TB TB TB

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dewasa ini Indonesia dilanda berbagai masalah kesehatan yang cukup

memprihatinkan. Salah satu masalah kesehatan yang masih menjadi perhatian

pemerintah adalah penanggulangan masalah penularan penyakit Tuberculosis

(TB) akibat bakteri Mycobacterium Tuberculosis (MyTB). Hingga saat ini,

tidak ada satu negara pun yang bebas dari penyakit TBC ini. Angka kematian

dan kesakitan akibat kuman mycobacterium tuberculosis ini sangat tinggi.

Hingga kini angka prevalensi pengidap TBC di indonesia saat ini

diperkirakan sudah mencapai 289 per 100.000 penduduk dan insidensi telah

mencapai angka 189 per 100.000 penduduk. Bahkan 27 dari 1.000 penduduk

sudah terancam meninggal dunia seperti yang telah diutarakan oleh Direktorat

Jendral Pengendalian Penyakit dan Penyehatan Lingkungan, Kementrian

Kesehatan Republik Indonesia yang menghimpun angka tersebut sejak tahun

2011 yang lalu mengenai tuberkulosis (TBC) di indonesia

(http://www.doktergaul.net/2013/08/Gejala-Penyakit-TBC-Penyebab-dan-

Cara-Pegobatan.html).

Tuberkulosis (TB) adalah infeksi yang disebabkan oleh bakteri. TB

biasanya berpengaruh pada paru, tetapi juga dapat berdampak pada organ

tubuh lain. Nama tuberkulosis berasal dari tuberkel. Tuberkel adalah tonjolan

kecil dan keras yang terbentuk waktu sistem kekebalan membangun tembok

mengelilingi bakteri TB dalam paru. Infeksi ini disebut TB paru. Infeksi

1

dapat menyebar dari paru ke ginjal, tulang belakang dan otak. Infeksi ini

disebut TB luar paru. TB luar paru ditemukan pada orang yang sudah

terinfeksi TB tetapi belum diobati. Gejala utama pasien TB paru adalah batuk

berdahak selama 2-3 minggu atau lebih. Batuk dapat diikuti dengan gejala

tambahan yaitu dahak bercampur darah, batuk darah, sesak nafas, badan

lemas, nafsu makan menurun, berat badan menurun, malaise, berkeringat

malam hari tanpa kegiatan fisik, demam meriang lebih dari satu bulan.

Gejala-gejala tersebut diatas dapat dijumpai pula pada penyakit paru selain

TB, seperti bronkiektasis, bronkitis kronis, asma, kanker paru, dan lain-lain.

Mengingat prevalensi TB di Indonesia saat ini masih tinggi, maka setiap

orang yang datang ke UPK (Unit Pelayanan Kesehatan) dengan gejala

tersebut diatas, dianggap sebagai seorang tersangka (suspek) pasien TB, dan

perlu dilakukan pemeriksaan dahak secara mikroskopis langsung.

Sebagai salah satu daerah yang berada di kawasan timur Indonesia,

propinsi Nusa Tenggara Timur (NTT) terutama daerah kabupaten Alor

merupakan salah satu daerah endemik penularan penyakit TB. Hal ini dapat

ditunjukkan dari tingginya angka penemuan penderita TB Paru BTA (+) yang

mencapai 56,7% pada tahun 2008. Angka ini cukup menggambar bahwa

kabupaten Alor memiliki angka kesakitan TB yang memprihatinkan.

Dalam masalah penularan penyakit TB ini paling sedikit terdapat tiga

kategori subpopulasi yang berinteraksi satu sama lain dalam setiap

lingkungan pemukiman yaitu subpopulasi dengan individu-individu sebagai

suspek MyTB/TB, subpopulasi dengan individu-individu tertular MyTB

tetapi belum TB, dan subpopulasi dengan individu-individu positif TB.

2

Ketiga kategori subpopulasi ini berinteraksi terus menerus secara bebas

dengan subpopulasi lain yang menempati lingkungan pemukiman yang sama

yaitu subpopulasi dengan individu-individu negatif MyTB/TB ataupun yang

negatif suspek MyTB/TB. Apabila interaksi ini berjalan terus menerus tanpa

suatu upaya pengendalian yang cukup serius maka TB akan menjadi bahaya

laten bagi NTT khususnya daerah kabupaten Alor dalam rentang waktu yang

cukup lama.

