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TD10 : géométrie … suite Les TD correspondent à une compilation
d’exercices, cours, etc. des sites web indiqués en sitographie.
1 Cours
Droites perpendiculaires / droites parallèles • Si deux droites
sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles.
• Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors
elles sont parallèles. • Si deux droites sont parallèles, alors
toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à
l’autre. Angles
• Un angle plat mesure 180° et un angle droit mesure 90°. • Deux
angles sont complémentaires si la somme de leur mesure est égale à
90°. • Deux angles sont supplémentaires si la somme de leur mesure
est égale à 180°. • Deux angles opposés par le sommet sont de même
mesure. (1) • Si deux droites parallèles sont coupées par une
sécante, alors deux angles alternes-
internes (2) sont égaux et deux angles correspondants (3) sont
égaux. Réciproquement, si deux droites parallèles sont coupées par
une sécante en formant deux angles alternes-internes (ou
correspondants) égaux, alors elles sont parallèles.
Quadrilatères et quadrilatères particuliers Définition : Un
quadrilatère est un polygone ayant 4 cotés.
1 Trapèze Définition : Un trapèze est un quadrilatère qui a 2
côtés parallèles. Les côtés parallèles sont appelés les bases.
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2 Parallélogramme ¨ Est un quadrilatère dont les côtés opposés
sont parallèles. ¨ A ses diagonales qui se coupent en leur milieu ;
ses côtés opposés ont même longueur ¨ A ses angles opposés égaux ;
deux angles consécutifs sont supplémentaires.
2.1 Losange Définition : Un losange est un quadrilatère dont les
quatre côtés ont la même longueur.
Propriétés : ¨ Les côtés opposés d’un losange sont parallèles. ¨
Les angles opposés d’un losange ont la même mesure. ¨ Les
diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur
milieu.
Rectangle Définition : Est un quadrilatère qui a quatre angles
droits
Propriétés : ¨ Les côtés opposés d’un rectangle sont parallèles
et ont la même longueur. ¨ Les diagonales d’un rectangle ont la
même longueur et se coupent en milieu.
2.2 Carré Définition : Un carré est un quadrilatère qui a quatre
angles droits et dont les quatre côtés ont la même longueur. Un
carré est donc à la fois un rectangle et un losange.
Propriétés : Un carré étant à la fois un rectangle et un
losange, il possède toutes les propriétés des rectangles et des
losanges.
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Théorème de Thalès
2 Exercices A. Histoires de Pythagore (retour sur les
triangles)
1. Dans chaque cas, calculer la longueur du côté manquant
sachant que le triangle MNP est triangle en (point de la colonne de
gauche).
MN NP MP M 5,76 5,2 N 12,96 59,04 P 549 99
2. Compléter les égalités suivantes en appliquant le théorème de
Pythagore aux triangles rectangles de la figure. Donner toutes les
solutions possibles
AC2 = BC2 = BD2 = DC2 =
B. Histoires de Thalès 1. Thalès 1
Sur la figure ci-dessous : A ∈[GL], E ∈[GK] et (AE)//( LK)
Déterminer, en justifiant chaque réponse, les longueurs GL et
AE.
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2. Thalès 2
Sur la figure ci-dessous : D ∈[PK], D ∈[EM] et (PM)//(EK).
Déterminer, en justifiant chaque réponse, les longueurs KD et
DM.
3. Thalès 3
Sur la figure ci-dessous : • SE = 5cm, SL =12 cm et GL = 9 cm ;
• les points S, E et L sont alignés ; • les points S, A et G sont
alignés. Déterminer, en justifiant la réponse, la longueur AE.
C. Histoire de parallélogramme
Sur la figure ci-dessous, trouve tous les quadrilatères dont tu
peux affirmer qu'ils sont des parallélogrammes. Pour chacun, énonce
une propriété qui permet de justifier ta réponse. Sachant que (AC)
// (BF) et (AB) // (EC)
D. Histoires de construction de parallémogrammes
Dans chaque cas, construis un parallélogramme en respectant les
contraintes données. a. LISE tel que LI = 5 cm et IS = 2,5 cm en
utilisant l'équerre et la règle graduée. b. MARC tel que MR = 7 cm
et AC = 6 cm en utilisant la règle graduée. c. NOAH tel que NO = 3
cm et NA = 8 cm en utilisant le compas et la règle graduée. d. Les
parallélogrammes tracés sont-ils les mêmes pour tout le monde ?
E. Histoire de propriétés de rectangle Recopie et complète en
justifiant. OV = … ; ET = … ; RVT = … ; OEV = … .
b. Cite tous les triangles isocèles de la figure. c. Cite tous
les triangles rectangles de la figure.
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F. Histoire de propriétés du carré a. Construis, sur une feuille
blanche, un carré NOIR tel que NO = 5,2 cm. b. Place son centre et
trace ses axes de symétrie. c. Explique pourquoi NOR = 45°. d.
Complète en justifiant.
RNI = … ; OIN = … ; ONI = … .
