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Jean-Pierre Verbeque 070510 géométrie 1 Géométrie vectorielle et analytique de l’espace 1. La notion d’espace vectoriel réel a . Définition Voici un ensemble E E a une structure d’espace vectoriel réel ssi 1). E est équipé d’une addition + :E ! E " E, x,y ( ) ! + x, y ( ) = x + y qui lui donne une structure de groupe commutatif 2). E est équipé d’une multiplication scalaire ! : ! " E # E, $,x ( ) " !$,x ( ) = $! x , qui vérifie les quatre conditions suivantes : !", μ #!, !x #E: " ( ) x = "x x !" #!, !x, y #E: " x + y ( ) = "x + "y !", μ #!, !x #E: "μ ( ) x = " μx ( ) !x #E :1 $ x = x Les points de E sont appelés vecteurs, les réels sont appelés scalaires. b. Exemples et contre-exemples EX 1 Le plan usuel π pointé en o (origine) équipé de son addition habituelle et de sa multiplication scalaire définies comme suit est un espace vectoriel réel Addition de π o si o, a et b ne sont pas alignés si o, a et b sont alignés c’est-à-dire !a,b "# o : a + b = l’image de a par la translation qui envoie o sur b = l’image de b par la translation qui envoie o sur a
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Sep 14, 2018

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Jean-Pierre Verbeque 070510 géométrie 1

Géométrie vectorielle et analytique de l’espace 1. La notion d’espace vectoriel réel a . Définition Voici un ensemble E

E a une structure d’espace vectoriel réel ssi

1). E est équipé d’une addition + :E ! E" E, x,y( )! + x,y( ) = x + y

qui lui donne une structure de groupe commutatif 2). E est équipé d’une multiplication scalaire

! :! " E# E, $, x( )" ! $, x( ) = $ !x ,

qui vérifie les quatre conditions suivantes :

!",µ #!,!x#E : " + µ( )x = "x + µx

!" #!,!x,y#E :" x + y( ) = "x + "y

!",µ #!,!x#E : "µ( )x = " µx( )

!x#E :1$x = x

Les points de E sont appelés vecteurs, les réels sont appelés scalaires. b. Exemples et contre-exemples EX 1 Le plan usuel π pointé en o (origine) équipé de son addition habituelle et de sa multiplication scalaire définies comme suit est un espace vectoriel réel Addition de πo si o, a et b ne sont pas alignés

si o, a et b sont alignés

c’est-à-dire !a,b"#

o: a + b = l’image de a par la translation qui envoie o sur b

= l’image de b par la translation qui envoie o sur a

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Jean-Pierre Verbeque 070510 géométrie 2

Multiplication scalaire de πo

c’est-à-dire

!" #!,!a #$

o:!!"a!= l’image de a par l’homothétie de centre o et de rapport λ.

La démonstration du fait que πo est un espace vectoriel réel a été faite en quatrième année. Veuillez vous référer à vos notes de cours pour en avoir le coeur net. Vous apercevrez quelques différences au niveau du dessin et des notations. Souvent les professeurs agrémentent, en effet, leurs dessins de flèches et notent les points à l’aide de lettres minuscules surmontées d’une petite flèche. EX 2 Le plan cartésien

!2= a,b( ) a,b!!{ }

équipé de son addition habituelle ! a,b( ), c,d( )"!2

: a,b( ) + c,d( ) = a + c,b + d( ) et de sa multiplication scalaire habituelle

!" #!,! a,b( )#!2

:" a,b( ) = "a,"b( ) est un espace vectoriel réel. La démonstration, qui prend un certain temps et qui est tout à fait élémentaire, est laissée à titre d’exercice. Vérifions par exemple que la multiplication scalaire distribue l’addition des réels :

!",µ #!,! a,b( )#!2: " + µ( ) a,b( ) =

déf !de ! lamult !scal

" + µ( )a, " + µ( )b( )

=$!distribue !+dans !!

"a + µa,"b + µb( ) =déf !de !+

dans !!2

"a,"b( ) + µa,µb( ) =déf !de ! lamult !scal

" a,b( ) + µ a,b( )

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Jean-Pierre Verbeque 070510 géométrie 3

EX 3 Le plan cartésien

!2= a,b( ) a,b!!{ }

équipé de son addition habituelle ! a,b( ), c,d( )"!2

: a,b( ) + c,d( ) = a + c,b + d( ) et de la multiplication scalaire

!" #!,! a,b( )#!2

:" a,b( ) = "a,0( ) n’est pas un espace vectoriel réel En effet, la condition

! a,b( )"!2

:1 a,b( ) = a,b( ) n’est pas vérifiée puisque 1 3,5( ) = 3,0( ) . EX 4

E0,!

