-
1
Statistinen mekaniikka1 Kevät 2018
Luennoitsija Aleksi Vuorinen ([email protected],
A322)
Assitentti Pyry Wahlman ([email protected], C311)
Yleistä
• Luennot ma 14-16 ja ti 12-14 salissa A315; laskarit pe 10-12
C129 (Exactum)
• Kurssikirjana Arponen & Honkonen, Statistinen fysiikka;
lisäksi prujut nettiin
viikoittain (ennen luentoja)
• Kurssin kotisivut
http://www.courses.physics.helsinki.fi/teor/stamec/ tärkeät:
prujut, laskarit, koeinfo, ajankohtaista tietoa,…
• Laskareita yhteensä 6 kpl. Ilmestyvät nettiin tiistaisin ja
palautetaan
seuraavan viikon tiistaina joko luennolla tai luennoitsijan
postilaatikkoon
(Physicumin 3. kerroksen A-siipi). Käydään läpi perjantain
laskaritilaisuudessa.
• Laskarit eivät pakollisia mutta erittäin suositeltavia: niissä
mennään myös
luentomateriaalin ulkopuolelle ja tämä tulee olemaan osa
koealuetta
• Viimeinen luento ti 27.2. ja viimeiset laskarit pe 2.3.
• Loppukoe ma 5.3. alkavalla viikolla; tarkempi ajankohta,
koealue, jne.
ilmestyvät myöhemmin kurssin kotisivuille
• Suoritus: loppukoe 75% ja laskarit 25%
1 Tämä luentomoniste on kehittynyt vuosien varrella useiden
kurssin luennoitsijoiden toimesta; erityisesti Ismo Napari ja
Joonas Merikanto ovat kirjoittaneet siitä suuren osan.
http://www.courses.physics.helsinki.fi/teor/stamec/
-
2
Mitä statistinen mekaniikka on?
• Tutkii makroskooppisten systeemien ominaisuuksia lähtien
liikkeelle
mikroskooppisesta teoriasta ja karkeistamalla kuvausta. Ison
systeemin
kuvaus mikroteorian vapausastein harvoin mahdollista.
• Yksinkertaistetusti: hiukkastason vuorovaikutukset +
tilastolliset menetelmät
→ termofysiikan fenomenologiset lait (mm. termodynamiikan
pääsäännöt)
• Muodostaa termofysiikan kurssin formaalin pohjan. Yksi
kurssin
päätavoitteista tukea termofysiikan hallintaa ja ymmärrystä.
• Statistisen mekaniikan ja termofysiikan kurssien suurin ero
formalismissa.
Termofysiikka matemaattisesti helppo, mutta kvalitatiivisen
ymmärryksen
tasolla haastava. Statistinen mekaniikka vaatii vähemmän
fysikaalista
intuitiota, mutta enemmän laskemista.
• Pohjatiedot: termofysiikka ja klassinen mekaniikka tärkeitä;
jatkokurssilla
(kvanttistatistiikka) myös kvanttimekaniikka sekä ED.
Matemaattinen koneisto
MAPU:lta ja osin FYMM I:ltä. Puuttuvia taustatietoja mahdollista
kerrata
kurssin aikana.
• Materiaalia 5 op:n kurssille varsin maltillisesti, ja
luentojen sisältöä
mahdollista muokata sen mukaan, mikä tuntuu haastavalta.
Ilmoittakaa
jos/kun jokin epäselvää!
Kurssin alustava sisällys
• Viikot 1-3: klassinen faasiavaruus, tilastollisten joukkojen
(ensemblejen)
teoriaa: mikrokanoninen, kanoninen ja suurkanoninen joukko
• Viikot 4-5: kineettisen teorian perusteet, diffuusio, Vlasovin
ja Boltzmannin
yhtälöt, H-teoreema
• Viikot 6-7: Maxwell-Boltzmann-jakauman johto,
kuljetusilmiöt,
vuorovaikuttavien systeemien perusteet
-
3
KERTAUSTA: LAGRANGEN JA HAMILTONIN FORMALISMI
Konservatiivisten (kokonaisenergian säilyttävien) systeemien
mekaniikkaa voidaan
kuvata Lagrangen tai Hamiltonin formulaatioilla, jotka ovat
yhteneväisiä Newtonin
mekaniikan kanssa.
