Tema 4: Resolución de triángulos. - eues.ugr.eseues.ugr.es/wiris/images/stories/file/mates1/tema4maI/tema4maI.pdf · Tema 4: Resolución de triángulos. ... En el triangulo ABC,

Tema 4: Resolución de triángulos.

Ejercicio 1. En un triángulo rectángulo se conocen: a = 11 cm. y la hipotenusa, c = 20 cm. Hallar los demás

elementos.

Solución:

BEl otro cateto: .7,161120 22 cmb

b A

c

Un ángulo agudo: 2233ˆ55,020

11ˆ AAsen a

El otro ángulo agudo: 8356ˆ90ˆ AB C

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 1.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS

Ejercicio 2. En un triángulo rectángulo del que se conocen: y un cateto, a = 15 cm. Hallar los demás

elementos.

50ˆ B

Solución:

B.88,175015ˆˆ cmtgBtgab

a

bBtg

2

c

A b

a.34,2350cos

15ˆcos

ˆcos cmB

ac

c

aB

405090ˆ90ˆ BA C


Figura 2.


Ejercicio 3. Jaime está volando una cometa. Ha soltado 9 m. de cuerda, y esta forma un ángulo de 55º con el

suelo. ¿A qué altura se encuentra?

Solución:

Para calcular el lado desconocido, lo relacionamos con los elementos conocidos mediante la correspondiente

razón trigonométrica:

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 4. Resolución de triángulos.

msenxx

sen 37,7º5599

º55

La cometa está a 7,37 m. más la altura de la mano que sostiene la cuerda. - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 3.


Ejercicio 4. En el triángulo adjunto conocemos el lado ma 120 y el ángulo Calcular la longitud del

tercer lado c.

º.61ˆ C

Solución:

Como el triángulo no es rectángulo, no podemos aplicar directamente los conocimientos anteriores. Sin embargo, si trazamos la altura, x, se obtienen dos nuevos triángulos rectángulos.

En el triángulo rectángulo conocemos ma 120 y º.61ˆ C 1

3

º61ˆ C

y z

ma 120 ?c

mb 172

x 2 1

Podemos obtener x e y:

.95,104º61120ˆˆ msenCsenaxa

xCsen

.18,58º61cos120ˆcosˆcos mCaya

yC


En el triángulo , el lado z se obtiene de forma inmediata: mmmybz 82,11318,58172 2

Hallamos el lado c buscado aplicando el teorema de Pitágoras: mzxc 82,15482,11395,104 2222

Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 4.

-

Figura 5.

nlace con el ejercicio resuelto en la Web: E

jercicio 5.

ara hallar el ancho de un río procedemos así: Nos situamos en un punto A, en una orilla del río, y

E P

medimos el ángulo º53 bajo el cual se ve un árbol que está frente a nosotros, en la otra orilla. Nos

alejamos 20 m. de l illa en dirección perpendicular a ella y volvemos a medir el ángulo bajo el

cual se ve el árbol, º.32 ¿Cuánto mide el ancho del río?

a or

4


Solución:

D

5

º32 º53

20 m x

A B C

y

mx

xx

xtgxyx

ytg

xtgxyx

ytg

46,17

)20(26,033,1

)20(62,0º32)20(20

º32

33,1º53º53

El río mide 17,46 m de ancho.


Figura 6.



Ejercicio 6. Sabiendo que: 423,0º25 sen 906,0º25cos 466,0º25 tg

º205)

Hallar todas las razones

trigonométricas de: b c d º65)a º115) º155)

Solución: 145,2

6

145,2

906,0

423,0

º65 º25

a) Los ángulos 65º y 25º son complementarios, por lo que:

906,0º25cosº65 sen

423,0º25º65cos sen

145,2466,0

1

º25

1º65

tgtg

423,0

906,0

º115º25

b) 115º = 25º + 90º, por tanto:

906,0º25cosº115 sen

423,0º25º115cos sen

145,2º25

1º115

tgtg

466,0

º25

º155

906,0

423,0

c) los ángulos de 25º y 155º son suplementarios, luego:

423,0º25º155 sensen

906,0º25cosº155cos

466,0º25º155 tgtg


7

466,0º25

º205

906,0

423,0

d) 205º = 25º + 180º, por tanto:


Figura 7.

423,0º25º205 sensen

cos 906,0º25cosº205

tg 466,0º25º205 tg

-


Ejercicio 7.

De un triangulo ABC conocemos:

º.83ˆ,º42ˆ,63 ABmAB Calcular BC utilizando métodos

trigonométricos.


Solución:

8

Casi estamos en condiciones de aplicar el teorema de los senos. Necesitaremos conocer el ángulo : C

º55º125º180)ˆˆ(º180ˆ BAC Ahora podemos relacionar CyAca ˆˆ,,

msen

sena

sensen

a

Csen

c

Asen

a34,76

º55

º8363

º55

63

83ˆˆ


Figura 8.


