Algèbres de contraction Forêts préordonnées Algèbres bigreffes Structures Hopf-algébriques et opéradiques sur différentes familles d’arbres Anthony Mansuy 31 mai 2013 1/59 Anthony Mansuy Structures Hopf-algébriques et opéradiques sur différentes famille
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Structures Hopf-algébriques et opéradiquessur différentes familles d’arbres
Anthony Mansuy
31 mai 2013
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Algèbres de Hopf de battage et d’arbresMorphisme de HD
CK dans ShD
Algèbres de contraction
Soit D un ensemble.L’algèbre de Hopf de battage ShD a pour base l’ensemble desmots en l’alphabet D.
Son produit ×Sh est donné par les battages des mots. Parexemple :
(abc)×Sh (d) = (abcd) + (abdc) + (adbc) + (dabc),
(ab)×Sh (cd) = (abcd) + (acbd) + (cabd)
+(acdb) + (cadb) + (cdab).
Son coproduit est donné par la déconcaténation. Parexemple :
∆(abcd) = (abcd)⊗ 1 + (abc)⊗ (d) + (ab)⊗ (cd)
+(a)⊗ (bcd) + 1⊗ (abcd).
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Algèbres de contraction
Supposons de plus que D est muni d’un produit associatif etcommutatif [·, ·] : D ×D → D.L’algèbre de Hopf de battage contractant CshD a aussi pourbase l’ensemble des mots en l’alphabet D.
Son produit ×Csh est donné par les battages des motsavec contractions éventuelles des lettres. Par exemple :
(ab)×Csh (c) = (abc) + (acb) + (cab) + (a[b, c])
+([a, c]b)
(ab)×Csh (cd) = (ab)×Sh (cd) + (a[b, c]d)
+(c[a,d ]b) + ([a, c]bd) + ([a, c]db)
+(ac[b,d ]) + (ca[b,d ]) + ([a, c][b,d ])
Son coproduit est la déconcaténation, comme pour ShD.
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L’algèbre des arbres enracinés HCK est introduite par Conneset Kreimer pour la Renormalisation en Théorie des ChampsQuantiques.
Une base de cette algèbre est donnée par les forêtsenracinées :
Deux objets combinatoires apparaissent :Les partitions d’un arbre.Les ordres linéaires sur un arbre.
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DéfinitionsSoit F ∈ HCK une forêt non vide et e une contraction de F ,c’est-à-dire un sous-ensemble de E(F ).
La partition de F par e est la sous-forêt de F obtenue enconservant tous les sommets de F et les arêtes de e. Onla note Parte(F ).Le contracté de F par e est la forêt obtenue en contractantdans F chaque arête de e et en identifiant leursextrémités. On le note Conte(F ).
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où, à la première ligne, les arêtes n’appartenant pas à e sontbarrées.
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Soit ICK l’idéal de HCK engendré par l’élément q − 1. On noteCCK l’algèbre quotient HCK/ICK : on identifie dans CCK leséléments 1 et q .On définit sur CCK le coproduit de contraction :
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On retrouve le coproduit introduit par D. Calaque, K.Ebrahimi-Fard et D. Manchon dans [CEFM].
Considérons la counité :
ε :
{CCK → K
F forêt 7→ δF , q .Théorème(CCK ,∆CCK
, ε) est une algèbre de Hopf commutative, noncocommutative, graduée par le nombre d’arêtes.
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Proposition (Description de Φ)
Soit T un arbre non vide ∈ HDCK . Alors
Φ(T ) =∑
e⊆E(T )
∑σ∈O(Conte(F ))
ϕ(σ−1(k)) . . . ϕ(σ−1(1))
,
où k est le nombre de sommets de Conte(F ) et où σ−1(i) est lacomposante connexe de Parte(F ) d’image par σ égale à i .