Systeemille, jota kuvaa N kappaletta koordinaatteja 𝑞𝑖,
Lagrangen funktio L
määritellään
𝐿 = 𝐾 − 𝑈 = ∑1
2𝑚𝑖�̇�𝑖
2 − 𝑈(𝑞1, . . . , 𝑞𝑁),
𝑁
𝑖
missä K on kineettinen energia, U potentiaalienergia, ja qi
yleistettyjä, ajasta
riippuvia koordinaatteja.
Aktiota varioimalla saadaan liikeyhtätöksi tuttu Euler-Lagrangen
yhtälö
𝑑
𝑑𝑡(𝜕𝐿
𝜕�̇�𝑖) −
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖= 0,
joka on täysin yhteneväinen Newtonin 2. lain kanssa:
𝑑
𝑑𝑡(𝜕𝐿
𝜕�̇�𝑖) =
𝑑
𝑑𝑡𝑚𝑖�̇�𝑖 = 𝑚𝑖�̈�𝑖 ,
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖= −
𝜕𝑈
𝜕𝑞𝑖= 𝐹𝑖 .
Hamiltonin formalismiin päästään suorittamalla Legendren
muunnos
𝐻 = ∑𝑝𝑖
𝑁
𝑖
�̇�𝑖 − 𝐿,
jossa 𝑝𝑖 = 𝜕𝐿
𝜕�̇�𝑖= 𝑚𝑖�̇�𝑖 ja jonka myötä funktion 𝐻 luonnollisiksi
muuttujiksi tulevat
𝑞𝑖 ja 𝑝𝑖. Tälle funktiolle saadaan helposti tulos
𝐻 = 𝐾 + 𝑈 = ∑𝑝𝑖
2
2𝑚𝑖+ 𝑈(𝑞1, . . . , 𝑞𝑁).
𝑁
𝑖
Hamiltonin formalismissa liikeyhtälöt saavat muodon
𝑑𝑞𝑖
𝑑𝑡=
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑖 ,
𝑑𝑝𝑖
𝑑𝑡= −
𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑖 ,
-
4
joka nähdään helposti yhtäpitäväksi Lagrangen liikeyhtälöiden
kanssa. Hamiltonin
funktio on kuitenkin määritelty paikka- ja
liikemääräavaruudessa, eli ns.
faasiavaruudessa, joka osoittautuu erittäin hyödylliseksi
työkaluksi statistisessa
fysiikassa. Lagrangen funktio taas sisältää pelkästään
paikka-avaruuden muuttujia.
Muistutus: Legendren muunnos
Mainitsimme yllä, että Hamiltonin ja Lagrangen formalismeja
yhdistää Legendren muunnos, jossa
toinen funktion 𝑓(𝑥, 𝑦) muuttujista vaihdetaan seuraavasti (𝑓:n
muuttujien lukumäärä irrelevantti
tässä; 𝑥:n tilalla voisi olla 0 tai vaikka 5 muuttujaa):
Määritellään ensin uusi muuttuja 𝑧,
𝑧 ≡ 𝑓𝑦 =𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
ja sen avulla uusi funktio 𝑔,
𝑔 ≡ 𝑦𝑓𝑦 − 𝑓 = 𝑦𝑧 − 𝑓.
Funktion 𝑔 infinitesimaalinen muunnos on nyt
𝑑𝑔 = 𝑦𝑑𝑧 + 𝑧𝑑𝑦 − 𝑑𝑓 = 𝑦𝑑𝑧 + 𝑧𝑑𝑦 − 𝑓𝑥𝑑𝑥 − 𝑓𝑦𝑑𝑦 = 𝑦𝑑𝑧 − 𝑓𝑥𝑑𝑥,
joten funktion 𝑔 riippumattomina muuttujina voidaan pitää 𝑥:ää
ja 𝑧:aa, ts. 𝑔 = 𝑔(𝑥, 𝑧). Lisäksi
nähdään suoraan, että 𝑦 = 𝑔𝑧.
