cenidet Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Departamento de Ingeniería Electrónica TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS Detección y Estimación de Fallas en Sistemas Singulares LPV con Aplicación a una Columna de Destilación presentada por Marlem Flores Montiel Ing. en Electrónica por el I. T. de Cuautla como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica Director de tesis: Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza Co-Director de tesis: Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez Cuernavaca, Morelos, México. 17 de Enero de 2012
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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Electrónica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Detección y Estimación de Fallas en Sistemas Singulares LPV con Aplicación a una Columna de Destilación
presentada por
Marlem Flores Montiel Ing. en Electrónica por el I. T. de Cuautla
como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica
Director de tesis: Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza
Co-Director de tesis:
Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez Cuernavaca, Morelos, México. 17 de Enero de 2012
cenidet
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Electrónica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Detección y Estimación de Fallas en Sistemas Singulares LPV con Aplicación a una Columna de Destilación
presentada por
Marlem Flores Montiel Ing. en Electrónica por el I. T. de Cuautla
como requisito para la obtención del grado de:
Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica
Director de tesis: Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza
Co-Director de tesis:
Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez
Jurado: Dr. Víctor Manuel Alvarado Martínez – Presidente
Dr. Carlos Daniel García Beltrán – Secretario Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza – Vocal
Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez – Vocal Suplente
Cuernavaca, Morelos, México. 17 de Enero de 2012
Resumen
Esta tesis presenta el diseño e implementación, de un sistema de diagnóstico de fallas para
una columna de destilación binaria.
En este trabajo, el sistema diagnóstico es empleado para para detectar fallas aditivas
en los actuadores de la planta de destilación. El sistema FDD emplea un banco de
observadores dedicado (DOS), el cual tiene como base observadores politópicos que estiman
las concentraciones de los platos de la columna.
Por lo anterior, el sistema desarrollado proporciona, además, información al usuario acerca
de las variables mencionadas para cada uno de los platos; la abilidad de esta información
permite emplearla en tareas de control si así se requiere.
El observador politópico utiliza un modelo matemático de forma singular LPV que
representa una columna de destilación, ajustado a las características físicas de la planta
piloto del CENIDET y a su vez, usa un modelo termodinámico que establece el equilibrio
líquido-vapor de los componentes de la mezcla etanol-agua.
La respuesta del modelo es validada con respecto a mediciones adquiridas de la planta
de datos experimentales reales. Dichas mediciones son las temperaturas dadas por los
sensores tipo RTD ubicados en el cuerpo de la columna de destilación. A partir del modelo
matemático formulado, se plantea una estructura para el diseño del observador.
Una de las principales ventajas de este observador que permite la estimación simultánea
de los estados y las entradas desconocidas.
Abstract
This thesis presents the design and implementation, of a fault diagnosis system for a binary
distillation column.
In this work, the diagnostic system is used to detect additive faults in the actuators of the
distillation plant. The FDD system uses a bank of dedicated observers (DOS), which are
based on polytopic models to estimate the concentrations of plates in the column.
Hence, the developed system also provides detailed information about these variables to
the user for each one of the dishes, the reliability of this information allows using it on
control tasks if required.
The polytopic observer uses a LPV mathematical model on a singular way which represents
a distillation column, specically adjusted to the physical features from CENIDET's pilot
plant and in turn, uses a thermodynamic model that sets the vapor-liquid balance of the
mixture components ethanol-water respectively.
The response of the model is validated against measurements acquired from the plant's
real experimental data. Such measurements are the temperatures given by the RTD type
sensors located in the body of the distillation column. From the mathematical model
developed, there is a structure that leads to the design of the observer.
One of the main advantages of this observer is to allows the simultaneous estimation of
states and unknown inputs.
Dedicatorias
A mi madre: gracias por ayudarme a levantarme en mis fracasos, y enseñarme a
aprender de ellos. Por apoyarme y creer siempre en mí.
A mis hermanos:
Juan Carlos: gracias por el apoyo incondicional que me brindaste todo este tiempo, por
tu compañía en los momentos más difíciles, tus consejos, y por los días que me
acompañaste en mis desvelos.
Francisco: Por tus consejos, por escucharme y preocuparte por mi.
Mi familia, los quiero mucho. Con cariño les dedico esta tesis.
Agradecimientos
A mi mamá María Inés y mis hermanos Juan Carlos y Francisco, gracias por su amor y
por ser fuente de mi fortaleza.
A mis asesores, Dr. Carlos M. Astorga Zaragoza y Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez,
gracias por sus enseñanzas, paciencia, su ayuda y por acompañarme en este trabajo.
A mis revisores, Dr. Carlos Daniel García Beltrán y Dr. Víctor Manuel Alvarado Martínez,
por sus valiosos consejos y por las observaciones realizadas a este trabajo de tesis.
A mis profesores: Dr. Gerardo Vicente Guerrero, Dr. Manuel Adam, Dr. Juan Reyes,
Dr. Alejandro Rodríguez, Dr. Luis Gerardo Vela, M. C. Guadalupe Madrigal, M. C. Pedro
Rafael Mendoza, M. C. José Martín Gómez gracias por todos sus conocimientos brindados.
A mis compañeros y amigos: Miriam, Rigo, Uba, Jesús, Gaby, Ricardo, Michel, Fernan-
do, Eunice, Gloria, Lino, Iván, con quienes compartí aulas, proyectos, tareas, desvelos, les
agradezco a todos ustedes el haberme permitido hacer equipo a su lado y por el camino
que recorrimos juntos, cuídense mucho.
A Adriana Téllez, gracias por su paciencia, su compañía, gracias por ser mi apoyo y mi
amiga.
A Adriana Aguilera, gracias por tu amistad, por el tiempo compartido, de ti he aprendido
mucho, te deseo lo mejor.
A Omar y Eli por brindarme su amistad y consejos en este tiempo. Por los partidos de
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voleibol y todas las risas. Siempre contarán conmigo. Gracias.
A Juan Manuel Jiménez por estar a mi lado, me llevo los mejores recuerdos.
A todas las personas especiales que conocí a lo largo de este proyecto: Anita, Mayra,
Sra. Eli, Mario M., Lore, Héctor, David Chávez, Guadalupe G., Paty, Alfredo T. gracias
por su disponibilidad y ayuda, hacen más agradable la vida en este centro de investigación.
Al programa de becas de movilidad estudiantil de la DGEST, gracias por la ayuda econó-
mica.
Finalmente, agradezco al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico y
al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por el apoyo brindado, que
Mj Masa molar retenida total en un compartimento de m platos.
vii
Nomenclatura
M1 = M1 Masa molar retenida en el condensador.
Mjf =
js−1∑jr+1
Mj Masa molar retenida en el compartimento de alimentación.
Mj Masa molar retenida del plato j para el compartimento de m platos.
MN = MN Masa molar retenida en el hervidor.
Mr =
jr∑2
Mj Masa molar retenida en el compartimento de recticación.
Ms =n−1∑js
Mj Masa molar retenida en el compartimento de agotamiento.
B Producto de fondo.
D Producto de destilado.
F Flujo molar de la alimentación (moles/min).
H Entalpía de la fase vapor.
HvapEOH Entalpía de vaporización para el etanol (kJ/mol).
HvapH2O Entalpía de vaporización para el agua (kJ/mol).
Ki Constante de equilibrio.
L Flujo molar líquido (moles/min).
LR Flujo líquido en la sección de recticación (moles/min).
LS Flujo líquido en la sección de agotamiento (moles/min).
MN Masa molar retenida en cada plato (moles).
N Número total de platos.
P Presión total (kPa).
P sati Presión parcial (de saturación) del componente i (kPa).
Qb Potencia calefactora añadida al hervidor (Watts).
viii
Nomenclatura
R Reujo.
T Temperatura (°C).
Tb Temperatura de ebullción (°C).
Tf Temperatura de alimentación (°C).
V Flujo molar de vapor (moles/min).
VR Flujo vapor en la sección de recticación (moles/min).
VS Flujo de vapor en la sección de agotamiento (moles/min).
Wi Peso molecular.
Letras minúsculas
bv Válvula de fondo [0,1].
f Plato de alimentación.
fL Fugacidad del líquido en un estado de referencia.
h Entalpía de la fase líquida.
p Número de plato.
qF Calidad de alimentación (adimensional).
rv Válvula de reujo [0,1].
xp Concentraciones molares líquidas (mol).
yp Concentraciones molares vapor (mol).
zF Concentración líquida en la alimentación (mol).
Subíndices
1 Sección superior de la columna.
EOH Etanol.
H2O Agua.
ix
Nomenclatura
j Sección superior o inferior.
n Sección inferior de la columna.
p Numero de plato.
R Sección de recticación.
S Sección de agotamiento.
v Válvula.
x
Capítulo 1
Introducción
La destilación es un método para separar, mediante vaporización y condensación, los
diferentes componentes de una mezcla en estado líquido, aprovechando los diferentes
puntos de ebullición de cada una de las sustancias. En numerosas aplicaciones de control
para columnas de destilación, se requiere la información continua de las fracciones molares
de los componentes, es decir, la concentración de cada componente existente en una mezcla
dada; la medición fuera de línea de dichas fracciones molares puede hacerse a través de
un analizador directo, como puede ser un cromatógrafo de gases o un detector de índice
de refracción. Aunque actualmente hay un gran desarrollo en este tipo de tecnología, los
costos que generan son altos en cuanto a inversión, a la implementación de la técnica en
sí y al mantenimiento.