Remarque
Supposons que ϕ( qa ) = a et que ϕ(T ) = 0 lorsque T est dedegré au moins deux.Alors on retrouve le morphisme d’algèbres surjectifΦ : HDCK → ShD défini plus haut.
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La notion de partitions d’un arbre apparaît encore. Par contre,ce n’est plus des odres linéaires qui apparaissent, mais despréordres linéaires.
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DéfinitionUn préordre linéaire sur une forêt F ∈ HCK à n sommets estune application surjective σ : V (F )→ {1, . . . , k}, 1 ≤ k ≤ n,telle que si, a,b ∈ V (F ), a 6= b,
(a � b dans F ) =⇒ (σ(a) > σ(b)).
On note Op(F ) l’ensemble des préordres linéaires sur F .
Exemple
Si F = q∨qqq , les préordres linéaires possibles sur F sont :
q∨qqq 122
3
, q∨qqq 132
3
, q∨qqq 142
3
, q∨qqq 123
4
, q∨qqq 132
4
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ExempleSi F = qq qq , les préordres linéaires possibles sur F sont :
où, pour tout i ∈ {1, . . . ,q},σ−1(i) est la forêt T1 . . .Tn de toutes les composantesconnexes Tk de Parte(F ) telles que σ(Tk ) = i .ϕ(σ−1(i)) = [ϕ(T1), . . . , ϕ(Tn)](n).
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Rappelons qu’un préordre sur un ensemble est une relationbinaire, réflexive et transitive.
DéfinitionUne forêt préordonnée est une forêt enracinée F ∈ HCK tellequ’on ait de façon équivalente :
Un préordre total sur l’ensemble V (F ).Une surjection σ : V (F )→ {1, . . . , k}, avec k un entierinférieur au nombre de sommets de F .
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Dans [FU], L. Foissy et J. Unterberger prouve le théorèmesuivant :
Théorème1 Soit n ≥ 0. Pour tout (F , σ) ∈ FHo , soit SF l’ensemble des
permutations θ ∈ Σn telles que pour tout a,b ∈ V (F ),(a � b)⇒ (θ−1(σ(a)) ≤ θ−1(σ(b))). Posons :
Θ :
Ho → FQSym
F ∈ FHo 7→∑θ∈SF
θ.
Alors Θ : Ho → FQSym est un morphisme d’algèbres deHopf homogène de degré 0.
2 La restriction de Θ à Hho est un isomorphisme d’algèbresde Hopf graduées.
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Soit n ∈ N∗. On note Surjn l’ensemble des applicationsτ : {1, . . . ,n} → N∗, telles que τ({1, . . . ,n}) = {1, . . . , k} pourun certain k . On représente τ ∈ Surjn par le mot tassé(τ(1) . . . τ(n)).
On note WQSym∗ l’espace vectoriel dont une base est donnéepar l’union disjointe des ensembles Surjn. WQSym∗ est unealgèbre de Hopf (introduite dans [NT]) :
Le produit de τ et ω est donné en décalant les lettres de ωet en réalisant le battage de ces lettres avec celles de τ :
(112)(21) = (11243) + (11423) + (14123) + (41123)
+(11432) + (14132) + (41132) + (14312)
+(41312) + (43112).
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Le coproduit de τ est obtenu en réalisant toutes les coupesdu mot représentant τ en deux mots et en tassant ceux-ci :
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DéfinitionSoit (F , σ) une forêt préordonnée de degré n et τ ∈ Surjn. Alorson note Sτ(F ,σ) l’ensemble des bijections ϕ : V (F )→ {1, . . . ,n}telles que :
1 si v ∈ V (F ), alors σ(v) = τ(ϕ(v)),2 si v , v ′ ∈ V (F ), v ′ � v , alors ϕ(v) ≥ ϕ(v ′).