Fenomena seperti uraian di atas memenuhi prinsip dasar pemodelan

matematika sebab rentan terhadap perubahan waktu dan sulitnya menghindari

terjadinya interaksi antar subpopulasi-subpopulasi dengan individu-individu

yang tertular dan menularkan ke individu melalui udara di lingkungan

pemukiman penduduk. Akan tetapi masalahnya adalah bagaimana model

matematika yang dapat digunakan untuk menjelaskan masalah penularan TB

di daerah Kabupaten Alor? Oleh karena itu akan dilakukan penelitian dengan

judul “Penggunaan Model Matematika Dalam Menganalisis Penularan

Tuberkulosis di Kabupaten Alor Nusa Tenggara Timur”

B. Identifikasi Masalah

Sesuai dengan latarbelakang diatas masalah yang dapat

diidentifikasikan sebagai berikut :

1. Penularan TB sebagai akibat interaksi subpopulasi dengan individu-

individu negatif MyTB dengan subpopulasi dengan individu positif TB.

2. Penularan TB sebagai akibat interaksi subpopulasi dengan individu-

individu negatif MyTB dengan subpopulasi dengan individu-individu

3

positif MyTB belum TB dan dengan subpopulasi dengan individu-

individu positif TB.

C. Batasan Masalah

Batasan masalah ini sangat membantu penulis dalam melakukan

penelitian. Oleh karena itu batasan masalah merupakan suatu acuan untuk

melakukan dan menyelesaikan penelitian. Hal ini mendorong peneliti untuk

membatasi penelitian hanya pada penggunaan model matematika dalam

menganalisis penularan TB Paru sebagai akibat interaksi subpopulasi dengan

individu-individu negatif MyTB dengan subpopulasi dengan individu-

individu positif MyTB belum TB dan dengan subpopulasi dengan individu-

individu positif TB Paru.

D. Rumusan Masalah

Berdasarkan latarbelakang diatas dapat dirumuskan permasalahannya

yaitu “Bagaimana penggunaan model matematika dalam menganalisis

penularan tuberkulosis paru sebagai akibat interaksi subpopulasi dengan

individu-individu negatif MyTB dengan subpopulasi dengan individu-

individu positif MyTB belum TB dan dengan subpopulasi dengan individu-

individu positif TB di Kabupaten Alor Nusa Tenggara Timur?”

E. Tujuan Penelitian

Sesuai dengan rumusan masalah tersebut maka dalam penelitian ini

bertujuan untuk merumuskan model matematika dalam persamaan diferensial

yang menyatakan interaksi antara subpopulasi dengan individu-individu

negatif MyTB dengan subpopulasi dengan individu-individu positif MyTB

belum TB dan dengan subpopulasi dengan individu-individu positif TB.

4

F. Manfaat Penelitian

Adapun manfaat yang diharapkan dari penelitian ini antara lain

sebagai berikut.

1. Sebagai sumbangan pemikiran kepada pemerintah terutama Dinas

Kesehatan setempat dalam upaya mengendalikan penularan penyakit TB.

2. Sebagai sumbangan informasi ilmiah bagi masyarakat akademis dalam

pengembangan ilmu pengetahuan dan perluasan wilayah penelitian.

3. Sebagai sumber referensi tambahan bagi mahasiswa dan masyarakat

umum dalam memahami segala sesuatu yang berkaiatan dengan masalah

penularan TB.

4. Untuk memperkenalkan program study yang diambil khususnya program

study matematika kepada masyarakat luas.

5

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

A. Gambaran Umum tentang Tuberkulosis Paru

1. Pengertian

Tuberkulosis paru merupakan penyakit menular mengenai

parenkim paru yang disebabkan oleh Mycobacterium tuberculosis.

Tuberkulosis paru merupakan penyakit infeksi yang menyerang saluran

nafas bagian bawah. Basil tuberkulosis merupakan Basil Tahan Asam

(BTA), berbentuk batang, basil ini cepat mati dengan sinar matahari

langsung, tetapi dapat bertahan hidup beberapa jam di tempat yang gelap

dan lembab (http://www.indonesian-publichealth.com/2013/06/ definisi -

penyakit-tb-paru.html).

.

2. Gejala Tuberkulosis

Gejala umum TB adalah batuk terus menerus dan berdahak

selama 3 minggu atau lebih. Gejala lain yang sering dijumpai adalah dahak

bercampur darah, batuk darah, sesak napas dan nyeri dada, badan lemah,

nafsu makan menurun, rasa kurang enak badan (malaise), berkeringat

malam walaupun tanpa kegiatan, demam meriang lebih dari sebulan.

Gejala-gejala tersebut dijumpai pula pada penyakit paru selain TB. Oleh

sebab itu, setiap orang yang datang ke UPK (Unit Pelayanan Kesehatan)

dengan gejala tersebut di atas, harus dianggap tersangka penderita TB, dan

6

perlu dilakukan pemeriksaan dahak secara mikroskopis langsung dan

gambaran radiologis/foto rontgen (http://gejala

peyakitmu.blogspot.com/2013/05/gejala-tbc-penyebab-dan-cara-

pengobatan.html).

