Mehanika Fluida

MEHANIKA FLUIDA Skripta za studente Tehnikog fakulteta u Rijeci

Lado Kranjevi

Rijeka, 2013.

2

Verzija 01.10.2013.

3

SADRAJ:

1. FLUID I NJEGOVA SVOJSTVA

2. STATIKA FLUIDA

3. KINEMATIKA FLUIDA

4. OSNOVNI ZAKONI MEHANIKE FLUIDA

5. STRUJANJE IDEALNOG FLUIDA

6. STRUJANJE REALNOG FLUIDA U CIJEVI

7. OPTJECANJE TIJELA

4

Konverzija jedinica u SI sustav

Duljina 1 in = 0.0254 m

1 ft [=12 in]

= 0.3048 m

1 yd [=3 ft] = 0.9144 m

1 mi (milja) = 1 609.344 m

1 nm (naut. milja) = 1852 m

Povrina 1 ft2 = 0.0929 m2

Volumen 1 ft3 = 0.02832 m

3

1 gal [US] = 0.003 785 412 m3

1 fl oz = 2.9574*10-5

m3

Volumni protok 1 cfs [=ft3s

-1] = 0.02832 m

3s

-1

1 gpm [=gal/min] 6.309 *10-5

m3s

-1

Masa 1 lbm = 0.45359 kg

1 slug = 14.5939 kg

1 oz = 0.0283495 kg

Energija 1 Btu = 1055

J

1 ft lb = 1.356 J

Snaga 1 ft lb s-1

= 1.356 W

Sila 1 lbf = 4.448 N

1 kp = 9.81 N

Tlak 1 psi [=lbf in-2

] = 6 894.757 28 Pa

1 psf [=lbf ft-2

] = 47.88 Pa

1 torr = 133.322 Pa

1 in. Hg (600 F) = 3377 Pa

1 atm = 101325 Pa

Brzina 1 ft s-1

= 0.3048 m s-1

1 mph [=mi/hr] = 0.447 m s-1

1 knot[=nm/hr] = 0.514 m s-1

Ubrzanje 1 ft s

-2 = 0.3048 m s

-2

Gustoa 1 lbm ft-3

= 16.02 kg m-3

1 slug ft-3

= 515.4 kg m-3

Temperatura 1 0F = TC=5/9(TF-32)

0C

Viskoznost (kinematska) 1 ft2s

-1 = 0.0929

m

2s

-1

Viskoznost (dinamika) lbf s ft-2

= 47.88 Pa s

o lb libra, funta, eng.: pound; lbm masena libra; lbf libra u smislu sile o ft stopa, eng.: foot o in palac, eng.: inch o gal galon, eng.: gallon o oz unca, eng.: ounce; fl oz fluidna (volumna) unca; oz - masena unca

5

1. FLUID I NJEGOVA SVOJSTVA

Materija se dijeli na vrstu i tekuu. U vrstom stanju materije molekule ine kristalnu reetku s malim stupnjem slobode gibanja. Tekuine odn. fluidi jesu kapljevine ili plinovi. U stanju kapljevine molekule imaju veu slobodu gibanja i mogu zauzeti proizvoljan oblik zadravajui isti volumen, a u plinovitom stanju molekule mogu zauzeti proizvoljan prostor.

Najvei dio svemira je u fluidnom stanju. Galaksije, zvijezde i planete u veem dijelu se promatraju kao fluid. Atmosfera, oceani, mora, jezera i rijeke su fluidi. Unutranjost zemlje je u fluidnom stanju. Za gotovo sve industrijske grane vana je mehanika fluida: automobilska, avionska, brodograevna, kemijska industrija, energetika ovjekovo tijelo je veim dijelom fluid. Za medicinu je od velike vanosti poznavanje strujanja krvi i drugih fluida u tijelu.

Definicija fluida: fluid je materija koja se deformira pri proizvoljno malenom tangencijalnom

naprezanju (Sl.1.1, Sl.1.6.1). Fluid je mogue podijeliti na kapljevine (voda, ulje ...) i plinove

0),(,0 txv

Sl.1.1 Definicija fluida

1.1 Fluid kao kontinuum

Gustoa

U mehanici fluida stvarna molekularna struktura materije zamjenjuje se hipotetskim kontinuumom

koji zadrava neprekidnost fizikalnih svojstava prelazei i u infinitezimalne volumene, odnosno u graninom prijelazu i u nulti volumen, tj. u toku. Na osnovu toga gustou je mogue definirati na nain

V

m

v 0lim .

a. b.

Sl.1.1.1 Definicija gustoe u toki

Krutina Fluid

6

Na Sl.1.1.1a oznaen je volumen V. Potrebno je odrediti gustou u toki C(x0,y0,z0). Srednja

gustoa u volumenu V je Vm/ . Kako bi se odredila gustoa u toki C definiran je maleni

volumen .V Na Sl.1.1.1b vidljivo je da smanjivanjem volumena V ispod granice 'V on sadrava samo mali broj molekula te je nemogue fiksirati konanu vrijednost Vm/ jer e

vrijednost jako varirati kako molekule ulaze i izlaze iz volumena. Stoga, smanjivanje volumena

V ne moe ii ispod minimalne vrijednosti 'V jer volumen mora sadravati barem toliko mnogo molekula da statistiki daje pouzdanu i stabilnu srednju vrijednost fizikalnih svojstava i dinamikih vrijednosti, a u tom sluaju srednja gustoa se pribliava asimptotskoj vrijednosti Sl.1.1.1b. Definirajui gustou na takav nain u beskonano mnogo toaka u fluidu, postavlja se gustoa fluida u obliku skalarnog polja

tzyx ,,, .

U gornjem izrazu t je vrijeme poto gustoa moe varirati u vremenu zbog rada uinjenog na fluidu ili s fluidom i/ili zbog dovoenja ili odvoenja topline fluidu. Primjer ovisnosti gustoe o temperaturi prikazan je na primjeru vode na Sl.1.1.2.

Elementarna estica fluida, definirana je u tom skalarnom polju elementom mase m

Vm .

Tako definirana estica fluida ne smije se zamijeniti s pojmom molekule tvari.

Kapljevine je praktiki nemogue toliko razrijediti da se ne bi mogla primijeniti hipoteza kontinuuma. Za razliku od kapljevina plinovi mogu doi u tako razrijeeno stanje da hipoteza kontinuuma vie nije odriva. Kao kriterij primjenjivosti hipoteze kontinuuma najprikladniji je omjer slobodne putanje molekula l i karakteristine duljine L koja se zove Knudsenov broj

L

lK .

Za 01,0~K plin se ponaa kao kontinuum. Na primjer, na visini od 200 km iznad Zemlje zrak je

toliko razrijeen da molekule u prosjeku preu udaljenost od priblino 300 m prije sudara. Kod raunanja leta rakete duljine L=30 m nemogue je stoga primijeniti hipotezu zraka kao kontinuuma.

Sl.1.1.2 Gustoa vode

7

1.2 Tlak i stlaivost

Tlak je intenzitet sile po jedinici povrine. U mehanici fluida tlak nastaje bombardiranjem povrine molekulama fluida, gdje povrinu moe predstavljati zamiljena povrine unutar fluida ili povrina strukture koja je u dodiru s fluidom. U SI sustavu jedinica za tlak je Pascal (Pa).

Nestlaiv fluid definiran je izrazom

.const

dok je gustou nestlaivog fluida mogue napisati u obliku

Vm/ .

Praktino, kapljevine su nestlaive te se gornji izraz moe primijeniti na njih. Efekt stlaivosti

kod vode se javlja tek kod ekstremnog tlaka od GPap 1~

.

Plinovi su stlaivi i u problemima mehanike fluida mogu se javiti kao kontinuum s prostorno i vremenski promjenjivom gustoom. Odreena masa plina ne zauzima fiksni volumen i kontinuirano e se iriti ako nije ograniena spremnikom. Realni plinovi se ponaaju priblino prema zakonu idealnog plina. Idealni plin je potrebno razlikovati od pojma idealnog fluida poto se pod pojmom idealnog fluida smatra fluid bez trenja, dok je idealan plin viskozan i u njemu se

razvija smino naprezanje. Plin je stoga stlaiv prema zakonu idealnog plina

mRTpV ili RTp

gdje je R (Nm/kg K) plinska konstanta. Za zrak pri normalnim uvjetima R=287 (Nm/kg K).

Efekt stlaivosti plinova prisutan je i kod transsoninog strujanja, a kod male izmjene topline i uz

Machov broj 3,0c

vM plinovi pokazuju varijaciju gustoe do 5% i mogu se aproksimirati kao

nestlaivi.

Promjena faze tj. prijelaz iz plinovitog u stanje kapljevine i obrnuto u ovisnosti o tlaku i

temperaturi mogue je prikazati p-T dijagramom gdje je p tlak, a T temperatura. Na slici (Sl.1.2.1) prikazan je p-T dijagram s izmjenama faza za vodu.

8

Sl.1.2.1 p-T dijagram izmjene faza za vodu

Koeficijent stlaivosti

Stlaivost fluida izraava se koeficijentom stlaivosti. Ako se u jedinici volumena tlak povea za dp to e uzrokovati smanjenje volumena dV. Kvocijent

dp

V

dV

se naziva koeficijentom stlaivosti ( 1Pa ) (stiljivosti, kompresibilnosti).

Modul elastinosti (Pa)

Modul elastinosti reciprona je vrijednost koeficijenta stlaivosti te se njime takoer definira koliko je stlaiva neka tvar tj. kako odreena tvar mijenja volumen dV pri promjeni tlaka dp:

.

Negativni predznak je ukljuen u prethodni izraz poto poveanje tlaka (dano u brojniku) uzrokuje smanjenje volumena (dano u nazivniku). Obzirom da smanjenje volumena odreene mase m= V uzrokuje poveanje gustoe, modul elastinosti mogue je izraziti i pomou gustoe (sada bez negativnog predznaka):

.

Velike vrijednosti modula elastinosti za odreenu tvar odnosno fluid indiciraju da je tvar relativno nestlaiva.

9

TVAR MODUL ELASTINOSTI E[Pa]

ZRAK (za konstantnu temperaturu) 1.01105 ZRAK (adijabatski) 1.42105 VODA 2.2109 VODA - morska 2.32109 STAKLO 3.51010 ALUMINIJ 7.551010 ELIK 1.61011 DIJAMANT 4.421011

Tablica.1.1 Modul elastinosti za neke tvari

Koliko je puta zrak stlaiviji od vode ?

Izotermna i izentropska kompresija i ekspanzija

Kod stlaivanja plinova odnos izmeu tlaka i gustoe ovisi o prirodi procesa. Ako se kompresija ili ekspanzija dogaa uz konstantnu temperaturu tada je taj proces izoterman te na osnovu jednadbe idealnog plina slijedi

.constp

U sluaju da je proces kompresije ili ekspanzije izentropan tj. proces je bez trenja i ne dolazi do izmjene topline s okolinom vrijedi

.constp

,

gdje je koeficijent kvocijent specifine topline cp pri konstantnom tlaku i specifine topline cv pri konstantnom volumenu i ta veliina se jo naziva i adijabatski indeks:

.

Specifine topline se odnose prema plinskoj konstanti na nain: . Uvrstivi

prethodno dane izraze odnosa tlaka i gustoe za izotermnu ili izentropsku kompresiju u izraz

modula elastinosti , za izoterman proces proizlazi , dok za izentropan proces

vrijedi .

Stlaivo strujanje esto se javlja u inenjerskoj praksi kod kompresora i raznih sustava s komprimiranim zrakom, zubarskih builica, ventilatora, pri prijenosu plinova u plinovodima pod visokim tlakom, transsoninih strujanja oko aviona i projektila itd.

PRIMJER 1.1: Stlaivost vode?

Gustoa morske vode na povrini oceana je V=1025 kg m-3. Uz pretpostavku da sastav

mora i temperatura ostaju isti po dubini, koje e biti poveanje gustoe mora na dnu Marijanske brazde na 11 km dubine, gdje je predtlak 108,6 MPa. Modul elastinosti za morsku vodu EV=2.32 GPa. Zakljuak: Iako je voda praktino nestlaiva, pri ekstremnom uvjetu tlaka kao to je sluaj na dubini mora od 11 km, voda se stlauje za neto manje od 5%.

