Damit sind die Grenzwerte lim xց0 f (x), lim xր1 f (x), lim xց1 f (x), lim x→∞ f (x) zu untersuchen. Es ist lim xց0 ln(x) x 2 − 1 = ∞ da der Z ¨ ahler gegen −∞ und der Nenner gegen −1 konvergiert. Außerdem ist wegen lim x→1 ln(x) = 0 = lim x→1 (x 2 − 1) nach den Regeln von de l’Hospital lim x→1 ln(x) x 2 − 1 = lim x→1 1 x 2x = lim x→∞ 1 2x 2 = 1 2 . Die Funktion hat also an der Stelle x 0 = 1 eine hebbare Definitionsl ¨ ucke. Schließ- lich ist wegen lim x→∞ ln(x)= ∞ = lim x→∞ (x 2 − 1) ebenfalls nach den Regeln von de l’Hospital lim x→∞ ln(x) x 2 − 1 = lim x→∞ 1 x 2x = lim x→∞ 1 2x 2 =0. Der Graph best ¨ atigt diese Rechnungen: 291
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Damit sind die Grenzwerte lim f x lim f x lim f x lim f xfma2.math.uni-magdeburg.de/~mathww/wise2012/folien_07... · 2012. 12. 7. · l’Hospital lim x →∞ ln(x) x2 −1 ... einmal
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Transcript
Damit sind die Grenzwerte
limxց0
f (x), limxր1
f (x), limxց1
f (x), limx→∞
f (x)
zu untersuchen. Es ist
limxց0
ln(x)
x2 − 1= ∞
da der Zahler gegen −∞ und der Nenner gegen −1 konvergiert. Außerdem ist
wegen limx→1
ln(x) = 0 = limx→1
(x2 − 1) nach den Regeln von de l’Hospital
limx→1
ln(x)
x2 − 1= lim
x→1
1x
2x= lim
x→∞1
2x2=
1
2.
Die Funktion hat also an der Stelle x0 = 1 eine hebbare Definitionslucke. Schließ-
lich ist wegen limx→∞
ln(x) = ∞ = limx→∞
(x2 − 1) ebenfalls nach den Regeln von de
l’Hospital
limx→∞
ln(x)
x2 − 1= lim
x→∞
1x
2x= lim
x→∞1
2x2= 0.
Der Graph bestatigt diese Rechnungen:
291
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4x
292
6 Lineare Algebra
6.1 Einfuhrung
Die lineare Algebra ist fur die Wirtschaftswissenschaften von zentraler Bedeu-
tung. Einerseits liefert sie die theoretischen und praktischen Grundlagen fur das
Losen linearer Gleichungssysteme. Ferner lassen sich viele okonomische Phano-
mene durch sogenannte lineare Modelle beschreiben.
Beispiel 6.1 Wir nehmen an, auf einem Markt werden zwei Produkte angebo-
ten, z.B. Wein und Bier. Mit Dw bezeichnen wir die Nachfrage nach Wein, Db
ist die Nachfrage nach Bier (D: demand). Ferner sei Sw und Sb das Angebot an
Wein und Bier (S: supply). Wir wollen Dw = Sw sowie Db = Sb erreichen. Man
(besser gesagt, der Markt) erreicht dieses Gleichgewicht durch eine Anpassung der
Preise Pw und Pb. Wir nehmen an, dass sich Angebot und Nachfrage angesichts
der Preise Pw und Pb wie folgt verhalten:
Dw = a0 + awPw + abPb
Sw = b0 + bwPw + bbPb
Db = α0 + αwPw + αbPb
Sb = β0 + βwPw + βbPb.
293
Angebot und Nachfrage von Wein (bzw. Bier) wird also nicht nur uber den Preis
von Wein (bzw. Bier) gesteuert: Der Preis von Wein beeinflusst auch den Preis
von Bier: Stellen Sie sich vor, der Weinpreis steigt. Dann steigt die Nachfrage nach
Bier (sofern das Volk eine gewisse Menge Alkohol benotigt), was den Bierpreis
beeinflusst.
Ahnlich hat ein sinkender Bierpreis eine Verringerung des Angebots an Bier zur
Folge, deshalb auch eine erhohte Nachfrage nach Wein. Wir wollen nun die Preise
bestimmen, bei denen ein Gleichgewicht zwischen Angebot und Nachfrage herscht,
also
(a0 − b0) + (aw − bw)Pw + (ab − bb)Pb = 0
(α0 − β0) + (αw − βw)Pw + (αb − βb)Pb = 0
oder
(aw − bw)Pw + (ab − bb)Pb = b0 − a0
(αw − βw)Pw + (αb − βb)Pb = β0 − α0.
Wir haben hier ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbe-
kannten (Pb und Pw).
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Allgemein ist ein lineares Gleichungssystem mitm Gleichungen und n Unbekann-