studi perambatan gelombang - Repository UNUGHA Cilacap

STUDI PERAMBATAN GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK DALAM KRISTAL FOTONIK 2D DENGAN DEFEK MENGGUNAKAN METODE FINITE

DIFFERENCE FREQUENCY DOMAIN (FDFD)

ADLY MAULANA SUHERMAN

DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

2018

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Studi Perambatan Gelombang Elektromagnetik dalam Kristal Fotonik 2D dengan Defek Menggunakan Metode Finite Difference Frequency Domain (FDFD) adalah benar karya saya dengan arahan dari Komisi Pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka dibagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Desember 2018

Adly Maulana S

NIM G74120075

ABSTRAK

ADLY MAULANA SUHERMAN, Studi Perambatan Gelombang Elektromagnetik dalam Kristal Fotonik 2D dengan Defek Menggunakan Metode Finite Difference Frequency Domain (FDFD). Dibimbing oleh Hendradi Hardhienata dan Teguh Puja Negara. Simulasi numerik dalam dua dimensi kristal fotonik dianalisis dengan menggunakan metode FDFD. Dimana dalam metode ini menggunakan hampiran selisih pusat pada persamaan Maxwell untuk menempatkan medan (listrik-magnet) dan material pada titik diskrit di dalam grid Yee, penurunan matriks gelombang persamaan Maxwell diperlukan untuk kemudian diselesaikan menggunakan persamaan linear Ax b untuk menghitung medan listrik-magnet dalam matriks kolom. Digunakan PML sebagai peluruh konduktifitas listrik-magnet untuk melemahkan gelombang datang yang memasuki tepi wilayah komputasi. Kristal fotonik dapat dimisalkan sebagai kisi periodik dari material dielektrik yang menghasilkan fenomena pita terlarang. Hasil didapatkan dari simulasi FDFD dibandingkan dengan literatur dengan sedikit selisih sekitar 0.056. Selisih yang kecil ini dapat ditafsirkan metode ini cukup baik untuk menganalis fenomena pita terlarang. Penyisipan defek dari kristal fotonik akan menghasilkan mode cacat lokal atau photonic pass band (PPB), hasil menunjukan PPB bergantung pada vektor sudut datang, permitivitas dan lebar struktur cacat. Kata kunci: FDFD, Kristal Fotonik, Persamaan Linear, PPB, Pita Terlarang

ABSTRACT

ADLY MAULANA SUHERMAN. Study of Electromagnetic Wave Propagation in 2D Photonic Crystal with Defect Using Finite Difference Frequency Domain (FDFD). Supervised by Hendradi Hardhienata and Teguh Pujanegara.

Numerical simulation in two-dimensional photonic crystal with defect was analyzed using Finite Difference Frequency Domain (FDFD). The approach consists of formulation of Maxwell approximated using central finite differences to put fields and material at discrete points on a Yee grid, derive a matrix wave equation using Maxwell’s equations in matrix form and applying linear equation Ax b to calculate the electric field in the form of column vector. Was used PML with electric and fictitious magnetic conductivity to produce decay of the incoming waves at the edge of computation domain. Photonic crystal can be assumed as periodic grating of dielectric material with the occurance of a photonic band gap (PBG). The photonic band gap simulation obtained by FDFD was compared literature with only small deviation in the first band namely around 0.056 which is good enough to analyze photonic band gap phenomena. Insertion of defect in photonic crystal will produce photonic pass band (PPB), the results showed photonic pass band dependent on angle of incoming wave vector, permittivity and width structure of defect.

Keywords: FDFD, linear equation, PBG, Photonic Crystal, PML, PPB

.

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Fisika

STUDI PERAMBATAN GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK DALAM KRISTAL FOTONIK 2D DENGAN DEFEK MENGGUNAKAN METODE FINITE

DIFFERENCE FREQUENCY DOMAIN (FDFD)

DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

2018

ADLY MAULANA SUHERMAN

Judul Skripsi Studi Perambatan Gelombang Elektromagnetik dalam Krista! F otonik 2D dengan Defek Menggunakan Met ode Finite Difference Frequency Domain (FDFD)

Nama NIM

Adly Maulana Suherman G74120075

Disetujui oleh

Dr.rer.nat. Hendradi Hardhienata, S.Si, M.Si Pembimbing I

Ketua Departemen Fisika

Tanggal lulus: 2 6 £C 201

Teguh Puja Negara, S.Si, M.Si Pembimbing II

PRAKATA

Puji syukur penulis panjatkan kepada Alloh SWT atas segala rahmat, hidayah, dan kekuatan yang diberikan. Sholawat teriring salam tertuju kepada Rasullalloh Muhammad SAW, semoga kita semua mendapat syafa’atnya di hari nanti. Karena nyalah penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Studi Perambatan Gelombang Elektromagnetik Dalam Kristal Fotonik 2D dengan Defek Menggunakan Metode Finite Difference Frequency Domain (FDFD)” dapat diselesaikan.

Salam manis penuh cinta dan sayang untuk Ibu Siti Fatimah dan Bapak Maman Suherman yang telah sabar, menasehati dan selalu berdoa mengharap semua yang terbaik untuk penulis.

Penulis mengucapkan terimakasih yang tiada tara kepada pembimbing utama Bapak dr rer nat Hendradi Hardhienata dan Teguh Pujanegara MSi selaku pembimbing kedua yang telah banyak meluangkan waktunya memberikan bimbingan, saran, motivasi dan arahan, serta kerja keras yang telah dicontohkan kepada penulis. Juga kepada Bapak Prof Dr Husin Alatas serta Dr Agah Garnadi atas kesempatan, arahan serta motivasi yang diberikan kepada penulis. Sungguh suatu keberuntungan bagi penulis dapat mengenal dan belajar dari mereka.

Terimakasih kepada Ibu Dr Yessie Widya Sari dan Bapak Heriyanto Syafutra MSi yang telah memberi motivasi, masukan dan saran, serta meluangkan waktunya untuk menjadi dosen penguji. Juga kepada Bapak Dr Tony Sumaryada selaku dosen editor atas segala saran, masukan akan perbaikan penulisan tugas akhir ini. taklupa penulis sampaikan terimakasih yang sangat besar kepada Bapak Dr Akhiruddin Maddu selaku kepala departemen fisika dan Ibu Dr Siti Nikmatin selaku komisi akademik, serta Bapak Dr Agus Kartono, Drs Mohammad Nur Indro, Ibu Dr Mersi kurniati yang telah memberi motivasi kepada penulis, dan kepada seluruh staf pengajar fisika IPB yang telah mendedikasikan waktu dan tenaganya dalam mengajarkan ilmu yang teramat indah ini. Semoga alloh tuhan yang maha esa memberikan balasan baik kepada mereka.

Penulis juga menyampaikan terimakasih kepada teman-teman: Denny Bhatara, Melinda Jarnawati, Sarah Yulianti, Eka Damayanti, Vita, Gendis, Briliandi (TMP 49), Teguh Prianto (PSP 49), Bang Hazar Sukareksi (FKH 45), Avilla Naufal Ananda (FEM 50), Kak Arif (Sil 48), Bang Ibnu Satria (FKH 48), Langen Tunjung Sari (FKH 49), Mbak Adis (FKH 46), Suryanita, Evalia, Indar, Bella, khoirul riza, Effendi atas segala motivasi, kritik dan saran selama penulis belajar di departemen Fisika IPB dan menyelesaikan penulisan skripsi ini. Juga kepada Kemal Abdalah, Samsul, Nur kholis Mahfud (Matematika 49), Dzulfikar (Fahutan 49), Akrom Effendi (Biokim 48), Said Mufaddal Alaidrus (ARL 49), Rio, Bakti, Gusti, Yanuar, Tessa, Eri Adaru, Andik Cahyani, Juananda (Ilkom 49) atas pertemanannya selama ini. Serta seluruh teman-teman penulis di asrama C4, departemen Fisika IPB, Menwa, ECI, AISEC, semoga kita dipertemukan nanti dalam kegembiraan. Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih sangat jauh dari kesempurnaan. Kritik serta saran sangat diharapkan oleh penulis.

Bogor, Desember 2018 Adly Maulana Suherman

DAFTAR TABEL .................................................................................................. ix

DAFTAR GAMBAR .............................................................................................. ix

DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................... x

PENDAHULUAN ................................................................................................... 1

Latar Belakang ..................................................................................................... 1

Perumusan Masalah ............................................................................................. 2

Tujuan Penelitian ................................................................................................. 2

TINJAUAN PUSTAKA .......................................................................................... 2

Kristal Fotonik ..................................................................................................... 2

Persamaan Gelombang Elektromagnetik ............................................................. 4

Interaksi Gelombang dengan Medium ................................................................. 6

Metode FDFD ...................................................................................................... 7

Diskritisasi Persamaan Curl Maxwell dalam Grid Yee ....................................... 8

Medium khayal PML ........................................................................................... 9

Kondisi Batas Periodik ...................................................................................... 10

Penyisipan Sumber ............................................................................................ 11

Refleksi dan Transmisi Bragg ............................................................................ 13

METODE .............................................................................................................. 14

Waktu dan Tempat ............................................................................................. 14

Peralatan ............................................................................................................. 14

Metode Penelitian .............................................................................................. 14

Studi Pustaka .................................................................................................. 14

Disain Struktur Kristal Fotonik ...................................................................... 15

Pembuatan Program ....................................................................................... 15

Analisis Output ............................................................................................... 16

HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................................. 16

FDFD Tanpa Struktur ........................................................................................ 16

Kristal Fotonik Tanpa Defek ............................................................................. 17

Variasi Sudut dan Indeks Bias Kristal Fotonik Tanpa Defek ............................ 18

Kristal Fotonik dengan Defek Titik ................................................................... 21

DAFTAR ISI

Kristal Fotonik dengan Defek Baris .................................................................. 22

Variasi Sudut Defek Baris ................................................................................. 23

Variasi Indeks Bias Defek Baris ....................................................................... 25

Kristal Fotonik dengan Defek Kolom ............................................................... 25

