-
SOLUSI PERSAMAANMAXWELLDI RUANG KOTTLER
TESISKarya tulis sebagai salah satu syaratuntuk memperoleh gelar
Magister dari
Institut Teknologi Bandung
OlehIMANSYAH PUTRA
NIM : 20211005(Program Studi FISIKA)
KK Fisika Teoretik Energi Tinggi dan InstrumentasiFakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Bandung2013
-
ABSTRAK
SOLUSI PERSAMAANMAXWELL DI RUANG KOTTLEROleh
IMANSYAH PUTRANIM : 20211005
(Program Studi FISIKA)
Dalam tesis ini ditinjau solusi persamaan Maxwell statik untuk
ruang Schwar-zschild-(anti)de Sitter yang dikenal sebagai ruang
Kottler serta memenuhi kondisiEinstein. Metode yang digunakan
adalah memecahkan persamaan Maxwell dalambentuk potensial. Pada
tesis ini kami gunakan kondisi gauge Lorentz diperumum.Kopling yang
tersisa selanjutnya di hilangkan dengan meninjau ansatsz yang
sesuaipada potensial. Kemudian diperoleh seperangkat persamaan
diferensial parsial ordedua yang pemecahannya menggunakan teknik
pemisahan variabel. Solusi Maxwe-ll yang diperoleh diterapkan untuk
menganalisis perilaku medan elektromagnetikpada lubang Hitam dengan
karakteristik tertentu.
Kata kunci : Schwarzschild-(anti)de Sitter, ruang Kottler, Gauge
Lorentz.
i
-
ABSTRACT
SOLUTION OF MAXWELLS EQUATIONS IN KOTTLERSPACE
ByIMANSYAH PUTRA
20211005(PHYSICS)
In this thesis, we solve a static Maxwells equations for
Schwarschild-(anti) deSitter spacetime, known as the Kottler
spacetime which satisfy Einsteins condition.We are used the
potential form to solve the Maxwells equations and consideringthe
generalized Lorentz gauge condition. The remaining coupling is
simplified byusing an ansatsz for potential. The resulting
equations are a set of second orderpartial differential equations
and we consider a separable solutions. The solutionsis representing
an electromagnetic fields on the black holes with certain
characte-ristics.
Keywords : Schwarzschild-(anti) de Sitter, Kottler SpaceTime,
Lorentz Gauge.
ii
-
SOLUSI PERSAMAANMAXWELL DI RUANG KOTLER
OlehIMANSYAH PUTRA
NIM : 20211005(Program Studi FISIKA)
Institut Teknologi Bandung
Menyetujui,Bandung, 30 Juli 2013
Dosen Pembimbing
Dr. rer. nat. Bobby Eka Gunara, MSiNIP. 197401281998021001
iii
-
PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS
Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di
Perpustakaan In-stitut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum
dengan ketentuan bahwa hakcipta ada pada pengarang dengan mengikuti
aturan HaKI yang berlaku di InstitutTeknologi Bandung. Referensi
kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengu-tipan atau
peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus
disertaidengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.
Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis
haruslah seizinDirektur Program Pascasarjana, Institut Teknologi
Bandung.
iv
-
Dipersembahkan kepada Orang Tuaku dan Istriku Kasmareni serta
anakku Naznen Mahyaterima kasih atas segala dukungannya.
Karya ini juga didedikasikan untuk semua guru-guruku
v
-
UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis sangat berterima kasih pada Asscociate Prof. DR. rer.
nat. BobbyEka Gunara sebagai Pembimbing di Institut Teknologi
Bandung, atas segala saran,bimbingan, dan nasehatnya selama
penelitian berlangsung dan selama penulisantesis ini. Terima kasih
juga disampaikan kepada Dr. Jusak Sali Kosasih dan Dr.Sparisoma
Viridi sebagai Penguji atas segala saran dan nasehatnya selama
SidangTesis.
Terima kasih disampaikan kepada Dr. Khairul Basyar sebagai Ketua
ProgramStudi Fisika atas segala saran, bimbingan, dan nasehatnya
selama penulis menja-lankan kuliah dan tesis pada program studi
Fisika. Terima kasih juga disampaikankepada seluruh dosen Fisika
dan Astronomi di Institut Teknologi Bandung atas se-gala
perhatiannya selama penulis menjalankan kuliah pada program studi
Fisika danmengambil beberapa mata kuliah di sains astronomi.
Terimakasih kepada BapakDaryat dari TU yang telah berkenan
menyelesaikan banyak persoalan administrasiyang penulis hadapi.
Terima kasih disampaikan kepada kedua orangtua serta istri dan
anakku atasdukungan dan semangatnya yang telah diberikan selama ini
serta adik penulis yangselalu mendukung penulis. Terima kasih juga
disampaikan kepada teman-temandi Fisika atas segala dukungannya
khususnya Kang Vicky, Suhadi serta Pak Arsulserta teman-teman yang
lain yang tidak bisa saya sebutkan satu per satu.
Bandung, Juli 2013
Penulis
vi
-
Daftar Isi
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . ii
PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. iv
UCAPAN TERIMA KASIH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . vi
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . vii
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . ix
Bab I Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1I.1 Latar Belakang Permasalahan . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 1I.2 Ruang Lingkup Permasalahan . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 2I.3 Tujuan Penulisan . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.4 Sistematika Penulisan . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Bab II Ruang Kottler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 4II.1 Solusi Kottler . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 4II.2 Geometri Ruang Kottler . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Bab III Persamaan Maxwell di Ruang Lengkung . . . . . . . . . .
. . . . . 16III.1 Persamaan Maxwell 3-Dimensi Ruang Datar . . . . .
. . . . . . . . 16III.2 Persamaan Maxwell di ruang Minkowski . . .
. . . . . . . . . . . . 20
III.2.1 Tensor Kuat Medan Elektromagnetik . . . . . . . . . . .
. . 20III.2.2 Persamaan Maxwell dalam Tensor Kuat Medan . . . . . .
. 23III.2.3 Identitas Bianchi pada Persamaan Maxwell . . . . . . .
. . 25
III.3 Persamaan Maxwell di ruang Lengkung . . . . . . . . . . .
. . . . 26III.4 Persamaan Maxwell dalam bentuk Form . . . . . . . .
. . . . . . . 28
Bab IV Solusi Persamaan Maxwell di Ruang Kottler . . . . . . . .
. . . . . 31IV.1 Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 31IV.2 Perhitungan dengan Gauge Lorentz
diperumum . . . . . . . . . . . 35
Bab V Kesimpulan dan Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 67V.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 67V.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Daftar Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 69
Bab A Formulasi Ringkas Matematika Teori Relativitas . . . . . .
. . . . . 70A.1 Perjanjian tanda . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 70A.2 Turunan Kovarian . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 70
vii
-
A.3 Kelengkungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 71A.4 Sifat-sifat Tensor Riemann . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 72A.5 Tensor Ricci . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 72A.6 Kelengkungan Skalar . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.7 Komutasi Turunan
Kovarian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.8 Identitas
Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.9
Tensor Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 74A.10 Persamaan Medan Einstein . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 74
Bab B Perhitungan dengan Temporal Gauge . . . . . . . . . . . .
. . . . . 76B.1 Formalisme Form . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 76
viii
-
Daftar Gambar
IV.1 Plot P 0(') . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 49IV.2 Plot R0(r) terhadap r(0! r1) untuk s = 0. . .
. . . . . . . . . . . 54IV.3 Plot R0(r) terhadap r(0! r1) untuk s =
0:5. . . . . . . . . . . . 55IV.4 Plot R0(r) terhadap r(r1 ! r2)
untuk s = 0. . . . . . . . . . . . . . 55IV.5 Plot R0(r) terhadap
r(r1 ! r2) untuk s = 0:5. . . . . . . . . . . . 55IV.6 Plot T 0()
terhadap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57IV.7
Plot R3(r) terhadap r(0! r1) untuk s = 0. . . . . . . . . . . . . .
64IV.8 Plot R3(r) terhadap r(r1 ! r2) untuk s = 0. . . . . . . . .
. . . . . 64
ix
-
Bab I Pendahuluan
I.1 Latar Belakang Permasalahan
Dalam banyak segi tinjauan, persamaan Maxwell adalah merupakan
persamaanfundamental fisika pertama yang penting. Ketika pertama
kali persamaan ini di-perkenalkan oleh J.C. Maxwell di tahun 1865
para fisikawan semakin menyadaripentingnya kaedah unifikasi dalam
fisika. Hingga dewasa ini para fisikawan terusberusaha mencari
teori fundamental fisika yang akan menyatukan semua jenis ga-ya
fundamental. Semangat inilah yang pertama kali diwujudkan secara
nyata olehMaxwell ketika ia berhasil menyatukan konsep kelistrikan,
kemagnetan dan optikadalam satu basis tinjauan, yaitu teori medan
elektromagnetik.
Untuk selanjutnya, banyak sekali momentum perkembangan fisika
teoritis dipe-ngaruhi oleh kajian terhadap sifat-sifat medan
elektromagnetik khususnya kelakuancahaya. Dalam konteks ruang dan
waktu, tinjauan kelakuan cahaya menghasilkanteori relativitas,
sedangkan asfek dualismenya menghasilkan teori kuantum.
Se-lanjutnya seluruh teori fisika modern terus mengambil insfirasi
dari dua gagasanfundamental fisika teoritik ini.
Kajian terhadap medan elektromagnetik dalam konteks Relativitas
Umum yangmenghadirkan gravitasi serta kelengkungan ruang, telah
menarik perhatian sejaklama. Baik ditinjau dari segi kajian
teoritis hingga Observasional. Secara Obse-rvasional khususnya,
ketertarikan dibangkitkan oleh kajian terhadap objek-objekkompak
seperti bintang Neutron dan Lubang Hitam.
Solusi bagi sebuah lubang hitam yang bermuatan telah ditemukan
di tahun 70-anoleh Ressner dan Nordstrom [8]. Mereka meninjau
solusi statik persamaan medanEinstein bagi lubang hitam bersimetri
bola yang bermuatan namun tidak berotasi[7]. Hingga dewasa ini
sejumlah paper ilmiah masih mengkaji solusi bagi persama-an Maxwell
dalam berbagai konteks solusi dan pendekatan.
Carloos H. Bessa dan V.B. Bezerra [5] meninjau solusi khusus
persamaan Ma-xwell di lubang hitam Schwarszchild- de Sitter dari
potensial statik akibat sebuahtitik muatan serta potensial magnetik
akibat arus radial di mana kelengkungan ruangsebagai suatu latar
dinamika (background). Namun dalam paper tersebut tidak
di-tunjukkan perhitungan dikerjakan dalam suatu Gauge, mengingat
medan Maxwelladalah suatu medan Gauge. Hasil sangat penting dari
kajian mereka adalah medanmagnet mengalami penguatan akibat
kelengkungan ruang yang dibangkitkan med-an gravitasi dan konstanta
kosmologi.
1
-
Bytsenko dan Goncharov [1] menunjukkan eksistensi monopol magnet
tipe Di-rac pada solusi Maxwell di ruang Kottler dengan ansatz
potensial A = Adx =n
ecos d'. Dari asfek keumuman solusi, pendekatan ini kurang umum
dan me-
rupakan solusi sangat khusus yang hanya melibatkan komponen
medan magnet.Meskipun demikian hasil ini telah cukup menjadi alasan
bahwa ia potensial memo-difikasi proses radiasi Hawking pada lubang
hitam
Montaquila dan kawan-kawan [6] berhasil memecahkan solusi
lengkap persa-maan Maxwell dengan latar belakang ruang de Sitter.
Solusi ini relatif kurang me-narik secara fisis karena objek kajian
yang menjadi perhatian hangat dewasa iniadalah lubang hitam,
sedangkan lubang hitam yang fisis bersifat Schwarschild sela-in
mempertimbangkan peranan konstanta kosmologis.
Kajian yang semakin luas terhadap objek-objek kompak astrofisika
menunjukk-an bahwa eksplorasi medan elektromagnetik klasik masih
sangat penting dilakukandalam menjelaskan berbagai fenomena yang
teramati.
I.2 Ruang Lingkup Permasalahan
Kajian yang hendak dilakukan dibatasi pada kasus ketika medan
elektromagne-tik bersifat statik serta tanpa sumber. Selanjutnya
juga diasumsikan medan gravita-si dengan medan elektromagnetik
tidak terkopel kuat, sehingga persamaan medanEinstein dan persamaan
Maxwell tidak perlu dikopling. Hal ini mungkin dilakukanjika
ditinjau kelengkungan ruang sebagai suatu latar (Background).
Dari berbagai macam tipe lubang hitam teoretis yang dapat
ditinjau, maka ber-dasarkan pertimbangan fisis penerapan kajian
dibatasi pada lubang hitam dengantipe pada mana ia mengandung 2
Horizon sejati dan satu singularitas r = 0 yai-tu tipe yang
memenuhi syarat batas 3MG
p < 1. Batasan ini penting dilakukan
karena disetiap titik horizon sejati, semua solusi dinamik tidak
terdefinisi. Meski-pun demikian asfek termodinamis serta karakter
kuantum yang mungkin hadir tidakditinjau di sini.
I.3 Tujuan Penulisan
Pada tesis ini, hendak ditemukan sebuah solusi cukup umum yang
mengandungpotensial listrik maupun magnet sekaligus namun bekerja
dalam Gauge Lorentzuntuk sebuah ruang lengkung Schwarzschild dengan
konstanta kosmologis.
Dari solusi ini diharapkan diperoleh suatu gambaran pengaruh
dari kelengkung-an ruang dan konstanta kosmologis terhadap perilaku
medan elektromagnetik, khu-
2
-
susnya di sekitar sebuah lubang hitam . Selain itu teknik
perhitungan yang dikerjak-an diharapkan memberi penegasan terhadap
hasil-hasil penting yang diperoleh darisejumlah perhitungan dengan
pendekatan lain yang dilakukan dalam paper-paperyang telah
disebutkan.