DATOS

INCÓGNITAS

mcAB 63

º83ˆ A

º42ˆ B

aBC

A

º83m63

º42 C

B ?


Ejercicio 8. Si calcular ,5º30ˆ,4 cmbyBcma .A

A

Solución:

9

B

cma 4

cmb 5º304,0

5

5,04ˆº30

5ˆ

4ˆˆ

AsensenAsenBsen

b

Asen

a

Posibles soluciones: 1443º23ˆ1 A 9152º156ˆ

2 A

Sin embargo, si fuera , A 9152º156 º.180ˆˆ BA

¡Imposible! Por tanto, solo hay una solución. - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 9.


Ejercicio 9.

Calcular AC en un triángulo ABC del que conocemos: mBC 1200 mBA 700

Resolverlo trigonométricamente.

º.108ˆ B


Solución:

Hemos de relacionar los tres lados a, b (incógnita), c y el ángulo .B Cb

APodemos, pues, aplicar el teorema del coseno.

10

mbbBaccab 97,1564º108cos700120027001200ˆcos2 22222


Figura 10.


Ejercicio 10. En el triangulo ABC, AD en la altura relativa al lado BC. Calcula las razones trigonométricas de los

ángulos B y C . Halla la medida de los ángulos del triángulo ABC. ˆ

Solución:

La altura AD es perpendicular a BC. Los triángulos ADB y ADC son rectángulos. Calculamos BD mediante el

teorema de Pitágoras:

B m700c

ma 1200 º108


523 222 BDBD

En el triangulo ADB hallaos las razones trigonométricas del ángulo B .

11

cm2

3

2ˆ Bsen 3

5ˆcos B 5

2ˆ Btg

En el triángulo ADC hallamos la hipotenusa:

65,464,212,42 222 ACAC

Las razones trigonométricas de C : ˆ

43,065,4

2ˆ Csen 9,065,4

2,4ˆcos C 47,02,4

2ˆ Ctg


Figura 11.

B

D

cm2,4cm3

CA


Figura 12.


Ejercicio 11. Halla las restantes razones trigonométricas del ángulo en los siguientes casos:

Solución:

5

32cos) a º90

3

23) ytgb

6

39

5

13

6

39

32

13

5

325

13

5

13

tgsen

tgsen

a) 25

13

25

1211

5

32 2

2

2

sensen Hay dos soluciones:

b) Llamamos cos cysens :

24

31

9

231

3

23

3

23

13

23

222

2

22

ccccc

cs

csc

s

Como ,0º90 tgy está en el

tercer cuadrante. Por tanto:

8

23

24

3cos

8

46

8

23

3

23

sen

12



Figura 13.

Figura 14.


13


Ejercicio 12. Calcula los lados y los ángulos del triangulo ABC, rectángulo en A, del que conocemos el cateto

cmAC 15 y la altura relativa a la hipotenusa, .12 cmAD

Solución:

Al trazar la altura ,AD se forman dos triángulos rectángulos, ADC y ADB.

14

C D

cm12cm15

Calculamos el ángulo C en el triángulo ADC: 847º53ˆ15

12ˆ CCsen A

BCalculamos el ángulo en el triángulo ABC: 2125º3690 B

Calculamo

ˆB

s ,AB en el triángulo ADB: cmABBsen 201212ˆ

senAB 2125º36

La hipotenusa ,CB del triángulo ABC, la calculamos por el teorema de Pitágoras:

cmCB 25202


CBABACCB 1522222

Figura 15.


Figura 16.

o resuelto en la Web: Enlace con el ejercici

15

cables están alineados con el pie e la antena y distan entre si 98

ula la altura de la antena.

iángulo ABC. En el triángulo rectángulo ADC:

Ejercicio 13. Una antena de radio está sujeta al suelo con dos cables, que forman con la antena ángulos de 36º y

48º. Los puntos de sujeción de los

m. Calc

Solución:

A La antena es una altura de del tr

C D x98

º36 º48

x

º36tghx º36g h

x

t

En el triángulo rectángulo ABD:

xtghh

tg 98º48º48x98

ustituimos x en la segunda ecuación:

S

B

mhtgtg

htgtghtghtghtghtg 3,53º36º48

9898)º36º48(98º36º48º3698º48

h



Figura 17.


os de un triángulo es doble del otro, y el ángulo comprendido mide 60º. Halla los

os.

o que forman el ángulo de 60º y hallamos el tercer lado,

Ejercicio 14.

Uno de los lad

otros ángul

Solución:

Llamamos x y 2x a los lados del triángul ,BC en función

de x, aplicando el teorema del coseno. B

16

Cx2 º60

x

324º60cos222 222222xxxxxxxBC x 32 xBC

Con el teorema de los senos hallamos los ángulos B y C .

