-
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť
Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
Technické kreslenie učebné texty
pre 1. a 2. ročník študijných odborov
8260 6 propagačné výtvarníctvo
8261 6 propagačná grafika
Mgr. Jitka Pukšová
marec 2012
Stredná umelecká škola Ladislava Bielika,
Vajanského 23, Levice
Nitriansky samosprávny kraj
-
Obsah
ÚVOD
...............................................................................................................................
4
1. ROČNÍK
........................................................................................................................
5
1 TECHNICKÉ PÍSMO
......................................................................................................
5
1.1 VÝZNAM TECHNICKÉHO KRESLENIA A ZÁKLADNÉ MATERIÁLY A POMÔCKY
POTREBNÉ PRE TECHNICKÉ
KRESLENIE
...................................................................................................................................................
6
1.2 ZÁSADY KRESLENIA OD RUKY A KRESLENIE
NÁČRTU................................................................................
7
1.3 DRUHY ČIAR V TECHNICKOM KRESLENÍ
...................................................................................................
8
1.4 TECHNICKÉ PÍSMO
..................................................................................................................................
8
2 ZÁKLADY RYSOVANIA
................................................................................................
11
2.1 NORMALIZÁCIA V TECHNICKOM KRESLENÍ
............................................................................................
12
2.2 DRUHY TECHNICKÝCH VÝKRESOV
.........................................................................................................
13
2.3 FORMÁTY
VÝKRESOV.............................................................................................................................
14
2.4 SKLADANIE VÝKRESOV
..........................................................................................................................
15
2.5 ROZMNOŽOVANIE VÝKRESOV
................................................................................................................
16
2.6 MIERKY ZOBRAZOVANIA NA TECHNICKÝCH VÝKRESOCH
........................................................................
17
3 TECHNICKÝ VÝKRES
..................................................................................................
18
3.1 ÚPRAVA VÝKRESOVÉHO LISTU
...............................................................................................................
19
3.2 TITULNÝ BLOK VÝKRESOV
.....................................................................................................................
22
4 JEDNODUCHÉ TELESÁ
.............................................................................................
24
4.1 JEDNODUCHÉ TELESÁ
...........................................................................................................................
25
4.2 SIETE MNOHOSTENOV
..........................................................................................................................
25
4.3 SIETE VALCOV A KUŽEĽOV
.....................................................................................................................
30
4.4 SIETE N-BOKÝCH HRANOLOV A IHLANOV
..............................................................................................
31
4.5 SIETE ZREZANÝCH TELIES
.....................................................................................................................
32
4.6 ZAUJÍMA VÁS?
......................................................................................................................................
34
5 PREMIETANIE
............................................................................................................
36
5.1 PRAVOUHLÉ PREMIETANIE NA NIEKOĽKO PRIEMETNÍ
............................................................................
37
6 MONGEOVO PREMIETANIE
......................................................................................
39
6.1 PRIEMETY BODOV
.................................................................................................................................40
6.2 PRIEMETY PRIAMKY
..............................................................................................................................
44
6.3 PRIEMETY ROVINY, STOPY ROVINY
........................................................................................................
50
6.4 SKUTOČNÁ VEĽKOSŤ ÚSEČKY
................................................................................................................
56
7 KÓTOVANIE NA TECHNICKÝCH VÝKRESOCH
.......................................................... 59
7.1 KÓTOVANIE A PRVKY KÓTOVANIA
..........................................................................................................60
7.2 KÓTOVANIE POLOMEROV, PRIEMEROV, UHLOV, ZAOBLENÍ
....................................................................
65
7.3 SPÔSOBY KÓTOVANIA
............................................................................................................................
69
-
8 TECHNICKÉ KRIVKY
..................................................................................................
71
8.1 TECHNICKÉ KRIVKY, ROZDELENIE
.........................................................................................................
72
8.2 ELIPSA
.................................................................................................................................................
73
8.3 METÓDY KONŠTRUKCIE ELIPSY
.............................................................................................................
74
8.4 INÉ TECHNICKÉ KRIVKY
........................................................................................................................
78
2. ROČNÍK
.....................................................................................................................
82
9 NÁZORNÉ ZOBRAZOVANIE
.......................................................................................
82
9.1 NÁZORNÉ ZOBRAZOVANIE
.....................................................................................................................
83
9.2 KOSOUHLÉ PREMIETANIE
.....................................................................................................................
85
9.3 PRAVOUHLÁ AXONOMETRIA
.................................................................................................................
86
9.4 ZAUJÍMA VÁS?
......................................................................................................................................
89
10 OSVETLENIE TELIES
................................................................................................
92
10.1 OSVETĽOVANIE TELIES
........................................................................................................................
93
10.2 KONŠTRUKCIA VLASTNÉHO A VRHNUTÉHO TIEŇA
...............................................................................
95
11 PERSPEKTÍVNE ZOBRAZOVANIE
.............................................................................97
11.1 PERSPEKTÍVA
.......................................................................................................................................
98
11.2 HISTÓRIA PERSPEKTÍVNEHO ZOBRAZOVANIA
.......................................................................................
99
11.3 ZÁKLADNÉ POJMY
..............................................................................................................................
113
11.4 DRUHY PERSPEKTÍV
...........................................................................................................................
115
11.5 KONŠTRUKCIA PERSPEKTÍVY
...............................................................................................................
119
11.6 ANAMORFÓZA A NESKUTOČNÁ PERSPEKTÍVA
.....................................................................................
122
ZOZNAM POUŽITEJ LITERATÚRY
..............................................................................
128
-
4
Úvod
Milí študenti,
prichádza k vám učebný text, ktorý si kladie vysoký cieľ, a to
uľahčiť vám
zoznamovanie sa so základnými informáciami predmetu Technické
kreslenie. Je
určený všetkým vám, ktorí ste sa rozhodli svoje stredoškolské
štúdium zasvätiť
odborom propagačná grafika a propagačné výtvarníctvo na pôde
Strednej umeleckej
školy Ladislava Bielika v Leviciach.
Veríme, ţe ste sa uţ s technickým kreslením stretli aj na ZŠ a
ţe chápete, akým
prínosom pre váš odborný rast a vašu profesiu do budúcnosti
tento odborný
vyučovací predmet je. Veď grafik či výtvarník je často zároveň
aj technikom, ktorý
svoj nápad a inšpiráciu aj správne navrhne, zakreslí, narysuje,
premietne, okótuje,
a samozrejme aj zrealizuje.
Technické kreslenie je medzinárodným dorozumievacím jazykom
všetkých
technikov a ostatných odborníkov. Rozvíja chápanie vzťahov medzi
skutočnými
priestorovými objektami a ich zobrazením, buduje priestorovú
predstavivosť a
schopnosť čítať a vytvárať technické výkresy,
Veríme, ţe sa tento učebný text stane na dva roky vaším
sprievodcom na ceste
za zdokonalením vašich teoretických vedomostí aj praktických
zručností a ţe sa
stanete kvalitnými odborníkmi vo svojej profesii.
Prajeme vám veľa trpezlivosti a najmä úspechov pri štúdiu
Mgr. Jitka Pukšová
-
5
1. ročník
1 Technické písmo
1.1 Význam technického kreslenia a základné materiály
a pomôcky potrebné pre technické kreslenie
1.2 Zásady kreslenia od ruky a kreslenie náčrtu
1.3 Druhy čiar v technickom kreslení
1.4 Technické písmo
-
6
1.1 Význam technického kreslenia a základné materiály
a pomôcky potrebné pre technické kreslenie
Kaţdý technik musí mať veľa trpezlivosti, svedomitosti,
presnosti
a dokonalých znalostí z oblasti, ktorá úzko súvisí s jeho
budúcou
profesiou. Študenti študijných odborov propagačná grafika,
propagačné výtvarníctvo a priemyselný dizajn musia ovládať
základy technického kreslenia, zdokonaľovať vytváranie
priestorovej predstavy
a budovať medzipredmetové vzťahy s odbornými predmetmi
technológia, prax, či
navrhovanie.
Technické kreslenie a jeho význam:
vypestovanie predstavivosti
nadobudnutie zručnosti a vôľových vlastností v technickom
kreslení, ako pri
popisovaní, tak aj pri zhotovovaní výkresov, náčrtov...
schopnosť kresliť náčrty od ruky
vyuţívanie technických noriem a ich aplikácia
čítanie výkresov a inej technickej dokumentácie
Pomôcky a materiály:
rysovacie dosky
príloţník – základné pravítko na kreslenie vodorovných čiar
trojuholníky
ceruzky – tuha 6-8 mm, pri kreslení 75º
kruţidlo – začíname kresliť akoby na číslici 8 na ciferníku
hodín v smere
pohybu hodinových ručičiek
nulovacie kruţidlo – malé
priemery
tuhy
liner-graphic
guma – najlepšie z plastov
uhlomer
krividlá Obr. 1 Súprava technických pier
http://www.pisaciepotreby.sk/technickekreslenie/
-
7
šablóny
rysovací papier
pauzovací papier
Obr.2 Rysovacie pomôcky
1.2 Zásady kreslenia od ruky a kreslenie náčrtu
Pri kreslení od ruky dbáme na to, aby sme pohybom ruky a
pomôckami nerozotierali
čiary po výkrese. Krátke čiary kreslíme pohybom ruky od
zápästia, dlhé čiary
kreslíme pohybom celej ruky.
Najprv kreslíme kruţnice a oblúky, potom k nim pripájame
priamky. Vyťahovať
začíname vľavo hore a postupujeme vpravo dolu.
Náčrt slúţi pre prvotné vyjadrenie myšlienky zrozumiteľným
obrázkom.
Pri kreslení náčrtu pouţívame mäkkú ceruzku.
Postup pri kreslení náčrtu:
súčiastku si dobre prezrieme a rozhodneme koľko priemetov
potrebujeme na
úplné zobrazenie
zvolíme veľkosť obrázkov
pri súmerných rotačných súčiastkach nakreslíme všetky osi
obrysy a hrany súčiastok nakreslíme tenkými plnými čiarami
vytiahneme viditeľné hrany a obrysy hrubými čiarami a
neviditeľné obrysy
čiarkovanými čiarami
nakreslíme pomocné a kótovacie čiary, šípky, tapíšeme kóty
vyšrafujeme plochy rezu a prierezu
napíšeme názov súčiastky, materiál ...
-
8
1.3 Druhy čiar v technickom kreslení
Na zobrazovanie na výkresoch sa pouţíva niekoľko druhov
čiar.
Podľa grafického vyhotovenia sa čiary rozdeľujú na :
pravidelné - plné alebo prerušované,
nepravidelné - obyčajne kreslené voľnou rukou.
Podľa vzájomného pomeru hrúbok delíme čiary na tenké a hrubé a
veľmi hrubé.
Hrúbka čiar sa volí z geometrického radu, ktorý je odstupňovaný
pribliţne s činiteľom
√2: 0,13-0,18-0,25-0,5-0,7-1,0-1,4-2,0 mm.
Pre technické výkresy sa pouţívajú čiary so vzájomne odlišnými
pomermi hrúbok.
Obr. 3 Druhy čiar
1.4 Technické písmo
Technickým písmom sa v technike popisuje technická dokumentácia
– výkresy,
tabuľky, kóty, poznámky – podľa STN ISO 3098 (01 3115)
Na popisovanie výkresov sa pouţíva prednostne písmo veľkej
abecedy a arabské
číslice. Výnimku tvoria zápisy meracích jednotiek, kde sa
pouţívajú písmená malej
abecedy – napr. kg, mm...
