Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) Podstawy klasycznej teorii gier Strategie kwantowe w Wojnie plci Kwantowy Paradoks więźnia Strategie kwantowe w teorii gier Adam Wyrzykowski Uniwersytet Jagielloński [email protected]18 stycznia 2015 Adam Wyrzykowski Strategie kwantowe w teorii gier
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Plan prezentacji
1 Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
2 Podstawy klasycznej teorii gierWojna płciDefinicje i pojęciaRównowagi Nasha w Wojnie płci
3 Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowanie Wojny płciKwantowa Wojna płci pod nieobecność splątaniaWpływ splątania na kwantową Wojnę płci
4 Kwantowy Paradoks więźnia
Adam Wyrzykowski Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Zasady gry
Gracze Q i P nie znają bieżącej orientacjimonety ani ruchów przeciwnika.Początkowo moneta jest ustawionareszką do góry. Ruch każdego z graczypolega na odwróceniu monety lubpozostawieniu jej stanu bez zmian.Kolejność ruchów jest następująca:
pierwszy ruch gracza Q,
ruch gracza P,
kończący rozgrywkę ruch gracza Q.
Jeżeli końcowy stan monety to reszka,wygrywa Q, jeżeli orzeł – wygrywa P.
NN NF FN FFN -1 1 1 -1F 1 -1 -1 1
Tabela : Tabela wypłat gracza P
Adam Wyrzykowski Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Kwantowanie gry w odwracanie monety
|ψ >= a|R > +b|O >
aa∗ + bb∗ = 1
|R >↔(
10
)|O >↔
(01
)
Strategie klasyczne
Liniowa kombinacja odwróceniamonety z prawdopodobieństwemp i pozostawienia jej stanu bezzmian z pr-stwem (1− p):
UP = p
(0 11 0
)+(1−p)
(1 00 1
)
Strategie kwantowe
Operacje unitarne:
UQ =
(c dd∗ −c∗
),
gdzie |c|2 + |d |2 = 1.Adam Wyrzykowski Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Przewaga strategii kwantowych
|ψ1 >= UQ |R >= 1√2
(1 11 −1
)(10
)= 1√
2
(11
)= 1√
2(|R > +|O >) (1)
|ψ2 >= UP |ψ1 >= 1√2
(p
(0 11 0
)+ (1− p)
(1 00 1
))(11
)= 1√
2
(11
)(2)
|ψ3 >= UQ |ψ2 >= 1√2
1√2
(1 11 −1
)(11
)=
(10
)= |R > (3)
Adam Wyrzykowski Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Wojna płciDefinicje i pojęciaRównowagi Nasha w Wojnie płci
Wojna płci
Rysunek : Macierz wypłat (źródło obrazka [2]).
α > β > γ
Adam Wyrzykowski Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Wojna płciDefinicje i pojęciaRównowagi Nasha w Wojnie płci
Definicje i pojęcia (cz. 1)
Statyczna gra o pełnej informacji
Każdy z graczy zna dostępne strategie innych i wynikające znich wypłaty, ale poznają wybrane przez nich strategie dopierowraz z końcem gry. Należy określić:
liczbę graczy i = 1, 2, ...,N;
zbiory strategii dla każdego gracza {sαi };funkcje wypłaty $i = $i (s1, s2, ..., sN), które przypisują i−temugraczowi liczbę rzeczywistą (wypłatę) w zależności odstrategii wybranych przez wszystkich graczy.
W przypadku Wojny płci i = 2, zbiór strategii Alicji (Boba) to{O,T}, zaś funkcje wypłaty $1(s1, s2) oraz $2(s1, s2) są określoneprzez macierz wypłaty, np. $1(O,O) = $2(T ,T ) = α.
Adam Wyrzykowski Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Wojna płciDefinicje i pojęciaRównowagi Nasha w Wojnie płci
Definicje i pojęcia (cz. 2)
Mocna dominacja strategii
Strategię i−tego gracza si nazywamy ściśle zdominowaną przezstrategię s̃i , jeżeli:
dla każdego wyboru (s1, ..., si−1, si+1, ..., sN).
Równowaga Nasha
Zespół strategii (s?1 , s?2 , ..., s
?N) stanowi równowagę Nasha, jeżeli dla
każdego gracza i zachodzi:
$i (s?1 , ..., s
?i−1, s
?i , s
?i+1, ..., s
?N) $i (s
?1 , ..., s
?i−1, si , s
?i+1, ..., s
?N)
dla każdej strategii si dostępnej dla i−tego gracza.Adam Wyrzykowski Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Wojna płciDefinicje i pojęciaRównowagi Nasha w Wojnie płci
Definicje i pojęcia (cz. 3)
Strategie mieszane
Strategia mieszana dla i−tego gracza to rozkładprawdopodobieństwa, który przypisuje pr-stwo pαi każdej czystejstrategii sαi ze zbioru strategii i−tego gracza. Wówczas$i (s1, s2, ..., sN) jest zastępowane przez funkcję oczekiwanejwypłaty:
$̄i ({p1}, {p2}, ..., {pN}) =∑
α1,α2,...,αN
pα11 pα2
2 ...pαNN $i (s
α11 , sα2
2 , ..., sαNN )
Adam Wyrzykowski Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Wojna płciDefinicje i pojęciaRównowagi Nasha w Wojnie płci
Równowagi Nasha w Wojnie płci
p−prawdopodobieństwo, że Alicja wybierze operę, p ∈ [0, 1]q−prawdopodobieństwo, że Bob wybierze operę, q ∈ [0, 1]
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Kwantowanie Wojny płciKwantowa Wojna płci pod nieobecność splątaniaWpływ splątania na kwantową Wojnę płci
Kwantowanie gry (cz. 1)
Reguła 1
Przestrzeń strategii Alicji SA (Boba SB) jest dwuwymiarowąprzestrzenią Hilberta:
|ψ >= a|O > +b|T >, |a|2 + |b|2 = 1 .