SIMPULAN DAN SARAN .................................................................................. 26

Simpulan ............................................................................................................ 26

Saran .................................................................................................................. 27

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 28

LAMPIRAN .......................................................................................................... 32

DAFTAR TABEL

1 Parameter input program 16 2 Variasi panjang gelombang PPB berdasarkan variasi indeks bias ( )n 22

DAFTAR GAMBAR

1 Kristal fotonik 1D, 2D dan 3D 2 2 Kristal fotonik rod dielektrik 3

3 Photonic Pass Band 4 4 Gelombang Elektromagnetik 5

5 Interaksi gelombang elektromagnetik dengan medium 6 6 Skema grid Yee satu dimensi, dua dimensi dan tiga dimensi 8 7 Konstruksi model program 11 8 Konfigurasi untuk menghitung spektra transmisi dan refleksi Bragg 13

9 Struktur pita fotonik band gap rod dielektrik GaAs 11.4 15

10 Disain struktur kristal fotonik rod tanpa defek dan dengan defek baris 15

11 (a) Profil mode TM dari gelombang EM menjalar disepanjang

medium udara (b) Spektra transmisi pada medium 1.0b 16

12 (a) Profil PhC berukuran 5x5 dengan 11.4, 1r b (b) Perambatan gelombang dalam struktur tanpa defek (c) Spektra transmitansi dari

rod dielektrik 17 13 Pergeseran rentang panjang gelombang band gap pada variasi sudut

(𝑎) 30° (b) 45° (c) 60° 18 14 Variasi ripple pada PBG dengan variasi indeks bias rod dielektrik

(a) ZnSe (n=2.5) (b) ZnTe (n= 2.78) dan (c) Alummunium (n=2.98) 19 15 Hubungan sudut datang terhadap lebar band gap 20 16 Hubungan sudut datang terhadap pusat band gap 20

17 (a) Struktur kristal fotonik dengan defek titik (b) Cuplikan cavity gelombang dalam struktur pada λ=1.4 µm (c) Spektra transmitansi pada struktur dengan defek titik 21

18 (a) Struktur kristal fotonik dengan defek baris (b) Fenomena interferometor Fabry-Perot (c) Transmitansi pass band bernilai satu 22

19 Pergeseran panjang gelombang pass band dengan sudut datang (a) 30° (b) 45°dan (c) 60° 23

20 Hubungan perubahan sudut datang terhadap panjang gelombang pass

band 24 21 Hubungan perubahan sudut datang terhadap transmitansi puncak pass

band 24 22 Variasi indeks bias defek baris (a) ZnSe (n=2.5) (b) ZnTe (n= 2.78) dan

(c) Alummunium (n=2.98) 25 23 (a) Struktur kristal fotonik dengan pandu gelombang satu kanal

(b) Perambatan gelombang dalam struktur pada λ=1.4 µm (c) Spektra transmitansi pada pandu gelombang satu kanal 26

DAFTAR LAMPIRAN

1. Solusi Umum Persamaan Gelombang Elektromagnetik Sederhana 32 2. Perhitungan Transmitansi 33 3. Diagram Alir Penelitian 35

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Secara mendasar respon optik terhadap bahan ditentukan oleh proses elektronik internal termasuk interaksi cahaya dengan struktur periodik yang dapat dianalisis secara numerik melalui simulasi gelombang elektromagnetik menggunakan metode Finite Difference Time Domain (FDTD),1 Finite Difference

Frequency Domain (FDFD),2 Finite Element (FEM),3 Finite Volume (FV),4 Tensor-Green,5 Transfer Matrix Method (TMM).6 Pemecahan persamaan Maxwell dari cahaya secara numerik telah lama diteliti untuk menganalisis transmitansi, reflektansi dan absorbansi dari struktur periodik.7 8 9

Tahun 1966 Yee mengajukan metode Central Difference dalam domain waktu, yang dikenal dengan Finite Difference Time Domain (FDTD) untuk menganalisis permasalahan medan listrik-magnet. Metode kemudian mengalami perkembangan untuk menganalisis permasalahan hamburan medan listrik-magnet,10 analisis antena,11 planar circuit,12 aplikasi penginderaan jauh (remote

sensing),13 aplikasi biomedis,14 dan lain-lainnya. Penelitian selanjutnya dikembangkan untuk metode Central Difference dalam ranah frekuensi, yang disebut Finite Difference Frequency Domain (FDFD).

Finite Difference Frequecy Domain (FDFD) merupakan metode penyelesaian permasalahan elektromagnetik yang bekerja dalam ranah frekuensi. Metode tersebut berbasis pada aproksimasi Finite Difference (FD) pada persamaan diferensial yang akan dipecahkan. Penggunaan FDFD lebih menguntungkan pada medan microwave karena beberapa alasan. Pertama, semua material memiliki permitivitas dan permeabilitas kompleks yang bergantung pada frekuensi. Kedua, metode ini dapat mensimulasikan medan listrik-magnet pada struktur yang dapat di ubah-ubah. Ketiga, kesesuaian dengan konsep yang cenderung pada penurunan secara langsung pada matriks hamburan.15 Keempat FDFD bekerja dalam hitungan menit untuk komputasinya sedangkan dengan FDTD memerlukan waktu lebih lama hingga dalam hitungan jam.16 Penggunaan metode FDFD telah banyak dilakukan, seperti analisis relasi dispersi pada struktur pandu gelombang,17 pemodelan struktur microstrip,18 analisis photonic band

gap,19 dan lain-lainnya. Penjalaran gelombang elektromagnetik dalam medium periodik (seperti,

kristal fotonik) dipelajari oleh Lord Rayleigh pada tahun 1887 yang menunjukan bahwa propagasi cahaya bergantung pada sudut dan terbatas pada frekuensi tertentu.20 Istilah kristal fotonik pertama kali diperkenalkan oleh Eli Yablonovitch dan Sajeev John dalam papernya yang dipublikasikan pada tahun 1987.21 22 Kini, banyak perangkat optoelektronik menggunakan kristal fotonik. Dalam satu dimensi misalnya berguna sebagai filter frekuensi atau cermin dielektrik. Jika ketebalan dari setiap lapisan tersebut dipilih dengan nilai yang sesuai, maka medan refleksi terjadi gabungan fase yang menghasilkan interferensi konstruktif serta menyebabkan reflektansi yang kuat disebut refleksi Bragg. Hal ini telah menunjukan bahwa hamburan Bragg dalam struktur periodik dielektrik menyebabkan munculnya celah pita fotonik yang dikenal sebagai photonic band

gap (PBG). Ketika periodisitas rusak karena cacat dalam kristal fotonik, mode

2

cacat lokal akan muncul dalam PBG karena terjadi penguatan medan yang besar mengakibatkan transmitansi penuh di dalam PBG pada frekuensi resonansinya yang disebut sebagai photonic pass band (PPB).23

Pada penelitian ini analisis perambatan gelombang elektromagnetik pada struktur kristal fotonik dua dimensi dilakukan menggunakan metode FDFD. Analisis struktur tanpa cacat dan dengan cacat dilakukan untuk melihat fenomena PBG dan PPB pada rentang panjang gelombang tertentu sebagai dasar fabrikasi pandu gelombang atau sensor.

Perumusan Masalah

Penelitian ini difokuskan untuk memecahkan persamaan Maxwell dua dimensi menggunakan metode Finite Difference Frequency Domain (FDFD) mode transverse magnetik (TM) terhadap struktur kristal fotonik rod.

Tujuan Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan untuk menganalisis interaksi gelombang elektromagnetik terhadap struktur kristal fotonik dua dimensi yang dapat menghasilkan fenomena photonic band gap pada mode transverse magnetik (TM). Struktur yang dibangun merupakan periodik rod dielektrik pada arah sumbu x dan y. Untuk menganalisis interaksi dengan struktur akan ditembakan gelombang elektromagnetik tak bergantung waktu, sehingga didapatkan fenomena hamburan

dan photonic band gap. Penyisipan defek pada struktur kristal fotonik sempurna dua dimensi menghasilkan fenomena transmitansi tipis pada rentang band gap yang dikenal dengan photonic pass band. Model defek dalam penelitian dibuat bervariasi guna memvisualkan cavity dan pandu gelombang yang akan dianalisis dengan menggunakan spektra respon transmitansi.

TINJAUAN PUSTAKA

Kristal Fotonik

Kristal fotonik (photonic crystal, PhC) atau material photonic band gap

(PBG) merupakan susunan periodik dari material dengan permitivitas atau

indeks bias n yang berbeda, sehingga dapat menghambat perambatan gelombang dengan frekuensi dan arah tertentu.24

Gambar 1 Kristal fotonik 1D, 2D dan 3D 25

3

Periodisitas dapat berupa satu, dua dan tiga dimensi, sehingga PhC disebut kristal fotonik 1D, 2D dan 3D, seperti ditunjukan pada gambar 1. PhC pertama kali diusulkan oleh Sajeev John dan Eli Yablonovitch pada tahun 1987 bertujuan untuk merancang suatu material yang dapat mempengaruhi sifat-sifat foton seperti halnya kristal semikonduktor yang dapat mempengaruhi sifa-sifat elektron.25

Jika gelombang elektromagnetik menjalar ke dalam struktur PhC, maka gelombang tersebut akan dihamburkan akibat perbedaan indeks bias di dalam struktur. Jika panjang gelombang jauh lebih besar daripada konstanta kisi dari PhC, struktur berperilaku seperti suatu medium efektif, namun jika panjang gelombang sebanding atau lebih kecil daripada konstanta kisi PhC, maka akan terjadi refleksi Bragg, sehingga membentuk PBG pada setiap bidang batas dua material dielektrik berbeda.26 Proses pembentukan PBG digambarkan oleh persamaan Maxwell yang akan menghasilkan nilai eigen seperti halnya pada persamaan Schrodinger pada kasus elektron.27 Solusi persamaan tersebut disebut dengan persamaan dispersi, dimana nilai eigen untuk vektor gelombang tertentu berkaitan dengan energi elektromagnetik dan fungsi eigennya disebut moda. Jika tidak ada moda pada rentang spektra tertentu, maka disebut photonic band gap (PBG). Suatu PBG dapat berupa stop gap, band gap atau band gap sempurna. Stop gap berkaitan dengan tidak adanya moda fotonik dalam suatu frekuensi tertentu untuk satu arah tertentu. Band gap adalah tidak adanya moda fotonik dalam suatu rentang frekuensi tertentu untuk segala arah tetapi hanya satu polarisasi saja, yang hanya ada pada PhC 2D. Sedangkan band gap sempurna berarti tidak ada moda dalam semua arah dan polarisasi.28