10

1.3 Brzina zvuka

Zvuni valovi su elementarni valovi u fluidima koji mogu egzistirati bez prisutnosti vanjske sile. Openito, iz teorije vibracija poznato je da val ili neki drugi oscilirajui sustav podrazumijeva ravnoteno stanje vanjske sile i inercije sustava. Veina valova podrazumijeva prisutnost vanjske sile, kao to su npr. gravitacija, povrinska napetost, magnetska sila, vanjska sila prouzroena elastinom cijevi te Coriolisova sila prisutna kod fluida u rotirajuem sustavu. Za razliku od navedenih sluajeva zvuni val iri se neovisno o vanjskoj sili te umjesto vanjske sile ravnoteu inerciji sustava daje stlaivost samog fluida. Obzirom da je svojstvo stlaivosti fluida, poput tlaka, isto u svim smjerovima, irenje zvuka je takoer izotropno.

Tlani poremeaj u fluidu prenosi se odreenom konanom brzinom, a taj je fenomen posljedica meudjelovanja estica jednih na druge. Dva su osnovna svojstva tvari koja utjeu na brzinu zvuka elastino i inercijsko svojstvo, odnosno mogue je rei da brzina zvuka ovisi o stlaivosti i gustoi pojedine tvari

.

Utjecaj inercijskog svojstva (gustoa) vidljiv je npr. po odnosu brzine zvuka u vodiku i deuteriju. Zvuk se u vodiku iri 1.41. puta bre nego u deuteriju (teki vodik) koji je dvostruko gui od vodika dok ostala svojstva ima slina vodiku. Elastino svojstvo tvari povezano je sa sposobnou tvari da zadri svoj volumen pri promjeni tlaka p. To svojstvo definira se modulom elastinosti E za pojedinu tvar. Koristei modul elastinosti brzinu zvuka mogue je izraziti na sljedei nain:

.

Vibrirajua zvunika membrana stvara lokalni tlani poremeaj zvuk. Ta mala promjena tlaka iri se zrakom odreenom brzinom koju nazivamo brzina zvuka c. Obzirom da su ti poremeaji mali, izmjena topline je zanemariva pa se pretpostavlja da se proces dogaa izentropski. U prethodnom poglavlju definirano je da za izentropski proces vrijedi . Sada je mogue brzinu zvuka izraziti:

.

Za veliki broj realnih plinova model idealnog plina je dobra aproksimacija. Kod idealnog plina

molekule su uglavnom previe udaljene da bi meusoban utjecaj molekularnih sila imao znaajniji

utjecaj, nego je tlak ( RTp ) posljedica prijenosa koliine gibanja meu molekulama, a

unutarnja energija (translacijska, rotacijska i vibracijska) po jedinici mase dobro se moe aproksimirati kao funkcija ovisna samo o temperaturi E(T). Stoga, pri konstantnoj temperaturi tlak

u idealnom plinu nema utjecaja na brzinu zvuka, a takoer je brzina zvuka priblino ista za sve frekvencije i amplitude. Na osnovu navedenog proizlazi izraz za brzinu zvuka u plinovima

upotrebom pretpostavke idealnog plina

,

kojim se pokazuje da je brzina zvuka proporcionalna kvadratnom korijenu apsolutne temperature T

tj. poveava se poveanjem temperature. Za zrak temperature 15oC, plinsku konstantu

i adijabatski indeks (za dvoatomne plinove) =1.4, proizlazi brzina zvuka

. Prethodni izraz za brzinu zvuka nije mogue primijeniti na kapljevine i na plinove koji su pregusti da bi se na njih primijenio zakon idealnog plina .

Veliina adijabatskog indeksa koja utjee na brzinu zvuka kree se unutar raspona od

maksimalno za monoatomne plinove, ija interna energija je posljedica jednostavne

11

translacije molekula, kroz vrijednost =1.4 za dvoatomne plinove (kod kojih se na energiju

translacije nadodaje i energija molekularne rotacije), do niih vrijednosti koeficijenta za vieatomne plinove pri viim temperaturama (kod kojih se javlja dodatan utjecaj molekularne vibracije).

Brzina zvuka u kapljevini biti e mnogo vea od brzine zvuka u plinu zbog slabe slaivosti kapljevina. Tako je za vodu temperature 20

oC uz modul elastinosti i gustou

mogue izraunati .

Sl.1.3.1 Brzina zvuka u moru kao funkcija dubine (pozicija sjeverno od otoja Havaji prema World Ocean Atlas (WOA)). Brzina zvuka malo se mijenja s dubinom (ovisno o temperaturi,

tlaku i salinitetu). Minimalna brzina zvuka je u tzv. zvunom kanalu (SOFAR Sound Frequency and Ranging channel). U njemu zvuni valovi niskih frekvencija mogu propagirati tisuama kilometara prije nego disipiraju te je taj fenomen poznat u podmornitvu.

Brzina irenja zvuka u kapljevini slabo je ovisna je o frekvenciji (osim efekta disipacije) i slabo ovisna o promjeni tlaka u fluidu te je tako npr. u moru brzina zvuka slabo ovisna o dubini, a to je vidljivo na slici Sl.1.3.1. gdje se brzina zvuka mijenja priblino 5% od povrine do dubine od 5,5 km. Treba uzeti u obzir da su u navedenu promjenu brine zvuka po dubini jo ukljueni utjecaji promjene temperature i saliniteta (u manjoj mjeri).

Zvuni valovi se osim kroz plin i kapljevinu prenose i kroz kruto tijelo gdje je njihova brzina zbog vee krutosti tvari, puno vea. Tako se zvuni val u npr. aluminiju iri brzinom od c=6420 ms1. Zvuk se kroz fluid prenosi kao longitudinalni val. Kroz kruto tijelo zvuk se prenosi i kao

longitudinalni i kao transverzalni val. Longitudinalni valovi su valovi naizmjenine varijacije tlaka obzirom na ravnoteno stanje tlaka, kojima se proizvode podruja zguenja i razrjeenja. Transverzalni valovi kod krutih tijela su valovi naizmjeninog promjenjivog intenziteta sminog naprezanja pod kutom okomitim na smjer propagacije vala.

Brzinu irenja zvunog vala u krutom tijelu mogue je predoiti pojavom potresa. Potres se naziva i seizmikim valom i on je u osnovi zvuni val koji putuje kroz zemlju. Obzirom da je zemljina kora kruta, seizmiki valovi se prenose i kao longitudinalni i kao transverzalni valovi. Te dvije vrste valova ire se razliitim brzinama, tj. longitudinalni valovi (P valovi) ire se brzinom ~8000 ms-1, a transverzalni valovi (S valovi) brzinom od ~4500 ms

-1. Tijekom potresa longitudinalni valovi stoga

stignu ranije i predstavljaju inicijalni tremor prije velikog tremora kojeg izazivaju transverzalni

valovi.

12

1.4 Tlak zasienja pare i kavitacija

Tlak zasienja pare

Isparavanje (ishlapljivanje) izbacivanje molekula kapljevine u plin dogaa se kada neke molekule kapljevine imaju dovoljnu koliinu gibanja da svladaju meumolekularne kohezivne sile.

Ako se kapljevina zatvori u spremniku s malo zrakopraznog prostora (vakuuma) iznad povrine fluida, prostoru iznad povrine fluida rasti e tlak kako odbjegle molekule kapljevine ishlapljuju. Kada se stvori ravnotea u smislu da je broj molekula koje naputaju kapljevinu jednak broju molekula koje se vraa u fluid smatra se da je para zasiena te se tlak pare tada naziva tlak zasienja pare.

Vrenje formiranje mjehuria pare unutar kapljevine poinje kada se apsolutan tlak u fluidu pri zadanoj temperaturi izjednai s tlakom zasienja pare (Sl.1.2.1). Voda vrije u normalnim uvjetima (apsolutni tlak od 1 bar) pri temperaturi od 100

OC, dok na nadmorskoj visini od npr. 2000m pri

atmosferskom tlaku od priblino 80000 Pa voda vrije pri temperaturi od 93OC, a u tlanom loncu u kojem je apsolutni tlak od 3 bar voda vrije pri 134

OC.

Vrenje je stoga mogue inducirati pri zadanom tlaku poveanjem temperature ili na zadanoj temperaturi smanjenjem tlaka.

Kavitacija. Fenomen vrenja te pojam tlaka zasienja pare vani su pogotovo kod analize strujanja fluida u zatvorenim sustavima i turbostrojevima. Strujanjem u takvim sustavima fluid esto dolazi u zone niskoga tlaka te ako je taj tlak nii od tlaka zasienja pare dolazi do stvaranja mjehura pare u fluidu. Kada mjehuri pare budu strujom fluida odneeni dalje u podruja viega tlaka od tlaka zasienja pare dolazi do imploziju mjehura pare koja se naziva kavitacija. U sluaju kada se implozija mjehura pare dogaa u blizini stijenke dolazi do njenog oteenja zbog lokalno izrazito velikog tlaka koji nastaje pri mikroimplozijama.

1.5 Povrinska napetost

Granica izmeu kapljevine i plina ili dviju kapljevina koje se ne mijeaju naziva se povrina. Na povrini kapljevine razvijaju se sile koje uzrokuju da se povrina ponaa kao neka vrsta membrane koja okruuje fluid. Iz tog razloga elina igla moe plutati na povrini vode ili se javlja fenomen ive koja se formira u kuglice kada se stavi na glatku povrinu poto kohezivne sile povrine nastoje drati sve molekule ive zajedno u kompaktnoj formi. Tlak u kapljici vode koja leti zrakom je vei nego tlak zraka koji ju okruuje. Povrinska napetost se javlja radi neuravnoteenih kohezivnih sila izmeu molekula fluida na povrini. Povrinska napetost jest intenzitet privlanih molekularnih sila po jedinici duljine bilo

koje linije na povrini. Dimenzija jest Nm-1.

Fenomen koji se javlja radi povrinske napetosti je i povienje (ili snienje) stupca fluida u kapilari. U kapilarnoj cjevici umetnutoj u vodu javit e se povienje razine vode zbog meudjelovanja kapljevine, plina i krute stjenke. U primjeru na slici Sl.1.5.1a izmeu molekula krute stjenke i molekula kapljevine javlja se privlana molekularna sila koja je jaa od interne kohezivne molekularne sile meu molekulama u kapljevini i koja zato uzdie stupac kapljevine. Takva kapljevina se naziva vlaea kapljevina.

13

Sl.1.5.1 Povrinska napetost

Visina elevacije kapljevine u kapilari odreuje se izrazom

gRh

cos2

gdje je povrinska napetost, R radijus kapilare, kut kontakta fluida i stijenke. Kut kontakta je

funkcija i svojstava kapljevine i vrste stjenke. Za vodu u kontaktu sa staklom o0 , dok iva u

kontaktu sa staklom ima o130 te je primjer nevlaeeg fluida u kontaktu sa staklom poto je u adhezivna sila molekula krute stjenke slaba u usporedbi s kohezivnom molekularnom silom fluida.

Povrinska napetost ima vanu ulogu u strujanju kapljevina kroz tlo i poroznu sredinu, kod formiranja kapljica i mjehuria, disperziji mlaza kapljevine, penjanju vode kroz korijenje biljaka (Sl.1.5.2) itd.

Sl.1.5.2 Veliko stablo sekvoje crpi i do 500 kg vode dnevno na visine i do 100m Efekt

kapilarnosti omoguuje da stablo kroz korijenje crpi vodu iz tla do iznad povrine zemlje. Suneva energija preko procesa isparavanja i osmoze koja se dogaa u stanicama listova die vodu od povrine zemlje do listova.

14

1.6 Viskoznost

Fluid je tvar koja se kontinuirano deformira pod utjecajem sminog naprezanja ma kako malo to naprezanje bilo.

Viskoznost svojstvo otpornosti fluida prema sminoj deformaciji. Svojstvo suprotno viskoznosti jest fluidnost. Viskoznost je takoer i mjera unutarnjeg trenja u fluidu. Povezanost viskoznosti i trenja ukazuje na viskoznost kao svojstvo fluida zbog kojeg nastaju gubici pri strujanju. Viskoznost

je svojstvo fluida koje se oituje tek pri gibanju fluida.