G. Histoire de faux semblant a. Construis un quadrilatère qui a
quatre côtés de même longueur et qui n'est pas un carré. Quelle est
la nature de ce quadrilatère ? b. Construis un quadrilatère qui a
quatre angles droits et qui n'est pas un carré. Quelle est la
nature de ce quadrilatère ?
H. Histoire de propriétés du losange Dans chacun des cas
suivants, on donne certaines mesures d'un losange ROSE de centre T.
Trouve celles qui sont demandées. Justifie tes réponses en
appliquant les propriétés du losange
a. On sait que RO = 9,1 cm et ORE = 50°. Que valent les angles
OSE et ROS .
b. On sait que RT = 2,8 cm et OE = 4,2 cm. Que valent OT, RS et
RTO .
c. On sait que RE = 5,1 cm et RES = 110°. Que valent REO, ROE et
ORE .
d. On sait que OR = 5 cm et OSE = 60°. Que valent ORE, SOR, SOE
et SEO. Quelle est la nature du triangle OSE ?
I. Histoire de passage d’un quadrilatère à l’autre Sur la figure
ci-dessus, on a dessiné un quadrilatère ABCD puis on a tracé les
parallèles aux diagonales passant par les sommets A, B, C et D du
quadrilatère. Les droites ainsi obtenues se coupent en E, F, G et
H.
a. Démontre que le quadrilatère EFGH est un parallélogramme. b.
On suppose maintenant que ABCD est un rectangle. Construis une
nouvelle figure et démontre que EFGH est un losange. c. On suppose
enfin que ABCD est un losange. Construis une nouvelle figure et
démontre que EFGH est un rectangle.
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J. Histoire de feux a. Construis le parallélogramme FEUX tel que
FE = 5 cm, EU = 6 cm et FEU = 50°. b. Trace la perpendiculaire à
(FE) passant par F, elle coupe (UX) en R. Trace la perpendiculaire
à (UX) passant par U, elle coupe (FE) en G. c. Quelle est la nature
du quadrilatère FRUG ? Justifie ta réponse.
K. Histoire de bissectrices a. Construis un parallélogramme ABCD
puis les bissectrices (d1) et (d2) respectivement des angles ABC et
BAD . Ces droites se coupent en un point U. b. Détermine BAU et ABU
sans mesurer d'angle. Quelle est la nature du triangle ABU ? c. Que
peut-on en déduire pour les droites (d1) et (d2) ?
L. Histoire de figure dessinée à main levée La figure ci-contre
a été réalisée à main levée. RSUT est un parallélogramme. Donne, en
justifiant :
a. la longueur TU ; b. la longueur RI où I est le point
d'intersection de [RU] et [ST] ; c. la mesure de l'angle RSU ; d.
la mesure de l'angle TUS .
M. Histoire de dessins a. Reproduis la figure ci-contre sur ta
copie. b. Place le point K tel que le quadrilatère JGKH soit un
parallélogramme. c. Place les points M et N tels que GHMN soit un
parallélogramme de centre J.
N. Histoire de triangle et de parallélogramme
Sur la figure ci-contre, place : • le point D tel que ABCD soit
un parallélogramme, que tu dois tracer ; • le point E tel que AEBC
soit un parallélogramme, que tu dois tracer ; • le point F tel que
ABFC soit un parallélogramme, que tu dois tracer.
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O. Histoire de récréation Hugo et Laura ont construit, à partir
du patron ci-contre, trois dés identiques. Ils ont inventé un
nouveau jeu, le « quadrigolo » dont la règle est la suivante : a.
Lancer les trois dés en même temps. b. Additionner les faces
supérieures de chaque dé sachant que : • un quadrilatère rapporte 1
point ; • un triangle rapporte 3 points ; • un parallélogramme
rapporte 6 points ; • un rectangle rapporte 10 points ; • un
losange rapporte 15 points ; • un carré rapporte 21 points. Hugo
lance les trois dés, fait les comptes et dit : « J'ai 82 points !
». Hugo ne s'est pas trompé et n'a pas triché. Mais qu'y avait-il
sur les faces supérieures des trois dés ?
3 Sitographie
http://www.ac-grenoble.fr/college/europe.bdp/IMG/pdf/fiche_bilan_6_a_3_cor.pdf
https://www.educastream.com/quadrilateres-6eme
http://www.maths-rometus.org/mathematiques/maths-college/default.asp?url=http%3A%2F%2Fwww%2Emaths%2Drometus%2Eorg%2Fhtm%2Ftout14%2Ehtm%23Losange
https://www.brevetdescolleges.fr/infos/theoreme-de-thales.php
http://mathadoc.sesamath.net/Documents/college/4eme/4pyth/f1pyth.PDF
http://col58-renecassin.ac-dijon.fr/IMG/pdf/exercices_thales-2.pdf
http://www.col-verne-illzach.ac-strasbourg.fr/disciplines/maths/manuels/5eme/manuel_chapitre_5G3.pdf
http://tableauxmaths.fr/spip/IMG/pdf/kidimath_ds_5g3.pdf
http://soutienscolairelille.e-monsite.com/medias/files/parallelogramme-2.pdf