-
9
Písmo je charakterizované:
tvarom – býva určený vzorovým predpísaním v tabuľke
veľkosťou – je určená výškou písmen veľkej abecedy v mm
šírkou
hrúbkou = hrúbka čiary
sklonom: kolmé, šikmé 75
Veľkosť písma: (1,8) 2,5 3,5 5,0 7,0 10,0 14,0 (20,0) mm
Typ:
- kolmé a šikmé písmo typu A: výška = 14 × hrúbka
- kolmé a šikmé písmo typu B: výška = 10 × hrúbka
Prednostne sa má pouţívať kolmé písmo abecedy typu B:
Obr. 4 Typy písma
-
10
Zadanie technickej dokumentácie
1. Do predpísanej šablóny doplňte technické písmo
2. Na výkres narysujte podľa vzoru rôzne druhy čiar a technickým
písmom ich
popíšte.
Obr. 5 Technická dokumentácia - druhy čiar
-
11
2 Základy rysovania
2.1 Normalizácia v technickom kreslení
2.2 Druhy technických výkresov
2.3 Formáty výkresov
2.4 Skladanie výkresov
2.5 Rozmnožovanie výkresov
2.6 Mierky zobrazovania na technických výkresoch
-
12
2.1 Normalizácia v technickom kreslení
Normalizácia je usmernenie ľudskej činnosti z hľadiska
hospodárnosti, materiálu,
kvality a vymeniteľnosti výrobkov podľa určitých zásad. Súčasne
umoţňuje zvyšovať
produktivitu práce, dosahovať úspory materiálu, lepšie vyuţívať
výrobné prostriedky
a zaisťovať bezpečnosť a ochranu zdravia pri práci.
Tvorbu a vydávanie noriem riadi Slovenský ústav technickej
normalizácie pomocou
Technických normalizačných komisií vytvorených pre jednotlivé
odbory.
Slovenské technické normy (STN) sa označujú podľa toho, aká je
ich zhoda
s medzinárodnými normami.
Značku STN XX XXXX majú normy platné len na Slovensku.
Značku STN ISO YYY ( XX XXXX ) majú slovenské technické normy, v
ktorých
sú zapracované medzinárodné normy ISO čísla YYY. Číslo v
zátvorke (XX XXXX) je
triediace číslo danej normy v sústave STN a má význam:
Obr. 6 Slovenská technická norma
1. trieda normy, ktorá označuje názov odboru pre ktorý norma
platí
2. skupina normy
3. podskupina normy
4. poradové čislo
5. doplnkové číslice
Značku STN EN ISO YYY (XX XXXX) majú slovenské technické normy
platné
ako európske normy EN a medzinárodné normy ISO čísla YYY
-
13
Technická normalizácia
umoţňuje sériové, hromadnú a plynulú výrobu, a tým ju urýchľuje
a zlacňuje
zvyšuje produktivitu práce, poskytuje výhody národnému
hospodárstvu
i spotrebiteľom
zabezpečuje kvalitu výrobkov
dáva predpoklady na dokonalejšie vyuţitie energie, materiálu a
surovín, zniţuje
hmotnosť výrobkov
rieši pracovné a ţivotné prostredie
2.2 Druhy technických výkresov
Základom technickej dokumentácie je technický výkres, ktorý je
nositeľom technickej
myšlienky a zároveň dorozumievacím prostriedkom medzi
technikmi.
Delenie výkresov:
• podľa obsahu a určenia
o výkresy jednotlivých súčiastok čiţe detailné výkresy
o výkresy zmontovaných súčiastok čiţe výkresy zostáv
Obr. 7 Druhy technických výkresov
-
14
• podľa spôsobu vyhotovenia
o náčrt (škica) - väčšinou sa kreslí ceruzkou voľnou rukou,
nemusí sa
kresliť v mierke a udávajú sa v ňom iba základné kóty,
o originál (základný výkres alebo matrica) - kreslí sa ceruzkou
alebo tušom,
najčastejšie na pauzovacom papieri. Originál je určený na
zhotovenie
kópie a archivuje sa,
o kópia sa zhotovuje z originálu rozmnoţovaním. Kópia sa pouţíva
ako
pracovný výkres pre výrobu a montáţ.
2.3 Formáty výkresov
Výkresy kreslíme na papieri určitej veľkosti čiţe formátu.
Základným formátom
skupiny A je obdĺţnik plochy 1 m2 s pomerom strán 1: 2 , (1:
1,414). Tento formát
označujeme A0. Ostatné formáty vznikajú postupným delením
väčších formátov na
menšie: A1, A2, A3, A4.
Formáty výkresov skupiny A
Obr. 8 Formáty výkresov
Základný formát je A0, má plochu 1m² a strany v pomere 1: 2
Rozmery základných formátov sú v tabuľke
Formáty výkresov sú leţaté (v horizontálnej polohe), iba formát
A4 sa prednostne
pouţíva vo vertikálnej polohe (stojatý formát)
-
15
Tab. 1 Formáty výkresov
Formát a (mm) b (mm)
A4 210 297
A3 297 420
A2 420 594
A1 594 841
A0 841 1189
Predĺžené formáty
V osobitých prípadoch môţeme pouţiť predĺţené formáty. Ich
pouţitiu sa však
treba vyhýbať.
Predĺţené formáty sa tvoria kombináciou rozmerov kratšej strany
formátov radu A
(napr. A3) s rozmermi dlhšej strany nasledujúcich väčších
formátov radu A (napr.
A1). Výsledkom je nový formát, napríklad s označením A3.1.
2.4 Skladanie výkresov
STN 01 3111 určuje spôsoby skladania kópii všetkých druhov
technických výkresov.
Výkresy originálov a matíc sa neskladajú.
Kópie výkresov sa môţu skladať na :
voľné zaraďovanie do súboru (zloţiek),
priame zviazanie (zošitie a pod.),
zviazanie (zošitie a pod.) s pásikom na zachytenie.
Skladanie výkresov:
skladanie na formát A4,
skladanie harmonikovite v oboch smeroch,
-
16
titulný blok má byť vpredu dole.
Obr. 9 Skladanie výkresov
2.5 Rozmnožovanie výkresov
Originály sú veľmi dôleţité tak pre výrobu, ako aj pre
dokumentáciu. Preto sa pre
výrobu priamu nepouţívajú, ale ukladajú sa do archívu. V praxi
sa pouţívajú kópie,
ktoré môţu byť negatívne, pozitívne, prípadne transparentné.
Pri rozmnoţovaní výkresovej dokumentácie sa dnes pouţívajú
rozličné techniky
a spôsoby reprografie.
Diazografia (nesprávne nazývaná svetlotlač) je technika
vyuţívajúca na vytvorenie
obrazu vlastnosti diazozlúčeniny (čpavok).
Elektrografia je technika vyuţívajúca vlastnosti fotopolovodičov
na vytvorenie
latentného nábojového obrazu, ktorý počas vyvolávacieho procesu
púta pigment.
(Xerografia názov podľa prístroja Rank Xerox).
Mikrofilmová technika pouţíva zvitok alebo pásik filmu s
mikrozáznamami. Plocha
mikroštítku je 600-krát menšia neţ plocha výkresu A0. Z
mikroštítku sa premieta
zväčšený obraz na reprodukčný materiál.
-
17
2.6 Mierky zobrazovania na technických výkresoch
Mierky, ich veľkosť a zapisovanie na všetkých druhoch
technických výkresov sa zvolí
podľa :
účelu a obsahu výkresu,
zloţitosti a hustoty kresby zobrazeného predmetu,
poţiadaviek na čitateľnosť a presnosť kresby.
Úplnosť označenia mierky pozostáva zo slova MIERKA (alebo jeho
ekvivalentu
v jazyku pouţitom na výkrese a za ním sa uvedie označenie
pomeru, napríklad :
MIERKA 1:1 pre skutočnú veľkosť,
MIERKA X:1 pre zväčšenie,
MIERKA 1:X pre zmenšenie.
Ak nemôţe dôjsť k nedorozumeniu, slovo MIERKA sa nemusí
uviesť.
Označenie mierky pouţitej na výkrese sa zapisuje do titulného
bloku výkresu.
Ak nie je obraz kreslený v mierke, napíše sa v titulnom bloku v
rubrike Mierka
písmeno N ako skratka NIE JE.
Mierky zmenšenia: 1:2 1:5 1.10 1:20 1:50 1:100 ...
Mierky zväčšenia: 2:1 5:1 10:1 20:1 50:1 ...
-
18
3 Technický výkres
3.1 Úprava výkresového listu
3.2 Titulný blok výkresov
-
19
3.1 Úprava výkresového listu
Výkresový list technického výkresu musí byť orezaný.
Lem – plocha medzi rámikom kresliacej plochy a okrajom orezaného
listu
Šírka lemu:
hore, dole, vpravo 10 mm
vľavo kvôli väzbe 20 mm
Rámik kresliacej plochy – súvislá hrubá čiara hrúbky 0,7 mm
Strediace úsečky:
sú štyri,
umiestňujú sa na koncoch dvoch osí súmernosti orezaného
listu,
kreslia sa súvislou čiarou hrúbky 0,7 mm,
začínajú sa na leme orientačnej mrieţky a presahujú 5 mm za
rámček
plochy na kreslenie.
Obr. 10 Úprava výkresového listu
-
20
Orezávacie značky:
umiestňujú sa v rohoch výkresového listu
majú tvar prekrývajúcich sa obdĺţnikov s rozmermi 10x5 mm
Obr. 11 Orezávacie značky
Sústava orientačnej mriežky:
podľa normy STN ISO 3098-1,
5 mm od lemu po všetkých stranách,
pri formáte A4 sa robí len na hornej a pravej strane,
dĺţka polí je 50 mm,
delenie začína vţdy od strediacich značiek,
počet polí závisí od formátu,
polia sa označujú zhora nadol veľkými zvislými písmenami (okrem
I a O)
po oboch stranách,
polia sprava doľava sa označujú zvislými číslicami,
výška písmen a číslic má byť 3,5 mm,
čiary sústavy orientačnej mrieţky sa kreslia súvislou čiarou
hrúbky 0,35
mm.
-
21
Obr.12 Sústava orientačnej mrieţky
Obr. 13 Technický výkres
-
22
3.2 Titulný blok výkresov
Výrobný výkres je dorozumievacím prostriedkom medzi konštrukciou
a výrobou.
Musí spĺňať poţiadavky noriem a podľa toho musí obsahovať
titulný blok.
Titulný blok:
podľa STN ISO 7200 (01 3250)
umiestňuje sa v pravom dolnom rohu
obsahuje:
o identifikačné pole
o doplňujúce polia:
informatívne údaje
technické údaje
administratívne údaje
Informatívne údaje:
Metóda zobrazenia
Hlavná mierka
Dĺţkové jednotky – ak sú iné ako milimetre
Technické údaje:
Spôsob značenia drsnosti povrchu
Tolerancie
Technické normy – materiál, druh, tvar, rozmer
Administratívne údaje:
Formát výkresového listu
Dátum vydania prvého výkresu
Mená a podpisy zodpovedných osôb
-
23
Obr. 14 Titulný blok
Obr. 15 Titulný blok
-
24
4 Jednoduché telesá
4.1 Jednoduché telesá
4.2 Siete mnohostenov
4.3 Siete valcov a kužeľov
4.4 Siete n-bokých hranolov a ihlanov
4.5 Siete zrezaných telies
4.6 Zaujíma vás?
-
25
4.1 Jednoduché telesá
Telesá moţno rozdeliť podľa rôznych kritérií.