Una columna de destilación puede ser vista como una integración de platos en cascada;
esta integración eleva la complejidad, lo que hace difícil entender el sistema (columna)
basado en el conocimiento del comportamiento individual de las piezas que lo conforman
(platos) (Skogestad, 1997).
Al ser un sistema complejo, cuando ocurre una falla, resulta difícil localizar cuál de los
elementos del sistema es el que lo desvía de su comportamiento normal, por lo que es
necesario desarrollar e implementar un esquema de diagnóstico de fallas que permita
detectar y localizar fallas en los diferentes componentes del sistema.
El desarrollo de esquemas de diagnóstico y de control se realiza principalmente en el
dominio de los sistemas lineales, sin embargo, la mayoría de los procesos industriales son
de naturaleza no lineal. Algunos autores han resuelto el problema de diagnóstico de fallas
para sistemas no lineales, en los trabajos de Hammouri y Targui (2002); De Persis y
Isidori (2000) utilizan métodos geométricos para el desacoplamiento exacto de las fallas;
1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
en cambio, en Alcorta y Frank (1997) usan métodos analíticos. Estos métodos se utilizan si
existe una descripción matemática exacta del sistema, desafortunadamente, esta condición
no se satisface fácilmente, debido a la complejidad de los sistemas no lineales.
La reducción de la complejidad de un sistema no lineal, representado en ecuaciones de
estado, consiste en la reducción del orden del sistema, lo que generalmente provoca pérdida
de información. Esta reducción se realiza de diferentes formas: la reducción de parámetros
del modelo matemático basada en un análisis de sensibilidad y una comparación con
el sistema inicial (Dolgin y Zeheb, 2005; Hetherington et al., 2006). Otra manera es
despreciar ciertos fenómenos (reacciones en el caso de mecanismos químicos complejos,
(Petzold y Zhu, 1999)), la eliminación de partes del modelo (parámetros y/o variables)
que se consideran no relevantes en la dinámica del sistema (Moore, 1981; Saysel y Barlas,
2006); y la simplicación por truncación y por aproximación de una perturbación singular
(Andersson et al., 1996; Steens et al., 1997).
Otra manera de tratar con modelos complejos es mediante el uso de transformaciones
analíticas para obtener representaciones particulares, que son más fáciles de estudiar que
una forma general no lineal. Si las representaciones no lineales son difíciles de obtener,
existe otro tipo de representación que consiste en denir diferentes puntos de operación y
considerar un modelo lineal alrededor de cada uno de esos puntos. El método concierne
al estudio de sistemas basados en el enfoque multi-modelos y constituye otra manera de
representar la dinámica de un sistema no lineal (Adam et al., 2005).
El enfoque multi-modelos aparece en los años noventas, principalmente en el dominio
de control basado en lógica difusa. Esto ha permitido realizar el control de sistemas no
lineales descritos por modelos lineales interpolados, a partir de algoritmos de partición,
que permiten determinar el campo de funcionamiento de los modelos locales, como el
Takagi-Sugeno (Takagi y Sugeno, 1985).
Existen diferentes técnicas para obtener un multi-modelo: la primera es la técnica basada
en la linealización de un modelo no lineal alrededor de uno o varios puntos de operación
(Adam et al., 2005); la segunda consiste en la identicación de un sistema usando datos
experimentales (Takagi y Sugeno, 1985); y la tercera consiste en la elección de diferentes
puntos de operación y la trayectoria de los parámetros (Angelis, 2001).
En una columna de destilación no es posible medir todas las variables que intervienen
en el proceso, cuando esto sucede, es conveniente recurrir a estimadores de estados, que
permiten la reconstrucción de los estados (x) a partir de mediciones de las salidas (y) y de
las entradas (u) del sistema. Por lo que diseñar un observador, es equivalente a diseñar un
2
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
sistema que se ve guiado solamente por algunas mediciones del sistema original y produce
una salida para realizar el seguimiento de los estados de dicho sistema original.
El objetivo de este trabajo es proponer un sistema de diagnóstico de fallas basado
en un observador de estados discreto para la columna de destilación, que estime las
concentraciones molares del componente ligero de la mezcla binaria etanol-agua, a partir
de las mediciones de las temperaturas diponibles en los platos del cuerpo de la columna.
Tal observador utiliza un modelo matemático de una columna de destilación para cinco
platos, ajustado a las características físicas de la planta piloto del CENIDET y además,
un modelo termodinámico que establece el equilibrio de fases de los componentes de la
mezcla.
En el presente trabajo para la aproximación al sistema no lineal de la columna de
destilación se obtiene una estructura multi-modelos, que utiliza una representación
politópica. Dicha representación requiere cierto número de modelos lineales, los cuales
describen localmente el funcionamiento del sistema y se combinan de manera adecuada,
de tal manera que los valores de los parámetros, pertenecen a diferentes modelos lineales.
El observador diseñado en este trabajo de tesis, corresponde a un observador politópico
para sistemas singulares LPV discreto propuesto en Astorga et al. (2011), donde se propone
un método de diagnóstico de fallas para sistemas singulares LPV en tiempo discreto, el
observador realiza la detección y estimación de fallas en todo el rango de operación del
sistema y puede estimar simultáneamente los estados y las fallas, que son consideradas
como entradas desconocidas.
Este esquema de diagnóstico, se considera de orden completo, ya que el observador estima
todos los estados, a partir de las mediciones de temperaturas correspondientes a los platos
localizados en el condensador (p = 1), plato de alimentación (p = 3) y hervidor (p = 5).
La evaluación del desempeño del esquema de diagnóstico de fallas usando el observador
propuesto se realiza en simulación, usando las características físico-químicas de la mezcla
binaria etanol-agua y teniendo en cuenta las características de la planta piloto de
CENIDET la cual es operada por lotes.
1.1. Planteamiento del problema
Las columnas de destilación son usadas en muchos procesos industriales que van desde
aplicaciones en la industria farmacéutica y de química na, hasta la industria del petróleo
y producción de alcohol y solventes a gran escala. Tener totalmente instrumentado dicho
3
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
equipo es muy costoso, por ello considerar la redundancia física en este tipo de plantas no
es factible; lo que trae como consecuencia que al presentarse alguna falla, el sistema deje
de operar, provocando pérdidas económicas y riesgos en las personas que laboran en la
planta; para ello es importante buscar alternativas para detectar fallas.
Los esquemas de FDD (Fault Detection and Diagnosis, por sus siglas en inglés)
tradicionalmente se desarrollan basados en el modelo y con aproximaciones que usan
modelos lineales (Gertler, 1998; Chen, 1999), pero esto restringe el desempeño del
diagnóstico alrededor del punto de operación y no permite la detección de fallas en toda
la región de operación del sistema. En cambio, los esquemas FDD basados en estrategias
no lineales que se han desarrollado en los últimos años son muy ecientes en cuanto a
detección, sin embargo, existen factores como: los requerimientos de modelos exactos, el
gasto computacional elevado, la necesidad de operación en tiempo real, la complejidad
en la implementación, entre otros, que conllevan a una limitación en el desempeño del
método.
Teniendo en cuenta lo anterior, la problemática consiste entonces en el diseño de un
esquema de diagnóstico de fallas basado en modelos, que permita la detección, localización
y estimación de fallas en tiempo real para un sistema altamente no lineal (columna
de destilación binaria). Dicho esquema debe tener como características principales:
simplicidad de los modelos, detección temprana y estimación adecuada de la falla, así
como la facilidad de implementación, entre otras.
1.2. Objetivo general
El objetivo de esta tesis es diseñar un esquema de diagnóstico de fallas basado en modelos,usando un observador de entradas desconocidas para detectar, localizar y estimar fallas enun actuador (resistencia calefactora) de la columna de destilación binaria, cuyo modeladose realiza en forma singular LPV.
1.2.1. Objetivos especícos
Formular un modelo singular LPV que describa el comportamiento de una columnade destilación para la mezcla binaria etanol-agua.
Validar el modelo matemático singular LPV utilizando datos experimentales de lacolumna de destilación binaria.
4
1.3. HIPÓTESIS
Diseñar un observador de entradas desconocidas con base en el modelo singular LPVpropuesto para una columna de destilación binaria.
Diseñar un sistema FDD para detectar, localizar y estimar de fallas en un actuador(resistencia calefactora) de la columna de destilación binaria.
Implementar el algoritmo FDD en simulación para la detección, localización yestimación de fallas en un actuador de la columna de destilación, utilizando datosexperimentales de la planta piloto.
1.3. Hipótesis
A través de un observador de entradas desconocidas es posible generar residuos para la
integración de un esquema FDD, el cual permite la detección de fallas en un actuador
de la columna de destilación es representada a través de un modelo singular LPV. La
simplicidad del modelo, permitirá que el esquema de diagnóstico sea implementado en
tiempo real.
1.4. Metodología
La metodología llevada a cabo para la realización de este trabajo se describe a continuación.
Para el desarrollo de un esquema de diagnóstico de fallas para sistemas singulares LPV,
es necesario contar con un modelo adecuado del sistema. La construcción del modelo se
realiza de acuerdo a Linhart y Skogestad (2009), donde utiliza el término compartimentos
para separar los platos conforme consideraciones de escala de tiempo, generando un modelo
de orden reducido que consiste en ecuaciones álgebro-diferenciales; conocido como sistema
singular.
Sin embargo, cuando el rango de operación del sistema es más amplio, el modelo linealizado
ya no es capaz de representar la dinámica del sistema. Una solución, es representar el
sistema mediante una interpolación de modelos locales, utilizando un enfoque de sistemas
LPV.
