Probabilitati
CAPITOLUL 1NOIUNI FUNDAMENTALE N TEORIA PROBABILITILOR
1. Experiment aleator. Spaiu de selecie
Definiie: Prin experiment aleator vom nelege orice aciune care
poate fi repetat n condiii similare si n care nu se cunoate
dinainte rezultatul ce va fi obtinut, dar se cunosc toate
rezultatele posibile.
Exemple : Observarea pe un interval T de timp a funcionrii unui
agregat
nregistrarea consumului de energie electric de ctre un mare
combinat.
Definiie: Spaiul de selecie al unui experiment, notat prin E,
este mulimea tuturor rezultatelor posibile ale experimentului.
Exemplu: Cel mai simplu experiment este acela n care sunt
posibile dou rezultate. Un astfel de experiment const ,de exemplu,
n verificarea unui transistor pentru a vedea dac este corespunztor
sau nu. Spaiul de selecie al acestui experiment este: E = {C, D}
(corespunztor, defect).
Exemplu: Un nou tip de baterie se consider corespunztoare dac
are voltajul ntre anumite limite. Un experiment const n verificarea
bateriilor ce ies de pe banda de fabricaie pn cnd se obine prima
baterie defect. Spaiul de selecie n acest caz este:
E= { D, CD, CCD, ...}
unde D= bateria verificat este defect iar C = bateria este
bun.
2. EvenimenteDefiniie : Un eveniment este orice submulime de
rezultate, inclus n spaiul de selecie.
Un eveniment este elementar (sau simplu) dac el const exact
dintr-un rezultat i compus dac const din mai multe rezultate.
Definiie : Evenimentul sigur este evenimentul care se realizeaz
ntotdeauna ca rezultat al experienei; va fi notat cu E (se asociaz
mulimii totale).Evenimentul imposibil nu se poate realiza ca
rezultat al unei experiene; va fi notat cu ( (corespunde mulimii
vide).
Definiie : Evenimentele A i B sunt compatibile dac se pot
realiza simultan.
Definiie : Evenimentele A i B se numesc incompatibile dac nu se
pot realiza simultan; scriem A ( B= (.De exemplu: un student nu
poate fi in acelasi timp integralist si restantier.Definiie :
Evenimentul A implic evenimentul B i scriem A ( B, dac realizarea
evenimentului A implic realizarea evenimentului B.
Definiie : Dou evenimente A i B sunt echivalente dac A ( B i B (
A.
Exemplu : Un juctor la 6 din 49 cumpr 2 bilete (variante simple)
pe care le completeaz astfel inct nu coincid toate cele 6 numerele
pentru cele 2 bilete. El poate cstiga la categoria I (marele
premiu-dac ghicete toate cele 6 numere pe un bilet), la categoria a
II-a(dac ghicete 5 dintre cele 6 numere pe un bilet), la categoria
a III-a(dac ghicete 4 numere dintre cele 6 pe un bilet) sau nu
poate cstiga la nici una dintre categorii (ghicete cel mult 3
numere catigtoare). Notm Aij=jucatorul ctig la categoria i i
categoria j (pentru noi este acelai lucru a ctiga la categoria I i
II cu a ctiga la categoria II i I). Cazurile posibile ce pot aprea
la extragere sunt: A00, A01, A02, A03, A12, A13, A22, A23,
A33(evenimente simple).
Evenimentul sigur: E={ A00, A01, A02, A03, A12, A13, A22, A23,
A33}.
Un eveniment compus: jucatorul ctig la cel mult o categorie;
acest lucru nseamn {A00, A01, A02, A03} (este format din 4
evenimente simple).
Eveniment imposibil : ctig 2 premii la categoria I (sau are 3
bilete ctigtoare)
Evenimente incompatibile: A=juctorul ctig la 2 categorii
diferite; B=juctorul nu ctig nimic; A={A12, A13, A23 } respectiv
B={A00}=> AB=
Evenimente complementare: A=juctorul ctig la 2
categorii;B=juctorul ctig la cel mult o categorie; A={A12, A13,
A23, A22, A33 } i B= {A00, A01, A02, A03}=> AB=, AB=E;
Evenimentul A=juctorul nu ctig nimicimplica evenimentul
B=jucatorul ctig la cel mult o categorie; A={A00} si B= {A00, A01,
A02, A03}=>AB.
Definiie : Vom numi reuniunea evenimentelor A1,A2,...,Ak i o vom
nota prin
, evenimentul care se realizeaz cnd cel puin unul din
evenimentele A1,A2,...,Ak se realizeaz.
Vom numi intersecie a evenimentelor A1,A2,...,Ak i o vom nota
prin
evenimentul care se realizeaz cnd se realizeaz toate
evenimentele A1, A2, ...,Ak
Consecine:
1.
2.Dac A ( B (
(
3.A ( B= (A ( B) ( (A (
) ( (
( B)
3. Definiia clasic a probabilitiiProbabilitatea unui eveniment
este o cuantificare a posibilitii efective de realizare a
evenimentului. Ea este legat de noiunea de frecven relativ .