Sl.1.6.1 Eksperiment analiza viskoznosti fluida

Eksperiment analiza viskoznosti fluida Izmeu dvije paralelne ploe nalazi se neka tvar (Sl.1.6.1). Donja ploa je fiksna, dok na gornju

djeluje sila F, koja proizvodi smino naprezanje = F/A na tvar meu ploama. A je povrina gornje ploe. Ako sila F prouzrokuje gibanje ploe stalnom brzinom, tada je mogue zakljuiti da je tvar meu ploama fluid. Fluid u neposrednom kontaktu s vrstom granicom ima istu brzinu kao vrsta granica (tzv. ''no slip condition''). Pokus pokazuje da je sila F direktno proporcionalna povrini i brzini A i U i obrnuto proporcionalna debljini sloja fluida H

H

UAF ,

gdje je faktor proporcionalnosti vezan za svojstva fluida. Kvocijent U/H predstavlja brzinu kutne

deformacije i openitije ga se moe napisati dy

du. Ako se nadalje u prethodnu jednadbu uvede

izraz za smino naprezanje = F/A. Slijedi Newtonov zakon viskoznosti:

dy

du,

gdje je smino naprezanje, du/dy brzina kutne deformacije pri 1D strujanju fluida, a sPa

dinamiki koeficijent viskoznosti. Osnovna podjela fluida je na newtonske i nenewtonske (njutonske, nenjutonske) fluide (Sl.1.6.2).

Kod newtonskih fluida (plinovi, veina kapljevina) postoji linearna relacija (kao na Sl.1.6.1) izmeu intenziteta sminog naprezanja i odgovarajue brzine deformacije. Nenewtonski fluidi jesu npr. dugolanani hidrokarbonati, krv, zubna pasta, neke boje, blato... (Sl.1.6.2), a kod njih je odnos izmeu intenziteta sminog naprezanja i odgovarajue brzine deformacije nelinearan.

UF

x

y

y

u

H

15

Sl.1.6.2 Newtonski i nenewtonski fluid

Viskoznost se gotovo ne mijenja promjenom tlaka, a mijenja se s promjenom temperature. Kod

kapljevina, poveanjem temperature smanjuje se viskoznost, dok se kod plinova poveanjem temperature viskoznost poveava (Sl.1.6.3).

Sl.1.6.3 Dinamika i kinematika viskoznost u ovisnosti o temperaturi, za neke fluide

16

Dijeljenjem koeficijenta dinamike viskoznosti s gustoom fluida dobiva se koeficijent kinematike

viskoznosti fluida s

m 2. Kinematika viskoznost se esto koristi u mehanici fluida i

inenjerstvu i predstavlja mjeru otpora fluida sminoj deformaciji odn. teenju pod djelovanjem sile gravitacije. Na slikama Sl.1.6.3 uoljivi su razliiti meusobni odnosi dinamikog odn. kinematikog viskoziteta za neke fluide (npr. voda i iva Sl.1.6.3). Za vodu pri normalnim uvjetima

vrijedi cSts

m1101

26 (centi Stokes), odn. cPsPa 1101 3 (centi Poise). Spomenute

su starije jedinice za kinematiku viskoznost Stokes i dinamiku viskoznost Poise koje su jo ponegdje u upotrebi.

PRIMJER 1.2: Mjerenje dinamike viskoznosti rotacijskim viskozimetrom

Uz zadanu brzinu kutne deformacije du/dy te mjerenjem sminog naprezanja , mogue

je pomou Newtonovog zakona viskoznosti dy

du, izraunati koeficijent dinamike

viskoznosti . Rotacijski viskozimetar se u osnovi sastoji od vanjskog rotirajueg cilindra i unutarnjeg, koncentrinog, stacionarnog cilindra Sl.P.1.2 Mjerenjem torzijskog momenta T na unutarnjem stacionarnom cilindru mogue je izraunati smino naprezanje.

Sl.P.1.2 Shematski prikaz rotacijskog viskozimetra

Unutarnji je cilindar u dodiru s fluidom preko "plata" i dna. Ukupni torzijski moment izmjeren na unutarnjem cilindru je stoga

DC TTT

gdje je TC torzija zbog sminog naprezanja na platu i TD torzija zbog naprezanja na dnu.

17

Za plat:

b

r

dy

du 2 ,

gdje je brzina rotacije vanjskog cilindra , a b zranost meu cilindrima. Torzijski moment zbog trenja na platu je

112 rhrTC .

Uzevi u obzir prethodna dva izraza i Newtonov zakon viskoznosti slijedi

b

hrrTC

2

2

12 .

Za dno cilindra:

drdrdA

drdrra

rdArdTD

Integriranjem po dnu unutarnjeg cilindra slijedi:

1

0

3

2

0

r

D drrda

T

2

4

1r

aTD

gdje je a zranost na dnu cilindra prema slici.

Slijedi jednadba za ukupni torzijski moment

a

r

b

hrrT

2

2 21221 .

Poto je T ukupni torzijski moment izmjeren na unutarnjem cilindru iz gornjeg izraza direktno proizlazi dinamiki koeficijent viskoznosti .

PRIMJER 1.3: Mjerenje kinematike viskoznosti Sayboltovim viskozimetrom

18

Princip mjerenja viskoznosti Sayboltovim viskozimetrom (Sl.P.1.3) sastoji se u mjerenju vremena potrebnog za istjecanje VL=60 cm

3 fluida kroz kapilarnu cijev pod utjecajem gravitacije. Pri mjerenju

se odrava konstantna temperatura mjerenog fluida. Poto fluid istjee pod utjecajem sile gravitacije vanost pri ovom mjerenju ima i gustoa fluida te je mjerena viskoznost kinematika

viskoznost .

Sl.P.1.3 Shematski prikaz Sayboltovog viskozimetra

Pri analizi strujanja kree se od Hagen Poisseuilleove formule za strujanje viskoznog fluida kroz cijev ( Hagen Poisseuilleova formula e biti analizirana kasnije u poglavlju 6.1.2):

L

DpQ

128

4

.

Dalje, definira se prosjena piezometrina visina za vrijeme istjecanja hL, poznat je volumen

mjerenog fluida VL, protok Q se aproksimira tVQ L / te se uzima Lhgp . Slijedi:

L

Dhg

t

V LL

128

4

tCtLV

hgD

L

L1

4

128.

Poto je duljina kapilarne cjevice L relativno malena dodaje se gornjem izrazu jo i korekcijski faktor oblika C/t pa konano slijedi izraz za kinematiki viskozitet oblika

t

CtC 21

tj. priblini odnos Sayboltovih sekundi i kinematike viskoznosti jest

124108.1

0022.0 smt

t .

19

PRIMJER 1.4: SAE gradacija viskoznosti motornih ulja S inenjerskog motrita viskoznost je najvanije svojstvo industrijskih maziva. Premalo viskozno mazivo pod silom strojnih nasjednih povrina bude istisnuto te dolazi do kontakta strojnih elemenata i oteenja. Previe viskozno mazivo npr. ne tee preko cijele leajne povrine te dolazi do oteenja ili zbog svoje prevelike viskoznosti apsorbira previe energije koja se potom pretvara u toplinu te dovodi do pregrijavanja. Stoga je pravilan izbor odreenog maziva, ulja za odreenu industrijsku namjenu od izuzetne vanosti. Za pravilan izbor maziva odn. motornih ulja vana je njihova to preciznija klasifikacija. SAE (Society of Automotive Engineers) klasifikacija motornih ulja prema viskoznosti je najraireniji i openito prihvaen sustav klasifikacije na svijetu. Prema SAE oznakama definiraju se dvije grupe viskoznosti: - s oznakom W - kojom se klasificiraju ulja za zimske uvjete rada; - bez oznake - ulja za openite uvjete rada. Viskoznost se kod ulja s oznakom W mjeri na sljedee naine: - simulatorima hladnog starta i testom pumpanja koji definira kritinu temperaturu pumpanja - testom kod kojeg mora zadovoljiti minimalnu viskoznost kod 100

OC.

U simulatorima hladnog starta dobiva se dinamika viskoznost u (Pa s), dok ta ulja moraju takoer zadovoljiti i test minimalne kinematike viskoznosti pri 100

oC.

Kod ulja bez oznake mjeri se samo kinematika viskoznost pri vioj temperaturi. U modernim motorima koriste se tzv. multigrade ulja koja se dobiju mijeanjem prethodno navedenih dviju grupa ulja te ona zadovoljavaju kriterije viskoznosti pri niskim temperaturama i zadovoljavaju takoer uvjete minimalne i maksimalne viskoznosti pri 100

oC. Npr. ulje koje

zadovoljava 10W uvjete i 30 uvjet oznaava se SAE 10W30.

SAE

Viskoznost ASTM D2602

Viskoznost (Pa s) Max temp. (

oC)

ASTM D3829 Granina temp. pumpanja (

oC)

ASTM D445 Minimalna viskoznost

(mm2/s) pri 100

oC

ASTM D445 Maksimalna viskoznost (mm

2/s) pri

100oC

0W 6200 pri -35 -35 3,8 -

5W 6600 pri -30 -30 3.8 -

10W 7000 pri -25 -25 4,1 -

15W 7000 pri -20 -20 5,6 -

20W 9500 pri -15 -15 5,6 -

25W 13000 pri -10 -10 9,3 -

20 5,6 9,3

30 9,3 12,5

40 12,5 16,3

50 16,3 21,9

Tablica P.1.4 SAE klasifikacija viskoznosti motornih ulja

U inenjerstvu se esto koristi veliina indeksa viskoznosti "VI". Unutarnje trenje u kapljevinama pa tako i mazivu je vee pri nioj temperaturi i manje pri vioj temperaturi. Npr. med pri niskoj temperaturi jedva da tee, a nakon zagrijavanja tee sasvim lako. Med i njemu slini fluidi imanju nizak indeks viskoznosti dok fluid koji podjednako tee i pri niskim i visokim temperaturama ima visok indeks viskoznosti. Raspon indeksa VI ide od VI=0 za ulja s visokom osjetljivou na viskoznost obzirom na temperaturu do cca. VI=200 za ulja kod kojih se viskoznost puno manje mijenja s promjenom temperature. U motorna ulja stoga se dodaju kemijski aditivi (obino dugolanani polimeri) za poboljanje indeksa viskoznosti, a to se posebno odnosi na mijeana (multigrade) ulja.

20

2. STATIKA FLUIDA

Statika fluida se bavi fluidom u stanju mirovanja. Fluid je u stanju mirovanja ako postoji

koordinatni sustav u kojem je brzina estica fluida u svakoj toki jednaka nuli.

2.1 Sile, naprezanja i tlak u fluidu

Sile u mehanici fluida dijele se na [Cauchy]:

- masene ili tjelesne sile, u oznaci mF

, (gravitacija, inercijska sila, centrifugalna sila,

Coriolisova sila, elektromagnetska sila)

- kontaktne ili povrinske sile , u oznaci sF

.

a. b.

Sl.2.1.1 Masene i kontaktne sile u fluidu

Gustoa masene sile, u oznaci f

, se definira u svakoj toki promatranog tijela fluida kao

V

F

m

Fzyxf m

V

m

m

00000 ,, limlim ,

gdje je m masa tijela V koje sadri toku (xo, yo, zo) i mF

masena sila na to tijelo (Sl.2.1.1).

Gustoa kontaktne sile, u oznaci t

, se definira u svakoj toki tijela fluida kao

S

Fzyxt S

A

0,, lim ,

gdje je S povrina diferencijalnog dijela ravnine definirane tokom (x, y, z) i normalom n

, te

SF

kontaktna sila na S (Sl.2.1.1).

Uz osnovna dva zakona statike fluida, koji su ujedno osnovni zakoni statike bilo kojeg kontinuuma,

potrebno je definirati konstitutivnu relaciju za fluid koja se oituje u definiranju tenzora naprezanja

21

Kontaktne sile

Kontaktne ili povrinske sile djeluju na plohu granicu tijela. Naprezanja proizlaze od kontaktnih sila koje djeluju na granicu tijela. Konceptom naprezanja objanjava se nain na koji se djelovanje sila koje djeluju na granicu tijela prenosi kroz tijelo. Obzirom da su i sila i ploha (definirana

normalom) vektorske veliine oigledno je da je polje naprezanja skalarno polje.

Pretpostavimo neku plohu u fluidu koji struji te kontaktnu silu koja djeluje na tu plohu.

