Superficies 2013
Jan 01, 2016
Objetivo:Identificar y graficar superficies
cilíndricas, cuadráticas y de revolución.
Cilindros, superficies cuadráticas y superficies de revolución.
Tema
Clasificación de las superficies en el espacio:
EsferaPlanoSuperficies cilíndricas o cilindrosSuperficies cuadráticasSuperficies de Revolución
Esfera
Una esfera con centro en (x0, y0, z0) y radio r se define como el conjunto de puntos (x,y,z) cuya distancia a (x0, y0, z0) es r.
La ecuación canónica de una esfera es:(x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = r2.
Plano
Un plano que contiene el punto P(x1, y1, z1) es el conjunto de todos los puntos Q(x, y, z) para los que el vector PQ es perpendicular a un vector
n = (a, b, c)
La ecuación de un plano en el espacio es:a (x-x1) + b (y-y1) + c (z-z1) = 0 (forma
canónica)
a x + by + cz + d = 0 (ecuación general)
Superficies Cilíndricas(Cilindros)
El conjunto de todas las rectas paralelas que cortan a una curva C se llama cilindro de curva directriz C. Cada una de esas rectas paralelas se llama una recta generatriz del cilindro.
Si la generatriz es perpendicular al plano que contiene la directriz, se dice que es un cilindro recto.
Cilindro Circular Recto x2 + y2 = 4
Cilindros (cont.)
La ecuación de un cilindro cuyas generatrices son paralelas a uno de los ejes de coordenadas contiene solo las variables correspondientes a los otros dos ejes.
16416
22
zx2
1
yz
xy sen2
Superficies cuadráticasSu ecuación es de la forma:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz+
+ Gx + Hy + Iz + J = 0
Existen 6 tipos:
1. Elipsoide2. Hiperboloide de una hoja3. Hiperboloide de dos hojas4. Cono elíptico5. Paraboloide elíptico6. Paraboloide hiperbólico
Elipsoide
Trazas
xy: Elipse
12
2
2
2
2
2
cz
by
ax
12
2
2
2
by
ax
12
2
2
2
cz
ax
12
2
2
2
cz
by
xz: Elipse
yz: Elipse
Hiperboloidede una hoja
12
2
2
2
2
2
cz
by
ax
12
2
2
2
by
ax
12
2
2
2
cz
ax
12
2
2
2
cz
by
xz: Hipérbola
yz: Hipérbola
Trazas
xy: Elipse
Hiperboloidede dos hojas
12
2
2
2
2
2
cz
by
ax
12
2
2
2
by
ax
12
2
2
2
cz
ax
kcz
by
2
2
2
2
xz: Hipérbola
(|x|>0) Elipse yz: (x=0) No existe
Trazas
xy: Hipérbola
Cono Elíptico 02
2
2
2
2
2
cz
by
ax
kby
ax 2
2
2
2
caz
x
cbz
y
kcz
ax 2
2
2
2
kcz
by 2
2
2
2
(|z|>0) Elipse
xz: (y=0) Rectas
(|y|>0) Hipérbola
yz: (x=0) Rectas (|x|>0) Hipérbola
Trazas
xy: (z=0) Punto
ParaboloideElíptico
02
2
2
2
zby
ax
kby
ax 2
2
2
2
2
2
ax
z
2
2
by
z
(z>0) Elipse
xz: Parábola
yz: Parábola
Trazas
xy: (z=0) Punto
ParaboloideHiperbólico
02
2
2
2
zax
by
kax
by 2
2
2
2
2
2
ax
z
2
2
by
z
(|z|>0) Hipérbola
yz: Parábola
xz: Parábola
xab
y
Trazas
xy: (z=0) Recta
Superficies de Revolución
Si la gráfica de una función con radio r gira en torno a uno de los ejes de coordenadas, la ecuación de la superficie resultante tiene una de las siguientes formas:
1. En torno al eje x: y2 + z2 = [r(x)]2
2. En torno al eje y: x2 + z2 = [r(y)]2
3. En torno al eje z: x2 + y2 = [r(z)]2
Ejemplo de Superficies de Revolución
Al girar la gráfica de la función f(x) = x2+1 en torno al eje x
se genera la gráfica de la funcióny2 + z2 = (x2 +
1)2.
radio
Conos:El cono es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfascen una relación de la forma
x2 y2 z2
a2 b2 c2
x2 y2 z2
a2 b2c2
x2 y2 z2
a2b2 c2+ + + + + += 0, = 0, = 0
Cono Elípticoy
x
z
Paraboloide Eliptico
El Paraboloide elíptico es el lugar geometrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma.
x2 y2 x2 z2 y2 z2 + = c2 z , + = b2 y , + = a2 xa2 b2 a2 c2 b2 c2
y
x
z
( x – h )2 ( y – k )2 + = c2 ( z – j ) a2 b2
Si a = b , se tiene un paraboloide de revolución, que se obtiene haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.
La ecuación general del Paraboloide elíptico en el espacio tiene la forma:
Paraboloide Hiperbólico
El Paraboloide Hiperbólico es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma.
x2 y2 x2 z2 y2 z2 - = c2 z , - = b2 y , - = a2 xa2 b2 a2 c2 b2 c2
x
y
z
La ecuación general del Paraboloide Hiperbólico en el espacio tiene la forma
( x – h )2 ( y – k )2 - = c2 ( z – j )
a2 b2
Hiperboloide de una Hoja
El Hiperboloide de una Hoja es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma
x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 + - = 1, - + = 1, - + + = 1a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2
x
y
z
La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el espacio es
( x – h )2 ( y – k )2 ( z – j ) 2
+ - = 1 a2 b2 c2
Si a = b se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.
( x – h )2 ( y – k )2 ( z – j ) 2
- + = 1
a2 b2 c2
Hiperboloide de dos Hojas La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el
espacio es
( x – h )2 ( y – k )2 ( z – j ) 2
- - = 1
a2 b2 c2
Si b = c se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.
x
y
z
El Hiperboloide de dos Hojas es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma
x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 - - = 1, - + - = 1, - - + = 1a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2