Exemples
Soit F = q∨qq 122 et τ = (221). En notant les sommets de F parq∨qq a
cb , on a deux éléments ϕ1, ϕ2 ∈ Sτ(F ,σ) :
ϕ1 :
a → 3b → 2c → 1
et ϕ2 :
a → 3b → 1c → 2
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ThéorèmeConsidérons
Φ :
Hpo → WQSym∗
(F , σ) forêt de degré n 7→∑
τ∈Surjn
card(Sτ(F ,σ)) τ.
Alors :Φ : Hpo →WQSym∗ est un morphisme d’algèbres de Hopfhomogène de degré 0.La restriction de Φ à Hhpo est une injection d’algèbres deHopf.
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Algèbres de greffeL’opérade bigreffeThéorème de rigidité
Dans son article Random walks on R and ordered trees : Firstapplications, F. Menous introduit les deux opérateurs de greffesuivants : T1 . . .Tk forêt ordonnée de degré n.
B−(T1 . . .Tk ) = B+(T1 . . .Tk ) =
Exemples
B−( qq12 q3 ) = q∨qqq 431
2
B+( qq12 q3 ) = q∨qq q1423
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Algèbres de greffeL’opérade bigreffeThéorème de rigidité
DéfinitionSoit TB = ∪n≥1TB(n) l’ensemble des arbres définirécursivement par :
si n = 1, TB(1) = { q1 },si n ≥ 2, soient T1, . . . ,Tk ∈ ∪1≤i≤n−1TB(i) dont la sommedes degrés est n − 1, et considérons les nouveaux arbresB−(T1 . . .Tk ) et B+(T1 . . .Tk ).
Exemples
q1 , qq12 , qq21 , q∨qq 132, q∨qq 2
31, qqq132 , qqq312 , qqq321 , q∨qq 3
21, q∨qq q14
32
, q∨qqq 341
2
, q∨qq q243
1, q∨qqq 3
421
, q∨qq q342
1,
q∨qqq 143
2
, q∨qq q1423
, qqqq1423 , q∨qq q2413
, qqqq1432 , q∨qq q1432
,q∨qq q4132
, qqqq4312 , q∨qq q4231
, qqqq4321 , q∨qq q4321
, qqqq4132 , q∨qqq 431
2
,
q∨qq q4213
, q∨qqq 432
1
, q∨qq q4312
, q∨qq q432
1.
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Algèbres de greffeL’opérade bigreffeThéorème de rigidité
Notons B l’algèbre engendrée par TB, graduée par le nombrede sommets.Proposition
La série formelle FB(x) associée à B est donnée par :
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Définition-PropositionB est une algèbre bigreffe, c’est-à-dire un espace vectoriel Amuni de trois opérations ∗,�,≺: A⊗ A→ A telles que pour toutx , y , z ∈ A :
(x ∗ y) � z = x � (y � z),
(x � y) ∗ z = x � (y ∗ z),
(x ≺ y) ≺ z = x ≺ (y ∗ z),
(x ∗ y) ≺ z = x ∗ (y ≺ z),
(x � y) ≺ z = x � (y ≺ z),
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
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ThéorèmeB est engendrée comme algèbre bigreffe par l’élément q1 .
Remarque : B n’est pas librement engendrée comme algèbrebigreffe par l’élément q1 : par exemple,
q1 ≺ ( q1 ≺ q1 ) = qqq132 = q1 ≺ ( q1 � q1 ).
Nous allons chercher à décrire :l’algèbre bigreffe libre à un générateur.l’opérade bigreffe associée à la notion d’algèbre bigreffe.
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Définition-PropositionL’opérade bigreffe BG est l’opérade binaire, quadratique etrégulière engendrée par trois opérations binaires m,�,≺satisfaisant les relations suivantes :
BBG( q q ⊗ 1) = q∨qq ll BBG( q ⊗ q q) = q qq q@�l r r
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Définition
Soit TBG = ∪n≥1TBG(n) l’ensemble des arbres ∈ HlrNCK défini
récursivement par :si n = 1, TBG(1) = { q},si n ≥ 2, soient T1, . . . ,Tp+q ∈ ∪1≤i≤n−1TBG(n) dont lasomme des degrés est n − 1, et considérons le nouvellearbre BBG(T1 . . .Tp ⊗ Tp+1 . . .Tp+q).