3,…,!

n,!,F !,!( ),C !,!( ),…

(voir cours) 2. Combinaison linéaire – dépendance linéaire – indépendance linéaire a. Définitions

!� E!espace vectoriel réel, !x !E,!x1,x2 ,!…!, xn !E

x est combinaison linéaire de x1,x

2,!…!, x

n ssi

!"1,"

2,!…!,"

n#! : x = "

ixi

i=1

n

$

!� A! E x dépend linéairement de A ssi x est combinaison linéaire d’éléments de A

A engendre E ssi tout vecteur de E est combinaison linéaire d’éléments de A b. Exemples Dans les exemples qui suivent les ensembles

!0,!

2,E

0,!

3 sont équipés des lois usuelles qui leur donnent une structure d’espace vectoriel réel. EX5 : Dans πo • Etant donné un point u différent de o,

tout point de la droite ou est combinaison linéaire de u. u{ } engendre la droite ou.

• Etant donné deux points u et v non alignés avec o,

tout point de πo est combinaison linéaire de u et v. u,v{ } engendre !

0.

• Ø engendre o{ } . • o{ } engendre o{ } .

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EX6 : Dans !2 • (3,2) est combinaison linéaire de (–1,0) et (2,1). • La droite D qui passe par les points (0,0) et (4,3) est l’ensemble des multiples de (4,3). Ainsi :

D = x,y( ) x,y( ) = ! 4, 3( )!et!! "!{ } = x,y( )x = 4!

y = 3!!et!! "!

#$%&

'()&= x,y( )

x

4=y

3

#$%

'()= x,y( ) 3x * 4y = 0{ }

• Tout point de !2 est combinaison linéaire de (1,0) et (0,1). • 3,2( ){ } n’engendre pas !2 . • 1,0( ), 0,1( ){ } engendre !2 . • Ø engendre 0,0( ){ } . EX7 : Dans E

0

• Etant donné un point u différent de o,

tout point de la droite ou est combinaison linéaire de u. u{ } engendre la droite ou.

• Etant donné deux points u et v non alignés avec o,

tout point du plan ouv est combinaison linéaire de u et v. u,v{ } engendre le plan ouv. u,v{ } n’engendre pas l’espace E

0

• Etant donné trois points u, v et w non coplanaires avec o, tout point de E

0 est combinaison linéaire de u, v et w.

u,v,w{ } engendre l’espace E0

. • Ø engendre o{ } . • o{ } engendre o{ } . EX8 : Dans !3 • (7,8,9) est combinaison linéaire de (1,2,3) et (4,5,6).

• Le singleton 1, 3, 4( ){ } engendre la droite

A = x,y, z( )

x = !

y = 3!

z = 4!

!où!! "!

#

$%

&%

'

(%

)%

.

• La paire 1, 3, 4( ), 2,6,8( ){ } engendre la même droite A.

• Le triplet 1,0,0( ), 0,1,0( ), 0,0,1( ){ } engendre !3 .

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Jean-Pierre Verbeque 070510 géométrie 5

• Quelle est la condition pour qu’un triplet engendre !3 ? • Si M ! N ! !

3 et si M engendre !3 , alors N engendre !3 . REM : Cette propriété s’étend à tout espace vectoriel réel E. 3. Vecteurs linéairement indépendants – partie libre a. Définitions

!!E espace vectoriel réel et A! E

A est libre ssi aucun vecteur de A ne dépend de l’ensemble des autres vecteurs de A Des vecteurs sont linéairement indépendants ssi ensemble, ils forment une partie libre

b. Exemples EX9 : Dans !2 • 1,0( ), 0,1( ), 3, 4( ){ } n’est pas libre

• 1,0( ), 3, 4( ){ } est libre

• 1,0( ){ } est libre

• 0,0( ){ } n’est pas libre • Ø est libre • Les parties libres ont au plus deux éléments

EX10 : Dans !3 • 1,2, 3( ), 4,5,6( ), 7,8,9( ){ } n’est pas libre

• 1,0,0( ), 0,1,0( ), 0,0,1( ){ } est libre

• 1,2, 3( ), 4,5,6( ){ } est libre

• 1,2, 3( ), 2, 4,6( ){ } n’est pas libre

• 6,1,2( ){ } est libre

• 0,0,0( ){ } n’est pas libre • Ø est libre • Les parties libres ont au plus trois éléments

EX11 :

! E espace vectoriel réel et A! B! E • si A engendre E, alors B engendre E • si B est libre, alors A est libre

4. Base d’un espace vectoriel a. Définitions

! E espace vectoriel réel et B! E

B est base de E ssi

B est une partie génératrice minimale de E ssi

B est une partie libre maximale de E On admet que ces deux définitions sont équivalentes. Par ailleurs, les exemples qui suivent nous en convaincront.