Jedno možné rozdelenie telies do dvoch skupín je nasledovné:
Mnohosteny, kde patria napr. kocka, hranol, kváder,
štvorsten,
rovnobeţnosten, ihlan, zrezaný ihlan.
Všetky ostatné, kde patria napr. rotačný a šikmý valec, rotačný
a šikmý
kuţeľ, zrezaný kuţeľ, guľa a jej časti.
V škole budeme pouţívať najčastejšie rozdelenie telies na
nasledujúce dve hlavné
skupiny:
Mnohosteny, ktoré sa rozdeľujú do dvoch podskupín:
1) hranoly - hranol, kocka, pravidelný n-boký hranol,
kváder...
2) ihlany – ihlan a zrezaný ihlan, pravidelný n-boký ihlan a
pravidelný zrezaný
n-boký ihlan, štvorsten a pravidelný štvorsten...
Rotačné telesá: kolmý (kruhový) valec, kolmý (kruhový) kuţeľ a
zrezaný
kolmý (kruhový) kuţeľ, guľa a jej časti
4.2 Siete mnohostenov
Pravidelný mnohosten musí spĺňať kritériá:
1. konvexnosť – musí byť konvexný, t. j. kaţdá jeho strana má
šancu byť
zvolená, „padnúť“ (napr. konvexný je štvrťkruh, nekonvexný
je
trištvrtekruh),
2. steny musia byť pravidelné n-uholníky – najmenší je
rovnostranný
trojuholník, teleso je štvorsten,
3. pri kaţdom vrchole musí byť zoskupený rovnaký počet stien
(inak by
nebol pravidelný).
-
26
4. dá sa opísať aj vpísať guľa, t. j. existuje guľová plocha,
ktorá obsahuje
všetky vrcholy a guľová plocha dotýkajúca sa všetkých stien
zvnútra.
Mnohosteny, ktoré spĺňajú tieto podmienky sú: pravidelný
štvorsten,
pravidelný šesťsten, pravidelný osemsten, pravidelný dvanásťsten
a
pravidelný dvadsaťsten.
Medzi počtom stien, hrán a vrcholov konvexného mnohostena platí
vzťah
(známy asi dvetisíc rokov ), ktorý dostal pomenovanie po
matematikovi, ktorý ho
dokázal.
Eulerova veta o mnohostenoch
V kaţdom konvexnom mnohostene, v ktorom označíme s počet stien,
h počet hrán,
v počet vrcholov, platí rovnosť
s+v = h+2, resp s+v -h = 2
Mnohosteny
pravidelný štvorsten (tetraéder), steny sú rovnostranné
trojuholníky,
pravidelný šesťsten (hexaéder) - kocka, steny sú štvorce,
pravidelný osemsten (oktaéder), steny sú rovnostranné
trojuholníky,
pravidelný dvanásťsten (dodekaéder), steny sú pravidelné
päťuholníky,
pravidelný dvadsaťsten (ikosaéder), steny sú rovnostranné
trojuholníky.
Obr. 16 Mnohosteny
http://pdfweb.truni.sk/elskripta/vrankova/Kapitola_5_final/pravidelny_4sten.cg3http://pdfweb.truni.sk/elskripta/vrankova/Kapitola_5_final/pravidelny_6sten.cg3http://pdfweb.truni.sk/elskripta/vrankova/Kapitola_5_final/pravidelny_8sten.cg3http://pdfweb.truni.sk/elskripta/vrankova/Kapitola_5_final/pravidelny_12sten.cg3http://pdfweb.truni.sk/elskripta/vrankova/Kapitola_5_final/pravidelny_20sten.cg3
-
27
Sieťou telesa [sieťou mnohostena] sa nazýva súvislý rovinný
útvar, ktorý je
zjednotením častí [mnohouholníkov] zhodných s časťami hranice
telesa [so stenami
mnohostena], rozloţených v rovine tak, ţe ich opätovným zloţením
dostaneme
hranicu telesa [mnohostena]. V prípade mnohostena dotýkajúce sa
hraničné
mnohouholníky majú spoločnú celú stranu.
Rozloţiť hranicu telesa (mnohostena) do roviny je moţné
viacerými spôsobmi,
ale len niektoré z nich budú jeho sieťami, a teda vhodnými na
vytvorenie
(papierového) modelu.
Vytvoriť (takýto) model telesa teda znamená:
zostrojiť sieť telesa (mnohostena),
umiestniť vhodne záloţky na zlepenie.
Najdôležitejšie vlastnosti pravidelných mnohostenov týkajúcich
sa počtu
stien, vrcholov a hrán uvedieme prehľadne v nasledujúcej
tabuľke:
Tab.2 Dôleţité číselné údaje o pravidelných mnohostenoch.
Počet Počet hrán/strán
Názov
pravidelného mnohostena stien vrcholov hrán
jedného
vrchola
jednej
steny
s v h m n
štvorsten (tetraéder) 4 4 6 3 3
šesťsten (hexaéder) –
kocka
6 8 12 3 4
osemsten (oktaéder) 8 6 12 4 3
dvanásťsten (dodekaéder) 12 20 30 3 5
dvadsaťsten (ikosaéder) 20 12 30 5 3
-
28
Na nasledujúcom obr.17 sú ukáţky sietí všetkých pravidelných
mnohostenov (aj
so záloţkami). Nakreslite ďalšie siete pravidelných mnohostenov
a zostrojte si
modely týchto telies.
Obr. 17 Siete pravidelných mnohostenov - platónskych telies aj
so záloţkami:
štvorstena, šesťstena, osemstena, dvanásťstena, dvadsaťstena
-
29
Na obr. 18 je ukáţka hranového a stenového modelu konvexného
mnohostena,
mnohostena s čiastočne rozloţenou sieťou a jeho siete
Obr. 18 Konvexný mnohosten
c)
d)
a) b)
-
30
4.3 Siete valcov a kužeľov
Hranica valcov a kuţeľov je zjednotením ich plášťov a podstáv. Z
toho vyplýva
výpočet ich povrchov. Obsah podstavy telesa značíme P (ak budú
dve, pridáme k
písmenu P indexy), obsah plášťa budeme značiť písmenom Q.
Hranicu rotačného valca tvorí plášť a dve kruhové podstavy. Aby
sme zostrojili
sieť valca, rozvinieme plášť do roviny. Preto plášť
„rozstrihneme“ pozdĺţ jednej
tvoriacej úsečky a vznikne obdĺţnik. Dĺţky strán tohto obdĺţnika
sú určené výškou
valca a obvodom podstavného kruhu.
Hranicu rotačného kuţeľa tvorí plášť a kruhová podstava. Plášť
kuţeľa môţeme
tieţ „rozstrihnúť“ pozdĺţ tvoriacej úsečky s dĺţkou s a rozvinúť
do roviny. Vznikne
kruhový výsek s polomerom 22 vrs (obr. 14b), pričom dĺţka oblúka
sa rovná
dĺţke obvodu kruhovej podstavy l = 2πr. Stredový uhol kruhového
výseku má veľkosť
sπ2
srl a obsah kruhového výseku, t.j. obsah plášťa je rsQ
srss ππ2
π2π
π2π 22 .
Obr. 20 Rotačný valec a jeho sieť, rektifikácia kruţnice
S
S
v
r
s
k
k
S
r
k
S
k
r
v
2r
r
O X Y
S
k r
r r r
Z
30°
-
31
4.4 Siete n-bokých hranolov a ihlanov
V tejto časti sa budeme zaoberať vzťahmi, pomocou ktorých
vypočítame povrch
jednoduchých hranatých telies, a to hranolov a ihlanov (vrátane
zrezaných
ihlanov) a sieťami týchto telies.
Zjednotenie všetkých bočných stien hranola, ihlana alebo
zrezaného ihlana
tvorí ich plášť. Hranica kaţdého z týchto telies je zjednotením
jeho plášťa
a podstáv. Z toho vyplýva výpočet ich povrchov. Obsah podstavy
telesa značíme P
(ak budú dve, pridáme k písmenu P indexy), obsah plášťa budeme
značiť písmenom
Q.
Obr. 21 Rotačný kuţeľ a jeho sieť
S
r
k
V
s
S
V
v s
k
r
Obr. 22 Pravidelný 3-boký hranol a jeho sieť
C
C
C A
C
B C
C B A
v
a
a
v
B
B A C
C
a
A
A
A
B C
a a
a
w
-
32
Sieť ihlana z obr. 23 tvorí zjednotenie štyroch rovnoramenných
zhodných
trojuholníkov so základňou a, výškou w (w je stenová výška) a
jedného štvorca so
stranou dĺţky.
4.5 Siete zrezaných telies
Hranicu zrezaného rotačného kužeľa tvorí plášť a dve kruhové
podstavy.
Pretoţe plášte rotačných kuţeľov sú kruhové výseky, plášť
zrezaného kuţeľa sa
rozvinie do výseku medzikruţia – výseku kruhového pásu (ako
rozdiel kruhových
výsekov - plášťov pôvodného a odrezaného kuţeľa) so stranou
dĺţky
2221 )( vrrs , za predpokladu, ţe poznáme polomery podstáv a
výšku
zrezaného rotačného kuţeľa. Obsah plášťa zrezaného rotačného
kuţeľa je
srrQ )π( 21 .
Obr. 23 Pravidelný 4-boký ihlan a jeho sieť
A
V
A
D
A
B
C P
B
a
w
a
A B
C D
V
v w
a
P S
Obr. 24 Zrezaný kuţeľ a jeho sieť
2r
2
2r
1
s
r2
r1
S1
S2
-
33
Príklad konkrétnej konštrukcie siete a znázornenie zrezaného
pravidelného
šesťbokého ihlana a jeho sieť vidíme na nasledujúcom obr. 25
Obr. 25 Zrezaný pravidelný šesťboký ihlan
-
34
4.6 Zaujíma vás?
Pravidelné mnohosteny alebo platónovské či Platónove telesá, sú
špecifické
mnohosteny. Ich názov naznačuje, ţe boli známe matematikom uţ v
starovekom
antickom Grécku. Napriek názvu neobjavil ich samotný Platón (ţil
asi v rokoch 428-
347 pred n.l.), ale venoval sa len ich štúdiu v súvislosti s
filozofiou. Pravidelné
mnohosteny boli opísané Euklidom (ţil asi v rokoch 365-300 pred
n.l.) v 13. knihe
(kapitole) jeho Základov. Pravidelných mnohostenov je len päť
typov a tento fakt bol
dokázaný aţ v 18. storočí. Podľa Platóna štvorsten predstavuje
oheň, kocka zem,
osemsten vzduch, dvanásťsten éter, materiál, z kt. sú nebo a
hviezdy, dvadsaťsten
vodu. Štvorsten, osemsten, dvadsaťsten patria do početnejšej
skupiny telies, pretoţe
ich steny sú zhodné rovnostranné trojuholníky, nazývame ich
deltaédry (z gréckeho:
stena = éder)..