I.4 Sistematika Penulisan
Penulisan tesis ini terbagi atas lima bab. Bab pertama adalah
pendahuluan yangmemuat latar belakang permasalahan, ruang lingkup,
tujuan penulisan serta siste-matika penulisan. Selanjutnya, pada
bab kedua dijelaskan mengenai ruang leng-kung metrik solusi Kottler
yang berhubungan dengan bab ketiga yaitu penjelasanmengenai bentuk
persamaan Maxwell dalam teori relativitas serta perwujudannyadalam
ruang lengkung khususnya kasus ruang Kottler. Dalam bab ini juga
didis-kusikan lebih jauh bentuk-bentuk ungkapan matematis persamaan
Maxwell, modelkoplingnya dengan medan gravitasi, serta ragam teknik
pemecahan yang bisa dila-kukan.
Hasil utama tesis ini terdapat pada bab keempat, hasil teoritis.
Diawali denganmenunjukkan bahwa pada kasus medan statik, solusi
dalam bentuk potensial secaraotomatis memenuhi identitas Bianchi
yang juga merupakan komponen persamaanMaxwell. Sehingga solusi
dalam bentuk potensial dapat diperoleh dengan cukupmeninjau
komponen tak homogen persamaanMaxwell. Dengan menerapkan
GaugeLorentz diperoleh persamaan yang koplingnya tereduksi yang
relatif lebih mudahuntuk dicari bentuk solusi umumnya. Bab ini juga
membahas peranan KonstantaKosmologis serta eksistensi solusi untuk
berbagai wilayah di sekitar lubang hitam.Lebih jauh juga hendak
didiskusikan asfek-asfek fisis yang menarik dari solusi.
Babterakhir adalah bab kelima yang memuat simpulan dari tesis ini
dan beberapa topikmengenai penelitian lanjutan.
3
-
Bab II Ruang Kottler
Dalam bab ini dikaji berbagai asfek ruang Kottler sebagai sebuah
solusi per-samaan medan Einstein dengan memperhitungkan konstanta
kosmologi. GeometriKottler pada lubang hitam menunjukkan adanya
berbagai horizon peristiwa, di ma-na horizon menentukan apakah
solusi dinamika eksis atau tidak di suatu titik ruangdi sekitar
lubang hitam [12].
Untuk menentukan eksistensi solusi persamaan Maxwell terlebih
dahulu pen-ting untuk mengidentifikasi wilayah-wilayah horizon pada
mana solusi medan yangditinjau eksis. Lebih lanjut solusi Maxwell
eksis dalam rentang limit horizon terse-but.
II.1 Solusi Kottler
Solusi Kottler adalah solusi Schwarzschild dengan konstanta
kosmologi [8].Berikut ini dipaparkan penjabaran lengkap solusi
Kottler. Mengingat solusi ini ber-sifat simetri bola (Spherical
Symmetry) serta stasioner, maka secara umum solusidapat dipandang
memenuhi bentuk metrik berikut,
ds2 = gtt(r)dt2 + grr(r)dr2 + r2(d2 + sin2 d'2): (II.1)
Memberikan elemen tensor metrik,
g00 = gtt; g11 = grr; g22 = r2; g33 = r2 sin2 ; (II.2)
dan g = 0 untuk 6= di mana (x0; x1; x2; x3) = (t; r; ;
').Sedangkan elemen inversnya adalah,
g00 = g1tt ; g11 = g1rr ; g22 = r2; g33 = r2 sin2 : (II.3)
Komponen Simbol Christoffel dihitung dari ungkapan berikut,
=1
2g(@g + @g @g): (II.4)
Rincian perkomponen adalah sebagai berikut:
4
-
1. Kasus = =
=1
2g f@g + @g @gg
=1
2g@g: (II.5)
Rincian perkomponen adalah sebagai berikut
000 = ttt =
1
2
1
gtt@tgtt = 0;
111 =
rrr =
1
2
1
grr@rgrr
222 = =
1
2g@r
2 = 0;''' =1
2g''@'(r
2 sin2 ) = 0: (II.6)
2. Kasus = 6=
=1
2g f@g + @g @gg = 1
2g f2@g @gg
= 12g@g: (II.7)
Uraian selengkapnya,
011 = trr =
1
2
1
gtt@tgrr = 0;
t =
1
2g00@tg22 = 0
t'' = 1
2g00@tg33 = 0;
rtt =
1
2
1
grr@rgtt
r = 1
2g11@rr
2 = rgrr
;r'' = 1
2g11@rg33 = r sin
2
grr
tt = 1
2g22@g00 = 0;
rr =
1
2g22@g11 = 0
'' = 1
2g22@2g33 = sin cos ;' =
1
2g33@'g = 0: (II.8)
3. Kasus = 6=
=1
2g f@g + @g @gg
=1
2g f@g + @g @gg
=1
2g@g : (II.9)
5
-
Uraian selengkapnya,
trt =1
2g00@rg00 =
1
2
1
gtt@rgtt;
tt =
1
2g00@g00 = 0
rr =1
2g11@g11 = 0;
t =
1
2g22@tg22 = 0
r =1
2g22@rg22 =
1
r; ' =
1
2g22@'g22 = 0
'r' =1
2g33@rg33 =
1
r; 't' =
1
2g33@tg33 = 0
'' =1
2g33@g33 =
cos
sin : (II.10)
4. Kasus 6= 6=
=1
2g f@g + @g @gg
=1
2g f@g + @g @gg = 0: (II.11)
Jadi dapat disimpulkan komponen-komponen yang tidak nol adalah
sebagai berikut,
rrr =1
2
1
grr@rgrr;
rtt =
1
2
1
grr@rgtt;
r =
r
grr
r'' = r sin2
grr;'' = sin cos ;trt =
1
2
1
gtt@rgtt
r =1
r; 'r' =
1
r; '' =
cos
sin : (II.12)
Ada sembilan komponen tidak nol dengan 4 komponen mengandung
simetri.Komponen tensor Ricci diperoleh dari persamaan berikut,
R = @ @ + : (II.13)
Untuk komponen tensor Ricci diagonal
R = @ @ + : (II.14)
6
-
Dengan rincian komponen diagonal adalah sebagai berikut,
Rtt = @tt @tt + tt tt
= @rrtt 0 + rttr
tt
tt +
rt
rt
= @r
rtt +
rtt
ttr +
rrr +
r +
''r
ttrrtt rtttrt
= @r
1
2
1
grr@rgtt
+ (rtt)
12
1
gtt@rg tt +
1
2
1
grr@rgrr 1
r 1
r
12
1
gtt@rgtt 1
2
1
grr@rgtt
1
2
1
grr@rgtt 1
2
1
gtt@rgtt
= @r
1
2
1
grr@rgtt
+ (rtt)
12
1
gtt@rgtt +
1
2
1
grr@rgrr 2
r
= @r
@rgtt2grr
+
1
2
1
grr@rgtt
12
1
gtt@rgtt +
1
2
1
grr@rgrr +
1
2
1
grr@rgrr 2
r
=
1
2
grrg
00tt g0rrg0ttg2rr
1
4
g02ttgttgrr
+
1
4
g0ttg0rr
g2rr
g
0tt
rgrr
=g00tt2grr
g0rrg
0tt
4g2rr g
02tt
4gttgrr g
0tt
rgrr: (II.15)
Rrr = @rr @rr + rr rr
= @rrrr @r
ttr +
rrr +
r +
''r
+ rrr
r
tr
tr +
rr
rr +
r
r +
'r
'r
= @r
rrr @r
ttr +
rrr +
r +
''r
+rrr
ttr +
rrr +
r +
''r
trtttr + rrrrrr + rr + 'r'''r
= @r
g0rr2grr
@r
g
0tt
2gtt+
g0rr2grr
2r
+
g0rr2grr
g
0tt
2gtt+
g0rr2grr
2r
g
0tt
2gtt g
0tt
2gtt+
g0rr2grr
g0rr
2grr 2r2
= @r
g0tt2gtt
2r2g0rr2grr
g0tt
2gtt
+
g0rr2grr
g0rr
2grr
g
0rr
rgrr
+g02tt4g2tt
g02rr
4g2rr+
2
r2
=1
2
gttg
00tt g02ttg2tt
g
0rrg
0tt
4grrgtt+
g02rr4g2rr
g0rr
rgrr+
g02tt4g2tt
g02rr
4g2rr
=g00tt2gtt
g02tt
4g2tt g
0ttg
0rr
4gttgrr g
0rr
rgrr: (II.16)
7
-
R = @ @ +
= @rr @'' + rr
r
r +
+
'
'
= @r
r @'' + r
ttr +
rrr +
r +
''r
rr + rr + ''''
= @rr @'' + rttr + rrrr + r''r rr ''''
= @r
rgrr
@
cos sin
+
r
grr 12
1
gtt@rgtt
+
rgrr
12
1
grr@rgrr
+
r
grr 1r
rgrr
1r
+
cos2
sin2
= 1
grr+
sin2 cos2 sin2
+
rg0tt
2grrgtt
rg0rr2g2rr
+
2
grr+
cos2
sin2
=1
grr+
rg0tt2gttgrr
rg0rr
2g2rr 1: (II.17)
R'' = @'' @'' + '' ''
=@r
r'' + @
''
0 + r''r + ''r'
r' +
'
' +
''
''
=
@r
r'' + @
''
+ r''
ttr +
rrr +
r +
''r
+''
'' r'''r' ''''
''r
r'' +
''
''
= @r
r'' + @
'' +
r''
ttr +
r''
rrr +
r''
r 2''''
r'''r' ''''= @r
r sin
2
grr
+ @ ( sin cos ) +
r sin2
grr 12
1
gtt@rgtt
+
r sin
2
grr 12
1
grr@rgrr
2
sin cos cos
sin
+
r sin2
grr 1r
cos
sin sin cos
=
grr sin
2 sin2 g0rrg2rr
cos 2 +
r sin2 g0tt2gttgrr
r sin2 g0rr
2g2rr
+2 cos2 +
sin2
grr cos2
= sin2
1
grr+
rg0tt2gttgrr
rg0rr
2g2rr 1
= sin2 R: (II.18)
8
-
Persamaan Einstein dengan konstanta kosmologi1:
G + g = T
, R 12gR + g = T
, R 12gR + g = 8G
c4T : (II.19)
Dengan kontraksi, diperoleh:
Rg 1
2Rgg
+ gg = 8G
c4Tg
, R + 4( 12R) = 8G
c4T
, R = 4 8GTc4
: (II.20)
Dengan mensubstitusikan persamaan (II.20) ke persamaan (II.19)
diperoleh,
R g = 8Gc4
(T 12Tg): (II.21)
Untuk ruang vakum (T=0) terpenuhi kondisi Einstein,
R = g : (II.22)
Sehingga dari hasil sebelumnya,
Rtt = gtt =g00tt2grr
g0rrg
0tt
4g2rr g
02tt
4gttgrr g
0tt
rgrr
Rrr = grr =g00tt2gtt
g02tt
4g2tt g
0ttg
0rr
4gttgrr g
0rr
rgrr
R = g =1
grr+
rg0tt2gttgrr
rg0rr
2g2rr 1
R'' = g'' = sin2 R: (II.23)
Dari dua persamaan pertama diperoleh hubungan,
g0ttgtt
=g0rrgrr
: (II.24)
1Lihat lampiran A
9
-
Disubstitusikan ke persamaan bagi komponen Ricci,
g =1
grr+
rg0tt2gttgrr
rg0rr
2g2rr 1
, r2 = 1grr
+rg0rr2g2rr
rg0rr
2grr 1
, 2r2g2rr = 2grr + rg0rr rg0rrgrr 2grr: (II.25)
Persamaan (II.25) mempunyai solusi,
grr =1
1 + r 1
3r2
: (II.26)
Dari hubungan (II.24) didapatkan juga,
gtt = 1 +
r 1
3r2; (II.27)
di mana adalah suatu konstanta.
Untuk limit Newtonian, diperoleh = 2m. Akhirnya diperoleh solusi
leng-kap metrik,
ds2 = 1 2m
r 1
3r2
dt2 +
11 2mr 13r2
dr2 + r2 + r2(d2 + sin2 d'2): (II.28)Solusi metrik ini dikenal
sebagai metrik Kottler yang pertama kali ditemukan olehFriederich
Kottler serta Weyl dengan tanpa mengetahui satu sama lain di
tahun1918. Ketika > 0maka solusi ini adalah solusi Schwarschild
de Sitter, sedangkanuntuk < 0merupakan metrik Schwarzschild anti
de Sitter. Terkadang di sejumlahliteratur f(r) = 1 2m=r+r2=3. Hal
ini hanya dibedakan oleh perjanjian dalammenentukan konstanta
kosmologis. Jika massa diabaikan ketika jauh dari sumber,solusinya
dikenal sebagai solusi de Sitter saja.
Ruang Kottler adalah salah satu ruang-waktu lengkung di mana
kelengkunganruang selain di sebabkan oleh distribusi materi dan
energi juga disebabkan olehenergi vakum alam semesta yang diungkap
dalam bentuk Konstanta kosmologi.
Awal mulanya Einstein yang memperkenalkan konstanta kosmologi
ini untukmenghindari konsekuensi alam semesta dinamik yang
diimplikasikan oleh persa-maan medannya. Namun Hubble kemudian
menunjukkan bahwa alam semestabenar-benar mengembang sehingga
gagasan konstanta kosmologis Einstein tampaktidak dapat diterima.
Belakangan dikemudian hari konstanta kosmologi Einstein
10
-
kembali dimunculkan karena ternyata ia konsep yang bermanfaat
untuk menjelask-an asfek tertentu kosmologi sehingga dalam hal ini
Einstein benar dengan cara tidakia perkirakan sebelumnya.
II.2 Geometri Ruang Kottler
Sebagaimana disinggung di awal, metrik Kottler adalah solusi
simetri sperispersamaan medan Einstein vakum dengan konstanta
Kosmologi. Untuk > 0dikenal sebagai solusi Schwarzschild-de
Sitter dan metrik Schwarszschild-anti-deSitter untuk < 0.