3. Penyebab Tuberkulosis

Tuberkulosis tergolong penyakit menular langsung yang

disebabkan oleh bakteri Mycobacterium Tuberculosis (MyTB). Sebagian

besar kuman MyTB meyerang paru, tetapi dapat juga menggorogoti bagian

tubuh lain. Kuman penyebab penyakit ini ditemukan oleh Robert Koch

pada tahun 1882. Kuman ini berbentuk batang, mempunyai sifat khusus

yaitu resisten atau tahan terhadap asam pada saat penawaran. Oleh sebab

itulah kuman ini disebut juga dengan sebutan Basil Tahan Asam (BTA).

Bakteri ini cepat mati dengan sinar matahari langsung, tetapi dapat

bertahan hidup beberapa jam di tempat yang lembab dan gelap. Dalam

jaringan tubuh kuman ini dapat dormant atau tertidur selama beberapa

tahun.

4. Tahapan Infeksi Tuberkulosis

Adapun tahapan infeksi kuman TB terbagi atas dua tahap yaitu

tahapan infeksi primer dan tahapan infeksi post primer. Tahapan infeksi

primer ini terjadi saat seseorang terpapar pertama kali dengan kuman TB.

Droplet yang terhirup sangat kecil ukurannya, sehingga dapat melewati

sistem pertahanan mukosilier bronkus, dan terus berjalan sehingga sampai

di alveolus dan menetap di sana. Infeksi dimulai saat kuman TB berhasil

berkembangbiak dengan cara pembelahan diri di paru, yang

7

mengakibatkan peradangan di dalam paru. Saluran limfe akan membawa

kuman TB ke kelenjar limfe di sekitar hilus paru, dan ini disebut sebagai

kompleks primer. Waktu antara terjadinya infeksi sampai pembentukkan

kompleks primer sekitar 4-6 minggu. Adanya infeksi dapat ditunjukkan

dengan terjadinya perubahan reaksi Tuberkulin dari negatif menjadi

positif. Kelanjutan setelah infeksi primer tergantung dari banyaknya

kuman yang masuk dan besarnya respon daya tahan tubuh atau yang

disebut dengan Imunitas Seluler. Umumnya reaksi daya tahan tubuh

tersebut dapat menghentikan perkembangan kuman TB. Meskipun

demikian, ada beberapa kuman akan menetap sebagai kuman persister atau

dormant. Terkadang daya tahan tubuh tidak mampu menghentikan

perkembangan kuman, akibatnya dalam beberapa bulan yang bersangkutan

akan menjadi penderita TB. Masa inkubasi, yaitu waktu yang diperlukan

mulai terinfeksi sampai menjadi sakit diperkirakan sekitar 6 bulan.

Sedangkan tahapan infeksi post primer biasanya terjadi beberapa

bulan atau tahun sesudah infeksi primer, misalnya karena daya tahan tubuh

menurun akibat terinfeksi HIV atau status gizi yang buruk. Infeksi HIV

mengakibatkan kerusakan luas sistem daya tahan tubuh seluler, sehingga

jika terjadi infeksi opurtunistik, seperti tuberkulosis maka yang

bersangkutan akan menjadi sakit parah bahkan bisa mengakibatkan

kematian.

5. Sumber Penularan Tuberkulosis

Sumber pertama dan utama dalam penularan TB adalah penderita

BTA positif. Pada waktu batuk atau bersin, penderita menyebarkan kuman

8

ke udara dalam bentuk droplet atau percikan dahak. Droplet yang

mengandung kuman dapat bertahan di udara pada suhu kamar selama

beberapa jam. Seseorang dapat terinfeksi jika droplet tersebut terhirup ke

dalam saluran pernapasan. Setelah kuman TB masuk ke dalam tubuh

manusia melalui pernapasan, kuman tersebut dapat meyebar dari paru-paru

ke bagaian tubuh lainnya melalui sistem peredaran darah, sistem saluran

limfa, saluran napas atau penyebaran langsung ke bagian-bagian tubuh

lainnya. Daya penularan dari seorang penderita ditentukan oleh banyaknya

kuman yang dikeluarkan dari parunya. Makin tinggi derajat positif

pemeriksaan dahak, makin tinggi pula peluang penderita tersebut menular

TB. Apabila hasil pemeriksaan negatif maka penderita tersebut dianggap

tidak dapat menularkan. Kemungkinan seseorang terinfeksi TB ditentukan

oleh konsentrasi droplet dalam udara dan lamanya menghirup udara

tersebut.

