cenidet Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Departamento de Ingeniería Electrónica TESIS DE MAESTRIA EN CIENCIAS Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico presentada por Juan Francisco Aguilera Zepeda Ing. Electrónico por el Instituto Tecnológico de Tuxtla Gutiérrez como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica Director de tesis: Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez Co-director de tesis: Dr. Abraham Claudio Sánchez Revisores de Tesis: Dr. Manuel Adam Medina Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza Cuernavaca, Morelos, México 26 de Febrero 2010
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cenidet
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
LISTA DE FIGURAS ..................................................................................................................................................... v
LISTA DE TABLAS ...................................................................................................................................................... ix
NOTACIÓN ..................................................................................................................................................................... xi
1.1. UBICACIÓN DEL PROBLEMA..................................................................................................................... 1
1.2. ESTADO DEL ARTE ........................................................................................................................................ 2
1.2.1. Los vehículos eléctricos ................................................................................................................ 2
2. MOTOR DE INDUCCIÓN ................................................................................................................................. 13
3.6.3. Fuentes de CD ................................................................................................................................. 33
Figura 1.1. Diagrama de un Vehículo Eléctrico. ...................................................................................................................... 2
Figura 1.2. Esquema de una batería eléctrica. ......................................................................................................................... 4
Figura 1.3. Modelo de batería ideal. ............................................................................................................................................. 5
Figura 1.4. a) Motor de imanes permanentes. b) Motor de Inducción. ........................................................................... 6
Figura 1.5. Inversor trifásico [19]. ................................................................................................................................................ 7
Figura 1.6. Sistema de propulsión básico de un VE [14]. ...................................................................................................... 8
Figura 1.7. Etapas de estudio. ......................................................................................................................................................... 8
Figura 2.2. Clasificación del motor eléctrico. ......................................................................................................................... 14
Figura 2.4. Circuito equivalente monofásico para un motor de inducción polifásico. .......................................... 16
Figura 2.5. Circuito equivalente alternativo [13]................................................................................................................. 16
Figura 2.3. Modelo transformador de un motor de inducción [9]. ................................................................................ 16
Figura 2.6. MI de dos polos simétrico conectado en Y. ....................................................................................................... 18
Figura 2. 7. Voltajes de alimentación de estator. ................................................................................................................. 21
Figura 2.8. Corrientes de estator y rotor. ................................................................................................................................ 22
Figura 2.9. Gráfica par. Velocidad del rotor. .......................................................................................................................... 22
Figura 2.10. Gráfica Par-Velocidad MI. .................................................................................................................................... 23
Figura 3.2. Inversor trifásico. ....................................................................................................................................................... 26
Figura 3.3. Modulación PWM sinusoidal [28]. ....................................................................................................................... 27
Figura 3.4. Hexágono de tensiones y generación de un vector voltaje. ....................................................................... 28
Figura 3.5. Método de generación de PWM sinusoidal. ..................................................................................................... 29
Figura 3.7. Voltajes de línea del modelo del inversor. ........................................................................................................ 31
Figura 3.6. Voltajes de fase del modelo del inversor. .......................................................................................................... 31
vi CONTENIDO
Figura 3.8. Módulo de IGBT CM100DY-12H. .......................................................................................................................... 32
Figura 3.9. a) Circuito integrado M57959L. b) Circuito impulsor. ................................................................................ 33
Figura 3.10. Circuito impulsor implementado + IGBT. ...................................................................................................... 33
Figura 3.11. a) Fuentes de ±15 volts. b) Fuentes de ±5 volts. .......................................................................................... 34
Figura 3.12. Disipador HS MARSTON 890SP-03000-A-100-300MM. ........................................................................... 34
Figura 3.13. Inversor completo. .................................................................................................................................................. 35
Figura 4.2. Señal de referencia, portadora y PWM generados (simulación 1) ......................................................... 40
Figura 4.3. Señal de referencia, portadora y PWM generados (simulación 2). ........................................................ 40
Figura 4.4. Voltajes de fase vas, vbs y vcs (simulación 1). ..................................................................................................... 41
Figura 4.5. Voltajes de fase vas, vbs y vcs (simulación 2). ..................................................................................................... 41
Figura 4.6. Voltajes de línea VAB, VBC y VCA (simulación 1). ......................................................................................... 42
Figura 4.7. Voltajes de línea VAB, VBC y VCA (simulación 2). ......................................................................................... 42
Figura 4.8. Corrientes de estator y rotor (simulación 1)................................................................................................... 43
Figura 4.9. Corrientes de estator y rotor (simulación 2)................................................................................................... 43
Figura 4.10. Par electromagnético y velocidad mecánica del rotor (simulación 1). ............................................. 44
Figura 4.11. Par electromagnético y velocidad mecánica del rotor (simulación 2). ............................................. 44
Figura 4.12. Curva par – velocidad (simulación 1). ............................................................................................................ 45
Figura 4.13. Curva par – velocidad (simulación 2). ............................................................................................................ 45
Figura 4.14. Arriba: Señales de referencia y portadora. Abajo: PWMa obtenido. .................................................. 47
Figura 4.15. PWMa y PWMa negado......................................................................................................................................... 48
Figura 4.16. Señales de compuerta para un módulo de IGBT. ........................................................................................ 48
Figura 4.17. Voltaje de fase vas. ma=0.8 y mf=0.00327. ....................................................................................................... 49
Figura 4.18. Voltaje de línea VAB. ma=0.8 y mf=0.00327. ................................................................................................... 49
Figura 4.19. Corriente de estator ia. ma=0.8 y mf=0.00327. .............................................................................................. 50
Figura 4.20. FFT de Vas. ma=0.8 y mf=0.00327. ...................................................................................................................... 50
Figura 4.21. Voltaje de fase vas. ma=0.976 y mf=0.00327. .................................................................................................. 51
Figura 4.22. Voltaje de línea VAB. ma=0.976 y mf=0.00327. .............................................................................................. 51
Figura 4.23. Corriente de estator ia. ma=0.976 y mf=0.00327. ........................................................................................ 52
Figura 4.24. FFT de Vas. ma=0.976 y mf=0.00327. ................................................................................................................. 52
Figura 4.25. Voltajes y corrientes de prueba de arranque suave. .................................................................................. 55
Figura 4.26. Corrientes y voltajes de estado estacionario (arranque). ....................................................................... 56
Figura 4.27. Corrientes y voltajes del control de velocidad en lazo abierto. ......................................................... 57
Figura A5.1. Inversor monofásico de medio puente. ........................................................................................................... 81
Figura A5.2. Inversor monofásico de puente completo. ..................................................................................................... 83
Figura A6.1. Combinaciones de conmutación y hexágono de tensiones. ................................................................... 86
Figura A6.2. Vector de referencia en el sector I. ................................................................................................................... 87
Figura A6. 3. Ciclo de conmutación............................................................................................................................................ 88
L I S T A DE T A B L A S
LI ST A DE T AB L A S
Tabla 1.1. Parámetros de las baterías. ........................................................................................................................................ 4
Tabla 2.1. Parámetros de un vehículo eléctrico………………………………………………………………………………...…20
Tabla 4.1. Características de los motores utilizados……………………………………………………..……………………...37
Tabla 4.2. Coeficientes del motor de 15 hp y 1 hp…………………………………………………………………………………38
Tabla 4.3. Valores de estado estacionario del motor IDNM3581T………………………………………………………….39
Tabla 4.4. Variantes de las simulaciones…………………………………………………………………………..…………………39
Tabla 4.5. Valor RMS y THD de voltajes y corrientes de planta……………………………………………..,………………46
Tabla 4.6. Resultados de pruebas experimentales…………………………………………………………………...…………...53
Tabla 4.7. Relación voltaje/frecuencia + velocidad…………………………………………………………………..………….54
Tabla A6.1. Valores de los vectores de voltaje del hexágono de tensiones. ................................................................ 87
N O T A C I Ó N
N O T ACIÓ N
SÍMBOLOS Letras mayúsculas
Amplitud de la señal portadora en volts (V)
Amplitud de la señal de referencia (V)
Coeficiente de fricción viscosa (N/m/s)
Voltaje interno del rotor (V)
Voltaje de estator (V)
Función de disipación de energía eléctrica
Función de disipación de energía mecánica
Vector de corrientes
Vector de corrientes del rotor
Vector de corrientes del rotor reflejado al estator
Vector de corrientes del estator
Corriente de magnetización (A)
Corrientes de rotor (A)
Corriente de alimentación o de estator (A)
Momento de inercia del motor (J•s)
Matriz de inductancias
Inductancias propias del rotor y estator (x indica rotor o estator)
Inductancias mutuas de rotor a rotor o de estator a estator (x indica
rotor o estator; y, z indican fases) (H).
