Modul Teori dan Latihan Statistika 2. Ukuran – Ukuran Dalam Statistika 2.1 Ukuran Pemusatan I. Data adalah sesuatu yang dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan atau persoalan. Berdasarkan pengumpulannya, ada dua cara yaitu cara sensus (data populasi, dikenal juga sebagai parameter), dan cara sampling, (data sampel dari suatu populasi dikenal juga sebagai statistik). II. Rata-rata adalah nilai yang mewakili suatu himpunan atau sekelompok data. Nilai rata – rata pada umumnya mempunyai kecenderungan terletak ditengah-tengah dalam suatu kelompok data, yang disusun berdasarkan besar kecilnya nilai. Sehingga sering juga disebut ukuran kecenderungan memusat. III. Jenis rata-rata yang sering dipergunakan adalah rata–rata hitung (arithmetic mean atau mean), median, modus, rata–rata ukur (geometric mean), dan rata–rata harmonis (harmonic mean). IV. Dalam penggunaan yang dimaksud dengan rata–rata adalah rata-rata hitung (kecuali adalah penjelasan lain). Jika kita mempunyai nilai variabel X, sebagai hasil pengamatan atau observasi sebanyak N kali yaitu X 1 , X 2 , …, X i , …, X N , maka – Rata-rata sebenarnya berdasarkan populasi data adalah : , (2. 1) – Rata-rata perkiraan berdasarkan sampel data adalah : . (2. 2) Contoh 1: 1. Hitunglah rata – rata data, 2, 3, 4, 6, 10, 7 Penyelesaian : = (2 + 3 + 4 + 6 + 10 + 7) = 5, 33 2. Diketahui Data, [1] berikut ini : Tabel 1. 1. Harga Eceran Bahan Pokok di Jakarta (dalam Rp/satuan, 1984) Nama Barang Satua n Janu ari Febru ari Mare t Apri l Mei Jun i Jul i Agus t. Sep t Okt Nop Des (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11 (12 (13 (14
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Modul Teori dan Latihan Statistika
2. Ukuran – Ukuran Dalam Statistika
2.1 Ukuran Pemusatan
I. Data adalah sesuatu yang dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan atau persoalan. Berdasarkan pengumpulannya, ada dua cara yaitu cara sensus (data populasi, dikenal juga sebagai parameter), dan cara sampling, (data sampel dari suatu populasi dikenal juga sebagai statistik).
II. Rata-rata adalah nilai yang mewakili suatu himpunan atau sekelompok data. Nilai rata – rata pada umumnya mempunyai kecenderungan terletak ditengah-tengah dalam suatu kelompok data, yang disusun berdasarkan besar kecilnya nilai. Sehingga sering juga disebut ukuran kecenderungan memusat.
III. Jenis rata-rata yang sering dipergunakan adalah rata–rata hitung (arithmetic mean atau mean),
median, modus, rata–rata ukur (geometric mean), dan rata–rata harmonis (harmonic mean).
IV. Dalam penggunaan yang dimaksud dengan rata–rata adalah rata-rata hitung (kecuali adalah penjelasan lain). Jika kita mempunyai nilai variabel X, sebagai hasil pengamatan atau observasi sebanyak N kali yaitu X1, X2, …, Xi, …, XN, maka– Rata-rata sebenarnya berdasarkan populasi data adalah :
, (2. 1)
– Rata-rata perkiraan berdasarkan sampel data adalah :
. (2. 2)
Contoh 1:1. Hitunglah rata – rata data, 2, 3, 4, 6, 10, 7
Penyelesaian :
= (2 + 3 + 4 + 6 + 10 + 7) = 5, 33
2. Diketahui Data, [1] berikut ini :
Tabel 1. 1. Harga Eceran Bahan Pokok di Jakarta (dalam Rp/satuan, 1984)
Nama Barang
Satuan Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agust. Sept Okt Nop Des
VII. Pada Contoh 4, jika ingin dihitung rata – ratanya dapat juga digunakan cara berikut : (cara ini dikenal dengan sistem pengelompokan data).
a. (2. 5)
= =
b.
= =
c.