Legendren muunnos on usein termodynamiikassakin esiintyvä
muuttujanvaihdos, jonka avulla
siirrytään käyttämään alkuperäisten muuttujien sijasta uutta
muuttujajoukkoa, joka sopii
paremmin tarkasteltavan tapauksen reunaehtoihin.
Takaisin alkuperäiseen funktioon päästään luonnollisestikin
määrittelemällä
𝑓 ≡ 𝑧𝑔𝑧 − 𝑔 = 𝑦𝑧 − 𝑔.
Esimerkki: Johdetaan Lagrangen ja Hamiltonin yhtälöt
2-ulotteiselle heilurille, jossa
paino 𝑚 on jäykän 𝑅-pituisen akselin päässä
R
(x,y)
θ
x
y
g
-
5
Koordinaatin (𝑥, 𝑦) täytyy selvästi toteuttaa ehto √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅.
Jos kirjoitamme
liikeyhtälön pelkässä koordinaatti-avaruudessa, niin tuo ehto
täytyy ottaa
eksplisiittisesti huomioon. Vaihtoehtoisesti voimme kuitenkin
käyttää vain yhtä
muuttujaa 𝜃, mikä onnistuu näppärästi Lagrangen funktion
avulla.
Aloitetaan kirjoittamalla 𝐿(𝜃, �̇�) = 𝐾 − 𝑈. Nyt 𝑥 = 𝑅 sin 𝜃 , 𝑦
= −𝑅 cos 𝜃 ja
𝐾 =1
2𝑚(�̇�2 + �̇�2) =
1
2𝑚(𝑅2 cos2 𝜃 + 𝑅2 sin2 𝜃)�̇�2 =
1
2𝑚𝑅2�̇�2
𝑈 = 𝑚𝑔𝑦 = −𝑚𝑔𝑅 cos 𝜃
⟹ 𝐿(𝜃, �̇�) =1
2𝑚𝑅2�̇�2 + 𝑚𝑔𝑅 cos 𝜃
Euler-Lagrangen yhtälössä
𝑑
𝑑𝑡(𝜕𝐿
𝜕�̇�) −
𝜕𝐿
𝜕𝜃= 0
voidaan nyt identifioida
𝜕𝐿
𝜕�̇�= 𝑚𝑅2�̇� ,
𝜕𝐿
𝜕𝜃= −𝑚𝑅𝑔 sin 𝜃 ,
josta saadaan edelleen helposti liikeyhtälö
𝑑
𝑑𝑡(𝑚𝑅2�̇�) + 𝑚𝑅𝑔 sin 𝜃 = 0
�̈� = −𝑔
𝑅sin 𝜃.
Seuraavaksi kirjoitamme Hamiltonin funktion käyttäen Legendren
muunnosta.
Aloitetaan liikemäärästä (huomaa dimensio!)
𝑝𝜃 ≡𝜕𝐿
𝜕�̇�= 𝑚𝑅2�̇�
josta Hamiltonin funktioksi saadaan
𝐻 = 𝑝𝜃�̇� − 𝐿 = 𝑚𝑅2�̇�2 −
1
2𝑚𝑅2�̇�2 − 𝑚𝑔𝑅 cos 𝜃 =
1
2𝑚𝑅2�̇�2 − 𝑚𝑔𝑅 cos 𝜃
-
6
𝐻(𝜃, 𝑝𝜃) =𝑝𝜃
2
2𝑚𝑅2− 𝑚𝑔𝑅 cos 𝜃.
Tästä on helppo työ johtaa Hamiltonin yhtälöiksi
𝑑𝜃
𝑑𝑡=
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝜃=
𝑝𝜃
𝑚𝑅2 ,
𝑑𝑝𝜃
𝑑𝑡= −
𝜕𝐻
𝜕𝜃= −𝑚𝑔𝑅 sin 𝜃
joiden nähdään olevan yhtäpitäviä Lagrangen liikeyhtälön
kanssa.