S considerm un experiment n urma cruia poate sau nu s apar
evenimentul A i s notm cu k numrul de realizri ale acestui
eveniment n n repetri ale experienei.
Definiie : Raportul =k/n se numete frecvena relativ de apariie a
evenimentului A.
Dup cum vom vedea mai departe, ((A) pentru valori mari ale lui n
se stabilizeaz n jurul unei valori, numit probabilitatea
evenimentului A. Acest rezultat i gsete justificarea n Legea
numerelor mari .
Definiie : Un caz se numete favorabil pentru un eveniment, dac
apariia sa antreneaz realizarea evenimentului respectiv.
Definiie : Orice experiment care satisface condiia c mulimea
rezultatelor sale S este o mulime finit de evenimente egal
probabile, adic
P({e1})= P({e2})= ...= P({en})=
este numit modelul urnei.
Definiie : Dac ntr-un experiment cu n rezultate, k dintre ele
favorizeaz evenimentul A, definim probabilitatea P(A) a
evenimentului A ca P(A) =
Observaie: Numrul tuturor cazurilor favorabile se gsete
ntotdeauna ntre 0 i n i astfel P(A) calculat cu formula enunat mai
sus se afl ntre 0 i 1.
Vom reaminti cteva din rezultatele de combinatoric utile pentru
rezolvarea unor asemenea probleme.
Numrul de grupe de cte k obiecte obinute din n obiecte n care
obiectele difer ntre ele ntr-o aceeai grup prin ordine i compoziie
este dat de
(aranjamente de n luate cte k).
Dac ntr-o aceeai grup, obiectele se pot repeta atunci avem de a
face cu aranjamente cu repetiie iar numrul acestora este
.
Numrul de grupe de cte k obiecte obinute din n obiecte astfel c
grupele difer ntre ele prin elementele care le conin este dat
de
(combinri de n obiecte luate cte k).
Dac ntr-o asemenea grup obiectele se repet atunci se obin
combinri cu repetiie iar numrul acestora este
.
Exemplu : Un grup de 12 persoane se aeaz n jurul unei mese
rotunde. Care este ansa ca dou persoane anumite s se afle
alturi?
ansa este cuantificat prin frecvena relativ ((A) (unde A este
acest eveniment).
Exemplu : ntr-un lot de N piese, proporia de piese defecte este
0 ( ( ( 1, deci N( sunt piese defecte. Dac se extrag la ntmplare n
piese care este ansa (probabilitatea) ca printre ele s se afle k
piese defecte?
4. Axiomele probabilitii. Cmp de probabilitateTeoria modern a
probabilitilor a fost fondat la nceputul sec.XX. O contribuie
esenial a avut-o matematicianul rus A. Kolmogorov. Fie E o mulime
care va reprezenta pentru noi, mulimea evenimentelor simple
(rezultate posibile ale unei experiene).
Definiie : K este o ( - algebr dac
1. (, E ( K ;
2. Dac A ( K atunci
( K ;
3. Dac
, An( K atunci
K.
Consecine :
K.
Perechea (E, K) se numete cmp de evenimente.
Definiie : Se numete probabilitate pe K o funcie P: K ( R+ cu
proprietile:
1. P(E)= 1 ;
2. 0 ( P(A) ( 1 dac A( K ;
3.
dac Ai (Aj = (, i ( j
Consecine:
1) P(() = P(
) =1-P(E) = 0
2) P(
) = 1- P(A) deoarece A (
= E, A (
=(
3) P(A ( B)= P(A) + P(B) - P(A ( B) dac A ( B ( ( si in
general,
P(A1(A2
EMBED Equation.3 Ak)=
EMBED Equation.2
4) Dac A ( B atunci P(A) ( P(B)
5) Dac
este o partiie a lui E, adic E= cu atunci
.
Definiie : Tripletul (E, K, P) se numete cmp de
probabilitate.Exemplu : Erorile introduse de un aparat de msur
atunci cnd etalonul este a se afl ntr-un interval (a - (, a + ().
Acest interval reprezint evenimentul sigur E. Mulimea
subintervalelor lui E formeaz mulimea K care n acest caz este P(E)
(mulimea prilor mulimii E), iar probabilitatea este o funcie care
asociaz fiecrei asemenea submulimi un numr real i pozitiv cu
proprietile enuntate in definie.Exemplu : Becurile produse ntr-o zi
la o fabric specializat reprezint evenimente elementare pentru
evenimentul sigur E care n acest caz este dat de mulimea {e1, e2,
..., en} unde n este norma zilnic. Dac suntem interesai de becurile
defecte ele reprezint submulimi ale lui E, iar probabilitatea
asociaz fiecreia dintre aceste submulimi un numr care verific
proprietile din definitie(probabilitatea va fi definit ca: numrul
de becuri defecte raportat la numrul total de becuri).
5. Probabiliti condiionateDefiniia : Dou evenimente A i B din K
sunt independente dac ele nu se influeneaz, adic realizarea
evenimentului A nu depinde de realizarea lui B i reciproc.
