Probabilitati si Statistica in Inginerie
Elemente de teoria probabilitatilor
Elemente de teoria probabilitatilor
Capitolul 1
Elemente de teoria probabilitatilor
1.Fenomene aleatoare
1.1 Exemple de fenomene aleatoare
In cursul activitatii sale practice omul se loveste la fiecare
pas de fenomene aleatoare. Exemplul cel mai simplu de fenomene
aleatoare este dat de erorile de masura. Noi stim ca nu exista
masurari absolut precise si cu cat instrumentul de masura este mai
precis cu atat acesta este mai sensibil. Masurand acelasi obiect de
mai multe ori obtinem mereu rezultate apropiate, dar diferite. Asa
se explica faptul ca rezultatul fiecarei masurari contine o eroare
aleatoare si ca rezultatele diferitelor masurari contin diferite
erori. In principiu, este imposibil de prevazut care va fi eroarea
in cursul unei masurari concrete si chiar de determinat dupa
masurare. Efectuand studiul experimental al unui fenomen oarecare
si sistematizand rezultatele sub forma de dependente grafice,
verificam faptul ca punctele experimentale, daca sunt suficient de
numeroase, nu sunt niciodata pe o aceiasi curba dar se situeaza
intr-o banda sigura. Aceasta dispersie se explica tot asa de bine
prin erorile de masurare cat si prin actiunea altor factori
perturbatori.
1.2 Obiectul teoriei probabilitatilor
Studiul legilor ce modeleaza fenomenele aleatoare de masa este
realizat de teoria probabilitatilor. Metodele teoriei
probabilitatilor dau posibilitatea de a efectua calcule si permit
formularea concluziilor practice determinate de studiul fenomenelor
aleatoare. Teoria probabilitatilor, ca toate stiintele aplicate,
are nevoie pentru modelare, de date experimentale sigure.
Capitolul, din teoria probabilitatilor, care studiaza metodele de
tratare a rezultatelor experimentelor si de extragere a datelor
este numit statistica matematica.
Teoria probabilitatilor este un puternic instrument de
cercetare, deoarece ea se utilizeaza in multe aplicatii din domenii
foarte variate ale stiintei si practicii ingineresti. Domeniul sau
de aplicare se largeste continuu. Teoria probabilitatilor a patruns
in aerodinamica si in hidrotehnica, in radiotehnica, in teoria
gestiunii, in teoria telecomunicatiilor, in mecanica
constructiilor, in teoria mecanismelor si masinilor, in teoria
valurilor si ruliului naval, in meteorologie, in fiabilitate si in
numeroase alte domenii de cunoastere. Este dificil astazi sa
numesti o ramura a stiintei, unde nu se utilizeaza metode
probabilistice. In teoria moderna a proceselor de control, in
radiotehnica teoria probabilitatilor a devenit principalul
instrument de cercetare. Teoria sistemelor complexe moderne si a
proceselor de control este bazata pe aplicarea metodelor
statistice. Teoria probabilitatilor este fundamentala in domeniul
fiabilitatii sistemelor tehnice precum si in numeroase alte domenii
stiintifice.
1.3 Notiuni fundamentale
Definitie: numim experiment observarea unui fenomen oarecare in
cursul realizarii unui anumit complex de conditii si actiuni care
trebuie sa fie riguros verificate de fiecare data cand are loc
repetarea experientei.
Observarea aceluiasi fenomen in prezenta altui complex de
conditii si actiuni va fi un alt experiment. Rezultatele
experimentului pot fi caracterizate calitativ si cantitativ.
Componenta calitativa a rezultatelor unui experiment se reduce la a
observa daca rezultatele experimentului poseda sau nu o anumita
proprietate.
Definitie: numim eveniment rezultatul calitativ al unui
experiment.
Se spune ca "evenimentul a avut loc" sau "evenimentul nu a avut
loc" in urma experimentului. Se pot enumera urmatoarele exemple de
evenimente:
A-formarea unui arc electric la intreruperea unui circuit;
B-aparitia unui defect dupa un anumit timp de functionare;
C-arderea unui bec la alimentare cu tensiune nominala;
Evenimentele vor fi notate cu majuscule latine, de obicei cu
primele litere din alfabet, de exemplu: A, B, C. Daca se analizeaza
evenimentele mentionate, se constata ca fiecare se poate realiza
intr-o masura diferita. Evenimentul C este mai putin probabil sa se
produca decat evenimentul A sau B.
Definitie: - evenimentul care nu poate avea loc in cursul
experimentului este numit imposibil si este notat cu ;
- evenimentul care se produce in mod obligatoriu in cursul
experimentului este numit sigur si este notat cu .
Definitie: evenimentele ,,, sunt incompatibile, in cursul unui
experiment dat, daca doua cate doua nu poate fi realizate
simultan.
De exemplu, evenimentele: "tinta atinsa" si "tinta ratata" la un
tir, sau "a obtine 1", "a obtine 2" si "a obtine 3" la aruncarea
unui zar, nu pot fi realizate simultan.
Doua evenimente care sunt incompatibile in cursul unui
experiment se pot dovedi compatibile in cursul altui experiment. De
exemplu, evenimentele "tinta atinsa" si "tinta ratata" sunt
incompatibile la un singur tir. Ele insa sunt compatibile daca
experimentul se compune din doua tiruri.
Rezultatul cantitativ al experimentului consta in determinarea
valorilor anumitor marimi obtinute in urma acestui experiment.
Aceste marimi pot lua in cursul experimentului diverse valori care
inaintea experimentului nu pot fi prevazute.
Definitie: numim variabila aleatoare rezultatul cantitativ al
unui experiment.
Exemple de variabile aleatoare pot fi: erorile si rezultatele
masurarilor, durata de functionare fara defectiune a unui
instrument sau dispozitiv, inaltimea si greutatea unei persoane
aleasa la intamplare, coordonatele punctului de impact la un tir,
de cate ori se atinge tinta in cursul a "n" tiruri.
Variabilele aleatoare se noteaza cu litere mari, in general cu
ultimele litere din alfabetul latin, iar valorile lor concrete cu
literele mici corespunzatoare. De exemplu, notam variabilele
aleatoare cu X, Y, Z si valorile lor concrete, obtinute in urma
experimentului respectiv, cu x, y, z. Aceste valori sunt numite
valorile posibile sau realizarile variabilelor X, Y, Z.
1.4 Spatiul evenimentelor elementare
Un eveniment elementar "" reprezinta o multime formata dintr-un
singur element (singleton)Definitie: multimea tuturor evenimentelor
elementare, asociata unui experiment dat, este numita spatiul
evenimentelor elementare sau spatiul fundamental si este notata de
obicei .
Un element "" din multimea , reprezentand un punct al spatiului
, este numit un rezultat al experimentului sau o incercare.
Fiecare eveniment reprezinta un anumit ansamblu de evenimente
elementare. Evenimentul sigur reprezinta multimea tuturor
evenimentelor elementare. Evenimentul imposibil reprezinta multimea
vida.
Exemplu
1)Spatiul fundamental al jocului "cap sau pajura" este = {C,
P};
2)Spatiul fundamental al jocului "cap sau pajura" repetat de
trei ori este: = {, , , , , , , }, cu
= (C, C, C), = (C, C, P), = (C, P, C), = (P, C, C)
= (C, P, P), = (P, C, P), = (P, P, C), = (P, P, P).
3)Spatiul fundamental al jocului "cap sau pajura" repetat la
infinit este =.
4)Spatiul fundamental al unei experiente aleatoare, de exemplu:
"durata de viata a unui aparat", este fie: = N (in timp discret:
zile, luni, etc.), fie = R+ (in timp continuu).