Platónovské telesá sú geometrickým modelom viacerých
(súmerných)
prírodných štruktúr. V chémii sa napr. študuje stavba molekúl a
kryštálových mrieţok,
v mineralógii sa podobne študuje geometria kryštálov. Je
všeobecne známe, ţe
chlorid sodný (NaCl – kuchynská soľ) kryštalizuje v kockách, ale
asi uţ menej, ţe
napr. bór v dokonalých dvadsaťstenoch. Podľa najnovších objavov
v biológii aj
mnohé vírusy, o ktorých sa predpokladalo, ţe majú guľovitý tvar,
by mali mať tvar
pravidelného dvadsaťstena, napr. vírus detskej obrny a iné.
Pravidelné mnohosteny
(ich rovinné grafy) sa študujú aj v teórii grafov.
Ku kaţdému konvexnému mnohostenu sa dá zostrojiť duálny
mnohosten tak,
ţe za vrcholy duálneho mnohostena zvolíme stredy stien
pôvodného. Potom vzniknú:
- duál štvorstenu = opäť štvorsten
- duál kocky = osemsten
- duál osemstenu = kocka
- duál dvanásťstenu = dvadsaťsten
- duál dvadsaťstenu = dvanásťsten
-
35
Worling - teória skladania papiera do geometrických tvarov,
napr. štvorec,
obdĺţnik, trojuholník, päťuholník, šesťuholník a pod. Popis:
Papier A4 - máme štyri
vrcholy, dva susedné, dva protiľahlé, spojte dva protiľahlé
vrcholy, stisnite papier,
nechajte preloţené, spojíme dva najvzdialenejšie vrcholy,
preloţíme tak, aby vznikla
stredová os, potom narovnáme naspäť, dve protiľahlé najkratšie
strany priloţíme na
stredovú os a vznikne päťuholník (moţno).
Stella octangula - Je to hviezdicový mnohosten, ktorý je zloţený
z dvoch do
seba prenikajúcich štvorstenov, tak vytvára hviezdu. Všetky
steny sú zhodné
rovnostranné trojuholníky. Prienikom dvoch štvorstenov je
pravidelný osemsten.
Obr. 19 Stella octangula
Projekt
Siete jednoduchých telies – Poďme sa hrať
Navrhnite a vytvorte model hračky pre deti alebo darčekového
predmetu pre
dospelých zloţený z jednoduchých a zrezaných telies. Prezentujte
svoj model formou
albumu fotografií.
-
36
5 Premietanie 5.1 Pravouhlé premietanie na niekoľko
priemetní
-
37
5.1 Pravouhlé premietanie na niekoľko priemetní
Pre zobrazenie predmetu do rovinnej plochy pouţívame rôzne
druhy premietania. Ak chceme zobraziť celkový tvar predmetu
na
jednu plochu, tzv. priemetňu, pouţívame názorné obrazy
telesa,
ktoré vyuţívajú tieto druhy premietania: pravouhlá
axonometria
a šikmé premietanie. S týmito druhmi premietania sa budeme
zaoberať neskôr.
Druhy premietania podľa sklonu premietacích lúčov:
Stredové premietanie: je také, ak premietané lúče vychádzajú z
jedného
centra
Kosouhlé premietanie: je také, ak premietacie lúče sú navzájom
rovnobeţné
a dopadajú na premietaciu rovinu šikmo
Pravouhlé premietanie: je také, ak premietacie lúče sú
rovnobeţné a kolmé
na premietaciu plochu
Na dokonalé technické určenie tvaru telesa nestačí jeho názorný
obraz. Vidíme len
obmedzený počet hrán a stien telesa. Preto v technickom kreslení
zobrazujeme
predmety presnejším spôsobom, tzv. pravouhlým premietaním.
Rovinu, na ktorej zobrazujeme teleso, nazývame priemetňou.
Samotný obraz je
priemet. Spôsob, akým teleso zobrazujeme, nazývame
premietaním.
Pre technické zobrazovanie je typické, ţe zobrazovaný predmet
umiestnime
vzhľadom na priemetne do priečelnej polohy
Priemetňa - rovina, na ktorú premietame
Nárysňa - označenie X,Z . Zobrazuje teleso pri pohľade spredu -
1
Bokorysňa - označenie Z,Y Zobrazuje teleso pri pohľade zľava -
2
Pôdorysňa - označenie X,Y Zobrazuje teleso pri pohľade zhora -
3
ľavý bokorys
spodný pohľad
zadný pohľad
-
38
Obr. 26 Uloţenie priemetní Obr. 27 Pravouhlé premietanie
Obr. 28 Zdruţené priemetne a priemety
-
39
6 Mongeovo premietanie
6.1 Priemety bodov
6.2 Priemety priamok
6.3 Priemety roviny, stopy roviny
6.4 Skutočná veľkosť úsečky
-
40
6.1 Priemety bodov
Mongeova projekcia (premietanie) je zobrazovacia metóda, v
ktorej priestorové objekty kolmo premietame do dvoch
vzájomne
kolmých priemetní a potom tieto priemetne zdruţíme, t.j.
jednu
otočíme okolo ich spoločnej priesečnice o uhol veľkosti 90°
.
Zdruţením priemetní získame jedinú rovinu, tzv. nákresňu, v
ktorej
máme obidva priemety zobrazovaných priestorových objektov.
Dve navzájom kolmé roviny π, υ v trojrozmernom euklidovskom
priestore:
prvá priemetňa – rovina π; v technickej praxi pôdorysňa
druhá priemetňa – rovina υ; υ technickej praxi nárysňa
základnica x – priesečnica rovín π, υ
Obr. 29 Navzájom kolmé priemetne
Kolmé premietanie bodu A:
prvý priemet bodu A – pôdorys A1
Obr. 30 Pôdorysný priemet bodu A
druhý priemet bodu A – nárys A2
Obr. 31 Nárysný priemet bodu A
-
41
Obr. 32 Priemety bodu A
Združenie priemetní – otočenie O priemetne π okolo priamky x do
priemetne υ tak,
aby kladná polrovina roviny π sa otočila do zápornej polroviny
roviny υ.
Obr. 33 Zdruţené priemety
združené priemety bodu A (pôdorys, nárys) – usporiadaná dvojica
bodov A1,
A2
(ozn. [A1,
A2])
ordinála bodu – spojnica bodov A1
A2
kolmá na základnicu x
Orientácia polpriestorov:
I. kvadrant (π+
, υ+
)
II. kvadrant (π+
, υ-
)
III. kvadrant (π-
, υ-
)
IV. kvadrant (π-
, υ+
)
Obr. 34 Rozmiestnenie kvadrantov
-
42
I. kvadrant: bod A (x, y>0, z> 0)
Obr. 35 Obraz bodu A v I. kvadrante
II. kvadrant: bod B (x, y 0)
Obr. 36 Obraz bodu A v II. kvadrante
-
43
III. kvadrant: bod C (x, y
-
44
6.2 Priemety priamky
Obraz priamky v Mongeovom premietaní je určený prvým a druhým
priemetom
priamky.
Stopník priamky je priesečník priamky s priemetňou. Pôdorysný
stopník P je
priesečník priamky s pôdorysňou, hľadáme preň prvý a druhý
priemet - P1
P2.
Obdobne nárysný stopník N je priesečník priamky s nárysňou a
hľadáme preň N1
N2 .
Niektorý stopník aj nemusí existovať, prípadne priamka leţí v
niektorej súradnicovej
rovine a preto má nekonečne veľa stopníkov. Nech priamka a je vo
všeobecnej
polohe vzhľadom k priemetniam a základnici.
združené priemety priamky – usporiadaná dvojica priamok
[a1,a2]
a1 – pôdorys priamky a
a2 – nárys priamky a
Obr. 39 Zdruţené priemety priamky
-
45
Významné body priamky:
pôdorysný stopník priamky Pa
– priesečník priamky a s priemetňou π (ak existuje);
Pa
= a ∩ π
nárysný stopník priamky Na
– priesečník priamky a s priemetňou υ (ak existuje);
Na
= a ∩ υ
Niektoré špeciálne polohy priamky vzhľadom k priemetniam a
základnici, určenie
stopníkov, ak existujú:
Priamka a je kolmá na pôdorysňu
Obr. 40 Priamka kolmá na pôdorysňu
Priamka a je kolmá na nárysňu
Obr. 41 Priamka kolmá na nárysňu
-
46
Priamka a leţí v rovine kolmej na pôdorysňu a nárysňu
Obr. 42 Priamka v rovine kolmej na obe priemetne
a || π
Obr. 43 Priamka rovnobeţná s pôdorysňou
a || υ
Obr. 44 Priamka rovnobeţná s nárysňou
-
47
a || x
Obr. 45 Priamka rovnobeţná s oboma priemetňami
Obraz bodu na priamke
Bod A leţí na priamke a práve vtedy, keď pôdorys bodu A1 leţí na
pôdoryse priamky a
1,
nárys bodu A2 leţí na náryse priamky a
2.
Obr. 46 Obraz bodu na priamke
-
48
Obraz dvojice priamok
Priamky a, b sú vo všeobecnej polohe vzhľadom k rovinám π, υ a
základnici x.
rovnobežné priamky: a||b
Obr. 47 Rovnobeţné priamky
Obr. 48 Obraz rovnobeţných priamok
-
49
rôznobežné priamky: axb
Obr. 49 Rôznobeţné priamky
mimobežné priamky: a,b
Obr. 50 Mimobeţné priamky
-
50
6.3 Priemety roviny, stopy roviny
Rovina je určená zdruţenými priemetmi určujúcich prvkov. Môţu to
byť:
tri nekolineárne body
priamka a bod, ktorý na nej neleží
dve rovnobežné rôzne priamky
dve rôznobežné priamky
Obr. 51 Priemet roviny
pα
- pôdorysná stopa roviny – priesečnica roviny s priemetňou π, ak
existuje,
pα
= α ∩ π
nα
- nárysná stopa roviny – priesečnica roviny s priemetňou υ, ak
existuje,
nα
= α ∩ υ
Zápis roviny: α = (a, b, c) = [X(a,0,0) Y(0,b,0) Z(0,0,c)]
Obr. 52 Stopy roviny
-
51
Špeciálne roviny:
prvá premietacia rovina – rovina kolmá na priemetňu π
Obr. 53 Rovina kolmá na pôdorysňu
druhá premietacia rovina – rovina kolmá na priemetňu υ
Obr. 54 Rovina kolmá na nárysňu
-
52
rovina rovnobežná so základnicou x, λ || x;
Obr. 55 Rovina rovnobeţná so základnicou
Obraz bodu a priamky v rovine
Bod leží v rovine práve vtedy, keď leží na priamke
roviny.
Obr. 56 Bod v rovine
Priamka v rovine určenej stopami: pôdorysný stopník priamky leţí
na pôdorysnej
stope roviny a nárysný stopník priamky na jej nárysnej
stope.