132

32º602ˆº60ˆ

x

x

x

senxBsen

senBsen

º90ˆ º30)º60º90(º180ˆ C

332x x

AB



Figura 18.


iden 6 cm. y 14 cm. y forman un ángulo de 75º. Halla los

ángulos del paralelogramo.

Ejercicio 15. Las diagonales de un paralelogramo m

lados y los

Solución:

OB .3cm y Como las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, cmOA 7

En el tr AB aplicando el teorema iángulo ABO, hallamos del coseno.

17

C

D

º75 O

cm613,47º75cos73222 ABAB 9,72 3

Ángulo BAO : 94º24 BAOO

39,6

º75 BAsensen

En el triángulo AOD: º105º75º180 AOD

B

A


cmAD 3,887,68ºAD co73273 222

ngulo OAD :

105s

18

Á 62º20 OAD

51º45ˆ OADBAO 54º134ˆ180ˆ AD

º105 OADsensen

33,8

A

Los lados del paralelogramo miden 6,9 cm. y 8,3 cm., y sus ángulos 45º 15´ y 134º 45´. - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 19.

Figura 20.


Figura 21.

Figura 22.

Figura 23.


19


20

C

cº98

cma 5,7

º55b

jercicio 16.

ngulo conocemos dos de los ángulos y un lado: .5,7,º98,55 cmaBA Resuelve el

riángulo.

Solución:

l ángulo º27)º98º55(º180 C

on el teorema de los senos hallamos los lados b y c.

E

En un triá ˆˆ

t

Ê C

B

.1,9º985,75,7

cmsen

bº55º55º98 sensen

b

sen

.2,4º275,75,7

cmsen

cº55º55º27 sensen

c

xiste solución única siempre que º.180 BA


senA

ˆÊ -

Figura 24.



21

C

cmc 14 a

cmb 20

jercicio 17.

n un triángulo se conocen: .14,20,º35 cmccmbA Resuelve el triángulo.

Solución:

.7,11º35cos142021420 cma

omo conocemos los tres lados, la solución es única siempre.

alculamos los ángulos CyB :

E

Ê

Se halla el lado a con el teorema del coseno:

222a B C

ˆˆC

52´02º43ˆº35

7,11ˆ

14 CsenC

5393º101)(º180 BCA


sen

ˆˆˆˆ AB -

Figura 25.


Figura 26.


esuelve un triángulo del que se conocen a = 37 cm., b = 42 cm. y c = 68 cm.

olución:

Ejercicio 18. R

S

Calculamos los ángulos ByA ˆˆ con el teorema del coseno:

C 13º28ˆ

5712

5019ˆcosˆcos68422684237 222 AAA cm b=42

cma 37

22

5584º32ˆ5032

4229ˆcos BB

504º118)ˆˆ(º180ˆ BA

C=68 cm xiste solución uníais cada lado es menor que la suma de los otros dos.

ˆcos68372683742 222 B

C E

B A


23

C

cm1,17

cm6, 12

cm4,26


Figura 27.

o resuelto en la Web:

Enlace con el ejercici

jercicio 19.

solución, que la solución sea única o que existan dos soluciones.

E En estos casos, puede no existir

Resuelve estos tres triángulos:

º25ˆ83) Acmbcmaaˆ 43º124ˆ4,266,12) Bcmbcmab

4º281156,82) Acmbcma

Solución:

º2583) Acmbcmaa 43º1244,266,12) Bcmbcmab 4º281156,82) Acmbcmac

a) Aplicamos el teorema de los senos:

c

ˆ ˆ ˆ

.12,1ˆˆ

8

º25

3 Bsen

BsensenImposible. No existe solución.

b) Con el teorema de los senos calculamos :A ´´33´8º23ˆ43º124

4,26ˆ

6,12

Asen

senAsen

´´27´17º32)ˆˆ(º180ˆ BAC ; cmcsensen 124´27´17º32

c1,17

4,26

o puede haber dos soluciones, porque, como

43º ´

N B es obtuso, CyA tienen que ser agudos. ˆˆ

B A


24

C cmb 115

cm9,163c cm6,82a

Ccmb 115

cm1,c 39 cm

) Al aplicar el teorema de los senos obtenemos dos valores para

a 6,82

B : c

54º139ˆ180ˆ5255º40ˆ

ˆ115

4º28

6,82 1

BB

B

Bsensen

12

alculamos el ángulo C y el lado c en cada caso.

ˆC B

11

53º111)ˆˆ(º180ˆ BAC

cmcsensen

c9,163

4º28

6,82

53º111 11

A

B

22

5215º12)ˆˆ(º180ˆ BAC

cmcsensen

c1,39

4º28

6,82

5215º12 22

A


Figura 28.


Figura 29.

25


Figura 30.

o resuelto en la Web:

Enlace con el ejercici

26

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