Pretpostavimo dalje dio te plohe malenu plohu A u sredini koje se nalazi toka C, kao to je prikazano na slici. Kontaktnu silu F (iju gustou oznaujemo s t ) koja djeluje na malenu plohu

A mogue je rastaviti na dvije komponente, jednu u smjeru normale na plohu i jednu tangencijalnu na plohu. Na osnovu toga definiraju se normalno i tangencijalno naprezanje :

Sl.2.1.2 Kontaktne sile u fluidu

A

FnA 0lim i

A

FtA 0lim . (1.1.4.1)

Segment plohe malena ploha A , slobodno je orijentirana u trodimenzijskom prostoru te se komponente sile koja na nju djeluje, dalje u kartezijevom koordinatnom sustavu rastavljaju na x, y i

z komponente. Isto tako analiziramo plohu A kroz njene projekcije prema koordinatnim osima

xA , yA , zA .

Ako se prvo analizira x projekcija plohe - xA ija je normala u smjeru osi x te se definiraju limesi

slino (1.1.4.1) dobivaju se komponente naprezanja:

Sl.2.1.3 Komponente sile i naprezanja na malenu plohu Ax

22

x

xn

Axx

A

F

x

,

0lim ,

x

yt

Axy

A

F

x

,

0lim ,

x

zt

Axz

A

F

x

,

0lim . (1.1.4.2)

Naprezanja su oznaena dvostrukim indeksima, gdje prvi indeks oznauje projekciju male plohe

A, a drugi indeks oznauje smjer u kojem naprezanje djeluje. Sukladno projekciji xA raunaju

se i oznauju naprezanja i za druge projekcije. U y smjeru, na projekciji plohe - yA definiraju se

naprezanja yy

, yx

, yz

. Za projekciju plohe zA slino prethodnome, vrijede naprezanja zz ,

zx,

zy.

Naprezanje u toki C potpuno je definirano definicijom naprezanja na tri meusobno okomite, prethodno opisane plohe koje prolaze kroz tu toku. Skup prethodno definiranih (devet) naprezanja zapisuje se u obliku tenzora naprezanja

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

T . (1.1.4.3)

Mogue je dokazati da je prethodno definirani tenzor simetrian, tj. da vrijedi

zyyz, xzzx , yxxy , (1.1.4.4)

te na osnovu toga proizlazi da je za definiranje stanja naprezanja unutar fluida potrebno poznavati

est skalarnih funkcija, meusobno razliitih komponenti tenzora naprezanja.

Sl.2.1.4 Nain oznaavanja naprezanja

Na slici Sl.2.1.4 prikazan je infinitezimalni volumen ogranien sa est ploha, s dvije x plohe, dvije y plohe i dvije z plohe. Normala svake plohe usmjerena je prema van u odnosu na centar elementa.

23

Na slici su radi zornosti prikazana naprezanja samo na x i y plohama. Npr. gornja ploha (y ploha)

je pozitivna, a donja (y ploha) negativna, to proizlazi iz usmjerenosti njihovih vektora normala obzirnom na odgovarajuu koordinatnu os (y os). Komponenta naprezanja je pozitivna ako su smjerovi komponente naprezanja i normale plohe na

kojoj naprezanje djeluje oboje pozitivni ili negativni. Na Sl.2.1.4 sva naprezanja prikazana su kao

pozitivna.

Komponente gustoe kontaktnih sila definiranih na poetku poglavlja mogue je zapisati pomou komponenti naprezanja:

kjit xzxyxxx , kjit yzyyyxy , kjit zzzyzxz (1.1.4.5)

Prema definiciji, u fluidu u stanju mirovanja nema sminih naprezanja. Isto tako u idealnom fluidu (koji se giba ili miruje) koji predstavlja idealizirani model u kojem ne postoje viskozne sile tj. ne

postoje smina naprezanja, ukupna kontaktna sila na bilo koju plohu unutar fluida kolinearna je s vektorom normale plohe. Za mirujui realni fluid i gibajui ili mirujui idealni fluid vrijedi da jedina preostala komponenta naprezanja normalna naprezanja ne ovise o orijentaciji plohe.

Tu zakonitost definirao je Blaise Pascal (1623.-1662.).

Pascalov zakon definira: tlak u nekoj toki fluida koji miruje ili se giba, neovisan je o orijentaciji plohe na kojoj je toka, ako nema sminih naprezanja .

Kod realnog gibajueg fluida (kod kojeg stoga postoje smina naprezanja) normalno naprezanje u nekoj toki nije nuno isto u svim smjerovima tako da se u tom sluaju tlak rauna kao srednja vrijednost normalnih naprezanja u tri meusobno okomita pravca (smjera).

Za bilo koju toku unutar mirujueg ili idealnog fluida osim injenice da ne postoje tangencijalna

naprezanja 0 vrijedi i

pzzyyxx (1.1.4.6)

gdje je p tlak. Tenzor naprezanja (1.1.4.3) se stoga pojednostavljuje u

p

p

p

Tp

00

00

00

. (1.1.4.7)

odnosno, raspored unutarnjih kontaktnih sila dan je jednom skalarnom funkcijom tlakom. Vektor gustoe kontaktne sile

ntzyxt

000 ,, .

mogue je stoga u mirujuem ili idealnom fluidu jednostavnije izraziti pomou tlaka p. Vrijedi:

npzyxt

000 ,,

Kad fluid miruje, sila fluida na plohu je okomita i tlak je uvijek isti, kako god orijentirali plohu s . Tlak je temeljna varijabla u mehanici fluida.

Tlak u toki (x, y, z), p(x,y,z) , definiran je omjerom intenziteta kontaktne sile i povrine plohe. Osnovna jedinica za tlak je paskal (Pa) i jednaka je kvocijentu sile od jednog njutna i povrine od jednog metra kvadratnog, Pa (paskal) =N/m

2. esto se koristi i jedinica bar = 105 Pa.

24

U tablici 2.1.1 dane su osim normalnog (normnog) tlaka na povrini mora i druge normalne veliine.

Svojstvo Simbol Vrijednost

Temperatura T 150C

Tlak p 101.3 kPa Gustoa 1.225 kg/m3

Viskoznost 1.781 10-5

Pa s

Tablica 2.1.1 Normalni uvjeti na povrini mora

PRIMJER 1.5: Primjena Pascalovog zakona u hidraulinim ureajima Pascalov zakon definira da poveanje tlaka u bilo kojoj toki fluida zatvorenog u spremniku uzrokuje jednako poveanje tlaka u svim tokama fluida u spremniku. Primijenjeno na sluaj hidraulike dizalice prikazane na slici vrijedi da je tlak na povrini lijevog i desnog klipa isti

21 pp .

Sila na klip manje povrine A1 jest 111 ApF pa slijedi da se sila na klipu vee povrine za idealan

sluaj bez gubitaka trenja, multiplicira prema izrazu

1

1

22 F

A

AF .

Multipliciranje sile istodobno pretpostavlja da e hod manjeg klipa biti znatno dui d1 od hoda veeg klipa d2 poto volumen kojega prebrie manji klip mora biti jednak volumenu kojega prebrie vei klip (tamno siva podruja na slici). Pokazani princip koristi se kod raznih hidraulinih sustava: tekih graevinskih strojeva raznih kopaa i buldoera, automehaniarskih dizalica, koionih sustava u automobilu, hidraulinih prea itd.

25

2.2 Osnovna jednadba statike fluida

U statici fluida vrijede dva osnovna zakona:

1. Suma sila na svako tijelo fluida jednaka je nuli.

2. Suma momenata na svako tijelo fluida jednaka je nuli.

U prethodnom poglavlju pokazano je kako se tlak u toki ne mijenja s promjenom smjera plohe. Vano je definirati i na koji nain se tlak u fluidu bez sminih naprezanja (mirujuem ili idealnom) mijenja od toke do toke. Maleni dio tijela fluida oblika kocke prikazan je na slici 2.2.1. Na taj element djeluju: kontaktne sile zbog djelovanja tlaka te masena koja je jednaka teini elementa fluida. Ako se tlak u sreditu elementa oznai s p, tada se srednje vrijednosti tlaka na plohama koje omeuju element mogu izraziti pomou tlaka u sreditu elementa p i njegovih derivacija (slika 2.2.1). Koristi se razvoj u Taylorov red kako bi se na osnovu tlaka u centru elementa aproksimirale

srednje vrijednosti tlaka na stranicama uz istovremeno zanemarivanje lanova viega reda kako se

vrijednosti x , y , z pribliavaju nuli. Radi zornosti na slici nisu prikazane kontaktne sile u x

smjeru. Rezultirajua sila

Sl.2.2.1 Kontaktne i masene sile na segment fluida

u y smjeru je

zxy

y

ppzx

y

y

ppFy

22

odnosno slijedi

26

zyxy

pFy .

Slinim postupkom dobivaju se kontaktne povrinske sile za x i z smjer:

zyxx

pFx zyx

z

pFz .

Vektorski zbroj definiranih komponenti xF , yF , zF daje rezultantnu kontaktnu povrinsku silu

kjiF zyxs FFF

odnosno

zyxz

p

y

p

x

ps kjiF .

Jedinini vektori po koordinatnim osima x, y, z oznaeni su kji ,, , dok su u prethodnom izrazu u

zagradi lanovi koji ine gradijent tlaka i mogu se krae zapisati pomou operatora (nabla) ili grad na sljedei nain:

pgradpz

p

y

p

x

pkji .

Osim kontaktnih povrinskih sila u analizu je potrebno ukljuiti djelovanje gravitacijske (masene) sile na element fluida pa slijedi izraz za teinu elementa fluida

kW zyxg

gdje negativan predznak znai da je z os usmjerena prema gore tj. suprotno djelovanju gravitacijske sile. Ako se sve sile (i kontaktne povrinske i masene) sumiraju i ukljue u drugi

Newtonov zakon aF m koji djeluje na element fluida, slijedi

aWF ms

odnosno

akgrad zyxzyxgzyxp

akgrad gp .

Dobiveni izraz jest Eulerova jednadba gibanja, za fluid bez sminih naprezanja. Za sluaj

mirujueg fluida 0a pod djelovanjem gravitacijske sile prethodni izraz se reducira u

kgrad gp .

27

Ako se prethodni izraz poopi tako da vrijedi za sluaj mirujueg fluida pod utjecajem masene sile u openitom smislu, proizlazi osnovna jednadba statike fluida

fgradp

gdje f oznaava gustou (sila / masa) masene sile jedinice ms-2. Osnovna jednadba statike fluida predstavlja sustav diferencijalnih jednadbi:

xfx

p

yfy

p

zfz

p

Zadatak statike fluida sastoji se u tome da se iz osnovne jednadbe statike fluida uz poznatu f -

gustou volumne sile i - gustou (mase), izrauna raspodjela tlaka p(x,y,z). Osnovna jednadba statike izraava zakonitost da je najvea promjena tlaka ( grad p) u mirujuem

fluidu u smjeru masene sile f . Gradijent tlaka je vektor okomit na izobaru (plohu jednakog tlaka).

2.3 Fluid konstantne gustoe u polju sile tee

Za mirujui fluid konstantne gustoe (homogeni fluid) u polju sile tee potrebno je definirati jednadbu tlaka i izobare - plohe jednakog tlaka. Koordinatni sustav definiran je tako da je

kgf

,

gdje je g = 9,81 m/s2 ubrzanje sile tee (Sl.2.3.1), odnosno gustoa masene sile gravitacije.

Sl.2.3.1 Mirujui fluid u polju sile tee

Osnovna jednadba statike fluida napisana po komponentama glasi:

gz

p

y

p

x

p,0,0 .

Iz prve dvije jednadbe izlazi da je p funkcija samo varijable z, tj. p = p (z ). Trea diferencijalna jednadba je:

gdz

dp.

voda z

x

y

zrak

kf g

p0

Izobare

28

Ope rjeenje ove jednadbe je

Cgzzp )( .

Konstanta integracije C se odreuje iz poznavanja tlaka u jednoj toki fluida. Za z = 0, prema slici Sl.2.3.1 tlak je p = p0 pa slijedi vrijednost konstante integracije C:

Cpp 0)0( .

Iz prethodnog izraza vidljivo je: Izobare, plohe jednakog tlaka, su ravnine Cz , gdje je C proizvoljan broj, odnosno izobare su ravnine okomite na smjer sile tee. Na odreenoj dubini fluida z = h tlak je:

ghpzp 0 .

2.4 Mjerenje tlaka

Barometar Barometar je instrument za mjerenje atmosferskog tlaka. Princip barometra [Torricelli, 1643] je

prikazan na Sl.2.4.1. Cijev duine 1m napunjena je ivom i uronjena u posudu sa ivom . iva u cijevi ostane na visini H, priblino 760 mm , iznad povrine ive u posudi.