B. Fakta Tuberkulosis

Penyakit TB adalah penyakit infeksi kronis menular yang masih tetap

menjadi masalah kesehatan masyarakat di dunia termasuk Indonesia.

Terdapat 22 negara di dunia yang dikategorikan sebagai high-burden

countries TB oleh Badan Kesehatan Dunia (WHO) dalam annual report on

global TB control 2003. Jumlah penderita TB di Indonesia menurut WHO

pada peringatan World TB Day 2003 mencapai 581.847. Angka inilah yang

berhasil menghantarkan Indonesia sebagai negara ketiga di dunia dengan

penderita TB terbanyak di bawah India dan China.

9

Berbagai hasil survei yang telah dilakukan di wilayah Indonesia dapat

dijadikan sebagai indator tingginya angka prevalensi TB. Survei prevalensi

pertama kali yang diadakan selama 1964-1965 di daerah pedesaan Jawa

Timur, misalnya. Dari hasil survei ini diperoleh angka prevalensi TB

mencapai 11,7 %, dengan resiko infeksi tahunan 1,64 %. Selain itu, Aditama

(1997) mengumpulkan beberapa hasil survei kesehatan rumah tangga (SKRT)

2001, dengan estimasi prevalensi angka kesakitan di Indonesia sebesar 8 per

1000 penduduk menurut gejala tanpa pemeriksaan laboratorium. Menurut

Aditama (2008), pengidap TB di Indonesia dari tahun ke tahun terus

meningkat. Bahkan saat ini setiap menit muncul satu penderita baru TB, dan

setiap dua menitnya muncul satu penderita TB yang menular, sehingga setiap

empat menit sekali satu orang meninggal akibat TB di Indonesia.

Berdasarkan laporan dari WHO (2003) bahwa terdapat sekitar

582.000 kasus baru setiap tahunnya di Indonesia. Terdapat 259.970 kasus di

antaranya adalah tuberkulosis paru-paru dengan BTA positif (SS+). Terdapat

271 kasus baru per 100.000 penduduk, dan 122 BTA positif per 100.000

penduduk (Depkes, 2004).

Dengan menggunakan sistem informasi kesehatan nasional yang

hanya menangkap kurang dari 1 per 3 kasus, pada kohort tahun 2001

diperoleh angka kematian penderita TB oleh sebab apapun selama masa

pengobatan OAT adalah 2,0 %. Angka kematian kasus tertinggi terjadi di

Sulawesi Selatan (3,9 %), Bangka Belitung (3,6 %), Aceh (3,3 %), NTT (3,2

%) dan Kalimantan Timur (3,1 %). Angka-angka ini mengindikasikan angka

10

kematian nasional pada kasus BTA positif sekitar 0,52 per 100.000

penduduk.

Pada 2002 diperoleh laporan dari berbagai sumber yang menyatakan

bahwa jumlah total kasus tuberkulosis adalah 155.188. Jumlah ini mengalami

kenaikan dari total 92.792 kasus pada 2001. Dari total angka ini, dilaporkan

pula bahwa pada 2002 kasus BTA positif mencapai angka 76.230 atau 37,5

per 100.000 penduduk.

C. Teori Matematika Pendukung

1. Kestabilan dan Bidang Fase

Misalkan sistem persamaan diferensial non linear orde dua

berbentuk

{dxdt

=F ( x , y ) , dydt

=G(x , y)}....................................................................(1)

dengan t menyatakan waktu. Sistem dalam persamaan (1) disebut sistem

autonomous atau sistem mandiri. Diasumsikan bahwa F(x,y) dan G(x,y)

kontinu dan diferensiabel di suatu daerah R pada bidang xy yang kemudian

disebut sebagai bidang fase.

Apabila dikehui bahwa t 0 dan ( x0 , y0 )∈ R, maka dapat dipastikan terdapat

satu dan hanya satu solusi yaitu x=x (t ) ; y= y ( t) yang terdefenisi pada

(a , b ) yang memuat t 0 dan memenuhi kondisi awal yaitu x (0 )=x0 ; y (0 )= y0

.

Solusi tunggal x=x (t ) ; y= y ( t) menggambarkan kurva solusi

parameter dalam bidang fase. Solusi ini disebut lintasan sistem dan dapat

dipastikan bahwa hanya ada satu lintasan yang melalui setiap titik pada R.

11

Sebuah titik ( x¿ , y¿) adalah titik kritis sistem, akibatnya nilai fungsi konstan

x (t )=x¿ ; y (t )= y¿, memenuhi sistem persamaan (1). Nilai solusi konstan

inilah yang kemudian disebut sebagai solusi equilibrium atau solusi

kesetimbangan.

