11/3/2002 1 November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 1/58 Statik og bygningskonstruktion Program lektion 9 8.30-9.15 Tøjninger og spændinger 9.15–9.30 Pause 9.30–10.15 Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke 10.15–10.45 Pause 10.45–12.00 Opgaveregning Kursusholder Poul Henning Kirkegaard, institut 5, Aalborg Universitet November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 2/58 Introduktion Giver en introduktion til Styrkelære med henblik på at lave simple design beregninger. Introduktion til Mekanik og Styrkelære 1 på 5. semester, hvor matematiske modeller opstilles for spændinger og deformation i stænger og bjælker og emnet Styrkelære behandles i detaljer. November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 3/58 Tøjninger og spændinger Spændinger (σ) – mål for indre last i konstruktionselement Tøjning (ε) - mål for indre derformation i konstruktionselement
21
Embed
Statik og bygningskonstruktion - wind.civil.aau.dk · • Slå op i profil tabel/teknisk ståbi Normalspændinger i plan bjælke
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
11/3/2002
1
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 1/58
Statik og bygningskonstruktionProgram lektion 9
8.30-9.15 Tøjninger og spændinger
9.15–9.30 Pause
9.30–10.15 Spændinger i plan bjælkeDeformationer i plan bjælke
10.15–10.45 Pause
10.45–12.00 Opgaveregning
KursusholderPoul Henning Kirkegaard, institut 5, Aalborg Universitet
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 2/58
Introduktion
Giver en introduktion til Styrkelære med henblik på at lave simple design beregninger.
Introduktion til Mekanik og Styrkelære 1 på 5. semester, hvor matematiske modeller opstilles for spændinger og deformation i stænger og bjælker og emnet Styrkelære behandles i detaljer.
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 3/58
Tøjninger og spændinger
Spændinger (σ) – mål for indre last i konstruktionselement
Tøjning (ε) - mål for indre derformation i
konstruktionselement
11/3/2002
2
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 4/58
Spændingskomponeter
F1
∆F
σy
σx
σz
τyxτxy
τxz
τzx τzyτyz
SI enheder: Pa (Pascal) =N/mm2
σz’
σx’σy’
Forskydningsspændinger
Normalspændinger
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 5/58
Spændingskomponeter
En positiv værdi for σ indikerer en træk spænding. Dvs. spændingen udfører et træk på arealet, hvor den virker.
En negativ værdi for σ indikerer en tryk spænding. Dvs. spændingen udfører et tryk på arealet,hvor den virker.
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 6/58
Aksial last på stang
A
PdAdFF
A
z === ∫ ∫∑ σσ ;;0
P
P
Pσ =P/Α
L
L+δ
Normalspændinger
zx
y
11/3/2002
3
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 7/58
Normalspændinger
( )
b
2 2 2 6 2o i
3
6
A d d 6362mm 6362 10 m4F 150 10
23.6 MPaA 6362 10
−
−
π= − = = ×
×σ = = =×
Spændninger i rør
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 8/58
Normalspændinger
0.4m 0.4m
1.5kN
10kN/m
10mm
30mm
8kN
1.5kNR
kNR
RFx
5.6
085.1;0
=
=+−−=∑
MPaA
N
N
7.21)03.0(01.0
5.6
5.6
maxmax
max
===
=
σ
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 9/58
ForskydningsspændingerP
P
P
Forskydningsspændinger
V
A
Vave =τ
• Dobbelt forskydning
P P
PP/2
P/2
• Enkel forskydning
PP
PP
P P
VV
11/3/2002
4
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 10/58
Nødvendigt areal ved design
P P
V=PP allow
PA
τ=
design
allow
PA
σ=
design
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 11/58
Normaltøjninger
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 12/58
Normaltøjninger
11/3/2002
5