Para obtener el modelo de la columna de destilación, a una forma politópica, donde los
parámetros del sistema evolucionan en un conjunto convexo. Se consideran dos parámetros,
L y V , con sus combinaciones extremas se obtiene una caja de parámetros. La caja de
5
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
parámetros cuenta con 4 vértices, en los cuales se encuentran los submodelos y junto con
las funciones de ponderación se obtiene el modelo global del sistema. Las funciones de
ponderación se calculan de acuerdo a Hamdi et al. (2009).
El observador elegido es el que presenta Astorga et al. (2011), donde propone un método
de diagnóstico de fallas para sistemas singulares LPV en tiempo discreto, el observador
realiza la detección y estimación de fallas en todo el rango de operación del sistema y puede
estimar simultáneamente los estados y los vectores de magnitud de falla, considerados como
entradas desconocidas.
Dado que el observador es para sistemas discretos, se realiza la discretización del modelo de
la columna con la ayuda del software Mathematica de Wolfram de acuerdo a Karampetakis
(2004). Con la transformación a discreto, la variación paramétrica no se reeja en las
nuevas matrices obtenidas, por esta razón se normalizan los parámetros según Kajiwara
et al. (1999).
Las condiciones sucientes del observador se cumplen, lo cual asegura la existencia y
estabilidad de la función de Lyapunov basada en una formulación de LMI. El algoritmo
de minimización para la viabilidad de la LMI se desarrolla en Matlab, y su ejecución
dura aproximadamente 30 minutos, es de importancia señalar que es suciente correr el
algoritmo una sola vez, para obtener el cálculo de las ganancias del observador.
El esquema de diagnóstico de fallas construido de ésta manera es capaz de detectar, aislar
y estimar fallas lo cual representa una herramienta útil en la desición del operador.
1.5. Estado del arte
FDD (Fault detection and diagnosis)
En general, puede denirse a una falla como cualquier tipo de mal funcionamiento en
el sistema dinámico real, (la planta), que conduce hacia una anomalía inaceptable en el
comportamiento total del sistema (ver Apéndice A). Dichas anomalías pueden ocurrir en
diferentes elementos del sistema: sensores, actuadores o componentes.
En la literatura se consideran los objetivos del diagnóstico de fallas (Blanke et al., 2000):
Detección de la falla: decisión de si existe o no una falla, así como la determinación
de su instante de aparición.
6
1.5. ESTADO DEL ARTE
Localización de la falla: localización del componente en el cual se ha producido la
falla.
Identicación y estimación de la falla: identicación del tipo de falla y estimación
de su magnitud.
De igual manera, se encuentra que las fallas se clasican en tres clases (Isermann y Höing,
1996):
Fallas de medición aditivas: son discrepancias entre los valores reales y medidos de
las entradas y salidas de la planta. Dichas fallas describen bien las desviaciones en las
mediciones proporcionadas por los sensores, también pueden usarse para describir
un mal funcionamiento en los actuadores.
Fallas de proceso aditivas: son perturbaciones (entradas no medidas) actuando sobre
la planta, las cuales causan una desviación en las salidas independientes de las
entradas medidas.
Fallas de proceso multiplicativas: son cambios (abruptos o graduales) de los
parámetros de la planta. Tales fallas describen adecuadamente el deterioro del equipo
de la planta.
El uso de una técnica FDD para un proceso en particular, depende tanto de las
características de dicho proceso como de las preferencias o necesidades del usuario.
De acuerdo al tipo de fallas los esquemas de diagnóstico se clasican en:
Diagnóstico de falla en sensores (IFD por sus siglas en inglés: Instrument Fault
Detection).
Diagnóstico de falla en actuadores (AFD por sus siglas en inglés: Actuator Fault
Detection).
Diagnóstico de falla en componentes (CFD por sus siglas en inglés: Component Fault
Detection).
A grandes rasgos, los esquemas FDD pueden realizarse empleando ya sea redundancia
material o redundancia analítica estos conceptos se describen a continuación:
7
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Redundancia material: el enfoque tradicional de diagnóstico de fallas, hablando en
un contexto amplio, se basa en métodos de redundancia física o de hardware, los
cuales emplean múltiples sensores, actuadores, componentes de medición y control
de una variable en particular. El mayor problema de este método es el costo de
mantenimiento y del equipo adicional, así como el espacio requerido para dichos
instrumentos (Isermann y Höing, 1996).
Redundancia analítica: este esquema se basa en la diferencia generada por la
comparación de valores disímiles medidos; esta diferencia se llama señal residual
o síntoma. La mayor ventaja de un enfoque basado en modelos es que no requiere
hardware adicional para realizar la detección de fallas y puede implementarse vía
software, en un proceso controlado por computadora (Chen, 1999).
De estas dos opciones, la redundancia analítica (basada en modelos) ha sido ampliamente
usada en aplicaciones de sistemas industriales, ya que representa, dada la complejidad de
los procesos analizados, un ahorro económico y de recursos durante el proceso de detección
de fallas (Chen, 1999; Simani et al., 2000).
La mayoría de los artículos de revisión bibliográca parecen centrarse en técnicas de
diagnóstico basadas en el modelo (ver Fig. 1.5.1), la tarea consiste en un proceso técnico
que incluye actuadores, componentes y sensores con base en la medición de las variables
de entrada y salida disponibles.
El procedimiento para evaluar la consistencia del sistema mediante modelos matemáticos
puede dividirse en los siguientes pasos (Isermann, 2004):
Generación de residuos: consiste en obtener señales que contienen información
únicamente de las fallas, dichas señales se llaman residuos. En el caso ideal, los
residuos son cero cuando no hay fallas y dieren de cero en presencia de fallas.
Se utilizan comúnmente dos enfoques para generar residuos: el primer enfoque
considera residuos de tipo direccional, ya que son denidos de tal manera, que toman
una dirección particular en el espacio de residuos, cuando ocurre una falla; el segundo
enfoque utiliza residuos estructurados, los cuales se generan de tal manera que sean
sensibles a ciertas fallas e insensibles a otro tipo de fallas de poco interés.
Evaluación de residuos: consiste en extraer la información contenida en los residuos
obteniendo síntomas. La evaluación proporciona información especíca de la falla
(tiempo de ocurrencia y elemento afectado).
8
1.5. ESTADO DEL ARTE
Figura 1.5.1 Esquema FDD basado en modelos.
Decisión: con base en los síntomas obtenidos (que forman la rma de coherencia) se
reliza una comparación con un patrón conocido (rma de referencia) para determinar
si la falla existe o no y sus características.
Las técnicas de generación de residuos basados en modelos son:
Estimación de estados, (Alcorta y Frank, 1997).
Estimación de parámetros (Isermann y Höing, 1996; Isermann, 1997).
Estimación conjunta de estados y de parámetros (Zhang y Jiang, 2008).
Ecuaciones de paridad (Gertler, 1998).
Una clasicación de estas técnicas se presenta a continuación.
Las técnicas de detección y localización de fallas en actuadores basadas en observadores,
bajo el contexto de observadores de entradas desconocidas (del inglés: Unknown Input
9
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Figura 1.5.2 Clasicación de métodos FDD basados en modelos (Zhang y Jiang,
2008).
Observers, UIO) (Chen, 1999; Moreno y Dochain, 2008), presentan un enfoque favorable
para la aplicación de técnicas FDD, ya que las fallas del sistema pueden ser consideradas
como entradas desconocidas. La mayoría de los trabajos que tratan sistemas de detección
y localización de fallas utilizando observadores con entradas desconocidas para sistemas
lineales, se encuentran enmarcados en el ámbito de los sistemas lineales invariables en el
tiempo (por sus siglas en inglés: Linear Time Invariant Systems, LTI).
Sistemas LPV
Al modelar procesos industriales, una suposición generalizada es la linealidad del sistema,
sin embargo esta hipótesis sólo es válida para un región restringida en torno a un punto
de operación; estos modelos son a menudo sencillos pero inexactos. Cuando el rango de
operación del proceso es linealizado, la dinámica del sistema no se presenta en forma
completa, una solución a este problema es a través del observadores no lineales bajo
enfoques analíticos como el trabajo presentado por Alcorta y Frank (1997), o bajo enfoques
geométricos como lo propuesto por De Persis y Isidori (2001), donde se requiere un perfecto
10
1.5. ESTADO DEL ARTE
conocimiento del sistema no lineal. Este requerimiento fue resuelto en algunos casos usando
redes neuronales (Narendra y Balakrishnan, 1995) y lógica difusa (El-Koujok et al., 2008).
Considerar métodos no lineales resulta complejo, por lo que varios autores consideraron
dividir el fenómeno en diferentes regiones de operación, manteniendo el compromiso entre
la precisión en la representación de las características del sistema y la versatilidad de su
implementación (Adam et al., 2003; Bhagwat et al., 2003; Niemann et al., 2007; Chetouani,
2008; Orjuela et al., 2009).
Por otra parte, recientemente, se ha demostrado que una forma de abordar el problema de
las no linealidades de un sistema, es utilizar un enfoque de sistemas lineales de parámetros
variables (por sus siglas en inglés de Linear Parameter Variant, LPV). Esta aproximación
trata de representar el sistema mediante una interpolación de modelos locales que permiten
representar una amplia clase de sistemas cuyo comportamiento es no lineal por naturaleza,
con la ventaja de que se pueden extender las técnicas para sistemas lineales hacia algunas
clases de sistemas no lineales. Así, ciertos problemas de diagnóstico de fallas originalmente
propuestos en el contexto lineal, pueden ser reformulados en términos de sistemas LPV.