2. Matriks Jacobian

Apabila bentuk sistem persamaan yang diketahui adalah sistem

yang tidak linear, maka solusinya dapat diperoleh dengan mencari matriks

Jacobian pada setiap titik kesetimbangannya.

Misalkan ∂ x∂ t

=F (x , y ); ∂ y∂ t

=G(x , y ) dan ( x0 , y0 )merupakan titik

kesetimbangan dari sistem, maka matriks Jacobian dari titik tersebut

adalah

J ( F0 , G0 )=J (( F ( x0 , y0 ) ,G ( x0 , y 0 )))=[ ∂ ( F , G )∂ ( x , y ) ]( x0 , y0 )

=[ ∂ F∂ x

( x0 , y0 ) ∂ F∂ y

( x0 , y0 )∂ G∂ x

( x0 , y0 ) ∂ G∂ y

( x0 , y0 )]Sehingga diperoleh hasil linearisasi sebagai berikut.

[ dxdtdydt

]=J (F0 , G0)[ xy ]

3. Nilai dan Vektor Eigen Suatu Matriks

1.C.3.1Nilai Eigen Suatu Matriks

Suatu himpunan persamaan simultan dapat dinyatakan dalam

bentuk matriks ax = λx atau dapat ditulis dalam bentuk ( A−λ I ) X=0,

dengan I matriks identitas dan A matriks bujursangkar. Persamaan ini

selalu memiliki solusi trivial ( X=0 ), tetapi yang lebih terpenting yaitu

12

solusi non trivialnya yang hanya ada jika determinan matriks koefisiennya

bernilai nol.

|A−λ I|=|A11− λ A12 ⋯ A1 n

A21 A22−λ ⋯ A2 n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮An1 An 2 ⋯ Ann− λ

|=0

Apabila dijabarkan maka akan diperoleh bentuk polinom dalam λ.

Nilai λ yang diperoleh tersebut disebut nilai eigen. Suku dengan pangkat

tertinggi dari polinom tersebut adalah λn. Selanjutnya dengan

menyamakan polinom dengan nol akan didapat bentuk umum persamaan

karakteristik seperti berikut. bn λn+bn−1 λn−1+⋯+b1 λ+b0=0 dengan n∈N .

1.C.3.2Vektor Eigen Suatu Matriks

Vektor eigen adalah solusi persamaan homogen yang didapat

dengan cara memasukkan nilai eigen λ i ke dalam persamaan

( A−λi I ) X i=0............................................................................................(2)

Dengan mensubstitusikan nilai eigen ke dalam persamaan (2) maka dapat

diperoleh solusi persamaan homogen.

4. Teorema Stabilitas Sistem Linear

Misalkan λ1 dan λ2 adalah nilai eigen dari matriks koefisien A

dari sistem linear dua dimensi berikut.

dxdt

=ax+by ,dydt

=cx+dy.

Jika ad−bc≠ 0, maka titik kritis (0,0) akan memiliki sifat berikut ini.

1. Stabil asimptotik, yaitu jika kedua bagian real dari λ1 dan λ2 bernilai

negatif

13

2. Stabil, tidak stabil asimptotik, yaitu jika bagian real dari λ1 dan λ2

bernilai nol yakni λ12=±qi, dengan q=√ ( (a+d )−4 (ad−bc ) )

3. Tidak stabil, yaitu jika bagian real dari salah satu atau keduanya bernilai

positif.

Adapun sifat dari titik kritis (0,0) sangat bergantung kepada nilai

dari λ1 dan λ2, yaitu sebagai berikut.

1. Real berbeda, bertanda sama

2. Real berbeda, bertanda berlawanan

3. Real dan sama

4. Kompleks sekawan

5. Murni imajiner

5. Sifat-sifat Titik Kritis dan Kestabilan

Defenisi 1 : Suatu titik simpul dikatakan titik simpul sebenarnya atau titik

simpul sejati (proper node) jika setiap lintasan yang tidak

berlawanan arah ketika menyinggung sebuah garis lurus di

titik kritis atau semua lintasan menuju ke titik kritis dari

semua arah. Titik simpul sebenarnya sering pula disebut

dengan star point.

Defenisi 2 : Suatu titik simpul disebut penyedot (sink) jika semua lintasan

menuju ke titik kritis, sebaliknya disebut sumber (source) jika

semua lintasan memancar atau berasal dari titik kritis.

Defenisi 3 : Suatu titik ( x¿ , y¿) dari sistem persamaan diferensial orde dua

dikatakan stabil jika setiap titik awal ( x0 , y0 ) cukup dekat ke

( x¿ , y¿), maka ( x ( t ) , y (t ) ) tetap dekat ke ( x¿ , y¿) ,∀ t >0.