Obr. 57 Priamka a stopy roviny
-
53
Významné priamky roviny (rovina nemá špeciálnu polohu):
- hlavné priamky
- spádové priamky
Hlavné priamky sú priamky rovnobežné so stopami roviny
hlavná priamka I. osnovy – priamka hI
roviny rovnobeţná s priemetňou π;
hI
= α ∩ π’, π’||π
Obr. 58 Hlavná priamky I. osnovy
hlavná priamka II. osnovy – priamka hII
roviny rovnobeţná s priemetňou υ;
hII
= α ∩ υ’, υ’||υ
Obr. 59 Hlavná priamky II. osnovy
-
54
Spádové priamky sú priamky kolmé na stopy roviny (kolmé na
hlavné priamky
roviny)
spádová priamka I. osnovy – priamka sI
roviny kolmá na hlavné priamky prvej
osnovy hI
;
spádová priamka II. osnovy – priamka sII
roviny kolmá na hlavné priamky druhej
osnovy hII
;
Obr. 60 Spádová priamka I. osnovy
Obraz dvojice rovín
Dve roviny a ich združené priemety:
rovnobežné roviny
α||β
Obr. 61 Rovnobeţné roviny
-
55
rôznobežné roviny
α ∩ β = r – priesečnica
Obr. 62 Rôznobeţné roviny
-
56
6.4 Skutočná veľkosť úsečky
Obr. 63 Sklopené body A,B
Obr. 64 Sklopené body A,B
-
57
Cvičenia
1. Bod A leţí v rovine ρ. Zostrojte chýbajúci prvý priemet bodu
A.
Obr. 65 Zadanie a riešenie úlohy
Obr. 66 Iné riešenie úlohy
2. Daným bodom A veďte priamku a rovnobeţnú s danou priamkou
b.
Obr. 67 Zadanie a riešenie úlohy
-
58
3. Daným bodom A veďte priamku a rôznobeţnú s danou priamkou b,
ak poznáte
prvý priemet priamky a1.
Obr. 68 Zadanie a riešenie úlohy
4. Zostrojte stopy roviny ρ, ktorá je určená bodom A a priamkou
b.
Obr. 69 Zadanie a riešenie úlohy
5. Daný je obraz trojuholníka ABC ⊂ ρ. Zostrojte trojuholník
zhodný s trojuholníkom
ABC.
Obr. 70 Zadanie a riešenie úlohy
-
59
7 Kótovanie na technických
výkresoch
7.1 Kótovanie a prvky kótovania
7.2 Kótovanie polomerov, priemerov, uhlov, zaoblení
7.3 Spôsoby kótovania
-
60
7.1 Kótovanie a prvky kótovania
Patrí k najzodpovednejšej práci pre kreslení, uľahčuje čítanie
výkresov, výrobu
a montáţ.
Kótovanie je určovanie rozmerov súčiastky, jej tvaru a vzájomnej
polohy tvarových
prvkov na súčiastke
Prvky kótovania:
kótovacia čiara
ukončenie kótovacej čiary
predlţovacia čiara (pomocná)
odkazová čiara
kóta
Obr. 71 Prvky kótovania
Kótovacia čiara
je to tenká súvislá neprerušovaná čiara
nesmie ju nič kriţovať
výnimočne kreslíme kótovaciu čiaru neúplnú
kótovacia čiara je:
o priamka, ak kótujeme lineárne rozmery
o oblúk, ak kótujeme uhly alebo oblúky a má stred vo vrchole
uhla alebo
v strede oblúka
o polpriamka, ak kótujeme polomery, začína v strede
kótovaného
polomeru.
-
61
Ukončenie kótovacej čiary
a) šípkami
otvorené
uzatvorené
uzatvorené a plné (obr. 79)
b) bodkami, krátkymi úsečkami pod uhlom 45º
Obr. 72 Moţnosti kótovania
Obr. 73 Rôzne kótovanie
Predlžovacia (pomocná) čiara
je tenká súvislá čiara
väčšinou je kolmá na kótovaný obrys
môţe sa kresliť aj šikmo, ale v tom prípade musí byť
odpovedajúca dvojica
rovnobeţná
kreslí sa vţdy za kótovaciu čiaru 1- 2mm
môţe prechádzať obrysmi, pretínať iné čiary a môţeme ju
prerušiť
-
62
Odkazová čiara
tenká súvislá čiara
kreslí sa vţdy šikmo a na konci môţe byť zalomená vodorovne
alebo zvislo
začína bodkou alebo šípkou, prípadne je bez začiatku
o bodkou začína na ploche
o šípkou na hrane
o bez začiatku na kótovacej čiare
vţdy sa vynášajú mimo obraz
ak prechádzajú šráfovaním, musí sa ich sklon výrazne meniť od
sklonu
šráfovania
Obr. 74 Odkazové čiary
Obr. 75 Pouţitie odkazových čiar
-
63
Kóta
je číselný údaj, ktorý udáva rozmer v milimetroch
výška čísla závisí od veľkosti obrázku
písmo - typ B - podľa formátu, hrúbky čiar
kóta sa píše vţdy nad kótovaciu čiaru a vţdy tak, aby sa výkres
dal čítať zdola
nahor a sprava doľava
kóta nesmie byť rozdelená ţiadnou čiarou
Obr. 76 Vpisovanie kót
Obr. 77 Vpisovanie kót Obr. 78 Vpisovanie kót
-
64
Ďalšie vlastnosti prvkov kótovania
- pri kótovaní sa môţe medzi obrysovou a pomocnou čiarou
vynechať medzera
- kótovacia čiara je od obrysovej najmenej 7 mm vzdialená
- kótovacie čiary sa musia ukončovať šípkami
- veľkosť šípok je najmenej 2,5 mm
- pri krátkych kótach môţe byť namiesto šípok úsečka sklonená
pod uhlom 45º vpravo
- kóta sa umiestňuje nad súvislou kótovacou čiarou vo
vzdialenosti 1 mm
- kóta, ktorá nezodpovedá nakreslenému rozmeru sa musí
podčiarknuť
- kóty sa uvádzajú v milimetroch, jednotky dĺţky sa
neuvádzajú
- uhly sa uvádzajú v stupňoch, minútach a sekundách
- ak pretína šípka obrysovú čiaru, musí sa čiara prerušiť
- kaţdý rozmer kótujeme iba raz
Obr. 79 Šípky a kótovacie čiary
-
65
7.2 Kótovanie polomerov, priemerov, uhlov, zaoblení
Kótovanie polomerov
pred kótu sa dáva značka "R" (Rádius)
Obr. 80 Kótovanie polomerov
Obr. 81 Rôzne druhy kótovania polomerov
-
66
Kótovanie priemerov
pred kótu dávame značku ϕ
Obr. 82 Kótovanie priemerov
Obr. 83 Kótovanie priemerov
Obr. 84 Kótovanie priemerov
Obr. 85 Kótovanie priemerov
-
67
Kótovanie uhlov
Obr. 86 Kótovanie uhlov Obr. 87 Kótovanie uhlov
Kótovanie oblúkov
Stredový uhol
Dĺţkou tetivy
Dĺţkou oblúka
Obr. 88 Stredový uhol Obr. 89 Dĺţka tetivy Obr. 90 Dĺţka
oblúka
Kótovanie skosení
vonkajšie skosenie
Obr. 91 Vonkajšie skosenie
-
68
vnútorné skosenie
Obr. 92 Vnútorné skosenie
Kótovanie zaoblení hrán
polomer zaoblenia
stred polomeru nevyznačujeme
Obr. 93 Kótovanie zaoblenia
Kótovanie opakujúcich sa prvkov
kótujú sa zjednodušene tak, ţe zakótuje sa
jeden pomocou značky násobenia.
na odkazovaciu čiaru sa uvedie celkový počet
prvkov
Obr. 94 Kótovanie opakujúcich sa prvkov
Kótovanie závitov
1. zobrazenie profilu závitu
2. vonkajší priemer
3. stúpanie iba ak je iné ako v STN
4. dĺţka závitu
Obr. 95 Kótovanie závitov na skrutke
-
69
7.3 Spôsoby kótovania
- reťazcové kótovanie
- kótovanie od jednej základne – je najpouţívanejšie
- zmiešané kótovanie
Obr. 96 Reťazcové kótovanie
Obr. 97 Kótovanie od jednej základne Obr. 98 Zmiešané
kótovanie
Zadanie technickej dokumentácie
Narysujte podľa vzoru dva technické výkresy na výkres a na
pauzovací papier:
- hriadeľ
- skrutka M12 x 1,5 dĺţky 50 mm
-
70
Obr. 99 Skrutka M12
Obr.100 Hriadeľ
-
71
8 Technické krivky
8.1 Technické krivky, rozdelenie
8.2 Elipsa
8.3 Metódy konštrukcie elipsy
8.4 Iné technické krivky
-
72
8.1 Technické krivky, rozdelenie
Názov „kuţeľosečky“ pomenováva moţnosť ich vytvorenia ako
prieniku rotačnej kuţeľovej plochy a príslušnej roviny rezu.
Kuţelosečky:
elipsa
kruţnica
hyperbola
parabola
Obr. 101 Kuţelosečky
Iné technické krivky:
evolventa
Archimedova špirála
skrutkovica
-
73
8.2 Elipsa
Elipsa je rovinná krivka, ktorá patrí do triedy kuţeľosečiek.
Elipsu moţno definovať
ako mnoţinu všetkých bodov roviny, ktoré majú od dvoch pevných
bodov F1 a F2
konštantný súčet vzdialeností, ktorý je väčší ako vzdialenosť
týchto bodov.
Body F1, F2 sa nazývajú ohniská, priamka prechádzajúca bodmi F1,
F2 sa nazýva
hlavná os elipsy, body A, B v ktorých os elipsy pretína elipsu
sú hlavné vrcholy
elipsy, stred úsečky F1, F2 je stred elipsy a priamka kolmá na
hlavnú os elipsy
prechádzajúca jej stredom je vedľajšia os elipsy a body C, D, v
ktorých vedľajšia os
elipsy pretína elipsu sú vedľajšie vrcholy elipsy.
Obr. 102 Elipsa
Obr. 103 Elipsa
-
74
8.3 Metódy konštrukcie elipsy
trojuholníková
priečková metóda
metóda oskulačných kruţníc
pásikové metódy
Trojuholníková metóda
Obr. 104 Trojuholníková metóda Obr. 105 Trojuholníková
metóda
Priečková metóda
Obr. 106 Priečková metóda
-
75
Prúžková metóda
rozdielová
Obr. 107 Prúţková metóda rozdielová
súčtová
Obr. 108 Prúţková metóda súčtová
Prúžková konštrukcia elipsy
Majme dĺţky hlavnej a vedľajšej poloosi a, b. Na prúţok papiera
si vyznačíme bod X
na jednom konci, bod 1 vo vzdialenosti b a bod 2 vo vzdialenosti
a. Keď teraz
budeme pohybovať prúţkom tak, ţe bod 2 sa bude pohybovať po
vedľajšej osi a bod
1 zasa po hlavnej osi elipsy, krajný bod X nám opíše hľadanú
elipsu. Táto
konštrukcia má svoj názov odtiaľ, ţe na prúţku papiera máme
naznačený rozdiel |12|
= a – b
-
76
Metóda hyperoskulačných rovníc
Obr. 109 Metóda hyperoskulačných rovníc
Metóda hyperoskulačných kružníc
Kvôli presnejšej konštrukcii krivky v jej jednotlivých bodoch
pouţívame tzv. oskulačné
kruţnice, ktoré v okolí bodu nahrádzajú oblúk krivky. Oskulačná
kruţnica má v bode
krivky tzv. trojbodový dotyk.
Pre konštrukciu krivky kuţeľosečiek v jej vrcholoch vyuţívame
tzv. hyperoskulačné
kruţnice, ktoré majú v okolí vrcholov aţ štvorbodový dotyk.
Zostrojíme obdĺţnik SBS´C a jeho uhlopriečku CB. Z bodu S´
zostrojíme kolmicu na
uhlopriečku CB, ktorá pretne osi elipsy v hľadaných stredoch
hyperoskulačných
kruţníc SB a SC pre vrcholy B a C (polomer je |SBB| a |SCC|).