Gambar 2 Kristal fotonik rod dielektrik

Suatu sifat yang penting pada kristal fotonik dapat diperoleh jika terdapat cacat (defek) pada struktur kristal fotonik. Defek tersebut menimbulkan keadaan terlokalisasi di sekitar band gap sehingga hanya akan terjadi transmitansi pada satu atau beberapa rentang frekuensi tertentu yang disebut sebagai pass band.29 Variasi pada struktur defek menghasilkan modifikasi pada frekuensi pass band, sedangkan jika struktur kristal fotonik dimodifikasi dengan mengambil satu baris silinder (rod) dalam kristal fotonik maka didapatkan sebuah pandu gelombang (waveguide). Dengan variasi struktur cacat di sekitar pandu gelombang maka akan terjadi pengalihan sebagian atau keseluruhan (kopling) dari medan elektromagnetik mode TM yang dirambatkan pada kristal fotonik tersebut.30 Resonansi yang terjadi pada defek yang berfungsi sebagai rongga (cavity)

4

memiliki banyak aplikasi potensial yang menghasilkan respon spektra yang tajam dan intensitas medan yang sangat kuat ketika kondisi resonansi terpenuhi.31

Gambar 3 Photonic Pass Band 31

Sifat ini bisa digunakan untuk filter lebar pita yang tipis dan pemilih panjang gelombang terkopel yang keduanya dibutuhkan untuk sistem optik WDM (wavelength-division multiplexing) untuk mengoperasikan kanal frekuensi tunggal.32 Intensitas medan yang tinggi karena cahaya terperangkap dalam rongga yang kecil bisa menguatkan interaksi cahaya dengan materi, menghasilkan aplikasi fotonik yang ideal seperti laser dan optik non-linier.33 gejala ini juga dapat digunakan dalam aplikasi sensor dan penelitian yang lebih fundamental dalam emisi spontan terkendali.34

Kristal fotonik rod banyak dimanfaatkan pada perangkat optoelektronik. Sebagai contoh misalnya pada divais pandu gelombang yang dapat mewujudkan optical integrated circuit.35 Pandu gelombang berfungsi sebagai penghubung antar perangkat optik seperti halnya kabel dalam rangkain elektronik. Pandu gelombang konvensional tidak lagi efisien diaplikasikan pada sirkuit terintegrasi optik, karena menggunakan prinsip total internal reflection (TIR).36 Pandu gelombang yang didasarkan atas prinsip TIR, dapat mengalami kehilangan (loss) yang tinggi pada belokan-belokan yang tajam. Sedangkan pandu gelombang pada kristal fotonik proses pemanduan gelombang didasarkan prinsip transmisi dan refleksi Bragg. Pandu gelombang dengan prinsip refleksi dan transmisi Bragg

tidak dipengaruhi oleh sudut datang cahaya, melainkan lebih dipengaruhi oleh adanya band gap pada material kristal fotonik. Dengan menyisipkan cacat pada kristal fotonik maka cahaya pada frekuensi band gap akan dipandu sepanjang cacat tanpa dipengaruhi oleh sudut datang cahaya. Karenanya, pandu gelombang dari kristal fotonik memungkinkan untuk memandu cahaya pada belokan tajam sekalipun.

Persamaan Gelombang Elektromagnetik

Radiasi gelombang elektromagnetik (EM) dideskripsikan oleh vektor medan listrik dan vektor medan magnetik. Propagasi dari kedua vektor medan tersebut ditentukan oleh persamaan Maxwell. Sejajar dengan Hukum Newton sebagai

5

landasan di dalam mekanika klasik, maka persamaan Maxwell merupakan perumusan hukum-hukum alam yang melandasi semua fenomena elektromagnetik. Dalam papernya “A Dynamic Theory of Electromagnetic Field” Maxwell mengungkapkan 4 persamaan.37

DH J

t

BE

t

D

0B

Persamaan (1) merupakan bentuk diferensial dari perluasan hukum Ampere menjelaskan pembentukan medan magnet terinduksi akibat aliran muatan, Persamaan (2) merupakan bentuk diferensial hukum induksi Faraday yang menjelaskan medan listrik terinduksi akibat perubahan fluks magnetik terhadap waktu, Persamaan (3) merupakan bentuk diferensial dari hukum Coulomb yang menggambarkan hubungan antara sebaran medan listrik dan muatan, Persamaan (4) biasanya dikatakan menunjukan kenyataan tentang tidak pernah teramatinya kutub magnet tunggal.

Persamaan elektromagnetik 1 sampai 4, E dan H merupakan vektor medan makroskopis, D dan B masing-masing merupakan medan perpindahan listrik dan induksi magnet yang muncul sebagai respon bahan terhadap medan, dan J

adalah rapat muatan listrik dan rapat arus listrik.

Gambar 4 Gelombang Elektromagnetik

Dalam medium bahan, agar dapat menggunakan persamaan elektromagnetik,

empat buah vektor , ,E H B dan D harus dilengkapi oleh dua buah persamaan yang dikenal sebagai persamaan konstitutif

0D E E P

0B H H M

Parameter dan merupakan besaran tensor, keduanya berturut-turut dikenal sebagai tensor dielektrik atau tensor permitivitas dan tensor permeabilitas. 0 dan

0 masing-masing adalah permitivitas dan permeabilitas ruang hampa. SedangkanP dan M merupakan polarisasi listrik dan magnetik.

(3)

(2)

(4)

(1)

(6)

(5)

6

Solusi dari keempat persamaan elektromagnetik diatas bisa didapatkan melalui cara analitik dengan mengkaitkannya dengan persamaan konstitutif,38 maupun dengan cara numerik melalui teknik diskritisasi.39 Solusi dari persamaan Maxwell banyak dimanfaatkan dalam sains dan teknik, seperti: aplikasi medis,40 radar,41 pandu gelombang optik,42 sensor,43 antenna,44 deteksi tanah,45 dan lain-lainnya.

Interaksi Gelombang dengan Medium

Jika suatu gelombang merambat diantara dua medium bahan yang berbeda 1 1, dan 2 2, , maka akan terjadi pemantulan dan penerusan gelombang. Pemantulan dan penerusan gelombang terjadi karena adanya kontinuitas dari gelombang EM pada batas muka medium. Kontinuitas ini disebut sebagai syarat batas dan dapat diturunkan dari persamaan Maxwell.46

Interaksi antara gelombang EM dengan gerakan elektronik dari materi menyebabkan gelombang mengalami penyerapan, pemantulan, penerusan dan hamburan.47

Gambar 5 Interaksi gelombang elektromagnetik dengan medium 47

Gelombang datang, gelombang pantul dan gelombang terus masing-masing dapat diungkapkan oleh gelombang datar berikut ini:

, expiE r t E j k r t

, exprE r t E j k r t

, exptE r t E j k r t

Solusi umum dari persamaan gelombang dalam setiap medium merupakan superposisi dari gelombang datang dan gelombang pantul.48

' '1 11 1

' '2 22 2

exp exp exp , 0

exp exp exp , 0

E jk r E jk r j t x

E

E jk r E jk r j t x

(7)

(8)

7

Amplitudo medan merupakan fungsi posisi, dimana medan yang melewati struktur periodik dengan jarak antar kisi memenuhi fungsi gelombang Bloch.49

( )exp xE x E x jk

Berdasarkan polarisasinya, gelombang dikenal menjadi dua macam, yaitu: Transverse Electric (TE) adalah gelombang bidang, dimana medan listriknya tegak lurus bidang dan Tranverse Magnetic (TM) adalah gelombang bidang, dimana medan magnet tegak lurus bidang.50

Dengan menggunakan syarat batas kontinuitas, koefisien pemantulan dan penerusan dari gelombang EM mode TM dapat ditulis.51

2 1

2 1

cos coscos cos

i trtm

i i t

n nEr

E n n

1

2 1

2 coscos cos

t itm

i i t

E nt

E n n

Berdasarkan hukum Bragg, dua gelombang yang datang sefase dan

membentuk sudut terhadap arah normal bidang dapat dituliskan melalui persamaan.52

2 cosan

Besarnya panjang gelombang dalam medium kristal akan berubah secara periodik sesuai dengan indeks biasnya.25

Ketika gelombang EM datang memasuki susunan lapisan periodik ( 1n dan

2n ), sebagian gelombang tersebut akan direfleksikan oleh setiap permukaan batas lapisan. Jika seluruh gelombang yang direfleksikan sebagian tersebut sefase, maka akan terjadi interferensi konstruktif pada refleksi sehingga gelombang datang tidak dapat menembus kristal fotonik. Rentang Panjang gelombang datang yang terefleksi total disebut photonic band gap (PBG).53

Metode FDFD

Metode Finite Difference Frequency Domain (FDFD) adalah metode numerik untuk menyelesaikan permasalahan elektromagnetik dan akustik, berbasis pada aproksimasi Finite Difference pada turunan operator persamaan diferensial yang akan dipecahkan. Metode ini dapat diaplikasikan pada struktur dengan panjang skala berapapun dan untuk frekuensi radiasi gelombang elektromagnetik (EM) berapapun.54 Diskritisasi persamaan Maxwell ditransformasikan ke dalam sistem persamaan linear Ax b secara konseptual lebih sederhana untuk memahami dan lebih mudah diimplementasikan dibandingkan metode lain, seperti: finite element method dan method of

moments.55 Apabila dibandingkan dengan metode FDTD, metode FDFD lebih sederhana untuk solusi keadaan tunak (steady-state). Curl persamaan Maxwell, persamaan (1) dan persamaan (2) dapat ditulis dalam domain frekuensi, setelah subtitusi t j , menjadi:

H J j D

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

8

E j B Pada penelitian ini medium yang ditinjau adalah kristal fotonik dengan

medium yang bersifat homogen (kerapatan sama), isotropik (sama ke segala arah) dan nonmagnetik 1r yang mengikuti relasi menurut persamaan berikut

B H D E

Besarnya medan listrik dan medan magnet memiliki perbedaan sekitar tiga orde. Untuk menghindari galat pembulatan numerik, maka medan listrik atau medan magnet harus dinormalisasi.56 Pada penelitian ini digunakan normalisasi terhadap medan magnet.