La idea de esta aproximación es representar el sistema como una interpolación de simples
modelos locales; para los sistemas LPV, dichas técnicas presentan una buena aproximación
para obtener una estructura politópica, donde el espacio de los parámetros forma un
polítopo que depende de las combinaciones extremas de dichos parámetros. Esta estructura
es un conjunto de modelos lineales programados por una función convexa. Utilizando esta
representación politópica, se han desarrollado diferentes métodos de diagnóstico basados en
observadores politópicos de entradas desconocidas (Akhenak, 2004; Rodrigues y Theillol,
2005; Theillol, 2008).
Sistemas singulares
Una gran cantidad procesos se modelan naturalmente usando sistemas de ecuaciones
diferenciales y algebraicas no lineales, donde las ecuaciones diferenciales explícitas surgen
de la dinámica proveniente de los balances de energía y masa, mientras que las ecuaciones
algebraicas consisten en correlaciones empíricas. Los sistemas singulares (en inglés: singular
systems o descriptor systems) han sido estudiados y aplicados a numerosos casos de
estudio como: la forma general de las ecuaciones resultantes del modelado de sistemas
de larga escala (Luenberger, 1977), controlabilidad, observabilidad, colocación de polos
11
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
por retroalimentación de estos sistemas (Cobb, 1981, 1983, 1984) y observadores para
sistemas singulares discretos (Dai, 1988).
Sin embargo, en estos trabajos algunos incovenientes no son tratados, especialmente el
problema de diagnóstico de sistemas singulares en presencia de retardos, de entradas
desconocidas y/o incertidumbres.
Existen sistemas industriales que son muy sensibles a pequeños cambios en las entradas y a
la presencia de perturbaciones o entradas desconocidas imposibles de medir, características
que son perjudiciales y difíciles de tratar para el diseño de los observadores, y los
sistemas singulares son una buena herramienta para representarlos, además este hecho
justica la importancia del diseño de observadores para sistemas en presencia de entradas
desconocidas. Muchos sistemas en la práctica pueden ser descritos por modelos singulares,
y estrategias de diagnóstico de fallas en estos pueden basarse en el diseño de observadores
de entradas desconocidas.
Tres enfoques se pueden distinguir para el diseño de observadores no lineales aplicados a
procesos físicos: el primero se basa en una transformación no lineal utilizando el álgebra
de Lie; el segundo se basa en un modelo linealizado, y a pesar de la convergencia local,
este método es ampliamente utilizado en la práctica, en general, da mejores resultados en
condiciones menos restrictivas que el primer enfoque; el tercero trata el problema de diseño
de observadores para una clase de sistemas no lineales que se componen de una parte lineal
y un vector de funciones no lineales, en este enfoque, las condiciones sucientes para la
estabilidad global del observador se establecieron por algunos autores, (Koenig y Mammar,
2001, 2002; Koenig, 2006; Koenig et al., 2008).
La posibilidad de representar el comportamiento de un sistema singular, requiere de ciertas
propiedades de controlabilidad y observabilidad (Campbell et al., 1991); si un sistema
de este tipo puede describir un comportamiento diferente, deben considerarse también
diferentes versiones de controlabilidad y observabilidad. Sin embargo, la descomposición
dinámica/algebraica indica precisamente que la controlabilidad y la observabilidad de cada
una de estas partes se puede tratar por separado. Una de las herramientas para comprobar
la controlabilidad de los sistemas singulares, es la teoría de Lyapunov; la estabilidad de
los puntos de equilibrio en el sentido de Lyapunov en sistemas autónomos singulares, es
equivalente al estudio de la estabilidad de los sistemas clásicos (Rehm, 2004).
En la literatura se han propuesto diferentes tipos de estimadores para sistemas singulares,
a continuación se describen algunos: en el trabajo de Darouach y Boutayeb (1995), se
presenta una metodología para el diseño de observadores de orden completo y de orden
12
1.5. ESTADO DEL ARTE
reducido para sistemas singulares lineales en tiempo continuo, el algoritmo se valida
mediante datos numéricos.
Darouach et al. (1996) presentan un método para diseñar observadores de orden reducido
para sistemas singulares en tiempo continuo, sujetos a entradas desconocidas y a
perturbaciones; se considera en forma general, algunas condiciones menos restrictivas.
En la publicación de Koenig y Mammar (2002) se presenta una metodología de diseño de
observadores proporcionales-integrales (PI) de orden reducido y de orden completo, para
sistemas singulares con entradas desconocidas, sujetos a variaciones en los parámetros.
Se demuestra la existencia de condiciones de estabilidad generalizadas para este tipo de
observadores, y además, es posible mantener cierta robustez de las estimaciones de las
entradas desconocidas frente a las variaciones de los parámetros y las no linealidades del
sistema, que pueden ser abordadas mediante el establecimiento de valores propios más
grandes; esto no puede lograrse con un observador puramente proporcional.
En el trabajo de Koenig (2006), se presentan dos algoritmos de estimación que son robustos
tanto a los ruidos que pueden presentarse en el proceso como a los ruidos de sensores;
para llevar a cabo este diseño, el primer algoritmo consiste en un observador de entradas
desconocidas que proporciona la estimación de la entrada desconocida como un estado
desacoplado, mientras que el segundo algoritmo es un observador PI que atenúa el impacto
de las perturbaciones. Estos dos observadores tienen en cuenta una distribución normal
de la dinámica del actuador y los ruidos del sensor, esta característica permite que dichos
observadores puedan ser utilizados en tareas de diagnóstico de fallas, ya que proporcionan
información de la dimensión y la dinámica de la entrada desconocida.
Marx y Koenig (2007) proponen un observador de entradas desconocidas para un sistema
Takagi-Sugeno singular, en el cual la determinación de los parámetos del observador se
basa en la solución de desigualdades matriciales lineales (por sus siglas en inglés: Linear
Matrix Inequality, LMI). Los observadores propuestos se diseñan para los casos continuo
y discreto en el tiempo y se usan para desarrollar un sistema de diagnóstico, a través de
un banco de observadores, donde cada uno de ellos considera una falla como una entrada
desconocida.
Sistemas singulares LPV
A pesar de que la idea de unir los sistemas singulares y los sistemas LPV no es nueva,
existen pocos trabajos que tratan de observadores, síntesis de control, estabilización,
13
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
diagnóstico de fallas y otros temas de control automático para este tipo de sistemas.
Basado en los sistemas singulares LPV, (Rodrigues y Theillol, 2005) presentan un
diagnóstico de fallas para sistemas no lineales a través de multi-modelos, mediante un
observador politópico de entradas desconocidas. El observador politópico realiza una
optimización de las matrices de distribución de los errores de modelado y permite
desarrollar una estrategia de diagnóstico de fallas de un sistema nolineal en un amplio
rango de operación. La estabilidad del observador politópico se garantiza por medio de
asignación de polos, la cual se determina a través de LMI's.
Un método de diagnóstico de fallas para sensores se presenta en Astorga et al. (2009), en
el cual se diseña un observador basado en modelos singulares LPV en tiempo continuo, el
cual realiza la tarea de detección de fallas en todo el rango de operación del sistema. Las
condiciones que garantizan la convergencia y estabilidad del observador se demuestran a
través de un análisis de Lyapunov basado en la formulación de LMI's.
Hamdi et al. (2009) presentan un observador politópico de entradas desconocidas
para sistemas singulares LPV, mediante una representación afín, donde los parámetros
evolucionan en un hipercubo. El observador de entradas desconocidas estima los estados
del sistema aún en la presencia de entradas desconocidas, y se utiliza para la detección,
localización y estimación de fallas en actuadores. La estabilidad del observador politópico
se garantiza por medio de asignación de polos, la cual se determina por LMI's.
En Astorga et al. (2011) se presenta un método de estimación de fallas basado en el
modelo para sistemas singulares LPV discretos, el observador utiliza estados adicionales
que permiten detectar, localizar y estimar la falla de una forma adecuada. Para probar
la estabilidad del observador se realiza una combinación del análisis de Lyapunov con la
estrategia LMI; el esquema de estimación de fallas se realiza a través de datos numéricos.
En la literatura muy pocos resultados se reportan para sistemas singulares LPV con
entradas desconocidas, y en la mayoría de los casos, son sólo para sistemas continuos,
además, en todos los casos no se reportan aplicaciones a sistemas reales, es decir, los
esquemas propuestos son validados únicamente en simulación y propuestos para ejercicios
de tipo académico.
1.6. Organización del documento
El contenido de este documento está dividido en cinco capítulos que se describen a
continuación.
14
1.6. ORGANIZACIÓN DEL DOCUMENTO
En el Capítulo 2 se presentan las generalidades de este trabajo de tesis, algunos conceptos
básicos de los sistemas singulares, los sistemas LPV, además se explica brevemente el
diseño de observadores lineales.
En el Capítulo 3 se presenta una descripción general de las columnas de destilación. Así
mismo se presentan las características físico-químicas y termodinámicas que intervienen en
el proceso de destilación de la mezcla binaria etanol-agua, y se proveen las características
físicas de la planta piloto de destilación. Se propone en este capítulo un modelo singular
LPV para la columna de destilación binaria, utilizando la mezcla etanol-agua; se presenta
también la validación del modelo propuesto vía simulación.
En el Capítulo 4 se presenta primero: con base en el modelo singular LPV propuesto en el
capítulo anterior, se diseña un observador politópico de entradas desconocidas que permite
la estimación simultánea de los estados y las entradas desconocidas.
Posteriormente, usando el observador diseñado se desarrolla un esquema de diagnóstico de
fallas para detectar, localizar y estimar fallas en un actuador, de la columna de destilación.
