Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
TEHNI�KA MEHANIKA 2
Osnovne akademske studije, III semestar
Prof. dr Stanko Br£i¢Prof. dr Rastislav Mandi¢Doc. dr Stanko �ori¢
email: [email protected]
Gra�evinski fakultetUniverzitet u Beogradu
�k. god. 2017/18
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Sadrºaj
1 Kinematika sistema materijalnih ta£akaVeze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
2 Virtuelna pomeranjaDe�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Sadrºaj
1 Kinematika sistema materijalnih ta£akaVeze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
2 Virtuelna pomeranjaDe�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Kinematika sistema materijalnih ta£aka
Sistem materijalnih ta£aka i veze
Sistem materijalnih ta£aka je skup mat. ta£aka £iji su poloºajii/ili brzine u me�usobnim zavisnostima, odn. to je skup mat.ta£aka £ije se kretanje nalazi u me�usobnoj zavisnosti
Zavisnost izme�u pojedinih ta£aka sistema se ostvarujeprisustvom veza
Veze su uticaji drugih tela na posmatrani sistem
Veze izme�u mat. ta£aka mogu da se izraºavaju jedna£inamaili nejedna£inama
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Dvostrane i jednostrane veze
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Kinematika sistema materijalnih ta£aka
Sistem materijalnih ta£aka i veze
Dve ta£ke vezane krutim ²tapom duºine `
Jedna£ina veze je data sa
d = PQ = |~rQ − ~rP | = `
Dve ta£ke vezane nerastegljivim uºetom duºine `
Jedna£ina veze je data sa
d = PQ = |~rQ − ~rP | ≤ `
U prvom slu£aju je veza zadrºavaju¢a (obostrana)
U drugom slu£aju je veza nezadrºavaju¢a (jednostrana)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Kinematika sistema materijalnih ta£aka
Klasi�kacija veza
Jedna£ine veza su neke zavisnosti izme�u vektora poloºaja i/ilibrzina fν(~rk, ~vk, t), (ν = 1, 2, . . . r, k = 1, 2, . . . N)
Sa stanovi²ta izraºavanja, jedna£ine / nejedna£ine:- Zadrºavaju¢e (obostrane) . . . fν(~rk, ~vk, t) = 0- Nezadrºavaju¢e (jednostrane) . . . fν(~ri, ~vi, t) ≥ 0
Sa stanovi²ta zavisnosti od vremena t:- Stacionarne (skleronomne) . . . fν(~rk, ~vk) ≥ 0- Nestacionarne (reonomne) . . . fν(~rk, ~vk, t) ≥ 0
Sa stanovi²ta zavisnosti od brzine:- Pozicione (holonomne) . . . fν(~rk, t) ≥ 0- Kinemati£ke (neholonomne) . . . fν(~rk, ~vk, t) ≥ 0
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Primer tipova veza
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Sadrºaj
1 Kinematika sistema materijalnih ta£akaVeze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
2 Virtuelna pomeranjaDe�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Kinematika sistema materijalnih ta£aka
Broj stepeni slobode kretanja i generalisane koordinate
Broj stepeni slobode kretanja n je broj me�usobno nezavisnihskalarnih parametara pomo¢u kojih se jednozna£no odre�ujekon�guracija sistema. Ti skalarni parametri su generalisanekoordinate qi, (i = 1, 2, . . . , n)
Posmatra se sistem od N materijalnih ta£akaP1, P2, . . . , Pk, . . . , PN
Vektori poloºaja tih ta£aka su ~r1, ~r2, . . . , ~rNSistem je pod uticajem r holonomnih veza
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Sistem materijalnih ta£aka
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Kinematika sistema materijalnih ta£aka
Broj stepeni slobode kretanja i generalisane koordinate
Jedna£ine veza su holonomne, nestacionarne, dvostrane:
fν(~r1, ~r2, . . . , ~rN , t) = 0 (ν = 1, 2, . . . , , r)
Broj stepeni slobode kretanja je (sistem se kre¢e u 3Dprostoru)
n = 3N − r