Sl.2.4.1 Barometar

Prema Sl.2.4.1: atmA pp (atmosferski tlak)

AB pp , )(0 vakuumpC , hgpp HgCB

barPamkgNmkghgpp HgBatm 01396.11001396.176.0/81.9/1360053

iva Hg

pAB

C

p0

h

atm

29

H

B C

A

zrak

voda

h

patm

Manometar Manometar je instrument koji mjeri tlak pomou stupca fluida. Princip rada manometra je prikazan na Sl.2.4.2 Sa slike mogue je zakljuiti:

Sl.2.4.2 Manometar

ABatmfluidaCCB ppphgppp

Diferencijalni manometar Diferencijalni manometar prikazan na Sl.2.4.3 mjeri pad tlaka u dijelu cijevi. Vrijedi:

hxgpp AC , hgxgpp mBD

Sl.2.4.3 Diferencijalni manometar

Izobara povuena kroz toke C i D daje DC pp . Slijedi:

hgpp mBA

U sluaju da u cijevi Sl.1.7 struji zrak, a mjerni fluid je voda, gornji izraz za razliku tlakova mogue je aproksimirati

hgpp mBA ,

30

poto je mjerni fluid (voda vodam

) u ovom sluaju priblino tisuu puta gui od fluida iju

razliku tlakova mjerimo (zrak zrak

).

2.5 Relativno mirovanje fluida

Relativno mirovanje, inercijski i neinercijski koordinatni sustav

Newtonovi zakoni vrijede uz pretpostavku da se sva opaanja ili mjerenja ine u odnosu na koordinatni sustav koji miruje u prostoru. Takoer, mogue je pokazati da ako Newtonovi zakoni vrijede za odreeni koordinatni sustav oni takoer vrijede i za neki drugi koordinatni sustav koji se u odnosu na prvi giba konstantnom brzinom. Svi takvi koordinatni sustavi nazivaju se inercijski

koordinatni sustavi ili Newtonski koordinatni sustavi.

Sustav koji se prema inercijskom sustavu giba vremenski ili po smjeru promjenljivom brzinom,

neinercijski je sustav. Prema d'Alembertovu principu inercijskih sila, mogue je transformirati ubrzano kruto tijelo u ekvivalentno statino tijelo dodajui inercijske sile i inercijski moment. Tako za fluid koji relativno miruje u neinercijskom sustavu, osnovna jednadba statike fluida i dalje vrijedi, ako se u vanjske masene sile dodaju i inercijske sile. Da bi se mogao primijeniti taj princip

potrebno je da fluid relativno miruje, tj. da nema relativnog pomicanja estica fluida jednih prema drugima, ve da se itav fluid giba poput krutog tijela.

Pretpostavimo tijelo koje se u odnosu na fiksni koordinatni sustav giba translacijski jednoliko

ubrzano akceleracijom a

. Ako se to tijelo promatra iz neinercijskog koordinatnog sustava koji se

takoer giba jednolikim ubrzanjem a

, ubrzanje nestaje, ali je potrebno dodati inercijsku silu

gustoe a

. Pod pojmom gustoe sile podrazumijevamo kvocijent sila/masa [m2s-1]. Slino, u sustavu koji rotira konstantnom kutnom brzinom pojavljuje se nehomogena masena centrifugalna

sila ca

(vidjeti u poglavlju Fluid u rotirajuem spremniku).

Zemlja (tj. koordinatni sustav vezan za Zemlju) nije inercijski sustav, ali se praktino za mnoge realne primjene moe smatrati inercijskim sustavom pod ogranienjem da brzina promatranog gibanja nije prevelika. Ipak, utjecaji neinercijalnosti tog istog sustavu ponekad se ne mogu

zanemariti, npr. djelovanje Coriolisove inercijske sile na velike mase geofluida, atmosfere i oceana

pa se u tom sluaju koordinatni sustav vezan za Zemlju smatra neinercijskim.

Translatorno gibanje fluida uz konstantno ubrzanje

Promatra se fluid u spremniku koji se giba konstantnim ubrzanjem a

, (Sl.2.5.1).

Sl.2.5.1 Spremnik s fluidom giba se translacijski uz konstantno ubrzanje

31

U neinercijskom koordinatnom sustavu vrsto vezanom na spremnik os z usmjerena je vertikalno uvis, os x je horizontalna i u smjeru gibanja. Prema izloenom principu, osnovna jednadba statike

fluida u spremniku koji se translacijski giba konstantnim ubrzanjem a

u gravitacijskom polju

Zemlje i dalje zadrava svoj oblik, ali je sada ukupna gustoa masene sile f

zbroj gustoe masene

sile gravitacije i inercijske sile:

gaf

Osnovna jednadba statike fluida uz navedene pretpostavke vrijedi te glasi:

gafpgrad ,

odnosno po komponentama:

gz

p

y

pa

x

p0 .

Iz prethodnih izraza proizlazi

zxpp , .

Sustav od dvije parcijalne diferencijalne jednadbe rjeavamo metodom varijacije konstante. Integracijom prve jednadbe slijedi

)(zaxp

Uvrtavanjem u treu jednadbu dobije se:

Cgzzgdz

d

z

p)(,.

Konano se moe napisati

Czgxap .

Konstanta C se odreuje iz poznavanja tlaka u proizvoljnoj toki fluida. Izobare su ravnine (u XZ ravnini pravci):

CzgxaC1

2Cxg

az

Prethodni izraz je jednadba kosog pravca iji je koeficijent smjera g

a. Kut izobara u odnosu na

horizontalnu ravninu moe se izraunati iz koeficijenta smjera pravca izobare:

g

atan .

32

Fluid u rotirajuem spremniku

Fluid u spremniku koji rotira konstantnom kutnom brzinom , rotira kao kruto tijelo tj. nema

relativnog pomicanja estica fluida jednih prema drugima. Prema izloenom principu na poetku ovog poglavlja, estice fluida miruju u neinercijskom koordinatnom sustavu koji je vrsto vezan za spremnik.

Sl.2.5.2 Fluid u rotirajuem spremniku povrina spremnika u obliku rotacijskog paraboloida

Gustoa masene sile sada je zbroj gustoe masene sile gravitacije i inercijske centrifugalne sile:

cagf

gdje je ca

gustoa centrifugalne sile (koja odgovara centrifugalnom ubrzanju spremnika obzirom

na apsolutno mirujui koordinatni sustav). Treba uoiti da se cagf

mijenja po smjeru i

intenzitetu poevi od osi rotacije do ruba posude. U cilindrinom koordinatnom sustavu (gdje je ishodite sustava na dnu posude, a osi z i r usmjerene kako je prikazano na slici Sl.2.5.2) je

kgeerf r

02 .

i gradijent tlaka

kz

pe

p

rer

ppgrad r

1 .

Osnovna jednadba statike fluida po komponentama jest:

gz

pp

rr

r

p0

12

te slijedi p = p(r,z). Integracijom prve jednadbe dobiva se

zr

zrp2

,2

2 .

33

gdje je (z) proizvoljna funkcija varijable z. Ako se navedeni izraz uvrsti u treu jednadbu, nalazimo:

Czgodnosnogdz

d

dz

dp,

Konano, polje tlaka je definirano relacijom:

Cr

zgzrp2

),(2

2

Konstanta integracije C se dobije iz poznavanja tlaka u proizvoljnoj toki fluida (npr. na povrini fluida p=p0):

00

22 )(

2),( pzZg

rzrp

Izobare, plohe konstantnog tlaka, su rotacijski paraboloidi:

0

22

2Z

g

rz .

Ako fluid ima slobodnu povrinu, onda je ona izobara rotacijski paraboloid. Volumen rotacijskog paraboloida jest pola volumena valjka visine ZR

RR ZRV2

2

1 ,

gdje je (Sl.2.5.2):

g

RZR

2

22

.

34

2.6 Sile fluida na ravnu plohu

Potrebno je izraunati silu fluida na ravnu plohu A prikazanu na slici. Pretpostavimo openiti sluaj gdje je zatvoreni spremnik djelomino napunjeno fluidom. U spremniku iznad povrine vode vlada

predtlak 0p , tj. tlak iznad povrine fluida je za 0p vei od tlaka s vanjske strane plohe A. Na

infinitezimalni dio plohe dA djeluje sila Fd

u smjeru normale n

(Sl.2.6.1):

Sl.2.6.1 Sila fluida na ravnu plohu

ndApFd

.

Ukupna sila je (vektor normale u ovom sluaju je konstanta):

A

dApnF

,

a intenzitet sile jednak je:

A

dApFF

.

Za sluaj fluida konstantne gustoe u konstantnom gravitacijskom polju tlak je definiran relacijom:

0

0

sin

sin,

pygp

yhphgp

35

gdje je 0p predtlak iznad povrine fluida. Sada za silu vrijedi:

A A AA

dAygApdApdAygdAygpF sinsin)sin( 000 ,

Prvi moment plohe A oko osi x definiran je izrazom

A

T AydAy ,

gdje je yT ordinata teita T(xT,,yT) povrine A. Slijedi izraz za intenzitet sile fluida na plohu A:

AygApF Tsin0

Centar tlaka

Centar tlaka je toka P(xP, yP) za koju vrijedi:

Mx = yP F , My = xP F

gdje su Mx i My momenti sile fluida oko osi-x i osi-y uzrokovani djelovanjem tlaka fluida po

povrini A. Kako se ukupni moment oko x-osi zbog tlaka po povrini A moe zapisati izrazom

AAAAAA

xx dAygdAypdAygdApyypdAydFdMM2

00 sin)sin(

slijedi da je:

AypIgFy TxxP 0sin ,

ApAyg

AypIgy

T

Txx

P

0

0

sin

sin

gdje je Ixx (drugi moment inercije plohe A prema osi x ):

A

xx dAyI2

.

Prema teoremu paralelnih osi Ixx je mogue izraziti i pomou izraza

AyII Txx2

gdje je I (Sl.2.6.2) drugi moment inercije plohe prema osi koja prolazi kroz teite plohe T i

paralelna je s osi x, kao to je prikazano na Sl.2.6.1. Izrazi za druge moment inercije I i produkt

inercija I za razliite geometrijske likove dani su na Sl.2.6.2

Na analogan nain mogue je dobiti i x-koordinatu centra tlaka:

36

A A A

TxyP AxpIgdydxxpdydxyxgdApxFx 00 sinsin

ApAyg

AxpIgx

T

Txy

P

0

0

sin

sin ,

pri emu je:

A

xy dydxxyI

produkt inercija plohe A (ili centrifugalni moment plohe A) obzirom na osi x i y. Kao i u

prethodnom sluaju prema teoremu paralelnih osi Ixy je mogue izraziti i kao

AyxII TTxy

gdje je I (Sl.2.6.2) produkt inercija prema pravokutnom koordinatnom sustavu koji ima

ishodite u teitu T i dobiven je translacijom koordinatnog sustava x-y. U sluaju da je ploha A simetrina tj. njena os simetrije paralelna je s osi y (Sl.2.6.1) centar tlaka P nalazi se upravo na osi

simetrije ispod toke teita T te je tada TP xx odnosno 0xyI , 0I (Sl.2.6.2).

Sl.2.6.2 Drugi moment inercije plohe za osi koje prolaze kroz teite plohe

37

Vanjski tlak isti s obje strane plohe

Za sluaj da je vanjski tlak s vanjske strane plohe A isti onome iznad povrine fluida (Sl.2.6.3), tj.

ako je predtlak 00p , ponitava se djelovanje vanjskog tlaka te iz prethodno izvedenih izraza za

intenzitet sile fluida na plohu i poloaj centra tlaka nestaje 0p :

sinsin 210201 AygFFApFAygApF TT

AygF T sin

Ay

I

gAy

gIy

T

xx

T

xx

Psin

sin .

Sl.2.6.3 Atmosferski tlak pa iznad povrine fluida i s vanjske strane plohe

Translacijom koordinatnog sustava x-y u teite plohe A dobije se novi koordinatni sustav .

Ako se moment inercije Ixx izrazi pomou IAyI Txx2

, gdje je I moment inercije prema osi

koja prolazi kroz teite plohe, slijedi:

Ay

AyIy

T

T

P

2

, tj.

Ay

Iyy

T

TP

Slino, dobije se i

Ay

Ixx

T

TP ,

gdje je I produkt inercija (Sl.2.6.2).