Dac evenimentele nu sunt independente vom spune c ele sunt
dependente.
Definiia : Se numete probabilitate condiionat a evenimentului A
de ctre evenimentul B i se noteaz P(A (B) sau PB(A) probabilitatea
de realizare a evenimentului A calculat n condiia c evenimentul B
s-a realizat (P(B) > 0) i se definete ca:
P(A (B) =
Proprietate:Dac A1, A2, ..., Ak sunt evenimente ale aceluiai cmp
de probabilitate atunci:
P(A1 ( A2 ( ... ( Ak) = P(A1) P(A2 (A1) ... P(Ak (A1 ( A2 ( ...
( Ak-1)
Exemplu : (Urna lui Polya) O urn conine dou bile albe A i o bil
neagr N. Se extrage o bil i apoi n urn se introduce bila extras i
nc o bil de aceeai culoare cu ea. Procedeul se repet nc odat i a
3-a oar se extrage o bil, dup care experiena se oprete.
Evenimentele simple rezultat ale acestei experiene sunt: (N, N,
N),
(N, N, A), (N, A, N), (N, A, A),(A, N, N), (A, N, A), (A, A, N),
(A, A, A)
Notm : Xi evenimentul care const n extragerea unei bile negre la
proba i i
Yi evenimentul - bil alb la proba i, i= 1, 2, 3.
Astfel: P(X1) =1/3; P(Y1) =2/3; P(Y2 (Y1) =3/4; P(X2 (Y1) = 1/2;
P(Y2 (X1) =1/2;
P(X2 (X1) =1/2; P(Y3 (Y1 ( Y2) = 4/5; P(X3 (Y1 ( Y2) =1/5
Probabilitatea de a obine la fiecare prob bile albe este
P(Y1 ( Y2 ( Y3) = P(Y1) P(Y2 (Y1) P(Y3 (Y1 ( Y2) = 2/5
Definiia : Spunem c evenimentele A1, A2, ...,Ak sunt
independente n totalitate dac: sunt independente dou cte dou, sunt
independente trei cte trei, ..., sunt independente toate k.
n acest caz: P(A1 ( A2 ( ... ( Ak) = P(A1) P(A2) ... P(Ak)
Observaie: Dac evenimentele sunt independente dou cte dou nu
rezult c sunt independente n totalitate.
Exemplu : ntr-un lot de 100 televizoare s-au gsit 4 televizoare
defecte: un televizor nu are imagine, un televizor are defect de
sunet, un televizor nu primete curent de la reea, un televizor are
toate cele trei defecte de mai sus.Atunci, dac A este evenimentul -
televizorul nu are imagine, B este evenimentul - televizorul nu are
sunet, C este evenimentul - televizorul nu primete curent de la
reea putem scrie:P(A) =1/2= P(B) = P(C), iar P(A ( B) = P(B ( C) =
P(A ( C) = 1/4 ceea ce arat c evenimentele A, B, C sunt
independente dou cte dou .
Dar P(A ( B ( C) =1/4 ( P(A)(P(B)(P(C) =1/8.
Formula probabilitii totale:Fie o partiie a mulimii E adica:Ai (
Aj = (, i(j, P(Aj) > 0, j(
, iar
. Fie X un eveniment oarecare, X(K => formula probabilitii
totale.
Exemplu : Un utilaj se poate defecta din patru motive:H1, H2,
H3, H4 cu probabilitile lor de apariie: P(H1) = 0,2; P(H2) = 0,4;
P(H3) = 0,3; P(H4) = 0,1. Probabilitile cu care utilajul se
defecteaz datorit apariiei uneia din aceste cauze sunt: P(A(H1) =
0,9; P(A ( H2) = 0,1; P(A ( H3) = 0,6; P(A ( H4) = 0,3. Care este
probabilitatea ca utilajul s se defecteze?
Formula probabilitii totale conduce la:
Formula lui BayesDac , cu o partiie a mulimii E i X( K este un
eveniment oarecare: Formula lui Bayes.Observaie: n formula lui
Bayes apar P(Hj) care se numesc probabiliti apriori i P(Hj ( X)
care se numesc probabiliti aposteriori.
Dac primele probabilitati sunt cunoscute nainte de producerea
evenimentului X, cele aposteriori se pot cunoate i determina abia
dup producerea evenimentului X. Deci, realizarea lui X crete
informaia asupra acestora.
Exemplu : Trei maini A, B, C fiecare cu o capacitate zilnic de
4000 de produse lucreaz cu urmtoarele performane. Probabilitatea ca
o pies s fie defect este 0,01; 0,02 i 0,04 pentru mainile A, B i C
respectiv. ntr-o aceeai zi maina A a produs 3900 de piese, maina B-
4200 piese, iar maina C -3600 piese. O pies este aleas la ntmplare
din producia acelei zile, se constat c ea este defect.Care este
probabilitatea ca ea s fi fost produs de maina C?