Metrik (V.1) mempunyai singularitas di r = 0 serta di
titik-titik pada manaf(r) =
1 2MG
r r2
3
= 0 di mana m = MG=c2. Titik-titik nol pada med-
an vektor Killing timelike selanjutnya mendefinisikan horizon
ruang-waktu [12].Untuk dapat menentukan titik-titik ini terlebih
dahulu dipecahkan persamaan,
f(r) =
1 2MG
r r
2
3
= 0: (II.29)
Persamaan dikali dengan 3r= diperoleh persamaan kubik pangkat
tiga:
r3 3r
+6MG
= 0: (II.30)
Persamaan pangkat tiga dapat dipecahkan dengan teknik
Cardano-Tantaglia. Misalr = m+ n sehingga
r3 = (m+ n)3 = m3 + n3 + 3mn(m+ n) = m3 + n3 + 3mnr
) r3 3mnr (m3 + n3) = 0: (II.31)
Dengan membandingkan dua persamaan di atas (II.30) dan (II.31)
diperoleh,
m3n3 =1
3; (m3 + n3) = 6MG
: (II.32)
Mengingat pada persamaan kuadrat dengan bentuk umum ax2 + bx + c
berlakupada akar-akarnya kaitan x1 + x2 = b=a dan x1x2 = c=a, maka
ungkapan (II.32)menunjukkanm3 dan n3 adalah akar-akar dari
persamaan kuadrat,
x2 (m3 + n3)x+m3n3 = x2 + 6MG
x+1
3= 0: (II.33)
11
-
Dengan memecahkan persamaan kuadrat ini diperoleh,
m = (1)1=33MG
1
3=2
p(9M2G2 1)
1=3(II.34)
dan
n = (1)1=33MG
+
1
3=2
p(9M2G2 1)
1=3: (II.35)
Adapun (1)1=3 mempunyai tiga akar kompleks. Misalkan (1)1=3 = x,
sehingga
x3 = 1x3 + 1 = 0
(x+ 1)(x2 x+ 1) = 0: (II.36)
Selanjutnya ini berarti
x+ 1 = 0) x1 = 1 (II.37)
atau
x2 x+ 1 = 0 (II.38)
dengan akar-akar,
x2 =1 +
p3i
2; x3 =
1p3i2
: (II.39)
Hal ini menghasilkan tiga titik singulir r = m+ n, yaitu untuk x
= 1
r1 = "
3MG
1
3=2
p9M2G2 1
1=3+
3MG
+
1
3=2
p9M2G2 1
1=3#:(II.40)
Untuk x = 1+p3i
2
r2 =
3MG
1
3=2
p(9M2G2 1)
1=31 +
p3i
2
+
3MG
+
1
3=2
p(9M2G2 1)
1=31p3i
2: (II.41)
12
-
Serta untuk x = 1p3i
2
r3 =
3MG
1
3=2p(9M2G2 1)
!1=31p3i
2
+
3MG
+
1
3=2
p(9M2G2 1)
1=31 +
p3i
2: (II.42)
Jika diperhatikan secara seksama semua singularitas tersebut
tampak karakte-ristiknya tergantung pada nilai diskriminan = (9M2G2
1). Jika > 0, r1akan menjadi real dan negatif sedangkan r2 dan
r3 menjadi kompleks. Semua ni-lai ini menunjukkan bahwa
singularitasnya tidak fisis. Dengan kata lain tidak adahorizon
sejati di sini dan singularitas kelengkungan (curvature
singularity) dalamhal ini bersifat telanjang (naked singularity).
Hasil-hasil pengamatan kosmologisdewasa ini menunjukkan bahwa nilai
yang teramati sangatlah kecil berkisar da-lam orde 1058cm2 [13]
sehingga lubang hitam dengan karakteristik di atas sangattidak
mungkin eksis. Meskipun demikian dalam model inflasi alam semesta
di-ni memungkinkan konstanta kosmologi yang besar. Tentu saja belum
ada lubanghitam ketika itu.
Untuk = 0 diperoleh
r1 = "
3MG
1=3+
3MG
1=3#= 2p
; (II.43)
serta
r2 = r3 =
3MG
1=31 +
p3i
2+
3MG
1=31p3i
2=
1p: (II.44)
Kelas solusi terdegenerasi ini dikenal sebagai solusi
Nariai.Untuk kasus < 0 besaran dalam kurung pada persamaan r
menjadi kompleks.
Hal ini disebabkanp(9M2G2 1) = ip1 9M2G2. Selanjutnya,
r3 =
3MG
i(1 9M
2G2)1=2
3=2
1=31p3i
2
+
3MG
+i(1 9M2G2)1=2
3=2
1=31 +
p3i
2: (II.45)
Adapun menurut de Moivre,
1p3i2
= ei=3;1 +
p3i
2= ei=3: (II.46)
13
-
Sedangkan
3MG
i(1 9M
2G2)1=2
3=2=
1
3=2ei cos
1(3MGp): (II.47)
Sehingga
r3 = rH =
1
3=2ei cos
1(3MGp)1=3
ei=3 +
1
3=2ei cos
1(3MGp)1=3
ei=3
, rH = 1pei[
13cos1(3MG
p)+3 ] +
1pei[
13cos1(3MG
p)+3 ]
, rH = 2pcos
1
3cos1(3MG
p) +
3
: (II.48)
Dengan cara yang sama diperoleh,
r2 = rC =2pcos
1
3cos1(3MG
p)
3
: (II.49)
rH dan rC selalu bernilai positif sehingga menggambarkan horizon
sejati. Akar per-samaan yang lebih besar rC dikenal sebagai horizon
peristiwa kosmologis (cosmo-logical event horizon) sedangkan akar
yang lebih kecil rH dikenal sebagai horizonperistiwa lubang hitam
(black hole event horizon). Adapun
r1 = rU = (rH + rC) (II.50)
yang selalu bernilai negatif tidak bersifat fisis. Oleh karena
itu untuk selanjutnyakita identifikasi saja r1 = rH dan r2 = rC
karena cuma ada dua horizon sejatidalam kasus ini dengan satu
singularitas lagi di r = 0. Singularitas di r = 0 dapatdibuktikan
adalah sebuah singularitas sejati, karena berdasarkan metrik solusi
bisadiperoleh invarian [12].
RR =
48G2M2
c2r6+
2
4: (II.51)
Menjadi jelas di sini bahwa untuk kasus 3MGp < 1 secara fisis
menggambarkan
sebuah blackhole Schwarschild- de Sitter yang diam di dalam
horizon Kosmolo-gis.Sebagian besar lubang hitam yang dapat diamati
jelas termasuk dalam kategoriini, sehingga dalam tesis ini dikaji
khusus kelakuan medan elektromagnetik statikdi sekitar ruang
lengkung yang dibangkitkan oleh sebuah lubang hitam dengan
ka-rakteristik 3MG
p < 1.
14
-
Kajian lengkap sifat-sifat horizon untuk metrik Kottler ini
serta limitnya menujusolusi Schwarzschild ataupun solusi de Sitter
dapat di rujuk di sejumlah literatur,misalkan S. Bhattacharya
[12].
15
-
Bab III Persamaan Maxwell di Ruang Lengkung
Dalam Bab ini direview sejumlah konsep penting Elektromagnetisme
mulai da-ri kasus ruang tiga dimensi hingga perumumannya pada kasus
relativistik ruangMinkowski dan ruang lengkung Riemannian. Berbagai
asfek formalisme matema-tis juga ditinjau sehingga beragam ungkapan
matematis persamaan Maxwell dapatditunjukkan setara. Hal ini
memberi gambaran luas berbagai metode yang mungkinditerapkan dalam
meninjau solusi-solusi persamaan Maxwell.
III.1 Persamaan Maxwell 3-Dimensi Ruang Datar
Persamaan Maxwell adalah persamaan diferensial parsial saling
terkopel yangmemandu perilaku medan elektromagnetik. Dalam bentuk
vektor tiga dimensi diruang datar (flat) (satuan SI) dengan medan
yang gayut waktu persamaan ini adalahsebagai berikut [4]:
r E = 0
r B = 0 (III.1)r E = @B
@t
rB = 0j+ 00@E@t
;
dalam bentuk integral, ZS
E dA = q0Z
S
B dA = 0IC
E dl = @B@tI
C
B dl = 0Is + 00@E@t
(III.2)
di mana = (r; t) adalah rapat muatan yang berasal dari muatan
bebas maupunterinduksi, 0 = 107=(4c2) 8; 8542 1012Fm1 adalah
permitivitas vakum,serta 0 = 4 107Hm1 adalah permiabilitas
vakum.
Secara ringkas, persamaan di atas adalah kulminasi dari berbagai
teori kelistrik-an dan kemagnetan yang berkembang ketika itu yang
selanjutnya disatukan Ma-
16
-
xwell dalam satu basis tinjauan di tahun 1865.Pada tahun 1775
Coulomb menunjukkan bahwa interaksi benda bermuatan sta-
tik dapat diungkap oleh persamaan,
F(r) =qq0
40
r r0jr r0j3 (III.3)
di mana r dan r0 masing-masingnya adalah vektor posisi dari
muatan q dan q0 se-hingga r r0 adalah vektor posisi relatif antara
kedua muatan. Terbukti juga kemu-dian bahwa sangat bermanfaat
memperkenalkan konsep vektor medan listrik:
Estat(r) =q0
40
r r0jr r0j3 =
q0
40r
1
jr r0j=
q0
40r0
1
jr r0j: (III.4)
Untuk distribusi muatan kontinu sebarang,
Estat(r) =1
40
ZV 0(r0)
r r0jr r0j3d
3r0 = 140
rZV 0
(r0)jr r0jd
3r0: (III.5)
Sedangkan untuk distribusi muatan diskrit (r0) = iq0i(r0
r0i).
Menurut teorema Helmholtz, suatu medan vektor yang berkelakuan
baik (wellbehaved) dapat sepenuhnya diperoleh jika diketahui nilai
divergensi dan curlnya.Dengan mengambil divergensi medan listrik
distribusi sebarang diperoleh,
r Estat(r) = r 140
ZV 0(r0)
r r0jr r0j3d
3r0 = 140
ZV 0(r0)r2
r r0jr r0j3
d3r0
(III.6)
Mengingat
r
r r0jr r0j3
= r2
1
jr r0j= 4(r r0)
ZV 0(r0)() (III.7)
maka
r Estat(r) = 10
ZV 0(r0)(r r0) = (r)
0: (III.8)
Persamaan ini dikenal sebagai Hukum Gauss dan tetap berlaku
untuk medan yangbervariasi dengan waktu,
r E(r; t) = (r; t)0
: (III.9)
Persamaan ini merupakan komponen pertama persamaan Maxwell
(III.1).
17
-
Untuk sembarang fungsi skalar (r) berlaku kaitan vektor r [r(r)]
= 0,sehingga
r Estat(r) = 140
rrZV 0
(r)
jr r0jd3r0= 0 (III.10)
yang menunjukkan medan statik bersifat irrotasional.Fakta
eksperimen menunjukkan bahwa antara dua kawat lurus yang
membawa
arus i dan i0 dengan elemen garis dl dan dl0 terjadi gaya
F(r) =0ii
0
4
IC0dl
dl0 r r
0
jr r0j3
= 0ii0
4
IC0dl
IC0dl0 r
1
jr r0j
:
(III.11)
Penerapan identitas vektor a (b c) = b(a c) c(a b) memberikan
hukumseperti Coulomb,
F(r) = 0ii0
4
IC0dl0ICdl r
1
jr r0j 0ii
0
4
IC
IC0
r r0jr r0j3dl dl
0: (III.12)
Adapun medan magnet diberikan oleh:
dBstat(r) 04
dL0 r r0
jr r0j3 =0i
0
4dl0 r r
0
jr r0j3 (III.13)
Kasus lebih umum mencakup rapat arus stasioner j(r) memberikan
Hukum Biot-Savart:
Bstat(r) =04
ZV 0j(r0) r r
0
jr r0j3 =04r
ZV 0
j(r0)jr r0jd
3r0: (III.14)
Sifat medan Bstat terlihat dari hasil divergensi dan curlnya,
sehingga
r Bstat(r) = 04r
r
ZV 0
j(r)
jr r0j= 0 (III.15)
mengingat kaitan vektor r (r a) = 0. Ini berlaku umum untuk
medan gayutwaktu yang menunjukkan pernyataan ketiadaan monopol
magnet1. Operasi curl
1Secara teoritis tidak tertutup kemungkinan, namun ini sifatnya
ad hoc eksperimental.
18
-
terhadap medan Bstat memberikan
rBstat(r) = 04r
r
ZV 0
j(r0)jr r0jd
3r0
= 04
ZV 0j(r0)r2
1
jr r0jd3r0 +
04
ZV 0[j(r0) r0]r0
1
jr r0j
= 0
ZV 0j(r0)(r r0)d3r0 + r^k
ZV 0r0
j(r)
@
@r0k
1
jr r0j
d3r0
ZV 0[r0 j(r0)]r0
1
jr r0jd3r0
= 0j(r) + r^k
ZS0n^0 j(r0) @
@r0k
1
jr r0jd3r0
ZV 0[r0 j(r0)]r0
1
jr r0jd3r0
= 0j(r): (III.16)
Suku kedua diperoleh dari teorema Gauss dan menjadi nol untuk
batas integral jauhdari sumber. Integral ke dua juga bernilai nol
karena pada sumber stasionerrj = 0.
Untuk sumber gayut waktu berlaku persamaan kontinuitas:
@(r; t)
@t+r j(r; t) = 0 (III.17)
sehingga dengan cara yang sama seperti kasus medan statik
diperoleh,
rB(r; t) = 0j+ 00@E@t
= 0j+1
c2@E
@t: (III.18)
Persamaan ini merupakan hukum Ampere termodifikasi Maxwell.
Untuk medanstatik persamaan (III.8) dan (III.15) tampak antara
medan magnet dan listrik tidakada hubungan sama sekali sehingga
fenomena kelistrikan dan kemagnetan seolahfenomena yang tidak ada
kaitan. Sumbangan Maxwell yang genial di sini adalahmemperkenalkan
suku terakhir pada persamaan (III.18) yang dikenal sebagai
aruspergesaran yang menyempurnakan simetri indah
elektrodinamika.
Komponen terakhir persamaan Maxwell adalah ungkapan matematis
hukum Fa-raday,
r E(r; t) = @B(r; t)@t
(III.19)
yang menyatakan bahwa perubahan medan magnetik terhadap waktu
akan meng-imbas munculnya medan listrik.
19
-
III.2 Persamaan Maxwell di ruang Minkowski
Menurut relativitas khusus, ruang-waktu adalah manifold
berdimensi 4 yangdikenal sebagai ruang-waktu Minkowski.
