3. Mechanische Eigenschaften von Kristallen 3.1. Elastizität eines Festkörpers Kontinuumsnäherung: Kristall = homogenes, kontinuierliches Medium, λ »a zur Beschreibung von statischen Verschiebungen, Ultraschallwellen Verwendung des Hookeschen Gesetzes für kleine Auslenkungen: - Dehnung: bei Längenänderung ∆l => Dehnung ∆l/l = ε Spannung σ D = F/A (Kraft/Fläche) = E·ε (Hooke) E = linearer Elastizitätsmodul Bsp: Al E = 7,2·10 10 N/m 2 , d.h. für ∆l/l = 0,01 ist σ = 7,2·10 8 N/m 2 nötig! Größtes E für Kohlenstoff-Nanoröhrchen E = 1·10 15 N/m 2 - Querkontraktion bei Dehnung: Poisson-Zahl Al: ν = 0,34 - Volumenänderung bei Dehnung: V = ld 2 für kleine Änderungen: für ∆V > 0, ν < 0,5 l / l d / d ∆ ∆ − = ν ( ) ν − σ = ∆ 2 1 E V V
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3. Mechanische Eigenschaften von Kristallen · 2012-12-10 · 3. Mechanische Eigenschaften von Kristallen 3.1. Elastizität eines Festkörpers Kontinuumsnäherung: Kristall = homogenes,
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3. Mechanische Eigenschaften von Kristallen3.1. Elastizität eines Festkörpers
Cijkl ist Tensor 4. Stufe mit 34 = 81 Komponenten. Da aber σ, ε symmetrisch => Cijkl hat nur maximal 62 = 36 unabhängige Komponenten. Bei Kristallen höherer Symmetrie ist die Zahl der unabhängigen Komponenten viel kleiner: kubisch: 3, hexagonal: 5, tetragonal: 6, orthorhombisch: 9, isotrop: 2
klijklij C ε=σ
Spannung-Dehnungs-Diagramm
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3.2. Gitterschwingungen - Phononen
Wellen in Gittern mit einer Atomsorte
hier: hochsymmetrische Richtungen, z.B. In kubischen Kristall [100], [110], [111]rein transversale und rein longitudinale Wellen
Longitudinalwelle Transversalwelle
Ganze Netzebenen schwingen parallel bzw. senkrecht zu K.
Longitudinaler Fall:
Lösung des Problems einer linearen Kette, bei der Auslenkung der Atome parallel zur Kraft ist (=longitudinal): Entsprechend dem Hookeschen Gesetz wird angenommen, dass die Kraft auf die Ebene s durch Auslenkung der Ebene s+p proportional zum Unterschied der Auslenkungen ist: )uu(CF sps
pps −= +∑ Cp = Kraftkonstante zwischen 2
Ebenen im Abstand p
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2s
2
spsp
p dtudM)uu(C =−+∑Bewegungsgleichung einer Ebene:
M = Masse des Atoms
Lösung in Form von ebenen Wellen:
q = Wellenzahl des Phonons, a = Ebenenabstand
eingesetzt, aus Symmetriegründen ist Cp = C-p
[ ]tqa)ps(i0ps euu ω−+
+ =
( )∑>
−=ω0p
p2 )pqacos(1C
M2
Dispersionsrelation
Spezialfall: nur WW mit nächsten Nachbarn, d.h. p = 1
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−=ω
2qasin2
MC2)qacos(1
MC2 2112
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=ω
2qasin
MC4 1
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1. Brillouin-Zone enthält alle Informationen über die Gitterschwingungen eines Kristalls (alle physikalisch sinnvollen Werte) => q > π/a beschreibt Auslenkung, die bereits durch ein Wellenvektor -π/a ≤ q ≤ π/a beschrieben ist (im realen Raum: Wellen mit λ > 2a)
=> Es kann sich im Kristall keine laufende Welle mit q = ± π/a ausbreiten.
Welle mit qmax = π/a wird Bragg-reflektiert (s. Definition der Brillouin-Zonengrenze) Überlagerung von Welle mit reflektierter Welle ergibt stehende Welle.