Stredy SA a SD pre
hyperoskulačné kruţnice pre vrcholy A a D sú symetrické podľa
stredu S elipsy so
stredmi SB a SC (pre polomery platí: |SAA| = |SBB|, |SDD| =
|SCC|).
-
77
Kužeľosečky v praxi
Obr. 110 Hyperbola Obr. 111 Parabola
Obr. 112 Elipsa Obr. 113 Parabolický hyperboloid
Obr. 114 Rotačný hyperboloid
-
78
8.4 Iné technické krivky
Evolventa - krivka, ktorá vzniká valením priamky h po kruţnici
p, bod pevne spojený
s priamkou h opíše evolventu.
Postup:
Obvod kruţnice rozdelíme na určitý počet rovnakých dielov, oblúk
prislúchajúci
jednému dielu zretifikujeme a nanesieme na dotyčnice vedené ku
kruţnici v deliacich
bodoch
Obr. 115 Konštrukcia evolventy Obr. 116 Konštrukcia
evolventy
Obr. 117 Evolventa
-
79
Archimedova špirála – rovinná krivka vytvorená rovnomerným
pohybom bodu po
sprievodiči, ktorý sa rovnomerne otáča okolo pólu.
Postup konštrukcie:
Ak sa otočí sprievodič o uhol 2π , bude sa vzdialenosť bodu A od
začiatku rovnať r0.
Uhol 2π rozdelíme na n rovnakých dielov a tieţ úsečku r0, na
jednotlivé sprievodiče
nanesieme od začiatku postupne dĺţky r0/n, 2r0/n...
Obr. 118 Archimedova špirála Obr. 119 Archimedova špirála
Obr. 120 Archimedova špirála Obr. 121 Archimedova špirála
-
80
Skrutkovica – priestorová krivka, ktorú opíše bod A rovnomerným
otáčaním okolo
osi o a súčasným rovnomerným posuvom v smere tejto osi –
pravotočivé
a ľavotočivé
Obr. 122 Skrutkovica
Postup konštrukcie
Obvod kruhovej podstavy valca, na ktorom má byť skrutkovica
vytvorená, rozdelíme
na vhodný párny počet rovnakých dielov (napr.12) a rozvinieme ho
do priamky. Ak
sa otočí bod o 2π, posunie sa súčasne v smere osi o veľkosť
stúpania s. Veľkosť
stúpania s vynesieme na kolmicu v koncovom bode rozvinutého
obvodu podstavca
valca. Vznikne tak základný tvoriaci trojuholník, ktorého
prepona po navinutí na
valec vytvorí hľadanú skrutkovicu.
-
81
Obr. 123 Skrutkovica
Obr. 124 Skrutkovica
Obr. 125 Skrutkovica
-
82
2. ročník
9 Názorné zobrazovanie
9.1 Názorné zobrazovanie
9.2 Kosouhlé premietanie
9.3 Pravouhlá axonometria
9.4 Zaujíma vás?
-
83
9.1 Názorné zobrazovanie
Na zobrazovanie predmetov na technických výkresoch sa pouţívajú
rôzne metódy
premietania normalizované v technických normách ISO 5456-1 aţ
4.
Tieto metódy moţno rozdeliť na dve základné skupiny:
metódy 3D, ktoré poskytujú trojrozmerný pohľad na predmet -
názorné
zobrazovanie,
metódy 2D, ktoré zobrazujú predmet dvojrozmernými obrazmi -
kolmé
premietanie – zobrazovanie.
V technickej literatúre a v technickej praxi sa často snaţíme
vytvoriť
obrazom ţiadúcu predstavu o skutočnom tvare predmetu.
Pouţívame pritom premietanie na jednu plochu, tzv.
priemetňu.
Zobrazovanie priestoru do roviny sa uskutočňuje teda špecifickým
spôsobom.
Existujú dva základné druhy premietania:
- stredové premietanie (SP)
- rovnobežné premietanie (RP).
Stredové premietanie nie je zobrazovacou metódou. Špeciálnym
prípadom je
lineárna perspektíva, ktorá sa pouţíva hlavne v technickej praxi
(v architektúre
a stavebníctve - návrhy projektov stavieb a pod.).
Obr. 126 Stôl s kompozíciou v RP a SP
-
84
Rovnobežné premietanie je zobrazenie, ktoré spĺňa poţiadavku
názornosti,
príslušná teória aj praktické zostrojovanie rovnobeţných
priemetov sú jednoduché
a pochopiteľné pre študentov stredných škôl.
Názorné zobrazovanie je také zobrazenie predmetov, z ktorého je
z jedného
obrázka zrejmý celkový tvar predmetu.
Názorné obrázky zostrojujeme spravidla týmito druhmi
rovnobežného
premietania:
- kosouhlé premietanie (šikmé premietanie)
- pravouhlá axonometria
-
85
9.2 Kosouhlé premietanie
Najjednoduchším spôsobom názorného zobrazovania tvaru telies je
kosouhlé
premietanie. Priemetom čelnej steny je obraz jej skutočnej
veľkosti i tvaru. Šikmé
priemety hrán bočnej steny sú skrátené. Pri skosení priemetu na
45º sa rozmer
bočnej steny skráti na ½ (k).
kosouhlé premietanie – uhol medzi osami x,y = 135º, k=0,5
Ak k = 1 - kavalierna alebo kavalierska perspektíva
Ak je izometrický na vodorovnú priemetňu – vojenská
perspektíva
Obr.127 a) vojenská perspektíva, b) kavalierna perspektíva, c)
kosouhlé premietanie
Vojenská perspektíva je zobrazenie vhodné na technické výkresy
pouţívané v
urbanizme pri návrhu sídlisk a zostrojovaní priemetov objektov s
komplikovaným
pôdorysom a zloţitou stavbou. Priemety súradnicových osí x a y
sú kolmé, a platí
p : q : r = 1 : 1 : 1, čiţe jx = jy = jz
Kavalierna perspektíva je šikmé premietanie, v ktorom sa
premieta do roviny
rovnobeţnej s nárysňou alebo bokorysňou. Pouţívala sa uţ v 16. a
17. storočí pri
zhotovovaní plánov (tzv. vedút) dôleţitých miest a sídlisk.
Priemety súradnicových
osí x a z, príp. y a z sú kolmé, a p : q : r = 1 : 1 : 1, jx =
jy = jz.
Obe spomenuté zobrazenia sa pouţívali na vojenské účely,
praktickosť konštrukcií
prevládala nad dobrou názornosťou.
-
86
9.3 Pravouhlá axonometria
V praxi sa pouţívajú dva druhy axonometrického premietania:
a) izometria – uhly osí x, y, z = 120º, k = 1
b) technická dimetria – uhly osí x, z = 97º, uhly osí z, y =
131º, k = 0,5
Obr. 128 Izometria
Obr. 129 Dimetria
V izometrii pri zobrazení kocky sú priemety kruţníc zhodné
elipsy, ktorých
osi sú zhodné s uhlopriečkami kosoštvorcov, do ktorých sa
premietajú steny kocky.
http://www.google.sk/imgres?q=technick%C3%A1+dimetria&hl=sk&rlz=1R2GFRE_skSK358&biw=1280&bih=600&tbm=isch&tbnid=3Pz-LnGFXiUMcM:&imgrefurl=http://rodkovar.webzdarma.cz/2011/10/Axonometricke-promitani.html&docid=o9LJmjMDf-8npM&imgurl=http://b.wz.cz/photo800600/r/rodkovar_webzdarma_cz/35/dimetrie2.jpg&w=566&h=454&ei=py5NT6vlGYqnhAf-1aQU&zoom=1
-
87
Ak je skutočná veľkosť strany kocky s a ak nanášame rozmery
neskrátene, potom
dĺžky osí elíps sú:
2a = 1,226.s
2b = 0,707.s
V dimetrii sa kruţnice vpísané do stien kocky zobrazia ako
elipsy e1, e2, e3. Elipsa e1
v priečelnej stene blíţi kruţnici a elipsy e2 a e3 sú zhodné a
platí:
2a1 = 2a2 = 2a3 = 1,06.s
2b = 0,955.s
Zobrazovanie predmetov na jednu priemetňu je obtiaţne najmä pri
rotačných
tvaroch, kde treba kresliť elipsy. To je jedna z hlavných
príčin, prečo sa názorné
priestorové zobrazovanie pouţíva na technických výkresoch len
zriedkavo. Kosouhlé
a axonometrické obrazy pouţívame iba ako doplnok k technickým
výkresom
v kolmých pravouhlých priemetoch.
Obr. 130 Vyuţitie izometrie
-
88
Obr. 131 Názorné zobrazenie
-
89
9.4 Zaujíma vás?
Snaha človeka zobraziť rôzne priestorové objekty do roviny
vznikla z praktických potrieb. Niektoré prvky zobrazovania
trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny boli známe
uţ
pomerne dávno pred naším letopočtom (napr. náčrt mestského
plánu
Nippuru, starého kultového sumerského strediska, asi 15.
storočie pred n.l.). Metódy
na zobrazenie priestoru do roviny sa rozvíjali postupne a veľmi
dlho, boli podmienené
prvotnou snahou umelcov o verné zobrazenie okolitého sveta. Po
kolmom premietaní
(plány miest) to bola lineárna perspektíva, ktorú objavili aţ
renesanční umelci (14.-
16. storočie) a bola pouţívaná a rozvíjaná ako názorná metóda
veľmi blízka
ľudskému vnímaniu očami okrem maliarov zo začiatku aj
architektmi a staviteľmi pri
navrhovaní stavieb. Ciele zobrazovania však boli a sú u maliarov
aj architektov a
staviteľov rôzne. Technický obraz priestorového útvaru musí byť
nielen názorný, ale
aj presný a mal by sa dať jednoducho zostrojiť, a na druhej
strane z obrazu
v nákresni by sa mali dať určiť niektoré vlastnosti
priestorového útvaru, ako napr.
tvar, rozmery a pod. Z týchto dôvodov sa v technických
aplikáciách vyuţívajú metódy
zobrazovania priestoru do roviny, ktorých základom je rovnobeţné
premietanie. Tieto
presné metódy skúma samostatná matematická a technická
disciplína - deskriptívna
geometria. Jej teoretické základy vypracoval dôsledne aţ na
konci 18. storočia
francúzsky matematik, geometer a fyzik Gaspard Monge (1746-1818)
vo svojej
knihe „Géométrie descriptive“.
-
90
Zadanie technickej dokumentácie
Zobrazte kocku
- v kosoúhlom premietaní
- v izometrii
Obr. 132 Kocka v kosoúhlom premietaní
-
91
Obr. 133 Kocka v izometrii
-
92
10 Osvetlenie telies
10.1 Osvetľovanie telies
10.2 Konštrukcia vlastného a vrhnutého
tieňa
-
93
10.1 Osvetľovanie telies
Kaţdý predmet, ktorý pozorujeme v priestore je osvetlený.
Dôleţitým sprievodným javom osvetľovania je tieň. Niektoré steny
sú vţdy odvrátené
od zdroja svetla a sú teda vo vlastnom tieni. Nepriehľadné
teleso súčasne bráni
priechodu svetla na podloţku a okolité objekty a vytvára tak
vrhnutý tieň.