Titik-titik2 di dalamnya mempunyai koo-rdinat x ( = 0; 1; 2; 3)
yang di dalam koordinat Cartesian
x = (ct; r) = (x0; x1; x2; x3) = (ct; x; y; z)x = (ct; r) = (x0;
x1; x2; x3) = (ct; x; y; z): (III.20)
Sehingga,
@ =@
@x=
1
c
@
@t;@
@x;@
@y;@
@z
= (@0; @1; @2; @3)
= (@t; @x; @y; @z)
@ =@
@x=
1c
@
@t;@
@x;@
@y;@
@z
= (@0; @1; @2; @3)
= (@0; @1; @2; @3) = (@t; @x; @y; @z): (III.21)
Adapun metrik ruang Minkowski dengan signature (-,+,+,+) dalam
bentuk matriksadalah:
= =
0BBBB@1 0 0 00 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1CCCCA : (III.22)
III.2.1 Tensor Kuat Medan Elektromagnetik
Medan elektromagnetik di ruang-waktu empat dimensional
digambarkan olehvektor-4:
A = A(x) (III.23)
yang disebut sebagai potensial medan elektromagnetik. Komponen
waktu dari vektor-4 ini adalah potensial listrik skalar:
A0 = (x): (III.24)
2wakilan dari peristiwa
20
-
Tiga komponen ruang lainnya dari vektor-4 adalah vektor
potensial magnetik,
Ai = A = Ai(x): (III.25)
Secara lengkap dapat ditulis sebagai:
A = (;A1; A1; A1) = (;A): (III.26)
Medan listrik dan magnetik oleh karena itu didefinisikan dalam
potensial seba-gai:
E = 1c
@A
@tr; B = rA: (III.27)
Dengan rincian perkomponen,
Ex = 1c
@Ax@t
@@x
= @0A1 @1A0 = @0A1 @1A0
Ey = 1c
@Ay@y
@@y
= @0A2 @2A0 = @0A2 @2A0
Ez = 1c
@Az@t
@@z
= @0A3 @3A0 = @0A3 @3A0: (III.28)
Mengingat:
B = rA =i^@
@x+ j^
@
@y+ k^
@
@z
(Axi^+ Ay j^ + Azk^)
= i^
@Az@y
@Ay@z
+ j^
@Ax@z
@Az@x
+ k^
@Ay@x
@Ax@y
:(III.29)
Maka rincian setiap komponennya adalah,
Bx =
@Az@y
@Ay@z
= @2A
3 @3A2 = @2A3 @3A2
By =
@Ax@z
@Az@x
= @3A
1 @1A3 = @3A1 @1A3
Bz =
@Ay@x
@Ax@y
= @1A
2 @2A1 = @1A2 @2A1: (III.30)
Uraian setiap komponen di atas menunjukkan pentingnya untuk
mendefiniskan su-atu tensor rank-2,
F = @A @A: (III.31)
21
-
Tensor ini dikenal sebagai tensor kuat medan elektromagnetik
atau tensor Maxwelldan bersifat antisimetrik,
F = @A @A = (@A @A) = F : (III.32)
Dalam indeks kovarian,
F = F = @A @A: (III.33)
Sehingga tinjauan perkomponen:
F 00 = @0A0 @0A0 = 0; F 01 = @0A1 @1A0 = ExF 02 = @0A2 @2A0 =
Ey; F 03 = @0A3 @3A0 = EzF 10 = F 01 = Ex; F 20 = F 02 = EyF 30 = F
03 = Ez; F 00 = F 11 = F 22 = F 33 = 0F 12 = @1A2 @2A1 = Bz; F 13 =
@1A3 @3A1 = ByF 23 = @2A3 @3A2 = Bx: (III.34)
Jika dinyatakan secara lebih kompak dalam bentuk matriks,
F =
0BBBB@0 Ex Ey Ez
Ex 0 Bz ByEy Bz 0 BxEz By Bx 0
1CCCCA : (III.35)
Komponen kovarian:
F =
0BBBB@0 Ex Ey EzEx 0 Bz ByEy Bz 0 BxEz By Bx 0
1CCCCA : (III.36)
Selanjutnya didefinisikan tensor kuat medan dual ~F ,
~F =1
2F (III.37)
di mana adalah simbol Levi-Civita yang bersifat antisimetrik
total dalam in-
22
-
deksnya dan mempunyai nilai-nilai
=
8>:1 permutasi genap(0123)1 permutasi ganjil(0123)0 ada
sekurangnya dua indeks yg sama:
(III.38)
Dengan rincian perkomponen,
~F 01 = 1=201ikFik = 1=2(0123F23 +
0132F32) = 1=2(F23 F32) = F23 = Bx~F 02 = 1=202ikFik = 1=2(
0213F13 + 0231F31) = 1=2(F13 + F31) = F13 = By
~F 03 = 1=203ikFik = 1=2(0312F12 +
0321F21) = 1=2(F12 F21) = F12 = Bz~F 10 = 1=210ikFik = 1=2(
1023F23 + 1032F32) = 1=2(F23 + F32) = F23 = Bx
~F 12 = 1=212ikFik = 1=2(1203F03 +
1230F30) = 1=2(F03 F30) = F03 = Ez~F 13 = 1=213ikFik = 1=2(
1302F02 + 1320F30) = 1=2(F02 + F20) = F02 = Ey
dan seterusnya, hingga diperoleh
~F =
0BBBB@0 Bx By Bz
Bx 0 Ez EyBy Ez 0 ExBz Ey Ex 0
1CCCCA : (III.39)
Jelas dari sini bahwa ~F bersifat antisimetrik,
( ~F )T = ~F ; (III.40)
serta berlaku dualitas
F ! ~F ;E! B; B! E: (III.41)
III.2.2 Persamaan Maxwell dalam Tensor Kuat Medan
Berdasarkan homogenitas persamaan diferensial, persamaan Maxwell
terbagidua, yaitu bagian homogen
r B = 0; r E+ @B@t
= 0 (III.42)
23
-
serta bagian tidak homogen,
r E = =0; rB 00@E@t
= 0j: (III.43)
Mudah ditunjukkan bahwa persamaan Maxwell homogen dapat
dinyatakan secarakompak sebagai,
@ ~F = 0; (III.44)
serta bagian tidak homogen sebagai;
@F =
4
cj =
0cj; (III.45)
di mana j = (c; j) yang memenuhi persamaan kontinuitas
@j = 0: (III.46)
Jika dijabarkan perkomponen persamaan (III.44), untuk komponen =
0
@ ~F = 0
, @0 ~F 00 + @1 ~F 10 + @2 ~F 20 + @3 ~F 30 = 0, @0(0) + @1(Bx)
+ @2(By) + @3(Bz) = r B = 0, r B = 0: (III.47)
Untuk komponen yang lainnya,
@ ~F1 = @0 ~F
01 + @1 ~F11 + @2 ~F
21 + @3 ~F31 = @0Bx + @2Ez + @3(Ey) = 0
@ ~F2 = @0 ~F
02 + @1 ~F12 + @2 ~F
22 + @3 ~F32 = @0By + @1(Ez) + @3(Ex) = 0
@ ~F3 = @0 ~F
03 + @1 ~F13 + @2 ~F
23 + @3 ~F33 = @0(Bz) + @1(Ey) + @2(Ex):
Jika dijumlahkan semua
@t(Bx +By +Bz) + @x(Ey Ez) + @y(Ez Ex) + @z(Ex Ey) = 0:
24
-
Dalam notasi vektor-3
i^@tBx + j^@tBy + k^@tBz + i^(@yE z @zEy) + j^(@zEx
@xEz)+k^(@xEy @yEx) = 0
, r E+ @B@t
= 0: (III.48)
Komponen tak homogen persamaan Maxwell untuk = 0,
@F0 = 0j
0
, @0F 00 + @1F 10 + @2F 20 + @3F 30 = 0j0, 0 + (@xEx + @yEy +
@zEz) = 0j0, r E = 0j0 = 0c: (III.49)
Karena 00 = 1=c2 maka diperoleh ungkapan hukum Gauss,
r E = =0:
III.2.3 Identitas Bianchi pada Persamaan Maxwell
Adapun bagian homogen dari persamaanMaxwell (III.44) memenuhi
suatu iden-titas siklik yang dikenal sebagai identitas Bianchi.
Mengingat ~F = 1
2F,
maka
@ ~F = 0
@
1
2F
= 0
@(F) = 0: (III.50)
Hendak ditunjukkan bahwa ungkapan di atas memenuhi identitas
Bianchi.
@(F) = 0
@F = 0: (III.51)
Dengan menukar indeks ! ; ! ; !
@F = 0: (III.52)
25
-
Untuk pertukaran indeks ! ; ! ; ! diperoleh ungkapan
@F = 0: (III.53)
Sehingga berlaku:
@F =1
3[@F +
@F + @F]
=1
3[@F +
@F + @F]
=1
3[@F + @F + @F] = 0: (III.54)
Hal ini berarti:
[@F + @F + @F] = 0
F; + F; + F; = 0 (III.55)
yang merupakan sebuah identitas Bianchi.
III.3 Persamaan Maxwell di ruang Lengkung
Persamaan Maxwell dalam ruang-waktu lengkung (Curved Spacetime)
meman-du dinamika medan elektromagnetik di ruang waktu lengkung
pada mana metriktidak datar (minkowskian) atau ketika digunakan
sebarang sistem koordinat . Persa-maan ini dapat dipandang sebagai
perumuman persamaan Maxwell vakum yang bi-asanya diformulasikan
pada koordinat lokal atau di ruang-waktu flat. Namun
karenapersamaan relativitas umum telah menyatakan bahwa kehadiran
medan elektromag-netik (energi/materi secara umum) akan
mempengaruhi kelengkungan ruang-waktu.Oleh karena itu persamaan
Maxwell di ruang datar harus dipandang sebagai
sebuahpendekatan.
Persamaan Maxwell di ruang lengkung relativitas umum diperoleh
dengan caramengganti turunan parsial dengan turunan kovarian
derivatif:
r ~F = 0rF = 4
cj : (III.56)
26
-
Identtitas Bianchi juga tetap berlaku untuk ruang lengkung
relativitas umum.
rF = @F F FrF = @F F FrF = @F F F: (III.57)
Mengingat tensor kuat medan F bersifat anti simetrik serta
koefisien koneksi atausimbol Christoffel bersifat simetrik terhadap
pertukaran indeks bawah, makapersamaan (III.57) dapat diungkap
dalam bentuk
rF = @F F FrF = @F F + FrF = @F + F + F: (III.58)
Jika dijumlahkan, maka terlihat ada suku yang saling
menghilangkan sehingga di-peroleh bentuk homogen persamaan Maxwell
tetap sama untuk ruang lengkung ma-upun datar,
rF +rF +rF = @F + @F + @F = 0 (III.59)
Identitas Bianchi medan Maxwell juga terkait erat dengan
identitas Bianchi per-tama relativitas umum pada Riemann
tensor3,
R[] = 0
R +R +R = 0: (III.60)
Dengan kontraksi,
R +R +R
= 0: (III.61)
Adapun Tensor kuat medan dalam kovarian derivatif ternyata
kembali menjadi ben-tuk ungkapan di ruang datar akibat sifat
simetrik dari koefisien koneksi,
F = rA rA = @A A @A + A= @A @A A + A = @A @A (III.62)
Dengan memanfaatkan definisi tensorMaxwell untuk ruang lengkung
serta identitas
3Lihat lampiran A
27
-
Bianchi 1 di atas,
rF +rF +rF = rrA rrA+rrA rrA +rrA rrA
, rF +rF +rF = (R +R +R)A = 0:(III.63)
III.4 Persamaan Maxwell dalam bentuk Form
Secara umum, untuk memperoleh dualitas Hodge dari wedge produk
basis-basisform adalah menurut ungkapan berikut:
(ei1 ^ ^ eip) =pjgj
(n p)!gi1l1 giplpl1lplp+1lnelp+1 ^ ^ eln : (III.64)
Untuk sederhananya perhitungan, dimisalkan a(r) = (12m=rr2=3).
Denganmenerapkan dualitas Hodge pada metrik ini diperoleh
elemen-elemen basisnya ada-lah sebagai berikut:
(dt ^ dr) = 12(pggttgrr0123d ^ d'+pggttgrr0132d' ^ d)
=pggttgrr0123d ^ d'
=pggttgrrd ^ d' = r2 sin d ^ d': (III.65)
(dt ^ d) = 12(pggttg0213dr ^ d'+pggttg0231d' ^ dr)
=pggttg0213dr ^ d' = pggttgdr ^ d'
=r2 sin
a(r)r2dr ^ d'
=sin
a(r)dr ^ d': (III.66)
(dt ^ d') = 12(pggttg''0312dr ^ d +pggttg''0321d ^ dr)
=pggttg''0312dr ^ d = pggttg''dr ^ d
= r2 sin
a(r)r2 sin2 = 1
a(r) sin dr ^ d: (III.67)
28
-
(dr ^ d) = 12(pggrrg1203dt ^ d'+pggrrg1230d' ^ dt)
=pggrrg1203dt ^ d' = pggrrgdt ^ d'
= r2 sin a(r)r2r2dt ^ d' = a(r) sin dt ^ d': (III.68)
(dr ^ d') = 12(pggrrg''1302dt ^ d +pggrrg''1320d ^ dt)
=pggrrg''1302dt ^ d = pggrrg''dt ^ d
= r2 sin a(r)r2 sin2 dt ^ d= a(r)
sin dt ^ d: (III.69)
(d ^ d') = 12(pggg''2301dt ^ dr +pggg''2310dr ^ dt)
=pggg''2301dt ^ dr = pggg''dt ^ dr
= r2 sin r2 sin2 =1
r2 sin dt ^ dr: (III.70)
Persamaan Maxwell dalam keadaan vakum dinyatakan oleh persamaan
berikut,
@F = j = 0: (III.71)
yang merupakan bagian tak homogen, sedangkan bagian homogennya
adalah
@ ~F = 0: (III.72)
Dalam bentuk notasi diferensial form, persamaan Maxwell
adalah:
d F = 0 (III.73)
di mana vektor potensialA = Adx, F = dA dengan d = @tdt+ @rdr+
@d+@'d'.