Soluie: P(A)=3900/11700=0,33;
P(B)=4200/11700=0,36;P(C)=3600/11700=0,31
De asemenea, dac notm cu D - evenimentul: piesa este defect.
P(D ( A) = 0,01; P(D ( B) = 0,02; P(D ( C) = 0,04.Aplicnd
formula lui Bayes, obinem:
=0,31*0,04/0,0229=0,54
Observaie: Fie evenimentul C: o pies este produs de maina C si
P(C) este probabilitatea aprioric a evenimentului C iar P(C(D) este
probabilitatea aposterioar ca o pies s fie produs de maina C. Ea
difer de probabilitatea aprioric deoarece conine mai mult
informaie.
Probleme rezolvate
1. Se aleg la intmplare 4 polie de asigurare: ele pot fi de via
sau de bunuri.
a) Scriei mulimea evenimentelor elementare. Care este
probabiltatea unui eveniment elementar ales la ntmplare?
b) Care sunt rezultatele care au exact 3 polie de via? Ce anse
avem ca , din cele 4 polie alese, 3 polie s fie de via?
c) Ce evenimente conin cel mult 2 polie de bunuri? Ce anse exist
astfel inct, alegnd la ntmplare ce 4 polie, printre ele s gsim cel
puin 2 polie de bunuri?
Soluie: Vom nota V=polia este de via i B=polia este de
bunuri.
a) Mulimea evenimentelor elementare reprezint mulimea tuturor
posibilitilor pe care le putem regsi pentru cele 4 polie:
E={(V,V,V,V),(B,V,V,V),(V,B,V,V),(V,V,B,V),(V,V,V,B),(B,B,V,V),(B,V,B,V),
(B,V,V,B),(V,B,B,V),(V,B,V,B),(V,V,B,B),(B,B,B,V),(B,B,V,B),
(B,V,B,B),
(V,B,B,B),(B,B,B,B)}
P((V,V,V,V))=numr cazuri favorabile/numr cazuri
posibile=1/16
P((B,V,V,V))=P((V,B,V,V))=P((V,V,B,V))=P((V,V,V,B))=1/16
Analog celelalte evenimente elementare.
Observaie: dac dorim calcularea unui eveniment
neelementar(compus) de tipul A: din 4 polie, una este de viaa,
atunci vom exprima pe A ca o mulime de evenimente elementare.
A= {(B,V,V,V),(V,B,V,V),(V,V,B,V),(V,V,V,B)}
P(A)= numr cazuri favorabile/numr cazuri posibile=4/16=0,25.
b) C: din 4 polie, exact 3 sunt de
viaC={(B,B,B,V),(B,B,V,B),(B,V,B,B),(V,B,B,B)} =>
P(C)=4/16=0,25=25%
Exist 25% anse ca, alegnd la ntmplare 4 polie, exact 3 sa fie de
bunuri.
c) D: din 4 polie, cel mult 2 sunt de bunuri
D={(V,V,V,V),(B,V,V,V),(V,B,V,V),(V,V,B,V),(V,V,V,B),(B,B,V,V),(B,V,B,V),
(B,V,V,B),(V,B,B,V),(V,B,V,B),(V,V,B,B)} =>
P(D)=12/16=0,75
Exist 75% anse ca, alegnd la ntmplare 4 polie, cel mult 2 sa fie
de bunuri.
2. Un colectiv academic voteaz pentru alegerea conductorului su.
Voturile se scot din urn unul cte unul. tiind c au fost 4 voturi
pentru candidatul A i 3 pentru candidatul B, s se scrie rezultatele
posibile ale experimentului, dup a 4-a extragere. S se determine
probabilitatea ca s fie decretat ctigtor candidatul A, dup a 4-a
extragere.
Soluie: Notm evenimentele:A=votul se acord pentru candidatul
A
B=votul este pentru candidatul B
E={(A,A,A,A),(B,A,A,A),(A,B,A,A),(A,A,B,A),(A,A,A,B),(B,B,A,A),(B,A,B,A),
(B,A,A,B),(A,B,B,A),(A,B,A,B),(A,A,B,B),(B,B,B,A),(B,B,A,B),
(B,A,B,B),(A,B,B,B)}
C :dup a 4-a extragere, candidatul A este declarat ctigtor
C={(A,A,A,A),(B,A,A,A),(A,B,A,A),(A,A,B,A),(A,A,A,B)}=5/15=1/5
3. Departamentul de vnzri al unei companii are un target fixat
pentru volumul vnzrilor, target ce trebuie atins (sau depit n cel
mai fericit caz) n fiecare lun. n timpul unui an,
s-au obinut urmtoarele rezultate: n lunile martie, aprilie,
iulie, noiembrie, decembrie: a fost atins i chiar depit volumul
vnzrilor propus, dar n lunile rmase volumul vnzrilor a fost mai
mic. Ce anse exist ca targetul s fie atins? Dar s nu fie
atins?Soluie: Notm evenimentele:
A: targetul este atins ntr-o lun B: targetul nu este atins ntr-o
lunP(A)= =5/12=0,416=41,6% P(B)= 7/12=0,584=58,4%
4. La o staie de schimbare ulei ateapt s fie servite 10 maini de
diferite mrci strine i 15 maini Dacia. Conform programului staiei
de servire numai 6 dintre aceste maini pot fi rezolvate.Dac acestea
au sosit aleator, care este probabilitatea ca, dintre acestea, 3 s
fie Dacii i celelalte 3 maini strine.