38

2.7 Sile fluida na plohu

Na dio plohe S, dS, djeluje sila dF u smjeru vektora normale (Sl.2.7.1):

Sl.2.7.1 Vektor sile fluida i vektor normale plohe istog su smjera i suprotne orijentacije

ndSpFd

.

Ukupna sila je:

SS

dSnpFdF

.

Vektor normale moe se napisati kao

knjninn zyx

pri emu je nx=cos , ny=cos , nz=cos , a , , kutovi koje vektor normale zatvara s koordinatnim osima. Sila fluida na plohu po komponentama jest:

S A

xxx

x

pdAdSpnF ,

S A

yyy

y

pdAdSpnF , S Az

zzz pdAdSpnF

pri emu su Ax, Ay, i Az odgovarajue projekcije plohe S na ravnine yz, xz i xy.

fluid

S

F

n

S

S

39

Sl.2.7.2 Zakrivljena ploha

Za zakrivljenu plohu S u mirujuem fluidu s otvorenom povrinom (Sl.2.7.2) mogue je izraziti komponente sile fluida na plohu. Fx i Fy komponente jesu

xTxTx AghApF xx , yTyTyAghApF

yy.

Vertikalna komponenta sile fluida jest

zz A

z

A

zz hdAgpdAF .

Obzirom da je volumen fluida izmeu zakrivljene plohe S i slobodne povrine

zA

zhdAV slijedi

konani izraz za intenzitet vertikalne komponente sile fluida

gVFz

to predstavlja teinu fluida izmeu zakrivljene plohe S i slobodne povrine.

40

2.8 Uzgon

Ukupna kontaktna sila mirujueg fluida na tijelo djelomino ili potpuno potopljeno u fluidu zove se uzgon. Intenzitet sile uzgona jednak je teini istisnutog fluida. Ova zakonitost naziva se Arhimedov zakon prema grkom misliocu Arhimedu (287-212 pr.n.e.). Uzgon na tijelo u mirujuem fluidu (pod djelovanjem gravitacije) djeluje vertikalno prema gore, suprotno smjeru djelovanja gravitacijske sile jer je uzrokovan porastom tlaka u fluidu s poveanjem dubine. Horizontalne se komponente sile tlaka na povrinu tijela meusobno ponitavaju. Sila fluida na tijelo uronjeno u njemu jest

kVgF tijelafluida

tijelaz gVFU

odnosno, sila fluida na tijelo, uzgon (U), ne ovisi o gustoi (materijalu) tijela, nego o gustoi fluida, gravitacijskom ubrzanju i volumenu tijela.

Zadravi se na izreenim pretpostavkama da se horizontalne sile fluida na uronjeno tijelo ponitavaju te da je sila uzgona na tijelo u mirujuem fluidu uzrokovana porastom tlaka u fluidu s poveanjem dubine i usmjerena vertikalno prema gore, za sluaj prikazan na sljedeoj slici vrijedi:

Sl.2.8.1 Uzgon

dAhhgdAghpdAghpdFz 121020 .

Obzirom da je volumen elementa dAhhdV 12 slijedi izraz za uzgon

V

zz gVgdVdFFU .

Hvatite sile uzgona jest u teitu istisnutog volumena fluida.

41

PRIMJER 2.1: Definiranje uzgona za tijelo koje je isplivalo na povrinu

Ako je teina tijela vea od uzgona, UG , tijelo tone, ako je teina tijela jednaka uzgonu,

UG , tijelo lebdi u fluidu, a ako je teina tijela manja od uzgona, UG , tijelo izranja. Nakon to je tijelo izronilo njegova teina je jednaka uzgonu, i vrijedi, npr. za tijelo na granici kapljevine i plina (vode i zraka), sljedee (Sl.P.2.1):

GgVgVU 1122

Sl.P.2.1

U ovom sluaju gustoa vode 3

2 /1000 mkg , znatno je vea od gustoe zraka 3

1 /29,1 mkg

te je mogue zanemariti uzgon zraka. Tijelo je izronilo upravo toliko da se uspostavi ravnotea izmeu teine tijela G i uzgona na dio koji je ostao potopljen u fluidu:

.22 GVgU

PRIMJER 2.2: Uzgon na tijelo djelomino potopljeno u fluidu

Sl.P.2.2 Primjer raunanja uzgona za tijelo djelomino uronjeno u fluid

Ako na slici Sl.P.2.2 oznaimo plohu CDA kao gornju plohu tijela i plohu ABC kao donju plohu tijela, uzgon na tijelo, potpuno ili djelomino potopljeno u fluidu, jednak je razlici vertikalne komponente sile fluida na donju plohu tijela i vertikalne komponente sile fluida na gornju plohu

tijela. Sila na gore koja djeluje na donju plohu tijela jest, ABCFGAfluidaG VgF , gdje je ABCFGAV

volumen izmeu donje plohe tijela i povrine fluida (realne ili fiktivne.). Sila na dolje, koja djeluje da

gornju plohu je AEGAfluidaD VgF , gdje je AEGAV volumen izmeu gornje plohe tijela i povrine

fluida (realne ili fiktivne). Uzgon je jednak razlici: DG FFU tj. za dani primjer na slici Sl.P.2.2

ABCFEAfluida VgU .

A

B

C

F

D

G

Gornja ploha

Donja ploha

E

fiktivna povrina fluida

TIJELO

B

G

A

TIJELO

E

D

C

F

2

1

V

V

1

2voda

zrak

42

2.9 Stabilnost

Tijelo potpuno uronjeno u fluid ili plutajue tijelo, smatra se stabilnim, ako se nakon pomaka iz ravnotenog poloaja ono vraa u prvobitni poloaj.

Potpuno uronjeno tijelo

Za sluaj potpuno potopljenog tijela koje ima teite T ispod centra uzgona C vrijedi da e pomak iz ravnotenog poloaja kreirati moment teine G i uzgona U koji e vratiti tijelo u poetni poloaj te je takvo tijelo stabilno. Vrijedi da e potpuno uronjeno tijelo biti stabilno uvijek ako se teite nalazi ispod hvatita uzgona Sl.2.9.1.

Sl.2.9.1 Stabilno, uronjeno tijelo. Stabilizirajui moment vraa u poetno stanje

U sluaju da se teite T nalazi iznad hvatita uzgona C pomak iz ravnotenog poloaja uzrokovat e prevrtanje tijela odnosno vrijedi da je potpuno uronjeno tijelo s teitem iznad hvatita uzgona u nestabilnom stanju Sl.2.9.2.

Sl.2.9.2 Nestabilno, uronjeno tijelo. Destabilizirajui moment preokree tijelo

43

Djelomino uronjeno tijelo Za djelomino uronjeno tijelo tj. plutajue tijelo, analiza stabilnosti je znatno kompliciranija.

Sl.2.9.3 Stabilno, djelomino uronjeno tijelo. Stabilizirajui moment vraa u poetno stanje

Kod tijela djelomino uronjenog u fluid za stabilan poloaj nije nuno da se teite nalazi ispod hvatita uzgona. Na slici Sl.2.9.3 prikazana je bara mase G ije se teite nalazi iznad hvatita uzgona. U stabilnom stanju, prikazanom na lijevom dijelu prethodne slike, hvatite uzgona C1 predstavlja teite volumena fluida istisnutog podvodnim dijelom trupa. U nagnutom poloaju veliina podvodnog volumena nije se promijenila, ali se mijenja njegov oblik te se teite istisnine pomaknulo u toku C2. Uzgon, djelujui kroz toku C2, sijee simetralu bare u toki M koja se naziva metacentar. U sluaju da je metacentar M iznad teita tijela T nastaje spreg sila koji vraa tijelo u poetni poloaj, a u sluaju da se metacentar nalazi ispod teita tijela na tijelo u nagnutom poloaju djeluje spreg sila koji poveava njegov nagib i moe dovesti do prevrtanja tijela (kao na slici Sl.2.9.4).

Sl.2.9.4 Nestabilno, djelomino uronjeno tijelo. Destabilizirajui moment preokree tijelo

44

3. KINEMATIKA FLUIDA

3.1 Eulerova i Lagrangeova metoda analize gibanja

Jedna od najvanijih varijabli u mehanici fluida jest brzina. Poloaj odreene estice dan je vektorom poloaja

Sl.3.1.1Vektor poloaja estice

r (Sl.3.1.1) koji je funkcija vremena (ako se estica giba). Vremenska derivacija poloaja daje

brzinu estice /dr dt v . Raunanje brzina ( , , , )v x y z t svih estica daje polje brzina.

Dvije su osnovne metode opisa strujanja (Sl.3.1.2). U prvoj, Eulerovoj metodi, promatra se

fiksno podruje, kontrolni volumen tj. analizira se stanje u fiksnim tokama podruja . Druga, Lagrangeova metoda prati gibanje pojedine estice i analizira kako se osobine fluida vezane za tu esticu mijenjaju kao funkcija vremena.

(Kao ilustracija razliitosti ovih dviju metoda moe posluiti primjer iz biologije, npr. ornitoloko promatranje migracija ptica. Eulerova metoda bi zahtijevala postavljanje promatrake postaje i mjerenja preleta broja ptica u odreenom vremenu, dok bi Lagrangeova metoda znaila postavljanje radio odailjaa na odreene ptice i praenje njihovog gibanja.)

Openito, u mehanici fluida preteno se koristi Eulerova metoda opisa strujanja, dok se Lagrangeova metoda koristi u posebnim sluajevima. Vana je injenica da su osnovni zakoni fizike definirani za estice, a njih treba za potrebe mehanike fluida prevesti u odgovarajui opis polja (stanja, raspodjele) odreene fizikalne veliine unutar kontrolnog volumena. Kontrolni volumen je izolirani dio prostora kroz koji struji fluid.

Sl.3.1.2A Polje brzina kod Eulerovog opisa Sl.3.1.2B Lagrangeov opis

strujanja strujanja

3.2 Pojam polja u Eulerovoj metodi opisa strujanja

U Eulerovoj metodi analize strujanja ne prate se poloaj ili brzina pojedine materijalne estice, nego se definiraju polja pojedinih varijabli unutar kontrolnog volumena, koja su funkcija poloaja i vremena. Za razliku od polja tlaka koje je skalarno polje

tzyxpp ,,, ,

45

polje brzina je vektorsko polje

tzyx ,,,vv .

Polja tlaka, brzine, ubrzanja i neke druge veliine zajedno ine strujno polje.

Primjenom materijalne derivacije (koja e biti definirana kasnije u ovom poglavlju) na vektorsko polje brzina, proizlazi vektorsko polje ubrzanja

tzyx ,,,aa .

3.3 Neke klasifikacije strujanja

Stacionarno strujanje jest strujanje kod kojega u svakoj toki strujnog polja nema promjene u vremenu. Suprotnost ovom tipu strujanja predstavlja nestacionarno strujanje.

Uniformno strujanje pretpostavlja da nema promjene intenziteta i smjera brzine s promjenom

poloaja.

Strujanje je jednodimenzijsko, dvodimenzijsko ili trodimenzijsko ovisno o broju prostornih

koordinata potrebnih da bi se definiralo strujno polje. Iako su sva strujanja u osnovi trodimenzijska,

analize bazirane na dvodimenzijskom ili jednodimenzijskom modelu su od velike koristi. Npr.

strujanje kroz dugu ravnu cijev konstantnog presjeka na dovoljnoj udaljenosti od ulaza u cijev

moe se smatrati jednodimenzijskim. Strujanje rijeka moe se s velikom tonou aproksimirati dvodimenzijskim strujanjem poto se brzina strujanja u smjeru okomitom na povrinu rijeke moe zanemariti uz pretpostavku dovoljne udaljenosti od prepreka u rijenom koritu, a esto se u pravilnim i relativno ravnim kanalima, strujanje moe izuzetno dobro aproksimirati jednodimenzijskim modelom.

3.4 Trajektorija, strujna pruga, strujnica i strujna cijev

Trajektorija (putanja, staza) predstavlja stazu opisanu jednom esticom kroz odreeni vremenski period.

Sl.3.4.1 Trajektorija

46

Strujna pruga Srteakline predstavlja poloaj niza estica koje su prostrujale kroz definiranu toku strujnog polja. U laboratorijskim ispitivanjima esto se koristi odreeno sredstvo za obiljeavanje estica fluida, a ono to gledatelj opaa u takvim ispitivanjima su strujne pruge. Ako se npr. u laboratorijskom ispitivanju tintom obiljeavaju estice fluida koje prolaze kroz odreenu fiksnu toku prostora, nakon odreenog vremenskog intervala biti e odreeni broj prepoznatljivih estica koje su sve prole kroz definiranu prostornu toku. Krivulja koja spaja sve te estice naziva se strujna pruga.