Inductancias mutuas de estator a rotor (y,z indican fases) (H)
Matriz de inductancias de los devanados del estator
Inductancia de dispersión del rotor (H)
Inductancia de dispersión del rotor reflejada al estator (H)
Inductancia de dispersión del estator (H)
Inductancia de magnetización del rotor (H)
Inductancia de magnetización del estator (H)
Matriz de inductancias del rotor
xii CONTENIDO
Matriz de inductancias del rotor reflejada al estator
Matriz de inductancias del estator
Matriz de inductancias de estator a rotor
Matriz de entradas
Potencia electromecánica (W)
Potencia transferida a través del entrehierro (W)
Potencia de salida del motor (W o hp)
Pérdidas en el rotor (W)
Matriz de resistencias del rotor reflejada al estator
Matriz de resistencias de estator y rotor del motor
Resistencia de pérdidas del núcleo (Ω)
Co-energías cinéticas del subsistema mecánico
Par electromecánico (N•m)
Co-energías cinéticas del subsistema mecánico
Energía potencial eléctrica
Energía potencial mecánica
Magnitud del voltaje del primer armónico (fundamental) (V)
Vector de voltajes del rotor reflejado al estator
Voltaje de fase (V)
Voltaje de línea (V)
Voltaje de la fuente de CD (V)
Reactancia de magnetización (H)
Reactancia del rotor (H)
Reactancia de dispersión del rotor (H)
Reactancia de dispersión (H)
Impedancia de magnetización (Ω)
Impedancia del rotor reflejada al estator (Ω)
Letras minúsculas
Frecuencia de la señal portadora (Hz)
Frecuencia eléctrica (Hz)
Frecuencia del voltaje de salida (Hz)
Frecuencia de deslizamiento (Hz)
Frecuencia de referencia (Hz)
Variables de conmutación
Índice de modulación
Índice de frecuencia
Velocidad de deslizamiento (rpm)
Velocidad del rotor (rpm)
Velocidad síncrona (rpm)
Resistencia de rotor reflejada al estator (Ω)
Resistencia de estator (Ω)
Deslizamiento
Vector de entradas
Velocidad (rpm)
Voltajes de línea (V)
Voltajes de fase (V)
Letras griegas
Eficiencia
Eficiencia de transmisión
Posición mecánica (rad)
Segunda derivada de (rad/s2)
Posición eléctrica del rotor (rad)
Posición del rotor o desplazamiento angular del rotor (rad)
Derivada de (rad/s)
Segunda derivada de (rad/s2)
Vector de enlaces de flujo
Vector de enlaces de flujo del rotor reflejado al estator
Enlaces de flujo en el estator (Wb)
Coeficiente de fricción de un vehículo
Par electromecánico (N•m)
Par de carga (N•m)
Frecuencia del voltaje de salida (rad/s)
Velocidad angular eléctrica (rad/s)
Velocidad del rotor (rad/s)
Velocidad síncrona (rad/s)
Caracteres especiales Función de disipación de Rayleigh
Lagrangiano del sistema
Lagrangiano del sistema eléctrico
Lagrangiano del sistema mecánico
xiv CONTENIDO
ABREVIATURAS Y ACRÓNIMOS
Letras mayúsculas Corriente Alterna
Corriente directa
Procesador digital de señales
Transformada rápida de Fourier
MI Motor de inducción
Modulación de ancho de pulsos
Modulación vectorial de espacio
Distorsión armónica total
Vehículos de combustión interna
Vehículos eléctricos
Vehículos híbridos
Caracteres especiales Euler-Lagrange
Superíndices
Transpuesta
CONSTANTES Letras mayúsculas
Área frontal de un vehículo (m2)
Coeficiente aerodinámico de un vehículo
Coeficiente de transmisión
Letras minúsculas
Coeficiente de potencia o proyección ortogonal del voltaje Masa (kg)
Radio de las llantas (m)
C A P Í T U L O 1
I N T RO DU CCIÓ N
[1-39]
1.1. UBICACIÓN DEL PROBLEMA
Los vehículos de combustión interna (VCI) han llegado a ser indispensables para el desarrollo de la
sociedad, esto se debe en gran medida a que ellos pueden transportar personas o cargas a varios
cientos de kilómetros en tiempos relativamente cortos.
Como se sabe los VCI usan combustibles fósiles para impulsar los motores de combustión
interna, que permiten el movimiento de estos vehículos. En la actualidad se observan algunos
problemas económicamente hablando a consecuencia del petróleo (combustible fósil), por la
disminución de sus reservas. Entonces la dependencia directa de los VCI con el petróleo y la
combinación de la escasez de dicho combustible, tarde o temprano generarán problemas para
seguir usando los VCI.
Por otro lado, los VCI contribuyen al incremento de los problemas de contaminación
atmosférica como consecuencia de los gases contaminantes (monóxido de carbono,
hidrocarburos, óxidos de nitrógeno, el plomo y las partículas suspendidas totales) que se emiten
por el uso de combustibles fósiles.
Existen otros combustibles alternativos entre los que podemos encontrar los
biocombustibles (son aquellos que se obtienen de biomasa, es decir, de organismos
recientemente vivos -plantas- o sus desechos metabólicos -estiércol-) o la energía eléctrica
(utilizada en vehículos eléctricos con fuentes de propulsión netamente eléctricas).
A nivel mundial, la experimentación con vehículos eléctricos (VE) lleva un recorrido de
prácticamente dos siglos, desde las primeras pruebas con VE en Europa en 1830, y después la
invención del primer VE por la R. Davison en 1873. Sin embargo, el avance en esta área se detuvo
por la invención del modelo T de Ford en 1909 (vehículo que contaba con un motor de combustión
interna), ya que a partir de esta fecha se produjo un gran desarrollo entorno a los VCI [7].
Es hasta 1960 cuando los VE comenzaron a figurar en el interés de las investigaciones con
propósitos de comercio y cuestiones ecológicas.
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
2 CAPÍTULO 1
En México, los primeros VE fueron importados de Estados Unidos y desarrollados
originalmente para ambientes industriales y propósitos recreativos. Estos vehículos fueron
adaptados y armados en México para un nicho específico del mercado (distribución de mercancía),
pero aún no se distribuyen de modo que sustituyan a los VCI.
La investigación del vehículo eléctrico en México es prácticamente de reciente nacimiento,
en cuanto a su investigación se refiere. En el CENIDET la investigación en vehículos eléctricos está
iniciando y se cuenta con investigaciones que tratan ciertas partes que conforman al VE (baterías,
motores). En la figura 1.1 se pueden apreciar los componentes (principales) de un VE [20].
Hoy en día los VE mejoran cada vez más sus prestaciones, tanto en velocidad (tan es así
que algunos vehículos pueden considerarse veloces), como en su autonomía. En la actualidad, en
México ya se están introduciendo los primeros VE, por parte de las grandes empresas dedicadas a
la venta de VCI (Nissan, Ford, etc.), y por la empresa Zilent, dedicada exclusivamente a la venta de
VE.
En resumen, el empleo de VCI tendrá problemas en un futuro no muy lejano, debido a la
dependencia de éstos con los combustibles fósiles, de ahí que sea importante el estudio de otras
alternativas para sustituir el uso de VCI por VE y de esta manera hacer uso de energías renovables.
1.2. ESTADO DEL ARTE
1.2.1. Los vehículos eléctricos
En la literatura se pueden encontrar diversos trabajos que tratan el estudio de un VE completo o
en partes. En algunos casos el estudio del VE es a partir de vehículos híbridos (VH). En [4] se
aborda el estudio de un VE (el U20001) en donde se integra un sistema de administración de la
energía para su funcionamiento; este sistema da prestaciones al vehículo que están directamente
relacionados con el uso de la energía eléctrica.
Controlador Electrónico
Convertidor de Energía
Motor Transmisión Diferencial
Señales de Referencia
(Aceleración y frenado)
Fuente de Energía
Cargador
Llanta
Llanta
Aceleración
Frenado
R.
Enlace Eléctrico (Línea de Control) Enlace Mecánico
Figura 1.1. Diagrama de un Vehículo Eléctrico.
Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico
CENIDET 3
Este prototipo funciona como laboratorio móvil debido a que su motor, baterías o
convertidor pueden ser sustituidos con el objeto de utilizarlo como modelo de estudio, lo cual es
ideal para la Universidad de Hong Kong en donde ha sido implementado este trabajo. En el
presente trabajo en unión con varias tesis pretenden realizar un prototipo para que funcione de
manera similar al hecho por la universidad de Hong Kong en cuanto al ámbito académico se
refiere.
En [4] se aborda un VH (el Toyota Prius) que combina un motor de cuatro cilindros con un
motor eléctrico de imanes permanentes. El primer motor se utiliza de dos formas: propulsor para
el vehículo y generador para el sistema eléctrico según sean las condiciones de operación. Es por
ello que la autonomía de este vehículo por litro de gasolina es muy superior a los automóviles
convencionales.
En [8] se aborda un estudio en donde se considera a un vehículo con múltiple tracción (un
motor por rueda delantera), esta implementación permite que el tamaño de los motores
disminuya y las prestaciones del vehículo sean mayores; el GM Impact realiza un trabajo similar
con la particularidad de desacoplar las tracciones delanteras.
En cuanto a la tecnología de los dispositivos de potencia del inversor cada autor difiere, en
[5] se utilizan MOSFETs, mientras que en [8] el Nissan FEV utiliza IGBT, y el inversor del BMW E1
[5] tiene la particularidad de ser controlado por IGBT o MOSFET. La utilización de un dispositivo
semiconductor u otro, de acuerdo con la velocidad de conmutación puede reducir las pérdidas por
encendido-apagado [6]. De acuerdo con el transistor que se elija para hacer el inversor se
contaran con más o menos prestaciones de velocidad en conmutación.
