1 § ラプラス変換概説 閉区間で定義された関数を f ( x ) とする. lim x !x 0 + 0 f ( x ), lim x !x 0 " 0 f ( x ) が共に存在 して, lim x !x 0 + 0 f ( x ) " lim x !x 0 # 0 f ( x ) であるような点 x 0 ![ a, b] が [ a, b] の中に高々有限個含まれ るとき, f ( x ) は区間 [ a, b] で区分的に連続 あるという. 関数 f ( x ) は [0, +!) に含まれる任意の閉区間で区分的連続であるとする.積分 f ( x )e ! tx dx 0 +" # が存在(収束)する t の範囲のもとで, L { f , x, t } = f ( x )e ! tx dx 0 +" # と定義し,これを f ( x ) のラプラス変換 という.単に L { f , t } とも表す.t を L { f , x, t } の収束座標 という.そしてこの積分が収束する t の範囲を収束域 という. f ( x )e ! tx 0 +" # dx が t のある範囲について収束するとき, ラプラス変換 L { f , x, t } は絶対収束するとい う. t を絶対収束座標 という. t のその範囲を絶対収束域 という. 例 1. (i) L {1, x, t } = e ! tx dx 0 " # = ! 1 t e ! tx $ % & ’ ( ) 0 +" = 1 t ( t > 0) (ii) L {x, x, t } = xe ! tx dx 0 " # = ! 1 t 2 1 + tx ( ) e ! tx $ % & ’ ( ) 0 +" = 1 t 2 ( t > 0) (iii) L {e ± ax , x, t } = e ± ax e ! tx dx 0 " # = e ! ( t ! a ) x dx 0 " # = ! 1 t ! a e ! ( t ! a ) x $ % & ’ ( ) 0 " = 1 t ! a ( t >± a ) (iv) L {sin ax, x, t } = sin axe ! tx dx 0 " # = ! a cos at + t sin ax t 2 + a 2 e ! tx $ % & ’ ( ) 0 +" = a t 2 + a 2 ( t > 0) (v) L {cos ax, x, t } = cos axe ! tx dx 0 " # = !t cos at + a sin ax t 2 + a 2 e ! tx $ % & ’ ( ) 0 +" = t t 2 + a 2 ( t > 0) (vi) L {e ax sin bx, x, t } = sin bx ! e " ( t " a ) x dx 0 # $ = " b cos bx + (t " a)sin bx (t " a) 2 + b 2 e " ( t " a ) x % & ’ ( ) * 0 #
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Transcript
1
§ ラプラス変換概説 閉区間で定義された関数を f (x)とする.
limx!x0 +0
f (x), limx!x0 "0
f (x)が共に存在 して,
limx!x0 +0
f (x) " limx!x0 #0
f (x)であるような点
x0![a,b]が[a,b]の中に高々有限個含まれ
るとき, f (x)は区間 [a,b]で区分的に連続
あるという.
関数 f (x)は [0,+!)に含まれる任意の閉区間で区分的連続であるとする.積分
f (x)e! txdx
0
+"
# が存在(収束)する tの範囲のもとで,
L{ f , x,t} = f (x)e! txdx
0
+"
#
と定義し,これを f (x)のラプラス変換という.単にL { f ,t}とも表す.tをL { f , x,t}
の収束座標という.そしてこの積分が収束する tの範囲を収束域という. f (x)e! tx
0
+"
# dx
が tのある範囲について収束するとき, ラプラス変換 L { f , x,t}は絶対収束するとい
う. tを絶対収束座標という. tのその範囲を絶対収束域という.
例 1.
(i) L {1, x,t} = e! txdx
0
"
# = !1
te! tx$
%&'
()0
+"
=1
t( t > 0 )
(ii) L {x, x,t} = xe! txdx
0
"
# = !1
t21+ tx( )e! tx
$
%&'
()0
+"
=1
t2
( t > 0 )
(iii) L
{e±ax, x,t} = e
±axe! txdx
0
"
# = e!(t !a)x
dx
0
"
# = !1
t ! ae!(t !a)x$
%&'
() 0
"
=1
t ! a( t > ±a )
(iv) L {sinax, x,t} = sinaxe! txdx
0
"
# = !acosat + t sinax
t2+ a
2e! tx$
%&'
()0
+"
=a
t2+ a
2( t > 0 )
(v) L {cosax, x,t} = cosaxe! txdx
0
"
# =!t cosat + asinax
t2+ a
2e! tx$
%&'
()0
+"
=t
t2+ a
2( t > 0 )
(vi) L {eax sinbx, x,t} = sinbx ! e"(t"a)xdx0
#
$ = "bcosbx + (t " a)sinbx
(t " a)2 + b2e"(t"a)x%
&'
(
)*0
#
2
= b
(t ! a)2+ b
2( t > a )
(ⅶ) L {eax cosbx, x,t} = cosbx ! e"(t"a)xdx0
#
$ ="(t " b)cosbx + bsinbx
(t " a)2 + b2e"(t"a)x%
&'
(
)*0
#
= t ! b
(t ! a)2+ b
2( t > a )
(viii) L {cosh!x, x,t} = e! x
+ e"! x
2e" txdx
0
#
$ =1
2"e"(t"! )x
t "!"e"(t+! )x
t +!