-
7
KLASSINEN FAASIAVARUUS (AH 4.1, osin 4.2)
Faasiavaruus
Klassisen N-hiukkassysteemin tilaa d-ulotteisessa avaruudessa
voidaan kuvata ns.
yleistetyillä (paikka)koordinaateilla qi, ja liikemäärillä pi,
missä i=1,2,…,Nd ja d on
avaruuden dimensio.
Faasiavaruus on koordinaattien q=(q1,q2,…,qNd) ja
p=(p1,p2,…,pNd) virittämä 2Nd-
ulotteinen avaruus – siis esim. 2-hiukkassysteemille
3-ulotteisessa tila-avaruudessa
faasiavaruus on 12-ulotteinen.
Faasiavaruuden jokainen piste Π = (q, p) vastaa systeemin yhtä
mikroskooppista
tilaa, mutta makroskooppisen systeemin tarkkaa sijaintia
faasiavaruudessa on
luonnollisesti hyvin vaikea mitata isoilla N:n arvoilla, eikä
tämä olisi yleensä edes
tarkoituksenmukaista.
Systeemin aikakehitystä faasiavaruudessa, Π = Π(t), voidaan
kuvata Hamiltonin
yhtälöillä
𝑑𝑞𝑖𝑑𝑡
=𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑖;
𝑑𝑝𝑖𝑑𝑡
= −𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑖
missä 𝐻 = 𝐻(Π, 𝑡) on Hamiltonin funktio. Kuten yllä näimme, nämä
eivät ole mitään
muuta kuin normaalit liikeyhtälöt kullekin systeemin
hiukkaselle.
Jos Hamiltonin funktio ei riipu ajasta, on systeemin käytös
faasiavaruudessa ajasta
riippumatonta siinä mielessä, että Hamiltonin yhtälöiden
ratkaisut eli faasiradat
(trajektorit) ovat stationaarisia.
Faasiradat
Faasiradoiksi kutsutaan Hamiltonin yhtälön ratkaisuja
faasiavaruudessa. Tietylle
yksittäiselle monihiukkassysteemille nämä radat:
• Eivät voi leikata tosiaan (Hamiltonin yhtälöiden
deterministisyyden nojalla)
• Eivät tyypillisesti ala mistään eivätkä pääty mihinkään, ovat
joko äärettömän
pitkiä tai periodisia
-
8
Tässä kaksi esimerkkiä faasitrajektorien mahdollisista muodoista
kaksiulotteisessa q-
p-avaruudessa. Oikeanpuoleinen tapaus vastaa harmonista
oskillaattoria, jolloin
ellipsiratojen akselit ovat verrannollisia hiukkasen energian
neliöjuureen.
(t) (t)
Jos halutaan seurata jonkin systeemiä kuvaavan faasiavaruuden
sekä ajan funktion
𝐹(Π, 𝑡) = 𝐹(𝑞, 𝑝, 𝑡) aikakehitystä faasiavaruuden mukana
virtaavassa
volyymielementissä (eli suureen fysikaalista aikakehitystä!), on
laskettava
kokonaisaikaderivaatta:
𝑑𝐹
𝑑𝑡=
𝜕𝐹
𝜕𝑡+ ∑(
𝜕𝐹
𝜕𝑞𝑖
𝜕𝑞𝑖𝜕𝑡
+𝜕𝐹
𝜕𝑝𝑖
𝜕𝑝𝑖𝜕𝑡
)
𝑖
=𝜕𝐹
𝜕𝑡+ ∑(
𝜕𝐹
𝜕𝑞𝑖
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑖−
𝜕𝐹
𝜕𝑝𝑖
𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑖)
𝑖
≡𝜕𝐹
𝜕𝑡+ {𝐹,𝐻}
missä {F,H} symbolilla merkitään funktioiden F ja H Poissonin
sulkuja. Huomaa
derivaattojen 𝜕𝐹 𝜕𝑡⁄ ja 𝑑𝐹
𝑑𝑡⁄ ero:
• 𝑑𝐹
𝑑𝑡 kertoo muutoksesta virtauksen mukana kulkevassa
tilavuuselementissä
• 𝜕𝐹
𝜕𝑡 kertoo muutoksesta tietyssä faasiavaruuden pisteessä
Selvästi näistä ensimmäinen on fysikaalisesti
mielenkiintoisempi. Käytännössä
klassisten faasiratojen ratkaisu onnistuu vain
molekyylidynamiikka-simulaatioilla
pienille systeemeille (ja lyhyillä aikaskaaloilla). Tätä
suurempien systeemien
käsittelyssä kannattaa turvautua tilastollisiin menetelmiin,
jotka ovatkin tämän
kurssin pääteema.