En otras investigaciones, se aborda el tema de los VE a partir de adaptaciones de los VCI.
Pero estos vehículos adaptados tienden a ser lentos; sin embargo son ideales para hacer pruebas
de las diferentes partes del sistema eléctrico ya que su construcción es menos costosa; un ejemplo
claro lo muestra [38] en donde se observa la eficiencia de un inversor.
En [32] se han desarrollado y diseñado vehículos para funcionar especialmente como
eléctricos, por lo que son vehículos con capacidad para dos personas, lo cual hace que los
automóviles sean relativamente pequeños, por tanto poco pesados a diferencia de los VE
desarrollados en [38].
1.2.2. Baterías
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
4 CAPÍTULO 1
Una de las limitantes de los VE se encuentra en la autonomía que éstos pueden ofrecer contra la
que ofrecen los VCI. La autonomía de todo vehículo de combustión interna está en función del
rendimiento del combustible que utilizan, las baterías o acumuladores eléctricos (figura 1.2) hacen
la función de combustible en los VE.
Algunos vehículos cuentan con sistemas de administración de energía [11] que se encarga
de controlar y regular el flujo de energía en las diferentes partes del VE, incluyendo en ciertos
casos servicios de lujo (aire acondicionado). Todo este sistema ayuda a maximizar el
aprovechamiento de la carga de las baterías.
Los parámetros de las baterías determinan las prestaciones que finalmente tendrá el
vehículo eléctrico, dentro de éstos encontramos la energía específica (Wh/kg) que condiciona la
autonomía, potencia específica (W), y la duración de la batería que determina el número de ciclos
de carga y descarga que podrán efectuarse asegurando un rendimiento energético aceptable.
En la actualidad existen diversas baterías que mejoran la energía específica que se les
puede demandar de acuerdo con el material del que están hechas; en la tabla 1.1 se muestran los
parámetros más importantes de las baterías construidas con diferentes materiales.
Hoy en día, las baterías de níquel cadmio y las de plomo ácido son las de mayor
popularidad para transformaciones de vehículos debido a su bajo costo y mayor disponibilidad en
el mercado, por otra parte la baja energía específica de estas baterías disminuyen la autonomía de
los VE. Sin embargo, el desarrollo que pueda tener este elemento en el futuro es esencial para la
evolución del vehículo eléctrico.
Tabla 1.1. Parámetros de las baterías.
Figura 1.2. Esquema de una batería eléctrica.
Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico
CENIDET 5
Tipo Energía / peso Tensión por
elemento (V)
Duración
(número de
recargas)
Tiempo de
carga
Auto-descarga
por mes (% del
total)
Pb-Ácido 30-50 Wh/kg 2 V 1000 8-16h 5 %
Ni-Cd 48-80 Wh/kg 1.25 V 500 10-14h 30%
Ni-Mh 60-120 Wh/kg 1.25 V 1000 2h-4h 20 %
Li-ion 110-160 Wh/kg 3.16 V 4000 2h-4h 25 %
Li-Po 100-130 Wh/kg 3.7 V 5000 1h-1,5h 10%
Para propósitos de modelado, en la literatura se pueden encontrar diferentes modelos de
las baterías, en [15] se muestra uno bastante completo para simular en Pspice® pero el modelado
de la batería es muy complejo. En la literatura se encuentran diferentes modelos de baterías:
Ideal, Lineal y Thevenin, éste último, por su modelo, es uno de los más completos, pero sin caer
en demasiada complejidad. Aunque el modelo ideal (figura 1.3) es de menor complejidad, esto no
impide que dicho modelo no sea utilizado para VE.
1.2.3. Motores
Un motor eléctrico es una máquina que transforma energía eléctrica en energía mecánica por
medio de interacciones electromagnéticas. La mayoría de los motores eléctricos son reversibles,
es decir, pueden funcionar como generadores. Estos motores presentan muchas ventajas respecto
a los motores de combustión interna: a igual potencia su tamaño y peso son más reducidos, se
pueden construir de cualquier tamaño; tienen un par de giro elevado, según el tipo de motor,
prácticamente constante, y su rendimiento es muy elevado (típicamente en torno al 80%,
aumentando el mismo a medida que se incrementa la potencia de la máquina).
Para usarlos en aplicaciones de VE los motores deben cumplir ciertos requisitos: alta
densidad de potencia (potencia-peso), eficiencia y bajo costo.
En la figura 4.26 se aprecia que se establecen corrientes sinusoidales y sus voltajes tal
como se sucede en las pruebas de cambio de índices de modulación y frecuencia. También se
observan tiempos negativos en la prueba debido a que los resultados mostrados son datos
capturados a través del osciloscopio.
Pensando en el vehículo eléctrico se realizó una prueba más para emular la aceleración y
desaceleración del vehículo. Para lograr lo anterior, se implementó como referencia (pedal de
aceleración) un potenciómetro y su salida de voltaje se conectó en uno de los convertidores
analógico digital del DSP. De acuerdo con el nivel de voltaje se debe acelerar o desacelerar el
motor del vehículo; para lo cual, se implementó el circuito de la en Simulink® (la implementación
de este circuito se hizo en colaboración con el M.C. Miguel Ángel Durán).
En el archivo Control_V_F emula el comportamiento anterior usando un potenciómetro
para dar la referencia del punto de operación del motor. El archivo está en el disco anexo a esta
tesis en: \Carpeta Electrónica\Programas DSP.
A partir del circuito desarrollado realizó la prueba correspondiente, al la cual se alimentó
al bus de CD con 150V. La prueba que se hizo con cambios de referencia aleatorios en el
acelerador (potenciómetro) para ver como respondía el motor de inducción.
Figura 4.25. Corrientes y voltajes de estado estacionario (arranque).
Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico
CENIDET 57
0 5 10 15 20 25 30 35
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Corriente de fase A
Co
rrie
nte
(A)
Ia
0 5 10 15 20 25 30 35
-10
-5
0
5
10
Corriente de la fuente de CD
Is
0 5 10 15 20 25 30 35
-150
-100
-50
0
50
100
150
Voltaje de línea AB
Tiempo(s)
Vo
lts(V
)
VAB
0 5 10 15 20 25 30 35
-100
-50
0
50
100
Voltaje de fase A
Tiempo(s)
VAN
En la figura 4.27 se aprecia el comportamiento de las corrientes de entrada y salida del
inversor (ésta última es la corriente de entrada del motor), y voltajes de entrada del motor. En
cuanto a los voltajes mostrados lo único que se puede aseverar es que se incrementa la frecuencia
de conmutación en cuanto existe el primer cambio de referencia, de ahí en adelante no se
distinguen los cambios de referencia debido a la baja resolución de los datos obtenidos del
osciloscopio, esta situación no se puede mejorar por la capacidad del instrumento de medición.
Sin embargo, los cambios de referencia se aprecian perfectamente en las magnitudes de las
corrientes de entrada y salida del inversor; cada incremento de corriente de la corriente en la
figura 4.27 fue acompañado con un aumento de en la velocidad del rotor, análogamente, las
disminuciones de corriente se asociaron con un frenado del motor.
Las observaciones hechas de esta última prueba muestran que el motor está operando en
lazo abierto, con lo cual se cumple con uno de los objetivos de la tesis.
4.6. CONCLUSIONES
A partir de las simulaciones se percibió que existe siempre un compromiso entre el nivel
de THD de una señal de salida del inversor y su respectivo valor RMS. Bajo ninguna circunstancia
ambas características de la señal tendrán su valor máximo con un mismo índice de modulación y
frecuencia.
Figura 4.26. Corrientes y voltajes del control de velocidad en lazo abierto.
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
58 CAPÍTULO 4
La primer prueba presentada corroboró los resultados obtenidos en el simulador, debido
que al mejorar la THD el valor eficaz de obtenido decreció. Con la segunda prueba experimental se
logró mantener los niveles de la corriente de arranque relativamente bajos comparados con los de
un arranque duro; el poder controlar la demanda de corriente es indispensable para maximizar la
autonomía del vehículo eléctrico, ya que la fuente de energía en el vehículo es finita.
Finalmente, se combinó el control de la velocidad del vehículo con la técnica de arranque
del mismo, para asegurar que la demanda de corriente a las baterías varíe paulatinamente y no en
forma de un escalón de corriente. Además de asegurar un par constante proporcionado por el
motor cuando se acelera, ya que éste se encuentra relacionado directamente con el cambio de
voltaje y frecuencia de alimentación que son las variables controladas.
C A P Í T U L O 5
CO N CL U SI ON E S
[1-39]
5.1. CONCLUSIONES
El trabajo central de esta tesis gira alrededor del sistema de propulsión de un vehículo eléctrico,
para ello se realizó el estudio del motor de inducción tipo jaula de ardilla y el estudio del inversor
trifásico de puente.
Para llevar a cabo las simulaciones correspondientes del sistema de propulsión se
comprendió el modelo del motor de inducción tipo jaula de ardilla, y el modelo del inversor, así
como diferentes técnicas para generar modulaciones, de las cuales se escogió la modulación PWM
sinusoidal.