= =
VIII. Contoh berikut menunjukkan bahwa pengelompokkan data sangat bermanfaat untuk menghitung rata – rata, median maupun modus dari kumpulan data. Contoh 5:Sebuah perusahaan pengepakan barang, mempunyai karyawan 40 orang. Setiap karyawan mempunyai target harian dengan kemampuan mengepak barang sebanyak (dalam dos) sebagai berikut :
Diketahui bahwa : L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat nilai median.c = besarnya kelas interval (selang interval).n = banyaknya data(fi)0= jumlah freukensi dari semua kelas dibawah kelas yang mengandung median.fm = Freukensi dari kelas yang mengandung mediansehingga, L0 = 144,5 (nilai batas bawah).c = (153, 5 – 144,5) = 9.n = 40 (fi)0= f1 + f2 + f3 = 17
fm = 12
Median = 144, 5 + 9 = 147, 01
c. Modus = L0 + c (2. 7)
Diketahui bahwa : L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung Modus.c = besarnya kelas interval (selang interval).n = banyaknya data(f1)0 = selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sebelumnya.(f2)0 = selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sesudahnya.sehingga, L0 = 144,5 (nilai batas bawah).c = (153, 5 – 144,5) = 9.n = 40 (f1)0 = 12 – 9 = 3(f2)0 = 12 – 5 = 7
Median = 144, 5 + 9 = 147, 2
IX. Untuk menghitung rata – rata ukur maka digunakan rumus berikut ini :
X. Untuk rata – rata harmonik digunakan rumus berikut ini
= (2. 9)
Contoh 7: Seorang pedagang batik memperoleh hasil penjualan sebesar Rp. 1.000. 000 per minggu,Minggu pertama : dapat menjual 10 helai seharga Rp. 100. 000/helaiMinggu kedua : dapat menjual 25 helai seharga Rp. 40. 000/helai Minggu ketiga : dapat menjual 20 helai seharga Rp. 50. 000/helai Minggu keempat : dapat menjual 40 helai seharga Rp. 25. 000/helai Berapa harga rata – rata kain tersebut perhelai ?
Penyelesaian :
Untuk menghitung rata – rata harga batik per helai dapat digunakan rumus rata – rata harmonik sebagai berikut :
=
=
=
= 42. 125, 00
5
2. 2 Ukuran Letak
XI. KuartilKuartil adalah suatu cara membagi kelompok data menjadi 4 bagian yang sama.
Q2 = Median
Dapat dirumuskan sebagai berikut :
Qi = nilai yang ke , i = 1, 2, 3 (2. 10)
Contoh 8:Berikut adalah data upah bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah yaitu : 40, 30, 50,65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100. carilah nilai dari Q1, Q2, Q3.
Penyelesaian Data tersebut di atas di urutkan dari yang terkecil ke yang terbesar, menjadi X1= 30, X2 = 35, X3 = 40, X4 = 45, X5 = 50, X6 = 55, X7 = 60, X8 = 65, X9 = 70, X10 = 80, X11 = 85, X12 = 95, X13 = 100.
Q1 = nilai yang ke = =
= nilai ke , berarti rata – rata dari X3 dan X4.
Jadi Q1 = = = 42, 5
Q2 = nilai yang ke = = 7
Jadi Q2 = X7 = 60
Q3 = nilai yang ke = =
= nilai ke , berarti rata – rata dari X10 dan X11.
Jadi Q3 = = = 82, 5
(Catatan : Nilai kuartil ini tidak perlu sama dengan nilai aslinya)
XII. DesilDesil adalah suatu cara, membagi kelompok data menjadi 10 bagian yang sama. Sehingga, yang terjadi adalah urutan data, D1, D2, …, D9.Dengan perumusan sebagai berikut :
Di = nilai yang ke , i = 1, 2, …, 9 (2. 11)
Contoh 9:Berikut adalah data upah bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah yaitu : 40, 30, 50,65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100. carilah nilai dari D1, D2,dan D9.
Persentil adalah suatu cara membagi kelompok data menjadi 100 bagian yang sama. Sehingga, urutan data, menjadi P1, P2, …, P99.Dengan perumusan sebagai berikut :
Pi = nilai yang ke , i = 1, 2, …, 99 (2. 12)
Contoh 10:Berikut adalah data upah bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah yaitu : 40, 30, 50,65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100. carilah nilai dari P1, P10,dan P99.
Untuk membandingkan rumus ini dengan rumus metode pengelompokan maka,
digunakan rumus data berkelompok sebagai berikut :
7
No. Urut
Nilai Kelas
f
12345678910111213
30 35 40 45 50 55 60 65 70 80 85 95100
1111111111111
Jumlah fi = 13
P99 = L0 + c = 99,5 + 1 = 99, 56.