Ako, osim r holonomnih veza, postoji i r1 neholonomnih veza,onda je broj stepeni slobode
n = 3N − (r + r1)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Kinematika sistema materijalnih ta£aka
Broj stepeni slobode kretanja i generalisane koordinate
Odgovaraju¢e generalisane koordinate su
q1, q2, . . . , qn
Vektor poloºaja svake ta£ke, za sistem sa nestacionarnimvezama, je dat sa
~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn, t)
ili, za sistem sa stacionarnim vezama:
~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn)
Vektori poloºaja ~rk se odnose na inercijalan koordinatni sistemOxyz
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Kinematika sistema materijalnih ta£aka
Broj stepeni slobode kretanja i generalisane koordinate
Kona£ne jedna£ine kretanja sistema su date sa
qi = qi(t) (i = 1, 2, . . . , n)
Prema tome, vektori poloºaja su sloºene funkcije vremena,direktno (za nestacionarne veze), kao i preko generalisanihkoordinata:
~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn, t) = ~rk(t)
~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn) = ~rk(t)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Broj stepeni slobode kretanja i generalisanekoordinate
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Sadrºaj
1 Kinematika sistema materijalnih ta£akaVeze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
2 Virtuelna pomeranjaDe�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Kinematika sistema materijalnih ta£aka
Izrazi za brzinu i ubrzanje
Vektor poloºaja bilo koje ta£ke Pk sistema sa nestacionarnimvezama (u sistemu Oxyz) je:
~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn, t) = ~rk(t)
Vektor brzine ta£ke Pk se dobija diferenciranjem
~vk =d~rkdt
=∂~rk∂q1
q̇1 +∂~rk∂q2
q̇2 + · · ·+∂~rk∂qn
q̇n +∂~rk∂t
ili, napisano skra¢eno,
~vk =
n∑i=1
∂~rk∂qi
q̇i +∂~rk∂t
(k = 1, 2, . . . , N) (1)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Kinematika sistema materijalnih ta£aka
Izrazi za brzinu i ubrzanje
Izvodi generalisanih koordinata qi = qi(t) po vremenu, dakleq̇i, se zovu generalisane brzine
Iz izraza za brzinu (1)
~vk =
n∑i=1
∂~rk∂qi
q̇i +∂~rk∂t
direktno sledi relacija
∂~vk∂q̇i
=∂~rk∂qi
(2)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Kinematika sistema materijalnih ta£aka
Izrazi za brzinu i ubrzanje
Drugim re£ima, parcijalni izvodi vektora brzine po nekojgeneralisanoj brzini jednak je parcijalnom izvodu vektorapoloºaja po toj generalisanoj koordinati
Relacija (2) ¢e da se koristi u nekom kasnijem izvo�enju (sadaje usputna napomena)
Vektor ubrzanja ta£ke Pk se dobija diferenciranjem vektorabrzine:
~ak =d~vkdt
=d
dt
(n∑i=1
∂~rk∂qi
q̇i +∂~rk∂t
)(3)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Kinematika sistema materijalnih ta£aka
Izrazi za brzinu i ubrzanje
Kako je~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn, t)
to se dobija
d
dt
(∂~rk∂qi
)=
n∑j=1
∂2~rk∂qi∂qj
q̇j +∂2~rk∂qi∂t
d
dt
(∂~rk∂t
)=
n∑j=1
∂2~rk∂qi∂t
q̇i +∂2~rk∂t2
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Kinematika sistema materijalnih ta£aka
Izrazi za brzinu i ubrzanje
Diferenciranjem izraza (3) se dobija
~ak =
n∑i=1
n∑j=1
∂2~rk∂qi∂qj
q̇j +∂2~rk∂qi∂t
q̇i +
n∑i=1
∂~rk∂qi
q̈i
+
n∑i=1
∂2~rk∂qi∂t
q̇i +∂2~rk∂t2
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Kinematika sistema materijalnih ta£aka
Izrazi za brzinu i ubrzanje
Sre�ivanjem se dobija vektor ubrzanja ta£ke Pk u okvirusistema materijalnih ta£aka sa nestacionarnim vezama:
~ak =
n∑i=1
n∑j=1
∂2~rk∂qi∂qj
q̇j q̇i
+ 2∂2~rk∂qi∂t
q̇i
+