Solutie: p==0,31
5. Umplerea unui bazin se realizeaz cu ajutorul a dou pompe U1 i
U2. Cele dou pompe se defecteaz independent una de alta.
Probabilitile de defectare pentru cele dou pompe sunt respectiv 0,1
i 0,05. Care este probabilitatea ca o singur pompa s se defecteze?
Care este probabilitatea ca cel puin o pomp s se defecteze?
Soluie: Fie urmtoarele evenimente:
A1: pompa U1 se defecteaz : pompa U1 nu se defecteazA2: pompa U2
se defecteaz : pompa U2 nu se defecteazP(A1)=0,1 respectiv
P(A2)=0,05 aadar P(1)=1-0,1=0,9 respectiv P(2)=1-0,05=0,95.
Dar pompele se defecteaz independent una de cealalt, aadar
evenimentele A1 i A2 vor fi independente => P(A1)=P(A1)*P(),
P(A2)=P(A2)*P()
Fie evenimentele suplimentare: B: una dintre pompe se
defecteaz
C: pompa U1 se defecteaz i pompa U2 nu se defecteazD: pompa U1
nu se defecteaz i pompa U2 se defecteazObservaie: B=CD, C=A1 , D=,
CD= =>
P(o pomp se defecteaz) = P(B)=P(C)+P(D)=P(A1)*P()+P(A2)*P()
=
=0,1*0,95+0,9*0,05=0,14
P(cel puin o pompa s se defecteze)=1-P(nici o pomp s nu se
defecteze)=
=1-P(1
EMBED Equation.3 2)=1-0,9*0,95=0,145=14,5% anse ca cel puin o
pomp s se defecteze.
6. Exist o legtur ntre proprietatea de independen i cea de
incompatibilitate a 2 evenimente? Dar ntre proprietatea de
incompatibilitate i complementaritate?
Soluie: Rspunsul la prima intrebare este nu, dup cum este
prezentat n tabelul de mai jos. Reamintim:
A i B incompatibile ( AB=
A i B independente ( P(AB)=P(A)P(B)
Vom considera aruncarea unui zar iar evenimentele A i B vor fi
compuse din evenimente simple echiprobabile(1/6): numrul de pe faa
zarului ce apare la o aruncare a zarului omogen.
AB=
P(AB)=P(A)P(B)ABP(A)P(B)
DADA{1,2,4,6}
4/60
DANU{1,3,5}{2,4,6}3/63/6
NUDA{1,2}{2,3,4}2/63/6
NUNU{1,2,5){2,3,4}3/63/6
Aadar pot exista evenimente independente care sunt sau nu
incompatibile i pot exista evenimente incompatibile care sunt sau
nu independente.
n ceea ce privete a 2-a ntrebare, rspunsul este evident din
definiia celor 2 proprieti:
A i B complementare ( AB= si AB=E
A i B incompatibile ( AB=
A i B complementare => A i B incompatibile. Implicaia invers
nu este ns adevarat. Aceast afirmaie se justific utiliznd acelai
experiment de aruncare a zarului omogen E={1,2,3,4,5,6,} i
evenimentele A={1,2,3} B={4}
7. Fie A1, A2 evenimente incompatibile astfel nct
P(A1)P(A2)>0. S se arate c aceste evenimente nu sunt
independente.
Soluie: A1A2==> P(A1A2)=0
A1, A2 evenimente independente P(A1A2)=P(A1)P(A2)>0
Deci s-a obinut o contradicie.
8. ntr-o urn se afl 4 bilete notate astfel: 110 101011 000
Se extrage din urn un bilet i se consider evenimentele:
Ai=cifra i de pe bilet este 1, i=1,2,3.
Sunt independente evenimentele A1,A2,A3 dou cte dou? Sunt ele
independente n totalitate?
Soluie:Conform formulei: se obine c: P(A1)=2/4=1/2;
P(A2)=2/4=1/2; P(A3)=2/4=1/2
Cum , urmeaz c evenimentele A1 i A2 sunt independente. n mod
analog se arat c evenimentele A1 i A3, respectiv A2 i A3 sunt
independente.
Cum , rezult c cele trei evenimente nu sunt independente n
totalitate.
9. Dac P(A ( B ( C) = 0,04, P(A) = 0,1 i P(B ( A) = 0,8 s se
afle P(C (A ( B).
Soluie: P(C (A ( B)=; P(B ( A)= =>
=> P(=P(A)* P(B ( A)=0,8*0,01=0,08
10. Dac A i B sunt evenimente ce pot s apar n urma unei
experiene i se cunoate P(B)= 0,4, P(A(B) =0,3, P(A(
) = 0,2 s se afle P(A), i
.