XIV. Kuartil, Desil dan Persentil untuk Data Berkelompok
a. Kuartil
Qi = L0 + c (2. 13)
Diketahui : L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat kuartil ke - i.c = besarnya kelas interval (selang interval).n = banyaknya data(fi)0= jumlah frekuensi dari semua kelas dibawah kelas yang mengandung kuartil ke - i.fq = frekuensi dari kelas yang mengandung kuartil ke - i.i = 1, 2, dan 3.i n = i dikali n .
b. Desil
Di = L0 + c (2. 14)
Diketahui : L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat Desil ke - i.c = besarnya kelas interval (selang interval).n = banyaknya data(fi)0= jumlah frekuensi dari semua kelas dibawah kelas yang mengandung Desil ke - i.fd = frekuensi dari kelas yang mengandung Desil ke - i.i = 1, 2, …, 9.i n = i dikali n .
c. Persentil
8
Diketahui,L0 = Batas bawah terkecil dari kelas yang
mengandung persentil = 99, 5 i = 99 n = 13 c = 1(fi)0 = 12 fp = 13
Pi = L0 + c (2. 15)
Diketahui : L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat Persentil ke - i.c = besarnya kelas interval (selang interval).n = banyaknya data(fi)0= jumlah frekuensi dari semua kelas dibawah kelas yang mengandung Persentil ke - i.fp = frekuensi dari kelas yang mengandung Persentil ke - i.i = 1, 2, …, 99.i n = i dikali n .
Contoh 11:
Berdasarkan data berikut hitunglah, Q1, Q3, D6 dan P50.
Diketahui Q3 berada pada jumlah 75% dari keseluruhan frekuensi terkecil atau frekuensi
yang ke – 75. Sehingga frekuensi itu berada pada f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 57, jadi berada
pada kelas ke – 6, memuat Q3.
(f1)0 = 57, n = 100, fq = 23
Nilai batas bawah dari kelas yang memuat Q3 adalah L0 = 73, 65
9
c = (nilai batas atas kelas ke - i) – (nilai batas bawah kelas ke - i) = 73, 95 – 73, 65 = 0, 3
Q3 = L0 + c
= 73, 65 + 0, 3 = 73, 65 + 0, 23 = 73, 88.
Diketahui D6 berada pada jumlah 60% dari keseluruhan frekuensi terkecil atau frekuensi
yang ke – 60. Sehingga frekuensi itu berada pada f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 57, jadi berada
pada kelas ke – 6, memuat Q3.
(f1)0 = 57, n = 100, fq = 23
Nilai batas bawah dari kelas yang memuat D6 adalah L0 = 73, 65
c = (nilai batas atas kelas ke - i) – (nilai batas bawah kelas ke - i) = 73, 95 – 73, 65 = 0, 3
D6 = L0 + c
= 73, 65 + 0,3 = 73, 65 + 0, 23 = 73, 69.
Diketahui P50 berada pada jumlah 50% dari keseluruhan frekuensi terkecil atau frekuensi
yang ke – 50. Sehingga frekuensi itu berada pada f1 + f2 + f3 + f4 = 30, jadi berada pada
kelas ke – 5, memuat Q3.
(f1)0 = 30, n = 100, fq = 27
Nilai batas bawah dari kelas yang memuat P50 adalah L0 = 73, 35
c = (nilai batas atas kelas ke - i) – (nilai batas bawah kelas ke - i) = 73, 65 – 73, 35 = 0, 3
P50 = L0+c
= 73, 35+ 0,3 = 73, 35 + 0, 22 = 73, 57.
10
2. 3 Ukuran Variasi Atau Dispersi
Berikut contoh yang mengambarkan 3 kelompok data dengan variasi cukup beraneka ragam (lihat hal.120.[1]):(1) 50 50 50 50 50 Rata – rata hitung = 50(2) 50 40 30 60 70 Rata – rata hitung = 50(3) 100 40 80 20 10 Rata – rata hitung = 50
XV. Nilai Jarak (rentang), Rata – Rata Simpangan, Simpangan Baku dan Koefisisen Variasi
a. Nilai Jarak (Rentang)Nilai Jarak adalah nilai data kelompok setelah disusun menurut ukuran terkecil sampai terbesar (data maksimum dikurangi nilai data minimum).