El comportamiento de los modelos utilizados se validó con los experimentos realizados en
el laboratorio de máquinas eléctricas, para esto, se realizaron las pruebas bajo las mismas
condiciones: par demandado cero, mismo bus de CD, voltaje trifásico generado por el inversor.
También se utilizaron los parámetros obtenidos del motor de inducción.
Las simulaciones del capítulo 2 permitieron conocer el funcionamiento de la máquina de
inducción como motor, es decir, en ningún momento la velocidad del rotor fue superior a la
velocidad síncrona, de ahí que el par obtenido del motor se estabilizara en un valor cercano a cero,
pero positivo. El valor bajo del par se debió a que la demanda de par era prácticamente nula, ya
que el motor no tenía ninguna carga conectada; por lo que sólo se necesitó el par para mover al
rotor.
Para controlar el motor a través del inversor se utilizó un control proporcional que
permitió suministrar un voltaje proporcional a la frecuencia de alimentación dependiendo siempre
de una referencia. Se logró controlar el motor usando la técnica anterior y un potenciómetro para
indicar la referencia, haciendo de éste la función del pedal de aceleración en un vehículo.
El control de los voltajes y corrientes de salida se da a partir de los índices de modulación.
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
60 CAPÍTULO 5
Las tensiones y corrientes de alimentación del motor decrecen conforme el índice de
modulación aumenta, del mismo modo que sucede para el índice de frecuencia; lo anterior se
puede observar en los experimentos mostrados en las secciones 4.2 y 4.3. El fenómeno antes
descrito se debe, esencialmente, a que el voltaje generado se vuelve cada vez más pulsante
conforme se incrementan los índices de modulación y frecuencia.
El factor de distorsión armónica total también depende de los índices de modulación y
frecuencia; conforme estos índices aumentan el THD de los voltajes y corrientes de salida del
inversor disminuyen. A diferencia de la magnitud de los voltajes y corrientes de salida, los valores
de THD de estas señales se prefieren bajos en lugar de altos; ya que entre más bajo sea el valor
del THD se obtiene menos contenido armónico en los voltajes y corrientes de salida. Lo anterior se
traduce en menos energía desperdiciada por el motor de inducción debido a que el motor utiliza,
esencialmente para trabajar, la energía de la fundamental de una señal.
En general, la operación del modulador PWM en el DSP para un inversor trifásico de
puente, empleando la técnica de modulación PWM sinusoidal, es satisfactoria debido a que
diferentes variables del motor (par, velocidad, corrientes y voltajes) mantienen su
comportamiento, aunque el contenido armónico aún sea alto.
La obtención de voltajes y corrientes balanceadas es gracias al desfasamiento entre las
señales de referencia y la igualdad de magnitud entre estas señales, en la técnica de modulación
PWM implementada a través del DSP. Ello permite que dichas señales se encuentren desfasadas lo
más cercano a 120° una de la otra, y las magnitudes sean lo más semejante posibles.
La programación en Simulink® (Matlab®) empleando la programación por bloques y
algunos algoritmos, permite una implementación sencilla de la técnica de modulación PWM
sinusoidal en simulación, y da la facilidad de modificar los índices de modulación y frecuencia de
manera muy simple.
En cuanto a la implementación del programa para los experimentos, la librería con la que
cuenta el DSP TMS320F2812 dentro de Matlab® facilita en gran medida la implementación de la
técnica de modulación.
Cabe aclarar que el sistema de propulsión, para el vehículo eléctrico, se encuentra en
laboratorio y está operando en lazo abierto. Se espera que en un futuro se pueda cerrar el lazo de
control y que el sistema de propulsión se implemente en un vehículo con miras a desarrollar un
vehículo eléctrico completo (incluyendo sistema de frenado regenerativo y la implementación de
convertidores CD-CD).
Cuando el vehículo eléctrico se implemente deben de considerarse los problemas que
genera mantener la fuente de CD conectada al inversor antes de que el DSP esté operando, ya que
Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico
CENIDET 61
éste puede cortocircuitar la fuente de CD habilitando dos IGBT de una misma rama al momento de
reiniciarse. Por lo anterior es recomendable que se tenga un interruptor controlado por el DSP que
mantenga en todo momento desconectado al bus de CD, hasta que el DSP esté listo para operar al
inversor.
5.2. TRABAJOS FUTUROS
Esta tesis es solamente parte del trabajo de investigación que se puede realizar en el área de
vehículos eléctricos. Por lo cual, se proponen los siguientes trabajos futuros:
Adaptación del sistema de propulsión al vehículo eléctrico.
Implementar en simulación el esquema del sistema de propulsión del vehículo eléctrico
junto con el vehículo funcionando como carga.
Realizar un controlador en lazo cerrado de la planta. Se pueden considerar diferentes
esquemas de control,
Analizar la posibilidad de cambiar el tipo de motor utilizado, para comparar el desempeño
entre diferentes motores para esta aplicación.
Hacer un análisis completo de la calidad de las señales obtenidas por el inversor para esta
aplicación en especial.
Implementar la modulación vectorial con la planta construida en este trabajo y verificar el
comportamiento y calidad de voltajes obtenidos en comparación con la técnica de PWM
sinusoidal.
R E F E R EN CI AS
1. Analog Devices Inc, Implementing Space Vector Modulation with the ADMC300 AN300-17. 2000, Analog Devices Inc.: EUA. p. 22.
2. Analog, D.I., Implementing Space Vector Modulation with the ADMC300 AN300-17. 2000, Analog Devices Inc.: EUA. p. 22.
3. Bose, B.K., Power electronics and variable frequency drives : technology and applications. 1997, Piscataway, NJ: IEEE Press. xix, 640 p.
4. Chan, C.C., Electric vehicles charge forward, in IEEE power & energy. 2004. p. 24-33.
5. Chan, C.C., Present status and future trends of electric vehicles. International Conference on Advances in Power System Control, Operation and Management, 1993: p. 456-469.
6. Chan, C.C., An overview of electric vehicle technology. Proceedings of the IEEE, 1993. 81: p. 1202-1213.
7. Chan, C.C. and K.T. Chau, An overview of power electronics in electric vehicles. Industrial Electronics, IEEE Transactions on, 1997. 44(1): p. 3-13.
8. Chan, C.C. and K.T. Chau, Power electronics challenges in electric vehicles. Conference on Industrial Electronics, Control and Intrumentation, 1993. 2: p. 701-706.
9. Chapman, S.J., Electric machinery fundamentals. 3rd ed. McGraw-Hill series in electrical and computer engineering. 1999, Boston: McGraw-Hill. xviii, 716 p.
10. Durán, M., G. Guerrero-Ramírez, and A. Claudio, Determinación de los requerimentos de par, velocidad angular y potencia para el motor de un vehículo eléctrico. AMCA, 2009: p. 1-6.
11. Ehsani, M., Modern electric, hybrid electric, and fuel cell vehicles : fundamentals, theory, and design. Power electronics and applications series. 2005, Boca Raton: CRC Press. 395 p.
12. Enriquez Harper, G., El abc del control electrónico de las máquinas eléctricas[ Texto impreso]. 2003, México [etc.]: Limusa Noriega Editores. 401 p.
13. Fitzgerald, A.E., C. Kingsley, and S.D. Umans, Electric machinery. 6th ed. McGraw-Hill series in electrical engineering. Power and energy. 2003, Boston, Mass.: McGraw-Hill. xv, 688 p.
14. Gaurav, N. and C.K. Narayan. A Survey and Comparison of Characteristics of Motor Drives Used in Electric Vehicles. in Electrical and Computer Engineering, 2006. CCECE '06. Canadian Conference on. 2006.
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
64 REFERENCIAS
15. Glass, M.C. Battery electrochemical nonlinear/dynamic SPICE model. in Energy Conversion Engineering Conference, 1996. IECEC 96. Proceedings of the 31st Intersociety. 1996.
16. Gonzalez-Longatt, F.M., Modulación por Vector Espacial de Voltaje -Introducción-, in Reportes de Investigación. 2004: Venezuela. p. 7.
17. Gulhane, V., M.R. Tarambale, and Y.P. Nerkar. A Scope for the Research and Development Activities on Electric Vehicle Technology in Pune City. in Electric and Hybrid Vehicles, 2006. ICEHV '06. IEEE Conference on. 2006.
18. Hernández Sánchez, A.M., Análisis Modelado y Simulación de la Operación de Sistemas de Generación Eoloeléctrica Basados en Generadores de Inducción Tipo Jaula de Ardilla, in Electronic. 2008, Cenidet: Cuernavaca, México.
19. Holmes, D.G. and T.A. Lipo, Pulse width modulation for power converters : principles and practice. 2003, Hoboken, NJ: John Wiley. xix, 724 p.
20. Husain, I., Electric and hybrid vehicles : design fundamentals. 2003, Boca Raton, Fla.: CRC Press. 270 p.
21. Krause, P.C., Analysis of electric machinery. McGraw-Hill series in electrical engineering. Power and energy. 1986, New York: McGraw-Hill. xvi, 564 p.
22. Larminie, J. and J. Lowry, Electric vehicle technology explained. 2003, Chichester, West Sussex, England ; Hoboken, NJ: J. Wiley. xvii, 296 p.
