Sucessões Definição: Uma sucessão de números reais é uma aplicação u do conjunto dos números inteiros positivos, , no conjunto dos números reais, . A expressão u n que associa a cada n a sua imagem designa-se por termo geral da sucessão. Representa-se a sucessão por u n n, u n n , ou, apenas, u n . Casos Particulares: 1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a: os seus termos são a, a r, a 2r, o seu termo geral é u n a n 1 r. 2. Progressão geométrica de razão r e primeiro termo a: os seus termos são a, ar, ar 2 , o seu termo geral é u n ar n1 . Pode-se provar que: a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, u n , de razão r e primeiro termo a, é dada por S n a u n 2 n; a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, com razão r 1 e primeiro termo a, é dada por S n a 1 r n 1 r . Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017Suc. e séries 1
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Sucessões
Definição: Uma sucessão de números reais é uma aplicação u
do conjunto dos números inteiros positivos, �, no conjunto dos
números reais, �.
A expressão un que associa a cada n � � a sua imagem
designa-se por termo geral da sucessão.
Representa-se a sucessão por �un�n��, �un�n, ou, apenas, �un�.
Casos Particulares:
1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a:
� os seus termos são a, a � r, a � 2r, �
� o seu termo geral é un � a � �n � 1�r.
2. Progressão geométrica de razão r e primeiro termo a:
� os seus termos são a, ar, ar2, �
� o seu termo geral é un � arn�1.
Pode-se provar que:
� a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética,
�un�, de razão r e primeiro termo a, é dada por
Sn �a � un
2� n;
� a soma dos n primeiros termos de uma progressão
geométrica, com razão r � 1 e primeiro termo a, é dada por
Sn � a � 1 � rn
1 � r.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 1
Limite de uma sucessão
Os vários casos da definição de limite sucessões podem ser
vistos como casos particulares da definição de limite, segundo
Cauchy, para funções com domínio �, quando o argumento
tende para ��.
Definição: O número real a é limite da sucessão �un� se
para qualquer � � 0, existe M � 0 tal que, para qualquer n � �,
se n � M, então |un � a| � �.
Isto é,
���0�M�0�n�� : n � M � |un � a| � � .
Neste caso, diz-se que �un� converge para a ou que �un� tendepara a e escreve-se
n���lim un � a, limun � a ou un � a.
Uma sucessão �un� diz-se convergente se existir um número
real a tal que un � a; diz-se divergente caso contrário.
Definição: Diz-se que uma sucessão �un� tem limite maisinfinito (ou que tende para mais infinito) se,
para qualquer L � 0, existe M � 0 tal que, para qualquer n � �,
se n � M, então un � L.
Isto é,
�L�0�M�0�n�� : n � M � un � L.
Neste caso, diz-se que �un� é um infinitamente grande positivoe escreve-se
n���lim un � ��, limun � �� ou un � ��.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 2
Diz-se que �un� tem limite menos infinito (ou que tende paramenos infinito) se, para qualquer N � 0, existe M � 0 tal que,
para qualquer n � �, se n � M, então un � N.
Isto é,
�N�0 �M�0 �n�� : n � M � un � N.
Neste caso, diz-se que �un� é um infinitamente grandenegativo e escreve-se
n���lim un � ��, limun � �� ou un � ��.
Diz-se que �un� tem limite infinito (ou que tende parainfinito) se |un | � ��.
Neste caso, diz-se que �un� é um infinitamente grande e
escreve-sen���lim un � �, limun � � ou un � �.
Diz-se que �un� tende para infinito sem sinal determinado,
se un tende para � e não tende nem para �� nem para ��.
Proposição: O limite de uma sucessão quando existe é único.
Oservação: Das definições, resulta imediatamente que:
sendo f uma função real de variável real, com � � D f,
e �an� a sucessão de termo geral an � f�n�,
se limx��� f�x� � L (finito ou infinito), então limn��� an.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 3
Classificação de uma sucessão
Uma sucessão diz-se:
� convergente (se tem limite finito)
� divergente�
propriamente
divergente�
se tende para � �
ou para � �
oscilante �
se tende para infinito
sem sinal determinado
ou
se não tem limite
Limite da potência:
Sendo r um escalar real, tem-se que:
limrn �
�� , se r � 1 (é prop. divergente)
0 , se |r| � 1 (é convergente)
1 , se r � 1 (é convergente)
não existe , se r � �1 (é oscilante)
� , se r � �1 (é oscilante)
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 4
Subsucessões
Intuitivamente, uma subsucessão de �un� é uma sucessão
extraída de �un�, considerando certos índices, em número
infinito, por ordem crescente.