Adapun bagian homogen dari persamaan Maxwell adalah
dF = 0; (III.74)
Ungkapan diferensial form ini berlaku umum baik untuk ruang
Minkowski maupunruang lengkung.
Bentuk-bentuk ungkapan matematis persamaan Maxwell di atas
ekuivalen, na-mun dalam teknik penyelesaian satu bentuk seringkali
memberi insight yang lebih
29
-
baik bahkan solusi yang lebih cepat. Pada lampiran dipaparkan
kemungkinan teknikperhitungan dengan menggunakan diferensial
Form.
Dalam memecahkan persamaan Maxwell di ruang lengkung, ada dua
perlaku-an yang mungkin terhadap kelengkungan ruang. Pilihan
pertama adalah mengko-pling lengkap persamaan Maxwell dengan
persamaan medan Einstein. Langkahini misalkan dilakukan dalam
pemecahan solusi metrik Reissner Nordstrom. Tek-nik penyelesaian
solusi kopling lengkap ini bahkan dengan mengasumsikan
adanyamonopol magnet dapat dirujuk pada [7]. Teknik lainnya adalah
dengan mengang-gap ruang lengkung sebagai latar bagi medan
elektromagnetik. Pendekatan inilahyang dilakukan dalam tesis
ini.
30
-
Bab IV Solusi Persamaan Maxwell di Ruang Kottler
Metode perhitungan yang diterapkan di sini adalah dengan
menerapkan teknikpemisahan variabel pada masing-masing komponen
potensial persamaan Maxwell.Oleh karena itu diandaikan bahwa
persamaan Maxwell di ruang Kottler mempunyaisolusi separabel.
Dengan mengandaikan potenisal listrik dan magnet yang ditinjau
bersifat statik,maka solusi yang diperoleh akan memenuhi identitas
Bianchi secara bebas. Sehing-ga pemecahan persamaan Maxwell dalam
hal ini cukup dengan meninjau secaralengkap solusi separabel
persamaan diferensial yang diperoleh dari komponen per-samaan rF =
0. Agar diperoleh persamaan yang tereduksi koplingnya
makaditerapkan Gauge Lorentz. Selain itu pemilihan suatu Gauge
(Gauge fixing) di sinidilakukan mengingat medan Maxwell sendiri
adalah suatu medan Gauge.
IV.1 Metrik
Sebagaimana dipaparkan di Bab II, metrik lubang hitam
Schwarzschild di alamsemesta berkonstanta Kosmologis dalam
koordinat bola (t; r; ; ') dinyatakanoleh ungkapan berikut:
ds2 = 1 2m
r 1
3r2
dt2 +
dr21 2m
r 1
3r2
+ r2(d2 + sin2 d');(IV.1)
di manam = MG=c2 denganM adalah massa lubang hitam.Tensor metrik
kovarian dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut
g =
0BBBB@ 1 2m
r 1
3r2
0 0 0
01 2m
r 1
3r2
10 0
0 0 r2 0
0 0 0 r2 sin2
1CCCCA : (IV.2)
31
-
Sedangkan inversnya merupakan tensor kontravarian, yaitu
g =
0BBBB@ 1 2m
r 1
3r2
10 0 0
01 2m
r 1
3r2
0 0
0 0 r2 0
0 0 0 r2 sin2
1CCCCA :(IV.3)
Sehingga:
jg j = g = r4 sin2 qjg j = pg = r2 sin : (IV.4)
Dengan memanfaatkan identitas Bianchi di atas pada tensor kuat
medan elek-tromagnetik:
@F@x
+@@x
+@F@x
= 0
, F; + F; + F; = 0; (IV.5)
ditinjau berbagai kemungkinan berikut pada indeks Bianchi:
1. Kasus 6= 6=
= 0; = 1; = 2
F01;2 + F12;0 + F20;1 = 0
F01;2 + F20;1 = 0 (IV.6)
= 0; = 1; = 3
F01;3 + F13;0 + F30;1 = 0
F01;3 + F30;1 = 0: (IV.7)
= 0; = 2; = 3
F02;3 + F23;0 + F30;2 = 0
F02;3 + F30;2 = 0: (IV.8)
32
-
= 1; = 2; = 3.
F12;3 + F23;1 + F31;2 = 0
(IV.9)
2. Kasus = 6= .Ungkapan bagi identitas Bianchi dalam hal ini
adalah:
F; + F; + F; = 0
F; + F; + F; = 0
F; F; = 0: (IV.10)
Hubungan ini bersifat trivial.
3. Kasus 6= = .
F; + F; + F; = 0
F; + F; + F; = 0: (IV.11)
Keadaan trivial, suku menjadi nol atau saling menghilangkan.
4. Kasus 6= = .
F; + F; + F; = 0
F; + F; + F; = 0
F; F; = 0: (IV.12)
Keadaan trivial, suku menjadi nol atau saling menghilangkan.
Dari hasil di atas jelas yang perlu ditinjau lebih jauh adalah
untuk indeks dengankasus 6= 6= . Potensial listrik dan magnet yang
hendak ditinjau adalah bersifatstatik:
1. Bianchi 1:
F01;2 + F12;0 + F20;1 = F01;2 + F20;1
= @F01 + @rF20
= @(@tAr @rAt) + @r(@At @tA) = 0:(IV.13)
33
-
Tampak hubungan Bianchi terpenuhi.
2. Bianchi 2:
F01;3 + F13;0 + F30;1 = F01;3 + F30;1 = @'F01 + @rF30
= @'(@tAr @rAt) + @r(@'At @tA')= @r@'At @r@'At = 0: (IV.14)
Identitas Bianchi terpenuhi.
3. Bianchi 3:
F02;3 + F30;2 = 0
@'F02 + @F30 = 0
@'(@tA @At) + @(@'At @tA') = 0@@'At @@'At = 0: (IV.15)
Memenuhi hubungan Bianchi.
4. Bianchi 4:
F12;3 + F23;1 + F31;2 = 0
@'F12 + @rF23 + @F31 = 0
@'(@rA @Ar) + @r(@A' @'A) + @(@'Ar @rA') = 0@r@'A @@'Ar + @r@A'
@r@'A + @@'Ar @r@A' = 0:
(IV.16)
Kembali diperoleh hubungan yang memenuhi identitas Bianchi.
Dari kaitan potensial statik yang telah memenuhi identitas
Bianchi ini menunjukk-an bahwa, solusi At; Ar; A dan A' untuk medan
Maxwell statik bersifat bebas danotomatis siklik secara Bianchi
sehingga cukup meninjau solusi persamaan MaxwellrF . Namun jika
dipecahkan menurut tensor kuat medan maka solusi diperolehsetelah
meninjau identitas Bianchi untuk menentukan komponen solusi yang
meng-andung fungsi bebas dari persamaan Maxwell sehingga menjadi
tertentu. Dalamkajian ini hendak diselesaikan persamaan Maxwell
melalui solusi potensial.
34
-
IV.2 Perhitungan denganGauge Lorentz diperumum
Sebagaimana ditunjukkan di bab II, persamaanMaxwell relativitas
khusus dapatdiungkap dalam bentuk tensor kuat medan F sebagai dua
persamaan,
@ ~F = 0
@F =
4
cj:
Bagian pertama merupakan bagian homogen persamaan Maxwell
sedangkan bagi-an kedua adalah bentuk tak homogennya. Bagian
pertama juga telah ditunjukkan didepan memenuhi identitas Bianchi,
sehingga seperangkat lengkap persamaan Ma-xwell juga dapat diungkap
sebagai
@F + @F + @F = 0
@F =
4
cj: (IV.17)
Mengingat definisi tensor kuat medan F = @A @A maka persamaan
Ma-xwell dapat dikenai syarat Lorentz Gauge,
@A = 0 (IV.18)
sehingga bagian tak homogen persamaan Maxwell tersederhanakan
menjadi,
@F = @(@
A @A) = 4cj
@F = @@
A @@A = 4cj
@F = @(@A
) @@A = 4cj
@@A = 4
cj (IV.19)
Jika ruang tidak lagi datar sebagaimana diperumum oleh
relativitas umum, makaturunan parsial persamaan Maxwell diganti
oleh turunan kovarian,
rF +rF +rF = 0;rF = 4
cj ; (IV.20)
Aturan mengganti turunan parsial menjadi turunan kovarian
derivatif tidak dapatdilakukan jika melibatkan turunan kedua,
sehingga harus ditinjau dari syarat lorentz
35
-
Gauge diperumum yang melibatkan kovarian derivatif. Karena yang
dikaji di siniadalah medan Gauge, maka pada persamaan Maxwell bisa
dikenakan syarat GaugeLorentz diperumum,
rA = 0; (IV.21)
Disubstitusikan definisi tensor Maxwell ke persamaan Maxwell tak
homogen,
rF = rF = r(rA rA) = 4cj
= rrA rrA: (IV.22)
Namun suku rrA tidak dapat hilang seperti di kasus Minkowskian
karena tu-runan kovarian tidak saling berkomutasi. Oleh karena itu
dengan memanfaatkandefinisi tensor kelengkungan Riemann,
[r;r ]A = (rr rr)A = RA: (IV.23)
Diperoleh hubungan bagi kaitan komutasi indeks kovarian dan
kontravarian opera-tor turunan,
[r;r]A = rrA rrA= grrA rgrA= g[rr rr]A= g[r;r]A = gRA:
(IV.24)
Ketika = , maka
[r;r]A = RA: (IV.25)
Dengan menukar dummy indeks diperoleh,
[r;r ]A = RA (IV.26)
sedangkan,
R = gR (IV.27)
36
-
rF = rrA rrA= [r;r ]A +r(rA)rrA = 4
cj
= = RA rrA =4
cj: (IV.28)
di mana telah diterapkan syarat Lorentz Gauge diperumum.
Pemilihan suatu Gau-ge dalam perhitungan penting dilakukan
mengingat medan elektromagnetik sendiriadalah suatu medan Gauge.
Untuk medan elektromagnetik tanpa sumber,
rrA +RA = 4
cj
) rrA + gRA = 0: (IV.29)
Di mana pada persamaan di atas indeks telah diganti dengan
indeks tanpa me-nyebabkan perubahan pada persamaan. Pada ruang
Kottler berlaku persamaan med-an gravitasi yang memenuhi kondisi
Einstein,
R = g : (IV.30)
Sehingga persamaan Maxwell tersederhanakan menjadi,
rrA + ggA = 0, rrA + ggA = 0, 4A + ggA = 0, 4A + A = 0:
(IV.31)
Syarat Coulomb Gauge juga menghasilkan hasil yang sama untuk
kasus medanstatik,
rF = [r;r ]A +r(rA)rrA= [r;r ]A +r(r0A0 +riAi)rrA
= RA +r(r0A0)rrA = 4
cj
, rrA + A +r
1pg@0pg(A0)
= 4
cj: (IV.32)
Untuk medan statik tanpa sumber kembali diperoleh persamaan
diferensial yangsama:
rrA + A = 0:
37
-
Peninjauan lebih lanjut terhadap persamaan di atas menunjukkan
kopling an-tara komponen potensial masih muncul. Hal ini karena
laplacian A berasal darikontraksi ungkapan berikut,
rrA = @(rA) + rA rA= @@A
+ @A
+ @A + @A
+ @A
+A
@A A: (IV.33)
Berdasarkan ungkapan di atas penting untuk memilih ansats yang
akan menye-derhanakn kopling yang masih muncul. Adapun salah satu
ansats solusi yang me-menuhi adalah solusi potensial berbentuk,
A = A(r; ; ') = (A0; 0; 0; A3): (IV.34)
Alasan pemilihan ansats ini adalah untuk mendapatkan solusi
Maxwell yang meng-andung komponen listrik dan komponen magnet
dengan bentuk yang melepas ko-pling di antara persamaan-persamaan
komponen Maxwell. Kajian menarik yangberkembang dalam studi
astrofisika dewasa ini adalah meninjau pusat-pusat galak-si aktif
di mana eksis lubang hitam dengan medan elektromagnetik serta
medangravitasi kuat yang mana masing-masing komponen tidak dapat
diabaikan.