-
9
Tilastollinen joukko eli ensemble
Määritellään myöhempiä tarkasteluja varten faasiavaruuden
tilavuusmitta d N:n
identtisen hiukkasen systeemille d-ulotteisessa avaruudessa
𝑑 =1
𝑁!∏
𝑑𝑞𝑖𝑑𝑝𝑖ℎ
,
𝑁𝑑
𝑖=1
missä N! poistaa permutaatiosymmetrian ja h=6,62607 x 10-34 Js
on Planckin vakio.
Se kannattaa sisällyttää d:n määritelmään kahdesta syystä:
• [dq dp]= [h] , joten d on dimensioton luku.
• Kvanttimekaniikan epätarkkuusperiaatteen mukaan tietyn
hiukkasen paikkaa
ja liikemäärää ei voi mitata samanaikaisesti mielivaltaisen
tarkasti. Kun
valitaan normitustekijäksi h, sisältää faasiavaruuden elementti
(dq dp)/h
karkeasti ottaen yhden kvanttitilan ja makroskooppisen
faasiavaruuden osan
tilavuus siten vastaa sen sisältämien kvanttitilojen määrää.
Systeemin makrotilaa kuvaa tyypillisesti muutama observaabeli
(esim. ideaalikaasua
laatikossa P, T, V), mutta yhtä makrotilaa vastaa valtava
(tyypillisesti ääretön) joukko
systeemin mahdollisia mikrotiloja. Näiden mikrotilojen
faasiavaruuden kuvapisteet
{ j} muodostavat kyseistä makrotilaa vastaavan tilastollisen
joukon eli ensemblen.
Jatkuvalla rajalla kuvapisteiden j jakaumasta saadaan
todennäköisyystiheys 𝜚(, t)
tai lyhyemmin 𝜚(), joka oletetaan normitetuksi siten, että
∫𝜚()𝑑𝛤 = 1.
Jos ϱ() tunnetaan, voidaan makrotilaa vastaavat fysikaaliset
suureet laskea
ensembleoletusarvoina
𝑓𝑚𝑎𝑘𝑟𝑜 = < 𝑓 > = ∫𝜚()𝑓()𝑑𝛤.
Jotta tämä määritelmä on järkevä, on kuitenkin vaadittava, että
trajektoreiden kulku
faasiavaruudessa on sellainen, että makrotilan rajoitusten
(esim. annettu
kokonaisenergia) määrittelemissä puitteissa jokainen
faasiavaruuden piste vaeltaa
mielivaltaisen lähellä mitä tahansa muuta faasiavaruuden
pistettä. Tämä on ns.
ergodisuushypoteesi, joka on systeemin itsensä eikä ensemblen
ominaisuus.