Sl.3.4.2 Strujna pruga

Strujnica je krivulja kojoj je u svakoj toki strujnog polja vektor brzine tangenta.

Sl.3.4.3 Strujnica

U sluaju stacionarnog strujanja strujnica se poklapa sa strujnom prugom i trajektorijom. Pri stacionarnom strujanju nita se ne mijenja u vremenu na odreenoj lokaciji u strujnom polju tj. svaka estica koja prolazi kroz zadanu toku ima istu trajektoriju.

47

Snop strujnica ini strujnu cijev. Strujna cijev se moe usporediti s komunikacijskim kabelom koji se sastoji od snopa optikih vlakana. Poto je vektor brzine tangenta na svaku toku strujnice fluid po definiciji ne moe proi kroz granicu strujne cijevi. U svakom vremenskom trenutku maseni protok kroz bilo koji popreni presjek strujne cijevi mora biti isti (prema zakonu ouvanja mase) stoga, kao to je prikazano na slici Sl. 4-23 a, u konvergentnom dijelu strujne cijevi pri nestlaivom strujanju, smanjenjem presjeka strujne cijevi poveava se brzina.

Sl.3.4.4 Strujna cijev.

a. konfuzor poveanje brzine; b. difuzor brzina se smanjuje

3.5 Kinematika estice fluida

Elementarna masa dm oblika kocke koja se nalazi u openitom kompleksnom strujnom polju moe iz poetnog stanja, na sljedeoj slici oznaenog punom linijom, nakon kratkog vremenskog

intervala t prelazi u novi poloaj i eventualno novi oblik. Na sljedeoj slici pokazana su etiri komponente gibanja elementarne estice u kompleksnom strujnom polju. Na slici su prikazane komponente gibanja samo u jednoj npr. x-y ravnini (projekcija samo na x-y ravninu), dok se kod

openitog trodimenzijskog strujanja pomaci dogaaju i u ostalim ravninama y-z i x-z. Elementarna estica fluida u kompleksnom strujnom polju osim translacije (Sl3.5.1a) mijenja i svoj oblik kroz linearnu deformaciju (Sl3.5.1c), rotira (Sl3.5.1b) te joj se mijenja oblik kroz kutnu deformaciju

(Sl3.5.1d).

Sl.3.5.1 Osnovni pomaci i deformacije fluidne estice: a translacija, b rotacija,

c linearna deformacija, d kutna deformacija

48

Rotacija i kutna deformacija

Rotacija elementarne estice fluida u odreenoj toki definira se kao srednja vrijednost rotacije dviju poetno okomitih linija koje se sijeku u toj toki (Sl.3.5.2). Na slici je prikazan sluaj rotacije i istovremene kutne deformacije fluidnog elementa samo za jednu ravninu. Pretpostavimo analizu

rotacije elementa fluida u ravnini x-y. Vektor rotacije z okomit je na ravninu x-y, a njegov

intenzitet moe se napisati u obliku

Sl.3.5.2 Rotacija u toki P

y

u

x

v

dt

d baz

2

1

2.

Na slian nain mogue je dobiti i preostale dvije komponente vektora rotacije x i y . Openiti

vektor rotacije kji zyx dobije se vektorskim sumiranjem komponenti vektora

rotacije te u pravokutnom koordinatnom sustavu proizlazi

kjiy

u

x

v

x

w

z

u

z

v

y

w

2

1

2

1

2

1.

Uz vektor rotacije vezan je i vektor vrtlonosti

vv rot

koji se prema vektoru rotacije odnosi na sljedei nain

2 .

Upotreba pojma vrtlonosti eliminira faktor (1/2) koji se nalazi uz komponente vektora rotacije .

Strujno polje kod kojeg je u svakoj toki vrtlonost nula jest bezvrtlono ili solenoidalno, a ako vrtlonost postoji strujno polje se naziva vrtlonim. Fizikalno, najei uzroci vrtlonosti fluidne

49

estice jesu viskozne smine sile i neuniformno zagrijavanje (gradijenti temperature). Strujanje idealnog fluida u kojem ne postoje smina naprezanje jest bezvrtlono, a ta injenica jako pojednostavljuje matematiki model strujanja pa se esto dijelovi strujnog polja kod kojih viskozne sile nisu dominantne aproksimiraju bezvrtlonim strujanjem. Bezvrtlono strujanje naziva se jo i potencijalno strujanje. Vanost potencijalnog strujanja biti e pokazana kasnije u tekstu upotrebom Laplaceove i Poissonove formule (koje predstavljaju matematiki model potencijalnog strujanja) kao pojednostavljenja sloenih Navier stokesovih jednadbi.

Linearno gibanje i deformacija

Translacija je najjednostavniji oblik gibanja elementa fluida. Ako sve toke elementa imaju istu brzinu (ako ne postoje gradijenti brzine u strujnom polju) tada e se element jednostavno translatirati iz jednog poloaja u drugi. U openitom sluaju, u kompleksnom strujnom polju zbog prisutnosti gradijenta brzine element e se uz translaciju i deformirati i rotirati. Linearna deformacija se definira kao brzina poveanja duljine po jedinici duljine. Na slici je prikazan inicijalno kvadratni oblik projekcije elementarne

estice fluida koja se rastezanjem u horizontalnom smjeru, istodobno suava u vertikalnom smjeru. Kod nestlaivog strujanja volumen malenog elementa fluida mora ostati konstantan tj. ako se element rastee u jednom smjeru to mora kompenzirati suenjem po drugim smjerovima. Kod stlaivog strujanja volumen elementa se mijenja te se time mijenja i njegova gustoa. Te injenice mogue je pokazati na primjeru zraka u cilindru (Sl.3.5.3) gdje se volumen malenog elementa fluida stlaivanjem smanjuje, a istovremeno se njegova gustoa poveava kako bi ostao zadovoljen zakon ouvanja mase.

Sl.3.5.3 Stlaivanje zraka u cilindru

Brzina poveanja volumena elementarnog djelia fluida po jedinici volumena naziva se brzina volumne deformacije ili brzina volumne dilatacije i matematiki definira izrazom

z

w

y

v

x

u

dt

dV

V

1.

50

4. OSNOVNI ZAKONI MEHANIKE FLUIDA

4.1 Materijalne estice, materijalni volumen i kontrolni volumen Najjednostavnije forme univerzalnih fizikalnih zakona odnose se na materijalnu esticu koja je

toliko malena da su brzina v, gustoa i ostala imanentna svojstva uniformna unutar nje. Osnovni zakoni ouvanja za materijalnu esticu mogu se izraziti:

- zakon ouvanja mase: 0Vdt

d;

- zakon ouvanja koliine gibanja: FVvdt

d ;

- zakon ouvanja momenta koliine gibanja: FrVvrdt

d

- zakon ouvanja energije(prvi zakon termodinamike): QWVedt

d

gdje je e totalna energija (unutarnja+kinetika+potencijalna) po jedinici mase, W rad uinjen

na granicu materijalne estice, a Q toplina dovedena materijalnoj estici na njenoj granici.

U gornjim izrazima ouvanja indicira infinitezimalno malenu veliinu, a d/dt se odnosi na vremensku derivaciju.

Potrebno je pojasniti da pojam zakon ouvanja uistinu predstavlja ouvanje veliine samo u sluaju zakona ouvanja mase dok bi u ostala tri zakona adekvatniji bio pojam zakon ravnotee. Pojam zakon ouvanja ipak se koristi ukazujui na odreene analogije prema zakonu ouvanja mase.

U dinamici fluida kao kontinuumu potrebno je poopiti zakone ouvanja za materijalnu esticu na materijalni volumen. Materijalni volumen je sustav beskonanog broja beskonano malenih materijalnih estica i uvijek (u svakom vremenskom trenutku) se sastoji od istih estica.

Zakon ouvanja mase izraen za materijalni volumen jest

MV

dVDt

D0 ,

zakon ouvanja koliine gibanja

MV

MVFdVvDt

D ,

zakon ouvanja momenta koliine gibanja

MV

MVMdVvrDt

D

i zakon ouvanja energije (tj. prvi zakon termodinamike)

51

MV

MVMVT WQdVeDt

D .

Objanjenje pojma materijalne derivacije Dt

D i totalnog ubrzanja

Dt

Dv

Materijalna derivacija naziva se jo i supstancijalna, individualna ili puna derivacija. Operator

vtDt

D

jest operator materijalne derivacije. Primjena materijalne derivacije na neku skalarnu veliinu daje

vtDt

D (a)

odnosno raspisano u kartezijskom koordinatnom sustavu

zv

yv

xv

tDt

Dzyx

.

U izrazu (a) prvi lan desne strane t

predstavlja brzinu promjene veliine u zadanoj toki prostora te se

naziva lokalnom ili mjesnom derivacijom. Drugi lan desne strane v

predstavlja promjenu veliine

zbog promjene poloaja estice u prostoru i naziva se konvektivnom derivacijom. U odreenom smislu

materijalna derivacija Dt

D oznauje vremensku promjenu koju osjea promatra koji se giba zajedno s

fluidom (esticom fluida), dok t

oznauje promjenu koju bi osjeao promatra koji npr. miruje zajedno s

kontrolnim volumenom.

Primjenom materijalne derivacije na vektorsko polje brzina proizlazi vektorsko polje ubrzanja. Definira se

pojam totalnog ubrzanja koji se esto koristi u mehanici fluida

vvt

v

Dt

vDa

gdje t

v

predstavlja lokalno ubrzanje, a vv

konvektivno ubrzanje.

Pri stacionarnom strujanju ne postoji lokalno ubrzanje.

U sva etiri prethodna izraza zakona ouvanja za materijalni volumen koristi se lan oblika

MV

dVDt

D

u kojoj predstavlja neku veliinu po jedinici volumena (masu, koliinu gibanja, moment koliine gibanja, energiju) koja je prvo integrirana po materijalnom volumenu MV i rezultat zatim deriviran

materijalnom derivacijom D/Dt po vremenu.

Pri strujanju fluida materijalni volumen se giba i deformira, a s njim i materijalna povrina koja je nepoznata funkcija u vremenu sve dok i sam problem nije rijeen. Poto je forma materijalnog volumena nepogodna za primjenu u inenjerstvu namee se potreba definiranja sistema po izboru promatraa na koji e se moi primijeniti zakoni ouvanja. Zato se definira pojam kontrolnog volumena.

52

Sl.4.1.1 Odnos materijalnog i kontrolnog volumena

Kontrolni volumen Kontrolni volumen (CV) je proizvoljno, teoretski definirani volumen ogranien kontrolnom povrinom CS u kojem se odreuju dinamiki i termodinamiki uinci fluida. Kroz kontrolni volumen tijekom vremena prolaze razliiti materijalni volumeni Sl.4.1.1. Kontrolna povrina ograuje dio prostora i u odreenom koordinatnom sustavu moe biti statina, moe se gibati, ekspandirati ili kontrahirati, ovisno o elji promatraa. Kontrolni volumen i kontrolna povrina pripadaju Eulerovom opisu strujanja fluida, dok pojam materijalnog volumena odgovara

Lagrangeovom opisu strujanja. esto se uzima da granice kontrolnog volumena (oznaene CS) koincidiraju dijelom s vrstim granicama (Sl.4.2.1 stijenka S3), a dijelom su postavljene okomito na smjer strujanja (Sl.4.2.1, A1, A2), radi jednostavnosti.

Transformacija materijalnog u kontrolni volumen Reynoldsovim transportnim teoremom

Reynoldsov transformacijski teorem omoguuje transformaciju fundamentalnih zakona za materijalni volumen na kontrolni volumen. Osnovna pretpostavka za transformaciju je da

materijalni volumen i kontrolni volumen koincidiraju u odreenom vremenskom trenutku, kao na srednjoj slici na Sl.2.2.1. Nakon trenutka koincidencije dva volumena se protokom vremena vie nee poklapati poto e materijalni volumen biti odstrujan dalje skupa s esticama koje njega ine, dok e kontrolni volumen mirovati ili se gibati prema odluci promatraa. Za provedbu transformacije, od interesa je jedino trenutak kada se dva volumena poklapaju. Zapisano

matematiki Reynoldsov transportni teorem jest

MV CV CS

dSnvdVt

dVDt

D

gdje predstavlja neku openitu veliinu.