Geschwindigkeit elastischer Wellen im Kristall
Phasengeschwindigkeit
Gruppengeschwindigkeit
Atom
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
ω=
ω=
qa21cosa
MC
dqdv
qv
1g
ph
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Gitter mit zwei Atomen in der primitiven Elementarzelle (mit Basis)
Bsp: NaCl, Si, GeNaCl in [111]: Ebenen enthalten jeweils nur eine Atomsorte weitere Annahmen: WW nur zwischen nächsten Nachbarn,
Kraftkonstanten gleich
( )
( )s21s21s22s2
2
2
1s2s22s221s2
2
1
u2uuCdtudM
u2uuCdtudM
−+=
−+=
−+
+++
Bewegungsgleichungen:
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Lösung: Wellen mit verschiedenen Amplituden für M1- und M2 Netzebenen[ ] [ ]tsqa2i
s2tqa)1s2(i
1s2 eueu ω−ω−++ η=ξ=
Einsetzen und Gleichungssystem lösen
2/1
21
22
2121
2
MM)qa(sin4
M1
M1C
M1
M1C
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+±⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=ω
Lösung für kleine q: sin2qa ≈ 0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=ω
21
21 M
1M1C2
weiter entwickeln: sin2qa ≈ qa
22
21
22 aq
MMC2+
=ω
(optischer Zweig)
(akustischer Zweig)
Lösungen für qmax = ± π/2a
2
22
1
2
MC2,
MC2
1=ω=ω
M1 > M2
( )( ) η−+ξ=ηω−
ξ−+η=ξω−−
−
C2eeCMC2eeCM
iqaiqa2
2
iqaiqa1
2
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Allgemein: in N-atomiger Basis gibt es 3 akustische Zweige (2TA+1LA) und (3N-3) optische Zweige ( 2(N-1) TO, (N-1) LO)
Bsp: Auslenkung der Teilchen in den TA und TO Zweigen:
für q = 0 findet man durch Einsetzen , d.h. die Atome schwingen gegeneinander. Bei entgegengesetzter Ladung von M1 und M2 (z.B. NaCl) kann diese Bewegung durch das elektrische Feld einer Lichtwelle angeregt werden => „optischer Zweig“
12 M/M/ −=ηξ
Frequenzlücke für „Energielücke“ => keine oszillatorische Lösung21 M
C2M
C2<ω<
=> nur Lösung, falls q komplex, Welle wird also räumlich gedämpft.
Phononen = quantisierte Gitterschwingungen, harmon. Oszillator mit n = Besetzungszahl
Quasiteilchen (existiert nicht im Vakuum)
)2/1n(E +ω= h
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3.3. Experimentelle Bestimmung von Dispersionskurven: Inelastische Neutronenstreuung
- Wiederholung elastische Streuung: E = E0, |k| = |k0|
GkkK 0
rrrr=−= Bragg
Gr
h = Impuls, der an das Gitter übertragen werden kann
Bragg-Reflex nur, falls GKr
hr
h =
- Inelastische Streuung: E ≠ E0 , Impuls kann nun zum Teil dazu verwendet werden, elastische Wellen anzuregen, oder: Phononen zu erzeugen!
Kr
h
qGk'kK 0rrrrr
±=−=
+ Phonon wird erzeugt - Phonon wird vernichtet
Energieerhaltung:
)q(m2
'km2k:oder
'EE222
02
0
ω±=
ω±=
hhh
h
ω = f(q) Dispersionsrelation
60
Inelastische Neutronenstreuung
- Messgrößen: => ω(q)
z. B. mit Dreiachsspektrometer
'E,E,'k,k 00
rr
- Monochromator: nur n mit E0
- n treffen in bestimmter Richtung auf Probekristall und werden in anderer Richtung beobachtet
- Messung der Energie der gestreuten n mit Analysator
0kr
'kr
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Beispiele: Al (fcc)
=> 1. Brillouinzone bcc
KBr
62
Infrarotabsorption
Betrachtet werden Ionen mit Ladung ±e, Grenzfall q ≈ 0
Das elektrische Feld einer Lichtwelle führt zu erzwungenen Schwingungen => Addition eines Kraftterms ±eE in den Bewegungsgleichungen.
tieE ω−
( )( ) eEC2M
eEC2M2
21
2
−η−ξ=ηω−+ξ−η=ξω− ( ) ( )
22T
222
T
1 EM/e,EM/eω−ω
−=η
ω−ω=ξ
E = Amplitude des elektrischen Feldes am Ort des Ions
und der Grenzwert des optischen Zweigs, µ = reduzierte Masseµ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=ω
C2M1
M1C2
21
2T
Diese Gleichungen beziehen sich auf ein transversales optisches Phonon. Resonanz für ω = ωT !
Polarisation: ergibt eine frequenzabh. Dielektrizitätskonstante
E/Ne)(Ne)ionisch(P 22T
2
ω−ωµ
=η−ξ=
[ ]ωγ−ω−ω∞ε−εω
+∞ε=ωεi
)()0()()( 22T
2T
Beitrag der (Rumpf-) Elektronen bei hohen Frequenzen Dämpfung
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Folge: in einem gewissen Bereich wird die ε negativ => der Brechungsindex n = ε 1/2 wird imaginär
=> es existieren keine oszillatorischen Lösungen der Wellengleichung in diesem Frequenzbereich (≠ verbotenen Frequenzlücke bei Bragg-Reflexion), eine e.m. Welle kann sich nicht im Kristall ausbreiten