Nilai Jarak = Nilai Maksimum – Nilai Minimum (2. 16)
Contoh 12 : Carilah jarak dari data berikut : (a). 50 60 30 40 70
(b). 100 40 80 20 10 Penyelesaian :(a). Disusun terurut dari yang terkecil ke yang terbesar, X1= 30, X2 = 40, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 70
Jadi variansi gaji guru honor adalah : 2 = 184, 42
d. Bilangan Baku
Variabel X, mempunyai rata – rata dan simpangan baku .
, adalah nilai baku dari Xi.
Z = , adalah nilai simpangan (deviasi) yang dibakukan atau distandarisasi.
Contoh 16 :
Diketahui data umur anak (dalam tahun) yang mengalami kekerasan dalam rumah tangga sebagai berikut :X1= 2, X2 = 8, X3 = 10, X4 = 4, X5 = 1 (N = 5)
i. Hitunglah , , dan
ii. Jika Zi = , Hitunglah Zi, i= 1, 2, …, 5.
iii. Hitunglah z, dan z
Penyelesaian :
i. = = = = = 5
18
= = = 3, 46
= = 0, 577, = = 2, 312, = 2, 89, = 1, 156
dan = 0, 289
ii. Zi = Z1 = = – 0,86, Z2 = = 0,86,
Z3 = 1, 445, Z4 = – 0, 289 dan Z5 = –1 ,156
iii. z = = = = 0
Rata – rata simpangan yang dibakukan adalah 0
z =
=
= = 1
Simpangan bakunya adalah 1, sehingga N (0, 1)
e. Koefisien Variansi
Koefisien variansi adalah nilai perbandingan dua kelompok data yang bebas dari satuan
data asli.
Dirumuskan sebagai :
KV = , untuk Populasi
Kv = , untuk Sampel.
Dua kelompok data dengan KV1 > KV2 maka, kelompok pertama lebih bervariasi atau
lebih heterogen dari pada kelompok dua.
19
2. 4 Latihan Soal :
1. Diketahui 30 orang ibu rumah tangga, ditanya tentang pengeluaran sebulan (dalam ribuan rupiah) untuk keperluan hidup sehari – hari. Hasilnya sebagai berikut :
a). Buatlah Tabel Frekuensi ?b). Gambar grafik histogramnya ?c). Hitunglah rata – rata pengeluaran ibu rumah tangga itu perkeluarga tersebut ?d). Berapa besar mediannya ?e). Berapa besar modusnya ?
2. Hitunglah rata – rata ukur (geometrik mean) dari data berikut :107, 132, 120, 110, 130, 126, 116, 123.
3. Dengan menggunakan rumus :
, i = 1, 2, …, k dimana, k = banyaknya kelas
Mi = nilai tengah kelas ke – iHitunglah rata – rata dari data berikut :
Konsumsi beras selama satu bulan dari 75 Rumah Tangga,
Konsumsi Beras (Kg) Banyaknya Keluarga(1) (2)
5 – 2425 – 4445 – 6465 – 84
85 – 104105 – 124125 – 144145 – 164
46142314572
4. Dari nomor 3, hitunglah median dan Modus konsumsi beras dengan menggunakan rumus :
Med = L0 + c dan Mod = L0 + c
5. Diketahui hasil ujian dari 120 mahasiswa FE. UT :
a). Hitunglah kuartil pertama, ketiga, (Q1 dan Q3) b). Hitunglah desil pertama, kelima dan ketujuh (D1, D5 dan D7)
20
c). Hitunglah persentil pertama, keduapuluh lima, kelima puluh, dan ketujuh puluh lima (P1, P25, P50, dan P75)
6. Dari Data Nomor 1, a). Hitunglah nilai jarak (range) = NJb). Hitunglah rata – rata simpangan = RS. Anggap sebagai sampel n = 30.c). Hitunglah simpangan baku perkiraan, dengan rumus :
