SOLUSI LATIHAN 4 · Web viewdari soal 6a diperoleh matriks eselon tereduksi, , c) dari soal 6c diperoleh Jadi d) diperoleh 3 persamaan: Dari soal 6d diperoleh , , Jadi 8. A = B =

KUMPULAN SOAL & JAWABAN

ALJABAR LINIER II

D

I

S

U

S

U

N

OLEH :

DARNAH SUANDI D

01 3104 006

MATEMATIKA (A)

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR

2005

SOLUSI LATIHAN 4.3 HALAMAN 119

1. a) Semua vektor yang berbentuk (a, 0, 0)

Misal V1 = (a1, 0, 0) V2 = (a2, 0, 0)

W = V1 + V2 = (a1 + a2, 0, 0) terletak dalam W

- kV = terletak pada W

Jadi W sub ruang dalam R3

b) Vektor yang berbentuk (a, 1, 1)

Misal dan

bukan vektor dalamW

Jadi vektor yang berbentuk (a, 0, 0) bukan sub ruang R3

c) (a,b,c), dimana b = a + c

Jadi vektornya baru bisa ditulis (a, a+c, c)

ambil U = (a1, a1 + c1, c1) dan V = (a2, a2+c2, c2)

U + V = (a1 + a2 , a1 + c1 + a2+c2, c1 + c2 ) memenuhi

Ambil k skalar k U = k (a1, a1 + c1, c1)

= ( k a1, k(a1 + c1), k c1) memenuhi

Jadi sub ruang R3

d) Semua vektor yang berbentuk (a,b,c) ; b = a + c + 1

Jadi bisa ditulis (a, (a + c + 1), c)

ambil (a, ( a1+c1+1), c1)

Ternyata b = a1 + a2 +c1 + c2 + 2 tidak memenuhi, jadi bukan sub ruang.

Adalah vektor (a, b, c)

2. a) Semua matriks yang berbentuk ; a, b, c, d

Ambil untuk k bilangan bulat , ,

,

bukan sub ruang

b) Semua matriks yang berbentuk ; a + d = 0

Ambil

=

= 0 + 0 = 0 memenuhi

=

= k (0) = 0 memenuhi

Jadi merupakan sub ruang dari M22

c) Semua matriks berbentuk 2 x 2

, supaya

Ambil dimana

dimana

=

memenuhi

Jadi merupakan sub ruang M22

d) Semua matriks 2 x 2

Misal

dcba

, supaya

Ambil dan

=

=

=

= 0 + 0 = 0

= (tidak memenuhi)

Jadi bukan sub ruang dari M22

3. a) Semua polinomial

Ambil p dan q merupakan polinom-polinom yang terletak pada W

dimana

memenuhi

memenuhi

Jadi merupakan sub ruang dari P3

b)

Ambil dan xq pada W

33

2210 xbxbxbbxp

Kita selidiki

memenuhi

Ambil skalar k

Akan diselidiki apakah

memenuhi

Jadi merupakan sub ruang P3 (W)

c)

Ambil k = bilangan pecahan

sehingga diperoleh tidak semuanya

d) Polinomial

Ambil ,

,

; Rqb 00

,

Jadi merupakan sub ruang

4. a) Semua sehingga

,

,

tidak semuanya , ambil k = negatif

Maka 0 tidak memenuhi

b) Semua

Merupakan sub ruang

c) Semua

tidak memenuhi

Jadi bukan sub ruang

d) Semua fungsi konstan: , c = konstant

konstan

konstan


e) Semua yang berbentuk , adalah bilangan riil

= memenuhi

= , adalah bilangan Riil


5. Tentukan kombinasi linier dan

a)

Ambil

........(1)

........ (2)

............. (3)

subtitusi pada 2)

VU 3,3,3

b)

subtitusi pada

c)

Karena memberi nilai yang berbeda maka tidak dapat ditulis

sebagai kombinasi linier dengan dan

d)

Karena baris ketiga nol, maka tidak ada solusi jadi bukan kombinasi linier.

6. Ungkaplah bilangan berikut sebagai kombinasi

3,1,1 V , 5,2,3W

Ambil P adalah konstanta

a) dalam bentuk matriks

, ,

b) P2 = (2, 0, 6)

, ,

c) P3 = (0, 0, 0)

, ,

d) P4 = (2, 2, 3)

, ,

7. Nyatakan sebagai kombinasi linier dari

a)

Diperoleh tiga persamaan

Dalam matriks diperluas diperoleh;

dari soal (6) diperoleh matriks tereduksi

, ,

Jadi

b)

Diperoleh tiga persamaan

dalam bentuk matriks

dari soal 6a diperoleh matriks eselon tereduksi

, ,

c) dari soal 6c diperoleh

Jadi

d) diperoleh 3 persamaan:

Dari soal 6d diperoleh , ,

Jadi

8. A = B = C =

Nyatakan vektor tersebut di atas sebagai kombinasi linier dari

a)

dalam matriks

, ,

Jadi

b)

Dalam matriks diperluas

Karena , bertentangan pada garis 3 & 4 maka tidak ada nilai

yang memenuhi Jadi Q bukan kombinasi linier dari A, B, C

c)

d) dalam matriks ditulis

Jadi , ,

9 a)

Ambil

Jadi merentang R3

Apakah konsisten ? , maka harus diselidiki bahwa

mempunyai invers, kita lihat Det (B) = 1(0)+2(0)+3(-2) .