Por exemplo:
� u2, u4,� ,u2k,� (subsuc. dos termos de ordem par);
� u1, u3,� ,u2k�1,� (subsuc. dos termos de ordem ímpar);
� up�1,up�2,up�3� (subsuc. dos termos de ordem superior a p,
com p � �).
Proposição: Toda a subsucessão duma sucessão com limite tem
o mesmo limite.
Corolário: Se uma sucessão tem duas subsucessões com limites
diferentes, a sucessão não tem limite.
Proposição: Se as subsucessões dos termos de ordem par e dos
termos de ordem ímpar de �un� têm o mesmo limite, então �un�tende para esse limite.
Definição: Chama-se limite superior de �un� ao maior dos
limites (finitos, �� ou ��) das subsucessões de �un� e
representa-se por
limun.
Chama-se limite inferior de �un� ao menor dos limites das
subsucessões de �un� e representa-se por limun.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 5
Propriedades
Da definição, é imediato que:
� a convergência ou divergência de uma sucessão (e o valor do
limite) não é alterada se suprimirmos ou modificarmos um
número finito dos seus termos.
� uma sucessão com todos os termos iguais a uma certa
constante converge para essa constante.
Propriedades dos limites finitos
Proposição: Se �un� e �vn� são sucessões convergentes, tais
que, a partir de certa ordem, un � vn, então limun � limvn.
Proposição:
Se �an� e �bn� são sucessões tais que an � a e bn �b, com
a, b � �, então:
1. an � bn � a � b;
2. can � ca, sendo c � �;
3. anbn � ab;
4. an
bn� a
b, se bn � 0,�n�� e b � 0;
5. se p � �, então anp� ap;
6. se p � � e an 0,�n��, então p an � p a ;
7. se p � � e p é ímpar, então p an � p a ;
8. se an � a então |an | � |a|.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 6
Definição: Uma sucessão diz-se um infinitésimo se tende para
zero.
Definição: Uma sucessão �an� diz-se limitada se for majorada e
minorada, ou seja, se
�m,M�� �n�� : m � an � M .
Proposição: Se �an� é um infinitésimo e �bn� é uma sucessão
limitada, então �an.bn� é um infinitésimo.
Propriedades dos limites infinitos
Proposição: Sendo �un� e �vn� duas sucessões, tem-se que:
1. se un � �� e, a partir de certa ordem, un � vn, então
vn � ��;
2. se un � �� e, a partir de certa ordem, vn � un, então
vn � ��.
Para simplificar, frequentemente as propriedades algébricas dos
limites infinitos são escritas na seguinte forma (que é uma
mera notação abreviada):
���� � ���� � ��; ���� � ���� � � �; � � a � �, se a � �;
a) se �un� é convergente, a série é convergente e a sua soma é
S � u1 � limun;
b) se �un� é divergente, a série é divergente.
2º Caso: se k � 1, então
Sn � u1 � u2 �� � uk � un�1 � un�2 �� � un�k.
Portanto:
a) se �un� é convergente, a série n�1
�� �un � un�k� é convergente
e a sua soma é
S � u1 � u2 �� � uk � k limun
(note-se que limun�1 � � � limun�k � limun�;
b) se �un� é divergente, nada se pode concluir sem estudar
directamente a sucessão �Sn�.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 18
Propriedades gerais das séries
Comecemos por observar que a natureza de uma série não é
alterada se modificarmos ou suprimirmos um número finito dos
seus termos. No entanto a sua soma é, em geral, alterada.
Proposição:
Sejam an e bn duas séries convergentes, de somas S e
T, respectivamente, e c � �. Então:
1. �an � bn� é convergente, com soma S � T;
2. �an � bn� é convergente, com soma S � T;
3. �can� é convergente, com soma cS.
Observação: Da última alínea, resulta que não se altera a
natureza de uma série multiplicando o seu termo geral por uma
constante diferente de zero.
Questão: Diga o que pode concluir sobre a natureza da série se:
1. a série é a soma de uma série converge e uma série divergente;
2. a série é a soma de duas séries divergentes.
Proposição (condição necessária de convergência):
Se an é uma série convergente, então an � 0.
Ou seja:
se �an� não tende para zero, então an é divergente.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 19
Nota: A afirmação recíproca é falsa:
se an � 0, nada se pode concluir sobre a natureza da série.
Critérios de convergência
Recordemos o seguinte:
Definição (integral impróprio de 1ª espécie):
Seja f uma função contínua no intervalo �a,���.
Chama-se integral impróprio da função f em �a,��� a
�a
��f�x�dx � lim
�����
a
�f�x�dx.