2. Operatii cu evenimente
2.1 Reuniunea a doua evenimente
Definitie: se numeste reuniune sau suma a doua evenimente A si
B, evenimentul complex corespunzator aparitiei cel putin a unuia
din evenimentele A si B.
Reuniunea a doua evenimente A si B este notata AUB sau AVB.
Pentru doua evenimente incompatibile A si B se utilizeaza notatia A
+ B. Reuniunea evenimentelor A si B este exprimata "A sau B".
Pentru toate perechile de evenimente A si B, realizarea unuia
sau a altuia dar nu a ambelor se numeste operatia de reuniune
exclusiva. Ea este notata AB.
Exemplu
In exemplul 2 din paragraful precedent se considera urmatoarele
evenimente:
A: Sa obtinem "cap" de cel putin doua ori; A este descris de
multimea
{, , , };
B: Sa obtinem de trei ori "pajura"; B este descris de un singur
element {}. Atunci A(B = {, , , ,}2.2 Intersectia a doua
evenimente
Definitie: se numeste intersectie sau produs a doua evenimente A
si B realizarea lor simultana. Intersectia evenimentelor A si B
este notata AB sau AB sau succint AB. Intersectia evenimentelor A
si B este exprimata "A si B".
Exemplu
In exemplul precedent intersectia evenimentelor A si B este
vida. Ecuatia: AB = semnifica faptul ca evenimentele A si B sunt
incompatibile (sau ca multimile A si B sunt disjuncte).
2.3 Reuniunea si intersectia unui numar
oarecare de evenimente
Definitie: se numeste reuniune sau suma a multimii evenimentelor
, s(S, notata
sau (pentru evenimentele incompatibile),
realizarea cel putin a unuia dintre evenimentele , s(S .
Definitie: se numeste intersectie (sau produs) a multimii
evenimentelor , s(S, notata
,
realizarea simultana a tuturor acestor evenimente.
In aceste definitii, multimea S multimea valorilor indicilor s
este finita, numarabila sau nenumarabila.
Operatiile de reuniune si de intersectie a evenimentelor, poseda
proprietati analoage celor de adunare si de inmultire a numerelor.
De exemplu:
reuniunea si intersectia evenimentelor sunt comutative:
A U B = B U A, AB = BA . (1.1)
reuniunea si intersectia evenimentelor sunt asociative:
(A U B ) U C = A U (B U C) = (A U C) U B = A U B U C,
(AB) C = A (BC) = (AC) B = ABC . (1.2)
reuniunea si intersectia evenimentelor sunt distributive:
( A U B ) C = AC U BC . (1.3)
Toate aceste proprietati rezulta direct din definitiile
operatiilor de reuniune si de intersectie a evenimentelor. Astfel,
(A U B)C reprezinta realizarea intersectiei evenimentului C cu
evenimentul A, sau cu evenimentul B. Evenimentul (AC) U (BC)
corespunde realizarii sau a lui C cu A, sau a lui C cu B.
Proprietatile operatiilor de adunare si inmultire a numerelor nu
sunt intotdeauna valabile pentru reuniunea si intersectia
evenimentelor. De exemplu, evenimentele A U A si AA coincid in mod
evident cu A. In consecinta, A U A = AA = A pentru orice eveniment
A.
2.4 Diferenta a doua evenimente
Definitie: se numeste diferenta a doua evenimente A si B
realizarea evenimentului A si nerealizarea evenimentului B.
Diferenta evenimentelor A si B este notata A - B si este egala cu
intersectia .
2.5 Evenimente contrare
Definitie: numim eveniment contrar evenimentului A, si il notam
, nerealizarea evenimentului A. Acesta este realizat cand A nu este
realizat. Se vede usor ca evenimentul A este contrar evenimentului
.
. (1.4)
Este evident ca evenimentele contrare sunt incompatibile si ca
reuniunea lor reprezinta un eveniment sigur:
. (1.5)
Este clar ca:
A U ( = A, A( = (, A U ( = (, A( = A . (1.6)
Exemplu
1)Evenimentele "tinta atinsa" si "tinta ratata" in timpul unui
tir sunt evenimente contrare;
2)Pana unui dispozitiv intr-un interval de timp dat si buna sa
functionare in cursul aceluiasi interval de timp sunt evenimente
contrare.
2.6 Implicatia
Cand evenimentul A nu poate fi realizat fara ca evenimentul B sa
fie realizat de asemenea, atunci spunem ca evenimentul A implica
evenimentul B si se noteaza A(B.
2.7 Proprietatile operatiilor cu evenimente
1) Se vede usor ca pentru doua evenimente oarecare A si B,
evenimentul U este contrar evenimentului AB.
. (1.7)
Intr-adevar evenimentul U este realizarea cel putin a unuia
dintre evenimentele , ceea ce este echivalent cu nerealizarea lui
AB. In general, pentru multimea de evenimente , s(S, avem:
. (1.8)
2) Evenimentul reprezinta realizarea lui si , adica contrariul
realizarii a cel putin unuia din evenimentele A sau B:
. (1.9)
In general pentru orice multime de evenimente , s(S, avem:
. (1.10)
Ultimele patru formule exprima principiul dualitatii: operatiile
de reuniune si de intersectie sunt interschimbabile cand se trece
la evenimente contrare (relatiile lui De Morgan).
3) Formula care exprima descompunerea oricarui eveniment A in
doua evenimente incompatibile este:
. (1.11)
4) Daca evenimentul A implica evenimentul B si de asemenea
evenimentul B implica evenimentul A atunci ele sunt numite
echivalente:
B ( A si A ( B ( A = B . (1.12)
5) Daca B(A, atunci:
AB = B , (1.13)
A U B = A (1.14)
si formula (1.11) se scrie
. (1.15)
3. Probabilitate
3.1Frecventa unui eveniment. Frecventa conditionataDaca in
timpul repetarii unui experiment, un eveniment se produce mai
frecvent decat altul, putem spune ca primul este mai probabil decat
al doilea. Pentru compararea evenimentelor este necesar sa
presupunem ca experimentul dat poate fi repetat la nesfarsit.
Definitie: numim frecventa unui eveniment raportul dintre
numarul realizarilor sale si numarul tuturor experimentelor
efectuate.
Astfel, daca in cursul a "n" experimente, evenimentul A a fost
realizat de "m" ori, atunci frecventa sa in aceasta serie de
experimente este de "m/n".
In anumite cazuri frecventa unui eveniment trebuie sa fie
determinata in prezenta unei conditii complementare, conform careia
a avut loc un alt eveniment. Pentru determinarea frecventei
evenimentului A, in conditia in care a fost realizat evenimentul B,
nu trebuie sa se tina cont de toate experimentele realizate, ci
numai de cele in cursul carora evenimentul B a avut loc.
Astfel, daca in cursul a "n" experimente realizate, evenimentul
B a aparut de "m" ori si daca pentru "k" din "m" experimente a fost
realizat evenimentul A, atunci frecventa evenimentului A, cu
conditia ca evenimentul B sa fie realizat, este egala cu raportul
"k/m".
Definitie: frecventa evenimentului A, calculata tinand cont de
experimentele in cursul carora s-a realizat evenimentul B, se
numeste frecventa conditionata a evenimentului A in raport cu
evenimentul B.
Dupa ce s-au dat definitiile corespunzatoare, se poate trece la
studiul principalelor proprietati ale frecventei evenimentelor.
1. Frecventa oricarui eveniment A este un numar pozitiv care nu
depaseste 1, frecventa unui eveniment imposibil este egala cu 0,
iar frecventa unui eveniment sigur este egala cu 1.