-
10
Suureelle 𝑓 voi yleisesti ottaen laskea oletusarvon kahdella
tapaa: ottamalla
keskiarvo faasiavaruuden pisteiden yli tai lähtemällä liikkeelle
mielivaltaisesta
faasiavaruuden pisteestä Π(𝑡 = 0) ja ottamalla aikakeskiarvo
riittävän pitkän
tarkastelujakson yli. Ergodisissa systeemeissä (mielivaltaiselle
tasaiselle funktiolle) f
voidaan näyttää, että raja
𝑓 = lim𝑇→∞
1
𝑇∫ 𝑓((𝑡))𝑑𝑡
𝑇
0
on sama kuin ensemblekeskiarvo < 𝑓 > sellaisissa
ensembleissä, joissa tietty
energiapinta 𝐻() = 𝐸 on tasaisesti edustettu, ts. 𝜚()~𝛿(𝐻() −
𝐸).
Todelliset systeemit ovat yleensä ergodisia; esimerkkejä
epäergodisista systeemeistä
löytyy lähinnä ns. integroituvien (eli analyyttisesti
ratkeavien) systeemien
dynamiikasta. Lisäksi statistisen fysiikan laskuissa vaaditaan
usein systeemin
sekoittuvuutta, millä viitataan siihen, että mielivaltainen
tietyllä energiapinnalla
määritelty todennäköisyystiheys täyttää virtauksen myötä ennen
pitkää tasaisesti
koko energiapinnan. Ns. ergodisuusteoria tutkii virtausta
faasiavaruudessa ja on
läheisessä yhteydessä kaoottisen dynamiikan tutkimukseen (ks. AH
4.2).
Jatkuvuus- ja Liouvillen yhtälöt
Faasiavaruus ei sisällä lähteitä tai nieluja, joissa
todennäköisyyttä syntyisi lisää tai
sitä häviäisi. Siksi todennäköisyys tietyssä trajektoria pitkin
virtaavassa
faasiavaruuden elementissä 0 säilyy, mikä vastaa
identiteettiä
𝑑
𝑑𝑡∫ 𝜚(, t)𝑑 = 0.0(𝑡)
Tarkastellaan lähemmin tämän integraalin muutosta ajassa. Se
koostuu yhtäällä
todennäköisyystiheyden muutoksesta volyymielementin 0 sisällä ja
toisaalta alueen
0 ajallisesta muutoksesta. Virtaus faasiavaruudessa tapahtuu
nopeudella
𝒗 = (�̇�, �̇�) = (𝜕𝐻
𝜕𝑝, −
𝜕𝐻
𝜕𝑞),
-
11
joten ajassa dt tilavuuselementin 0 reunapinnan
infinitesimaalisen pinta-
alaelementin 𝑑𝐴 liike kasvattaa 0:n tilavuutta määrällä �⃑� ∙ 𝑣
𝑑𝑡𝑑𝐴, missä �⃑� on 𝑑𝐴:ta
vastaava pinnan normaalivektori.
𝑛
0 𝑣
dA
Tästä saadaan yo. integraalin aikaderivaataksi
𝑑
𝑑𝑡∫ 𝜚()𝑑 =0
∫𝜕𝜚
𝜕𝑡𝑑+
0
∫𝑑𝐴𝑑𝑡�⃑� ∙ 𝑣
𝑑𝑡𝜕0𝜚
= ∫𝜕𝜚
𝜕𝑡𝑑+
0
∫ 𝑑𝐴�⃑� ∙ 𝑣 𝜕0
𝜚
= ∫ 𝑑 (𝜕𝜚
𝜕𝑡+ ∇ ∙ (ϱ𝑣 )) (Gaussin laista)
0,
minkä siis tiedämme häviävän. Koska tämä pätee kaikille
tilavuuselementeille 0,
tulee integrandin hävitä eli yleisesti päteä jatkuvuusyhtälö
𝜕𝜚
𝜕𝑡+ ∇ ∙ (ϱ𝑣 ) = 0.
Hamiltonin yhtälön avulla saamme toisaalta
∇ ∙ 𝑣 = ∑(𝜕�̇�𝑖𝜕𝑞𝑖
+𝜕�̇�𝑖𝜕𝑝𝑖
) =
𝑖
∑(𝜕
𝜕𝑞𝑖
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑖−
𝜕
𝜕𝑝𝑖
𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑖) = 0,
𝑖
mikä tarkoittaa, että virtaus faasiavaruudessa on
kokoonpuristumatonta.