O integral impróprio �a
��f�x�dx diz-se convergente se este
limite existe e é finito e diz-se divergente caso contrário.
Proposição (critério do integral):
Sejam f : �1,��� � � uma função positiva, contínua e
decrescente e
an � f�n�.
Então
a série n�1
��an é convergente
sse
o integral impróprio �1
��f�x�dx é convergente.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 20
Defenição: Chama-se série de Dirichlet a uma série da forma
n�1
��1np , com p número real positivo (fixo).
Proposição: Para a série de Dirichlet
n�1
��1np
tem-se que:
� se p � 1, a série é convergente;
� se p � 1, a série é divergente.
Observação: Destaque-se o caso da série de Dirichlet com p � 1
(designada por série harmónica):
a série n�1
��1n é divergente.
Séries de termos não negativos
Definição: Diz-se que n�1
��an é uma série de termos não
negativos se an � 0, para qualquer n � �.
Observação: As propriedades já dadas permitem-nos tirar
conclusões sobre a natureza das séries só com um número finito
de termos negativos, com todos os termos negativos ou só com
um número finito de termos positivos, a partir da natureza de
séries de termos não negativos.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 21
Proposição (1º critério de comparação):
Sejam n�1
��an e
n�1
��bn duas séries tais que, para qualquer
n � �,
0 � an � bn.
Então:
� se n�1
��bn é convergente,
n�1
��an é convergente;
� se n�1
��an é divergente,
n�1
��bn é divergente.
Observação: Da demonstração do primeiro caso resulta que, se
S e T são as somas das séries n�1
��an e
n�1
��bn,
respectivamente, então S � T.
Proposição (2º critério de comparação):
Sejam an uma série de termos não negativos e bn uma
série de termos positivos tais que
an
bn� L, com L � 0,��.
Então, as duas séries têm a mesma natureza.
Corolário: Sejam an uma série de termos não negativos e
bn uma série de termos positivos tais que an
bn� L :
� se L � 0 e bn é convergente, an é convergente;
� se L � �� e bn é divergente, an é divergente.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 22
Proposição: (critério de Cauchy, ou da raiz)
Seja an uma série de termos não negativos tal que
n���lim n an � L (finito ou infinito).
Então:
� se L � 1, an é convergente;
� se L � 1, an é divergente;
� se L � 1, nada se pode concluir.
Proposição (critério de D’Alembert, ou da razão):
Seja an uma série de termos positivos tal quen���lim
an�1
an� L
(finito ou infinito).
Então:
� se L � 1, an é convergente;
� se L � 1, an é divergente;
� se L � 1, nada se pode concluir.
Observação: Pode-se provar que, sendo �an� uma sucessão de
termos positivos:
seun�1un
� a (com a finito ou infinito), então n un � a.
Assim, o critério da razão resulta do critério da raiz.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 23
Séries de termos sem sinal fixo
Definição: Uma série diz-se de termos sem sinal fixo se possui
infinitos termos positivos e infinitos termos negativos.
Em particular, sendo �an� uma sucessão de termos positivos,
chama-se série alternada à série de de termos sem sinal fixo
n�1
��
��1�nan.
Exemplo:
A série n�1
�� ��1�n 1n é alternada.
Proposição: Se a série n�1
��|an | é convergente, então a série
n�1
��an também é convergente.
Definição: Uma série n�1
��an diz-se:
� absolutamente convergente, se a série n�1
��|an | é
convergente;
� simplesmente convergente, se é convergente mas não é
absolutamente convergente.
Exemplos:
1. A série n�1
�� ��1�n 1
n2é absolutamente convergente;
2. A série n�1
�� ��1�n 1n é simplesmente convergente (não é
absolutamente convergente e pode-se provar que é convergente).
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 24
Estratégias para estudar a natureza de uma série
Segue-se um apanhado dos resultados apresentados a este
respeito.
� O termo geral da série converge para zero?
Se não, é divergente; se sim, nada se pode concluir.
� A série é de tipo particular - geométrica, de Dirichlet, de
Mengoli?
Se sim, aplicar o teste de convergência específico.
� A série é de termos não negativos e pode ser comparada com
alguma série de tipo especial?
� Pode ser aplicado o Critério de D’Alembert ou o Critério de
Cauchy?
Se L � 1, nada se pode concluir.
� A série é de termos positivos e pode ser aplicado o Critério
do integral?
� Se a série é de termos sem sinal fixo, será absolutamente
convergente?
Se sim, é convergente; se não, nada se pode concluir.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 25
Séries de Potências
Definições básicas
As séries de potências são uma generalização da noção de
polinómio.