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Jean-Pierre Verbeque 070510 géométrie 6

EX12 : Dans !2 • 1,0( ), 0,1( ){ },! 3, 4( ), !1,2( ){ }!et! 3, 4( ), 5,6( ){ } sont des bases.

• Ø, 3, 4( ){ }!et! 3, 4( ), 6, 7( ), 23,5( ){ } ne sont pas des bases.

• 1,0( ), 0,1( ){ } estr appelée base canonique de !2 . EX13 : Dans !3 • 1,0,0( ), 0,1,0( ), 0,0,1( ){ }!et! 1,2, 3( ), 4,5,6( ), 7,8,5( ){ } sont des bases.

• Ø, 1,0,0( ){ },! 1,2, 3( ), 4,5,6( ){ }!et! 1,2, 3( ), 4,5,6( ), 7,8,5( ), 10,!3,2( ){ } ne sont pas des bases. 5. Dimension d’un espace vectoriel

! E espace vectoriel réel Théorème : Toutes les bases de E ont même cardinal

(au vu des exercices précédents, nous sommes convaincus) Définition : Dimension de E = Cardinal d’une base de E. EX14 :

!0!et!!

2 sont de dimension 2. E0!et!!

3 sont de dimension 3. 6. Sous espace vectoriel réel a. Définition

! E espace vectoriel réel S est un sous espace vectoriel (réel) de E

ssi S! E et les lois de E ( +!et!i ) donnent à S une structure d’espace vectoriel

b. Exemples EX15 : Dans tout espace vectoriel réel E, 0{ } et E sont des sous espaces vectoriels réels de E (on les appelle les sous espaces vectoriels triviaux). Par contre Ø n’est pas sous espace vectoriel de E. EX16 : Les droites qui passent par l’origine sont des sous espaces vectoriels de !

0!et!E

0. Leur

dimension égale 1. EX17 : Les plans qui passent par l’origine sont des sous espaces vectoriels de E

0.

Leur dimension égale 2. EX18 : Les exemples 16 et 17 sont valables aussi dans !2

!et!!3 .

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Jean-Pierre Verbeque 070510 vectoriels 7

7. Points, droites et plans de l’espace On passe ici sous silence des notions qui ont été étudiées les années précedentes telles que repère, produit scalaire, norme d’un vecteur, vecteur normé, vecteurs orthogonaux, base orthonormée directe, repère, coordonnée d’un point… Au fur et à mesure des besoins, je vous en donnerai une interprétation en classe. a. Points

!!E0

équipé d’un repère o;e,u,v( ) orthonormé direct. ! Entre

E0!et!!

3 il y a une bijection qui à chaque point de E0

associe sa coordonnée dans le repère o;e,u,v( ) à savoir

b :E

0! !3

, x = "e +#u + $v" ",#, $( ) . b est un isomorphisme d’espaces vectoriels, de

E0!dans!!

3 .

le point 2e + 3u + 2v a pour coordonnée 2, 3,2( ) dans le repère o;e,u,v( )

le point 2e + 2v a pour coordonnée 2,0,2( ) dans le repère o;e,u,v( )

b. Plans 1°. Plans vectoriels Un plan vectoriel !

0 de E

0 est un plan passant par l’origine o. Il est engendré par deux vecteurs non

neutralignés, disons p et q, que l’on appelle « vecteurs directeurs de !0

». Ainsi

!0 = x"E0 x = #p + µq!où!#!et!µ "!{ } .

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Jean-Pierre Verbeque 070510 vectoriels 8

La condition de définition de !0

est son équation vectorielle. On écrit : !0 " x = #p + µq . Traduisons cette définition de !

0 dans !3 à l’aide des coordonnées de x, p et q.

!0 = x1,x2 ,x3( )"!3

x1,x2 ,x3( ) = # p1,p2 ,p3( ) + µ q1,q2 ,q3( ),#!et!µ "!{ } ou encore :

!0 = x1,x2 ,x3( )"!3

x1 = #p1 + µq1x2 = #p2 + µq2x3 = #p3 + µq3

;#,µ "!

$

%&

'&

(

)&

*&

La condition de définition de !0

est son système d’équations paramétriques.

On écrit : !0 "

x1 = #p1 + µq1x2 = #p2 + µq2x3 = #p3 + µq3

$

%&

'&

.