CV

MV(t1)

MV(t2)

MV(t3)

CV

CV

t=t1

t=t2

t=t3

53

4.2 Zakon ouvanja mase

Primjenom Reynoldsovog transportnog teorema, iz formulacije za materijalni volumen, dolazi

se do formulacije zakona ouvanja mase za kontrolni volumen vezane uz Eulerov opis strujanja.

Openita veliina zamjenjuje se gustoom tj., pa slijedi

0CSCV

dSnvdVt

to se fizikalno moe interpretirati tvrdnjom da se tijekom vremena masa unutar kontrolnog volumena poveava neto utokom mase u kontrolni volumen, odnosno smanjuje se neto izlazom mase iz kontrolnog volumena. Pod neto utokom mase podrazumijeva se razlika mase koja je ula i one koja je izala iz kontrolnog volumena u nekom vremenu.

Sl.4.2.1 Dio cijevi, kontrolni volumen

Primjenom teorema Gaus Ostrogradskog na drugi lan gornjeg izraza, prevodi se ploni integral u volumni te slijedi:

CV

dVvdivt

0

.

Matematiki operator divergencije nekog vektorskog polja

div, moe se pisati u obliku

zyxdiv z

yx

,

a u fizikalnom smislu pokazuje u kojoj se mjeri strujno polje u nekoj toki ponaa kao izvor ili ponor.

Poto je u gornjem izrazu proizvoljan volumen integracije slijedi da je izraz u zagradi nula:

0vdivt

,

a to jest zakon ouvanja mase u diferencijalnom obliku.

Za sluaj stacionarnog strujanja prvi lan u integralnom izrazu za zakon ouvanja mase je nula. Slijedi

CS

dSnv 0

,

tj. ulaz mase u kontrolni volumen jednak je izlazu mase iz kontrolnog volumena kroz njegovu

granicu u svakom trenutku. Za sluaj na gornjoj slici vrijedi

mAvAv 222111

uz pretpostavku da su ,v srednje vrijednosti po presjeku. Oznaka m predstavlja maseni protok

54

[kg s-1]. Uvoenjem nove varijable volumnog protoka ili krae protoka

Q = v A [m3s

-1]

prethodna relacija moe se pisati

mQQ 2211 ,

odnosno za stacionarno strujanje uz konstantnu gustou fluida unutar kontrolnog volumena vrijedi

2211 AvAvQ .

Zadnji izraz posebno je koristan pri proraunima cjevovoda pa je tako npr. brzinu v1 mogue izraziti pomou v2 na nain: v1=v2 (A2/A1). Osim pojma masenog protoka koristi se i teinski protok

1NsQggmW .

4.3 Zakon ouvanja koliine gibanja

Zakon ouvanja koliine gibanja za materijalni volumen jest

MS

n

MVMV

dSdVfdVvDt

D .

Primjenom Reynoldsovog transportnog teorema na gornji izraz, slijedi formulacija zakona

ouvanja koliine gibanja za kontrolni volumen:

CS

n

CVCV CS

dSdVfdSnvvdVt

v

Fizikalno je gornji izraz mogue interpretirati na nain da je promjena koliine gibanja u vremenu i dotok koliine gibanja kroz granicu kontrolnog volumena (CS) jednak lanovima na desnoj strani

koji predstavljaju rezultantnu silu F

(masenu + kontaktnu) koja djeluje na kontrolni volumen:

CS

n

CV

dSdVfF

.

Za primjer segmenta cijevi (Sl.2.3) i uz pretpostavku stacionarnog i nestlaivog strujanja, iz gornjeg izraza proizlazi tzv. impulsni zakon

)( 12 vvmF

ili )( 12 vvQF

Eulerova jednadba gibanja i Bernoullijeva jednadba

U integralnom izrazu za ouvanje koliine gibanja za materijalni volumen, mogue je drugi lan na desnoj strani prevesti u volumni integral primjenom teorema Gaus Ostrogradskog:

55

MVMS

n dVTdivdS

Zbog ouvanja mase 0Dt

dVD te stavljajui znak totalne derivacije ispod znaka integrala (u

prvom lanu lijeve strane) slijedi:

MV

dVTdivfDt

vD0

.

Gornji izraz biti e jednak nuli ako je izraz u zagradi jednak nuli. Proizlazi Jednadba gibanja fluida

TdivfDt

vD

,

odnosno

Tdivfvvt

v

gdje je T matrica naprezanja dana izrazom (1.1.4.3) s komponentama normalnih i

tangencijalnih (sminih) naprezanja . Za idealni fluid, zbog neviskoznosti odnosno nepostojanja

sminih naprezanja, matrica naprezanja T postaje pT

p

p

p

Tp

00

00

00

te slijedi izraz koji se naziva Eulerova jednadba gibanja

pgradfDt

vD

.

Ako se nadalje pretpostavi stacionarno strujanje fluida u gravitacijskom polju, komponenta

Eulerove jednadba gibanja u smjeru strujnice s

moe se napisati na sljedei nain

01

s

vv

s

zg

s

p. (4.3.1)

Pretpostavivii esticu fluida koja se po strujnici pomakne za udaljenost ds, vrijedi:

promjena tlaka pomakom po strujnici dss

pdp ,

promjena visine pomakom po strujnici dss

zdz ,

promjena brzine pomakom po strujnici dss

vdv .

56

Mnoenjem izraza Eulerove jednadbe (4.3.1) s pomakom po strujnici ds i uz primjenu prethodnih triju pretpostavki, vrijedi

0gdzvdvdp

(du strujnice).

Inegracija prethodnog izraza daje

.2

2

onstgzvdp

c (du strujnice).

Za sluaj nestlaivog strujanja gustoa je konstanta i prethodni izraz se pojednostavljuje u

.2

2

onstgzvp

c , (4.3.2)

to je izraz Bernoullijeve jednadbe (Daniel Bernoulli 1700-1782) koji je proizaao iz Eulerove jednadbe gibanja uz pretpostavke zanemarive viskoznosti te stacionarnog i nestlaivog strujanja. Bernoullijeva jednadba vrijedi du strujnice.

4.4 Zakon ouvanja momenta koliine gibanja

Moment sile F

oko toke O jest FrM

(Sl.4.4.1). r

je vektor poloaja toke na pravcu djelovanja sile u odnosu na toku O. Vektorskim mnoenjem izraza zakona ouvanja koliine gibanja za kontrolni volumen vektorom poloaja r

slijeva, slijedi:

CV CS

dSnvvrdVvrt

Fr

.

Sl.4.4.1Moment sile F oko toke O

Lijeva strana jednadbe predstavlja moment na kontrolni volumen prouzroen od vanjskih sila, a desna strana promjenu momenta koliine gibanja u vremenu te ulaz momenta koliine gibanja kroz granicu kontrolnog volumena. Gornji izraz predstavlja zakon ouvanja momenta koliine gibanja za kontrolni volumen koji ima posebno izraenu primjenu pri analizi turbostrojeva gdje su momenti od posebnog znaaja. Pri stacionarnom strujanju i(ili) strujanju fluida konstantne gustoe, gubi se prvi lan desne strane u gornjem izrazu. Za sluaj rotacijskog ureaja (Sl.4.4.2-raspriva vode) s ulaznom brzinom u kontrolni volumen 1v

i izlaznom brzinom 2v

zakon ouvanja

momenta koliine gibanja mogue je pisati:

F

r

O

57

ulazizlazotp MMM

tj. 12 vrvrmMotp

,

odnosno kod nestlaivog strujanja

12 vrvrQMotp

.

U gornjem izrazu otpM

jest moment na kontrolni volumen tj. kod rotacijskih i turbostrojeva otporni

moment na osovini, a ( rv

, )1,2 vektori brzina i pripadajui krakovi.

Primjer primjene zakona ouvanja momenta koliine gibanja na "sprinkler"

Sl.4.4.2 Raspriva vode - primjena zakona ouvanja momenta koliine gibanja

Za sluaj simetrinog rasprivaa vode s mlaznicama istog promjera, na slici, ulazni moment 0

ulazM

poto je vektor ulazne brzine 1v

na pravcu osi rotacije. Zakon ouvanja momenta koliine gibanja reducira

se na

22

2 vrQ

Motp

tj . rvrQ

M relotp2

2 .

Od relativne izlazne brzine vode u odnosu na mlaznicu vrel potrebno je oduzeti brzinu mlaznice r kako bi

se dobila apsolutna izlazna brzina v2 tj. rvv rel2 . Relativna brzina vrel ovisi samo o masenom dotoku

fluida u kontrolni volumen, dok se v2 mijenja s brzinom vrtnje ureaja .

4.5 Zakon ouvanja energije

Jednadba ouvanja energije za kontrolni volumen moe se napisati u obliku

CV CS

dSnvedVetdt

dE .

Prvi zakon termodinamike

WQdt

dEH

definira da je

rkontrolni volumen

v1

v2rv2 rel

v2 rel

v2r

Motp

58

promjena energije sustava = toplina dodana sustavu ( HQ (heat))+snaga predana sustavu (W ).

Rad u vremenu predan sustavu mogue je rastaviti na

pS WWW ,

gdje je

tS

p dSnvpW ,

rad u vremenu uinjen tlanim silama na pominoj granici, a SW

(work, shaft) rad tangencijalnih

sila u vremenu predan sustavu, npr. moment u vremenu na rotirajuoj osovini rotacijskog ureaja (turbostroja). Uzimajui u obzir gornje izraze moe se pisati:

CV CS

SH dSnvep

dVet

WQ

gdje je e totalna energija po jedinici mase koja predstavlja zbroj unutarnje energije (energije

molekularnih sila) po jedinici mase, kinetike energije po jedinici mase i potencijalne energije po jedinici mase:

zgv

ue2

2

.

U jednadbi ouvanja energije prvi lan desne strane predstavlja promjenu ukupne energije sustava u vremenu, a drugi lan jest zbroj rada tlanih sila na pominu granicu u vremenu i protoka ukupne energije kroz granicu. Ako se jednadba zakona ouvanja energije primijeni na stacionarno strujanje kroz kontrolni volumen s jednim utokom i jednim istokom iz kontrolnog volumena

(Sl.4.5.1), jednadba se pojednostavljuje u sljedei izraz:

Sl.4.5.1 Zakon ouvanja energije primijenjen na kontrolni volumen

SH WQzzgvvpp

uum 12

21

2212

122

.

Dijeljenjem jednadbe s masenim protokom m te uz injenicu da je

Hquusustavaenergijeeraspoloivgubitak 12

i konano dijeljenjem s konstantom gravitacije g proizlazi:

kontrolni volumen

QH

v1

v2

11 , u1 , z1

2 , u2 , z22

WS

59

Sg hhzg

v

g

pz

g

v

g

p2

2

221

2

11

22

to predstavlja Jednadbu mehanike energije. Zbog slinosti s Bernoullijevom jednadbom ova jednadba se jo naziva i tzv. proirena Bernoullijeva jednadba. Dimenzijski jednadba jest u obliku energija po jedinici teine [Nm/N = m]. Oznaka hg predstavlja sve gubitke (gubitak piezometrine visine). Ako se unutar kontrolnog volumena nalazi turbina tada

hS=-hT

gdje je hT pad piezometrine visine na turbini, a za pumpu unutar kontrolnog volumena vrijedi

hS=hP

gdje je hP dobavna visina pumpe. Poto je strujanje u prisustvu rotacijskih ureaja (turbostrojeva) nestacionarno (najee ciklino), strujanje se smatra samo lokalno nestacionarno kako bi bila zadovoljena pretpostavka o stacionarnosti strujanja unutar kontrolnog volumena pomou koje je i izvedena gornja jednadba.

60

5. STRUJANJE IDEALNOG FLUIDA

5.1 Bernoullijeva jednadba Idealan fluid (nestlaiv, neviskozan) - fluid kod kojeg se zanemaruje efekt trenja pri strujanju. Izraz koji opisuje strujanje idealnog fluida

fpgradDt

vD

(5.1.1)

jest Eulerova jednadba gibanja (koja je izvedena u poglavlju o Zakona ouvanja koliine gibanja) koju je tekstualno mogue otprilike izraziti

masa ubrzanje ukupna sila na fluid .

Integracijom Eulerove jednadbe du proizvoljno izabr