0

0H j H

Parameter 0 dan 0 merupakan konstanta dan tidak terturunkan terhadap ruang. Selanjutnya dilakukan subtitusi pada persamaan medan magnet ternormalisasi H ke dalam persamaan curl Maxwell.

0 rH k E

0 rE k H

dengan 0 0 0k merupakan vektor gelombang.

Diskritisasi Persamaan Curl Maxwell dalam Grid Yee

Persamaan Maxwell didiskritisasi ke dalam grid Yee, seperti diilustrasikan dalam gambar 6 dengan mode TE dan TM di dalam grid satu, dua dan tiga dimensi

Gambar 6 Skema grid Yee satu dimensi, dua dimensi dan tiga dimensi 56 dengan mendiskritisasi persamaan curl Maxwell pada bentuk persamaan (13) dan persamaan (14) dalam koordinat ternormalisasi 0 0 0' , ' , 'x k x y k y z k z .56 Pada mode TE

(17)

(19)

(18)

(14)

(15) (16)

9

1, , , 1 ,,

' ' ' '

i j i j i j i jy y y i jx x x

zz z

E E EE E EH

x y x y

, , 1, ,

, , , ,' '

i j k i j ki j k i j kz z zyy y

H H HE

x x

, , 1, ,

' '

i j i ji j i jz z zxx x

H H HE

y y

Sedangkan, mode TM , 1, , , 1

, ,

' ' ' '

i j i j i j i jy y y i j i jx x x

zz z

H H HH H HE

x y x y

, 1, , ,

, , , ,

' '

i j k i j ki j k i j kz z zxx x

E E EH

y y

1, ,, ,

' '

i j i ji j i jz z zyy y

E E EH

x x

s

Medium khayal PML

Pada saat menggunakan metode beda hingga (finite difference) baik FDTD maupun FDFD, untuk memecahkan persoalan wilayah terbuka misalnya hamburan, wilayah analisa perlu dibatasi menggunakan batas khayal. Apabila batas khayal (kondisi batas serap) ini tidak sempurna, maka akan menyebabkan pantulan gelombang ke wilayah analisa yang tentunya dapat mempengaruhi nilai analisa. Pada kondisi batas serap tidak menggunakan algoritma Yee, karenanya diperlukan cara khusus untuk menurunkannya. Dalam perkembangannya banyak kondisi batas serap yang diusulkan, diantara yang diusulkan terdapat kondisi batas serap yang memiliki keakurasian tinggi yang dikenal dengan perfectly matched

layer (PML). PML merupakan medium khayal yang pertama kali diformulasikan oleh

Berenger di tahun 1994, 57 dimana wilayah analisa dikelilingi oleh medium khayal sebagai peluruh konduktifitas magnetik fiktif dan konduktifitas listrik .

Dalam medium PML berlaku syarat impedance matching condition persamaan (22), dimana impedansi dari gelombang bidang dalam medium sama dengan impedansi dalam ruang hampa. 57 58

0 0

PML dalam penelitian ini menggunakan sifat anisotropik material , , , dalam menjelaskan lapisan penyerap.59 Penggunaan anisotropik PML tidak membutuhkan modifikasi persamaan Maxwell, utamanya untuk diimplementasikan dalam metode frequency domain, seperti FEM dan FDFD, dengan menggunakan material diagonal anisotropik, curl persamaan Maxwell menjadi

(20)

(21)

(22)

10

'0 rH j E E

' *0 rE j H H

dimana

'

0 0

0 0

0 0

y zxx

x

x zr yy

y

x yzz

z

s s

s

s s

s

s s

s

'

0 0

0 0

0 0

y zxx

x

x zr yy

y

x yzz

z

s s

s

s s

s

s s

s

Untuk simulasi dalam 2D 1zs dan didapatkan: ' yxx r

x

s

s , ' x

yy ry

s

s ,

'zz x y rs s , ' y

xx rx

s

s , ' x

yy ry

s

s dan '

zz x y rs s . ,x ys s dan zs

merupakan parameter peredam dalam PML.

0

( )( ) 1 xx

xs x

j

0

( )( ) 1 y

y

ys y

j

0

( )( ) 1 zz

zs z

j

Kondisi Batas Periodik

Lapisan batas pada arah sumbu-x dilapisi Dirichlet Boundary Conditions, sehingga matriks medan menjadi.60

'0

1 1 0 0 00 1 0 0 0

1 0 0 1 1 0'

0 0 0 1 10 0 0 0 1

exD e

k x

(23)

(25)

(26)

(24)

(28)

(29)

(27)

(30)

11

'0

1 1 0 0 00 1 1 0 0

1 0 0 0 1 0'

0 0 0 1 10 0 0 0 1

hxD h

k x

Agar medan kontinu dan periodik arah sumbu-x. Medan pada dinding sumbu-x mengambil bentuk.61

1 inc xjknE e

1 inc xjknH h

Skema syarat batas PML dan PBC dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 7 Konstruksi model program

Persamaan diskritisasi pada medan dapat dibentuk menjadi persamaan eigen

untuk mode TE dan TM berturut-turut.62

2 1 1 1 10 12 1 33 2 22 1 33 1z zk H U V U V H

2 1 1 1 1 10 33 1 21 2 22 1 2 11 2 12 1z zk E U u V u V U u V u V E

Dengan menerapkan kondisi batas Bloch dapat digunakan untuk mendapatkan matriks U dan V

0e zA E

0h zA H

Penyisipan Sumber

Untuk mensimulasikan gelombang bidang dua dimensi (2D) dengan menggunakan metode FDTD dan FDFD ranah masalah dibagi ke dalam wilayah total field dan scattered field. Pembagian wilayah tersebut menyebabkan gelombang menjalar tidak dapat berinteraksi dengan kondisi batas serap (PML) serta meminimumkan radiasi medan masuk ke dalam PML.56 Ilustrasi dalam

(32)

(33)

(31)

(34)

(35)

(36) (37)

12

gambar 7 merupakan model grid untuk mensimulasikan hamburan dari struktur periodik seperti grating.

Persamaan matrix TM dan TE dapat ditulis dalam bentuk umum dari sistem persamaan linear

0Ax

Persamaan (38) merupakan persamaan linear dengan solusi trivial. Untuk mengatasinya perlu disisipkan sumber pada persamaan tersebut sehingga persamaan linear menjadi Ax b . Menurunkan sumber b akan melibatkan

hitungan pada medan sumber ,srcf x y dan fungsi masking ,Q x y di seluruh grid.

11

1Q diag Q x,y 0

0

1

Medan listrik yang masuk seperti gelombang datar (plane wave) dapat digunakan untuk menganalisa wilayah komputasi, tetapi perhitungan medan hambur perlu dilakukan dengan penurunan persamaan dengan syarat batas. Pada umumnya medan hambur lebih kecil dibanding gelombang masuk. Walaupun pantulan pada dinding batas serap terjadi dalam wilayah analisa, pantulan ini harus lebih kecil daripada gelombang masuk. Keseluruhan medan listik dan medan magnet dapat dibagi menjadi.63

total masuk hamburE E E

total masuk hamburH H H

Nilai-nilai pada fungsi masking berkaitan dengan posisi pada scattered-field

(SF) dan total-field (TF). Selanjutnya akan dilakukan pengisolasian medan sumber untuk wilayah SF dan TF, menggunakan matriks identitas I dan fungsi masking Q

SF srcf =Qf

TF srcf = I-Q f Dengan menambahkan faktor koreksi sumber pada TF dan SF dengan cara substraksi besaran vektor kolom, sehingga persamaan linear 0Ax , menjadi

SF TFAx-QAf - I-Q Af =0 Pengalihan faktor koreksi kedalam ruas kanan persamaan (44) memberikan bentuk persamaan linear Ax b , dimana

SF TFb=QAf - I-Q Af Bentuk sederhana vektor sumber b :

srcb= QA-AQ f

(38)

(39)

(44)

(45)

(40) (41)

(42)

(43)

(46)

13

Matriks A merupakan persamaan gelombang dari mode TM dan TE berturut-turut dinyatakan.56 1 1

' ' ' 'h e h e

E x yy x y xx y zzA D D D D

1 1' ' ' '

e h e hh x yy x y xx y zzA D D D D

Refleksi dan Transmisi Bragg

Pemantulan dan penerusan pada gelombang di bidang batas, melibatkan pembagian antara amplitudo gelombang pantul atau gelombang terus dengan gelombang datang.64

,

,

expz ref

refx inc

E x yA x

jk x

,

,exp

z trntrn

x inc

E x yA x

jk x

Amplitudo gelombang terdifraksi dihitung menggunakan teknik fast Fourier

transform (FFT). Orde difraksi diberikan melalui m integer FFTref refS m A x

FFTtrn trnS m A x Vektor-vektor gelombang Bragg yang direfleksikan dan diteruskan pada

orde m , rk m dan tk m , diberikan.65 66

Gambar 8 Konfigurasi untuk menghitung spektra transmisi

dan refleksi Bragg 66

Periodisitas disepanjang sumbu-x, menyebabkan refleksi dan transmisi gelombang

Bragg menerima momentum sepanjang sumbu-x sebesar kelipatan 2

.66

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

14

02sinx inc

mk m k n

Untuk komponen longitudinal, vektor gelombang pada grid bervariasi, dihitung melalui relasi dispersi

2 2

, 0 ( )y ref ref xk k n k m

2 2

, 0 ( )y trn trn xk k n k m

Jika amplitudo dari mode difraksi dihitung dari kuantitas medan listrik, energi dalam mode difraksi pada mode TE dan TM dapat dihitung melalui.67

2( )2( )

, ,

,( ) .S mtrn

S minc

trny m r inc

E incr trny

kT m

k

2( )2( )

, ,

,( ) .S mtrn

S minc

trny m r trn

H incr incy

kT m

k

Keseluruhan transmitansi adalah jumlah dari energi pada order difraksi ( ) ( )

m

T m T m

METODE

Waktu dan Tempat

Penelitian ini dilaksanakan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi Departemen Fisika dan Perpustakaan LSI Institut Pertanian Bogor. Waktu yang digunakan sekitar satu tahun, yang meliputi kegiatan penelitian pendahuluan, pembuatan program, analisis output, pengolahan data, dan penyusunan laporan.