En éliminant les paramètres !!et!µ de ce système, on obtient l’équation cartésienne de !0

, à savoir : !0 " p2q3 # p3q2( )x1 + p3q1 # p1q3( )x2 + p1q2 # p2q1( )x3 = 0

En pratique, on calcule facilement l’équation cartésienne de !0

à l’aide du calcul matriciel :

!0 "

x1 x2 x3

p1 p2 p3

q1 q2 q3

= 0

2°. Plans quelconques Un plan quelconque ! de l’espace, peut être défini par trois points non alignés de ! ou par un point de ! et le plan !

0 passant par l’origine et parallèle à ! (!

0est appelé « sous-

vectoriel directeur de ! ») . 1er cas : le plan ! est défini par un point a et deux vecteurs directeurs p et q.

! = x!E0 x = "p + µq + a{ }

= x1,x2 ,x3( )!!3

x1 = "p1 + µq1 + a1x2 = "p2 + µq2 + a2x3 = "p3 + µq3 + a3

;!",µ !!

#

$%

&%

'

(%

)%

On aperçoit ci-dessus l’équation vectorielle et le système d’équations paramétriques de ! . En éliminant les paramètres !!et!µ du système d’équations paramétriques, on obtient l’équation cartésienne de ! , à savoir :

! "

x1 # a1 x2 # a2 x3 # a3

p1 p2 p3

q1 q2 q3

= 0

EX : Déterminez un système d’équations paramétriques et une équation cartésienne du plan dont

on donne le point 5,0, 7( ) et les vecteurs directeurs 3,2,1( )!et! 0,!1,2( ) . 2ème cas : le plan ! est défini par trois points non alignés a, b et c. Ce cas se ramène au premier cas. En effet le plan ! est défini par le point a et les vecteurs directeurs b ! a!et!c ! a . Je vous laisse le soin d’écrire ses équations vectorielle, paramétriques et cartésienne.

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Jean-Pierre Verbeque 070510 vectoriels 9

EX : Déterminez une équation cartésienne du plan qui passe par les points a = 3,2,1( ),!b = 1,2, 3( )!et!c = 0,5,1( )

EX : Même question pour les points a = 3,2,1( ),!b = 1,2, 3( )!et!c = 4, 4, 4( ) ( !!! ) c. Droites 1°. Droites vectorielles Une droite vectorielle D

0 de E

0 est une droite passant par l’origine. Elle est engendrée par un vecteur

non nul, disons p, que l’on appelle « vecteur directeur de D0

». Ainsi

D0 = x!E0 x = "p!où!" !!{ } et D

0 a pour équation vectorielle x = !p .

On traduit dans !3 : D0 = x1,x2 ,x3( )!!3

! x1,x2 ,x3( ) = " p1,p2 ,p3( ),!" !!{ } , ce qui fournit

immédiatement le système d’équations paramétriques de D0

, à savoir :

D0 !

x1 = "p1x2 = "p2x3 = "p3

#

$%

&%

En éliminant le paramètre λ on obtient un système de deux équations cartésiennes de plans qui définissent la droite D

0.

EX : Déterminez un système d’équations paramétriques et un système d’équations cartésiennes de

la droite vectorielle D0

définie par le vecteur directeur p = 3, 7, 4( ) Dans la pratique, on préfère écrire le système d’équations cartésiennes de D

0 de la manière suivante :

D0 !x1

p1=x2

p2=x3

p3 ( I ♥ )

tout en sachant qu’on saute à pieds joints au-dessus d’une éventuelle question de sens. 2°. Droites quelconques Une droite quelconque D de l’espace, peut être définie par deux points de D ou par un point de D et un vecteur directeur de D. (c-à-d un point non nul de la parallèle D

0à D passant par o).

1er cas : D est définie par un point t et un vecteur directeur p. On obtient successivement :

D ! x = "p + t (équation vectorielle de D)

D !

x1 = "p1 + t1x2 = "p2 + t2x3 = "p3 + t3

#

$%

&%

(système d’équations paramétriques de D)

D !x1 " t1

p1=x2 " t2

p2=x3 " t3

p3 ( I ♥ ) (système d’équations cartésiennes de D)

2ème cas : D est définie par deux points s et t Ce cas se ramène au précédent puisque D passe par t et admet s ! t( ) comme vecteur directeur. Les équations du premier cas se transforment en conséquence.