23. Llor, A.M., Control directo de par a frecuencia de modulación constante de motores sincronos de imanes permanentes. 2003, Universidad Carlos III de Madrid y et L'Institut National des Sciences Appliquées de Lyon: Lyon, France.
24. Maamoun, A., A.M. Soliman, and A.M. Kheireldin, Space-Vector PWM Inverter Feeding a Small Induction Motor. Proceedings of International Conference on Mechatronics, 2007: p. 4.
25. Méndez Bolio, M.Á., Controladores de motores: un análisis comparativo. 2001, Cenidet: Cuernavaca, México.
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27. Ortega, R., Passivity-based control of Euler-Lagrange systems : mechanical, electrical, and electromechanical applications. Communications and control engineering. 1998, London ; New York: Springer. xxxiv, 543 p.
28. Posada Contreras, J., El hombre y la máquina. 2005, Universidad Autónoma de Occidente, Facultad de Ingeniería.: Cali, Colombia. p. 70-83.
29. Rashid, M.H., Power electronics handbook : devices, circuits, and applications. 2nd ed. 2006, Burlington, MA: Academic. xvi, 1172 p.
Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico
CENIDET 65
30. Rodríguez Cortés, P., Aportaciones a los acondicionadores activos de corriente en derivación para redes trifásicas de cuatro hilos, in Departamento de Ingeniería Eléctrica. 2005, Universidad Politécnica de Cataluña: Barcelona. p. 418.
31. Seguí Chilet, S., et al., Control Vectorial de inversores trifásicos/1. 2003: Universidad Politécnica de Valencia, Depto. de Ingeniería Electrónica. p. 8.
32. Shimizu, H., et al., Advanced concepts in electric vehicle design. Industrial Electronics, IEEE Transactions on, 1997. 44(1): p. 14-18.
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34. Trzynadlowski, A., Control of induction motors. Academic Press series in engineering. 2001, San Diego: Academic Press. xii, 228 p.
35. Van Der Broeck, H.W., H. Skudenly, and G.V. Stanke, Analysis and Realization of a Pulsewidth Modulator Based on Voltage Space Vectors. IEEE Transactions on Industry Applications, 1988. 24: p. 9.
36. Växjö universitet, Reports from MSI = Rapporter från MSI, Introduction to Passivity-based Control of Euler-Lagrange Systems. 2000, Växjö universitet: Växjö.
37. Vidal Rosas, E.E., Diagnóstico y Reconfiguración de Fallas en el Motor de Inducción Utilizando Observadores no Lineales. 2006, Cenidet: Cuernavaca, México.
38. Walivadekar, V.N., et al. Development of transistorised PWM inverter fed induction motor drive for electric vehicle-a case study. in Power Electronics, Drives and Energy Systems for Industrial Growth, 1996., Proceedings of the 1996 International Conference on. 1996.
39. Wellstead, P.E., Introduction to physical system modelling. 1979, London ; New York: Academic Press. ix, 279 p.
Anexo 1. ANALISIS DEL CIRCUITO EQUIVALENTE DEL MI
Del circuito equivalente de la figura 2.3 se pueden determinar varias características de desempeño
en estado estable del motor de inducción (variaciones de corrientes, velocidad, pérdidas, par). El
circuito equivalente muestra que la potencia total transferida (Pentrehierro) a través del entrehierro
es:
(A1.1)
Siendo nph el número de fases del estator. Las pérdidas en el rotor se calculan a partir de:
(A1.2)
A partir de de los dos parámetros anteriores se puede determinar la potencia
electromecánica (Pem) generada por el motor, haciendo la diferencia de ambos datos:
(A1.3)
De esta última expresión se pueden reescribir la Protor y Pem en términos de Pentrehierro. De
ahí que circuito de la figura 2.3 se redibuje tal como se muestra en la figura 2.4.
El par electromecánico τem correspondiente a Pem se obtiene recordando que la potencia
mecánica es igual al par por la velocidad angular.
(A1.4)
(A1.5)
Donde ωe es la velocidad angular eléctrica, Np es el número de polos. Aunque no se toman
en cuenta las pérdidas por fricción, rozamiento con el aire, etc. es correcto substraer dichas
cantidades tanto a la Pem y el τem; de esta manera se podrá obtener la potencia y par de salida de la
flecha para convertirse en trabajo útil; Tales pérdidas se pueden englobar en una sola variable
para el par y en otra para la potencia.
Anexo 2. OBTENCIÓN DE PARÁMETROS DEL MI
Todas las inductancias propias del estator son iguales de manera similar para el rotor, es decir:
asas bsbs cscsL L L
arar brbr crcrL L L
(A2.1)
Donde:
asas ls msL L L
arar lr mrL L L
(A2.2)
Siendo Lls la inductancia de dispersión del estator; Llr la inductancia de dispersión del rotor;
Lms la inductancia de magnetización del estator; Lmr la inductancia de magnetización del rotor.
Todas las inductancias mutuas de estator a estator son iguales, de forma similar para el rotor:
asbs ascs bsas bscs csac csbsL L L L L L
arbr arcr brar brcr crar crbrL L L L L L
(A2.3)
Donde:
1
2asbs msL L
(A2.4-a)
1
2arbr mrL L
(A2.4-b)
Para las inductancias mutuas de estator a rotor se tiene:
asar bsbr cscr
asbr bscr csar
ascr bsar csbr
L L L
L L L
L L L
(A2.5)
Siendo:
(A2.6)
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
70 ANEXO 2
Donde Lsp es la inductancia mutua estator a rotor; es la posición eléctrica del rotor. Los
enlaces de flujo están dados por:
as asas as asbs br ascs cs asar ar asbr br ascr cr
bs bsas as bsbs br bscs cs bsar ar bsbr br bscr cr
cs csas as csbs br cscs cs csar ar csbr br cscr cr
ar aras as arbs br arcs c
L i L i L i L i L i L i
L i L i L i L i L i L i
L i L i L i L i L i L i
L i L i L i s arar ar arbr br arcr cr
br bras as brbs br brcs cs brar ar brbr br brcr cr
cr cras as crbs br crcs cs crar ar crbr br crcr cr
L i L i L i
L i L i L i L i L i L i
L i L i L i L i L i L i
(A2.7)
Considerando un sistema magnético lineal, los enlaces de flujo están dados por:
LI (A2.8)
Entonces los enlaces de flujo se pueden representar de la siguiente manera:
s srabcs abcs
T
abcr abcrsr r
L L I
IL L
(A2.9)
Donde Ls es la matriz de inductancias del estator; Lr es la matriz de inductancias del rotor;
Lsr es la matriz de inductancias mutuas de estator a rotor. Dichas matrices contienen los siguientes
elementos: 1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
ls ms ms ms
asas asbs ascs
s bsas bsbs bscs ms ls ms ms
csas csbs cscs
ms ms ls ms
L L L L
L L L
L L L L L L L L
L L L
L L L L
(A2.10)
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
lr mr mr mr
arar arbr arcr
r brar brbr brcr mr lr mr mr
crar crbr crcr
mr mr lr mr
L L L L
L L L
L L L L L L L L
L L L
L L L L
(A2.11)
2 2cos cos cos
3 3
2 2cos cos cos
3 3
2 2cos cos cos
3 3
sr r sr r sr r
asar asbr ascr
sr bsar bsbr bscr sr r sr r sr r
csar csbr cscr
sr r sr r sr r
L L L
L L L
L L L L L L L
L L L
L L L
(A2.12)
2 2cos cos cos
3 3
2 2cos cos cos
3 3
2 2cos cos cos
3 3
sr r sr r sr r
arar arbs arcsT
sr bras brbs brcs sr r sr r sr r
cras crbs crcs
sr r sr r sr r
L L L
L L L
L L L L L L L
L L L
L L L
(A2.13)
Es conveniente reflejar todas las variables del rotor a los devanados del estator mediante
la relación de vueltas apropiadas, de esta manera se tiene:
' rabcr abcr
s
NI I
N
(A2.14) ' s
abcr abcr
r
NV V
N
(A2.15)
' sabcr abcr
r
N
N
(A2.16)
2
' sr r
r
NR R
N
(A2.17)
Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico
CENIDET 71
Las inductancias de magnetización y mutua están asociadas con las mismas trayectorias de
flujo magnético, por lo tanto, Lms, Lmr y Lsr están relacionados, de esta manera se tiene:
'sms sr sr
r
NL L L
N
(A2.18)
Por lo tanto:
'
2 2cos cos cos
3 3
2 2cos cos cos
3 3
2 2cos cos cos
3 3
ms r ms r ms r
sr ms r ms r ms r
ms r ms r ms r
L L L
L L L L
L L L
(A2.19)
Para Lmr se tiene:
2
'smr ms sr
r
NL L L
N
(A2.20)
Y si se hace:
2
'
2
'
sr r
r
slr lr
r
NL L
N
NL L
N
(A2.21)
Entonces se tiene:
'
' '
'
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
lr ms ms ms
r ms lr ms ms
ms ms lr ms
L L L L
L L L L L
L L L L
(A2.22)
Los enlaces de flujo se describen ahora como:
'
' '' '
s srabcs abcs
T
abcr abcrsr r
L L I
IL L
(A2.23)
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
72 ANEXO 2
La velocidad eléctrica del rotor se relaciona con la velocidad mecánica del rotor (ωm),
mediante el número de polos de la máquina [37]:
(A2.24)
Donde Np es el número de polos; P es el número de pares de polos.