Podľa zdroja svetla rozlišujeme osvetľovanie:
rovnobežné - svetelné lúče sú rovnobeţné (zdroj svetla je
nekonečne
vzdialený - slnečné lúče)
stredové - svetelné lúče vychádzajú z jedného bodu ( zdroj
svetla je bodový
napr. osvetlenie ţiarovkou)
Skonštruovaním vrhnutých a vlastných tieňov predmetov vyvoláme
dokonalý
priestorový dojem.
Pri osvetľovaní v technickom kreslení pracujeme so
zidealizovanými podmienkami:
osvetlenie je rovnobeţné (svetelné lúče sú rovnobeţné, podobne
ako je to
pribliţne pri slnečných lúčoch)
osvetľované útvary sú nepriehľadné a neodráţajú slnečné lúče
Osvetľovanie v mongeovej projekcii:
Vrhnutý tieň bodu na rovinu je priesečník svetelného lúča
vedeného týmto
bodom so záchytnou rovinou (priemetňou).
Rovinný útvar leţiaci v rovine rovnobeţnej s priemetňou a jeho
vrhnutý tieň sú
útvary zhodné, vzájomne posunuté v smere svetla.
Vrhnutý tieň kruţnice v rovine rovnobeţnej s priemetňou je opäť
kruţnica,
posunutá do priemetne v smere svetla.
-
94
Technické osvetľovanie
často sa pouţíva pri osvetľovaní fasády budov. Šírka tieňa v
oknách a
dverách udáva hĺbku ich zapustenia
rovnobeţné osvetľovanie, svetelné lúče sú rovnobeţné s
telesovou
uhlopriečkou kocky, zvierajú so základnicou uhol 45 stupňov.
Obr. 134 Osvetľovanie telies
Obr. 135 Vrhnutý tieň
-
95
10.2 Konštrukcia vlastného a vrhnutého tieňa
Obr. 136 Vlastný a vrhnutý tieň telesa
Obr. 137 Vlastný a vrhnutý tieň ihlanu
-
96
Obr. 138 Vlastný a vrhnutý tieň telesa
Obr. 139 Vlastný a vrhnutý tieň kuţeľa
-
97
11 Perspektívne zobrazovanie
11.1 Perspektíva
11.2 História perspektívneho zobrazovania
11.3 Základné pojmy
11.4 Druhy perspektív
11.5 Konštrukcia perspektívy
11.6 Anamorfóza a neskutočná perspektíva
-
98
11.1 Perspektíva
Kaţdý, kto sa pustí do kreslenia zátišia alebo krajiny, narazí
na
problém zobrazenia hĺbky priestoru. Vynorí sa otázka, ako
zobraziť
trojrozmerný priestor na ploche papiera. Na preštudovanie
zákonov
perspektívy je nutné venovať trochu viac času, ale my sa
pokúsime
tento problém zjednodušiť a poukázať iba na to, čo je pre nás
najdôleţitejšie.
Perspektíva je vlastne spôsob, akým naše oči vnímajú priestorové
vzťahy
medzi predmetmi. Povedané inými slovami a veľmi jednoducho – čím
sú predmety
vzdialenejšie, tým sa nám zdajú menšie. Ilustrujme si túto vetu
na veľmi známom
príklade – predstavte si, ţe stojíte na koľajniciach a očami
hľadáte ich neviditeľný
koniec. Bude sa Vám zdať, ţe koľaje sa v diaľke zbiehajú do
jedného bodu, hoci
viete, ţe v skutočnosti sú rovnobeţné. Človek, stromy a vôbec
všetky predmety
stojace v diaľke sa vám budú zdať menšie ako sú naozaj.
Keď sa postavíte pod vysokú budovu, ktorá má rovnobeţné strany,
tieto sa vám
budú javiť akoby sa do výšky zbiehali. Keby ste strany budovy
predĺţili, priamky by
sa stretli v jednom bode. Na pochopenie tohto javu si musíme
objasniť niekoľko
dôleţitých pojmov: pomyselné čiary, ktorými predlţujeme
rovnobeţné línie a ktoré sa
nám zdajú zbiehavé, sa volajú úbežníky. Stretávajú sa v bode,
ktorý nazývame
úbežníkový bod.
Samozrejme, tento bod v skutočnosti neexistuje, pouţívame ho len
ako pomôcku
pri konštruovaní perspektívneho zobrazovania. Keď kreslíme, je
dôleţité vedieť, kde
sa vlastne tento bod nachádza. Nachádza sa na horizonte, a to je
rovina presne vo
výške našich očí. Pozor – tento horizont nie je totoţný s
horizontom krajiny! Keď je
pozorovaný predmet vo vyššej pozícii ako pozorovateľ, úroveň
jeho očí – a teda
horizont – bude zníţený. Takémuto zobrazovaniu hovoríme aj ţabia
perspektíva.
Keď kreslíme predmety z vysokého stanovišťa, povieme, ţe
kreslíme z vtáčej
perspektívy.
-
99
11.2 História perspektívneho zobrazovania
Staroveký Egypt
Uţ Egyptskí výtvarníci pozorovali, ţe postavy v ich blízkosti sú
veľké a naopak
s rastúcou vzdialenosťou od pozorovateľa sa zmenšujú aţ sa
nakoniec úplne
"stratia". Na kresbách, ktoré znázorňovali akýsi dej, bol vţdy
ústrednou postavou
faraón, jeho kňazi a úradníci. Faraón však vynikal svojou
veľkosťou v popredí, kňazi
boli menší, vojaci ešte menší a úplne najmenší boli radoví
ľudia. Postavy sú
kreslené mimoriadne realisticky, avšak len z profilu a bez
pouţitia perspektívy.
Jedná sa teda o významovú perspektívu, čo znamená, ţe Egypťania
zdôrazňovali
veľkosťou hodnosť alebo moc kaţdej postavy, preto je faraón
najväčším.
Obr. 140 Egyptská perspektíva
Staroveký Rím
Prvú zmienku o perspektíve nájdeme v Ríme a to u rímskeho
architekta a
staviteľa Vitruvia Pollia. Ten tvrdil: "Potom, čo určíme
stredový bod, musia sa čiary
ako v prírode zbiehať v projekčnom bode zorných paprskov tak, ţe
mnohé časti sa
zdajú ustupovať dozadu, zatiaľ čo iné vystupujú dopredu."
Slovo perspektíva však nemá rovnaký význam po celú dobu ľudstva.
V
minulosti sa slovo perspektíva pouţívalo k označeniu súboru
poučiek z geometrickej
optiky. Tieto poučky dnes môţeme nájsť v Euklidových spisoch, v
ktorých ide o
zdôraznenie priamočiareho šírenia svetla. Euklides ale objavil
omnoho viac pre
deskriptívu. Skúmaním optiky zistil, ţe náš vizuálny obraz sa
skladá z priamok, ktoré
-
100
vychádzajú z oka a tvoria kuţeľ. A tak sa objavujú prvé pokusy o
perspektívne
zobrazenie predmetu. Nakoľko však rímska ríša zaniká, vývoj sa
spomaľuje.
Zopakujme si
Ako by ste definovali jednoduchými slovami pojem
perspektíva?
Čo platí pre znázorňovanie blízkych a vzdialených predmetov v
perspektíve?
Ako sa nazývajú pomyselné čiary, ktorými predlţujeme rovnobeţné
línie a zdajú sa
nám zbiehavé?
V akom bode sa tieto priamky zbiehajú?
Čo chápeme v perspektíve pod pojmom horizont?
Kde sa nachádza horizont v porovnaní s pozorovaným predmetom pri
ţabej a kde pri
vtáčej perspektíve ?
Ako sa nazýva perspektíva pouţívaná v umení Starovekého
Egypta?
Aký je princíp perspektívy pouţívanej v Starovekom Egypte?
Ako sa volal rímsky architekt, ktorý ako jeden z prvých začal
vyuţívať perspektívu?
-
101
Renesancia
14. storočie, obdobie renesancie, najlepšie charakterizuje nová
architektúra,
ktorá pouţitím jednoduchých geometrických tvarov a symetrie
usiluje o jasné
definovanie a ovládnutie priestoru. O to sa snaţí aj maliarstvo.
Od prvých nesmelých
pokusov sa v priebehu krátkej doby jedného storočia podarilo
prevaţne florentským
maliarom nájsť všetky dôleţité zákonitosti lineárnej
perspektívy. Jej pouţitie im
umoţňovalo maľovať úplne bezchybné perspektívne obrazy. Pritom
toto hľadanie
nestavalo na znalostiach matematiky a geometrie, ale bolo
prevaţne intuitívne,
odvodené od priameho pozorovania a pokusov.
V tomto období sa objaví muţ menom Giotto, ktorý vysloví
nesúhlas so
svetskou byzantskou abstrakciou. Tento maliar ako prvý do svojej
tvorby zahrňuje
perspektívu. Príklad jeho chápania perspektívy je vidieť na
obrázku Giottovej fresky
Zjavenie bratovi Augustínovi a biskupovi (okolo 1325, obr.141),
ktorá sa nachádza v
kostole Santa Croce vo Florencii. Giotto uţ vedel, ţe na
vyvolanie ilúzie
rovnobeţných čiar treba namaľovať čiary, zbiehajúce sa k
spoločnému úbeţníku. Na
druhej strane však úbeţník priamok prislúchajúcich miestnosti
ako celku a úbeţník
priamok prislúchajúcich baldachýnu, sú rôzne. Zdá sa preto, ţe
obraz má dva hlavné
body (t.j. úbeţníky
priamok idúcich do hĺbky)
a aj dva horizonty. To
znamená, ţe u Giotta je
perspektíva akoby
"lokálna", rôzne prvky
architektúry sú zakreslené
v rôznych pohľadoch.
Obr. 141 Giotto, Zjavenie bratovi Augustínovi a biskupovi
Ďalším intuitívnym perspektívcom bol Amerogio Lorenzetti. Jeho
obraz
Zvestovanie (1344) uţ prináša do maliarstva úplne novú hodnotu.
Všetky hĺbkové
priamky, ktoré sú kolmé na rovinu obrazu, sa zbiehajú v jedinom
úbeţníkovom bode.
Z geometrického hľadiska je na obraze zaujímavá dlaţba, pomocou
ktorej Lorenzetti
-
102
vyvoláva ilúziu hĺbky priestoru. Bočné hrany dlaţdíc sa zbiehajú
do jediného bodu,
ktorý je súčasne aj hlavným bodom obrazu (t.j. obraz je maľovaný
vo frontálnom
pohľade). To je v súlade s geometrickými princípmi. Keď si však
do siete dlaţdíc
zakreslíme uhlopriečky, zistíme, ţe tieto tvoria krivku. Z
geometrického hľadiska je to
nesprávne, lebo v skutočnosti je
diagonálou priamka, a pri stredovom
premietaní sa táto musí zobraziť opäť
na priamku. Preto čiara tvorená
uhlopriečkami dlaţdíc na obraze by
mala byť priamkou. Otázka, ako
správne zobraziť dlaţbu predstavovala
váţny technický problém. Lorenzetti uţ
vie, ţe dlaţdice na obraze sa musia
postupne zmenšovať, ale ešte nevie
podľa akého pravidla. Pravidlo, ako sa
majú na obraze zmenšovať dlaţdice
objavil aţ Alberti.