,
f(() = 0, f(() =1;
2. Frecventa de aparitie a evenimentelor incompatibile A, B este
egala cu suma frecventelor lor.
3. Frecventa de realizare simultana a doua evenimente A si B
este egala cu frecventa unuia dintre ele multiplicata cu frecventa
conditionata a celuilalt.
f(A(B) = f(A)(f(B(A)
Notiunea de frecventa este utilizata foarte des pentru
reprezentarea distributiei unor rezultate experimentale,
realizandu-se histograma experimentului (fig.1.1). In acest scop se
imparte domeniul valorilor obtinute in cadrul experimentului in
intervale de lungime egala si se calculeaza frecventa de aparitie a
valorilor experimentale din fiecare interval.
Fig.1.1 Histograma unui experiment.
3.2Camp de evenimente
Definitie: totalitatea evenimentelor asociate unui experiment,
pentru care sunt definite probabilitatile corespunzatoare, este
denumit camp de evenimente si este notat cu F.
Campul de evenimente F trebuie sa aiba proprietati bine
definite.
Proprietati:
1) Daca probabilitatea este definita pentru un eveniment A,
atunci este definita si pentru evenimentul contrar . Putem spune
ca:
daca A(F atunci (F
2) Daca probabilitatea este definita pentru evenimentele A si B,
aceasta este definita si pentru produsul evenimentelor AB. Aceasta
inseamna ca multimea F trebuie sa contina pe langa fiecare cuplu de
evenimente A si B si intersectia lor AB. Putem spune ca:
daca A, B(F, atunci AB(F
Campul de evenimente F care are cele doua proprietati enumerate
mai sus este o algebra de evenimente.
Exista si alte proprietati ale campului de evenimente ce decurg
din definitia sa ca algebra de evenimente.
Proprietati:
a) Presupunem ca A si B sunt doua evenimente oarecare care
apartin unui camp. Prin definitie, cele doua evenimente contrare si
si intersectia lor, apartin campului F. Atunci si evenimentul
EMBED Equation.3 contrar evenimentului apartine de asemenea
campului F. Conform principiului dualitatii, evenimentul contrar
intersectiei coincide cu reuniunea evenimentelor contrare
evenimentelor si , adica cu evenimentul A U B. In consecinta,
daca A,B(F, atunci A U B(F.
b) Pentru toate evenimentele A(F avem (F. Din aceasta
proprietate rezulta ca un camp de evenimente F contine evenimentul
sigur :
= A U (F
c) In virtutea proprietatii de asociativitate a operatiilor de
intersectie si de reuniune a evenimentelor, campul de evenimente F
contine toate reuniunile si intersectiile finite ale evenimentelor
care il compun.
d) Campul F contine evenimentul imposibil ca eveniment contrar
evenimentului sigur .
e) Un camp de evenimente F trebuie sa contina nu numai
reuniunile finite ale evenimentelor care il compun dar, de
asemenea, si reuniunile infinite. Astfel putem spune ca:
F dacaAk ( F ( k = 1, 2, . . . ).
O algebra de evenimente care poseda si proprietatile a) ( e)
este numita o - algebra sau un camp borelian de evenimente.
Este evident ca o - algebra contine de asemenea toate
intersectiile in numar infinite ale evenimentelor care o compun.
Aceasta decurge direct din principiul de dualitate pentru cazul
unei multimi infinite de evenimente.
3.3 Axiomele teoriei probabilitatilor
Am facut cunostinta cu notiunea de frecventa a unui eveniment.
Tocmai de aceea este normal sa ne imaginam ca probabilitatile
trebuie sa aiba toate proprietatile frecventelor conform definitiei
lor. Pentru probabilitati, aceste proprietati nu pot fi demonstrate
pe un caz general. Tocmai de aceea principalele proprietati ale
probabilitatilor trebuie adoptate in calitate de axiome.
Definitie: O probabilitate P este o aplicatie P: F[0,1] care
verifica axiomele urmatoare:
Axioma 1: Pentru toate evenimentele A(F:
P(A) ( 0. (1.16)
Axioma 2: Probabilitatea evenimentului sigur este egala cu
1:
P (() = 1 . (1.17)
Axioma 3: ( axioma de aditivitatee a probabilitatilor ). Pentru
toate familiile infinite de evenimente ,, ., incompatibile doua
cate doua, ( = , cand kh), avem:
. (1.18)
Elaborarea teoriei probabilitatilor, pe baza celor trei axiome
prezentate mai sus, apartine lui (Kolmogorov A. N, 1933) ale carui
lucrari au pus bazele teoriei moderne a probabilitatilor in
calitate de stiinta matematica moderna.
3.3.1 Rezultatele echiprobabile ale experimentului
Exemplul unui experiment legat de aruncarea unei monezi arata ca
probabilitatile anumitor evenimente pot fi, cu usurinta,
determinate direct. Consideram schema generala a experimentului de
acest gen. Presupunem ca experimentul are "n" rezultate posibile si
ca nu avem nici un motiv sa consideram ca, in repetarea la infinit
a experimentului, un rezultat oarecare poate fi mai frecvent decat
altul. In acest caz, probabilitatea fiecarui rezultat este evident
egala cu 1/n, intrucat frecventele lor trebuie sa se stabileasca in
jurul aceluiasi numar in cursul repetitiei si suma lor trebuie sa
fie egala cu 1. In alti termeni, acest experiment are "n" rezultate
echiprobabile.
In exemplul nostru cu aruncarea unei monezi, exista doua
rezultate echiprobabile de acelasi gen, aparitia "capului" si
aparitia "pajurei", iar probabilitatea fiecaruia este egala cu
1/2.
3.3.2 Schema de probabilitate
Presupunem acum ca in prezenta a "n" rezultate echiprobabile ale
experimentului, suntem interesati de un eveniment oarecare A
asociat la "m" din aceste "n" rezultate in asa fel incat pentru
fiecare din aceste "m" rezultate, A este cu siguranta realizat si
ca el nu poate fi realizat pentru nici un altul din cele "n-m"
rezultate ramase. In acest caz ne dam cu usurinta seama ca
probabilitatea evenimentului A este egala cu raportul m/n. Spunem
ca experimentul dat are "n" rezultate din care "m" favorizeaza
evenimentul A. Probabilitatea evenimentului A este atunci egala cu
raportul dintre numarul de cazuri ce favorizeaza evenimentul A si
numarul tuturor cazurilor incompatibile echiprobabile: P(A) =
m/n.
Exemplu
1) Experimentul consta in aruncarea unui zar. Acest experiment
prezinta 6 cazuri posibile, care corespund aparitiei numerelor 1,
2, 3, 4, 5, 6. Cum noi nu avem nici un motiv sa presupunem ca, de
exemplu: numarul 2 poate sa apara mai des decat numarul 5,
probabilitatea aparitiei unui numar dat pe o fata a zarului, de
exemplu 2, este egala cu 1/6. Consideram acum:
- evenimentul A care este: aparitia unui numar par;
- evenimentul B care este: aparitia unui numar multiplu de
3;
- evenimentul C care este: aparitia unui numar 3.
Trei cazuri favorizeaza evenimentul A: aparitia lui 2, 4 si 6,
de aceea P(A) = 3/6 = = 1/2. Doua cazuri favorizeaza evenimentul B:
aparitia lui 3 si 6, de aceea P(B) = 2/6 = 1/3. Patru cazuri
favorizeaza evenimentul C: aparitia lui 3, 4, 5 si 6, de aceea P(C)
= 4/6 = = 2/3.