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Jean-Pierre Verbeque 070510 vectoriels 10

EX : Déterminez les équations paramétriques et cartésiennes (forme I ♥) de la droite A définie par le point t = 4,!1,2( ) et le vecteur directeur p = 0,5, 3( )

de la droite B définie par les points s = 3,2,!4( ) et t = !2,1, 7( ) . 8. Parallélisme a. de droites

!! A et B des droites de E0

A est parallèle à B ssi A et B ont même sous-vectoriel directeur (A

0= B

0)

ssi A et B ont mêmes vecteurs directeurs ssi A et B ont un vecteur directeur commun.

EX : Les droites A !

x = 3" + 2

y = 2" # 5

z = 4" +1

$

%&

'&

et B !

x = 3" # 3

y = 2" + 5

z = 4" + 9

$

%&

'&

sont parallèles

EX : Les droites A !x "1

5=y

2=z " 3

3 et B !

x " 5

10=y + 3

4=z "1

6 sont parallèles.

b. de plans α est parallèle à β ssi α et β ont même sous-vectoriel directeur (!

0= "

0)

ssi α et β ont mêmes vecteurs directeurs ssi !!et!" ont deux vecteurs directeurs ad hoc communs

EX : Les plans ! "

x = 3# + 2µ + 5

y = 2# $ µ $ 7

z = # + 3

%

&'

('

et ! "

x = 3# + 2µ

y = 2# $ µ + 5

z = # $ 4

%

&'

('

sont parallèles.

EX : On a vu en classe que les plans ! " a1x1+ a

2x2+ a

3x3+ a

4= 0 et ! " b

1x1+ b

2x2+ b

3x3+ b

4= 0

sont parallèles confondus ssi !" #! : a

1, a

2, a

3, a

4( ) = " b1,b

2,b

3,b

4( ) sont parallèles distincts ssi

!" #! : a

1, a

2, a

3( ) = " b1,b

2,b

3( )!et!a4 $ "b4

c. de droite et plan A est parallèle à α ssi le sous-vectoriel directeur de A est inclus à celui de α ssi A

0! "

0

ssi tout vecteur directeur de A est vecteur directeur de α ssi un vecteur directeur de A est vecteur directeur de !

EX : La droite A !x "1

5=y

2=z " 3

3 est parallèle au plan ! " 3x + 3y # 7z + 39 = 0

car le vecteur directeur 5,2, 3( ) de A appartient au plan !0 " 3x + 3y # 7z = 0

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Jean-Pierre Verbeque 070510 vectoriels 11

9. Systèmes linéaires de trois équations à trois inconnues Un système linéaire de trois équations à trois inconnues est une écriture du type

a1x1+ a

2x2+ a

3x3= d

1

b1x1+ b

2x2+ b

3x3= d

2

c1x1+ c

2x2+ c

3x3= d

3

!

"#

$#

( où !i : a

i, b

i!et!c

i"! )

Il représente l’ensemble des points communs aux trois (?) plans ! " a

1x1+ a

2x2+ a

3x3= d

1,!# " b

1x1+ b

2x2+ b

3x3= d

2!et!$ " c

1x1+ c

2x2+ c

3x3= d

3.

Résoudre un tel système, c’est déterminer l’ensemble des points qui appartiennent ensemble à ces trois plans. Cet ensemble, c’est-à-dire !"#" $ est appelé l’ensemble des solutions du système.

Si !"#" $ est vide, alors on dit que le système est impossible. Si !"#" $ est un singleton, alors on dit que le système est déterminé. Si !"#" $ est une droite, alors on dit que le système est simplement indéterminé. Si !"#" $ est un plan, alors on dit que le système est doublement indéterminé.

EX : L’examen attentif des équations cartésiennes de !,!",!# ,!!

0,!"

0!et!#

0 permet de savoir si le

système est impossible, déterminé simplement indéterminé ou doublement indéterminé. 3x ! 2y + z = 4

6x ! 4y + 2z = 8

9x ! 6y + 3z = 12

"

#$

%$

est doublement indéterminé

3x ! 2y + z = 4

5x ! 4y + 2z = 8

8x ! 6y + 3z = 12

"

#$

%$

est simplement indéterminé

3x ! 2y + z = 4

5x ! 4y + 2z = 8

9x ! 7y + 3z = 12

"

#$

%$

est déterminé

3x ! 2y + z = 4

6x ! 4y + 2z = 7

9x ! 6y + 3z = 13

"

#$

%$

est impossible

3x ! 2y + z = 4

5x ! 4y + 3z = 8

8x ! 6y + 4z = 9

"

#$

%$

est impossible

10. Exercices Pages 110 et 111 du manuel : Espace Math 5e / 6e , Coffre à outils , 4 périodes par semaine.