S = dan
d). Hitung koefisien variasi kv =
7. Dari data nomor 5,
Hitung S = c
8. Prosentase penduduk berumur 10 tahun keatas yang bekerja menurut jam kerja selama seminggu.
Jam Kerja Prosentase0 – 9
10 – 1920 – 2930 – 3940 – 4950 – 5960 – 69
26222723155
a). Buat grafiknyab). Cari rata – rata, median, dan modus jam kerjanyac). Hitung Kuartil kedua, Desil kelima dan Persentil kelima puluhd). Hitunglah Simpangan Bakunya e). Hitunglah Koefisien Variasinya
9. Nilai hasil ujian Matematika SMU Raksa Maju kelas 1dikelompokkan sebagai berikut :
Kelas Nilai f30 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 99
25815201610
a). Cari rata – rata, median, dan modus.c). Hitung Kuartil ketiga, Desil ketujuh dan Persentil kelima limad). Hitunglah Simpangan Bakunya e). Hitunglah Koefisien Variasinya
21
17.5 23.5 29.5 35.5 41.5 47.50
1
2
3
4
5
6
7
Penyelesaian :1. Diketahui :
Setelah data disusun maka : Banyaknya data (n) = 30 Data tertinggi (Xn) = 50 Data terrendah (X1) = 15 Banyaknya kelas (k) = 1 + 3, 322 log n = 1 + 3, 322 log 30 = 5, 907 6.
Lebar kelas atau Selang (c) = = = 5, 833 6
a. Tabel Frekuensi Data 30 orang Orang ibu Rumah Tangga :
KelasLebarKelas
Nilai Tengah(Xt)
Sistem Tally f
123456
15 – 2021 – 2627 – 3233 – 3839 – 4445 – 50
17,523,529,535,541,547,5
IIII IIIII III IIII I IIII IIII I
643656
Jumlah 30
b. Grafik Histogramnya
c. Rata – rata pengeluaran ibu rumah tangga
- = = 32, 9.
Menggunakan Kalkulator : Pilih, Shift Mode (Pilih 3) Membersihkan Layar Kalkulator Tekan, Mode 2x (Pilih 1) SD (Standard Deviasi) untuk Statitika satu variabel. Input data : 30 DT (tekan M+), 40 DT, 35 DT, …, 40 DT. Untuk mengecek Banyaknya Data (n), Tekan Shift S-Sum (atau tekan angka 1) Pilih Nomor
3 dan tekan tanda ”=”.
22
Untuk mengecek Rata – rata , Tekan Shift S-Var (atau tekan angka 2) Pilih Nomor 1 dan tekan tanda ”=”.
Jadi Rata – rata pengeluaran ibu rumah tangga itu = 32, 9.- Rata – rata pengeluaran itu, dapat juga dicari dengan menggunakan rumus :
= = 33, 1 (lihat perhitungan menggunakan tabel) :
d. Besar Median dapat dicari dengan menggunakan rumus (lihat Tabel) :
Med = L0 + c
Diketahui,- n = 30 {banyaknya data (f)}- L0 = 32, 5 (Batas bawah terkecil)
- fi = (jumlah frekuensi sebelum median)- fm = 16 (frekuensi median berada)- c = 6 (lebar selang data = 21 – 15 = 6)
- Med = 32, 5 + 6 = 34. 5
e. Besar Modus dapat dicari dengan menggunakan rumus (lihat Tabel) :
- Pertama yang harus dilakukan adalah mengecek keberadaan kuartil yang akan dicari, dengan membagi empat bagian jumlah data, misalkan yang akan dicari adalah Kaurtil ke – 1, maka
, berarti data ada pada frekuensi sama dengan 30.
- L0 = 39, 5 (batas bawah kuartil yang ditaksir/diperkiran)- c = 10 (selang interval = 40 – 30 = 50 – 40 = … = 90 – 80)- i = 1- n = 120- fi = 9- fq = 32
Q1 = 39, 5 + 10 = 46, 062.
Kuartil ke – 3 :
25
Q1
Q3
- Pengecekan dimulai keberadaan Kaurtil ke – 3, dengan , berarti data ada pada
frekuensi sekitar 90.- L0 = 49, 5 (batas bawah kuartil yang ditaksir/diperkiran)- c = 10 (selang interval = 40 – 30 = 50 – 40 = … = 90 – 80)- i = 1- n = 120- fi = 41- fq = 43
Q3 = 49, 5 + 10 = 60, 895
b. Diketahui Rumus Desil :
Di = L0 + c
- Pertama yang harus dilakukan adalah mengecek keberadaan Desil yang akan dicari, dengan membagi sepuluh bagian jumlah data, misalkan yang akan dicari adalah Desil ke – 1,
maka , berarti data ada pada frekuensi sama dengan 12 atau dekat dengan 12 .