2) O urna contine 10 bile identice, dintre care 3 sunt albe si 7
sunt negre. Amestecam cu grija bilele si apoi extragem o bila din
urna. Care este probabilitatea aparitiei unei bile albe?
In cazul de fata nu avem nici un motiv sa presupunem ca in
momentul repetarii experimentului o anumita bila va apare mai des
decat alta. De exemplu, daca bilele erau numerotate de la 1 la 10
astfel incat, ar fi imposibil sa distingem bilele prin atingere,
atunci nu avem nici un motiv sa presupunem ca bila numarul 1 poate
apare in timpul repetarii experimentului mai des decat bila numarul
2, sau bila numarul 3 etc. Tocmai de aceea se considera ca in acest
experiment exista 10 cazuri echiprobabile. Trei dintre acestea
favorizeaza evenimentul "bila alba si sapte dintre ele evenimentul
"bila neagra". Probabilitatea aparitiei unei bile albe este egala
cu 0,3 si probabilitatea aparitiei unei bile negre este egala cu
0,7.
3.4 Spatiul de probabilitate
Definitie: spatiul evenimentelor elementare , la care se adauga
algebra F si se asociaza probabilitatea P definita pe F, este numit
spatiu de probabilitate si este notat: (, F, P).
Corespondenta intre evenimentele unei multimi de evenimente si
probabilitatile sale este numita de obicei distributie de
probabilitate. Astfel, probabilitatea P(A) este functie de
evenimentul A(F si defineste distributia probabilitatilor pe F.
3.5Proprietatile probabilitatilor
Vom studia acum proprietatile probabilitatilor care decurg din
axiomele pe care noi le-am adoptat.
Proprietati:1) Fie evenimentul imposibil dat. El este
incompatibil cu toate celelalte evenimente. Fie A un eveniment
oarecare, atunci:
A = si P(A() = P(A) +P() (a)
Pe de alta parte, cum A U = A (reuniunea cu evenimenul imposibil
nu modifica evenimentul A), atunci:
P(A() = P(A) (b)
Din (a) si (b) rezulta ca probabilitatea evenimentului imposibil
este egala cu 0:
P() = 0 (1.19)
2) Daca B(A, atunci punand A sub forma descompunerii in doua
evenimente incompatibile, A = B ( A obtinem, tinand cont de relatia
(1.15), ca P(A) = P(B) + P(A). Rezulta ca:
daca B ( A atunci P(B) ( P(A). (1.20)
Deci, daca evenimentul B implica evenimentul A, atunci
probabilitatea evenimentului B nu poate fi superioara
probabilitatii evenimentului A.
3) Cum toate evenimentele A nu pot fi realizate decat cu
evenimentul sigur , A = A ( , atunci, nici un eveniment nu poate
avea o probabilitate superioara probabilitatii evenimentului sigur,
adica mai mare ca 1. Astfel, probabilitatea tuturor evenimentelor
apartine intervalului [0,1]:
0 ( P(A) ( 1. (1.21)
4) Reprezentand reuniunea evenimentelor compatibile ,, sub forma
unei reuniuni de evenimente incompatibile:
(1.22)
in baza relatiei (1.15) rezulta ca:
(1.23)
5) Cum
(,
(, ,
(, atunci:
(1.24)
si obtinem:
(1.25)
6) Aplicand formula (1.23) pentru doua evenimente = A si =B,
obtinem formula de calcul a probabilitatii reuniunii evenimentelor
compatibile:
(1.26)
Pe de alta parte, pe baza formulei B = (BA)((B) rezulta ca P(B)
= P(AB) + P(B). Utilizand aceasta relatie si inlocuind-o in relatia
precedenta, obtinem ca:
P(A U B) = P(A) + P(B) P(AB). (1.27)
Astfel, am determinat teorema de aditie a probabilitatilor:
probabilitatea reuniunii a doua evenimente oarecare este egala cu
suma probabilitatilor lor minus probabilitatea intersectiei
lor.
3.6Grup complet de evenimente
Definitie: multimea de evenimente {} este numita grup complet de
evenimente daca:
- evenimentele sunt incompatibile doua cate doua;
- reuniunea evenimentelor ,.,, n este un eveniment sigur
= (. (1.28)
Rezulta, din axioma de aditie a probabilitatilor, ca daca
evenimentele ,.,, sunt incompatibile doua cate doua si formeaza un
grup complet, atunci suma probabilitatilor lor este egala cu 1.
(1.29)
Doua evenimente contrare sunt incompatibile si formeaza un grup
complet. Tocmai de aceea din relatia (1.29) rezulta ca suma
probabilitatilor evenimentelor contrare este egala cu 1:
. (1.30)
Aceasta formula este foarte importanta in practica. In numeroase
probleme, probabilitatea evenimentului care ne intereseaza este
dificil de calculat, atunci, se calculeaza cu usurinta
probabilitatea evenimentului contrar. Folosind formula (1.30) gasim
probabilitatea evenimentului care ne intereseaza.
3.7Probabilitati conditionate
3.7.1 Probabilitate conditionata
Definitie: numim probabilitate conditionata a evenimentului A in
raport cu evenimentul B, unde P(B) > 0, raportul dintre
probabilitatea intersectiei evenimentelor A si B si probabilitatea
evenimentului B si o notam P(A|B):
P(A|B) = P(AB) / P(B). (1.31)
Aceasta definitie a probabilitatii conditionate, permite
extinderea de o maniera evidenta a teoremei produsului
frecventelor, la cazul probabilitatilor:
P(AB) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B) . (1.32)
Astfel, probabilitatea realizarii simultane a doua evenimente
este egala cu probabilitatea unuia dintre ele, multiplicata cu
probabilitatea conditionata a celuilalt.
Din definitia (1.31) se poate arata ca probabilitatile
conditionate ale diferitelor evenimente, in raport cu un acelasi
eveniment B, P(B)0, verifica axiomele 1, 2 si 3. In consecinta,
toata teoria prezentata va fi valabila si pentru probabilitatile
conditionate.
Din definitia (1.31) mai rezulta ca:
- daca A si B sunt incompatibile (AB = ) atunci P(AB) = 0 si in
consecinta P(A|B) = 0;
- daca B(A atunci P(AB) = P(B) si P(A|B) = 1;
- daca A(B atunci P(A|B) = P(A)/P(B).
Din relatia (1.32) rezulta ca probabilitatea realizarii
simultane a unui numar oarecare de evenimente este egala cu
probabilitatea unuia dintre ele multiplicata cu probabilitatea
conditionata a altui eveniment in raport cu primul, multiplicata cu
probabilitatea conditionata a celui de-al treilea eveniment in
raport cu intersectia primelor doua, etc. multiplicata cu
probabilitatea conditionata a ultimului eveniment in raport cu
intersectia tuturor evenimentelor precedente:
P(A1A2 . . .An ) = P(A1) P(A2 | A1)(P(A3 | A1A2)(
..(P(An | A1A2 . . . An-1) (1.33)
Exemplu
1)O urna contine 12 bile, dintre care 5 sunt albe si 7 sunt
negre. Extragem din urna 2 bile. Gasiti probabilitatea ca doua bile
sa fie albe.
Introducem evenimentele: A "prima bila este alba", B "a doua
bila este alba". Avem P(A) = 5/12, P(B|A) = 4/11, si conform
formulei (1.32):
P(AB) = (5/12)(4/11) = 5/33
2)O urna contine 16 bile, dintre care 5 sunt albe, 7 sunt negre
si 4 sunt rosii. Gasiti probabilitatea ca intre cele 4 bile extrase
din urna, prima sa fie alba, a doua sa fie neagra si celelalte doua
sa fie rosii.