14

Defenisi 4 : Titik kritis ( x¿ , y¿) dikatakan stabil asimptotik jika titik

tersebut stabil dan setiap lintasan yang bermula dari titik yang

cukup dekat ke titik ( x¿ , y¿) akan menuju ke titik ( x¿ , y¿) untuk

t →∞

6. Uji Kesesuaian Chi-Kuadrat

Uji kesesuaian chi-kuadrat merupakan salah cara yang dapat

ditempuh untuk menentukan kesesuaian antara nilai observasi dengan nilai

dugaan. Uji yang dimaksud di sini adalah uji statistik chi-kuadrat. Statistik

ini didefenisikan sebagai

χ2=∑i=1

n (nilai observasi ke−i−nilaiharapan ke−i )2

nilaiharapanke−i ...............................(3)

dengan n adalah banyaknya grup pasangan data nilai observasi dan nilai

harapan berdasarkan model. Semakin sesuai nilai obersevasi dengan nilai

harapan berdasarkan model maka nilai χ2 akan semakin dekat ke nol. Nilai

χ2 yang kecil menandakan model tersebut baik sedangkan nilai χ2 yang

besar menandakan model tersebut tidak baik.

Adapun seberapa kecil nilai χ2 yang diperlukan untuk

menyimpulkan bahwa model tersebut cukup baik, akan tergantung dari

banyaknya pasangan data pengamatan dan taraf kepercayaan. Angka telah

ditabelkan dalam suatu tabel chi-kuadrat. Jika χhitung2 < χ tabel

2 pada taraf nyata

α maka tingkat kepercayaan terhadap kesesuaian antara nilai observasi

dengan nilai harapan sebesar (1−α ) ×100 %

D. Hipotesis Penelitian

15

Hipotesis adalah sebuah kesimpulan, tetapi kesimpulan ini belum

final, masih harus dibuktikan kebenarannya. Hipotesis juga merupakan

jawaban sementara terhadap permasalahan yang diajukan (Djarwanto,

2000:13).

Hipotesis yang digunakan penulis dalam penelitian ini adalah

H0 : Apakah ada

Ha :

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Tempat Dan Jadwal penelitian

1. Tempat Penelitian

Penelitian ini akan dilaksanakan di RSUD Kalabahi Kabupaten

Alor-NTT.

2. Jadwal Penelitian

Penelitian ini akan dilaksanakan pada bulan Januari-Maret 2014

atau selama kurun waktu tiga (3) bulan.

B. Populasi dan Sampel

1. Populasi

16

Populasi adalah keseluruhan dari obyek yang diteliti. Populasi

adalah wilayah generalisasi yang terdiri atas subyek atau obyek yang

mempunyai kuantitas dan karakteristik tertentu yang ditetapkan oleh

peneliti untuk dipelajari dan kemudian ditarik kesimpulan (sugiyono,

2005:55).

Dengan melihat definisi diatas maka populasi yang penulis ambil

dalam penulisan ini adalah dari keseluruhan pasien yang mengalami

penyakit TB Paru di Kabupaten Alor Nusa Tenggara Timur.

2. Sampel

Sampel adalah bagian dari obyek yang sesungguhnya dari

penelitian sebagai wakil dari anggota populasi. Menurut Djarwanto,

2000:43 sampel diartikan sebagai sebagian dari populasi yang

karakteristiknya hendak diselidiki.

Dengan demikian dalam penelitian ini sampel yang digunakan

adalah konsumen atau pasien yang mengalami penularan TB Paru yang

melakukan pengobatan ke Rumah Sakit Umum Daerah (RSUD)

Kalabahi.

C. Variabel Penelitian

D. Teknik Pengumpulan Data

Pembahasan metodologi yang digunakan dalam proses penyelesaian

proposal ini pada dasarnya adalah merupakan urutan langkah-langkah yang

harus dilakukan. Untuk mengumpulkan data dalam kegiatan penelitian

diperlukan cara-cara atau teknik pengumpulan data tertentu, sehingga proses

penelitian dapat berlajan dengan lancar. Dengan demikian peneliti akan

17

melakukan beberapa langkah pengumpulan data seperti study pustaka dan

wawancara.

1. Study Pustaka

Sumber referensi yang penulis pergunakan dalam penyusunan

proposal ini adalah buku dan internet/website.