Peralatan

Peralatan yang digunakan dalam penelitian ini yaitu, Laptop HP dengan spesifikasi : HDD 500 GB, Prossesor AMD A4-7210, 1,8 GHz, RAM 4 GB, dengan sistem operasi Windows 10 Pro 64-bit. Software yang digunakan untuk melakukan proses pemodelan yaitu software MATLAB R2017a, yang diterbitkan oleh Mathwork, Inc.

Metode Penelitian

Studi Pustaka Studi pustaka dilakukan untuk memahami penurunan persamaan gelombang

elektromagnetik dalam matriks persamaan Maxwell, menganalisis perambatan gelombang elektromagnetik pada kristal fotonik 2D. Selain itu studi pustaka

(53)

(56)

(57)

(58)

(54)

(55)

15

diperlukan untuk mengetahui sejauh mana perkembangan yang telah dicapai dalam bidang yang diteliti melalui buku, jurnal, prosiding, tugas akhir, makalah, maupun short course online.

Gambar 9 Struktur pita fotonik band gap rod dielektrik GaAs 11.4 25

Data literatur pada gambar 9 menunjukan mode TM memiliki rentang band gap yang lengkap antara pita pertama dan pita kedua dimana pita pertama bernilai

/ 2 0.287a c , sedangkan pita kedua bernilai / 2 0.422a c .25

Disain Struktur Kristal Fotonik

Gambar 10 Disain struktur kristal fotonik rod tanpa defek dan dengan defek baris

Disain struktur kristal fotonik dalam penelitian ini mengikuti gambar 10. Struktur terdiri atas susunan rod sepanjang sumbu x dan y , sedangkan vektor gelombang k datang dari arah y . Pada sumbu x susunan rod diasumsikan infinite dengan dibatasi kondisi batas periodik (PBC) dan pada tepi dipasang medium penyerap berupa PML agar gelombang yang datang tidak mengganggu wilayah analisa.

Pembuatan Program

Bahasa pemprograman yang dibutuhkan pada penelitian ini adalah Matlab.

Sintaks ditulis sesuai dengan perumusan FDFD dan dilakuan analisis terhadap bebepa variasi struktur seperti variasi defek pada struktur kristal fotonik.

16

Tabel 1 Parameter input program Parameter Masukan Panjang gelombang set 1.0-2.5µm Panjang dan lebar wilayah analisa 6.79 µm dan 2.66 µm Panjang dan lebar struktur 4.79 µm dan 2.66 µm Indeks bias rod dan background 3.43 (GaAs) dan 1.0 (udara) Dimensi grid 270 x 729 Ukuran PML 30 Sumber gelombang cos sinx yE j k k

Analisis Output

Analisis output dilakukan terhadap spektra transmitansi dari struktur kristal fotonik tanpa defek dan struktur kristal fotonik dengan defek titik maupun baris.

HASIL DAN PEMBAHASAN

FDFD Tanpa Struktur

Uji coba validasi untuk perumusan FDFD dalam program, dilakukan simulasi gelombang elektromagnetik mode TM yang merambat di udara sebagaimana pada gambar 11. Gelombang elektromagnetik tersebut menjalar sepanjang sumbu y dan homogen disepanjang x dari struktur kristal fotonik. Amplitudo dalam simulasi ini benilai 1, panjang gelombang di set dari 1000 sampai 2500 nm dengan interval 10 nm.

Gambar 11 (a) Profil mode TM dari gelombang EM menjalar disepanjang medium udara (b) Spektra transmisi pada medium 1.0b

(a) (b)

17

Medium penyerap PML dalam penelitian ini didasarkan pada karakteristik medium anisotropik , , , , sehingga tidak memerlukan modifikasi dari persamaan Maxwell. Resolusi grid yang digunakan harus cukup kecil untuk membangun struktur kristal fotonik secara akurat, yaitu dengan memilih min / 20 .

Gelombang yang menjalar disepanjang medium udara akan masuk ke dalam mediun penyerap PML sehingga terdisipasi hilang. Hal ini terlihat jelas pada gambar 11 (b) dimana hasil simulasi bersesuaian dengan teori yang menyatakan gelombang elektromagnetik yang menjalar tanpa adanya perbedaan permitivitas akan mengalami penerusan sempurna. Dengan demikian penggunaan medium penyerap PML bekerja dengan cukup baik dan dapat diterapkan untuk simulasi kristal fotonik dua dimensi. Pengaturan panjang gelombang disapu dari 1000 hingga 2500 nm untuk mendapatkan nilai band gap pada rentang panjang gelombang telekomunikasi optik.

Kristal Fotonik Tanpa Defek

Perambatan gelombang elektromagnetik dalam struktur kristal fotonik defek dapat disimulasikan dengan Matlab untuk rentang panjang gelombang 1.0 sampai 2.5 µm. Jika gelombang elektromagnetik masuk ke dalam struktur periodik rod dielektrik, cahaya yang dihamburkan merupakan hasil interferensi gelombang yang dipancarkan oleh struktur rod dielektrik tersebut.

Gambar 12 (a) Profil PhC berukuran 5x5 dengan 11.4, 1r b (b) Perambatan gelombang dalam struktur tanpa defek (c) Spektra

transmitansi dari rod dielektrik Hasil simulasi, menunjukan gelombang tidak dapat berpropagasi dan

melemah pada selang panjang gelombang 1.262 sampai 2.104 µm (gambar 12 c), pelemahan gelombang yang menjalar tersebut diakibatkan oleh orde difraksi ( )m

(a) (b) (c)

18

yang bernilai besar, sehingga 2 2

0 ( )y xk k n k m bernilai kompleks. Pelemahan pada rentang panjang gelombang tersebut dikenal dengan photonic

band gap (PBG). Rentang panjang gelombang PBG yang didapat dari hasil simulasi, jika

dimasukan kedalam persamaan / 2a c , dimana merupakan frekuensi sudut, equivalen terhadap f2 dengan mensubtitusikan ke dalam persamaan / 2a c , didapatkan /a , maka hasil rentang band gap yang di dapat pada panjang gelombang 262.1 dihasilkan band gap sebesar 0.422 atau sama dengan pita kedua pada literatur (gambar 9), tetapi pada rentang panjang gelombang 2.307 , didapatkan hasil rentang band gap sebesar 0.231, nilai ini memiliki selisih sebesar 0.056 dari literatur band gap pita pertama 0.287. Selisih yang tidak besar ini dapat diartikan bahwa metode ini cukup baik untuk mendapatkan nilai PBG.

Variasi Sudut dan Indeks Bias Kristal Fotonik Tanpa Defek

Berdasarkan penelitian sebelumnya,38 rentang panjang gelombang band gap

dapat digeser sesuai dengan sudut datang dari panjang gelombang input dan ripple (side lobe) dapat diatur dengan variasi indeks bias rod. Untuk kasus sudut diperbesar (gambar 13) mengakibatkan pergeseran rentang gelombang band gap. Pada sudut datang 30° kurva transmitansi menghasilkan rentang band gap pada selang panjang gelombang 1.15 µm dan 2.25 µm dan mengalami pergeseran ke arah kiri menuju nilai panjang gelombang yang lebih kecil. Fenomena yang sama juga terjadi pada sudut datang 45° dan 60° terhadap arah normal struktur.

Gambar 13 Pergeseran rentang panjang gelombang band gap pada variasi sudut (𝑎) 30° (b) 45° (c) 60

(a) (b) (c)

19

Pada sudut datang sebesar 45° terhadap struktur PhC, menghasilkan rentang band

gap pada panjang gelombang 1.15 µm dan 2.18 µm. Sedangkan pada sudut datang sebesar 60° rentang band gap berada pada panjang gelombang 1.17 µm dan 2.16 µm. Berdasarkan hasil simulasi tersebut rentang band gap mengalami pergeseran ke kiri (ke arah panjang gelombang yang lebih kecil).