Definição: Sendo x uma variável e c � �, chama-se série depotências de x � c (série de potências centrada em c ou emtorno de c), a qualquer série da forma
n�0
��
an�x � c�n,
ou seja
a0 � a1�x � c� �� � an�x � c�n ��
onde �an� é uma sucessão real (cujos termos se designam por
coeficientes da série de potências).
Em particular, chama-se série de potências de x (série depotências centrada em 0 ou em torno de 0) a qualquer série
da forma
n�0
��
anxn,
ou seja
a0 � a1x � a2x2 �� � anxn ��
Ao conjunto dos valores reais que, substituídos na série de
potências, originam uma série numérica convergente chama-se
domínio de convergência.
Observação: Uma série de potências é uma função, cujo
domínio é o domínio de convergência da série de potências.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 26
Exemplo importante (série de potências geométrica):
O intervalo �1,1� é o domínio de convergência da série
n�0
��
xn � 1 � x � x2 �� � xn ��
Mais, para qualquer x � �1,1�,
n�0
��
xn � 11 � x
.
A série n�0
��xn define a função 1
1�xem �1,1�
(e só neste intervalo, apesar de 11�x
estar definida em �\�1�).
Raio de convergência e intervalo de convergência
O domínio de convergência de uma série de potências de x � c
nunca é vazio. De facto,
n�0
��
an�c � c�n � a0 � 0 � 0 �� � 0 �� � a0.
Portanto, c pertence ao domínio de convergência da série.
Mais, como veremos de seguida, o domínio de uma série de
potências de x � c é sempre um intervalo centrado em c.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 27
Proposição: Para uma série de potências de x � c, é satisfeita
exactamente uma das seguintes alternativas:
1. a série de potências é convergente apenas em c;
2. existe um número real R � 0 tal que a série de potências é
absolutamente convergente para os valores de x � � tais que
|x � c| � R e diverge para |x � c| � R;
3. a série é absolutamente convergente para todo o x � �.
A este valor R chama-se raio de convergência da série de
potências (considerando R � 0, no primeiro caso, e R � ��,
no terceiro caso).
Se R � 0, o intervalo c � R,c � R� designa-se por intervalo deconvergência da série.
Observação: Logo, se R � 0 e finito, a série é absolutamente
convergente no intervalo c � R,c � R� e divergente em
��, c � R� � c � R,���.
A proposição nada afirma sobre a convergência da série nos
extremos do intervalo de convergência. Para saber o que se
passa nos extremos do intervalo é necessário estudar as séries
numéricas correspondentes.
Proposição: Seja n�0
��an�x � c�n uma série de potências em
torno de c então
R � 1
lim n |an |
(com R � 0, se lim n |an | � �� e R � ��, se lim n |an | � 0).
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 28
Proposição: O raio de convergência de uma série de potências
n�0
��an�x � c�n, de coeficientes diferentes de zero, é igual a
liman
an�1,
desde que este limite exista.
Exemplo (série exponencial):
A série de potências
n�0
��xn
n!� 1 � x � x2
2!� x3
3!�� � xn
n!��
é absolutamente convergente em �.
(Veremos que a soma desta série é ex, para qualquer x � �. �
Operações com séries de potência
Proposição: Sejam f�x� � n�0
��anxn e g�x� �
0
��bnxn
séries de potências de x, com raios de convergência não nulos,
e R o raio de convergência da primeira série.
Se � é um número real e N um número natural, então:
1. f��x� � n�0
��an�nxn, para |�x| � R;
2. f�xN� � n�0
��anxnN, para |xN | � R;
3. f�x� � g�x� � n�0
�� �an � bn�xn, na intersecção dos
intervalos de convergência;
4. f�x� � g�x� � n�0
�� �an � bn�xn, na intersecção dos
intervalos de convergência.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 29
Observação 2: Resultados análogos são válidos para séries de
potências de x � c.
Derivação e integração de séries de potências
Proposição: A função definida por f�x� � n�0
�an�x � c�n,
com raio de convergência R � 0, é diferenciável e primitivável
no intervalo c � R,c � R� e tem-se que:
f �x� � n�1
��
nan�x � c�n�1
Pf�x� � n�0
��
an�x � c�n�1
n � 1� C,
tendo estas séries o mesmo raio de convergência.
Ou seja, uma função definida por uma série de potências de
x � c, com raio R � 0, é derivável e primitivável no intervalo
c � R,c � R� e as suas derivada e primitivas são dadas pelas
séries que se obtêm derivando-a e primitivando-a termo a termo
(as quais têm o mesmo raio de convergência).