Jadi ada invers B konsisten akibat dari itu

merentang R3.

b)

Ambil

Pada baris 3 diperoleh;

(mustahil)

tidak merentang R3

c)

3 persamaan dengan 4 anu

Dalam bentuk matriks

Karena baris ke 3 diperoleh mustahil

Jadi tidak merentang R3

10. dan

a)

dan merentang

b)

Tidak ada k1 dan k2 yang memenuhi, jadi

dan merentang

c)

untuk k1 = 1 , k2 = 1

Jadi dan merentang

d)

Tidak ada k1 dan k2 yang memenuhi

Jadi dan tidak merentang.

11. Apakah polinom-polinom berikut P2

Ambil

matriks utamanya adalah

Karena baris terakhir pada matriks utama yang telah direduksi semuanya nol

Jadi tidak merentang P2

12.

Yang mana vektor berikut berada lin

a)

Dalam matriks

, ,

Jadi U 1 berada dalam lin

b)

berada dalam lin

c)

Dari bagian a dapat diperoleh matriks diperbesar

Dari barisan dan dari baris (4) bertentangan. Jadi tidak ada

dengan demikian tidak berada dalam lin

.

d)

Dari bagian a dapat diperoleh matriks diperbesar

, ,

Jadi dengan demikian maka berada dalam lin

13. Cari sebuah persamaan untuk bidang yang direntang oleh vektor-vektor :

dan

Misalkan persmaan tersebut adalah

Direntang oleh

Subtitusi pada persamaan

kalikan dimana

merupakan persamaan bidang yang direntang oleh

dan .

14. Cari persamaan parametrik untuk garis yang direntang oleh vektor =

Jawab:

, , dimana

15. Perhatikan vektor-vektor pemecahan dari sebuah sistem konsisten tak

homogen terdiri m persamaan linier n bilangan tak diketahui tidak membentuk

sub grup dari Rn

Atau dalam notasi matriks, . Kita misalkan solusi dari persamaan ini

adalah

pada Rn

Solusi vektor pada S memenuhi , ,

Misalkan W himpunan vektor pemecahan dan , adalah vektor-vektor

padaW

Kalau W subruang dari Rn maka harus diperlihatkan bahwa + , k

merupakan vektor-vektor pada W. Karena dan merupakan vektor

pemecahan maka kita peroleh

dan

Dimana tidak pada W.

Jadi W bukan sub ruang dari Rn

16. Dari contoh 8

V adalah himpunan semua fungsi bernilai riil yang didefenisikan pada seluruh

garis riil, dan adalah dua fungsi pada V ke sebarang bilangan

riil dan didefinisikan

Seperti pada gambar

Perhatikan bahwa himpunan fungsi-fungsi berikut adalah sub ruang dari

vektor di atas

a) Semua fungsi kontinu di semua titik

Ambil fungsi kontinu pada V

fungsi kontinu pada V

juga kontinu di v

; kontinu di V juga kontinu

Jadi fungsi kontinu merupakan sub ruang pada V

b) Semua fungsi-fungsi terdefenisikan disemua titik

Ambil ada

ada

ada

ada

Jadi fungsi terdeferensialkan merupakan sub ruang V

c) Fungsi terdeferensial yang memenuhi

Ambil dimana

dimana

dan

memenuhi

memenuhi

Jadi merupakan sub ruang V


1. a) dan pada R2

Tak bebas linear karena (U hasil kali skalar V1)

b) , , pada R2

Karena k1, k2 dan k3 tidak semuanya nol maka tak bebas linier.

c) dan

Tak bebas linear karena diperoleh dari perkalian skalar yaitu

d) pada M22

Tak bebas linear karena B merupakan perkalian skalar dari A yaitu B = -A

2. Tunjukkan yang tak bebas linear dari himpunan vektor berikut:

a) , ,

maka bebas linear.

b) , ,

Jadi bebas linear

c) ,

bebas linear

d) , , , karena pada R3, sedang banyak vektor ada

4 sehingga vektor tersebut tidak bebas linear (teorema 8)

3. c) , ,

Jadi bebas linear

d) , , ,

4. a) , ,

04240201220232

dari soal (2) a

Jadi bebas linear.

b) , ,

dari 2.b diperoleh

Jadi bebas linear.

c) ,

Jadi bebas linear.

d) , , ,

dari 2d akan diperoleh (teorema 8) vektor

tersebut tak bebas linear.