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 13/58
Forskydningstøjninger
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 14/58
Tøjningskomponeterz
x
y ∆z∆x
∆y
− xyγπ
2
− xyγπ
2
( ) xx ∆+ ε1( ) yy ∆+ ε1
( ) yy ∆+ ε1
Udeformeret Deformeret
• Normaltøjninger ændrer volumet af elementet • Forskydningstøjninger ændrer formen af elementet
∆z
− yzγπ
2
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 15/58
Normaltøjninger
Normaltøjning i wire CB når θ = 0.002 rad. Lsin(θ)≈Lθ
11/3/2002
6
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 16/58
Normaltøjninger
Normaltøjningen langs kanten AB
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 17/58
ForskydningstøjningerForskydningstøjningen relativ til x-y akserne
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 18/58
ArbejdskurverMaterialers arbejskurver (σ-ε diagram) bestemmes i en trækprøvemaskine
Spændinger er proportionale til tøjninger (σ=Eε) pga. lineær elastisk materiale (Bernoulli-bjælke)
Sammenpresning (ε<0)
Forlængelse (ε>0)
Ingen tøjning (ε=0)
Normalspændinger i plan bjælke
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 24/58
Normalspændinger i plan bjælke
Spændinger på tværsnit for positivt moment M
11/3/2002
9
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 25/58
Normalspændinger i plan bjælke
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 26/58
Normalspændinger i plan bjælkeFormel for bøjningsspændninger
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 27/58
Normalspændinger og tøjninger
spændninger tøjninger
neutral akse
11/3/2002
10
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 28/58
For rektangulært tværsnitd
b
I = bd312
mm4
InertimomentInertimoment I er en tværsnitskonstant, som angiver et tværsnits stivhed.
∫=A
dAyI 2
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 29/58
W=bd2
6
b
d
mm3
Modstandsmoment
Modstandsmoment W er en tværsnitskonstant, som angiver et tværsnits stivhed.
For rektangulært tværsnit
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 30/58
Et 250 x 50mm tværsnit i en plan bjælke er påvirket af det maksimale moment på 4kNm
Modstandsmoment W = bd2 / 6
Spændning i tværsnit σ = M / W
50
250
Tilladelig spænding σt = 8MPa
= 4 / 0.52 x 10-3
= 50 x 2502 / 6
= 0.52 x 106 mm3 = 0.52 x 10-3m3
= 7.69 MPa
σ < σt → ΟΚ!
Normalspændinger i plan bjælke
11/3/2002
11
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 31/58
Det maksimale moment M for et tværsnit antages kendt. Bestem nødvendigt modstandsmoment Wn
b?
d?
• Vælg b og d således at W >= Wnødn
• Slå op i profil tabel/teknisk ståbi
Normalspændinger i plan bjælke
Tilladelig spænding σt (findes i Norm)
Nødvendig modstandsmoment Wnødn=M/σt
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 32/58
Teknisk Ståbi
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 33/58
Normalspændinger i plan bjælke
Bestem de maksimale normalspændinger i den simpel understøttede bjælke
11/3/2002
12
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 34/58
Normalspændinger i plan bjælke
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 35/58
Normalspændinger i plan bjælke
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 36/58
Normalspændinger i plan bjælke
P
e
I
Pey
A
Px +=σ
+ = eller
Bjælke med aksial last P
Naviers formel:
11/3/2002
13
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 37/58
Forskydningsspændinger i plan bjælkeLineær elastisk bjælke med plane tværsnit
Uden sammenlimning Med sammenlimning
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 38/58
Forskydningsspændinger i plan bjælkeLineær elastisk bjælke med ikke plane tværsnit !!!!!