Rincian lebih lanjut koefisien koneksi yang sudah dihitung di
bab II sebelumnya,
rrr(r) =1
2
1
grr@rgrr =
(m=r2 r=3)(1 2m=r r2=3) (IV.35)
rtt(r) =1
2
1
grr@rgtt = (m=r2 r=3)(1 2m=r r2=3) (IV.36)
r(r) = r
grr= r(1 2m=r r2=3) = (r 2m r3=3) (IV.37)
r''(r; ) =r sin2
grr= r sin2 (1 2m=r r2=3)
= sin2 (r 2m r3=3) (IV.38)
''() = sin cos ; r = r =1
r; 'r'(r) =
''r(r) =
1
r(IV.39)
38
-
trt(r) = ttr =
1
2
1
gtt@rgtt =
(m=r2 r=3)(1 2m=r r2=3) ;
''() =
'' =
cos
sin : (IV.40)
Untuk menyederhanakan perhitungan dimisalkan f(r) = (1 2m=r
r2=3) se-hingga
rrr(r) = @rf(r)
2f(r);rtt = [@rf(r)]f(r)
r(r) = rf(r);r''(r; ) = r sin2 f(r);r = r = 1=r'r'(r) =
''r(r) = 1=r;
trt(r) =
ttr =
@rf(r)
2f(r)
''() = ''() =
cos
sin ;''() = sin cos : (IV.41)
Turunan kovarian masing-masing komponen dihitung dengan rumus
berikut,
rA = @A + A: (IV.42)
Perhitungan untuk = 0 dan = 0 diperoleh:
r0A0 = @0A0 + 00A = 0 + 000A0 + 00'A3 = 0: (IV.43)
Untuk = 1, = 0 diperoleh:
r1A0 = @1A0 + 01A = @rA0 + 010A0 + 013A3
= @rA0 +
@rf(r)A0
2f(r): (IV.44)
Untuk = 2, = 0 diperoleh:
r2A0 = @2A0 + 02A = @2A0 + 020A0 + 023A3 = @A0: (IV.45)
Untuk = 3, = 0 diperoleh:
r3A0 = @'A0 + 03A = @3A0 + 030A0 + 033A3 = @'A0: (IV.46)
Untuk = 0, = 3
r0A3 = @0A3 + 30A = 300A0 + 303A3 = 0: (IV.47)
39
-
Untuk = 1, = 3
r1A3 = @1A3 + 31A = @rA3 + 310A0 + 313A3 = @rA3 +1
rA3: (IV.48)
Untuk = 2, = 3
r2A3 = @2A3 + 32A = @A3 + 320A0 + 323A3 = @A3 +cos
sin A3: (IV.49)
Untuk = 3, = 3
r3A3 = @3A3 + 33A = @'A3 + 330A0 + 333A3 = @'A3: (IV.50)
Untuk = 1 dan = 2 tidak selalu nol karena faktor koefisien
koneksi turutberperan. Untuk = 0, = 1
r0A1 = @0A1 + 100A0 + 101A1 + 102A2 + 103A3 = 100=
[@rf(r)]f(r)A0: (IV.51)
Untuk = 1, dan = 1
r1A1 = @1A1 + 11A = 110A0 + 111A1 + 112A2 + 113 = 0 (IV.52)
Untuk = 2, = 1
r2A1 = @2A1 + 120A0 + 121A1 + 122A2 + 123A3 = 0: (IV.53)
Untuk = 3, = 1
r3A1 = @3A1 + 130A0 + 131A1 + 132A2 + 133A3 = 133A3= r sin2
f(r)A3: (IV.54)
Untuk = 0, = 2
r0A2 = @0A2 + 200A0 + 201A1 + 202A2 + 303A3 = 0: (IV.55)
Untuk = 1, = 2
r1A2 = @1A2 + 210A0 + 211A1 + 212A2 + 213A3 = 0: (IV.56)
40
-
Untuk = 2, = 2
r2A2 = @2A2 + 220A0 + 221A1 + 222A2 + 223A3 = 0: (IV.57)
Untuk = 3, = 2
r3A2 = @3A2 + 230A0 + 231A1 + 232A1 + 233A1 = 0: (IV.58)
Selanjutnya Laplacian A bisa dihitung dengan memanfaatkan
hasil-hasil sebe-lumnya di atas dengan mengkontraksikan
masing-masing komponen potensial,
rrA = grrA
= g0rr0A + g1rr1A + g2rr2A + g3rr3A
= g00r0r0A + g11r1r1A + g22r2r2A + g33r3r3A:(IV.59)
Sedangkan,
rrA = @(rA) + rA rA: (IV.60)
Mengingat metrik bersifat diagonal, maka tinggal dihitung tiga
komponen tidak nol.Untuk = 0, = 0 dan = 0,
r0r0A0 = @0(r0A0) + 00r0A 00rA0= 000r0A0 + 001r0A1 + 002r0A2 +
003r0A3 000r0A0
100r1A0 200r2A0 300r3A0= 001r0A1 100r1A0
= @rf(r)2f(r)
[@rf(r)]f(r)A0 + [@rf(r)]f(r)
@rA
0 +[@rf(r)]A
0
2f(r)
= [@rf(r)]
2A0
2+ [@rf(r)][@rA
0]f(r) +[@rf(r)]
2A0
2= [@rf(r)][@rA
0]f(r): (IV.61)
41
-
Untuk = 0, = 1 dan = 1 diperoleh
r1r1A0 = @1(r1A0) + 01r1A 11rA0= @r(r1A0) + 010r1A0 + 011r1A1 +
0121A2 + 013r1A3
011r0A0 111r1A0 211r2A0 311r3A0= @r(r1A0) + 010r1A0 111r1A0
= @r
@rA
0 +@rf(r)A
0
2f(r)
+
@rf(r)
[2f(r)]
@rA
0 +@rf(r)A
0
2f(r)
+@rf(r)
2f(r)
@rA
0 +[@rf(r)A
0]
2f(r)
= @r
@rA
0 +[@rf(r)]A
0
2f(r)
+@rf(r)
f(r)
@rA
0 +[@rf(r)A
0]
2f(r)
= @2rA
0 +2f(r)[@2rf(r)A
0 + [@rf(r)][@rA0] 2[@rf(r)]2A0
4f 2(r)
+[@rf(r)][@rA
0]
f(r)+
[@rf(r)]2A0
2f 2(r)
= @2rA0 +
[@2rf(r)]A0
2f(r)+
[@rf(r)][@rA0]
2f(r)+
[@rf(r)][@rA0]
f(r)
= @2rA0 +
[@2rf(r)]A0
2f(r)+
3[@rf(r)][@rA0]
2f(r): (IV.62)
Untuk = 0, = 2 dan = 2 diperoleh:
r2r2A0 = @2(r2A0) + 02r2A 22rA0= @2(r2A0) + 020r2A0 + 021r2A1 +
022r2A2 + 023r2A3
022r0A0 122r1A0 222r2A0 322r3A0= @2(r2A0) 122r1A0
= @(@A0) + rf(r)
@rA
0 +@rf(r)A
0
2f(r)
= @2A
0 + [rf(r)][@rA0] +
r@rf(r)A0
2: (IV.63)
42
-
Untuk = 0, = 3 dan = 3 diperoleh:
r3r3A0 = @3(r3A0) + 03r3A 33rA0= @3(r3A0) + 030r3A0 + 031r3A1 +
032r3A2 + 033r3A3
033r0A0 133r1A0 233r2A0 333r3A0= @3(r3A0) 133r1A0 233r2A0=
@3(r3A0) + r sin2 f(r)r1A0 + sin cos (@A0)= @3('3A
0) + [r sin2 f(r)]
@rA
0 +[@rf(r)]A
0
2f(r)
+ sin cos (@A
0)
= @2'A0 + [r sin2 ][@rA
0]f(r) +r sin2 [@rf(r)]A
0
2+ sin cos (@A
0):
(IV.64)
Untuk = 1, = 0 dan = 0,
r0r0A1 = @0(r0A1) + 10r0A 00rA1= 100r0A0 + 101r0A1 + 102r0A2 +
103r0A3
000r0A1 100r1A1 200r2A1 300r3A1 = 0:(IV.65)
Untuk = 1, = 1 dan = 1.
r1r1A1 = @(rA) + rA rA1= @1(r1A1) + 11r1A 11rA1= 0 + 110r1A0 +
111r1A1 + 112r1A2 + 113r1A3
011r0A1 111r1A1 211r2A1 311r3A1 = 0:(IV.66)
Untuk = 1, = 2 dan = 2,
r2r2A1 = @2(r2A1) + 12r2A 22rA1= 120r2A0 + 121r2A1 + 122r2A2 +
123r2A3
022r0A1 122r1A1 222r2A1 323r3A1 = 0:(IV.67)
43
-
Untuk = 1, = 3 dan = 3
r3r3A1 = @3(r3A1) + 13r3A 33rA1= @3(r3A1) + 130r3A0 + 131r3A1 +
132r3A2 + 133r3A3
033r0A1 133r1A1 233r2A1 333r3A1= @3(r3A1) + 133r3A3= @'(r sin2
f(r)A3) r sin2 f(r)@'A3= 2r sin2 f(r)@'A3: (IV.68)
Untuk = 2, = 0 dan = 0,
r0r0A2 = @0(r0A2) + 20r0A 00rA2= 200r0A0 + 201r0A1 + 202r0A2 +
203r0A3
000r0A2 100r1A2 200r2A2 300r3A2 = 0:(IV.69)
Untuk = 2, = 1 dan = 1,
r1r1A2 = @1(r1A2) + 21r1A 11rA2= 210r1A0 + 211r1A1 + 212r1A2 +
213r1A3
011r0A2 111r1A2 211r2A2 311r3A2 = 0:(IV.70)
Untuk = 2, = 2 dan = 2,
r2r2A2 = @2(r2A2) + 22r2A 22rA2= 220r2A0 + 221r2A1 + 222r2A2 +
223r2A3
022r0A2 122r1A2 222r2A2 322r3A2 = 0:(IV.71)
44
-
Untuk = 2, = 3 dan = 3,
r3r3A2 = @3(r3A2) + 23r3A 33rA2= 230r3A0 + 231r3A1 + 232r3A2 +
233r3A3
033r0A2 133r1A2 233r2A2 333r3A2= 233r3A3 = sin cos [@'A3]:
(IV.72)
Untuk = 3, = 0 dan = 0,
r0r0A3 = @0(r0A3) + 30r0A 00rA3= 300r0A0 + 301r0A1 + 302r0A2 +
303r0A3
000r0A3 100r1A3 200r2A3 300r3A3= 100r1A3
= [@rf (r)] [@rA3]f (r) +
[@rf (r)] f (r)A3
r(IV.73)
Untuk = 3, = 1 dan = 1,
r1r1A3 = @1(r1A3) + 31r1A 11rA3= @1(r1A3) + 310r1A0 + 311r1A1 +
312r1A2 + 313r1A3
011r0A3 111r1A3 211r2A3 311r3A3= @1(r1A3) + 313r1A3 111r1A3
= @r(@rA3 +
1
rA3) +
1
r
@rA
3 +1
rA3+
[@rf(r)]
2f(r)
@rA
3 +1
rA3
= @2rA3 +
r[@rA3] A3r2
+1
r@rA
3 +A3
r2+
[@rf(r)]
2f(r)[@rA
3 +1
rA3]
= @2rA3 +
2
r@rA
3 +[@rf(r)]
2f(r)[@rA
3 +1
rA3]: (IV.74)
45
-
Untuk = 3, = 2 dan = 2,
r2r2A3 = @2(r2A3) + 32r2A 22rA3= @2(r2A3) + 320r2A0 + 321r2A1 +
322r2A2 + 323r2A3
022r0A3 122r1A3 222r2A3 322r3A3= @2(r2A3) + 323r2A3 122r1A3=
@(@A
3 + cot A3) + cot (@A + cot A3)
+rf(r)
@rA
3 +1
rA3
= @2A3 A3 + 2[@A3][cot ] + rf(r)[@rA3] + f(r)A3
= @2A3 + [f(r) 1]A3 + rf(r)[@rA3] + 2[@A3][cot ]: (IV.75)
Untuk = 3, = 3 dan = 3,
r3r3A3 = @3(r3A3) + 33r3A 33rA3
= @3(r3A3) + 330r3A0 + 331r3A1 + 332r3A2 + 333r3A3
033r0A3 133r1A3 233r2A3 333r3A3
= @3(r3A3) + 331r3A1 133r1A3 233r2A3
= @'(@'A3) sin2 f(r)A3 + r sin2 f(r)(@rA3 + 1
rA3)
+ sin cos (@A3 + cot A3)
= @2'A3 + sin cos (@A
3) + r sin2 f(r)(@rA3) + cos2 A3:
(IV.76)
Oleh karena itu akan diperoleh persamaan Laplacian bagi A0.
rrA0 = g00r0r0A0 + g11r1r1A0 + g22r2r2A0 + g33r3r3A0
= 1f(r)
[@rf(r)][@rA
0]f(r)+ f(r)
@2rA
0 +[@2rf(r)]A
0
2f(r)+
3[@rf(r)][@rA0]
2f(r)
+
1
r2
@2A
0 + [rf(r)][@rA0] +
r@rf(r)A0
2
+
1
r2 sin2
@2'A
0 + [r sin2 ][@rA0]f(r) +
r sin2 [@rf(r)]A0
2+ sin cos (@A
0)
= [@rf(r)][@rA0]
+f(r)[@2rA0] +
[@2rf(r)]A0
2+
3[@rf(r)][@rA0]
2+
@2A0
r2+
f(r)[@rA0]
r+
[@rf(r)]A0
2r
+@2'A
0
r2 sin2 +
[@rA0]f(r)
r+
[@rf(r)]A0
2r+
cot (@A0)
r2
= f(r)[@2rA0] +
[@2rf(r)]A0
2+
[@rf(r)][@rA0]
2+
@2A0
r2+
2f(r)[@rA0]
r+
[@rf(r)]A0
r
+@2'A
0
r2 sin2 +
cot (@A0)
r2(IV.77)
46
-
Laplacian bagi A1.
rrA1 = g00r0r0A1 + g11r1r1A1 + g22r2r2A1 + g33r3r3A1
=1
r2 sin2
2r sin2 f(r)@'A3= 2f(r)@'A
3
r(IV.78)
Laplacian bagi A2.
rrA2 = g00r0r0A2 + g11r1r1A2 + g22r2r2A1 + g33r3r3A2
=1
r2 sin2 [ sin cos [@'A3]] = cot [@'A
3]
r2
(IV.79)
Laplacian bagi A3.