Introducem evenimentele: "prima bila este alba", "a doua bila
este neagra", "a treia bila este rosie", "a patra bila este rosie".
Obtinem atunci:
P() = 5/16, P(|) = 7/15, P(|
EMBED Equation.3 ) =
= 4/14, P(|
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ) = 3/13
si vom avea:
P(
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ) = = 1/104
Pentru a verifica ca aceasta probabilitate nu depinde de ordinea
in care luam evenimentele, consideram aceste evenimente in alta
ordine, de exemplu , , si . Obtinem atunci P() = 4/16, P(|) = 5/15,
P(|
EMBED Equation.3 ) = 3/14, P(|
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ) = 7/13 si P(
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ) = (4/16)(5/15)(3/14)(7/13) = 1/104.
3)In teoria fiabilitatii numim de obicei fiabilitate -p(t)-
probabilitatea functionarii fara defect a unui dispozitiv din
momentul t = 0 pana la momentul "t". O caracteristica initiala a
dispozitivului este intensitatea defectelor:
, (1.34)
Aceasta reprezinta limita raportului dintre probabilitatea
evenimentului -defectarea dispozitivului in cursul intervalului de
timp (t, t+t)- conditionata de evenimentul -dispozitivul a
functionat fara defectiune pana la momentul "t"- si valoarea
acestui interval, cand t0. In general intensitatea defectelor "" se
determina experimental si este cunoscuta.
Problema devine: cunoscand intensitatea defectelor = (t), sa
gasim functia de fiabilitate p(t). Pentru a rezolva aceasta
problema consideram:
- evenimentul A "defectarea dispozitivului in cursul
intervalului de timp (t, t + t)";
- evenimentul B "functionarea fara defectiune pana la momentul
t";
- evenimentul C "functionarea fara defectiune a dispozitivului
pana la momentul t + t".
Evenimentul C poate fi exprimat cu ajutorul evenimentelor A si
B. Pentru ca dispozitivul sa functioneze fara defectiune pana la
momentul t + t, trebuie ca el sa functioneze fara defectiune pana
la momentul "t" si sa functioneze in continuare fara defectiune in
cursul intervalului cuprins intre "t" si t + t. Deci, evenimentul C
reprezinta intersectia a doua evenimente: evenimentul B si
evenimentul contrar lui A, C = B. Rezulta, conform formulei (1.31)
ca:
. (I)
unde P(B), probabilitatea functionarii fara defectiune a
sistemului pana la momentul t, este functia de fiabilitate
necunoscuta p(t):
P(B) = p(t) . (II)
Probabilitatea P(C), adica probabilitatea functionarii fara
defectiune a dispozitivului pana la momentul (t + t), este:
P(C) = p(t+(t) . (III)
In sfarsit P(A|B) reprezinta probabilitatea conditionata a
defectului dispozitivului in cursul intervalului de timp (t, t+t),
care poate fi exprimata in functie de intensitatea de defectare a
dispozitivului "" prin formula:
P(A | B) = p(t+(t | t) = (t + o((t),
unde o(t) semnifica, ca de obicei, un infinit mic de ordin
superior al lui t. Probabilitatea conditionata a evenimentului
contrar este:
(IV)
Inlocuind expresiile (II), (III), (IV) in (I), obtinem:
p(t+(t) = p(t) ( 1 ( (t ) + o((t).
Izolam p(t) in primul membru, apoi impartim toti termenii la t,
si trecem la limita cand t0. Vom avea atunci in primul membru
derivata lui p(t). Obtinem pentru functia de fiabilitate ecuatia
diferentiala:
.= ( p(t) . (V)
Conditia initiala pentru functia de fiabilitate p(t) este -
dispozitivul este in stare de functionare la momentul initial,
altfel spus p(0) = 1. Se poate verifica cu usurinta, prin
substitutie directa, ca solutia ecuatiei (V), cu conditia p(0) = 1
la momentul initial, este :
. (VI)
4) Care este probabilitatea ca doi copii ai unei familii sa fie
baieti, stiind ca cel putin unul este baiat?
Spatiul fundamental este = {FF, FB, BF, BB} cu P(FF) = P(FB) =
P(BF) = P(BB) = 1/4. Evenimentele cunoscute sunt:
- A: "doi copii sunt baieti" = {BB};
- B: "cel putin unul dintre copii este baiat" ={FB, BF, BB}.
Observam ca A(B si in consecinta P(A|B) = P(A) / P(B) = 1/3.
3.7.2 Evenimente independente, evenimente dependente
Definitie: doua evenimente sunt independente daca realizarea
unuia dintre evenimente nu modifica probabilitatea celuilalt:
Evenimentele A si B sunt numite dependente daca realizarea unuia
dintre ele modifica probabilitatea celuilalt.
Pentru doua evenimentele independente A si B se verifica
relatiile:
P(AB) = P(A)(P(B) . (1.35)
P(A | B) = P(A), P(B | A) = P(B). (1.36)
Este evident ca pentru independenta evenimentelor A si B este
suficienta una din egalitatile (1.36), cealalta fiind automat
verificata.
Pentru doua evenimentele dependente A si B egalitatile (1.36) nu
se mai verifica:
P(A | B) ( P(A) ,P( B | A) ( P(B). (1.37)
Este evident ca doua evenimente incompatibile A si B sunt
intotdeauna dependente, pentru ca realizarea unuia dintre ele
implica nerealizarea celuilalt si P(A|B) = P(B|A) = 0.
In general, o familie finita sau infinita de evenimente (, i(I)
este numita independenta daca, pentru toate submultimile finite J
din I, are loc relatia:
. (1.38)
Observatii:
- pentru independenta evenimentelor ,,, independenta lor doua
cate doua este necesara, dar nu suficienta;
- daca A si B sunt doua evenimente independente, atunci, de
asemenea evenimentele si B, A si , si sunt independente.
Exemplu
Fie o experienta aleatoare descrisa prin (, F, P) cu = {abc,
acb, bac, bca, cab, cba, aaa, bbb, ccc}si P probabilitate uniforma
pe , (pentru orice (, P({}) = 1/9). Consideram urmatoarele trei
evenimente = {litera k este un "a"}, k=1, 2, 3. Sunt ele
independente?
Avem: P() = P({abc, acb, aaa}) = 3/9;
P() = P({bac, cab, aaa}) = 3/9;
P() = P({bca, cba, aaa}) = 3/9.
P(
EMBED Equation.3 ) = P({aaa}) = 1/9, sau P()P() = 1/9. La fel,
avem P(
EMBED Equation.3 ) = P()P() = 1/9, P(
EMBED Equation.3 ) = P()P() = 1/9. Pe de alta parte P(
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 )P()P()P(). In concluzie evenimentele , si nu
sunt independente.
3.7.3 Teorema produsului probabilitatilor
Consideram cazul evenimentelor independente ,,. Daca
evenimentele ,, sunt independente, atunci:
- evenimentul si evenimentele ,, sunt independente;
- evenimentul si evenimentele ,, sunt independente, si asa mai
departe;
- evenimentul si evenimentele si sunt independente, si in
final,
- evenimentele si sunt independente.
De aceea avem: P( |
EMBED Equation.3 ) = P();
P( |
EMBED Equation.3 ) = P();
.
P(|
EMBED Equation.3 ) = P();
P( | ) = P().
Formula (1.33) devine:
P(A1A2 . . . An) = P(A1) P(A2) . . . P(An). (1.39)
Astfel, probabilitatea intersectiei evenimentelor independente
este egala cu produsul probabilitatilor lor.