Før deformation Efter deformation
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 39/58
Forskydningsspændinger i plan bjælkeFordeling af forskydningsspændinger
11/3/2002
14
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 40/58
Forskydningsspændinger i plan bjælkeForskydningsspændinger i rektangulært tværsnit
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 41/58
Forskydningsspændinger i plan bjælke
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 42/58
Forskydningsspændinger i plan bjælkeForskydningsspændinger i I-tværsnit
11/3/2002
15
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 43/58
Forskydningsspændinger i plan bjælke
Bestem forskydningsspændinger i pkt P for den simpel understøttede bjælke
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 44/58
Forskydningsspændinger i plan bjælke
Forskydningskræfter i den simpel understøttede bjælke
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 45/58
Forskydningsspændinger i plan bjælke
Forskydningsspændinger i pkt P
11/3/2002
16
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 46/58
Forskydningsspændinger i plan bjælke
Bestem forskydningsspændingerne i I-tværsnittet for den simpel understøttede bjælke
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 47/58
Forskydningsspændinger i plan bjælkeForskydningskræfter i den simpel understøttede bjælke
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 48/58
Forskydningsspændinger i plan bjælke
11/3/2002
17
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 49/58
Design af plan bjælkeEn simpel understøttede bjælke er lavet af et materiale med en tilladelig bøjningsspænding σt = 150 MPa og en tilladelig forskydningsspændning τt = 100 MPa. Bestem det nødvendige modstandsmomentet Wnødn.
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 50/58
Design af plan bjælke
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 51/58
Design af plan bjælkeValgt tværsnit med W > Wnødn.
11/3/2002
18
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 52/58
Design af plan bjælkeKontrol af forskydningsspændinger τt > τmax
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 53/58
Design af plan bjælkeKontrol af en kombination af normalspændinger og forskydningsspændinger bør også foretages, se dagens opgave.
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 54/58
Design af plan bjælkeEn bjælke har en jævn fordel last på 12kN/m. Hvis bjælken skal have et højde-til-bredde forhold på 1.5, ønskes den smalest bredde bestemt, når σt = 9 MPa og τt = 0.6 MPa. Egenvægt ses der bort fra.
11/3/2002
19
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 55/58
Design af plan bjælke
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 56/58
Design af plan bjælkeKontrol af normalspændinger σt > σmax
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 57/58
x
w
w
wL/2 wL/2
wL/2M
V
21
43
1
32
2
2
2
2
2412
64
22
022
;0
CxCwx
xwL
EIv
Cwx
xwL
dx
dvEI
wxx
wL
dx
dvEIM
Mwx
xwL
M
++−=
+−=
−==
=−−=∑
L
Deformationer i plan bjælke
11/3/2002
20
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 58/58
24;0
2412
1;0)(
0;0)0(3
11
44
2
wLCLC
wLwL
EIvLxv
Cxv
−==
+−===
===Randbetingelser:
( ) ( )
EI
wLL
LL
EI
wLLxv
LLxxEI
wxxv
384
5
28482
224
43
33
max
323
−=
−+−=
=
−+−=
Deformationer i plan bjælke
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 59/58
24;0
2412
1;0)(
0;0)0(3
11
44
2
wLCLC
wLwL
EIvLxv
Cxv
−==
+−===
===Randbetingelser:
( ) ( )
EI
wLL
LL
EI
wLLxv
LLxxEI
wxxv
384
5
28482
224
43
33
max
323
−=
−+−=
=
−+−=
Deformationer i plan bjælke
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 60/58
Deformationer i plan bjælke
P
w
M
EI
PL
2
2
max
−=θ
EI
wL
6
3
max
−=θ
EI
ML2
max =θ
EI
PLv
3
3
max
−=
EI
wLv
8
4
max
−=
EI
MLv
2
2
max =
( )xLEI
Pxv −−= 3
6
2
( )222
6424
LLxxEI
wxv +−−=
EI
Mxv
2
2
=
11/3/2002
21
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 61/58
Deformationer i plan bjælke
P
w
M
EI
PL
16
2
max
−=θ
EI
wL
24
3
max
−=θ
EI
MLEI
ML
B
A
6
3
=
−=
θ
θ
EI
PLv
48
3
max
−=
EI
wLv
3845 4
max
−=
EI
MLv
243
2
max
−=
( )22 4348
xLEI
Pxv −−=
( )223 2224
LLxxEI
wxv +−−=
( )22 236
LLxxEIL
Mxv +−−=
November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 62/58
Deformationer i plan bjælkeP
w For lineær elastiske konstruktionergælder superposition