Gambar 14 Variasi ripple pada PBG dengan variasi indeks bias rod dielektrik (a) ZnSe (n=2.5) (b) ZnTe (n= 2.78) dan (c) Alummunium (n=2.98)

Akibat dari interaksi antara gelombang dengan medium (kristal fotonik), memberikan pengaruh pada kurva transmitansi baik pada sudut datang 0° maupun pada sudut datang lebih besar dari 0°. Pada gambar 14 terlihat, variasi indeks bias rod dielektrik memberikan hasil ripple menjadi menurun (grafik pada kanan-kiri tepi band gap). Perubahan yang sama terjadi pada lebar band gap dengan variasi indeks bias (dari indeks bias yang bernilai 2.5 sampai 2.98) melebar menuju panjang gelombang bernilai besar (begeser ke arah kanan). Hal ini bersesuain dengan teori yang menyatakan bahwa lebar frekuensi gelombang dalam medium kristal berubah secara periodik sesuai dengan indeks biasnya dan sudut datang, melalui persamaan

1 1 1 1 12 cos cos2a

n an

2 2 2 2 22 cos cos2a

n an

dengan syarat 1 2n n dan 1 2 , melalui hubungan antara frekuensi dan

panjang gelombang, 2 c

, maka

1 21 2

1 12 c

(a) (b) (c)

(59)

(60)

20

2 2 1 1

1 1 2 2

cos cos2cos cos

an anc

an an

Sehingga, untuk sudut datang normal 1 2 0 perubahan lebar frekuensi band gap bergantung pada selisih indeks bias antara medium rod dengan background. Analisis dari variasi sudut datang dan indeks bias pada simulasi diatas yang mempengaruhi lebar band gap berlaku juga dalam kasus satu dimensi berupa periodisitas layer dielektrik.38

Hubungan sudut datang terhadap selisih tepi pita kanan dan kiri band

gap g untuk kristal fotonik dapat dilihat pada gambar 15. Pada saat sudut datang 25° delta band gap berada pada nilai 1.1 merupakan puncak kurva tersebut. Kenaikan sudut hingga 90° terjadi trend penurunan dari delta band gap, yang artinya lebar bandgap akan berkurang seiring kenaikan sudutnya. Gambar 15 Hubungan sudut datang terhadap lebar band gap Gambar 16 Hubungan sudut datang terhadap pusat band gap Berdasarkan teori dan simulasi yang dilakukan sebelumnya menggunakan metode Transfer Matriks, perubahan sudut datang menyebabkan band gap bergeser secara relatif ke arah kiri yaitu ke arah panjang gelombang yang lebih kecil. Berdasarkan hasil simulasi menggunakan FDFD (gambar 16), terlihat bahwa titik tengah band

gap ( pg ) semakin kecil untuk perubahan sudut datang dari 0 ° sampai 40 ° .

g m

pg m

pg m

21

Kemudian, pada sudut datang 40° sampai 85° titik tengah band gap turun secara fluktuatif dan band gap hilang pada sudut datang 90° karena nilai transmitansinya menjadi infinite. Aplikasi lebih lanjut dari hasil pada gambar 15 dan 16 dapat menjadi referensi penting untuk fabrikasi filter optik yang dapat digunakan untuk memfilter panjang gelombang pada rentang yang diinginkan.

Kristal Fotonik dengan Defek Titik

Sebuah cacat dapat menyebabkan ketidak sempurnaan dari struktur PhC. Cacat tersebut dapat berupa dislokasi geometrik atau adanya perbedaan permitivitas yang tidak mengikuti permitivitas periodik struktur. Dalam kasus defek titik akan dilakukan eliminasi sebuah dieletrik rod yang ditunjukan dalam gambar 17(a). Peletakan posisi tengah dari cacat kristal untuk memberikan gambaran simetris dari strukturnya. Secara teori cacat yang disisipkan dalam PhC menyebabkan cahaya terlokalisasi disekitar cacat, sehingga menimbulkan peningkatan medan yang besar dan membentuk mode resonansi seperti ditunjukan dalam gambar 17(b). Berdasarkan hasil simulasi terlihat bahwa medan terperangkap dalam defek dan mengalami peningkatan medan pada rentang band

gap yang dikenal sebagai photonic pass band pada panjang gelombang pertama λ=1.4 μm dan kedua λ=1.9 μm

Gambar 17 (a) Struktur kristal fotonik dengan defek titik (b) Cuplikan cavity gelombang dalam struktur pada λ=1.4 μm (c) Spektra transmitansi

pada struktur dengan defek titik Nampak posisi lembah dari gelombang terperangkap di dalam defek titik seperti diwakili oleh warna biru dari colorbar sebagai harga minimum dari medan. Lebih lanjut variasi nilai indeks bias rod dapat mempengaruhi posisi panjang gelombang photonic pass band.

(a) (b) (c)

22

Tabel 2 Variasi panjang gelombang PPB berdasarkan variasi indeks bias ( )n

Material Nilai Indeks Bias (n) Panjang gelombang ( μm ) PPB ke-

1 2

ZnSe 2.5 1.27 1.55 ZnTe 2.78 1.32 1.68 Alumunium 2.98 1.35 1.78 Si 3.41 1.41 2.0

Pengaruh indeks bias medium rod dielektrik dengan defek terhadap

kemunculan pass band terlihat pada tabel 2. Seperti fenomena pergeseran yang dihasilkan oleh band gap dengan variasi indeks bias dihasilkan pergeseran ke arah panjang gelombang lebih besar, begitu juga dengan divariasikannya indeks bias dari rod dielektrik dengan defek udara, akan dihasilkan fenomena pergesaran posisi pass band menuju panjang gelombang yang lebih besar. Jika dilihat dari panjang gelombang photonic pass band-nya pergeseran dari masing-masing mode cacat lokal baik pada mode cacat lokal pertama dan kedua menghasilkan pergeseran yang linear.

Kristal Fotonik dengan Defek Baris

Berdasarkan teori, lebar dan posisi pass band akan dipengaruhi oleh sudut datang vektor propagasi k terhadap arah normal PhC serta geometri cacat kristalnya. Karenanya, dengan menghilangkan sepanjang baris tengah dari susunan rod dielektrik dapat dihasilkan transmitansi pass band yang bernilai satu.

Gambar 18 (a) Struktur kristal fotonik dengan defek baris (b) Fenomena interferometor Fabry-Perot (c) Transmitansi pass band bernilai satu

(a) (b) (c)

23

Saat gelombang datang memasuki susunan PhC dengan defek baris, sebagian gelombang mengalami pemantulan yang berulang disepanjang defek baris berupa indeks bias udara. Pada tepi atas dan tepi bawah rod dielektrik dari defek baris, gelombang yang keluar nampaknya merupakan gelombang yang tidak mengalami pemantulan. Fenomena yang terlihat pada gambar 18 (b) merupakan fenomena yang sama terjadi pada interferometer Fabry-Perot. karenanya gelombang yang dipantulkan di dalam defek baris sefase akan menghasilkan interferensi konstruktif dan berhubungan dengan puncak transmisinya.

Variasi Sudut Defek Baris

Pengaruh sudut datang terhadap pass band pada defek baris sama seperti pengaruhnya terhadap band gap, dimana pada variasi sudut terhadap band gap

menyebabkan bergeser kearah panjang gelombang terkecil, tetapi pengaruhnya terhadap pass band diikuti juga dengan penurunan nilai transmitansinya seperti terlihat pada gambar 19, terlihat juga semakin sudut diperbesar akan diikuti dengan naiknya ripple (side lobe). Pada saat gelombang datang dengan sudut 30° terhadap arah normal struktur, panjang gelombang pass band berada pada1.6 μmsedangkan transmitansi pass band bernilai 0.71. untuk sudut masuk 45° dan 60° terhadap arah normal struktur PhC, panjang gelombang pass band berturut-turut berada pada panjang gelombang 1.41 μm dan1.22 μm , tetapi nilai transmitansi pass band mengalami penurunan masing-masing sebesar 0.35 dan 0.18.

Gambar 19 Pergeseran panjang gelombang pass band dengan sudut datang (a) 30° (b) 45° dan (c) 60°

Hubungan panjang gelombang pass band ( p ) terhadap transmitansi pass

band ( % pT ) dan sudut datang ( ) untuk PhC dua dimensi dengan defek baris digambarkan dalam dua grafik berikut.

(a) (b) (c)

24

Gambar 20 Hubungan perubahan sudut datang terhadap panjang gelombang pass band

Gambar 21 Hubungan perubahan sudut datang terhadap transmitansi puncak pass band

Berdasarkan teori, perubahan sudut datang pada vektor gelombang datang k

akan mengakibatkan perubahan pada nilai transmitansi dan panjang gelombang pass band. Hasil penelitian sebelumnya menggunakan metode Transfer Matriks perubahan sudut datang meyebabkan posisi pass band bergeser secara relatif ke arah kiri yaitu ke arah panjang gelombang terkecil. Simulasi PhC 2D dengan menggunakan metode FDFD (gambar 21), terlihat titik tengah pass band ( p ) semakin kecil untuk perubahan sudut datang dari 0° sampai 65° . Pada sudut datang diatas 65 ° pass band hilang disebabkan tidak terjadi lokalisasi medan secara kuat pada band gap untuk komposisi nilai indeks bias rod, panjang gelombang dan sudut datang gelombang. Selain itu, perubahan sudut datang gelombang menyebabkan perubahan terhadap transmitansi puncak dari pass band seperti ditunjukan pada gambar 20. Untuk perubahan sudut dari 0°sampai 65° transmitansi turun (mengecil) secara relatif dan nilainya turun secara tajam pada sudut 35° sampai 50°. Hasil ini menjadi referensi penting untuk fabrikasi sensor dan filter optik untuk deteksi indeks bias material sekaligus switching panjang gelombang.

p

% pT

p

25

Variasi Indeks Bias Defek Baris

Kemunculan mode cacat atau pass band dalam selang panjang gelombang band gap dipengaruhi oleh karakteristik bahan lapisan cacat yang digunakan, salah satunya adalah indeks bias cacat.

Gambar 22 Variasi indeks bias defek baris (a) ZnSe (n=2.5) (b) ZnTe (n= 2.78) dan (c) Alummunium (n=2.98)

Variasi panjang gelombang transmitansi pass band pada gambar 22

disebabkan oleh interferensi antara pemantulan cahaya pada defek baris yang terletak di tengah permukaan pantulan yang disisipkan indeks bias berbeda. Dimana panjang gelombang transmitansi pass band akan bergeser ke arah kanan menuju panjang gelombang lebih besar diiringi kenaikan ripple. Karena keunikannya terhadap karakteristik pass band kristal fotonik dengan lapisan defek dapat dimanfaatkan sebagai filter panjang gelombang atau regulator posisi. Hal ini terjadi jika susunan PhC dua dimensi, divariasikan dengan sejumlah defek pada PhC dengan menyisipkan indeks bias berbeda pada salah satu defek dari konfigurasi PhC tersebut. Untuk aplikasi potensial, rentang panjang gelombang di atur antara indek bias dari air 1.33 dan kaca 1.55 , dengan menyisipkan pada salah satu defek tersebut dengan indek bias dari larutan fluida sehingga dapat dimanfaatkan sebagai sensor indeks bias.