Anexo 3. BASES DEL MODELADO EULER-LAGRANGE
Un sistema ℰℒ se describe con la ecuación de Euler-Lagrange, originalmente usada para describir
las dinámicas de un sistema. Estas ecuaciones son equivalentes a la segunda ley de Newton, pero
su formulación presenta la ventaja de no cambiar independientemente de las coordenadas
(variables) que se usen; por lo mismo pueden describir diferentes sistemas conservando la misma
estructura [36] (nada más hay que hacer el cambio de variables).
La ecuación de Euler-Lagrange para n grados de libertad tiene la siguiente forma [27]:
(A3.1)
Donde es el Lagrangiano; es la función de disipación de Rayleigh; Mu son las fuerzas
externas aplicadas al sistema; qn denota la n-coordenada generalizada del sistema; es la primer
derivada de qn con respecto al tiempo. El se forma a partir de la energía cinética y potencial:
(A3.2)
Siendo T la energía cinética y U la energía potencial del sistema. Desde el enfoque
energético del sistema T es la energía almacenada por los dispositivos almacenadores de esfuerzo,
mientras que los almacenadores de flujo almacenan la energía potencial del sistema; la función de
energía se obtiene de los elementos disipadores de energía.
Finalmente, se tienen que seguir 4 pasos sencillos para obtener el modelado ℰℒ de
cualquier sistema dado:
1. Elegir las coordenadas generalizadas.
2. Determinar las funciones de energía del sistema (cinética, potencial y Rayleigh).
3. A partir de T y U formar el Lagrangiano.
4. Evaluar la ecuación ℰℒ para cada coordenada generalizada del sistema.
Anexo 4. MODELO BIFÁSICO DEL MI
Basados en la teoría de [21] se desarrolló el siguiente modelo bifásico basado en el marco de
referencia fijo al estator. Partiendo de las ecuaciones de los voltajes en los devanados.
dt
dRiv as
Sasas
dt
dRi ar
rar0
dt
dRiv bs
Sbsbs(A4.1)
dt
dRi br
rbr0 (A4.2)
dt
dRIV (A4.3)
dt
dRiv cs
Scscs
dt
dRi cr
rcr0
Derivando la ecuación de los enlaces de flujo se tiene:
Ldt
dII
dt
dL
dt
d
(A4.4)
Sustituyendo (A4.4) en (A4.3) y despejando:
Idt
dLRIV
dt
dIL
(A4.5)
De esta ecuación se tiene:
mpm
m
m
qndq
dL
dt
dq
dq
dL
dt
dL
(A4.6)
Entonces (A4.5) queda como:
Iqndt
dLRIV
dt
dIL mp
(A4.7)
La matriz de transformación de 3 a 2 fases en el marco de referencia al estator fijo es:
abccqdo fTf )(
(A4.8)
2
1
2
1
2
13
2
3
2
3
2cos
3
2coscos
3
2ccc
ccc
s sensensenK
(A4.9)
Siendo, θc: posición del marco de referencia; fqd0: Parámetro del MI en 2 fases; fabc:
Parámetro del MI en 3 fases. La inversa de esta matriz de transformación es:
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
76 ANEXO 4
13
2
3
2cos
13
2
3
2cos
1cos
3
21
cc
cc
cc
s
sen
sen
sen
K
(A4.10)
A partir de aquí se puede obtener el voltaje en el estator (de acuerdo a la inductancia del
sistema) en dos fases aplicando las ecuaciones (A5.8 - A5.10) en V =RI + dλ/dt; obteniendo:
)()( 11qdosdt
dssqdossdt
dsqdos kkKKV
(A4.11)
Desarrollando algebraicamente se tiene:
qdosdqoscqdosdt
dV
(A4.12)
Donde:
0
qs
ds
qdos
(A4.13)
Usando nuevamente A5.8 - A5.10 en la ecuación de enlaces de flujo se tiene:
1
01
0
ssss
sqdssssqd
KLKL
IKLK
(A4.14)
Para el circuito del rotor se tiene una matriz de transformación y su inversa:
13
2
3
2cos
13
2
3
2cos
1cos
2
1
2
1
2
13
2
3
2
3
2cos
3
2coscos
3
2 1
sen
sen
sen
KsensensenK rr
(A4.15)
Siendo : θ - ; θ: Desplazamiento del marco de referencia arbitrario; :
Desplazamiento angular del rotor. La transformación de la matriz con elementos resistivos debido
a las características del sistema no existe ningún cambio; este fenómeno se presenta también para
el estator. Aplicando las ecuaciones A5.8, A5.15 para voltajes debidos a elementos inductivos se
obtiene:
)()()()( qdordqorrqdordqorrqdordt
d
dt
dqqV
a
(A4.16)
Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico
CENIDET 77
Donde:
0
qr
dr
qdor
(A4.17)
Para los enlaces de flujo se presenta algo similar a la transformación hecha para el estator:
qdorrrrqdor IKLK 1
(A4.18)
Sustituyendo las ecuaciones A5.12, A5.14, A5.16, A5.18 en la transformación de A5.13, se
obtiene el sistema de ecuaciones:
qsmsqsrdsmsdsrqssqs ILILILqILqIrV 2
3
2
311
(A4.19-a)
dsmsdsrqsmsqsrdssds ILILILqILqIrV 2
3
2
311
(A4.19 -b)
srsss ILIrV 0100 (A4.19 -c)
qrmsqrrdrmsrdrrrqrrqr ILILILqqILqqIrV 2
3)(
2
3)( 11
(A4.19 -d)
drmsdrrqrmsrqrrrdrrdr ILILILqqILqqIrV 2
3)(
2
3)( 11
(A4.19 -e)
srrrr ILIrV 0100 (A4.19 -f)
En forma matricial queda como:
or
dr
qr
s
ds
qs
r
rms
rms
s
mss
mss
or
dr
qr
s
ds
qs
r
rrrmsr
rrrmsr
s
msss
msss
or
dr
qr
s
ds
qs
I
I
I
I
I
I
L
LL
LL
L
LL
LL
I
I
I
I
I
I
r
rLqqLqq
LqqrLqq
r
LqrLq
LqLqr
V
V
V
V
V
V
0
1
1
00
00000
0002
30
00002
3
00000
02
3000
002
300
00000
0)(00)(2
3
0)(0)(2
30
00000
002
30
02
300
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
78 ANEXO 4
Donde:
msrr
msss
LLL
LLL
2
3
2
3
1
1
(A4.20)
El sistema tiene la forma IYXIV , despejado I :
XIYVYI
XIVIY
11
(A4. 21)
El subsistema mecánico está descrito por:
Tmmmem BJm
(A4.22)
abcrm
srTabcsem I
dq
dLI
Npm
)(2
(A4.23)
Donde: rm . En términos de la velocidad eléctrica: meNp
2
LemeemNp
BNp
Je
22
(A4.24)
abcrsre
Tabcsem IL
dq
dI
e)(
(A4.25)
Entonces se tiene que:
J
B Lmemm
m
(A4.26)
LeemeNp
BNp
J e 22
1
(A4.27)
El sistema en dos fases se obtiene transformando A5.23 ó A5.25, para este caso se hará la
transformación para la segunda ecuación:
qrdsdrqsMqrdsdrqsmsqr
dr
osdsqsmsem IIIILIIIILI
I
IIILe 2
3
4
9
04
9
(A4.28)
Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico
CENIDET 79
Usando la relación entre desplazamiento mecánico y eléctrico:
qrdsdrqsMem IIIILP
m 2
3
2
(A4.29)
Anexo 5. PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DEL INVERSOR
Mediante la figura A5.1 se puede explicar el principio de funcionamiento de los inversores
monofásicos. Cuando sólo el transistor 1Q está activo durante el tiempo T0/2, el voltaje
instantáneo a través de la carga 0v es Vs/2. Sí sólo el transistor 2Q está activo durante un tiempo
T0/, aparece el voltaje -Vs/2 a través de la carga. El circuito lógico de control debe diseñarse de tal
forma que 1Q y
2Q no estén activos simultáneamente.
La figura A5.1-b muestra las formas de onda para los voltajes de salida y las corrientes de
los transistores en el caso de una carga resistiva. Este inversor requiere de una fuente de CD de
tres conductores. Cuando un transistor está inactivo su voltaje inverso es SV en vez de Vs/2 [29].
El voltaje RMS de salida se puede encontrar a partir de:
24
22
1
2
0
2
0
0
0
s
T
s Vdt
V
TV
(A5.1)
El voltaje instantáneo de salida se puede expresar en una serie de Fourier, en este caso
para armónicos pares el Vrms es igual a cero (debido a la señal que se está considerando):
,...4,20
2
,...5,3,1
npara
tnsenn
Vv
n
So
(A5.2)
Figura A5.1. Inversor monofásico de medio puente.
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
82 ANEXO 5
Donde 02 f es la frecuencia del voltaje de salida en radianes/segundos. Para el
primer armónico V1=2 Vs/π 2 =0.45 Vs.