Soluie:Folosind formula probabilitii totale:
P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=>
=> P(A)=0,3*0,4+0,2*0,6=0,24
Folosind relaiile de Morgan: =>
=> =0,88
Folosind probabilitatea reuniunii de evenimente:
=P(+P(-P()=>
P()=P(+P(
EMBED Equation.2 =1-0,24+1-0,4-0,88=0,48
11. Presupunem c se face un test de diagnostic pentru depistarea
hepatitei cronice. El are probabilitatea de reuit de 0,98. Fie
evenimentele:
A1 : pacientul are hepatit
A2 : pacientul nu are hepatit
A3 : pacientul are reacie pozitiv la test.
n populaia studiat probabilitatea ca un individ s aib hepatit
este: P(A1) = 0,012, iar P(A2) = 0,988. tiind c: P(A3(A1) = 0,98;
P(A3(A2) = 0,02, care este probabilitatea ca un individ din aceast
populaie care reacioneaz pozitiv la test s fie ntr-adevr bolnav de
hepatit? (adic P(A1(A3))
Solutie:Folosim formula Bayes:
=0,012*0,98/(0,012*0,98+0,988*0,02)=0,01176/0,03152=0,3731
Exist anse 37,31% ca un individ care reacioneaz pozitiv la test
s fie ntr-adevr bolnav de hepatit.
12. Se urmrete creterea probabilitii de funcionare a unui sistem
cu dou componente: A i B. Pentru aceasta se poate proceda n dou
moduri:
a) Se ataeaz n paralel cu sistemul dat un sistem de rezerv
identic cu sistemul iniial
A
B
A
B
b) Pentru fiecare component n parte se ataeaz n paralel o
component identic
A
B
A B
Dac notm cu p1 probabilitatea de funcionare a componentei A i cu
p2 probabilitatea de funcionare a componentei B, care dintre aceste
metode este mai bun?
Soluie: a doua metod este mai bun deoarece: Pa = p1p2(2-p1p2),
Pb = p1p2(2-p1)(2-p2).
13. Un patron vrea s angajeze patru tineri ingineri. La concurs
s-au nscris 12 candidai. n prima zi au fost testai 7 din cei 12
candidai, iar a doua zi 5. Care este probabilitatea ca trei din cei
patru reuii la concurs s fi fost testai n prima zi?
Soluie:Fie evenimentele:
B: 3 ingineri sunt admii n prima zi i cellalt a 2-a zi
A : inginerul admis s fie din grupa intervievat n prima zi
N : inginerul admis sa fie din grupa intervievat a doua zi
P(A)=7/12 probabilitatea ca primul inginer admis s fie
intervievat in prima zi
P(A|A)=6/12 probabilitatea ca al 2-lea inginer admis s fie
intervievat n prima zi, dac primul admis a fost intervievat tot n
prima zi
P(A|A,A)=5/10 probabilitatea ca al 3-lea inginer admis s fie
intervievat n prima zi, dac primii 2 admii au fost intervievai tot
n prima zi
P(N|A,A,A)=5/9 probabilitatea ca al 4-lea inginer admis s fie
intervievat a doua zi, dac primii 3 admii au fost intervievai n
prima zi
P(B)=P(A)P(A|A)P(A|A,A)P(N|A,A,A)=(7*6*5*5)/(12*11*10*9)
=1050/11880=0,884
Aadar exist 88,4% anse ca trei din cei patru reuii la concurs s
fi fost testai n prima zi.
14. ntr-o uzin de automobile fiecare din electromotoarele ce
urmeaz a fi montate pe main pot avea un defect cu probabilitatea
0,05. Ele sunt verificate i probabilitatea ca defectul s fie
depistat de controlorul de calitate este 0,98. El poate grei i
respinge un electromotor bun cu probabilitatea 0,01. Determinai
probabilitatea : un electromotor este respins.
Soluie:Fie urmtoarele evenimente:
A: electromotorul este respins; B: electromotorul este defect
Electromotorul poate avea un defect cu probabilitatea 0,05 (
P(B)=0,05;
probabilitatea ca defectul s fie depistat de controlorul de
calitate este 0,98 (P(A|B)=0,98
Controlorul poate grei i respinge un electromotor bun cu
probabilitatea 0,01( P(A|)=0,01
Conform formulei probabilitii totale: P(A)=
Aadar P(A)=0,05*0,98+0,95*0,0,01=0,0585
Deci ansa ca un electromotor s fie respins este 5,85%
15. O nava spaial este bombardat de particule cosmice care pot
produce defectri ale componentelor A1,A2,A3, A4.. Fiecare dintre
aceste componente se defecteaz independent de celelalte (cu
probabilitile p1,p2,p3 respectiv p4) astfel incat p1+p2+p3+p4=1.
Defectarea navetei se realizeaz fie dac se defecteaza A1, fie dac
se defecteaz A2 ,A3 i A4 simultan. Determinai probabilitatea ca
numarul de particole ce lovesc tinta sa fien.