Kristal Fotonik dengan Defek Kolom

Sebuah pandu gelombang di dalam susunan kristal fotonik 2D dibuat dengan mengambil salah satu susunan kolom atau baris silinder dalam struktur kristal. Dalam penelitian ini sebuah kanal pandu gelombang dibuat dengan mengambil kolom tengah dalam susunan kristal fotonik 2D. Dengan memilih

(a) (b) (c)

26

salah satu frekuensi yang berada dalam bandgap maka didapatkan suatu bentuk pandu gelombang yang dapat mentransmisikan gelombang elektromagnetik sepanjang kanal yang dibuat.

Gambar 23 (a) Struktur kristal fotonik dengan pandu gelombang satu kanal (b) Perambatan gelombang dalam struktur pada λ=1.4 μm

(c) Spektra transmitansi pada pandu gelombang satu kanal

Pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa gelombang EM yang dirambatkan dalam kristal fotonik sesuai yang diperkirakan akan ditransmisikan melalui kanal dan terlihat bahwa medan listrik total yang merambat hanya berada pada kanal saja sedangkan pada daerah silinder di luar kanal besarnya medan listriknya mendekati nilai nol.

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Berdasarkan hasil yang telah didapatkan, bahwa metode FDFD efektif untuk menganalisis interaksi gelombang elektromagnetik terhadap struktur kristal fotonik. Pada kristal fotonik tanpa defek menghasilkan selang photonic band gap

yang mendekati data literatur. Dimana selisih dari simulasi tersebut berada pada pita pertama untuk hasil simulasi didapatkan nilai 0.231, yang memiliki selisih sebesar 0.056 dari pita pertama literatur band gap sebesar 0.287. Sedangkan pada pita kedua hasil simulasi memiliki kesamaan dengan data literatur sebesar 0.422. Rentang panjang gelombang band gap sangat bergantung dengan sudut vektor gelombang datang dan selisih indeks bias antara medium yang satu dengan

(a) (b) (c)

27

medium yang lainnya. Begitu juga dengan kehadiran moda cacat lokal atau photonic pass band dimana nilai transmitansi dan panjang gelombang bergantung pada indeks bias cacat, sudut datang dan lebar dari cacat PhC.

Saran

Untuk pengembangan selanjutnya, metode ini dapat diterapkan untuk struktur yang lebih kompleks, seperti struktur kristal fotonik grating dan juga struktur kristal fotonik metal yang transfaran (metallo-dielectric). Rentang panjang gelombang juga dapat diperluas untuk mendapatkan hasil yang lebih lengkap. Selain metode FDFD dapat pula digunakan metode dalam ranah frekuensi lainnya seperti FEM untuk kasus kristal fotonik 2D.

28

DAFTAR PUSTAKA

1. Sun Z. Study of metallic nano-optic structures [disertasi]. Lanzhou (CN): University Lanzhou. 2000

2. Zhaoa W, Deng HW, Zhao YJ. Application of 4-component compact 2-D FDFD method in analysis of lossy circular metal waveguide. Journal

Electromagnet Waves and Applications. 2008. Volume 22, issue 17-18, pp:2297-2308.doi:10.1163/156939308787543930.

3. Strang G, Fix GJ. An Analysis of the Finite Element Method 1st ed. Prentice Hall. 1973

4. Eymard R, Gallouët T, Herbin R. Finite Volume Methods, Handbook of

Numerical Analysis. Volume VII, p: 713-1020. Ciarlet PG, Lions JL, editor. North-Holland. 2000

5. Hardhienata H. Study of electromagnetic wave propagation in 2d photonic crystal with defect using Green-Tensor method. Bandung (ID): Institut Pertanian Bogor. 2008.

6. Zheng L, Li YN, Baz A. Attenuation of wave propagation in a novel periodic structure. Journal of Cental South University of Technology. 2011. Volume 18, issue 2, pp:438-443.

7. Aly AH. The transmittance of two types of one-dimensional periodic structure. Materials Chemistry and Physics. 2009. Volume 115, issue 1, p:391-394.doi:10.1016/j.matchemphys.2008.12.009.

8. Yokota M, Yoshizura K. Reflection properties from dielectric grating structure containing photonic crystal grating. International Symposium on

Electromagnetic Theory; 2013 Mei 20-24; Hiroshima, Jepang. Hiroshima (JP). IEEE. pp 800-803.

9. Peng L. Absorption and emission properties of photonic crystal and metamaterials [tesis]. Ames (US): Iowa State University. 2007

10. Oates JH. Propagation and scattering of electromagnetic waves in complex environments [disertasi]. Cambridge (US): Massachusetts Institute of Technology. 1994

11. Yang YX, Zhao HC. Analysis of equivalent antenna based on FDTD mehod. Defence Technology. 2014. Volume 10, issue 3, p:304-307.doi:10.1016/j.dt.2014.07.005.

12. Duan YT, Chen B, Shi LH, Gao C. Analysis of planar circuits using an efficient laguerre-based FDTD method. Progress in Electromagnetics

Research M. 2014. Volume 38, pp:155–163.doi:10.2528/PIERM14061007. 13. Teixeira FL, Chew WC, Straka M, Oristaglio ML. Finite-difference time-

domain simulation of ground penetrating radar on dispersive inhomogeneous and conductive soils. IEEE Transactions on Geoscience

and Remote Sensing. 1998. Volume 36, issue 6. 14. Brock SR, Hu XH, Yang P, Lu JQ. Evaluation of a parallel FDTD code

and application to modeling of light scattering by deformed red blood cells. Optic Express. 2005. Volune 13, issue 14, pp:5279-5292.doi:10.1364/OPEX.13.005279.

15. Dong Q. MATLAB-based finite difference frequency domain modeling and its inversion for subsurface sensing [disertasi]. Boston (US):

29

Northeastern University. 2008. 16. Ivinskaya A. Finite difference frequency domain method in nanophotonics

[disertasi]. Lyngby (DK): Technical University of Denmark. 2011. 17. Zhao YJ, Wu KL, Cheng KM. A compact 2-D full wave finite-difference

frequency-domain method for general guided wave structures. IEEE

Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2002. Volume 50, issue 7, p:1844-1848.doi:10.1109/TMTT.2002.800447.

18. Hwang JN. A compact 2-D FDFD method for modeling microstrip structure with nonuniform grids and perfectly matched layer. IEEE

Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2005. Volume 53, issue 2, p:653-659.doi:10.1109/TMTT.2004.840569.

19. Guo S, Wu F, Albin S, Rogowski RS. Photonic band gap analysis using finite-difference frequency-domain method. Optics Express. 2004. Volume 12, issue 8, pp:1741-1746.doi:10.1364/OPEX.12.001741.

20. Kurt H. Photonic crystal: Analysis, design, and biochemical sensing aplications [tesis]. Georgia (US). Georgia Institute of Technology. 2006

21. Yablonovitch E. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics. Phys Rev Lett. 1987. Volume 58, issue 20.doi: /10.1103/PhysRevLett.58.2059.

22. John S. Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices. Phys Rev Lett. 1987. Volume 58. Issue 23.doi: /10.1103/PhysRevLett.58.2486.

23. Schmidt O, Kiesel P, Mohta S, Johnson NM. Resolving pm wavelength shifts in optical sensing. J Appl Phys. 2007. Volume 86, issue 4, pp:593-600.

24. Nair RV, Vijaya R. Photonic crystal sensors: An overview. Progress in

Quantum Electronic. 2010. Volume 34, issue 3, p:89-134.doi: /10.1016/j.pquantelec.2010.01.001.

25. Joannopoulus JD, Johson SG, Winn JN, Meade RD. Photonic Crystal

Molding the Flow of Light. Pricenton (US): Pricenton University Press. 2008.

26. Mayditia H, Hardhienata H, Alatas H. 2005. Analysis of one dimensional photonic crystals with defect and asymmetric edges for sensor application. Proceedings of the International Conference on Instrumentation

Communication and Information Technology; 2005 Agust 3-5; Bandung, Indonesia. Bandung (ID); ICICI. pp 740-744.

27. Schulkin JB, Sztancsik L, Federici JF. Analytical solution for photonic band-gap crystals using drude conductivity. American J Phys. 2004. Volume 72, issue, pp:1051-1054.

28. Samii YR. Electromagnetic band-gap structure: Classification, characterizations and application. Elevent International Conference on Antennas and Propagation. 2001. Volume 2, issue 480.

29. Hardhienata H. Analisis relasi dispersi gelombang elektromagnetik datar stasioner dalam kristal fotonik kuasi-periodik satu dimensi [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. 2005.

30. Hardhienata H. Second harmonic generation in diamond and zincblende lattice [tesis]. Linz (AT): Johannes Kepler University Linz. 2016

31. Sopaheluwakan A. Defect states and defect modes in 1D photonic crystals

30

[tesis]. Enschede (NL): University of Twente. 2003 32. Oguma M, Kitoh T, Jinguji K, Shibata T, Himeno A, Hibino Y. Passband-

width broadening design for WDM filter with lattice-form interleave filter and arrayed waveguide gratings, IEEE Photonics Technology Letters. 2002. Volume 14, issue 3, p:328-330.doi:10.1109/68.986802.

33. Koechner W. Solid-State Laser Engienering. 5th ed. Springer Series in Optical Sciences. 1999.

34. Vyshnevyy AA, Fedyanin DY. Self-heating and cooling of active plasmonic waveguides. ACS Photonics. 2016. Volume 3, issue 1, pp:51-57.doi:10/1021/acsphotonics.5b00449.

35. Kok AAM. Pillar photonic crystals in integrated circuit [tesis]. Eindhoven (NL): Eindhoven University of Technology. 2008.

36. Prieto F et al. An integrated optical interferometric nanodevice based on silicon technology for biosensor applications. Nanotechnology. 2003. Volume 14, pp:907-912.