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Théorème(MBG,m,�,≺) est librement engendrée comme algèbrebigreffe par q .La composition ◦ de BG peut se définir récursivement enterme de forêts appartenant à MBG.
ExemplesSoient F1,F2,F3 trois forêts appartenant à MBG.
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Considérons le coproduit de déconcaténation sur HBG : siF ∈ HBG,
∆Ass(F ) =∑
F1F2=F
F1 ⊗ F2.
Proposition-Définition
(MBG,m,�,≺, ∆̃Ass) est une bialgèbre bigreffe infinitésimale,c’est-à-dire une famille (A,m,�,≺, ∆̃Ass) oùm,�,≺: A⊗ A→ A, ∆̃Ass : A→ A⊗ A, avec les relationssuivantes :
(A,m,�,≺) est une algèbre bigreffe.Pour tout x , y ∈ A :
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Proposition-DéfinitionPour toute bialgèbre bigreffe infinitésimale, sa partie primitiveest une L-algèbre, c’est-à-dire une famille (A,�,≺) où�,≺: A⊗ A→ A vérifient la relation suivante : pour toutx , y , z ∈ A,
(x � y) ≺ z = x � (y ≺ z)
En particulier, la partie primitive PBG de MBG est une L-algèbre.Plus précisément,
Théorème(PBG,�,≺) est la L-algèbre librement engendrée par q .
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On a un foncteur naturel (−)L : {BG − alg} → {L − alg}associant à une BG-algèbre (A,m,�,≺) la L-algèbre (A,�,≺).On définit le foncteur adjoint algèbre bigreffe enveloppanteuniverselle UBG(A) d’une L-algèbre (A,�,≺).
Théorème
Étant donné une bialgèbre bigreffe infinitésimale A, lesassertions suivantes sont équivalentes :
A est une bialgèbre bigreffe infinitésimale connexe,A est colibre parmi les coalgèbres connexes,A est isomorphe à UBG(Prim(A)) comme bialgèbre bigreffeinfinitésimale.
En particulier, (voir [Lo])
Théorème(Ass,BG,L) est un bon triplet d’opérades.
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D. Calaque, K. Ebrahimi-Fard, and D. Manchon, Twointeracting Hopf algebras of trees, Advances in Appl. Math.47 (2011), 282-308, arXiv :0806.2238.
A. Connes and D. Kreimer, Hopf algebras, Renormalizationand Noncommutative geometry, Comm. Math. Phys 199(1998), no. 1, 203-242, arXiv :hep-th/98 08042.
Dotsenko V. and Khoroshkin A., Gröbner bases foroperads, Duke Math. J. 153 (2010), no. 2, 363-396.
J. Ecalle and B. Vallet, The arborification-coarborificationtransform : analytic, combinatorial, and algebraic aspects,Ann. Fac. Sc. Toulouse 13 (2004), 4, 575-657.
Ginzburg V. and Kapranov M., Koszul duality for operads,Duke Math. J. 76 (1994), no. 1, 203-272, arXiv :0709.1228.
L. Foissy and J. Unterberger, Ordered forests, permutationsand iterated integrals (2010), arXiv :1004.5208.
Leroux P., L-algebras, triplicial-algebras, within anequivalence of categories motivated by graphs,Communications in Algebra 39 (2008), no. 8, 2661-2689,arXiv :0709.3453.
Loday J.-L., Generalized bialgebras and triples of operads,Société Mathématiques de France, Astérisque (2008), no.320.
Menous F., Random walks on R and ordered trees : Firstapplications (2002), Prépublication d’Orsay no. 2002-11,http ://www.math.u-psud.fr/ biblio/ppo/2002/ppo2002-11.html.