Obr. 142 Lorenzetti, Zvestovanie
V renesancii perspektíva opäť oţíva aj vďaka architektovi menom
Filippo
Bruneleschi, ktorý je povaţovaný za objaviteľa a vynálezcu
konštrukcie
perspektívy.. Pri stavbe florentského domu vytvoril systém
vyuţívajúci pôdorys i
nárys, čo umoţňovalo pomocou priesečníkov rovnobeţiek nakresliť
perspektívne
zobrazenie. Jeden jeho priateľ maliar, architekt a historik
Vassari o ňom povedal:
"Vynález perspektívy uspokojil Filippa natoľko, ţe rýchlo
namaľoval Plaza de San
Giovanni a reprodukoval krásu čiernobielych mramorových dlaţdíc,
ktoré ubiehali do
vnútra chrámu."
Vďaka jeho technike namaľoval Masaccio svoju Najväčšiu trojicu.
Vassari sa
k tejto freske opäť vyjadruje: "Ale to najkrásnejšie, keď
opomenieme postavy, je
perspektívny obraz tabuľovej valenej klenby pri pohľade zdola.
Optické skrátenie je
tak skvele namaľované, ţe strop pôsobí ako reliéf".
-
103
Obraz znázorňuje imaginárnu architektúru,
výklenok, v ktorom je Kristus na kríţi a pod ním kľačia
modliace sa postavy donátorov (obrazy tých, ktorí dielo
financovali), ďalej pod nimi akoby zo steny vystupuje
Adamov hrob s kostrou, ako symbol ľudskej
pominuteľnosti v kontraste s večnosťou Najsvätejšej
trojice. Po odhalení diela boli údajne súčasníci
zaskočení jeho dokonalosťou. Vraj v prvých
okamţikoch pri vstupe do chrámu verili, ţe vidia
skutočný výklenok alebo dokonalý reliéf.
Obr. 143 Masaccio, Najsvätejšia trojica
Ďalším významným architektom, ktorý sa zaoberal hĺbkovou
perspektívou bol
Leon Battista Alberti. Vo svojej knihe O maliarstve uvádza
vzorec na zistenie
vzdialenosti medzi opakujúcimi sa tvarmi v hĺbke. Výtvarníci
túto vzdialenosť len
odhadovali a väčšinou dosť nepresne.
Na Albertiho nadviazal taliansky maliar Andrea Mantegna.
Jeho
vynachádzavé narábanie s perspektívou a iluzionistickými efektmi
spôsobuje, ţe svet
jeho obrazu akoby prekračoval
svoje hranice a vnucuje sa do
priestoru diváka. Na jeho obraze
Oplakávanie mŕtveho Krista
pouţíva dramaticky skrátenú
perspektívu. Divák má pocit,
akoby nohy Krista vystupovali
z obrazu a keď sa vzďaľuje od
obrazu, zdá sa, ţe ho postava
sleduje.
Obr. 144 Andrea Mantegna, Oplakávanie mŕtveho Krista
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/3/36/Andrea_Mantegna_-_The_Dead_Christ.jpg
-
104
V 15. storočí bola Albertiho metóda ešte zdokonalená maliarom
Pierom della
Franceskom. V tejto
dobe bola perspektíva
prvýkrát v dejinách
umenia povaţovaná
za umenie riadnej
výstavby obrazu.
Obr.145 Piero della Francesca, Bičovanie Krista
Veľmi významným renesančným perspektívcom bol Leonardo da Vinci,
ktorý
vo svojej knihe uvádza: "Perspektíva je ako pohľad na teleso,
ktoré leţí za
sklenenou tabuľou a v nej sa odráţa". Objavil dvojstredovú
atmosférickú
perspektívu. Jeho vyspelú perspektívu je vidieť na obrazoch ako
sú: Klaňanie troch
kráľov, Posledná večera, Madona v skalách.
Obr. 146 Leonardo da Vinci, Posledná večera
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/1/11/Piero_-_The_Flagellation.jpg
-
105
Okrem podrobného štúdia perspektívy zistil Da Vinci a Raffaello
aj nedostatky
perspektívneho zobrazovania. V rohoch obrazu vo veľkej
vzdialenosti od hlavného
bodu sú obrazy extrémne skreslené. Ak si divák prezerá obraz z
rôznych stanovíšť
a ak je plátno široké, môţe sa stať, ţe v určitých pohľadoch
vidíme nevýhody
lineárnej perspektívy. Toto skreslenie sa môţe prejaviť tým
viac, čím väčší zorný
uhol obrazu zvolíme. Typickými príkladmi sú diela Klaňanie troch
kráľov od Leonarda
a Aténska škola od Raffaella.
Obr.147 Leonardo da Vinci, Klaňanie troch kráľov Obr. 148
Leonardo da Vinci, Madona v skalách
Obr. 149 Raffaelo Santi, Aténska škola
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/27/Leonardo_da_Vinci_-_Adorazione_dei_Magi_-_Google_Art_Project.jpghttp://www.google.sk/imgres?q=da+vinci&hl=sk&sa=X&rlz=1R2GFRE_skSK358&biw=1280&bih=600&tbm=isch&prmd=imvnsb&tbnid=rp9ZfVNKx8JiaM:&imgrefurl=http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Leonardo_da_Vinci_-_Virgin_of_the_Rocks_-_WGA12694.jpg&docid=3XeaU93jIa26aM&imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/Leonardo_da_Vinci_-_Virgin_of_the_Rocks_-_WGA12694.jpg&w=807&h=1270&ei=_9ZCT6qQD8vOsgbU5ozCBA&zoom=1
-
106
Okrem Leonarda da Vinci sa štúdiom perspektívy v renesancii
veľmi podrobne
zaoberal aj nemecký maliar Albrecht Dürer. Bol to maliar s
veľkým talentom, ktorý
bol obdarený fantáziou a ohromným pozorovacím talentom. Mal
pocit, ţe umenie by
malo mať správne teoretické základy. Navštívil Bolognu, aby sa
naučil umeniu
„tajnej perspektívy“, ktorej zákonitosti podrobne študoval a
prakticky overoval. Svoje
vedomosti uverejnil vo svojej práci Pojednanie o meraní.
Obr. 150 Dürerove štúdie
Obr. 151 Dürerove štúdie
V renesancii tieţ Quido Ubaldo del Monte uskutočnil dôkaz o tom,
ţe sa
rovnobeţky v perspektíve zbiehajú do jedného bodu. Tento dôkaz
sa nazýva punctu
concursuum.
http://www.naturalpigments.com/education/images/draughtsman.jpg
-
107
Perspektíva, podobne ako iné veľké myšlienky svojej doby, bola
ohromne
precenená. Nebola vţdy chápaná ako jedna zo zloţiek správneho
maliarstva, ale ako
jeho podstata. Niektoré maliarske diela sa zvrhli v akúsi
geometrické cvičenia, i keď
krásne. Príkladom je Zvestovanie so
svätým Emidiom od Carla Crivelliho
z roku 1486. Kvalita perspektívnej
kompozície bola chápaná ako
merítko umeleckej hodnoty diela.
Vlastná myšlienka obrazu často
ustupovala do pozadia.
Obr. 152 Carl Crivelli, Zvestovanie so svätým Emidiom
-
108
Zopakujme si
Ako sa volal taliansky renesančný maliar, ktorý ako prvý do
svojej tvorby zahrňuje
princípy perspektívy a ktorá freska je typickým príkladom jeho
chápania perspektívy?
Aká chyba perspektívy je na obraze Lorenzettiho Zvestovanie?
Ktorý renesančný architekt je povaţovaný za objaviteľa a
vynálezcu konštrukcie
perspektívy?
V čom je prínos dokonalej perspektívy na Massaciovej freske
Najsvätejšia trojica?
V akej knihe sa Alberti venoval výpočtom vzdialeností v
perspektíve?
Ako sa volá obraz Andrea Mantegnu, na ktorom perfektne pouţil
dramaticky skrátenú
perspektívu?
Uveďte tri najdôleţitejšie diela Leonarda da Vinci, na ktorých
je najviac vidieť jeho
vyspelú perspektívu.
Uveďte dvoch maliarov a názvy ich diel, ktoré sú typickými
príkladmi nevýhody
lineárnej perspektívy, ktorá má priveľký zorný uhol.
Ako sa volal renesančný nemecký maliar, ktorý podrobne aj
prakticky študoval
perspektívu a spracoval jej teoretické zákonitosti v knihe
Pojednanie o meraní?
Ako sa volá dôkaz o tom, ţe sa rovnobeţky v perspektíve zbiehajú
do jedného bodu?
Uveďte jeden príklad maliara, ktorého perspektíva sa stala
takmer geometrickým
cvičením na úkor myšliebky obrazu?
-
109
Baroko
Zobrazované figúry majú v tomto období expresívne gestá, často
sú
deformované, bez ohľadu na anatómiu, len aby dobre vyjadrili
náboţenský záţitok
a odovzdanie. Perspektíva z obrazu zmizla. Prejavuje sa len na
postavách a vo
výzdobe interiérov. Znalosť perspektívy totiţ umoţňovala efektnú
iluzionistickú
výzdobu, imaginárne pokračovanie priestoru. Z maliarov tohto
obdobia vyuţíval
intuitívne zásady perspektívy holandský maliar Jan van Eyck
(1441). Jeho obrazy
vynikali takmer fotografickou presnosťou, neskôr bolo jeho oko
nazývané teleskopom
a mikroskopom zároveň.
Dôkazom je jeho dokonalý
naturalistický portrét Portrét manţelov
Arnolfiniovcov (1434). Takmer sa nechce
veriť, ţe Eyck nepoznal správnu
geometrickú konštrukciu lineárnej
perspektívy. Ak si však predĺţime línie
spárov podlahy, stropu a okna, vidíme, ţe
sa pretínajú v niekoľkých rôznych
úbeţníkoch. Sú však veľmi blízko seba,
takţe dojem priestoru je vynikajúci.
Obr. 153 Jan van Eyck, Portrét manţelov Arnolfiniovcov
Iným maliarom – perspektívcom v období baroka bol v katolíckom
Španielsku
pôsobiaci Diego Veláquez (1599 - 1660), a to priamo na
kráľovskom dvore. Bol
veľkým priaznivcom perspektívy, geometrie a optiky. Na obraze
Las Meninas (1656)
zobrazuje princeznu, dvorné dámy a tieţ seba ako kreslí kráľa a
kráľovnu. Tí sa
odráţajú v zrkadle na protiľahlej strane miestnosti. Perspektíva
Veláquezovho
ateliéru je jednoduchá a bezchybná. Všetko sa zbieha k jedinému
úbeţníku
-
110
zvýraznenému svetlou plochou otvorených dverí. Perspektíva však
nepôsobí
prehnane, je zmäkčená tmavým pozadím a krivkou postáv v prednom
pláne.
V nasledujúcich umeleckých obdobiach uţ od konca 16. storočia je
perspektíva ako
výrazový prostriedok takmer nepouţívaná. Mnoho umelcov ju
zavrhuje ako otrockú
a zväzujúcu metódu. Zobrazenie
priestoru je nahradené inými
umeleckými prostriedkami – hrou
tieňov, svetla a farieb. Často sa však
maliari dopúšťajú hrubých chýb
a priestupkov proti jej zákonom.
Paradoxne, keď maliarstvo lineárnu
perspektívu opustilo, geometri
a matematici ju teoreticky povýšili.
Z umeleckých smerov dodrţiavajúcich
zásady perspektívy bol výraz