2. Wawancara

Pada tahap ini penulis akan melakukan wawancara terstruktur

dengan manajemen RSUD Kalabahi, dari beberapa wawancara yang

akan dilakukan mengenai masalah penularan tuberkulosis paru untuk

mendapatkan data dukung dalam penulisan selanjutnya. Beberapa hasil

wawancara yang akan penulis lakukan dapat di lihat pada lampiran-

lampiran penulisan selanjutnya.

E. Teknik Analisa Data

Pengkajian masalah dalam penelitian ini dikerjakan dengan

menggunakan metode pemodelan matematika dalam persamaan diferensial

yang meliputi dua tahap utama yaitu tahapan analisis kualitatif dan aplikasi

model pada kasus TB di daerah kabupaten Alor.

1. Analisis Kualitatif

Analisis kualitatif yang dimaksud dalam penelitian ini

merupakan tahapan awal yang digunakan untuk merumuskan model

matematika penularan TB. Adapun langkah-langlah dalam analisis

kualitatif ini adalah sebagai berikut.

a. Identifikasi Fenomena MyTB/TB di Kabupaten Alor

18

Fenomena MyTB/TB di daerah kabupaten Alor dapat

diidentifikasikan sebagai dua interaksi utama berikut.

Interaksi antarsubpopulasi dengan individu-individu negatif

MyTB dan subpopulasi dengan individu-individu positif MyTB.

Interaksi antarsubpopulasi dengan individu-individu negatif

MyTB atau sehat dengan subpopulasi dengan individu-individu

yang terjangkit MyTB tetapi belum TB dan subpopulasi dengan

individu-individu positif TB.

b. Penetapan Asumsi-asumsi MyTB/TB di Kabupaten Belu

Berangkat dari studi pendahuluan yang telah dilakukan maka

dapat ditetapkan beberapa asumsi dasar berikut ini.

Jika terjadi interaksi antara satu individu negatif MyTB/TB

dengan individu positif MyTB/TB maka populasi negatif

MyTB/TB akan kehilangan satu individu yang sehat atau negatif

MyTB/TB dan secara bersama-sama akan menambah satu

individu yang positif MyTB/TB.

Satu individu positif MyTB/TB dapat menulari lebih dari sati

individu yang sehat.

Penyebaran penyakit tuberkulosis dapat terjadi apabila populasi

menghirup udara di mana penderita MyTB/TB mengeluarkan

dahak ke udara bebas.

c. Membangun Model Matematika

Dalam tahapan ini dilakukan dua aktivitas utama yaitu :

19

Membangun model matematika dalam sistem persamaan

diferensial biasa tak linear sebagai interaksi anatara populasi

dengan individu-individu yang negatif MyTB dengan populasi

dengan individu-individu yang positif tertular MyTB. Model ini

merupakan kombinasi linear dari pertumbuhan logistik populasi

sehat, laju perubahan individu-individu yang negatif MyTB

menjadi individu-individu yang positif MyTB per-satuan waktu,

dan laju individu-individu yang positif MyTB meninggal karena

TB atau sebab-sebab lain.

Membangun model matematika dalam sistem persamaan

diferensial biasa tak linear sebagai interaksi antara populasi

dengan individu-individu negatif MyTB dengan populasi dengan

individu-individu tertular MyTB tetapi belum TB dan dengan

individu-individu yang sedang menderita TB. Laju individu sehat

atau yang negatif MyTB menjadi terinfeksi MyTB melaui kontak

dengan individu lain yang positif yang sudah menderita MyTB

tetapi belum menderita TB, atau laju infeksi MyTB menjadi TB,

ataupun laju individu MyTB meninggal sebelum menderita TB

dan laju individu meninggal karena TB.

d. Analisis Model

Mencari Solusi Model

Hal pertama yang dilakukan dalam tahapan ini adalah

mencari solusi analitik setiap model dengan berbagai cara

misalnya dengan menggunakan metode variabel terpisah.

20

Apabila ternyata tidak dapat diperoleh solusi analitik maka

langkah berikutnya adalah mencari solusi numerik dengan

menggunakan beberapa metode seperti metode Runge-Kutta

ataupun Newton Raphson. Namun, model yang akan diperoleh

nantinya akan berupa model tak linear yang akan lebih rumit jika

melibatkan lebih banyak lagi asumsi. Oleh sebab itu, solusi

model dapat ditentukan dengan melihat phase plane dari setiap

model dengan memanfaatkan software Maple atau Mathematica.

Mencari Titik Keseimbangan Model

Misalkan sistem model merupakan sistem persaman

diferensial non linear yang berbentuk

{dxdt

=F ( x , y ) , dydt

=G(x , y)} adalah sistem autonomous maka

titik ( x0 , y0 ) disebut titik keseimbangan sistem model jika

memenuhi F ( x0 , y0 )=0 dan G ( x0 , y0 )=0 Diharapkan x0≥ 0 dan

y0 ≥ 0, sehingga akan diperoleh empat kemungkinan titik

keseimbangan yaitu (0,0 ) , ( xo ,0 ) , (0 , y0 ), dan ( x0 , y0 ) dengan

x0>0 dan y0>0.