Luego se presenta la validación del esquema de diagnóstico en simulación con datos reales
de la columna de destilación binaria del CENIDET.
En el Capítulo 5 se presentan las conclusiones obtenidas, de igual manera, se propone un
panorama para trabajos futuros basados en los resultados obtenidos en esta tesis.
Para la mejor comprensión y complementación del trabajo se presenta un apartado de
anexos.
15
Capítulo 2
Sistemas singulares LPV
El objetivo de este capítulo es presentar de manera general la teoría de los sistemas
singulares y sistemas LPV, con base a su análisis, posteriormente se desarrolla un modelo
para una columna de destilación binaria, que integra estos dos tipos de sistemas.
También se establece la teoría de los observadores, en especial los observadores de entradas
desconocidas; con base en su estudio, posteriormente en este trabajo de tesis, se diseña
un estimador de estados para el modelo de la columna de destilación representado de una
forma singular LPV.
2.1. Sistemas singulares
Los sistemas algebro-diferenciales o sistemas singulares se pueden considerar como
una generalización de los sistemas dinámicos lineales. Mientras que en los sistemas
convencionales aparecen sólo relaciones dinámicas, en los sistemas singulares se incluyen
relaciones algebráicas, esto permite la integración de las relaciones estáticas en el modelo.
El modelado de un proceso físico complejo por lo general comienza con la elección de las
variables que permiten describir el sistema, y la elección de las variables que actúan sobre
su evolución. Estas variables, llamadas variables de estado y de control, respectivamente,
se eligen en medida de lo posible para tener un signicado físico (posición, velocidad,
aceleración, temperatura, presión, etc.). Una vez seleccionadas, se unen a través de leyes
que describen el comportamiento del sistema mediante relaciones matemáticas. Estas
relaciones pueden ser de dos tipos: dinámicas (es decir, los cambios relativos a las variables
en el tiempo) o estáticas bajo esta representación se genera un sistema de ecuaciones de
16
2.1. SISTEMAS SINGULARES
la siguiente forma:
0 = f(x(t), x(t), u(t), y(t))
0 = g(x(t), u(t), y(t))(2.1.1)
donde x(t) ∈ Rn es el vector de estados, x(t) es su derivada respecto al tiempo, u(t) ∈ Rm
el vector de control y y(t) ∈ Rp es el vector de la salida medida, f(·) y g(·) son funciones
no lineales continuas e innitamente diferenciables (en inglés conocidas como smooth
functions). Luego de la linealización alrededor de un punto de operación se obtiene:
Ex(t) = Ax(t) +Bu(t)
y(t) = Cx(t)(2.1.2)
Las matrices E, A, B y C son constantes y de dimensiones apropiadas. Las variables de
estado pueden estar asociadas a una relación algebraica, por lo que la matriz E no es
necesariamente diagonal, pero en este trabajo se considera E como una matriz singular.
Ejemplo: circuito eléctrico
El circuito RLC mostrado en la Fig. 2.1.1, es alimentado por el voltaje v(t), tiene 2 mallas,
donde circulan las corrientes i1 e i2 a través de dos resistencias R1 y R2. La carga en el
capacitor C se denota por q(t) y L es una inductancia.
Figura 2.1.1 Un circuito eléctrico.
Se eligen como variables de estado q(t), i1(t) e i2(t). Se obtiene la representación en espacio
de estados, donde la última línea reeja la relación algebraica:
17
CAPÍTULO 2. SISTEMAS SINGULARES LPV
1 0 0
0 L 0
0 0 0
q(t)
i2(t)
i3(t)
=
0 0 11C−R2 0
1C
R1 R1
q(t)
i2(t)
i3(t)
+
0
0
−1
v(t)
y(t) =
[0 1 1
0 1 0
] q(t)
i2(t)
i3(t)
(2.1.3)
Este sistema es singular ya que una matriz no invertible multiplica el vector de estados.
Esa matriz se obtiene al modelar naturalmente el sistema y reeja limitaciones físicas que
son ignoradas en los sistemas normales, lo que podría causar un mal acondicionamiento
de E−1.
2.1.1. Discretización de sistemas singulares
En la literatura existen dos trabajos que presentan métodos para la discretización de
sistemas singulares. En el primer trabajo se resuelve el problema de la discretización
de un sistema singular lineal continuo, considerando la parte nilpotente de la forma de
Kronecker asociada a cierto sistema singular continuo (Rachid, 1995) y se demuestra que
esa discretización es la solución exacta que se obtiene a través de la aproximación de Euler.
El sistema singular discreto se obtiene entonces al realizar una aproximación de primer
orden para las derivadas de dicho sistema.
Se considera un sistema singular continuo descrito por:
Ex = Ax+Bu (2.1.4)
donde x denota la variable del estado y u es la señal de entrada; la matriz E es singular.
El sistema puede ser representado en la forma de Kronecker usando una transformación
adecuada descrita en Dai (1989):
x1 = A1x1 +B1u
Nx2 = x2 +B2u(2.1.5)
donde N es la matriz nilpotente1 con el índice de nilpotencia igual a v. La primera parte
de esta forma de Kronecker, es la dinámica de x1, la cual representa la parte regular del
1Si A es una matriz nilpotente de orden K, AK = 0 por lo tanto det(A)K = 0. En términos generales,cualquier matriz triangular con ceros a lo largo de la diagonal principal es una matriz nilpotente.
18
2.1. SISTEMAS SINGULARES
sistema singular dado (un sistema es regular si det [sE − A] 6= 0). La segunda ecuación
descrita por x2 representa la parte nilpotente del sistema singular. Para resolver la segunda
parte se puede tomar dos direcciones:
1. Aproximar las derivadas de x como:
x =xk+1 − xk
T
donde T es el periodo de muestreo. En este caso, se tiene
donde z(k) ∈ Rn+d es el vector de estados: Ni, L1i, L2i, Gi y K, i = 1, ...,M son matrices
constantes de dimensiones apropiadas. β y ξ están dados como en la Ec. (4.2.9).
4.4. Validación del observador propuesto
4.4.1. Observador singular LPV continuo
El objetivo de esta simulación es validar, en simulación, el desempeño del observador para
sistemas singulares LPV continuo descrito por la Ec. (4.3.5).
La metodología de la simulación consiste en: especicar las características de la columna,
especicar las características de la mezcla a emplear y las entradas que se usan para nal-
mente, utilizar el observador para estimar concentraciones.
Desarrollo de la simulación
Características de la planta. El observador se valida empleando una columna de cinco
platos basada en las características de la planta piloto del CENIDET. Las mediciones de
temperatura disponibles son dos, obtenidas de los platos 2 y 4.
Características de la mezcla y entradas utilizadas. La mezcla empleada es etanol-agua. Las
características de estos componentes, los parámetros iniciales y las entradas del poceso
empleadas en la simulación se presentan en el Apéndice D.
Estimación de concentraciones. El observador estima las concentraciones, para los cinco
platos, con base en dos temperaturas medidas, de los platos 2 y 4. El algoritmo del obser-
vador se desarrolla en Matlab.
Resultados obtenidos
La Fig. 4.4.1 ilustra la convergencia asintótica de los estados estimados hacia los estados
reales, para este caso se considera una variación en la entrada a los 0 y 25 minutos, además
la variación paramétrica donde ρ1(t) ∈[0, 1.5524] y ρ2(t) ∈[0.15524, 1.5524].
78
4.4. VALIDACIÓN DEL OBSERVADOR PROPUESTO
Figura 4.4.1 Comparación de los estados x1 y x2 con su observador y variación
paramétrica.
(a) (b)
Figura 4.4.2 En (a) la evolución de las funciones de ponderación en el tiempo. En (b)
se verica que
M∑i=1
εi(ρ(t)) = 1 .
4.4.2. Observador singular LPV discreto
Se reportan tres de las simulaciones realizadas con la nalidad de validar el observador
de entradas desconocidas para sistemas singulares LPV. Las simulaciones se presentan a
continuación.
79
CAPÍTULO 4. ESQUEMA DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS
El objetivo de esta simulación es validar, en simulación, el desempeño del observador
politópico de entradas desconocidas para sistemas singulares LPV discretos, mediante la
estimación de las composiciones líquidas del componente ligero de una mezcla binaria.
La metodología de la simulación consiste en: especicar las características de la colum-
na, especicar las características de la mezcla a emplear y las entradas que se usan en la
simulación y nalmente, utilizar el observador para estimar concentraciones de la columna.
Desarrollo de la simulación
Características de la planta. El observador se valida para una columna de cinco platos
basada en las características de la planta piloto de CENIDET. Las mediciones de
temperatura son dos, localizadas en los platos 2 y 4.
Características de la mezcla y entradas utilizadas. La mezcla empleada es etanol-agua. Las
características de estos componentes, los parámetros iniciales y las entradas del proceso
empleadas en la simulación se presentan en el Anexo D.
Estimación de concentraciones. El observador politópico de entradas desconocidas discreto
estima las concentraciones para los cinco platos, con base en dos temperaturas medidas,
correspondientes a los platos 2 y 4.
Previamente a la simulación del observador es necesario utilizar el algoritmo de
minimización para solucionar la viabilidad de la LMI de la Ec. (4.2.42), desarrollado en
Matlab, y su ejecución dura aproximadamente 30 minutos. Este procedimiento se realiza
únicamente una vez para realizar la calibración del observador y el cálculo de las ganancias
del mismo, una vez se obtiene tal información el algoritmo está listo para operar en línea
con la planta.