n∑i=1
∂~rk∂qi
q̈i +∂2~rk∂t2
(4)
gde su q̈i generalisana ubrzanja
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
Kinematika sistema materijalnih ta£aka
Izrazi za brzinu i ubrzanje
Za sistem materijalnih ta£aka sa stacionarnim vezama, vektoribrzine i ubrzanja ta£ke Pk, dati sa (1) i sa (4), postaju:
~vk =
n∑i=1
∂~rk∂qi
q̇i
~ak =
n∑i=1
∂~rk∂qi
q̈i +
n∑i=1
n∑j=1
∂2~rk∂qi∂qj
q̇j q̇i
(5)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Sadrºaj
1 Kinematika sistema materijalnih ta£akaVeze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
2 Virtuelna pomeranjaDe�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranja
Virtuelna pomeranja su proizvoljna beskona£no mala pomeranjakoja su u skladu sa vezama
Tri atributa virtuelnih pomeranja:- Proizvoljna pomeranja (nisu u vezi sa silama koje deluju)- Beskona£no mala pomeranja- U skladu sa vezama (geometrijski mogu¢a)
Virtuelna pomeranja se ne odvijaju sa protokom vremena -IZOHRONA pomeranja (vreme se ne menja)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranja
Generalisane koordinate qi u funkciji vremena u potpunostiodre�uju kon�guraciju, odn. kretanje posmatranog sistema
qi = qi(t) ⇒ ~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn, t)
Posmatra se proizvoljan trenutak vremena t i ∞ blizak narednitrenutak t+ dt
Generalisane koordinate u intervalu dt dobijaju prira²taje
dqi = q̇i dt (i = 1, 2, . . . , n)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranja
Vektori poloºaja svake ta£ke dobijaju odgovaraju¢e prira²taje uintervalu dt (elementarna pomeranja):
d~rk =
n∑i=1
∂~rk∂qi
dqi +∂~rk∂t
dt
Ova elementarna pomeranja su rezultat delovanja sila iprisustva veza koje uslovljavaju na£in kretanja sistema
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranja
Virtuelna pomeranja su bilo koja ∞ mala pomeranja koja sugeometrijski mogu¢a, a nisu vezana za sile koje deluju, niti zapo£etne uslove kretanja
Da bi odredili ∞ mala pomeranja koja su u skladu sa vezama,saop²tavamo generalisanim koordinatama PROIZVOLJNE ∞MALE PRIRA�TAJE
Proizvoljni ∞ mali prira²taji generalisanih koordinata qi senazivaju varijacije generalisanih koordinata: δqi
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranja
Varijacijama generalisanih koordinata odgovaraju ∞ malavirtuelna pomeranja materijalnih ta£aka sistema
δ~rk =
n∑i=1
∂~rk∂qi
δqi
Ova virtuelna pomeranja sistema NE ODVIJAJU SE tokomvremena (δt ≡ 0) i NISU rezultat delovanja sila
Virtuelna pomeranja su samo geometrijski mogu¢a (u skladusu sa prisustvom veza)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Sadrºaj
1 Kinematika sistema materijalnih ta£akaVeze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
2 Virtuelna pomeranjaDe�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Primeri virtuelnih pomeranja - slobodnamaterijalna ta£ka
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Primeri virtuelnih pomeranja - ta£ka na povr²i
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
Primeri virtuelnih pomeranja: ta£ka na povr²i
Posmatra se kretanje slobodne materijalne ta£ke po povr²ikoja je data sa jedna£inom z = f(x, y)
Koordinate vektora poloºaja ta£ke ~r = {x, y, z} moraju dazadovolje jedna£inu povr²i, tako da je n = 2
Vektor virtuelnog pomeranja ta£ke je dat sa
δ~r = {δx, δy, δz} = δx~ı+ δy~+ δz~k
Varijacije koordinata δx, δy, δz nisu me�usobno nezavisne ∞male veli£ine, jer ta£ka i posle virtuelnog pomeranja mora dabude na povr²i
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
Primeri virtuelnih pomeranja: ta£ka na povr²i