Note-se que, se a série de patências tem raio de convergência
R � 0, as séries que se obtêm derivando-a e primitivando-a
termo a termo também têm raio de convergência R � 0.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 30
Série de Taylor e série de Mac-Laurin
Definição: Seja f uma função com derivada de qualquer ordem
em c � �.
Chama-se série de Taylor de f no ponto c à série de
potências
n�0
�f�n��c�
n!�x � c�n
isto é a
f�c� � f �c��x � c� �f �c�
2!�x � c�2 �� �
f�n��c�n!
�x � c�n ��
Chama série de Mac-Laurin de f à série de Taylor de f em
c � 0, isto é, a
n�0
�f�n��0�
n!xn
ou seja
f�0� � f �0�x �f �0�
2!x2 �� �
f�n��0�n!
xn ��
Exemplos importantes:
1. A série de Mac-Laurin de ex é
n�0
��xn
n!� 1 � x � x2
2!� x3
3!�� � xn
n!��
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 31
2. A série de Mac-Laurin de senx é
x � x3
3!� x5
5!�� � ��1�n x2n�1
�2n � 1�!��
isto é
n�0
����1�n
�2n � 1�!x2n�1
3. A série de Mac-Laurin de cosx é
1 � x2
2!� x4
4!�� � ��1�n x2n
�2n�!��
isto é
n�0
����1�n
�2n�!x2n
Observação: O facto de podermos escrever a série de Taylor de
uma função num ponto não garante que a função seja soma
dessa série, mesmo no intervalo de convergência da série.
Por exemplo, a função
f�x� �e� 1
x2 se x � 0
0 se x � 0.
tem derivada de qualquer ordem em �\�0�.
Pode-se provar que, em x � 0, as suas derivadas, de qualquer
ordem, existem e são 0.
A função f apenas se anula em 0, pelo que não é igual à soma
da sua série de Mac-Laurin num intervalo centrado em 0.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 32
Definição: Diz-se que uma função f é desenvolvível em sériede Taylor num ponto c se f é soma da sua série de Taylor em
algum intervalo centrado em c.
Proposição: Seja f uma função indefinidamente diferenciável
num intervalo aberto I, centrado em c, e Rn�x� o resto do seu
polinómio de Taylor de ordem n em c.
Então, f é soma da sua série de Taylor em c, no intervalo I,
sse
n���lim Rn�x� � 0, �x � I.
(Recorde-se a expressão do resto de Lagrange de ordem n:
Rn�x� �f�n�1��z��n � 1�!
�x � c�n�1, para algum z entre x e c. )
Exemplos importantes: Por esta proposição, conclui-se que as
funções senx, cosx e ex são, em �, soma das respectivas
séries de Mac-Laurin.
Isto é, para qualquer x � �,
senx � n�0
�� ��1�n
�2n�1�!x2n�1 � x � x3
3!� x5
5!�� � ��1�n x2n�1
�2n�1�!��
cosx � n�0
�� ��1�n
�2n�!x2n � 1 � x2
2!� x4
4!�� � ��1�n x2n
�2n�!��
ex � n�0
�� 1n!
xn � 1 � x � x2
2!� x3
3!�� � xn
n!��
Em particular, e � n�0
�� 1n!
.
Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 33
Teorema (unicidade do desenvolv. em série de potências):
Se f�x� � n�0
��an�x � c�n, num intervalo aberto centrado em
c, então
an �f�n��c�
n!, para qualquer n � �0.
Observação: Este Teorema garante que, caso uma função seja
soma de uma série de potências (num intevalo aberto), então
essa série coincide com a sua série de Taylor.
Para as funções do exemplo anterior foi necessário determinar a
série de Taylor e provar, pela condição suficiente de desenvol-
vimento, que a função é igual à soma da série de Taylor.
Tem-se agora um método que, por vezes, permite obter, de modo
mais simples, o desenvolvimento da função em série de Taylor:
1. mostra-se que a função é soma uma certa série de
pontências de x � c (num intervalo aberto centrado em c), a
partir de desenvolvimentos conhecidos e/ou dos resultados sobre
derivação e integração de séries;
2. aplica-se o teorema da unicidade do desenvolvimento em
série de potências para garantir que essa série é a série de
Taylor da função no ponto c.
Por exemplo, conclui-se, assim, que:
� o desenvolvimento em série de Mac-Laurin de 11�x
é
n�0
�
xn � 1 � x � x2 �� � xn ��, �x � �1,1�.
� o desenvolvimento em série de Mac-Laurin de ln�x � 1� é
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Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 34