1 Streuung an endlichen Kristallen 3 2 1 3 2 1 3 2 1 , , 3 2 1 1 , , 1 3 2 1 , , 1 3 2 1 3 2 1 2 exp 2 exp 2 exp 2 exp exp 2 n n n N j j j j j n n n N j j j j j n n n N j j j j j Kristall n n w n v n u n i w z v y u x i q f q F w n v n u n w z v y u x i q f q F c n b n a n c z b y a x c w b v a u i q f q F r q i q f q F c w b v a u q c n b n a n c z b y a x r Für (u, v, w) = (h, k, ℓ): 1 2 exp 3 2 1 n k n h n i N j j j j j z ky hx i hk f N N N hk F 1 3 2 1 2 exp
Streuung an endlichen Kristallen. Für (u, v, w) = (h, k, ℓ ):. Streuung an endlichen Kristallen. Formfaktor:. … im Kristall … außerhalb des Kristalls. Streuung an endlichen Kristallen. Konstante (vom Beugungsvektor q unabhängige) Verbreiterung der „Knotenpunkte“ des reziproken Gitters. - PowerPoint PPT Presentation
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Transcript
1
Streuung an endlichen Kristallen
321
321
321
,,321
1
,, 1321
,, 1321
321
2exp2exp
2exp
2exp
exp
2
nnn
N
jjjjj
nnn
N
jjjjj
nnn
N
jjjjj
Kristallnn
wnvnuniwzvyuxiqfqF
wnvnunwzvyuxiqfqF
cnbnanczbyaxcwbvauiqfqF
rqiqfqF
cwbvauq
cnbnanczbyaxr
Für (u, v, w) = (h, k, ℓ):
12exp 321 nknhni
N
jjjjj zkyhxihkfNNNhkF
1321 2exp
2
Streuung an endlichen Kristallen
0
1
2exp12exp321 ,,
3211
r
r
rFTrFTqF
wnvnuniwzvyuxiqfqFnnn
N
jjjjj
Formfaktor:
… im Kristall
… außerhalb des Kristalls
rrFTrFTrFT
3
Streuung an endlichen Kristallen
Konstante (vom Beugungsvektor q unabhängige) Verbreiterung der „Knotenpunkte“ des reziproken Gitters
rFTr
4
Temperaturschwingungen der Atome
F q f iq d d f iqnd iq dn
N
n
N
exp exp exp 1 1
dvonVerteilung
N
nn
N
n
N
n
diqdPiqd
iqNdfdiqiqndfqF
111
expexp1
exp1expexp
Pd
iq d
P iq dd
d d Pd
q d d d Pq
P iq dq
n
N
nn
N
0
2
21
0
2
2 0
2
2 0
2 2
01
2 2
4
14
exp exp
exp exp cos exp
exp exp
Zufällige (nicht korrelierte) Verschiebung der Atome aus ihren Gleichgewichtspositionen
Spezieller Fall – Gaußsche Verteilung mit Halbwertsbreite :
5
Temperaturschwingungen der Atome
0 5 10 15 20 25 300
100
200
300
400
q (A^-1)
Inte
nsity
(a.u
.)
Abnahme der Intensität Fourier Transformation der Verteilung der Atompositionen (der Temperaturschwingungen)
6
Temperaturschwingungen der Atome
R R
I q f iq R f iq R
I q f iq R R
I q f iq R R iq
n n n
m mm
n nn
m nnm
m n m nnm
( ) exp exp
( ) exp
( ) exp exp
2
2
nmmnmnm
nmnm
i
nm
nmnmnm
uuuquuuuq
uuquuiq
i
iuuiqqI
uuquuq
2222221
2221
42412
213
62
21
exp2exp
expexp
11
expexp
sin4
… zufällige Verschiebung der Atome aus den Gleichgewichtspositionen
… diffraktierte Intensität
u … Projektion der atomaren Verschiebung in die Richtung des Beugungsvektors
Symmetrische Schwingungen n = 0 für ungerade n
Dies gilt jedoch nur für harmonische Schwingungen
7
Temperaturschwingungen der Atome
Temperaturschwingungen der Nachbaratome sind unabhängig
m nnm
nm nmnm
nm
RRqifuquqNfI
RRqifuqNfI
nmuu
expexpexp1
expexp
für0
222222
;,
2222
Temperaturschwingungen der Atome: tragen zur Diffusionsstreuung bei (temperature diffuse scattering, TDS) – der
erste Teil der Gleichung für Intensität sind einer der Gründe für die Abnahme der Intensität der Braggschen
Beugungsmaxima bei höheren Beugungswinkeln – der exponentielle Faktor im zweiten Teil der Gleichung
Diffraktierte Intensität
8
Temperaturschwingungen der Atome
m nnm
m nnm
RRqifMMNfIMuq
RRqifuquqNfI
exp2exp2exp12
expexpexp1
2222
222222
9
Temperaturschwingungen der Atome
Experimentelle Daten – Konzentration der Diffusionsstreuung bei den Positionen der ordentlichen Braggschen Maxima
10
Temperaturschwingungen der Atome
m nnm RRqifMMNfI
MBuq
uB
exp2exp2exp1
2sin
2
8
22
2
222
22
exp(-2M) … der Debye-Waller Faktor
uT
m k
x
x
xx
zdz
zx T
a B
x
22
2
0
3 1
4
1
1
( )
( )exp( )
;0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
AgCd
(sin)2
log
(I/I c
alc)
Temperaturabhängigkeit der atomaren Temperaturschwingungen – die Debye Funktion
11
Temperaturschwingungen der Atome
m nnm RRqifBI
expsin
2exp 22
2
Intensität der Beugungsmaxima
DWqfrdrqirpqfqf
rpFTrFTrFT
rprrdrprrr
aVaat
at
Vat
exp
Temperaturschwingungen – Verzerrung der Elektronendichte
12
Temperaturschwingungen der Atome
Isotrope Temperaturfaktoren – sphärische Symmetrie der atomaren Schwingungen
2
222
2
sin8exp
2exp
2exp
2
1
UUqqDW
U
r
Urp
Anisotrope Temperaturfaktoren – Ellipsoid der atomaren Schwingungen