Exemplu
1)Probabilitatea de a ochi tinta in cazul lansarii unei bombe
este egala cu p = 0,1. Gasiti probabilitatea ca cel putin o bomba
sa atinga tinta, daca bombardamentul este efectuat de 10 avioane si
fiecare avion lanseaza cate o bomba.
Evenimentul B reprezinta faptul ca cel putin o bomba va atinge
tinta. Evenimentul contrar corespunde faptului ca nici o bomba nu
va atinge tinta. In acest exemplu impactul bombelor pe tinta
reprezinta evenimente independente, pentru ca fiecare avion
efectueaza bombardamentul independent. In consecinta, conform
formulei (1.21), probabilitatea ca nici o bomba nu va atinge tinta
este egala cu P()=.
Pentru a determina probabilitatea necunoscuta P(B): ca cel putin
o bomba, va atinge tinta este suficienta utilizarea formulei
evenimentelor contrare.
2)O urna contine 12 bile, dintre care 5 sunt albe si 7 sunt
negre. Vom extrage din urna o bila, notam culoarea sa si o punem
iar in urna. Dupa aceasta amestecam cu grija bilele si vom extrage
din urna a doua bila. Gasiti probabilitatea ca cele doua bile
extrase sa fie albe.
In cazul considerat, fiind dat ca dupa prima extractie a unei
bile o punem din nou in urna, informatia relativa la aparitia unei
bile albe in cursul primei extrageri nu modifica probabilitatea
aparitiei unei bile albe la extragerea urmatoare. Tocmai de aceea
evenimentul A (aparitia unei bile albe prima data) si B (aparitia
unei bile albe a doua oara) sunt independente si probabilitatea
realizarii lor este egala cu produsul probabilitatilor:
P(AB) = P(A)P(B) = 5/125/12 = 25/144
3)O urna contine 16 bile, dintre care 5 sunt albe, 7 sunt negre
si 4 sunt rosii. Vom extrage succesiv din urna 4 bile punand de
fiecare data bila inapoi in urna. Gasiti probabilitatea ca prima
bila sa fie alba, a doua sa fie neagra, a treia si a patra sa fie
rosii.
In cazul considerat, evenimentele: :"prima bila este alba"; "a
doua bila este neagra"; "a treia bila este rosie"; "a patra bila
este rosie" sunt independente, in asa fel incat avem relatia:
P(
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ) = (5/12)(7/12)(4/12)(4/12) = 35/1296
3.8 Probabilitatile evenimentelor complexe
3.8.1 Formula probabilitatii totale
Teorema Fie un grup complet de evenimente , i([1,n], ale caror
probabilitati P(), i([1,n], sunt cunoscute si un eveniment A
oarecare, dependent de fiecare eveniment . Daca stim
probabilitatile conditionate P(A|), i([1,n] in raport cu toate
evenimentele , i([1,n], atunci probabilitatea evenimentului A
este:
. (1.40)
DemonstratieCum evenimentele ,,, formeaza un grup complet,
reuniunea lor este un eveniment sigur. Atunci:
P(A) = P(A(()= P(A(()) =P().
Evenimentele ,,, sunt prin definitie incompatibile doua cate
doua, atunci evenimentele A, A, ,A sunt de asemenea incompatibile
doua cate doua si putem aplica axioma de aditie:
.
Utilizand formula (1.32) obtinem:
(1.41)
Astfel, probabilitatea evenimentului A este egala cu suma
probabilitatilor evenimentelor ,,, multiplicate cu probabilitatile
evenimentului A conditionat de evenimentele Hi.
Formula (1.41) este numita formula probabilitatii totale. Ea
este foarte mult utilizata in teoria probabilitatilor si in
aplicatiile sale.
Exemplu
O firma utilizeaza dispozitive de acelasi tip furnizate de trei
uzine in proportiile: / / ( fiecarei grupa de dispozitive furnizate
de prima uzina, ii corespunde grupa de dispozitive furnizate de a
doua uzina si grupa de dispozitive furnizate de a treia uzina).
Presupunem ca intensitatea de defectare este egala cu: - pentru
dispozitivele fabricate in prima uzina-, - pentru dispozitivele
fabricate de in a doua uzina-, - pentru dispozitivele fabricate in
a treia uzina. Gasiti functia de fiabilitate a dispozitivului.
In aceasta problema urmatoarele evenimente sunt incompatibile si
constituie un grup complet:
, dispozitivul a fost fabricat in prima uzina;
, dispozitivul a fost fabricat in a doua uzina;
, dispozitivul a fost fabricat in a treia uzina.
Probabilitatile acestor evenimente pot fi calculate cu
usurinta:
(k=1, 2, 3).
Probabilitatile evenimentului A, de functionarea fara defectiune
a dispozitivului pana la momentul "t", conditionat de evenimentele
,,, pot fi determinate cu usurinta plecand de la formula (IV) din
exemplul paragrafului (3.7.1):
Utilizand formula probabilitatii totale, gasim probabilitatea de
functionare fara defect a dispozitivului pana la momentul "t"
(adica functia de fiabilitate a dispozitivului pe care o
cautam):
.
3.8.2 Formula lui Bayes
In problemele practice, avem adesea un grup complet de
evenimente incompatibile ,,,, ale caror probabilitati P(), i([1,n]
sunt cunoscute. Aceste evenimente nu sunt observate direct, dar
putem observa un eveniment A legat de primele, pentru care
cunoastem probabilitatile conditionate P(A|), i([1,n] . Presupunem
ca am realizat un experiment al carui rezultat este realizarea
evenimentului A. Utilizand rezultatele acestui experiment, se cere
a se formula concluziile relative la evenimentele ,,,, adica a se
determina cum au fost modificate probabilitatile acestora dupa
realizarea evenimentului A. Cu alte cuvinte, trebuie gasita
probabilitatea conditionata a evenimentelor ,,, in raport cu
evenimentul A.
Propozitie Fie un grup complet de evenimente , i([1,n] ale carui
probabilitati P(), i([1,n] sunt cunoscute si un eveniment A,
dependent de fiecare eveniment , astfel incat P(A) > 0. Daca
cunoastem probabilitatile conditionate P(A|) ale evenimentului A in
raport cu toate evenimentele , i([1,n], atunci:
. (1.42)
Demonstratie
Considerand formula produsului probabilitatilor avem
relatia:
P(A) = P(A) P(|A) = P() P(A|)
rezulta ca:
P(|A) = [P() P(A|] / P(A)
Inlocuind aici expresia probabilitatii evenimentului A prin
formula probabilitatii totale (1.41), obtinem:
Aceasta formula este numita formula lui BAYES. Ea rezolva
problema pusa anterior.
Probabilitatile P(), ale evenimentelor , i([1,n], inainte de
realizarea experimentului, sunt numite de obicei probabilitati
apriori. Probabilitatile P(|A), dupa realizarea experimentului,
sunt numite probabilitati aposteriori.
Exemplu
Presupunem ca, in conditiile exemplului din paragraful (3.8.1),
dispozitivul ar fi functionat fara defectiune un timp T
(evenimentul A). Gasiti probabilitatea aposteriori ca dispozitivul
sa fie fabricat in uzina "k" (k = 1, 2, 3).
Inlocuind in formula lui BAYES (1.42) probabilitatile P(), P(),
P(), P(A|), P(A|), P(A|), definite apriori, gasim probabilitatea
aposteriori ca dispozitivul sa fi fost fabricat in uzina "k":
3.8.3 Scheme de probabilitate
Distributia binomiala
Consideram un experiment complex compus din mai multe evenimente
simple, in cursul carora conditiile sunt constante, si un anumit
eveniment A care poate fi realizat sau nu.