rrA3 = g00r0r0A3 + g11r1r1A3 + g22r2r2A3 + g33r3r3A3
= 1f(r)
@rf(r)[@rA
3]f (r) +[@rf (r)] f (r)A
3
r
+f(r)
@2rA
3 +2
r@rA
3 +[@rf(r)][@rA
3]
2f(r)+@rf(r)A
3
2rf(r)
+
1
r2@2A
3 + 2 cot (@A3) + rf(r)(@rA
3) + [f(r) 1]A3+
1
r2 sin2
@2'A
3 + sin cos (@A3) + r sin2 f(r)(@rA
3) + cos2 A3
= [@rf(r)][@rA3] [@rf(r)]A3
r+ f(r)@2rA
3 +2[@rA
3]f(r)
r
+[@rf(r)]
2[@rA
3 +1
rA3] +
@2A3
r2+
[f(r) 1]r2
A3 +f(r)[@rA
3]
r
+2[@A
3][cot ]
r2+
[@2'A3]
r2 sin2 +
cot
r2[@A
3] +f(r)
r[@rA
3] +cot2
r2A3
= [@rf(r)][@rA3]
2 [@rf(r)]A
3
2r+ f(r)@2rA
3 +4[@rA
3]f(r)
r+@2A
3
r2
+[f(r) 1 + cot2 ]A3
r2+
3[@A3][cot ]
r2+
1
r2 sin2 [@2'A
3]
= f(r)@2rA3 +
@2A3
r2+
1
r2 sin2 [@2'A
3] [@rf(r)][@rA3]
2 [@rf(r)]A
3
2r
+4[@rA
3]f(r)
r+
[f(r) 1 + cot2 ]A3r2
+3[@A
3][cot ]
r2: (IV.80)
47
-
Persamaan Maxwell bagi masing-masing komponen potensial adalah
sebagaiberikut.Persamaan Maxwell bagi A0,
rrA0 + A0 = 0, f(r)[@2rA0] +
[@2rf(r)]A0
2+
[@rf(r)][@rA0]
2+@2A
0
r2+
2f(r)[@rA0]
r+
[@rf(r)]A0
r
+@2'A
0
r2 sin2 +
cot [@A0]
r2+ A0 = 0
, 2r2 sin2 f(r)[@2rA0] + r2 sin2 [@2rf(r)]A0 + r2 sin2
[@rf(r)][@rA0]+2 sin2 [@2A
0] + 4r sin2 f(r)[@rA0] + 2r sin2 A0[@rf(r)]
+2@2'A0 + 2 sin cos [@A
0] + 2A0r2 sin2 = 0: (IV.81)
Lakukan pemisahan variable dengan mensubstitusi A0 = R0(r)T 0()P
0('), se-hingga
2r2 sin2 T 0P 0f(r)[@2rR0] + r2 sin2 [@2rf(r)]R
0T 0P 0 + r2 sin2 T 0P 0[@rf(r)][@rR0]
+2 sin2 R0P 0[@2T0] + 4r sin2 f(r)T 0P 0[@rR
0] + 2r sin2 R0T 0P 0[@rf(r)]
+2R0T 0[@2'P0] + 2 sin cos R0P 0[@T
0] + 2R0T 0P 0r2 sin2 = 0: (IV.82)
Kalikan persamaan tersebut dengan 1=R0T 0P 0, maka diperoleh
2r2 sin2 f(r)[@2rR0]
R0+ r2 sin2 [@2rf(r)] +
r2 sin2 [@rf(r)][@rR0]
R0+
2 sin2 [@2T0]
T 0
+4r sin2 f(r)[@rR
0]
R0+ 2r sin2 [@rf(r)] +
2[@2'P0]
P 0
+2 sin cos [@T
0]
T 0+ 2r2 sin2 = 0:
(IV.83)
Persamaan tersebut dapat ditulis bagi variabel (r; ) dan '. Bagi
'
2[@2'P0]
P 0= K21 ; (IV.84)
dengan solusi
P 0(') = C1 cos
K12
'
+ C2 sin
K12
'
: (IV.85)
Tampak ketergantungan solusi potensial bersifat sinusoidal
terhadap sudut '. De-ngan membatasi pada rentang sudut 0 hingga 2
terlihat potensial menguat pada
48
-
sudut =2 radian. Plot solusi ini adalah
1
0:5
0
0:5
1
1:5
02
32 2
P 0(')
'
P 0(')
Gambar IV.1: Plot P 0(').
Bagi (r; ),
2r2 sin2 f(r)[@2rR0]
R0+ r2 sin2 [@2rf(r)] +
r2 sin2 [@rf(r)][@rR0]
R0+
2 sin2 [@2T0]
T 0
+4r sin2 f(r)[@rR
0]
R0+ 2r sin2 [@rf(r)] +
2 sin cos [@T0]
T 0+ 2r2 sin2 = K21 :
(IV.86)
Kalikan persamaan tersebut dengan 1= sin2 maka
2r2f(r)[@2rR0]
R0+ r2[@2rf(r)] +
r2[@rf(r)][@rR0]
R0+
2[@2T0]
T 0+
4rf(r)[@rR0]
R0
+2r[@rf(r)] +2 cot [@T
0]
T 0+ 2r2 =
K21sin2
; (IV.87)
yang dapat ditulis menjadi persamaan dalam r dan . Bagi r
2r2f(r)[@2rR0]
R0+ r2[@2rf(r)] +
r2[@rf(r)][@rR0]
R0+
4rf(r)[@rR0]
R0
+2r[@rf(r)] + 2r2 = K22
(IV.88)
49
-
Untuk ketergantungan dengan ,
2[@2T0]
T 0+
2 cot [@T0]
T 0 K
21
sin2 = K22 : (IV.89)
Untuk mendapatkan solusi persamaan yang mengandung r, pertama
substitusi f(r)pada persamaan tersebut.
2r2[@2rR0]
R0
1 2m
r r
2
3
r2
4m
r3+
2
3
+r2[@rR
0]
R0
2m
r2 2r
3
+4r[@rR
0]
R0
1 2m
r r
2
3
+ 2r
2m
r2 2r
3
+ 2r2 = K22 :
(IV.90)
Selanjutnya kedua ruas dikali 3r2R0
[@2rR0][6r4 12mr3 2r6] (12mr + 2r4)R0 + [@rR0][6mr2 2r5]
+[@rR0](12r3 24mr2 4r5) + [12mr 4r4]R0 + 6r4R0 = 3K22r2R0:
, (6r4 12mr3 2r6)[@2rR0] + [12r3 18mr2 6r5][@0R0] + 3k22r2R0 =
0:, (2r6 6r4 + 12mr3)[@2rR0] + [6r5 12r3 + 18mr2][@0R0] 3k22r2R0 =
0:
(IV.91)
Substitusi solusi deret, turunan pertama dan kedua
masing-masing
R0(r) =1Xi=0
airi+s (IV.92)
@R0(r)
@r=
1Xi=0
(i+ s)airi+s1 (IV.93)
@2R0(r)
@r2=
1Xi=0
(i+ s)(i+ s 1)airi+s2 (IV.94)
50
-
pada persamaan yang mengandung r
(2r6 6r4 + 12mr3)1Xi=0
(i+ s)(i+ s 1)airi+s2
+[6r5 12r3 + 18mr2]1Xi=0
(i+ s)airi+s1 + 3k22r
21Xi=0
airi+s = 0:
,1Xi=0
2ai(i+ s)(i+ s 1)ri+s+4 1Xi=0
6ai(i+ s)(i+ s 1)ri+s+2
+1Xi=0
12mai(i+ s)(i+ s 1)ri+s+1 +1Xi=0
6ai(i+ s)ri+s+4
1Xi=0
12ai(i+ s)ri+s+2 +
1Xi=0
18mai(i+ s)ri+s+1 +
1Xi=0
3K22airi+s+2 = 0:
Selanjutnya
1Xi=0
[2ai(i+ s)(i+ s 1) + 6ai(i+ s)]ri+s+4
1Xi=0
[6ai(i+ s)(i+ s 1) + 12ai(i+ s) + 3K22ai]ri+s+2
+1Xi=0
[12mai(i+ s)(i+ s 1) + 18mai(i+ s)]ri+s+1 = 0: (IV.95)
Koefisien pangkat terendah pertama untuk i = 0 diperoleh
12ma0s(s 1) + 18ma0s = 0:s = 0; s = 1=2 (IV.96)
Koefisien terendah berikutnya adalah,
[12ma1(1 + s)(1 + s 1) + 18ma1(1 + s)] [6a0(0 + s)(0 + s
1)+12a0(0 + s) 3k22a0] = 0: (IV.97)
Penyederhanaan lebih lanjut menghasilkan
[12ma1(1 + s)2 12ma1(1 + s) + 18ma1(1 + s)]
[6a0s(s 1) + 12a0s 3k22a0] = 0, a1 = [6a0s
2 + 6a0s 3k22a0][12m(1 + s)2 + 6m(1 + s)]
: (IV.98)
51
-
Koefisien terendah berikutnya adalah sebagai berikut,
[12ma2(2 + s)(2 + s 1) + 18ma2(2 + s)] [6a1(1 + s)(1 + s
1)+12a1(1 + s) + 3K
22a1] = 0
, [12ma2(2 + s)2 + 6ma2(2 + s)] [6a1(1 + s)2 + 6a1(1 + s)
3k22a1] = 0, a2 = [6a1(1 + s)
2 + 6a1(1 + s) 3k22a1][12m(2 + s)2 + 6m(2 + s)]
: (IV.99)
Koefisien terendah selanjutnya,
[12ma3(3 + s)(3 + s 1) + 18ma3(3 + s)] [6a2(2 + s)(1 + s)+12a2(2
+ s) 3K22a2] + [2a0s(s 1) + 6a0s] = 0
, [12ma3(3 + s)(2 + s) + 18ma3(3 + s)] [6a2(2 + s)(1 + s)+12a2(2
+ s) 3K22a2] + [2a0s(s 1) + 6a0s] = 0
, a3 = [6a2(2 + s)(1 + s) + 12a2(2 + s) 3K22a2] [2a0s2 +
4a0s]
[12m(3 + s)(2 + s) + 18m(3 + s)]:
(IV.100)
Secara umum berlaku,
[12mai(i+ s)(i+ s 1) + 18mai(i+ s)] [6ai1(i 1 + s)(i+ s
2)]+[12ai1(i 1 + s) 3K22ai1] + [2ai3(i 3 + s)(i+ s 4)+6ai3(i 3 +
s)] = 0
, ai = [6ai1(i 1 + s)(i+ s 2) + 12ai1(i 1 + s) 3K22ai1]
12m(i+ s)(i+ s 1) + 18m(i+ s) [2ai3(i 3 + s)(i+ s 4) + 6ai3(i 3
+ s)]
12m(i+ s)(i+ s 1) + 18m(i+ s) : (IV.101)
Nilai koefisien a1 untuk s = 0,
a1 =[6a0(0)
2 + 6a0(0) 3K22a0][12m(1 + 0)2 + 6m(1 + 0)]
=K22a06m
: (IV.102)
Untuk s = 1=2,
a01 =[6a0(1=2)2 + 6a0(1=2) 3K22a0][12m(1 1=2)2 + 6m(1 1=2)]
=
[2K22 1]a04m
: (IV.103)
52
-
Koefisien a2 untuk s = 0,
a2 =[6a1(1 + 0)
2 + 6a1(1 + 0) 3K22a1]12m(2 + 0)2 + 6m(2 + 0)
, a2 = [6a1 + 6a1 3K22a1]
[48m+ 12m]=
[2a1 + 2a1 K22a1][16m+ 4m]
, a2 = [4K22 ]a1
20m=
4K2220m
K22a06m
: (IV.104)
Untuk s = 1=2
a02 =[6a1(1 1=2)2 + 6a1(1 1=2) 3K22a1]
[12m(2 1=2)2 + 6m(2 1=2)], a02 =
[6a1(1=2)2 + 6a1(1=2) 3K22a1]
[12m(3=2)2 + 6m(3=2)]
, a02 =[6a1 + 12a1 12K22a1]
[108m+ 36m]=
3a1 2K22a124m
, a02 =3 2K2224m
[2K22 1]a0
4m: (IV.105)
Koefisien a3 untuk s = 0,
a3 =[6a2(2 + 0)(1 + 0) + 12a2(2 + 0) 3K22a2] [2a0:02 +
4a0:0]
[12m(3 + 0)(2 + 0) + 18m(3 + 0)]
, a3 = [12a2 + 24a2 3K22a2]
[12m(3 + 0)(2 + 0) + 18m(3 + 0)]=
12a2 K22a242m
, a3 = [12K22 ]a2
42m=
[12K22 ]42m
[3 2K22 ]24m
[2K22 1]a04m
: (IV.106)
Untuk s = 1=2
a03 =[6a2(2 1=2)(1 1=2) + 12a2(2 1=2) 3K22a2]
[12m(3 1=2)(2 1=2) + 18m(3 1=2)] 2[a0(1=2)
2 + 4a0(1=2)][12m(3 1=2)(2 1=2) + 18(3 1=2)]
, a03 =[6a23 + 12a26 12K22a2] 2[a0 8a0]
[12m:15 + 18m:10]: (IV.107)
53
-
Lebih lanjut,
a03 =[3a2 + 12a2 2K22a2] + 3a0
30m+ 30m
, a03 =[15 2K22 ]a2
60m+
a020m
, a03 =[15 2K22 ]
60m
3 2K2224m
[2K22 1]a0
4m+
a020m
: (IV.108)
Solusi lengkap persamaan diferensial untuk R0(r) oleh karena itu
adalah sebagaiberikut karena masing-masing s bukan singulir,
R0(r) = (y(r))s=0 + (y(r))s=1=2
, R0(r) = a0 + a1r1 + a2r2 + a3r3 + :::+a00r
1=2 + a01r1=2 + a02r
3=2 + a03r5=2 + :::
, R0(r) = a0 + K22a0
6mr +
[4K22 ]20m
[K22a0]6m
r2
+[12K22 ]
42m
[3 2K22 ]24m
[2K22 1]4m
a0r3 + :::
+a00r1=2 +
[2K22 1]4m
a0r1=2 +
[3 2K22 ][24m]
[2K22 1]4m
a0r3=2
+
[15 2K22 ]
60m
[3 2K22 ]24m
[2K22 1]a04m
+a020m
r5=2 + :::
(IV.109)
Dengan GNUPLOT grafik solusi deret ini adalah ...
7:5
8
8:5
9
9:5
10
0 0:2 0:4 0:6 0:8 1 1:2 1:4 1:6 1:8 2
R0(r)
r
m > ; s = 0
(a)
51015202530354045
0 0:2 0:4 0:6 0:8 1 1:2 1:4 1:6 1:8 2
R0(r)
r
m < ; s = 0
(b)
Gambar IV.2: Plot R0(r) terhadap r(0! r1) untuk s = 0.
54
-
510
15
20
25
30
35
0 0:2 0:4 0:6 0:8 1 1:2 1:4 1:6 1:8
R0(r)
r
m > ; s = 0:5
(a)
5
10
15
20
25
30
35
0 0:2 0:4 0:6 0:8 1 1:2 1:4 1:6 1:8
R0(r)
r
m < ; s = 0:5
(b)
Gambar IV.3: Plot R0(r) terhadap r(0! r1) untuk s = 0:5.
6:86:97
7:17:27:37:47:57:67:77:8
1:7 1:8 1:9 2 2:1 2:2 2:3 2:4 2:5 2:6 2:7
R0(r)
r
m > ; s = 0
(a)
9:5
10
10:5
11
11:5
12
12:5
0:40:5 0:60:70:80:9 1 1:11:2 1:31:4
R0(r)
r
m < ; s = 0
(b)
Gambar IV.4: Plot R0(r) terhadap r(r1 ! r2) untuk s = 0.
3:43:63:84
4:24:44:64:85
5:25:4
1:7 1:8 1:9 2 2:1 2:2 2:3 2:4 2:5 2:6 2:7
R0(r)
r
m > ; s = 0:5
(a)
1011121314151617
0:4 0:5 0:6 0:7 0:8 0:9 1 1:1 1:2 1:3 1:4
R0(r)
r
m < ; s = 0:5
(b)
Gambar IV.5: Plot R0(r) terhadap r(r1 ! r2) untuk s = 0:5.