%
&'
(
)*0
#
=t
t2!"
2( t > " )
(ix) L {sinh!x, x,t} =e! x " e"! x
2e" txdx
0
#
$ =1
2"e"(t"! )x
t "!+e"(t+! )x
t +!
%
&'
(
)*0
#
=!
t2"!
2( t > ! )
(x)
L{ x ! x ! 2 ,t} = x ! x ! 2 e! txdx
0
"
#
= (-2x + 2)e! txdx
0
1
" + (2x ! 2)e! txdx1
2
" + 2e! txdx
2
#
"
= 2 !2e
" t" e
"2t+ t "1
t2
( t > 0 )
ここで,( ) 内に示された tの範囲がラプラス変換の収束域である.
注意:L { f , x,t} = f (x)e! txdx
0
+"
# で tとして複素数でもよい. t = ! + i" ( ! ," #R ) とす
ると, ei!= 1であるから, e
! tx= e
!" x. そこで,
Re(t) = ! についての制限で積分が
存在する範囲は表される.
L{1, x,t}において, limx!"
e# tx
= limx!"
e# txlimx!"
e#Re(t )x
= 0 ( Re(t) > 0)であるから,
L
{1, x,t} = e! txdx
0
"
# =1
t( Re(t) > 0 )
とかける. (ii)の収束域は Re(t) > 0 ,(iii)の収束域は
Re(t) > ±a ,(iv)・(v)の収束域は
3
Re(t) > 0,(vi)・(vii)の収束域は
Re(t) > a ,(viii)・(iv)の収束域は Re(t) > ! である.
例 2. ラプラス変換 L {ex2
,t}は存在しない. すなわち,いかなる tについても積分が収束しない.
任 意 に 固 定 し た 実 数 t に 対 し て ,
ex2! tx
> ex( t +1 < x )
であるから, t +1 < T であるT について,
ex2 ! txdx
t+1
T
" > exdx
t+1
T
" = eT ! et+1 # +$ (T # +$)
したがって,L {ex2
,t}は存在しない. 十分 0に近い正の数!について,
関数: f! (x) =
1
"( 0 < x < ! )
0 ( ! # x )
$
%&
'&
を考えよう.
Dirac(x) = lim!"+0
f!(x)
とおく.これをディラクのデルタ関数と呼ばれている.x = 0では + !となり,x > 0
では恒等的に 0 という不思議なもので,“関数”と呼べるシロモノだろうか.Schwarz
の超関数として解明されている.
L{ f! (x),t} = f! (x)e" txdx
0
#
$ =e" tx
!dx
0
!
$ =1" e" t!
t!% 1 ( ! % +0 )
すなわち,L {Dirac(x),t}! 1 ( " ! +0 )である.
f! (x)dx0
"
# =1
!dx
0
!
# = 1 ( ! に依存しない),すなわち Dirac(x)dx
0
!
" = 1と考えられる
例 3. f (x)が周期 lの周期関数のとき,L { f (x),t}を求めよ. [解] 仮定から
f (x + nl) = f (x) (n = 0,1,2,!)である.
L { f (x),t} = f (x)e! txdx
0
+"
# = f (x)e! txdx
nl
(n+1)l
#n=0
"
$
この積分で, x = ! + nlと変数変換すると,
f (x)e! txdx
nl
(n+1)l
" = f (# + nl)e! t (#+nl )d#0
i
" = e! tnl
f (#)e! t#d#0
l
"
4
∴
L{ f (x),t} = e! tnl
f (x)e! txdx
0
l
" =
n=0
#
$ f (x)e! txdx
0
l
" e! tnl
n=0
#
$ =1
1! e! tlf (x)e
! txdx
0
l
"
例 4.
L{x! , x,t} ="(! +1)
t!+1
( ここで, !は実数で, ! > "1 )
L{xn , x,t} =n!
tn+1
( nは自然数 )
[解] tx = !と変数変換すると,
L{x! , x,t} ="t
#$%
&'(
0
)
*!
e+" d"
t=1
t!+1 e
+"" (!+1)+1d"0
)
* =,(! +1)
t!+1
また,自然数 nについて,!(n +1) = n!である.
ガンマ関数:!(") = e# xx"#1dx
0
$
%
において, !で微分してみよう.
d!(")d"
=d
d"e# xx"#1dx
0
$
% =&
&"e# xx"#1( )dx
0
$
% = e# xx"#1 log xdx
0
$
%
!" (1) = e# x log xdx
0
$
% で, x = t!と変数変換すると,
!" (1) = t log t + log#( )e$ t#d#0
%
& = t log t e$ t#d#
0
%
& + t e$ t# log#d#
0
%
&
! "# (1) = log t + t L{log x, x,t}, i.e., L{log x, x,t} =!" (1)