Varijacije koordinata ta£ke moraju da budu u skladu savezama, odn. da zadovolje jedna£inu veze (jedna£inu povr²i):
z = f(x, y) ⇒ δz =∂f
∂xδx+
∂f
∂yδy
Prema tome, vektor virtuelnog pomeranja ta£ke na povr²i jedat sa
δ~r = (~ı+∂f
∂x~k) δx+ (~+
∂f
∂y~k) δy
Virtuelno pomeranje ta£ke na povr²i se izraºava preko DVEme�usobno nezavisne varijacije koordinata (jer je n = 2)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Primeri virtuelnih pomeranja- sistem materijalnihta£aka
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
Primeri virtuelnih pomeranja: sistem materijalnih ta£aka
Vektor poloºaja proizvoljne ta£ke u sklopu sistema mat.ta£aka (sa holonomnim nestacionarnim vezama) je dat sa
~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn, t) (k = 1, 2, . . . , N)
Generalisane koordinate dobiju proizvolje varijacije δqi a vektorpoloºaja svake ta£ke odgovaraju¢e virtuelno pomeranje:
δ~rk =
n∑i=1
∂~rk∂qi
δqi
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
Primeri virtuelnih pomeranja: slobodno kruto telo
Posmatra se slobodno kruto telo koje vr²i op²te kretanje
Vektor poloºaja proizvoljne ta£ke tela je dat sa
~r = ~rA + ~ρ
Elementarno pomeranje proizvoljne ta£ke tela je dato sa
d~r = d~rA + d~ρ = d~rA + �~θ × ~ρ
Virtuelno pomeranje proizvoljne ta£ke tela (varijacija vektorapoloºaja) je data sa
δ~r = δ~rA + δ~ρ
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
Primeri virtuelnih pomeranja: slobodno kruto telo
Jedina veza kod slobodnog krutog tela je uslovnepromenljivosti rastojanja izme�u bilo koje dve ta£ke
Prema tome, vektor δ~ρ ne moºe da menja duºinu vektora ~ρ,jer je telo kruto
U analogiji sa stvarnim elementarnim pomeranjem u skladu saRodrigovim obrascem (rotacija oko trenutne ose kroz ta£ku A)
d~ρ = �~θ × ~ρ
gde je zadovoljena relacija krutog tela, virtuelna rotacija okoreferente ta£ke se prikazuje u obliku
δ~ρ = δ~θ × ~ρ
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Primeri virtuelnih pomeranja - slobodno kruto telo
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Primeri virtuelnih pomeranja - slobodno kruto telo
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
Primeri virtuelnih pomeranja: slobodno kruto telo
U relaciji δ~ρ = δ~θ × ~ρ varijacija vektora poloºaja δ~ρ je upravnana vektor poloºaja ~ρ: δ~ρ⊥~ρ, ²to zna£i da se ne menjaprvobitna duºina vektora ~ρ
Kao ²to je �~θ vektor elementarne rotacije tela, tako je δ~θvektor virtuelne rotacije tela
Trenutna osa rotacije je osa kroz ta£ku A koja je u skladu sajedna£inama kretanja tela (u skladu sa stvarnim kretanjemtela) sa n = 6:
xA(t), yA(t), zA(t), ψ(t), ϑ(t), ϕ(t)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
Primeri virtuelnih pomeranja: slobodno kruto telo
Koordinate vektora elementarne rotacije se izraºavaju prekoOjlerovih uglova
Osa virtuelne rotacije je proizvoljna osa kroz referentnu ta£ku
Ukupno virtuelno pomeranje ta£ke tela je dato u oblikuvirtuelnog pomeranja referentne ta£ke A i virtuelne rotacijeoko proizvoljne ose kroz ta£ku A:
δ~r = δ~rA + δ~θ × ~ρ
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Primeri virtuelnih pomeranja - slobodno kruto telo
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
Primeri virtuelnih pomeranja: slobodno kruto telo
Vektor virtuelnog pomeranja referentne ta£ke A δ~rA je dat sa
δ~rA = {δxA, δyA, δzA}
i posledica je varijacije koordinata vektora poloºaja referentneta£ke
Vektor virtuelne rotacije tela δ~θ je dat sa
δ~θ = {δθx, δθy, δθz} ili δ~θ = {δθξ, δθη, δθζ}