Sijoittamalla tämä tulos jatkuvuusyhtälöön saadaan edelleen
0 =𝜕𝜚
𝜕𝑡+ ∇ ∙ (ϱ𝑣 ) =
𝜕𝜚
𝜕𝑡+ 𝑣 ∙ ∇ϱ
-
12
=𝜕𝜚
𝜕𝑡+ ∑(�̇�𝑖
𝜕𝜚
𝜕𝑞𝑖+ �̇�𝑖
𝜕𝜚
𝜕𝑝𝑖)
𝑖
.
Kuten viime luvussa totesimme, yo. tulos kertoo, että tutkittu
suure säilyy vakiona
virtauksen mukana kulkevassa tilavuuselementissä,
𝑑
𝑑𝑡𝜚((𝑡), 𝑡) = 0,
mikä siis pätee myös todennäköisyystiheydelle. Tätä tulosta
kutsutaan Liouvillen
lauseeksi, jonka toiseksi muodoksi saadaan Hamiltonin
liikeyhtälöistä
𝑖𝜕𝜚
𝜕𝑡= −𝑖 ∑(�̇�𝑗
𝜕𝜚
𝜕𝑞𝑗+ �̇�𝑗
𝜕𝜚
𝜕𝑝𝑗)
𝑗
= −𝑖 ∑(𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑗
𝜕𝜚
𝜕𝑞𝑗−
𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑗
𝜕𝜚
𝜕𝑝𝑗)
𝑗
= 𝑖 ∑(𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑗
𝜕𝜚
𝜕𝑝𝑗−
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑗
𝜕𝜚
𝜕𝑞𝑗)
𝑗
= 𝑖{𝐻, 𝜚} = 𝐿𝜚,
missä 𝐿 ≡ 𝑖{𝐻, } on ns. Liouvillen operaattori ja {, }
puolestaan jo aiemmin
määritellyt Poissonin sulut (klassisen mekaniikan vastine
kvanttimekaniikan
kommutaattoreille). Saatua yhtälöä kutsutaan Liouvillen
yhtälöksi.
Kaikkiaan on siis nähty, että
• virtaus faasiavaruudessa vastaa kokoonpuristumattoman nesteen
virtausta,
• ensembleä kuvaavan todennäköisyystiheyden arvo pysyy
vakiona
faasiavaruuden virtausta seurattaessa.
Laskuharjoituksissa nähdään lisäksi, että mikäli ensemblen
tiheysfunktio riippuu
faasiavaruudesta vain Hamiltonin funktion kautta, ts. 𝜚(, t) =
𝜚(H(), t), niin
-
13
ensemble on stationaarinen, eli 𝜕𝜚
𝜕𝑡= 0. Tämä on hyvin tyypillinen tilanne niissä
systeemeissä, joita tällä kurssilla tarkastelemme.
Esimerkkitehtävä (AH 4.5): Määrää Hamiltonin virtauksen
trajektorit 2-ulotteisessa
faasiavaruudessa (𝑞, 𝑝) hiukkaselle vakiopainovoimakentässä
𝐻 =𝑝2
2𝑚+ 𝑚𝑔𝑞.
Tutki, miten faasiavaruuden alue, joka hetkellä 𝑡 = 0 on kolmio,
kärkipisteet
(𝑞0, 𝑝0), (𝑞0 + 𝑎, 𝑝0), (𝑞0, 𝑝0 + 𝑏), liikkuu ajan mukana.
Osoita lisäksi, että kolmion
pinta-ala säilyy. Miksi näin on?
Esimerkkitehtävä: Määrää numeerisesti Hamiltonin virtauksen
trajektorit 2-
ulotteisessa faasiavaruudessa (𝑞, 𝑝) aiemmin käsitellylle
heilurille. Näytä, että tällä
kertaa kolmion (tai neliön) pinta-ala ei kuitenkaan säily
faasiavaruuden virtauksessa.
Miksi näin ei käy?