Plot-plot grafik di atas memberikan sedikit implementasi wakilan
numerik untukmemvisualkan kelakuan medan R0 yang merupakan
potensial listrik di sekitar lu-bang hitam. Untuk solusi dengan
pemilihan s = 0 terlihat bahwa ketika kita berge-rak dari horizon
lubang hitam menuju singularitas r = 0 terlihat dua kemungkinan
55
-
skenario terjadi. Jika konstanta kosmologi cukup kecil terlihat
potensial listrik akanmenguat yang menunjukkan peranan besar
konstanta kosmologi dalam mempenga-ruhi sifat medan listrik.
Sebaliknya terjadi untuk konstanta kosmologi yang cukupbesar. Hal
ini tidak mengherankan karena solusi Kottler sendiri
menggambarkantarikan antara dua komponen yaitu gravitasi kuat dan
konstanta kosmologi.
Solusi ini tentu diungkap dalam batas-batas limit horizon
peristiwa lubang hi-tam tersebut. Plot grafik juga mengasumsikan
syarat batas pada lubang hitam yaitu3MG
p < 1 sehingga semua horizon peristiwa yang hadir bersifat
fisis.
Jika ditinjau kelakuan potensial listrik pada wilayah antara
horizon kosmologisdengan horizon lubang hitam, maka tampak dari
solusi ini potensial menguat dizona mendekati limit masing-masing
tapal batas horizon.
Solusi lengkap bagi fungsi dengan variabel adalah sebagai
berikut,
2[@2T0]
T 0+
2 cot [@T0]
T 0 K
21
sin2 = K22 (IV.110)
dikali dengan T 0=2,
@2T0 + cot [@T
0]
K212 sin2
+K222
T0 = 0: (IV.111)
Solusinya adalah,
T 0() = C3Pmn (cos ) + C4
mn (cos ) (IV.112)
denganm = K21 , n = 1=2(1 +p1 4(K22=2)) = 1=2(1 +
p1 2K22).
Solusi eksak untuk T 0() dalam bentuk fungsi eksplisit (closed
form) diperolehuntuk kosntanta K2 = 0. Dalam hal ini dilakukan
transformasi variabel. Misalkany = ln(cot(=2)) sehingga:
dT 0()
d=
dT (y)
dy
dy
d= 1
sin
dT 0(y)
dy(IV.113)
dan
d2T 0()
d2=
cot
sin
dT 0()
dy 1
sin
d
dy
dy
d
dT 0(y)
dy
, d
2T 0()
d2=
cot
sin
dT 0()
dy+
1
sin2
d2T 0(y)
dy2: (IV.114)
56
-
Maka persamaan (IV.111) selanjutnya dapat ditulis sebagai
berikut:
1
sin2
d2T 0(y)
dy2+
cot
sin
dT 0(y)
dy cot
sin
dT 0(y)
dy K
21
2 sin2 T 0(y) = 0
, d2T 0(y)
dy2 K
21
2T 0(y) = 0: (IV.115)
Solusinya adalah,
T 0(y) = C1 cosh
K12y
+ C2 sinh
K12y
(IV.116)
dengan ungkapan lain
T 0(y) = ~C1e(K1=2)y + ~C2e
(K1=2)y: (IV.117)
Dengan mensubstitusikan kembali untuk y diperoleh,
T 0() = C1 cosh
K12
ln(cot(=2))
+ C2 sinh
K12
ln(cot(=2))
: (IV.118)
Atau
T 0() = ~C1[cot(=2)]K1=2 + ~C2[cot(=2)]
K1=2: (IV.119)
Plot solusi eksak dengan GNUPLOT diberikan oleh Gambar IV.6
150
100
50
0
50
100
150
3 2 0 2 3
T 0()
K2 = 0
Gambar IV.6: Plot T 0() terhadap .
Hasil Plot solusi memperlihatkan keperiodikan solusi untuk
setiap periode 2
57
-
radian. Hasil ini tidak mengherankan karena setiap 2 radian kita
kembali ketitikyang sama yang sudah seharusnya kuat medannya
menjadi periodik.
Persamaan Maxwell bagi A1 adalah sebagai berikut.Mengingat A1 =
0, maka
rrA1 + A1 = 0) rrA1 = 0: (IV.120)
Dengan mensubstitusikan hasil hitungan Laplacian bagi A1
2f(r)r
@'A3 = 0 (IV.121)
yang menunjukkan ketidakbergantungan A3 dengan variabel '.Adapun
persamaan Maxwell bagi A2 menghasilkan kaitan berikut,
rrA2 + A2 = 0) rrA2 = 0) cot [@'A
3]
r2= 0 (IV.122)
yang juga menunjukkan bahwa A3 tidak gayut dengan '. Dua kaitan
yang memberikesimpulan yang sama ini terkait dengan pilihan ansatsz
yang dilakukan. Sehingggakopling antara A1 dan A2 tidak lagi
muncul. Selanjutnya teknik solusi separasivariabel bisa
diterapkan.
Persamaan Maxwell bagi A3 adalah sebagai berikut:
rrA3 + A3 = 0, f(r)@2rA3 +
@2A3
r2+
1
r2 sin2 [@2'A
3] [@rf(r)][@rA3]
2 [@rf(r)]A
3
2r
+4[@rA
3]f(r)
r+
[f(r) 1 + cot2 ]A3r2
+3[@A
3][cot ]
r2+ A3 = 0:
(IV.123)
Mengingat @'A3 = 0
f(r)@2rA3 +
@2A3
r2 [@rf(r)][@rA
3]
2 [@rf(r)]A
3
2r+
4[@rA3]f(r)
r
+[f(r) 1 + cot2 ]A3
r2+
3[@A3][cot ]
r2+ A3 = 0: (IV.124)
58
-
Dikali dengan 2r2
2r2f(r)@2rA3 + 2@2A
3 r2[@rf(r)][@rA3] r[@rf(r)]A3 + 8r[@rA3]f(r)+2[f(r) 1]A3 + 2
cot2 A3 + 6[@A3][cot ] + 2r2A3 = 0: (IV.125)
Dilakukan separasi variabel A3(r; ) = R3(r)T 3(),
2r2f(r)T 3@2rR3 + 2R3@2T
3 r2[@rf(r)]T 3@rR3 r[@rf(r)]R3T 3+8rT 3f(r)@rR
3 + 2[f(r) 1]R3T 3 + 2 cot2 R3T 3 + 6R3[@T 3][cot ]+2r2R3T 3 =
0: (IV.126)
Dibagi dengan R3T 3,
2r2f(r)@2rR3
R3+
2@2T3
T 3 r
2[@rf(r)]@rR3
R3 r[@rf(r)] + 8rf(r)@rR
3
R3
+2[f(r) 1] + 2 cot2 + 6[@T3][cot ]
T 3+ 2r2 = 0: (IV.127)
Selanjutnya diperoleh dua persamaan dengan variabel yang telah
terpisah,
2r2f(r)@2rR3
R3 r
2[@rf(r)][@rR3]
R3 r[@rf(r)]
+8rf(r)@rR
3
R3+ 2[f(r) 1] + 2r2 = K23 (IV.128)
dan
2@2T3
T 3+ 2 cot2 +
6[@T3][cot ]
T 3= K23 : (IV.129)
Persamaan (IV.128) terlebih dahulu dikali dengan R3
2r2f(r)@2rR3 r2[@rf(r)][@rR3] r[@rf(r)]R3 + 8rf(r)@rR3 + 2[f(r)
1]R3
+2r2R3 K23R3 = 0: (IV.130)
59
-
Disubstitusikan f(r) = 1 2mr 1
3r2,
2r21 2m
r 1
3r2
@2rR
3 r22m
r2 2
3r
[@rR
3] r2m
r2 2
3r2
R3
+8r
1 2m
r 1
3r2
@rR
3 + 2
2mr
13r2
R3 + 2r2R3 K23R3 = 0
, 6r2 12m 2r4 @2rR3 + 24r 54m 6r3 @rR318m
r 6r2 + 3K23
R3 = 0: (IV.131)
Dengan memisalkan solusi dalam bentuk deret, dengan turunan
pertama dan kedu-anya masing-masing
R3(r) =1Xi=0
biri+s; (IV.132)
@R3(r)
@r=
1Xi=0
(i+ s)biri+s1; (IV.133)
@2R3(r)
@r2=
1Xi=0
(i+ s)(i+ s 1)biri+s2: (IV.134)
Substitusi ungkapan deret dan turunannya pada (IV.131) maka
6r2 12m 2r4 1X
i=0
(i+ s)(i+ s 1)biri+s2
+24r 54m 6r3 1X
i=0
(i+ s)biri+s1
18m
r 6r2 + 3K23
1Xi=0
biri+s = 0:
(IV.135)
Dengan menguraikan serta mengumpulkan yang seorde,
1Xi=0
6(i+ s)(i+ s 1)biri+s 1Xi=0
12m(i+ s)(i+ s 1)biri+s2
1Xi=0
2(i+ s)(i+ s 1)biri+s+2 +1Xi=0
24(i+ s)biri+s
1Xi=0
54(i+ s)mbiri+s1
1Xi=0
6(i+ s)bi+s+2i 1Xi=0
18mbiri+s1 +
1Xi=0
6biri+s+2
1Xi=0
3K23biri+s = 0:
60
-
Berikutnya
1Xi=0
[6 6(i+ s) 2(i+ s)(i+ s 1)]biri+s+2 +1Xi=0
[6(i+ s)(i+ s 1)
+24(i+ s) 3K23 ]biri+s 1Xi=0
[54(i+ s)m+ 18m]biri+s1
1Xi=0
12m(i+ s)(i+ s 1)biri+s2 = 0: (IV.136)
Koefisien suku terendah pertama menghasilkan,
12m(0 + s)(0 + s 1)b0 = 0s = 0; s = 1 (IV.137)
Koefisien suku terendah selanjutnya adalah
12m(1 + s)(1 + s 1)b1 [54(0 + s)m+ 18m]b0 = 0b1 = [54sm+
18m]
12m(1 + s)(s)b0: (IV.138)
Koefisien terendah berikutnya lagi adalah,
12m(2 + s)(2 + s 1)b2 [54(1 + s)m+ 18m]b1 + [6(0 + s)(0 + s
1)+24(0 + s) 3K23 ]b0 = 0
, 12m(2 + s)(1 + s)b2 [54sm+ 72m]b1 + [6s2 + 18s 3K23 ]b0 = 0,
b2 = [6s
2 + 18s 3K23 ]b0 [54sm+ 72m]b112m(2 + s)(1 + s)
, b2 = [6s2 + 18s 3K23 ]b0
12m(2 + s)(1 + s)+
[54sm+ 72m][54sm+ 18m]b0(12m)2(2 + s)(1 + s)2s
: (IV.139)
61
-
Koefisien terendah selanjutnya lagi adalah,
12m(3 + s)(3 + s 1)b3 [54(2 + s)m+ 18m]b2+[6(1 + s)(1 + s 1) +
24(1 + s) 3K23 ]b1 = 0
, b3 = [6(1 + s)s+ 24(1 + s) 3K23 ]b1 [54(2 + s)m+ 18m]b2
12m(3 + s)(2 + s)
, b3 = [6(1 + s)s+ 24(1 + s) 3K23 ]b1
12m(3 + s)(2 + s)
[54(2 + s)m+ 18m][6s2 + 18s 3K23 ]b0 [54sm+ 72m]b1
[12m]2[3 + s][2 + s]2[1 + s]:
(IV.140)
Begitu juga selanjutnya
[12m(4 + s)(4 + s 1)]b4 [54(3 + s)m+ 18m]b3+[6(2 + s)(2 + s 1) +
24(2 + s) 3K23 ]b2+[6 6(0 + s) 2(0 + s)(0 + s 1)]b0 = 0
, [12m(4 + s)(3 + s)]b4 [54(3 + s)m+ 18m]b3+[6(2 + s)(1 + s) +
24(2 + s) 3K23 ]b2+[6 6s 2s(s 1)]b0 = 0
, b4 = [6 6s 2s(s 1)]b0[12m(4 + s)(3 + s)]
+[6(2 + s)(1 + s) + 24(2 + s) 3K23 ]b2
[12m(4 + s)(3 + s)]
[54(3 + s) + 18m]b3[12m(4 + s)(3 + s)]
: (IV.141)
Secara umum:
[12m(i+ s)(i+ s 1)]bi [54(i 1 + s)m+ 18m]bi1+[6(i 2 + s)(i 3 +
s) + 24(i 2 + s) 3K23 ]bi2+[6 6(i 3 + s) 2(i 3 + s)(i 4 + s)]bi3 =
0
, bi = [6 6(i 3 + s) 2(i 3 + s)(i 4 + s)]bi312m(i+ s)(i+ s
1)
+[6(i 2 + s)(i 3 + s) + 24(i 2 + s) 3K23 ]bi2
12m(i+ s)(i+ s 1) [54(i 1 + s)m+ 18m]bi1
12m(i+ s)(i+ s 1) : (IV.142)
Solusi persamaan dalam metode Frobenius untuk kasus ini adalah
ketika s1 = 0karena singulir dan s1 < s2 serta selisih keduanya
adalah bilangan bulat [11]. Untuk
62
-
s = 0 koefisien b1 menjadi bentuk tak tentu sebagai mana b0.
Selanjutnya koefisienyang lain ditentukan dalam suku b0 dan b1.
b2 =[6(0)2 + 18(0) 3K23 ]b0
12m(2 + 0)(1 + 0) [54sm+ 72m]b1
12m(2 + s)(1 + s)
, b2 = 3K23b0
12 2 1 72mb112 2 1 =
K23b08
3mb1 = [K23b0 24mb1]
8:
(IV.143)
Koefisien selanjutnya:
b3 =[24 3K23 ]b112m 3 2
126mb212m 3 2
, b3 = [24 3K23 ]b1
12m 3 2 126m
12m 3 23K23b012 2 1
72mb112 2 1
, b3 = [24 3K
23 ]b1
12m 3 2 +126K23b0
122m 22 1 +126 72m2b1122