5. a)

Jadi tak bebas linear karena salah satu vektor dapat diperoleh dari 2 vektor

b)

bebas linear

c)

bebas linear

d)

dipenuhi jadi tidak bebas linear

e) , xx 22 , 3

31

tidak bebas linear.

f) tak bebas linear karena salah satu vektor ada nol.

6. a)

Terletak dalam satu bidang jika vector tersebut dapat di nyatakan sebagai

kombinasi linear

Karena 3 vektor tersebut bebas linear vector itu tidak terletak dalam satu

bidang

b)

,

Jadi, sebidang.

7. a)

dan segaris tapi tidak jadi tidak segaris.

b)

tidak segaris karena ketiganya tidak ada yang berkelipatan.

c)

Karena ketiganya berkelipatan (dapat diperoleh 2 vektor dengan mengalikan

skalar pada salah satu vector yang lain). Jadi segaris.

8.

21,

21,V1

21,,

21V2

Tak bebas jika

Tak bebas jika

9. a).

Tak bebas linear pada R4 jika salah satu vector dapat diperoleh dari dua

vector yang lain

.

Tidak bebas linear

b)

10. himpunan vector bebas linear

Jadi

hanya dipenuhi untuk

Jadi

bebas linear

bebas linear

bebas linear

bebas linear

bebas linear

11. himpunan vector bebas linear, perlihatkan bahwa masing-

masing sub himpunan S dengan satu atau lebih vector yang bebas linear

Jawab :

Dik : S himpunan vector bebas linear maka,

dipenuhi untuk

Ditunjukkan bahwa atau juga dipenuhi

untuk dimana subset dari S

Bukti:

Andaikan himpunan bagian itu bergantung linear (tidak bebas linear). Menurut

teorema maka keseluruhan vector dari himpunan S tak bebas linear. Suatu

kontradiksi, pengandaian di atas benar, jadi haruslah himpunan bagian dari S

bebas linear.

12. himpunan vector tak bebas linear pada ruang vector V1. Buktikan

bahwa juga tak bebas linear dimana V4 sebarang. Vektor lain

di dalam V.

Bukti:

tak bebas linear

dimana tidak semuanya nol

adalah vektor lain di dalam V

Jadi karena tidak semua nol maka bisa

diambil

Misal:

Terpenuhi dengan:

Terbukti bahwa skalar-skalar tersebut tidak semuanya nol.

Jadi tak bebas linear.

13. himpunan vektor tak bebas linear pada ruang vektor V,

buktikan juga tak bebas linear, dimana

juga dalam V

Bukti;

tak bebas linear, maka terdapat skalar yang tidak

semuanya nol, sedemikian sehingga:

Kemudian kita ambil skalar : maka kita dapatkan

persamaan:

Dimana terdapat;

( antara )

Jadi n vektor tersebut tak bebas linear.

15. bebas linear dan V3 tidak terletak pada lin maka

bebas linear. Buktikan!

Dik: bebas linear, maka terdapat skalar yang semuanya nol,

sehingga;

adalah vektor yang tidak terletak pada lin dengan demikian

tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari V1 dan V2.

Jadi

jika maka = 0

Terbukti bahwa hanya dipenuhi dalam

untuk . Jadi bebas linear.

16. u, v, w adalah vektor sebarang, maka ada skalar sehingga,

tak bebas linear.

Demikian juga dengan dan

21. Himpunan S dua vektor atau lebih adalah bebas linear tidak ada vektor s yang

dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dalam vektor S lainnya.

Bukti: misal S = V1, V2, . . . , Vr adalah sebuah himpunan dengan dua vektor

atau lebih.

Andaikan S tak bebas linear berdasarkan teorema 6a paling tidak satu

vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear kontradiksi dengan

pernyataan semula.

Andaikan S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear S tak bebas linear

(kontradiksi dengan S bebas linear).


1. a) , , untuk R2

Karena pada R2 besarnya hanya bisa dua vektor. Jadi bukan basis

untuk R2

b) R3

Pada R3 harus tiga vektor didalamnya.

bukan basis pada R3.

c) , untuk P2

Sebuah basis pada P2 mempunyai 3 vektor,

bukan basis pada P2.

d) untuk M22.