Para una carga inductiva, la corriente no puede cambiar inmediatamente con el voltaje de
salida. Sí 1Q es desactivado en 2/0Tt , la corriente de la carga seguirá fluyendo a través de
2D ,
la carga y la mitad inferior de la fuente de CD, hasta que la corriente llegue a cero. En forma similar
cuando 2Q se desactiva en 0Tt , la corriente de la carga fluye a través de
1D , la carga y la mitad
superior de la fuente de CD. La figura A5.1-c muestra la corriente y los intervalos de conducción de
los dispositivos para una carga puramente inductiva. Entonces los diodos aseguran, por un lado la
continuidad de la corriente en la carga, por otro lado la reversibilidad de potencia al poder
inyectar corriente desde la carga a la batería [23].
Si qt es el tiempo de desactivación de un transistor debe existir un tiempo mínimo de
retraso qt entre el transistor que se desactiva y el disparo del siguiente transistor. De lo contrario,
entre ambos transistor tendría lugar una condición de corto circuito. Por lo tanto, el máximo de
conducción de un transistor sería qtT 2/0 .
Algunos parámetros que definen la calidad de un inversor del dispositivo de acuerdo con
el número de armónicos que contiene la señal de salida son: factor armónico de la enésima
componente (HFn), distorsión total armónica (THD), factor de distorsión (DF) y armónica de menor
orden (LOH)[29].
A5.1. Inversor monofásico de puente completo
Este dispositivo a diferencia del anterior permite establecer un voltaje de salida con polaridades
diferentes (nunca se presentan en el mismo instante). En la figura A5.2-a se puede apreciar que
dentro de la configuración se tiene una rama más que para el circuito de medio puente.
En este circuito los transistores 1Q y
2Q se activan simultáneamente, mientras 3Q y 4Q
permanecen desactivados (Vs en carga) y viceversa (-Vs en carga), al igual pasa con los diodos
correspondientes como se aprecia en la figura A5.2-c.
Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico
CENIDET 83
Figura A5.2. Inversor monofásico de puente completo.
Anexo 6. MODULACIÓN VECTORIAL SVM
En la técnica SVM o PWM vectorial el puente inversor es manejado por ocho estados de
conmutación. Se considera la mejor alternativa de modulación para inversores ya que maximiza el
uso del bus CD (para el caso de un VE este aprovechamiento es bastante deseable), su contenido
armónico es bajo y minimiza pérdidas por conmutación. Sin embargo, algunos autores indican que
su única ventaja es su representación compleja. La generación de voltaje con la técnica SVM se
logra seleccionando adecuadamente y por un tiempo determinado los estados de los interruptores
del puente inversor en cada período de conmutación.
A6.1. El hexágono de tensiones
Un sistema trifásico tiene la característica de contar con tres fases Ua, Ub y Uc desfasados
120° eléctricos entre sí. Se puede representar por un vector rotatorio U de amplitud
constante que gira en el plano complejo con una frecuencia angular ω particular.
(A6.1)
Siendo:
(A6.2)
El coeficiente c puede seleccionarse entre para la conservación de potencia o 2/3
para mantener la proyección ortogonal sobre la base (conservación de la magnitud de voltaje).
Sustituyendo (A6.2) en (A6.2) se obtiene el vector rotatorio U de un sistema trifásico es [19].
(A6.3)
A partir de la transformación de Clark y del vector rotatorio se puede obtener cada vector
de voltaje [30] del hexágono de tensiones, ver figura A6.1:
(A6.4)
A6.1.1. Estados de conmutación
En la figura 3.1 se aprecia la estructura del inversor trifásico, como se puede ver se tienen tres
ramas conectadas al bus de CD y en cada rama se tienen dos interruptores, a la mitad de cada
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
86 ANEXO 6
rama se encuentran los puntos para conectar al motor (para este caso la carga del inversor).
Entonces debemos recordar que para hacer funcionar el inversor se tienen que respetar dos
reglas:
1. No cortocircuitar el bus de CD, lo que se traduce en que en una misma rama no pueden
dispararse los dos interruptores al mismo tiempo.
2. No dejar el circuito abierto la carga inductiva conectada en el lado de alterna, en otras
palabras, siempre debe haber algún semiconductor conduciendo en cada rama[31].
Tomando en cuenta las dos reglas anteriores se obtienen ocho combinaciones diferentes
para el inversor, cada una se representa por un vector [16, 35] (estado de conmutación), como se
observa en la figura A6.1. Los interruptores de arriba sirven para identificar el estado de
conmutación en el que se encuentra el inversor.
Figura A6.1. Combinaciones de conmutación y hexágono de tensiones.
Los vectores generados se simbolizan por U0, U1,…, U7 (vector de voltaje) y están
espaciados 60° entre sí. Los vectores U0 y U7 (situados en el origen) son los llamados vectores
nulos, debido a que tienen una tensión nula. Cuando se está trabajando en el estado de
conmutación U1, la fase a se conecta a potencial positivo (+Vs) y las fases b y c a negativo (GND)
[31].
Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico
CENIDET 87
A continuación se presenta la tabla A6.1 con las demás combinaciones. El hexágono que
forman estos vectores en el plano complejo (αβ) representa la región máxima alcanzable usando
un bus de CD a un voltaje Vs determinado. La circunferencia dentro del hexágono corresponde a
una operación sinusoidal lineal, y como resultado, los voltajes en la carga son sinusoidales. El
sentido de rotación del vector de voltaje determina la secuencia de fase en la salida del inversor.
Tabla A6.1. Valores de los vectores de voltaje del hexágono de tensiones.
Conmutación Vector de Voltaje Conmutación Vector de Voltaje
(000) (011)
(100)
(001)
(110)
(101)
(010)
(111)
Los seis vectores no nulos se pueden generelizar como: con
k=1,…,6; k: representa los vectores no nulos. En el caso de querer un voltaje determinado a la
salida del inversor es necesario tener un vector de referencia Uref y su ángulo φ en el hexágono de
tensiones, el cual se desplazará por cada uno de los sectores en que se divide el mapa. Uref se
genera mediante la aplicación sucesiva de dos vectores adyacentes y un vector nulo durante un
período Ts [35], como se muestra a en la figura A6.2.
Figura A6.2. Vector de referencia en el sector I.
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
88 ANEXO 6
La expresión que relaciona los voltajes fase-neutro de Uref con Ts es la siguiente [30]:
(A6.5)
Donde:
ΔT1 es el tiempo en el que se aplica a la carga el vector de voltaje U1, ΔT2 de igual manera
es el tiempo durante el cual se aplica a la carga el vector U2, finalmente ΔT0 corresponde al tiempo
aplicado del vector nulo a la carga (se puede aplicar U0 o U7 según convenga). φ será el ángulo
entre Uref y Un, donde n es el sector activo. El máximo voltaje de fase-neutro sinusoidal se obtiene
con la modulación vectorial cuando φ es igual a 30° (figura A6.2) y está dado por [28]:
El cual corresponde a una tensión 15.5% mayor al máximo obtenible con técnicas PWM
convencionales. Como ya se mencionó, el vector de referencia es una combinación de los vectores
de voltajes adyacentes y los vectores nulos, entonces la amplitud de Uref estará dada por el lapso
que ocupen los vectores de voltaje adyacentes dentro de un ciclo de conmutación. Para hacer
solamente una conmutación en los transistores al cambiar de estado se deben seguir estas
secuencias [24]:
0 k k+1 7 k+1 k 0 Sextante k impar
0 k+1 k 7 k k+1 0 Sextante k par
NOTA: cuando k = 6, entonces k+1: se considera 1. Ejemplo para el sextante 1, debido a
que U0=U7, se tiene que T0=T7:
Figura A6. 3. Ciclo de conmutación.
Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico
CENIDET 89
Siendo que . Los tiempos y se pueden evaluar con:
Como U0 = U7 = 0, obtenemos:
(A6.6)
Usando la tabla A6.1 para desarrollar (A6.6) y separando en los componentes imaginarios
y reales tenemos [1]:
(A6.7)
Donde k se puede determinar a partir del argumento del vector de referencia, de esta
manera se sabrá en que sextante se está trabajando. Resolviendo la (A6.7) se tiene:
(A6.8)
El tiempo para los estados nulos puede ser repartido arbitrariamente entre los dos
vectores nulos. Con frecuencia T0 es dividido en partes iguales entre los dos estados nulos.