Resultados obtenidos
El observador politópico de entradas desconocidas descrito por la Ec. (4.2.12), se
obtiene por la interpolación de los observadores de cada uno de los vértices al usar las
mismas funciones válidas que el sistema singular LPV. En la Fig. 4.4.3(a) se observa el
comportamiento dinámico de los estados en el sistema no lineal, se aplica la apertura de la
válvula de reujo a los 170 minutos con una duración de 10 minutos, como un cambio en
el punto de operación de la planta. Es de importancia señalar que el cambio de los estados
debido a la apertura de la válvula de reujo, no es una perturbación sino un cambio en el
punto de operación.
80
4.4. VALIDACIÓN DEL OBSERVADOR PROPUESTO
(a) (b)
Figura 4.4.3 En (a) el comportamiento dinámico de los estados y en (b) los polos del
observador.
(a) (b)
Figura 4.4.4 En (a) la variación de la potencia calefactora y en (b) la variación de los
parámetros.
La Fig. 4.4.3(b) ilustra los polos del observador politópico de entradas desconocidas
obtenidos por el algoritmo. Para la colocación de polos se asignan en el disco D(λi, δi)
denido por el radio δi > 0,1 y el número real λi = 0,95. Los parámetros asociados
a la región del disco se eligen del comportamiento dinámico del sistema nominal para
estabilizar y garantizar la estimación eciente de los estados. El número total de polos
81
CAPÍTULO 4. ESQUEMA DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS
para este sistema es de (n + d)M = (5 + 2)4 = 28, los polos se encuentran en el disco
asignado anteriormente con excepción de 6 polos que se encuentran en 1, esto se debe a
que los estados tomados como algebraicos no se les puede aplicar la misma metodología
de colocación de polos para determinar su estabilidad.
(a) (b)
Figura 4.4.5 En (a) la evolución de las funciones de ponderación en el tiempo. En (b)
se verica que
M∑i=1
εi(θ(t)) = 1 .
En la Fig. 4.4.4(a) se muestra la variación de la potencia calefectora, esta potencia es
proporcionada por la resistencia calefactora localizada en el plato del hervidor. Para este
trabajo se considera que la variación es del rango de 10% al 100% de la potencia total
(2500Watts). Y la resistencia calefactora, es el actuador al cual se realizará el sistema de
diagnóstico de fallas. En esta simulación Qb inicia con un valor de 2000Watts, al minuto
50 se reduce a 1250Watts y nalmente en el minuto 100, aumenta hasta 1875Watts. Los
cambios aplicados a la potencia calefactora se ven reejados directamente en los parámetros
L y V .
La Fig. 4.4.4 (b) ilustra la variación de los parámetros, la energía para que la columna
funcione es proporcionada por el calor que se aplica en el hervidor, lo que causa la
evaporación de parte del líquido que se encuentra en él. La corriente de vapor, conforme
asciende por la torre, se enriquece con el componente más volátil, esta corriente de vapor
se condensa, una parte de ese líquido condensado se regresa a la columna (por acción del
reujo) y otra parte se extrae del acumulador como producto destilado. Cuando no se
82
4.4. VALIDACIÓN DEL OBSERVADOR PROPUESTO
aplica reujo, los parámetros L y V son iguales, como se aprecia en la Fig. 4.4.4 (b) en
los minutos 0 a 170. Pero ante la acción del reujo, de los minutos 170 a 180, el valor de
L es menor ya que la otra parte se extrae como destilado. Los cambios aplicados a los
parámetros se ven reejados directamente en las funciones de ponderación como se ilustra
en la Fig. 4.4.5.
Figura 4.4.6 Comportamiento dinámico de los estados en el sistema nominal.
En los cambios de punto de operación es donde existe mayor variación entre los estados
y sus estimados (ver Fig. 4.4.6). Los estados x2 y x4 no presentan este problema ya que
son los estados medidos y los que fueron considerados como algebraicos. En los estados x1
y x3, ofrecen mayor visión al realizarse el cambio de punto de operación cuando se aplica
variación de la potencia en la resistencia calefactora. Mientras que en x5, reeja el cambio
realizado en la válvula de reujo, donde se extrae parte del líquido y por tanto disminuye
la concentración.
La estimación de las entradas desconocidas se muestra en la Fig. 4.4.7, debido a que es el
sistema nominal estas permanecen en cero, los picos que se presentan en los minutos 50 y
100, se deben al cambio de punto de operación por acción de la potencia calefactora. En
esta simulación Qb inicia con un valor de 2000Watts, al minuto 50 se reduce a 1250Watts
y nalmente en el minuto 100, aumenta hasta 1875 Watts. Los picos presentes en los
minutos 170 y 180 se deben a la acción de la apertura de la válvula de reujo.
83
CAPÍTULO 4. ESQUEMA DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS
Figura 4.4.7 Estimación de las fallas en el sistema nominal.
Conclusiones de la simulación. Los resultados obtenidos demuestran que el observador
estima adecuadamente los estados, aún cuando se presentan cambios en el punto de
operación.
4.5. Esquema de diagnóstico de fallas
El observador politópico para sistemas LPV discretos presentado en la sección 4.2, es la
base para desarrollar un esquema FDD para el proceso no lineal, en particular, para una
columna de destilación trabajando con una mezcla binaria y azeotrópica (no ideal).
Este observador permite la detección, localización y estimación de fallas en actuadores.
Como actividad extra, se realizó la detección, localización y estimación de fallas en el
segundo actuador de la columna, la válvula de reujo.
El esquema FDD tiene como objetivo detectar fallas aditivas en los actuadores de la
columna, la resistencia calefactora y la válvula de reujo. La detección se lleva a cabo
mediante un banco de observadores de entradas desconocidas.
84
4.5. ESQUEMA DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS
El banco de observadores empleado tiene un Esquema de Observadores Dedicados (del
inglés: Dedicated Observer Scheme, DOS) (Chen, 1999), donde cada observador utiliza
una entrada y todas las salidas. Permite la localización de fallas múltiples, su diagrama se
muestra en la Fig. 4.5.1.
Figura 4.5.1 Esquema DOS para la columna de destilación.
Se elige la conguración (DOS) por la factibilidad de detectar fallas simultáneas en el
sistema y determinar su localización mediante un procedimiento relativamente sencillo.
Como puede observarse en la Fig. 4.5.1, cada observador del banco estima las
concentraciones 5 platos de la columna, empleando para ello las entradas manipulables
del sistema (potencia caloríca, reujo), además simultáneamente estima la falla.
Debido a las características del observador propuesto para el esquema de diagnóstico, no es
necesario la generación de residuos y las rmas de coherencia ya que el observador estima
directamente la falla.
4.5.1. Caso falla. Resistencia calefactora (actuador 1)
El objetivo de esta simulación es validar, el desempeño del observador de entradas
desconocidas para sistemas singulares LPV discretos desarrollado para detectar fallas en
la resistencia calefactora de la columna de destilación.
La metodología de la simulación consiste en: especicar las características de la columna,
especicar las características de la mezcla a emplear y las entradas que se usan en la simu-
lación y nalmente, utilizar el observador para estimar concentraciones de la columna y los
85
CAPÍTULO 4. ESQUEMA DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS
vectores de magnitud de falla, considerados como entradas desconocidas, para conrmar
que el sistema FDD detecta falla en la resistencia calefactora de la columna.
Desarrollo de la simulación
Características de la planta. El observador se valida para una columna de cinco platos
basada en las características de la planta piloto de CENIDET. Las mediciones de
temperatura son dos, localizadas en los platos 2 y 4. Como falla, se considera un incremento
en el valor de la resistencia calefactora lo que produce un aumento del vapor producido
en la base de la columna, cuya magnitud es de 0.01.
Características de la mezcla y entradas utilizadas. La mezcla empleada es etanol-agua. Las
características de estos componentes, los parámetros iniciales y las entradas del proceso
empleadas en la simulación se presentan en el Anexo D.
Estimación de concentraciones. El observador politópico de entradas desconocidas discreto
estima las concentraciones para los cinco platos, con base en dos temperaturas medidas,
correspondientes a los platos 2 y 4.
Previamente a la simulación del observador es necesario utilizar el algoritmo de minimi-
zación para solucionar la viabilidad de la LMI de la Ec. (4.2.42), desarrollado en Matlab,
y su ejecución dura aproximadamente 30 minutos.
Resultados obtenidos
La Fig. 4.5.2 presenta la concentración estimada por el observador politópico para los cinco
platos de la columna, se aprecia que sigue el comportamiento dinámico del sistema a pesar
de la falla en la resistencia calefactora y solo se producen pequeñas variaciones cuando
ocurre el cambio de punto de operación. Los estados 2 y 4 no dieren de sus estimaciones
ya que son los estados medidos.
En la Fig. 4.5.3 se aprecia la estimación de fallas para los actuadores de la columna.
La falla se presenta en los minutos 75 y 130, con una magnitud de 0.01. Los picos que se
presentan en los minutos 50 y 100, se deben al cambio de punto de operación por acción de
la potencia calefactora. En esta simulación Qb inicia con un valor de 2000Watts, al minuto
50 se reduce a 1250Watts y nalmente en el minuto 100, aumenta hasta 1875Watts. Los
picos presentes en los minutos 170 y 180 se deben a la acción de la apertura de la válvula
de reujo. En la estimación de la falla de la resistencia se aprecia que el observador realiza
86
4.5. ESQUEMA DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS
Figura 4.5.2 Comportamiento dinámico de los estados ante una falla en la resistencia
calefactora.
la estimación de la falla incluso ante el cambio de punto de operación presente en el minuto
100. Se detecta casi de inmediato que el sistema se desvia de su comportamiento nominal,
al presentarse una falla en la resistencia calefactora.
