TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear - share.its.ac.idshare.its.ac.id/.../1/LO8_Eigenvalue...eigenvektor.pdf · Basis untuk ruang eigen disebut eigenvektor . Ruang solusi (λ. I

Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember

TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear

O U T L I N E

OBJEKTIF 1

TEORI 2

CONTOH 3

SIMPULAN 4

LATIHAN 5

Eigenvalue dan Eigenvektor

Latihan Simpulan Contoh Teori

Mahasiswa mampu:

1. Menghitung eigenvalue dari matriks

2. Menghitung eigenvektor untuk eigenvalue terkait dari suatu matriks

OBJEKTIF

Tujuan Pembelajaran

Eigenvalue dan Eigenvektor

Perkalian matriks A dengan vektor x, pada

umumnya tidak memiliki hubungan secara

geometris. Tetapi, seringkali terdapat vektor tak-

nol x sedemikian hingga x dan Ax merupakan

perkalian skalar antara satu dengan lainnya.

Nilai skalar tersebut disebut eigenvalue dan

vektor terkait disebut eigenvektor.

Latihan Simpulan Contoh TEORI Objektif

Pendahuluan

Eigenvalue dan Eigenvektor

Latihan Simpulan Contoh

x disebut eigenvektor untuk λ yang bersesuaian

TEORI Objektif

Eigenvalue

Eigenvalue dan Eigenvektor

x

A

x

λx

Ax = λx

λ disebut eigenvalue

Latihan Simpulan Contoh TEORI Objektif

Eigenvalue

Representasi geometri hubungan vektor x dengan Ax

λx

x

λx

x

λx

x

λx

x

-1≤λ≤0 λ≥1 0≤λ≤1 λ≤-1

Eigenvalue dan Eigenvektor

Sistem homogen

Latihan Simpulan Contoh TEORI Objektif

Persamaan karakteristik

A x = λ x

det(λI – A) = 0

(λI – A) x = 0

x ≠ 0

Pers. karakteristik

solusi nontrivial

Eigenvalue

(akar karakteristik)

Eigenvalue dan Eigenvektor

Eigenvektor dari matriks A yang berkaitan dengan eigenvalue λ:

Vektor tak-nol x yang memenuhi Ax = λx

Latihan Simpulan Contoh TEORI Objektif

Eigenvektor

Basis untuk ruang eigen disebut eigenvektor

Ruang solusi (λI–A)x = 0 ruang eigen A untuk λ terkait

Eigenvalue dan Eigenvektor

1) Dapatkan eigenvalue dari matriks:

Latihan Simpulan CONTOH Teori Objektif

Eigenvalue dan eigenvektor

−=

301121200

A

2) Dapatkan eigenvektor dari matriks tersebut.

… Jawab 1

… Jawab 2 Eigenvalue dan Eigenvektor

Pers. karakteristik: det(λI-A) = 0

Latihan Simpulan CONTOH Teori Objektif

Solusi Contoh 1:

0301

12120

det =

−−−−−λ

λλ

0485 23 =−+− λλλ

0)2)(1( 2 =−− λλ

Eigenvalue: λ1=1 dan λ2,3= 2 Eigenvalue dan Eigenvektor

Cara mencari akar karakteristik

1 -5 8 -4

2 1

2

-3

-6

2

4

0

2 1

2

-1

-2

0

1 1

1

0

Persamaan karakteristik: det(λI-A) = 0

Latihan Simpulan CONTOH Teori Objektif

Solusi Contoh 2:

0301

12120

det)det( =

−−−−−=−λ

λλ

λ AI

0)2)(1(485 223 =−−=−+− λλλλλ

Eigenvalue: λ1=1 dan λ2,3= 2

Eigenvalue dan Eigenvektor

Sistem homogen:

Latihan Simpulan CONTOH Teori Objektif

Solusi Contoh 2:

Untuk λ1 = 1

=

−−−−−

000

301121

20

3

2

1

xxx

λλ

λ

=

−−−−−

000

201111201

3

2

1

xxx

=

−

000

000110201

3

2

1

xxx

=

−

000

000110201

3

2

1

xxx

Eigenvalue dan Eigenvektor

Latihan Simpulan CONTOH Teori Objektif

Solusi Contoh 2:

Solusi sistem : x1 = -2s; x2 = s; x3 = s

ssss

1122

−=

−=x

Basis ruang eigen untuk λ1 = 1 eigenvektor

−=

112

1x

Eigenvalue dan Eigenvektor

Sistem homogen:

Latihan Simpulan CONTOH Teori Objektif

Solusi Contoh 2:

Untuk λ2,3 = 2

=

−−−−−

000

301121

20

3

2

1

xxx

λλ

λ

=

000

000000101

3

2

1

xxx

=

−−−−

000

101101101

3

2

1

xxx

=

−−−−

000

101101202

3

2

1

xxx

Eigenvalue dan Eigenvektor

Latihan Simpulan CONTOH Teori Objektif

Solusi Contoh 2:

Solusi sistem : x1 = -s; x2 = t; x3 = s

Basis ruang eigen (eigenvektor) untuk λ2,3 = 2

−=

101

2x

tsts

s

sts

010

101

0

00

+

−=

+

−=

−=x

=

010

3x

Eigenvalue dan Eigenvektor

1. Eigenvalue suatu matriks merupakan akar-akar dari persamaan karakteristik untuk matriks tersebut

2. Eigevektor merupakan basis ruang eigen dari sistem pers. homogen untuk eigenvalue terkait

Latihan SIMPULAN Contoh Teori Objektif

Eigenvalue dan Eigenvektor

Untuk matriks berikut:

LATIHAN Simpulan Contoh Teori Objektif

2) eigenvektor dari matriks tersebut.

Eigenvalue dan Eigenvektor

−−=

102012104

A

1) eigenvalue dari matriks A

dapatkan:

Soal Latihan

Terima kasih

Latihan Simpulan Contoh Teori Objektif

Eigenvalue dan Eigenvektor