STÆ 313 - normaldreifing ©2002 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir 1 Graf sérhverrar normaldreifingar er bjöllulaga. Normaldreifing Graf normaldreifingar nefnist.

STÆ 313 - normaldreifing ©2002 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir

1

Graf sérhverrar normaldreifingar er bjöllulaga.

Normaldreifing

Graf normaldreifingar nefnist normalkúrfa.

Hæsti punktur normalkúrfu liggur yfir meðaltali normaldreifingarinnar og normalkúfan er samhverf um meðaltalið.

Normalkúrfan er óendanleg í báðar áttir og snertir því aldrei lárétta ásinn.


2

=1

= 2

= 4

Normaldreifing með sama meðaltal en mismunandi staðalfrávik .

Normaldreifing ákvarðast af meðaltali og staðalfráviki dreifingarinnar.

Normaldreifing


3

Til að bera saman mæligögn um normaldreifingu er dreifingin í raun þýdd yfir á staðlaðalnormalkúrfu, sem er normalkúrfa með = 0.

x

z

x er mælistærðin, er meðaltalið og staðalfávikið.

Z- stig

Þetta er gert með því að finna z-stig dreifingarinnar.

Þegar z-stigið er fundið er flett upp í z-töflunni til að finna

%- flatarmálið á milli z-stigsins og meðaltalsins.


4

z = 0

50%

Heildarflatarmálið undir normalkúrfunni er 100%.

Flatarmál undir normalkúrfu

50% fyrir neðan meðaltalið og 50% fyrir ofan meðaltalið.

Flatarmálið undir normalkúrfunni milli meðaltals og z = 1 er 34,13%.

50%

z = 1

34,13%


5

Sjá bls. 237

z-taflan

z-taflan gefur upp prósentuflatarmálið á milli meðaltals og gefins z- stigs.

Þar sem normalkúrfan er samhverf um meðaltalið er sama %-flatarmál milli “–” z-stigs og meðaltals.

z = -1 z =0

34,13%


6

Samband z-stigs og flatarmáls I

Dæmi: Hver eru líkindi þess að z-stig sé á milli 0 og 1,2 ?

z = 0 z = 1, 2

50% 38,49%

11,51%

Svar: Finnum % töluna fyrir z = 1,2 í töflunni á bls. 237.

Þar fæst 38,49%.

Líkurnar á að z-stig sé á milli 0 og 1,2 er því 38,49%.


7

Dæmi 2: x stig eru normaldreifð með = 100 og =16.

Hve mörg % af x stigum er fyrir neðan 125 stig?

Svar: Byrjum á að reikna z- stig fyrir 125.

16

100125xz

framhald . . .

Samband z-stigs og flatarmáls II

56,116

25

Flettum upp í töflunni og finnum % töluna fyrir z = 1,56

Það reynist vera 44,06%.


8

z = 0 z = 1, 56

50% 44,06%

Teiknum skýringamynd til að átta okkur betur á hvað við vorum að finna.

Svar: Flatarmál normalkúrfunnar fyrir neðan z = 1,56 (125) er

50% + 44,06% = 94,06%.

Samband z-stigs og flatarmáls III


9

z = 0

Dæmi 3: Gerum ráð fyrir að skákstig íslenskra skákmanna séu normaldreifð með meðaltalið 2000 stig og staðalfrávikið 100 stig.

z = - ?

30% 50%

Samband z-stigs og flatarmáls IV

Yfir hvaða stigatölu eru 80% af skákmönnunum?

Skákstigin sem við erum að leita að eru fyrir neðan meðaltal og því er z-stigið neikvætt (- ).

Rissum upp normalkúrfuna til að átta okkur á hvað við þurfum að finna.


10

z = 0z = - 0,84

30%

50%

Svar: Við þurfum að finna z-stig þannig að flatarmálið milli meðaltalsins og z- stigsins sé 30%.

Samband z-stigs og flatarmáls V

Taflan sýnir að z = 0,84. z-stigið verður - 0,84 vegna þess við erum vinstra megin við miðju normalkúrfunnar.

84,0100

2000xxz

stig191610084,02000x


11

Samband z-stigs og flatarmáls VI

Dæmi 4: Meðalþyngd 500 nemenda er normaldreifð með meðaltalið 64 kg og staðalfrávikið 5 kg. 35 nemendur mældust léttari en Geir.

Svar: Byrjum á að reikna hversu mörg % nemendanna eru léttari en Geir.

Hvert er z-stig Geirs og þyngd hans?

Við þurfum því að finna z-stig fyrir 50% - 7% = 43%. Taflan sýnir okkur að z = -1,48 . -1,48 þar sem Geir er léttari en 64 kg.

35/500 = 7%.


12

Samband z-stigs og flatarmáls VII

z = 0z = -1,48

43% 50%

7%

48,15

64xxz

Svar: Þyngd Geirs er 56,6 kg.

kg6,56548,164x


13

STÆ 313 - normaldreifing ©2002 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir 1 Graf sérhverrar normaldreifingar er bjöllulaga. Normaldreifing Graf normaldreifingar nefnist.

Documents