Experimentele sunt numite independente, daca probabilitatea
evenimentului A care ne intereseaza, in cursul fiecarui experiment,
nu depinde de rezultatele altor experimente.
Presupunem ca:
- am efectuat "n" experimente independente;
- pentru fiecare experiment probabilitate evenimentului A este
egala cu "p".
Care este probabilitatea ca evenimentul sa fie realizat de "m"
ori, in timpul a "n" experimente?
Pentru ca evenimentul A sa fie realizat de "m" ori, in cursul a
"n" experimente, este necesar si suficient ca sa fie realizata una
din seriile de evenimente ,.., in care "m" evenimente coincid cu A,
iar "n-m" coincid cu evenimentul contrar . Este evident ca numarul
acestor serii de evenimente este egal cu numarul de combinari
corespunzator :
Datorita independentei experimentelor, probabilitatea fiecarei
din aceste serii este, conform teoremei produsului probabilitatilor
evenimentelor independente (1.39), egala cu
EMBED Equation.3 unde q = 1 p este probabilitatea evenimentului
contrar lui A. In final, datorita incompatibilitatii seriilor
posibile de evenimente, probabilitatea cautata este egala cu suma
probabilitatilor seriilor de evenimente compuse din "m" evenimente
A si "n-m" evenimente . Fiecare serie de evenimente avand aceeasi
probabilitate de aparitie, iar numarul de serii fiind probabilitate
cautata devine:
, (m = 0, 1, . . . n). (1.43)
Consideram acum o variabila auxiliara "u" si observam ca
valoarea:
reprezinta termenul general din dezvoltarea binomului lui Newton
.Probabilitatea este coeficientul puterii din dezvoltarea binomului
lui Newton:
(n(u) = . (1.44)
Corespondenta intre valorile m = 0, 1,,n si probabilitatile
definite prin formula (1.43), este numita distributie binomiala.
Distributia multinomiala
Formulele (1.43) si (1.44) sunt cu usurinta generalizate in
cazul in care probabilitatea evenimentului A ia diferite valori in
cursul diferitelor experimente (repetitia experimentelor in
conditii variabile). Daca:
- experimentele sunt independente;
- probabilitatea realizarii evenimentului A in cursul
experimentului "k" este egala cu , k([1,n].
Care este probabilitatea pentru care evenimentul va fi realizat
de "m"-ori, in cursul a "n" experimente?
Cu ajutorul formulei (1.43), se obtine in acelasi mod
relatia:
(m = 0,1 ,.., n), (1.45)
in care suma se efectueaza pentru toate multimile distincte de
indici , pentru care se realizeaza evenimentele , respectiv nu se
realizeaza evenimentele .
Intelegem cu usurinta ca in acest caz probabilitatea este
coeficientul lui din descompunerea in functie de puterile lui "u" a
polinomului:
, (1.46)
unde = 1-, k([1,n] este probabilitatea realizarii evenimentului
in cursul experimentului "k".
Corespondenta intre valorile m = 0,1,,n si probabilitatile
definite prin formula (1.45) reprezinta distributia
multinomiala.Exemplu
1)Probabilitatea realizarii unui eveniment cel putin de "k"
ori
Care este probabilitatea ca evenimentul A sa fie realizat de cel
putin "k"- ori in cursul a "n" experimente?
Este evident ca evenimentul, corespunzand realizarii
evenimentului A de cel putin "k" ori, reprezinta reuniunea a "n - k
+ 1" evenimente incompatibile: "realizarea evenimentului A de exact
k-ori", "realizarea evenimentului A de exact k+1-ori",.,"realizarea
evenimentului A de exact n-ori". In consecinta, probabilitatea
cautata pentru care in cursul a "n" experimente evenimentul A va fi
realizat de cel putin "k"- ori, va fi egala cu:
. (1.47)
Aceasta probabilitate poate fi calculata si altfel determinand
mai intai toate probabilitatile evenimentelor contrare, adica
probabilitatea ca evenimentul A va fi realizat de un numar de ori
inferior lui "k", si scazand apoi rezultatul din 1:
. (1.48)
2) Probabilitatea realizarii unui eveniment cel putin o data
De cele mai multe ori trebuie calculata probabilitatea ca un
eveniment sa fie realizat cel putin o data. Este evident ca in
acest caz sa utilizam formula (1.48) pentru orice valoare n2.
Obtinem probabilitatea:
. (1.49)
In cazul particular al experimentului cu conditii constante == =
= q, formula (1.49) devine:
. (1.50)
Distributia polinomiala
Daca in urma unui experiment poate fi realizat unul din
evenimentele incompatibile ,, ale unui grup complet de evenimente
ale carui probabilitati sunt respectiv ,, (++=1), atunci
probabilitatea ca in cursul a "n" experimente :
- evenimentul sa fie realizat de ""-ori;
- evenimentul sa fie realizat de ""-ori;
- evenimentul sa fie realizat de ""-ori,
cu +++ = n, este determinata prin urmatoarea formula
(1.51)
Aceasta formula poate fi obtinuta prin aplicari succesive ale
formulei (1.43). Probabilitatea ca evenimentul sa fie realizat de
""-ori in "n" experimente este egala, conform (1.43), cu:
Probabilitatea conditionata de realizare a evenimentului in
fiecare din experimentele ramase, cu conditia ca in cursul acestor
experimente sa nu fie realizat, este evident egala cu /(+...+).
Tocmai de aceea probabilitatea conditionata, ca in cursul a ++
experimente, pentru care nu este realizat, evenimentul sa fie
realizat de "" ori, este determinata conform (1.43) prin
formula:
Continuand in aceeasi maniera, gasim probabilitatea conditionata
ca evenimentul sa fie realizat de ""- ori in cursul a ++
experimente in conditia ca evenimentele ,, nu vor fi realizate in
cursul acestor experimente:
Facand produsul probabilitatilor gasite, obtinem formula
(1.51).
Functia generatoare a probabilitatilor (++ = n) este definita
prin formula:
(1.52)
in asa fel incat reprezinta coeficientul puterilor
EMBED Equation.3 din dezvoltarea acestei functii.
In acest caz evenimentele elementare sunt multimi finite {,,},
unde fiecare element reprezinta unul din evenimentele ,...,. Campul
de evenimente este aici algebra tuturor reuniunilor posibile ale
acestor evenimente completate cu evenimentul imposibil.
Probabilitatea fiecarui eveniment elementar este egala cu unde ,
i([1, r] ceea ce ne conduce la numarul de evenimente din multimea
{,,}care coincid cu , (i =1,...,r). Probabilitatea evenimentului
care ne intereseaza este egala cu suma probabilitatilor
evenimentelor elementare care il compun.
Schema de probabilitate, definita prin formula (1.51) este
numita polinomiala.
2.8.4 Distributia Poisson
Restrictiile distributiei Poisson
Intalnim in practica evenimente care se produc la momente
diferite de timp. Evenimentele de acest tip formeaza o multime
numita de obicei, flux de evenimente. Exemple de flux de evenimente
pot fi furnizate de apelurile telefonice, traversarea unei
intersectii de automobile, apelurile unei ambulante, defectiunile
unui sistem tehnic.
Putem deseori considera ca fluxul de evenimente verifica
conditiile urmatoare:
1)pentru toate perechile de intervale de timp disjuncte
probabilitatea realizarii unui numar de evenimente intr-un interval
de timp nu depinde de numarul de evenimente care se produc in
cursul altui interval de timp;
2) probabilitatea realizarii unui eveniment in cursul unui
interval de timp foarte mic (t, t+t) este proportionala cu lungimea
intervalului;
3) probabilitatea realizarii unui eveniment de mai multe ori in
cursul intervalului de timp foarte mic (t, t+t) se poate
neglija.