Na początku gry ustala się dowolny początkowy stan |ψin > zprzestrzeni S = SA ⊗ SB = (|OO >, |OT >, |TO >, |TT >).
Reguła 2
Ruch Alicji (Boba) polega na wykonaniu operacji unitarnej A ∈ SA
(B ∈ SB) na jej (jego) kubicie stanu |ψin >. Końcowy stan wynosi|ψfin >= A⊗ B|ψin >.
Adam Wyrzykowski Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Kwantowanie Wojny płciKwantowa Wojna płci pod nieobecność splątaniaWpływ splątania na kwantową Wojnę płci
Kwantowanie gry (cz. 2)
Reguła 3
Wartości $̄A i $̄B znajduje się obliczając kwadraty modułów rzutówstanu |ψfin > na wektory bazowe |OO >, |OT >, |TO >, |TT >,a następnie dodając uzyskane liczby przemnożone przezodpowiednie współczynniki z macierzy wypłat.
Reguła 4
Ostatecznie Alicja musi zagrać klasyczną strategię, która wynika zpomiaru na końcowym stanie kwantowym, tzn. z rzutowania|ψfin > na wektory bazowe SA. Podobnie Bob.
Adam Wyrzykowski Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Kwantowanie Wojny płciKwantowa Wojna płci pod nieobecność splątaniaWpływ splątania na kwantową Wojnę płci
Równowagi Nasha – faktoryzowalne stany |ψin > (cz. 1)
Skoro |ψin > jest faktoryzowalny, można przyjąć bez stratyogólności |ψin >= |OO >.
W bazie {|O >, |T >} operacje Alicji i Boba mają postać:
A =
(a b−b∗ a∗
)B =
(c d−d∗ c∗
),
gdzie |a|2 + |b|2 = |c |2 + |d |2 = 1.
Stan końcowy wynosi zatem:
|ψfin >= A⊗ B|ψin >=
= ac |OO > −ad∗|OT > −b∗c|TO > +b∗d∗|TT >
Adam Wyrzykowski Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Kwantowanie Wojny płciKwantowa Wojna płci pod nieobecność splątaniaWpływ splątania na kwantową Wojnę płci
Równowagi Nasha – faktoryzowalne stany |ψin > (cz. 2)
2Adam Wyrzykowski Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Paradoks więźnia – klasyczne i kwantowe sformułowanie
Bob: C Bob: DAlice: C (3,3) (0,5)Alice: D (5,0) (1,1)
|ψf >= J†(UA ⊗ UB)J|CC > (9)
U(θ, φ) =
(e iφ cos θ/2 sin θ/2− sin θ/2 e−iφ cos θ/2
)(10)
U(0, 0) = C =
(1 00 1
)U(π, 0) = D =
(0 1−1 0
)U(0, π2
)= Q =
(i 00 −i
)
J = exp[iγD ⊗ D
2
]γ ∈ [0, π/2] – wsp. splątania (11)
Adam Wyrzykowski Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Paradoks więźnia - gra separowalna (γ = 0)
Rysunek : Wypłata Alicji w grze separowalnej. Na wykresie wybrano specjalnąparametryzację, w której UA i UB zależą tylko od jednego parametrut ∈ [−1, 1]: przyjmujemy UA = U(tπ, 0) dla t ∈ [0, 1] oraz UA = U(0,−tπ/2)dla t ∈ [−1, 0) (podobnie dla Boba). Zdrada D odpowiada t = 1, współpraca Cto t = 0, a strategia Q jest reprezentowana przez t = −1 (źródło obrazka [3]).
Adam Wyrzykowski Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Paradoks więźnia - maksymalne splątanie (γ = π/2)
Rysunek : Wypłata Alicji w grze o maksymalnym splątaniu (źródłoobrazka [3]).
Adam Wyrzykowski Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Podsumowanie
Poszerzenie przestrzeni dostępnych strategii o strategiekwantowe może prowadzić do powstawania nowych równowagNasha i znikania dotychczasowych.
Zastosowanie strategii kwantowych może prowadzić dorozwiązań korzystniejszych dla obu graczy, klasycznieniedostępnych.
Szczególną rolę w grach kwantowych spełnia splątanie stanu,na krórym operacje mogą wykonywać gracze.
Gracz dysponujący strategią kwantową grający przeciwkograczowi korzystającemu wyłącznie ze strategii klasycznych naogół będzie posiadać przewagę.
Adam Wyrzykowski Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płciKwantowy Paradoks więźnia
Literatura
[1] David A. Meyer (1999)
Quantum strategies
Physical Review Letters 82 (5), 1052–1055.
[2] L. Marinatto, T. Weber (2000)
A quantum approach to static games of complete information