Figura 4.5.3 Estimación de la falla en la resistencia calefactora.
Conclusiones de la simulación. Los resultados obtenidos demuestran que el observador de
87
CAPÍTULO 4. ESQUEMA DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS
entradas desconocidas para sistemas singulares LPV estima, adecuadamente, que uno de
los actuadores del sistema presenta una desviación de su comportamiento nominal.
4.5.2. Caso falla. Válvula de reujo (actuador 2)
El objetivo de esta simulación es validar, el desempeño del observador de entradas
desconocidas para sistemas singulares LPV discretos desarrollado para detectar fallas en
la válvula de reujo de la columna de destilación.
La metodología de la simulación consiste en: especicar las características de la columna,
especicar las características de la mezcla a emplear y las entradas que se usan en la simu-
lación y nalmente, utilizar el observador para estimar concentraciones de la columna y los
vectores de magnitud de falla, considerados como entradas desconocidas, para conrmar
que el sistema FDD detecta falla en la válvula de reujo de la columna.
Desarrollo de la simulación
Características de la planta. El observador se valida para una columna de cinco platos
basada en las características de la planta piloto de CENIDET. Las mediciones de
temperatura son dos, localizadas en los platos 2 y 4. Como falla, se considera un incremento
en la apertura de la válvula de reujo lo que produce un aumento del producto de destilado
en la parte superior de la columna, se considera una magnitud de 0.01.
Características de la mezcla y entradas utilizadas. La mezcla empleada es etanol-agua. Las
características de estos componentes, los parámetros iniciales y las entradas del proceso
empleadas en la simulación se presentan en el Anexo D.
Estimación de concentraciones. El observador politópico de entradas desconocidas discreto
estima las concentraciones para los cinco platos, con base en dos temperaturas medidas,
correspondientes a los platos 2 y 4.
Previamente a la simulación del observador es necesario utilizar el algoritmo de
minimización para solucionar la viabilidad de la LMI de la Ec. (4.2.42), desarrollado en
Matlab, y su ejecución dura aproximadamente 30 minutos.
Resultados obtenidos
La Fig. 4.5.4 presenta la concentración estimada por el observador politópico para los
cinco platos de la columna, se aprecia que sigue el comportamiento dinámico del sistema
a pesar de la falla en la válvula de reujo y solo se producen pequeñas variaciones cuando
88
4.5. ESQUEMA DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS
ocurre el cambio de punto de operación. Los estados 2 y 4 no dieren de sus estimaciones
ya que son los estados medidos.
Figura 4.5.4 Comportamiento dinámico de los estados ante una falla en la válvula de
reujo.
Los picos que se presentan en los minutos 50 y 100 de la Fig. 4.5.5, se deben al cambio
de punto de operación por acción de la potencia calefactora. Se considera la presencia de
una falla en los minutos 100 y 180 en la válvula de reujo, con una magnitud de 0.01. Los
picos presentes en los minutos 170 y 180 se deben a la acción de la apertura de la válvula
de reujo. En la estimación de la falla de la válvula de reujo se aprecia que el observador
realiza la estimación de la falla justo ante cambios de punto de operación presentes en los
minutos 100 y 180. Los picos que se muestran en la estimación de la resistencia calefactora
presentes en los tiempos 100 y 180 se deben a que la falla se presenta justo en el cambio
de punto de operación, obteniendo así una mayor magnitud.
El tiempo para detectar la falla en la válvula de reujo es mayor que en la resistencia
calefactora, pasan mas de 2 minutos para seguir la desviación provocada por la falla.
Conclusiones de la simulación. Los resultados obtenidos demuestran que el observador de
entradas desconocidas para sistemas singulares LPV estima, adecuadamente, que uno de
los actuadores del sistema presenta una desviación de su comportamiento nominal.
89
CAPÍTULO 4. ESQUEMA DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS
Figura 4.5.5 Estimación de la falla en la válvula de reujo.
4.6. Conclusiones
En este capítulo se presenta el diseño de dos observadores para sistemas singulares, un
continuo y otro discreto. Para el continuo se asume un tiempo de observación continuo, sin
embargo en la práctica esto no siempre es posible. En el caso de la columna de destilación,
las muestras se podrían realizar a través de un cromatógrafo, por lo cual se considera que
son discretas. Los autores en Astorga et al. (2011) proponen un algoritmo de diseño de
observadores para el caso discreto.
Para realizar la extensión de este observador y aplicarlo a la columna de destilación, fue
necesario en primer lugar, obtener un modelo matemático de forma singular LPV discreta,
para poder utilizar el modelo singular LPV propuesto, es necesario llevarlo a su forma
discreta.
El desarrollo de un esquema de diagnóstico de fallas basado en un observador politópico
discreto, el cual realiza la detección y estimación de fallas en todo el rango de operación
del sistema y puede estimar simultáneamente los estados y los vectores de magnitud de
falla, considerados como entradas desconocidas.
El esquema FDD tiene como objetivo detectar fallas aditivas en los actuadores de la
columna (la resistencia calefactora y la válvula de reujo). La detección se lleva a cabo
90
4.6. CONCLUSIONES
mediante un banco de observadores de entradas desconocidas.
El banco de observadores empleado tiene un esquema DOS, donde cada observador utiliza
una entrada y todas las salidas, permitiendo la localización de fallas múltiples. La detección
se realiza aproximadamente en 1 minuto, se considero así ya que en los cambios de modelo
provocaban falsas detecciones.
Se presentó su validación en simulación con datos reales de la columna de destilación
binaria del CENIDET.
91
Capítulo 5
Conclusiones y trabajos futuros
5.1. Conclusiones
Una gran cantidad de procesos se modela naturalmente usando sistemas de ecuaciones
diferenciales y algebraicas; las diferenciales surgen de manera explícita de la dinámica
proveniente de los balances de masa y energía, entre otros, mientras que las ecuaciones
algebraicas provienen de correlaciones empíricas del sistema.
A diferencia de los sistemas lineales continuos, la discretización de los sistemas singulares,
se realiza con una metodología, que utiliza algunas transformaciones para encontrar el
modelo discreto del sistema singular.
Existen diferentes formulaciones para modelar un sistema LPV. Los cuales permiten
representar una amplia clase de sistemas cuyo comportamiento es no lineal por naturaleza.
Una ventaja que presentan los observadores de entradas desconocidas, es que pueden
desacoplar la estimación de los estados de las entradas desconocidas, generando así residuos
robustos que pueden ser aplicados en esquemas de diagnóstico de fallas. Una de las
desventajas que presentan este tipo de observadores es que las matrices involucradas deben
ser conocidas de manera precisa.
Se desarrolló un modelo matemático que contiene un conjunto de ecuaciones diferenciales
que establecen el balance global de componente en cada etapa de la columna. Por la
dinámica propia del sistema, el modelo se presenta en una estructura triangular, lo que
facilita su uso en tareas de estimación de variables.
Se presentó el desarrollo para la obtención del modelo singular LPV de la columna de
destilación binaria, así como su validación mediante simulación de datos reales obtenidos
92
5.1. CONCLUSIONES
de la columna de destilación del CENIDET.
En el caso de la columna de destilación, las muestras se podrían realizar a través de un
cromatógrafo, es decir, las mediciones bajo esta técnica se hacen fuera de línea, por lo
cual se considera que son discretas. Los autores en Astorga et al. (2011) proponen un
algoritmo de diseño de observadores para el caso discreto. Para realizar la extensión de
este observador y aplicarlo a la columna de destilación, fue necesario discretizar el modelo
matemático singular LPV propuesto.
El observador, diseñado, es un observador de entradas desconocidas cuya principal
característica es que puede estimar simultáneamente los estados y los vectores de magnitud
de falla, los cuales son considerados como entradas desconocidas.
Los observadores politópicos sirven como base para el desarrollo del esquema FDD, el cual
tiene como objetivo detectar fallas aditivas en los actuadores de la columna (la resistencia
calefactora y la válvula de reujo). Debido a las características de la planta de destilación,
la detección de fallas se lleva a cabo mediante un banco de observadores de entradas
desconocidas a través de un esquema DOS (Dedicated observer scheme, por sus suglas
en inglés), donde cada observador utiliza una entrada y todas las salidas, permitiendo la
localización de fallas múltiples.
En las pruebas realizadas, la detección se obtuvo aproximadamente en 2 minutos después
de ocurrida la falla, esta consideración se tuvo en cuenta ya que en los cambios de punto
de operación, se presentaban picos, lo que se podría mal interpretar como una falla.
Se presentó su validación en simulación con datos reales de la columna de destilación
binaria del CENIDET.
Dentro de los aportes principales de este trabajo de tesis, esta en primer lugar, el desarrollo
de un modelo singular LPV que permite representar el comportamiento dinámico de la
columna de destilación en un amplio rango de operación, y que a la vez es más simple que
el modelo no lineal utilizado en trabajos previos.
En segundo lugar, es la aplicación a un sistema no lineal. El buen acercamiento entre
los estados estimados y los valores proporcionados por el modelo, y la estimación de
fallas en los actuadores, permite concluir que el esquema de diagnóstico presentado
puede ser utilizado para futuros trabajos sobre estrategias de control avanzadas para su
implementación en línea.
93
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS
5.2. Trabajos futuros
Diferentes temáticas pueden seguirse investigando a partir de este trabajo, principalmente
se consideran las siguientes:
Para la obtención de un modelo singular LPV, es un campo abierto, ya que se podría
considerar su desarrollo bajo otra formulación para la parte LPV. Este tipo de modelado
se podría extender a otras plantas y sería de gran ventaja ya que el modelo tendría validez
en un amplio rango de operación.