Soluie:Fie X=numrul de particule care defecteaz sistemul
Notaie: Ai: evenimentul ca Ai s se defecteze (cu probabilitatea
pi) i{1,2,3,4}
P(Xn)=P(numrul de particule ce lovesc naveta i duc la defectarea
navei n)=
=1-P(X>n)=1-P(dup ce naveta este lovit de n particule, ea nc
mai funcioneaz)
P(X>n)=P(P()=
= P() = P() conform formulei pentru reuniunea de evenimente
rezult c:
P(X>n)=P()+P()+P()-P()-
-P()-P()+P()
Dar P()=(1-p1-p2)n=(p3+p4)n; P()=(1-p1-p3 )n=(p2 +p4)n;
P()=(1-p1-p4 )n=(p2 +p3 )n;
P()=P()=(1-p1-p2-p3)n=p
P()=P()=(1-p1-p2-p4)n=p
P()=P()=(1-p1-p3-p4 )n=p
P()=0
Aadar P(Xn)=1-P(X>n)=1-(p3+p4)n-(p2 +p4)n-(p2 +p3 )n+ p+ p+
p.
16. Exist 3 canale de comunicaie pe care mesajele sunt trimise
aleator (cu probabiliti egale pe fiecare canal). Probabilitatea ca
un mesaj trimis pe canalul 1 s fie distorsionat este p1, pe al
doilea canal p2, iar pe al treilea canal este p3. Se alege un canal
la ntmplare i pe el se trimit k mesaje; nici unul dintre aceste
mesaje nu este distorsionat..
S se afle probabilitatea ca mesajul k+1 trimis pe acelai canal s
nu fie distorsionat.
Soluie: Fie A1- evenimentul: mesajul este trimis pe primul
canal;
A2- evenimentul: mesajul este trimis pe al doilea canal;
A3- evenimentul: mesajul este trimis pe al treilea canal;
B- evenimentul: mesajul este distorsionat.
Atunci probabilitatea cutat conform T. Bayes este:
deoarece 1/3.
Probleme propuse
1. Fie A,B,C evenimente ale unui cmp de probabilitate. Se cunosc
P(A(B)=0,25; P(B(C)=0,15; P(A(C)=0,2 i P(A(B(C)=0,08. S se
determine probabilitatea evenimentului D=se realizeaz numai dou din
cele trei evenimente.
Indicaie: P(AB)=P(A)+P() analog celelalte intersecii de 2
evenimente. D= =>P(D)=0,36
2. Fie A1, A2 evenimente independente astfel inct
P(A1)*P(A2)>0. S se arate c aceste evenimente nu sunt
incompatibile.
Indicaie:se folosesc definiiile acestor tipuri de
evenimente.
3.Sa se arate ca pentru orice doua evenimente:[
4.Dintr-un lot de 10 piese au fost alese la intamplare 3
piese..Sa se determine probabilitatile urmatoarelor
evenimente:A-cel putin una din cele 3 piese este defecta.B-doua din
cele 3 piese sunt defecte.R:17/24 si 7/40.
5.O ntreprindere are n dotare 20 de motoare electrice de acelai
tip, dar provenind de la 2 firme constructoare diferite: 5 de la
prima firm i 15 de la a doua firm, fiecare lot avnd diferite
probabiliti de funcionare corect p1=0,95(pentru prima) i p2=0,96
(pentru a doua). Funcionarea tuturor motoarelor condiioneaz
funcionarea corect a ntreprinderii, avarierea unuia reducnd
producia ntreprinderii.
Care este probabilitatea ca, dac s-a redus producia
ntreprinderii, ea s fi fost datorat avariei unui motor produs de
firma 1?
Indicaie: Se folosete Formula Bayes
6.n asamblarea unui calculator se folosesc trei tipuri de
procesoare: 25% de tip A, 35% de tip B, 40% de tip C. Procentajele
defectelor de fabricaie sunt: 5% pentru microprocesoarele de tip A,
4% pentru microprocesoarele de tip B si 2% pentru microprocesoarele
de tip C. Se alege un microprocesor. Care este probabilitatea ca el
sa fie defect? tiind ca microprocesorul ales are un defect de
fabricatie, care este probabilitatea ca el sa fie de tip A?
Indicaie: Se folosete formula probabilitii totale 0,03457.ntr-o
instituie de nvtmnt sunt nscrii 5000 de studeni dintre care 2800
sunt de sex feminin i 2200 de sex masculin. Printre cei 5000 de
cursani, 1600 au o slujb cu program redus, dintre acetia 600 sunt
de sex masculin i 1000 de sex feminin. Dac se alege la ntmplare un
cursant i acesta este de sex masculin, care este probabilitatea ca
el s aib o slujba cu program redus?
R: 0,2727
8.Un laborator cu mai multe calculatoare are 3 imprimante A,B,C.