Koordinate vektora δ~θ se izraºavaju preko Ojlerovih uglova ivarijacije Ojlerovih uglova (analogno kao i vektor �~θ)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
Veza izme�u Ojlerovih uglova i vektora δ~θ
Koordinate vektora virtuelne rotacije u sistemu xyz su date sa
δθx = δϑ cosψ + δϕ sinψ sinϑ
δθy = δϑ sinψ − δϕ cosψ sinϑ
δθz = δψ + dϕ cosϑ
(6)
Na sli£an na£in, vektor virtuelne rotacije moºe da se prikaºe usistemu materijalnih osa ξηζ kao:
δθξ = δψ sinϕ sinϑ+ δϑ cosϕ
δθη = δψ cosϕ sinϑ− δϑ sinϕδθζ = δψ cosϑ+ δϕ
(7)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Zadatak
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Zadatak
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Sadrºaj
1 Kinematika sistema materijalnih ta£akaVeze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje
2 Virtuelna pomeranjaDe�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
Komutativnost operatora diferenciranja i variranja
Posmatra se sistem materijalnih ta£aka i jedna od ta£aka PkPosmatra se stvarna putanja ta£ke Pk (koja je jedinstvena irezultat je delovanja sila, prisutnih veza i po£etnih uslovakretanja)
Posmatra se jedna od mogu¢ih putanja ta£ke Pk (koja nijejedinstvena - ima ih ∞ mnogo)
Virtuelna (mogu¢a) putanja je geometrijsko mesto ta£aka kojepretstavljaju virtuelne poloºaje ta£ke u razli£itim trenucimavremena
U trenutku t ta£ka se nalazi u stvarnom poloºaju Pk, savektorom poloºaja ~rk
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
Komutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelno pomeranje u tom trenutku je δ~rk i odgovaraju¢imogu¢i poloºaj ta£ke je P ∗k , sa vektorom poloºaja ~rk + δ~rk
U trenutku t+ dt ta£ka se nalazi u ∞ bliskom stvarnompoloºaju P ′k, sa vektorom poloºaja ~rk + d~rk
Virtuelno pomeranje u tom trenutku, iz poloºaja P ′k, jeδ(~rk + d~rk) i odgovaraju¢i mogu¢i poloºaj ta£ke je P ∗′kStvarno elementarno pomeranje ta£ke (duº stavne putanje) jed~rk
Mogu¢e virtuelno pomeranje ta£ke duº mogu¢e putanje(prira²taj vektora poloºaja duº mogu¢e putanje) je d(~rk + δ~rk)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Komutativnost operatora diferenciranja i variranja
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
Komutativnost operatora diferenciranja i variranja
Sa slike je o£igledna relacija da se vektor u smeru dijagonale£etvorougla (ili dva povezana trougla) moºe da prikaºe kaovektorski zbir dva vektora de�nisanih nad jednim ili drugimskupom vektora odre�enih sa stranicama £etvorougla (ili dvatrougla sa zajedni£kom stranicom)
Prema tome, vaºi relacija
d~rk + δ(~rk + d~rk) = δ~rk + d(~rk + δ~rk)
Razvijanjem izraza se dobija
d~rk + δ~rk + δ(d~rk) = δ~rk + d~rk + d(δ~rk)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
Komutativnost operatora diferenciranja i variranja
Posle skra¢ivanja se dobija
δ(d~rk) = d(δ~rk) (8)
Relacija (8) pretstavlja komutativnost operatora diferenciranjai variranja
Ako se relacija (8) podeli sa diferencijalom vremena dt
δ(d~rk) = d(δ~rk) / : dt
dobija se
δ(d~rkdt
) =d
dt(δ~rk) odn. δ(~vk) =
d
dt(δ~rk) (9)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja
De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja
Virtuelna pomeranja
Komutativnost operatora diferenciranja i variranja
Relacija (9) zna£i da je varijacija vektora brzine jednaka izvodupo vremenu varijacije vektora poloºaja
Prema tome, za sistem materijalnih ta£ka vaºi:
δ(d~rk) = d(δ~rk)
δ(~vk) =d
dt(δ~rk)
Relacije (8) i (9) se koriste u kasnijim izvo�enjima
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2