El esquema de diagnóstico podría usarse para esquemas de control avanzado como el
control tolerante a fallas, el cual estaría basado en ganancias programadas, así como
también su aplicación para sistemas de supervision.
La problemática de los picos presentes al realizar la estimacion de fallas en los actuadores
de la columna, se podría solucionar mediante otros métodos de integración es decir,
considerarse otros métodos como de Runge-Kutta. Por otra parte en la etapa de evaluación
de las fallas, sería conveniente la utilización de ventanas adaptables que cambien de acuerdo
a los puntos de operación, evitando así falsas detecciones.
Dado que en simulación el observador y el esquema de diagnóstico resultaron efectivos,
sería interesante probar su desempeño implementándolos en línea.
94
5.2. TRABAJOS FUTUROS
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102
Apéndice A
Terminología empleada en FDD
Modelos
Cualitativo. Emplea las relaciones dinámicas y estáticas entre variables y parámetros
del sistema para describir el comportamiento de un sistema en términos cualitativos,
tales como causalidades o reglas ( si... entonces ...).
Cuantitativo. Emplea las relaciones dinámicas y estáticas entre las variables y
parámetros del sistema para describir su comportamiento en términos matemáticos
cuantitativos.
Modos de operación de un sistema
Modo normal. Cuando la función del sistema es totalmente cumplida, considera un
modo nominal correspondiente a una calidad perfecta de la función.
Modo evolutivo. Cuando el sistema cambia de un modo de operación a otro.
Considera transitorios.
Modo anormal. Cuando la función es parcialmente o totalmente no cumplida, incluye
los modos con falla.
Características de un sistema FDD
Aislamiento. Habilidad de un proceso para distinguir (aislar) ciertas fallas especícas,
considerando que su tamaño es sucientemente grande.
103
APÉNDICE A. TERMINOLOGÍA EMPLEADA EN FDD
Robustez. Habilidad de un procedimiento de aislar fallas en la presencia de errores
de modelado, perturbaciones o entradas desconocidas.
Estados y señales
Avería. Interrupción permanente de una habilidad del sistema para desempeñar una
función requerida bajo condiciones de operación especícas.
Disturbio. Entrada desconocida (y no controlada) actuando en el sistema.
Error. Desviación entre un valor medido o calculado (de una variable de salida) y el
valor real, especicado o teóricamente correcto.
Falla. Desviación no permitida de al menos una de las propiedades o parámetros
característicos de una condición aceptable.
Malfunción. Irregularidad intermitente en el cumplimiento de la función deseada del
sistema.
Perturbación. Entrada actuando en el sistema, con efectos temporales en la salida
del sistema actual.
Residuo. Indicador de falla, basado en desviaciones entre mediciones y cálculos
basados en ecuaciones del modelo.
Síntoma. Cambio de una cantidad observable de un comportamiento normal.
104
Apéndice B
Colocación de polos en regiones LMI
Las denominadas regiones LMI se presentan en Chilali y Gahinet (1996). Incluyen regiones
tales como sectores, discos, conos, tiras, etc., así como las intersecciones de éstas. A
continuación se mencionan tres regiones LMI elementarias: una región α-estabilidad, un
disco y un sector cónico S(α, r, θ) .
Semiplano a la izquierda de α
Esta región garantiza que el sistema presenta un tiempo de respuesta máximo determinado,
que está asociado al valor de la parte real de los polos nominantes.
En la Fig. B.0.1 se observa la región donde se desea que los polos se encuentren, el área a
la izquierda del eje dibujado en α.
Figura B.0.1 Polos a la izquierda del eje imaginario desplazado α.
Para el caso del sistema lineal autónomo dado por la expresión x = Ax, se puede
105
APÉNDICE B. COLOCACIÓN DE POLOS EN REGIONES LMI
asegurar que los autovalores de A pertenecen a la región mostrada si se cumple la siguiente
condición:
AX +XAT + 2αX < 0
Disco con centro en (−q, 0) y radio r
Figura B.0.2 Región denida por un disco con centro en (−q, 0) y radio r.
Los autovalores de la matriz A pertenecen a dicho disco si existe una matriz X > 0, tal
que la siguiente expresión sea factible:
(−rX qX + AX
qX +XAT −rX
)< 0
Cono centrado en el origen, con ángulo θ
Esta región garantiza el amortiguamiento del sistema, debido a la restricción de la parte
imaginaria de los polos del sistema. En la Fig. B.0.3 se presenta esta región.
106
Figura B.0.3 Región denida por un cono centrado en el origen, con ángulo θ.
Dado el sistema x = Ax, se asegura que los autovalores de la matriz A pertenecen a dicho
cono si existe una matriz X > 0, tal que la siguiente expresión sea factible:
(sinθ(AX +XAT ) cosθ(AX −XAT )
cosθ(XAT − AX) sinθ(AX +XAT )
)< 0
107
Apéndice C
Representación no lineal del modelo de
la columna de destilación
Una representación no lineal del modelo de la columna presentado en el Capítulo 3,
considera el cálculo de y en función de x, a partir de sus relación con la presión del
componente P1, la presión atmosférica P y la temperatura del plato T , A12 y A21 son
parámetros de interacción constantes establecidos para mezclas binarias, A, B y C son los
coecientes de Antoine, donde:
P1 = 10A−B
T+C
G = eA12
A21(1−xi)
(A12xi+A21(1−xi))2
K =P1
P
yi = KxiG
Por tanto
yi =10A−
BT+C
Pxie
A12A21(1−xi)
(A12xi+A21(1−xi))2
y dado que las concentraciones están en función de la temperatura:
108
T = f(xi)
entonces
yi =10
A− Bf(xi)+C
Pxie
A12A21(1−xi)
(A12xi+A21(1−xi))2
De donde se obtiene nalmente una clara representación no lineal del modelo de la columna:
Para i = 1 (Condensador)
x1 =
VR
[(10
A− Bf(xi)+C
Pxie
A12A21(1−xi)
(A12xi+A21(1−xi))2
)− x1
]M1
Para i = 2, ..., f − 1 (sección de recticación)
xi =
VR
10A− B
f(xi)+C
Pxi+1e
A12A21(1−xi)
(A12xi+A21(1−xi))2
M1
−VR−
10A− B
f(xi)+C
Pxie
A12A21(1−xi)
(A12xi+A21(1−xi))2
Mi
+LR(xi−1−x1)Mi
Para i = f (plato de alimentación)
˙
xi =
Vs
10A− B
f(xi)+C
Pxf+1e
A12A21(1−xi)
(A12xi+A21(1−xi))2
Mf
−VR−
10A− B
f(xi)+C
Pxie
A12A21(1−xi)
(A12xi+A21(1−xi))2
Mf
−LRxf−1−LSxf+FxfMf
Para i = f + 1, ..., n− 1 (sección de empobrecimiento)
˙
xi =
VR−
10A− B
f(xi)+C
Pxi+1e
A12A21(1−xi)
(A12xi+A21(1−xi))2
Mi
−VR−
10A− B
f(xi)+C
Pxie
A12A21(1−xi)
(A12xi+A21(1−xi))2
Mi
+LS(xi−1−xi)Mi
109
APÉNDICE C. REPRESENTACIÓN NO LINEAL DEL MODELO DE LACOLUMNA DE DESTILACIÓN
Para i = n (hervidor)
xn =
LS(xn−1 − xn)− VS(
10A− B
f(xi)+C
Pxne
A12A21(1−xi)
(A12xi+A21(1−xi))2
)Mn
110
Apéndice D
Condiciones de operación del proceso
En este apéndice se muestran los parámetros utilizados en las simulaciones realizadas para
la validación de este trabajo.
Tabla D.0.1 Características de la planta de destilación
Descripción Valor UnidadesEtapas (N) 5
Platos perforados 3 Plato de alimentación (f) 3 Diámetro de los platos 10 cmAltura de los platos 10 cm
Diámetro del vertedero 0.5 cmCapacidad del hervidor 6 L
Capacidad del tanque recolector de destilado 1 LPotencia de calentamiento 0-2500 Watts
Tabla D.0.2 Especicaciones termodinámicas de los componentes de la mezcla etanol-
agua
Parámetro Etanol Agua UnidadesDensidad (ρi) 0.789 1 g/cm3
Peso molecular (Wi) 46.069 18.01528 gTemperatura de ebullición (Tbi) 78.4 100 °C
Calor especíco (Cpj) 0.1124 0.192 kJ/mol°CConstante Antoine Ai 8.1120 8.07131 Constante Antoine Bi 1592.864 1730.630 Constante Antoine Ci 226.184 233.426
111
APÉNDICE D. CONDICIONES DE OPERACIÓN DEL PROCESO
Tabla D.0.3 Parámetros iniciales de pruebas
Parámetro Valor UnidadesVolumen de EOH en el hervidor 2000 mlVolumen de H2O en el hervidor 2000 ml
Presión total del proceso 662 mmHg
Tabla D.0.4 Entradas del proceso - Validación del modelo (Sim. 3.4.1)
Entrada Señal Tiempo de inicioQb Escalón 0 - 2000 Watts 0 minR Total 0 minR Pulso (ton = toff = 6s) 170 minR Total 180 min
Tabla D.0.5 Validación observador singular LPV continuo (Sim. 4.4.1)
Entrada Señal Tiempo de inicio
Qb Escalón 0 - 2000 Watts 0 minR Total 0 minQb Escalón 2000 - 2500 Watts 25 min
Tabla D.0.6 Validación del observador singular LPV discreto (Sim. 4.4.2 )