Desemnam prin (,) probabilitatea realizarii a "m" evenimente in
cursul intervalului de timp (,). Atunci conditiile 2) si 3) se vor
scrie sub forma:
, (1.53)
, (1.54)
unde (t) este o functie pozitiva.
Pentru un flux de evenimente care verifica conditiile 1), 2) si
3) cautam probabilitatea "ca in cursul intervalului de timp (, t),
sa fie realizate "m" evenimente (m = 0, 1, 2,)".
Considerand momentul fixat, convenim sa notam probabilitatile
cautate prin (t), (m = 0, 1, 2,). Pentru a calcula (t) avem nevoie
de doua etape:
1) Calcularea probabilitatii p0(t) (de nerealizare a
evenimentelor):
Remarcam ca (t+t) reprezinta probabilitatea intersectiei a doua
evenimente: nici un eveniment nu este realizat in cursul
intervalului de timp (, t) si nici un eveniment nu este realizat in
cursul intervalului de timp (t, t+t). Conform conditiei (1), aceste
evenimente sunt independente. De aceea avem:
. (1.55)
Conform (1.53) si (1.54) avem:
. (1.56)
Inlocuind aceasta expresie in (1.55), obtinem:
,
de unde rezulta
Cand t0, al doilea membru al acestei egalitati tinde spre o
limita determinata (-(t) (t)). In consecinta, exista si limita
primului termen. Astfel probabilitatea (t) este derivabila in
raport cu "t" si la limita, cand t0, obtinem ecuatia
diferentiala:
. (1.57)
Pentru a gasi valoarea initiala a probabilitatii (t), este
suficient sa inlocuim in (1.56) t = si sa trecem la limita cand t0.
Obtinem atunci (t0) = 1.
2) Calcularea probabilitatilor de realizare a unui numar
oarecare de evenimente
Pentru a obtine ecuatiile ce conduc la probabilitatile (t),
(t),.., observam ca pot fi realizate "m" evenimente in cursul
intervalului de timp (, t+t) conform unuia din urmatoarele "m+1"
procedee incompatibile:
- " toate cele "m" evenimente sunt realizate in cursul
intervalului (, t) si nici unul in cursul intervalului (t,
t+t)";
- "(m-1) evenimente sunt realizate in cursul intervalului (, t)
si un eveniment in cursul intervalului (t, t+t)";
- .;
- "toate cele "m" evenimente sunt realizate in cursul
intervalului (t, t+t)".
Conform axiomei de aditie a probabilitatilor si a teoremei
produsului probabilitatilor evenimentelor independente, avem:
Obtinem conform (1.53), (1.54) si (1.56):
.
In consecinta, rezulta:
.
Rationand exact in acelasi fel, ca la stabilirea ecuatiei
(1.57), obtinem urmatoarea ecuatie diferentiala:
EMBED Equation.3 (m = 1, 2, .) . (1.58)
Valorile initiale ale probabilitatilor (t), (t), sunt toate
egale cu 0 de aceea avem: () = 1, () = 0, (m = 1, 2,..).
Adoptand in calitate de variabila independenta marimea "":
(1.59)
putem scrie ecuatiile (1.57) si (1.58) sub urmatoarea forma:
(m=1, 2,..) . (1.60)
Conditiile initiale vor fi atunci de forma = 1, = 0 (m = 1, 2,)
cand = 0. Se verifica cu usurinta prin substitutie directa ca
integralele ecuatiei (1.60), in conditiile initiale, sunt definite
prin urmatoarele formule:
(m = 0, 1, 2,..) . (1.61)
Astfel, pentru un interval dat (, t) avem o infinitate de
evenimente: nici un eveniment nu se produce in cursul acestui
interval, se produce un eveniment, doua evenimente, etc. , si
probabilitatile acestor evenimente sunt definite prin formula
(1.61).
Formula (1.61) defineste o distributie. Aceasta distributie este
numita Poisson. Fluxul de evenimente care verifica conditiile 1),
2), si 3) este numit flux Poisson.
Parametrul "" al distributiei Poisson reprezinta numarul mediu
de evenimente care sunt realizate in cursul intervalului de timp (,
t). Functia este numita intensitate de flux poissonian.
Exemplu
1)Gasiti probabilitatea ca numarul electronilor difuzati de
catodul unei lampi electrice, in cursul unui interval de timp de
durata "t" , sa fie egal cu "m", daca numarul mediu de electroni
emisi in unitatea de timp este egal cu =constant.
Fluxul de electroni poate fi considerat flux poissonian. Conform
(1.59) avem in acest caz: = t. Inlocuind aceasta expresie in
(1.61), obtinem:
, (m = 1, 2, ).
2)Intensitatea fluxului de apeluri telefonice este egala cu (t)
(adica densitatea medie de apeluri reprezentand limita raportului
numarului de apeluri in cursul unui interval de timp infinit mic
(t, t+t), la t cand t0). Gasiti probabilitatea ca in intervalul de
timp (,) centrala sa primeasca "m" apeluri telefonice.
In cazul considerat se poate verifica cu o precizie suficienta
ca fluxul de apeluri verifica conditiile pentru care fluxul este
poissonian. Prin urmare, in conditia absentei legaturii intre
actiunile diferitilor abonati, probabilitatea unui numar dat de
apeluri in cursul unui interval de timp (,) nu depinde practic de
numarul de apeluri care vor avea loc in cursul altor intervale de
timp disjuncte cu intervalul (,).
Probabilitatea mai multor apeluri poate fi practic aproximata ca
fiind egala cu 0. Tocmai de aceea putem considera ca, sunt
verificate conditiile 2) si 3). In acest caz probabilitatea cautata
poate fi calculata utilizand distributia Poisson, definita prin
formula (1.61 ) astfel:
Teste pentru verificarea cunostintelor
Testul 1
Experienta consta in a nota timpul (in secunde) necesar pentru a
efectua asamblarea unui montaj. Se repeta experienta de 600 de
ori.
Numar
de secundeNumar
de asamblariFrecventa
relativa Probabilitatea
37
38
39
40
41
4295
110
92
94
106
10395/600 = 0.1583
............................
............................
............................
............................
............................0.16
........
.......
.......
.........
........
total6001.00
a) Calculati probabilitatile ca montajul sa fie asamblat in 37
de secunde, 38 de secunde, s.a.m.d., utilizand frecventele
relative. Completati tabelul de mai sus
b) Calculati probabilitatea ca montajul sa fie asamblat in 37
sau 38 de secunde.
P({37,38}) =..........
c) Calculati P({39,40,41}) =
d) Calculati probabilitatea ca montajul sa nu fie asamblat in 37
sau 38 de secunde.
e) Calculati probabilitatea ca montajul sa fie asamblat in mai
mult de 40 de secunde.
f) Calculati probabilitatea ca montajul sa nu fie asamblat in
mai mult de 40 de secunde.
Testul 2
Un aparat electronic face o triere automata de piese avand
lungimea X. Acest aparat inregistreaza piesele clasificandu-le dupa
lungime. Se triaza 10000 de piese cu repartitia urmatoare:
Lungimea in mmNumar de piese
( L1 )
( L2 )
( L3 )4260
3640
2100
a) Calculati probabilitatea pentru ca o piesa sa fie clasata in
categoria L2. Notati acest eveniment L2.
P(L2) =P(10( X