37. Tjia MO. Gelombang. Bandung (ID): Debara Publisher. 1994 38. Negara TP. Kristal fotonik asimetrik omnidirectional satu dimensi dengan

defek geometris [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. 2006 39. Klimek M, Römer U, Schöps S, Weiland T. Space-time discretization of

Maxwell’s equations in the setting of geometric algebra. Proceeding of the

International Symposium on Electromagnetic Theory. 2013. [Waktu dan tempat pertemuan tidak ditemukan]. IECE. pp: 1101-1104.

40. Podgorsak EB. Compendium to Radiation Physics for Medical Physicist. Springer. 2014.

41. Toomay JC, Hannen PJ. Radar Principles for the Non-Specialist. Scitech Publishing. 2004.

42. Taylor HF, Yariv A. Guided waves optics. Proceedings of the IEEE. 1974. Volume 62, issue 8, pp:1044-1060.doi:10.1109/PROC.1974.9569

43. Chen X, Uhlmann G. Cloaking a sensor for three-dimensional Maxwell’s equations: Transformation optics approach. Opt Express. 2011. Volume 19, issue 21, pp:20518-20530.doi:/10.1364/OE.19.020518.

44. Milligan TA. Modern Antenna Design. 2nd ed. Wiley-IEEE Press. 2005 45. Farid A, Alshawabkeh AN, Rappaport CM. Electromagnetic waves in

contaminated soils. Electrical and Engineering Faculty Publications, Northeastern University. 2011.

46. Yonan W. Optimasi struktur pita terlarang dari kristal fotonik berhingga satu dimensi [skripsi]. Bandung (ID): Institut Teknologi Bandung. 2005

47. Prasad PN. Introduction to Biophotonics. New Jersey (US). John Willey and Sons. 2003.

48. Griffiths DJ. Introduction to Electrodynamics. New Delhi (IN). Prentice-Hall of India. 1995.

49. Hofmann P. Solid State Physics. An Introduction. 2nd ed. Berlin (DE). Wiley-VCH. 2015.

50. Negara TP, Mardanih, Hardhienata H, Alatas H. Transmission characteristics of 1D metallodielectric photonic crystal with a defect rod. Di dalam: Abdullah M, Wahyu, editor. AIP Confrence Proceedings of 4th

Asian Physics Symposium 1325 182; 2010 Oct 12-13; Bandung, Indonesia. Bandung (ID): AIP. pp: 182-185.

31

51. Orfanidis SJ. Electromagnetic Waves and Antennas. ECE Department Rutgers University. 2016

52. Warren BE. X-Ray Diffraction. Courier Corporation. 1990, 53. Mayditia H. Analisis perambatan gelombang EM monokromatik datar

stasioner dalam kristal fotonik satu dimensi dengan cacat menggunakan metode matriks transfer [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. 2005

54. Huang Y. Plasmonic devices for manipulating light at the nanoscale: Slow-light waveguides and compact couplers [disertasi]. Baton Rouge (US). Louisiana State University. 2012.

55. Shin W. 3D Finite difference frequency domain mehod for plasmonic and nanophotonics [disertasi]. California (US). Stanford University. 2013

56. Rumpf RC. Simple implementation of arbitrarily shaped total-field/scattered-field regions in finite-difference frequency-domain. Progress in Eletromagnetics Research B. 2012. Volume 36, pp: 221-248. doi:10.2528/PIERB11092006.

57. Berenger JP. A Perfectly matched layer (PML) for the absorption of electromagnetic waves. Journal of Computational Physic. 1994. Volume 114, p:185-200.

58. Tetuko J, Ito K., Rahardjo ET. Metode Beda Hingga Kawasan Waktu. Bandung (ID). ITB press. 2004.

59. Taflove A. Computational Electrodynamics: The Finite Difference Time

Domain Method. Artech House. 1995. 60. Rumpf RC, Garcia CR, Berry EA, Barton JH. Finite-difference frequency-

domain algorithm for modeling electromagnetic scattering from general anisotropic objects. Progress in Electromagnetics Research B. 2014. Volume 61, pp:55-67.doi:10.2528/PIERB14071606.

61. Sun W, Liu K, Balanis CA. Analysis of singly and doubly periodic absorbers by frequency-domain finite-difference method. IEEE

Transaction on Antennas and Propagation. 1996. Volume 44, issue 6, pp:798-805.doi:10.1109/8.509883.

62. Rumpf RC, Tal A, Kuebler SM. Rigorous electromagnetic analysis of volumetrically complex media using the slice absorption method. J Opt Soc

Am A. 2007. Volume 24, issue 10. pp:3123-3134. 63. Umashankar KR, Tavlove A. A novel method to analyze electromagnetic

scattering of complex objects. IEEE Transaction on Electromagnetic.

Compatibility. 1982. Vol. 24, issue 4, pp:397-405.doi:10.1109/TEMC.1982.304054.

64. Rumpf RC. Design and optimazation of nano optical elements by coupling fabrication to optical behaviour [disertasi]. Florida (US): University of Central Florida Orlando. 2006.

65. Rumpf RC. Lecture 13: Formulation of finite‐difference frequency‐domain, short course on finite difference frequency domain, pioneering 21st century electromagnetics and photonics. 2012.

66. Sakoda K. Optical Properties of Photonic Crystal. 2nd ed. Springler Verlag. 2004

67. Rumpf RC. Lecture 14: Implementation of finite‐difference fequency‐domain short course on finite difference frequency domain. 2012.

32

LAMPIRAN

Solusi Umum Persamaan Gelombang Elektromagnetik Sederhana

2

22

,,

E r tE r t

t

Melalui teknik separasi variabel, dimana medan listrik merupakan fungsi ruang dan waktu

,E r t = E r E t , sehingga persamaan gelombang menjadi

2

22

E tE t E r E r

t

,

Lalu bagi masing-masing suku dengan fungsi ruang dan waktu E r E t

2 2

2

E r E t

E r E t t

,

Persamaan diatas memiliki bentuk lain

22E r

kE r

…… (1) dan

22

2E t

kE t t

…… (2)

Jika medan listrik merupakan fungsi ruang

2 2 0E r k E r , misalkan medan listrik merupakan fungsi dari x ,

maka 2 2 0E x k E x , persamaan ini merupakan persamaan kuadrat

dengan bentuk

2

22 0x

xE

k Ex

Untuk, mencari akar-akar persamaan kuadarat diatas, dapat dilakukan dengan cara

0xx xjk jk Ex x

Jika akar-akar tersebut dipisahkan, menjadi

0xxjk Ex

…… (3) dan 0xxjk E

x

…… (4)

Misal diambil persamaan (3)

0x xxx x

x

E Ejk E jk x

x E

Jika kedua suku tersebut dikenai integral maka x

xx

Ejk x

E

33

0ln ln xE E jk x

Sehingga dapat memiliki bentuk seperti berikut: 0 xjk x

E x E e , dengan cara serupa akan diketahui (persamaan 4), memiliki bentuk yang sama hanya berlawanan tanda 0 xjk x

E E e

, sehingga fungsinya dapat ditulis

0 0x xjk x jk xE x E e E e

Jika medan listrik merupakan fungsi waktu

22

2E t

kE t t

, kali dengan fungsi waktu E t

22

2 0E t

k E tt

Persamaan diatas juga memiliki bentuk persamaan kuadrat, maka untuk mencari akar-akar kuadratnya

1 1 0jk jk E tv t v t

dengan 2

1v

Karenanya memiliki dua akar

1 0jk E tv t

…… (5) dan

1 0jk E tv t

…… (6)

Persamaan (5) jika diuraikan menjadi,

E tjkv t

E t

Kenakan integral pada kedua ruas kanan dan kiri persamaan menjadi ln ln 0E t E jkvt

Karenanya solusi, persamaan diatas menghasilkan 0 jkvtE t E e

Dengan cara serupa persamaan (6) menghasilkan solusi yang sama, karenanya cukup dituliskan

0jkvtE t E e dimana k

v

Solusi umum dari persamaan gelombang

0 0, j kx t jk x t

E x t E e E e

34

Perhitungan Transmitansi Intensitas dari gelombang elektromagnetik diberikan oleh persamaan berikut,

1 Re2

avrS E H

Dimana merupakan kompleks konjugat

Gelombang harmonik yang menjalar dalam ruang, dinyatakan:

0jk rE E e

subtitusikan persamaan diferensial Faraday tak bergantung waktu

01 jk rE e H

j

01 1Re 02

jk r jk ravrS E e E e

j

Operator del-nya menjadi jk

01 1Re 02

jk r jk ravrS E e k E e

, dengan identitas vektor

0 0 0 01 Re2

j k k r

avre

S k E E E k E

,

Karena, k E maka suku kanan dalam kurung dapat diabaikan 2Im

20

1 Re2

k r

avre

S k E

dengan impedance k

dan 0 r , maka

22Im0

0 0

1 1Re2

k ravr

r

kS e E

k

, jadi

20 2Im

0 0Re

2k r

avrr

E kS e

k

Transmitansi untuk gelombang datang tegak lurus melalui nisbah intensitas 2

2Im ,2

,Reref inctrn k k r trntrn r trn

inc inc r incinc

S kPT e

P kS

35

Diagram Alir Penelitian

Pencarian Literatur

Sesuai topik penelian

Tidak

Pembuatan dan Pengujian Program pada Matlab 2012b

Ya

Kesesuaian dengan literatur?

Tidak

Penyusunan Laporan

Ya

36

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bogor, pada tanggal 05 Juli 1994 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara, dari pasangan Maman Suherman dan Siti Fatimah.

Pada tahun 2012 penulis menyelesaikan studi tingkat menengah atas di SMA PLUS YPHB kota Bogor Pajajaran kemudian penulis diterima di IPB melalui Ujian Talenta Mandiri (UTM) dan terdaftar sebagai mahasiswa Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama menyelesaikan study di IPB, penulis banyak mengikuti kegiatan organisasi dan ekstra kampus, diantaranya: Staf Aisec pada divisi Global

Community Development Program (GCDP), Equestrian Club of IPB (ECI), Resimen Mahasiswa (Menwa), Indonesia Green Action Forum (IGAF) dll.