Aceste imprimante sunt folosite pentru printarea documentelor
trimise de la aceste calculatoare; documentele intr pe o imprimant
n ordinea n care una sau alta este liber. Probabilitatea ca un
document s fie printat de una din imprimantele A,B,C este:
0,6;0,3respectiv 0,1. Ocazional, una dintre aceste imprimante se
blocheaza cu probabilitaile 0,01;0,05;0,04 respectiv. Presupunem c
am trimis un document i acesta n-a fost editat. Care este
probabilitatea ca el s fi fost pierdut din cauza defectrii
imprimantei B?
9.3 studeni se prezint la un concurs pentru acordarea unor
burse. Performanele anterioare sunt cuantificate cu urmtoarele
procente:I-84% II-90% III-75%
a) Care este probabilitatea ca toi s ctige bursa?
b) Care este probabilitatea ca cel puin 2 s ctige bursa?
Indicaie:a) P(toi studenii primesc bursa)=0,567=56,7%
b) P(cel puin 2 s ctige bursa)=0,927=92,7%
10. La o loterie s-au vandut 1000 bilete; dintre acestea numai
50 sunt castigatoare. Mihai a cumparat 10 bilete.Care este
probabilitatea ca cel putin un bilet din cele 10 sa fie
castigator?
11. Coeficientii a,b,c, ai ecuatiei ax2+bx+c=0 sunt variabile
aleatoare ce au ca valori ,valorile obtinute prin aruncarea unui
zar de 3 ori.Sa se determine probabilitatea ca radacinile sa fie
egale.
Ind.b2=4ac este verificata pentru a=4,b=4,c=1sau a=2,b=4,c=2 sau
a=3,b=6,c=3.
12. Probabilitatea ca o usa sa fie inchisa este 1/2. Cheia de la
aceasta usa se afla printre 12 chei aflate pe un panou. Daca o
persoana alege 2 chei dintre acestea, care este probabilitatea ca
ea sa poata deschide usa fara sa se intoarca dupa alta cheie?PAGE
2
_1166341621.unknown
_1168583620.unknown
_1168584568.unknown
_1168585710.unknown
_1168585838.unknown
_1169360958.unknown
_1169883234.unknown
_1168585854.unknown
_1168585812.unknown
_1168585572.unknown
_1168585635.unknown
_1168584888.unknown
_1168584936.unknown
_1168584605.unknown
_1168583814.unknown
_1168584085.unknown
_1168584188.unknown
_1168584263.unknown
_1168584308.unknown
_1168584396.unknown
_1168584225.unknown
_1168584125.unknown
_1168583908.unknown
_1168584010.unknown
_1168583860.unknown
_1168583698.unknown
_1168583775.unknown
_1168583787.unknown
_1168583760.unknown
_1168583656.unknown
_1168582417.unknown
_1168583471.unknown
_1168583567.unknown
_1168583584.unknown
_1168583545.unknown
_1168582696.unknown
_1168583250.unknown
_1168582446.unknown
_1168497835.unknown
_1168499704.unknown
_1168499824.unknown
_1168582192.unknown
_1168499804.unknown
_1168499597.unknown
_1166341677.unknown
_1166791533.unknown
_1166951278.unknown
_1166954262.unknown
_1167301721.unknown
_1168415707.unknown
_1168416047.unknown
_1167301748.unknown
_1167301702.unknown
_1166954246.unknown
_1166951351.unknown
_1166951438.unknown
_1166791926.unknown
_1166792153.unknown
_1166792182.unknown
_1166792319.unknown
_1166792165.unknown
_1166791935.unknown
_1166791587.unknown
_1166791602.unknown
_1166342789.unknown
_1166789740.unknown
_1166789930.unknown
_1166789918.unknown
_1166342803.unknown
_1166342016.unknown
_1166341631.unknown
_956692372.unknown
_1166193105.unknown
_1166255627.unknown
_1166276191.unknown
_1166276797.unknown
_1166276938.unknown
_1166276963.unknown
_1166276224.unknown
_1166255906.unknown
_1166270609.unknown
_1166272583.unknown
_1166272762.unknown
_1166255907.unknown
_1166255768.unknown
_1166255728.unknown
_1166255748.unknown
_1166255642.unknown
_1166193716.unknown
_1166193866.unknown
_1166193790.unknown
_1166193842.unknown
_1166193733.unknown
_1166193453.unknown
_1166193595.unknown
_1166193631.unknown
_1166193507.unknown
_1166193362.unknown
_1166193374.unknown
_1166193337.unknown
_956692377.unknown
_1165039970.unknown
_1166193054.unknown
_1165039959.unknown
_956692375.unknown
_956692376.unknown
_956692373.unknown
_956692362.unknown
_956692367.unknown
_956692370.unknown
_956692371.unknown
_956692368.unknown
_956692364.unknown
_956692365.unknown
_956692363.unknown
_956692341.unknown
_956692346.unknown
_956692348.unknown
_956692349.unknown
_956692347.unknown
_956692343.unknown
_956692344.unknown
_956692342.unknown
_956692322.unknown
_956692325.unknown
_956692340.unknown
_956692324.unknown
_956692298.unknown
_956692318.unknown
_956692277.unknown
_956692297.unknown
_956692275.unknown
_956692276.unknown