izquierdo de s a partir de un
cierto valor σ1.
Una señal bilateral es aquella de extensión infinita tanto a la izquierda, como a la
derecha y su ROC corresponderá a una banda vertical.
Esto depende únicamente de la componente real de la frecuencia compleja s. Por
esta razón, la ROC de F(s) consiste en bandas paralelas al eje jw en el plano s.