Analisis Kestabilan di Sekitar Titik Keseimbangan

Sifat sistem model yang tidak linear di sekitar titik

kesetimbangan dapat dikatakan sama dengan sistem linear di

sekitar titik kesetimbangan tersebut, sehingga kesulitan analisis

kestabilan sistem model tak linear dapat teratasi dengan

melakukan pelinearan di sekitar titik kesetimbangan tersebut.

21

Caranya adalah pada setiap titik kesetimbangan tersebut dicari

matriks Jacobiannya kemudian dilanjutkan dengan melakukan

linearisasi. Dari proses ini akan ditentukan persamaan

karakteristiknya serta empat kemungkinan sifat titik kritis yaitu

titik sadle, stabil asimptotik, tidak stabil dan stabil center.

Menyusun Implikasi Epidemiologi TB

Langkah selanjutnya adalah menyusun implikasi

epidemiologi TB melalui persyaratan MyTB/TB tereliminasi, ada

sepanjang masa, dan endemik. Selain itu pun ditetapkan

persyaratan suatu daerah dikatakan mengalami pandemik TB.

Menentukan Ambang Batas

Selanjutnya adalah menetukan ambang batas. Misalkan

sistem model orde 2 diubah menjadi persamaan orbit yaitu

persamaan diferensial bebas waktu berbentuk dydx

=R ( x , y ).

Ambang batas model adalah suatu titik ( x• , y•)∋R ( x• , y• )=0.

e. Aplikasi pada Data Hipotetik

Dengan menggunakan persyaratan titik kesetimbangan non

negatif untuk masing-masing model, ditentukan satu data contoh

untuk mempelajari sifat-sifat model di sekitar titik kesetimbangan

endemik atau titik eliminasi penyakit MyTB/TB. Di sini akan

digunakan Maple 7.0 atau Mathematica 3.0. Selanjutnya

berdasarkan data hipotetik ini akan disusun suatu interpretasi

pengendalian TB.

f. Validasi Model

22

Salah satu tujuan model diaplikasikan ke data TB di

kabupaten Belu adalah menentukan ukuran populasi dalam sistem

nyata pada suatu tahun tertentu. Dengan demikian kesesuaian antara

nilai observasi dengan nilai dugaan berdasarkan model tersebut

sangat penting. Untuk itulah pada langkah ini diperlukan uji

hipotesis untuk melihat kesesuaian antara nilai observasi dengan

nilai dugaan yaitu dengan menggunakan uji kesesuaian chi-kuadrat.

2. Aplikasi Model pada Kasus TB di Daerah Kabupaten Alor

a. Pengumpulan dan Limitasi Data Penelitian

Data penelitian yang digunakan adalah data kasus penyakit

TB di daerah kabupaten Belu, Nusa Tenggara Timur pada tahun

2004-2008. Data TB di kabupaten Belu ini meliputi jumlah

penduduk negatif MyTB/TB, jumlah populasi yang tertular MyTB

belum TB, dan jumlah penduduk positif TB.

Selain itu diperlukan pula berbagai data lain mengenai laju

perubahan individu-individu yang negatif MyTB/TB menjadi

individu-individu yang positif MyTB dan laju meninggalnya

individu-individu karena TB atau penyebab lainnya per satuan

waktu.

b. Analisis Data Penelitian

Selanjutnya berdasarkan data yang telah diperoleh dari

langkah 3.2.1 di atas, dilakukan analisa data dengan menggunakan

model yang telah dirumuskan. Analisa data tersebut dilakukan

dengan mengikuti tahapan-tahapan berikut ini.

23

Menentukan nilai semua parameter baik berupa pertumbuhan

logistik, laju infeksi, laju kematian, laju daya dukung

lingkungan, dan mekanisme diagnosis yang bergantung pada

variabel terikat.

Menentukan nilai titik kesetimbangan setiap model dan mencari

nilai eigen sistem model di sekitar titik kesetimbangan.

Melakukan uji hipotesis kekonvergenan dengan menggunakan

indikator pengujian berupa nilai eigen pada sistem pelinearan di

titik kesetimbangan. Jika nilai eigen semuanya positif atau

berlainan tanda maka sistem model tidak konvergen.

Melakukan uji kelayakan model atau validasi model dengan

menggunakan uji statistik chi-kuadrat.

3. Rincian Biaya Penelitian

24