Anexo 7. HOJA DE DATOS DEL MOTOR IDNM2333T
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
92 ANEXO 7
Anexo 8. NOTACION COMPLETA
SÍMBOLOS
Letras mayúsculas
Amplitud de la señal portadora
Amplitud de la señal de referencia
Coeficiente de fricción viscosa
Voltaje
Voltaje interno del rotor
Voltaje de estator
Función de disipación de energía eléctrica
Función de disipación de energía mecánica
Energía disipada
Vector de corrientes
Corriente de la fase 0 del rotor
Derivada de
Corriente de la fase 0 del estator
Derivada de
Vector de corrientes del rotor
Vector de corrientes del rotor reflejado al estator
Vector de corrientes del estator
Corriente de la fase d del rotor
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
94 ANEXO 8
Derivada de
Corriente de la fase d del estator
Derivada de
Corriente de magnetización
Corrientes del rotor en 2 fases
Corrientes del estator en 2 fases
Corriente de la fase q del rotor
Derivada de
Corriente de la fase q del estator
Derivada de
Corrientes de rotor
Corriente de alimentación (estator)
Co-energía disipada
Momento de inercia del motor
Matriz de inductancias
Inductancias propias del rotor
Inductancias mutuas de rotor a rotor
Inductancias mutuas de rotor a rotor
Inductancias mutuas de estator a rotor
Inductancias mutuas de estator a rotor
Inductancias mutuas de estator a rotor
Inductancias propias del estator
Inductancias mutuas de estator a estator
Inductancias mutuas de estator a estator
Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico
CENIDET 95
Matriz de inductancias de los devanados del estator
Inductancia de dispersión del rotor
Inductancia de dispersión del rotor reflejada al estator
Inductancia de dispersión del estator
Inductancia de magnetización del rotor
Inductancia de magnetización del estator
Matriz de inductancias del rotor
Matriz de inductancias del rotor reflejada al estator
Matriz de inductancias del estator
Matriz de inductancias de estator a rotor
Matriz de entradas
Fuerzas externas aplicadas al sistema
Número de polos
Número de vueltas del devanado de rotor
Número de vueltas del devanado del estator
Número de pares de polos
Potencia electromecánica
Potencia transferida a través del entrehierro
Potencia de salida del motor
Pérdidas en el rotor
Matriz de resistencias del rotor reflejada al estator
Matriz de resistencias de estator y rotor del motor
Resistencia de pérdidas del núcleo
Resistencia térmica disipador-ambiente
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
96 ANEXO 8
Energía almacenada por almacenadores de esfuerzo (Energía
cinética)
Co-energía almacenada por almacenadores de esfuerzo (Energía
cinética)
Co-energías cinéticas del subsistema mecánico
Par electromecánico
Co-energías cinéticas del subsistema mecánico
Período de la señal de referencia
Ciclo de conmutación
Tiempo de aplicación del primer vector no nulo del sextante activo
Tiempo de aplicación del segundo vector no nulo del sextante activo
Energía almacenada por almacenadores de flujo (Energía potencial)
Vector rotatorio de un sistema trifásico
Co-energía almacenada por almacenadores de flujo (Energía
potencial)
Vectores nulos
Vectores de voltajes
Fases de un sistema trifásico de voltajes
Energía potencial eléctrica
Generalización de los vectores de voltaje no nulos
Amplitud del sistema trifásico de voltajes
Energía potencial mecánica
Vector de referencia
Máximo voltaje de fase-neutro sinusoidal
Vectores genéricos de voltaje del hexágono de tensiones
Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico
CENIDET 97
Voltaje de la fase 0 del rotor
Voltaje de la fase 0 del estator
Magnitud del voltaje del primer armónico (fundamental)
Vector de voltajes del rotor reflejado al estator
Voltaje de la fase d del rotor
Voltaje de la fase d del estator
Voltaje de fase
Voltaje de línea
Voltaje del rotor en 2 fases
Voltaje del estator en 2 fases
Voltaje de la fase q del rotor
Voltaje de la fase q del estator
Voltaje RMS
Voltaje de la fuente de CD
Reactancia de magnetización
Reactancia del rotor
Reactancia de dispersión del rotor
Reactancia de dispersión
Impedancia equivalente
Impedancia de magnetización
Impedancia del rotor reflejada al estator
Impedancia total
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
98 ANEXO 8
Letras minúsculas
Esfuerzo
Variable de acumulación de esfuerzo
Diferencial de esfuerzo
Diferencial de acumulación de esfuerzo
Diferencial de flujo
Diferencial de acumulación de flujo
Diferencial de tiempo
Derivada de… respecto al tiempo
Flujo
Variable de acumulación de flujo
Parámetro del motor de inducción en 3 fases
Frecuencia de la señal portadora
Frecuencia eléctrica
Frecuencia del voltaje de salida en hertz
Parámetro del motor de inducción en 2 fases
Frecuencia de deslizamiento
Frecuencia de referencia
Corrientes de estator
Corrientes de rotor
Variables de conmutación
Índice de modulación
Índice de frecuencia
Velocidad de deslizamiento en revoluciones por minuto
Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico
CENIDET 99
Velocidad del rotor en revoluciones por minuto
Número de fases del estator
Velocidad síncrona en revoluciones por minuto
Cargas eléctricas (coordenadas generalizadas del subsistema
eléctrico)
Matriz de corrientes de los devanados del MI
Segunda derivada de
Posición angular del rotor (coordenada generalizada del subsistema
mecánico)
Velocidad angular del rotor
Segunda derivada de
Enésima coordenada generaliza del sistema
Primer derivada de
Resistencia del rotor
Resistencia de rotor reflejada al estator
Resistencia de estator
Deslizamiento
Deslizamiento en vacío
Tiempo de desactivación de un transistor (tiempo muerto)
Vector de entradas
Velocidad
Voltajes de línea
Voltajes de fase
Voltajes de fase de estator a, b y c
Velocidad máxima
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
100 ANEXO 8
Voltaje instantáneo en la carga de un inversor monofásico
Letras griegas
Tiempo de aplicación del vector nulo U0 o U7 a la carga
Tiempo de aplicación del vector de voltaje U1 a la carga
Tiempo de aplicación del vector de voltaje U2 a la carga
Eficiencia
Eficiencia de transmisión
Desplazamiento del marco de referencia arbitrario
Derivada de
Posición del marco de referencia
Derivada de
Posición mecánica
Segunda derivada de (aceleración)
Posición eléctrica del rotor
Posición del rotor o (desplazamiento angular del rotor)
Derivada de (velocidad)
Segunda derivada de (aceleración)
Vector de enlaces de flujo
Enlaces de flujo en el rotor
Vector de enlaces de flujo del rotor reflejado al estator
Enlaces de flujo en el estator
Enlaces de flujo a, b y c en el rotor
Enlaces de flujo a, b y c en el estator
Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico
CENIDET 101
Enlaces de flujo de la fase d del rotor
Enlaces de flujo de la fase d del estator
Enlaces de flujo del rotor en 2 fases
Enlaces de flujo del estator en 2 fases
Enlaces de flujo de la fase q del rotor
Enlaces de flujo de la fase q del estator
Coeficiente de fricción de un vehículo
Par electromecánico
Par de electromagnético en términos eléctricos
Par de electromagnético en términos mecánicos
Par de carga
Ángulo del vector de referencia en el sector activo
Frecuencia del voltaje de salida en radianes/segundos
Velocidad angular eléctrica
Velocidad del rotor en radianes/segundos
Velocidad síncrona en radianes/segundos
Caracteres especiales
Derivada parcial de… con respecto de
Derivada parcial de… con respecto de
Función de disipación de Rayleigh
Lagrangiano del sistema
Lagrangiano del sistema eléctrico
Lagrangiano del sistema mecánico
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
102 ANEXO 8
Subíndices
Sextante activo
ABREVIATURAS Y ACRÓNIMOS
Letras mayúsculas
Ampere (amperio)
Corriente Alterna
Corriente directa
Inversor con fuente de corriente
Diodo 1
Diodo 2
Factor de distorsión
Procesador digital de señales
Transformada rápida de Fourier
Tierra eléctrica
Tiristor de desactivación por compuerta
Factor armónico de la enésima componente
Hertz
Transistor bipolar de compuerta aislada
Libra-pie
Litio-ion
Litio polímero
Armónica de menor orden
Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico
CENIDET 103
M.C. Maestro en ciencias
Tiristor controlado por compuerta óxido metálico
MI Motor de inducción
Transistor de efecto de campo óxido metálico
Níquel-Cadmio
Níquel Hidruro Metálico
Newton-metro
Dispositivo lógico programable
Plomo-Ácido
Modulación de ancho de pulsos
Transistor 1
Transistor 2
Transistor 3
Transistor 4
Valor medio de una cantidad variable en el tiempo
Modulación vectorial de espacio
Distorsión armónica total
Voltaje
Vehículos de combustión interna
Vehículos eléctricos
Vehículos híbridos
Inversor con fuente de voltaje
Watt
Watt hora
Ing. Juan Francisco Aguilera Zepeda
104 ANEXO 8
Letras minúsculas
Etcétera
Fuerzas magneto-motrices
Hora
Caballo de fuerza
Unidad imaginaria
Kilogramo
Kilogramo-metro cuadrado
Kilohertz
Kilometro
Kilowatt
Metro
Máxima
Radian
Revoluciones por minuto
Segundo
Tiempo
Velocidad
Letras griegas
Plano complejo
Ohm
Puesta en Operación de un Sistema de Tracción para un Vehículo Eléctrico
CENIDET 105
Caracteres especiales
Grados Celsius
Euler-Lagrange
Superíndices
Transpuesta
2 Cuadrado de una cantidad
-1 Inversa de un escalar o matriz
CONSTANTES
Letras mayúsculas
Área frontal de un vehículo
Coeficiente aerodinámico de un vehículo
Coeficiente de transmisión
Matriz de transformación de 3 a 2 fases del rotor
Matriz de transformación de 3 a 2 fases del estator
Letras minúsculas
Coeficiente de potencia o proyección ortogonal del voltaje