Sebuah basis pada M22 mempunyai 4 vektor .

bukan basis pada M22

2. a) , pada R2

Ambil

tunggal kombinasi linear (membangun R2)

Ambil

jadi bebas linear

Kesimpulannya basis pada R2.

b)

Ambil pada R2

Matriks diperbesar

Karena dan tunggal

Jadi membangun R2

sebarang pada R2

Ambil

; bebas linear

Jadi basis pada R2.

c) V1 = V2 = pada R2

Ambil pada R2

mustahil

Jadi tidak membangun R2

Dengan demikian bukan basis pada R2.

d) V1 = V2 =

Ambil sebarang pada R2

Karena

Merupakan kombinasi linear atau tak bebas linear.

Jadi bukan basis pada R2.

3. Basis pada R3

a) V1 = , V2 = V3 =


Akan ditunjukkan bahwa sebagai kombinasi linear dan

, (bebas linear)

Dalam matriks diperbesar

jadi

membangun R3

Ambil

hanya dipenuhi : jadi

bebas linear. Dengan demikian merupakan basis

pada R3.

b) , ,

Ambil sebarang pada

Dalam matriks diperoleh;

Matriks koefisien A =

Det

Det A A mempunyai invers. Dengan demikian

dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear, dan

bebas linear dengan demikian merupakan basis pada R3

c) , ,

Matriks koefisien

det A = 2(8) + (4)(-4)

=16-16

= 0

Karena Det A = 0 maka A tidak mempunyai invers dengan demikian

tidak bebas linear.

Bukan basis pada R2.

d) , ,


Dalam matriks diperoleh

selidiki matriks koefisiennya

A =

Karena det A = 0 maka A tidak mempunyai invers oleh karena itu

tidak bebas linear.

Jadi bukan basis pada R3

4. Basis pada P2

a) , ,

, ,

Ambil sebarang pada P2

Misal 2cxbxa

Dalam matriks yang diperbesar

selidiki matriks koefisiennya

A = Det A

Karena det A = 0 maka tidak mempunyai invers, Jadi tidak bebas

linear dengan demikian bukan basis pada P2.

b) , ,

, ,

Dari soal 3d

Menunjukkan bahwa bukan basis pada P2.

c) , ,

; ,

Dari 3a maka basis pada P2

d) , ,

; ,

Dari 3b basis pada P2

5.

Ambil P pada M22 sebarang sehingga:

a, b, c, d skalar

Untuk melihat apakah bebas linear, anggaplah;

Yakni:

SPL

Dalam matriks diperbesar

bebas linear

A, b, c, d = tunggal maka mb V dengan demikian, merupakan

basis pada M22.

6. V1 = cos2x ,

a) jadi tidak bebas linear

Dengan demikian bukan basis untuk V

b) Ambil 2 vektor sebarang pada

P vektor sebarang pada V

V1, V2 membangun V

Ambil P = 0

Hanya memenuhi jadi V1, V2 bebas linear. Dengan demikian V1, V2

basis pada V.

7. Mencari basis dan Dimensi

Misal

, t dan u parameter

Basisnya dimensinya = 1

8.

Misal

Basisnya ,

Dimensinya = 2

9.

ambil

p,q,r skalar

Basis

Dimensinya = 3

10.

parameter

Dimensinya : ;

Dimensinya = 2

11.

Jadi tidak ada basisnya dan dimensinya.

12.

ambil z = t t = parameter

Basisnya dimensinya = 1

13. Tentukan baris sub ruang R3

a) Bidang

misal , t , p parameter

Basisnya = , dimensinya = 2

b) x – y = 0 misal y = p z = q

x = y

x = p

y = p

z = q

Basisnya: ,

Dimensinya = 2

c) Garis , ,

41

2

4

2t

ttt

zyx

Basisnya

Dimensinya = 2

d) Vektor berbentuk dimana b = a + c

Besarnya = , dimensinya = 2

14. Tentukan dimensi sub ruang berikut; R4

a) vektor berbentuk

Dimensinya = 3

b) dimana d = a + b dan c = a – b

Dimensinya = 2

c) ; a = b = c = d

Dimensinya = 1

15. P3 yang terdiri polinomial

Dimensinya = 3

16. Dik adalah basis untuk ruang vektor V, perlihatkan adalah

juga sebuah basis, dimana , , dan

Karena basis juga salah satu basis.

17. Perlihatkan bahwa ruang vektor semua fungsi bernilai riil yang didefenisikan

pada garis riil adalah ruang vektor berdimensi tak berhingga.

Bukti:

Andaikan ruang vektor berdimensi berhingga yaitu n. .

bebas linear karena merupakan basis pada V

Ambil n+1 adalah vektor bebas linier menurut

teorema 9. V1 tidak bebas linear.

kontradiksi dengan n+1 vektor bebas linear.

Kesimpulan : dimensinya tak berhingga.

18. Buktikan sub ruang dari ruang vektor berdimensi berhingga adalah ruang vektor

berdimensi berhingga.

Bukti :

Defenisi: dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga

didefenisikan sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V.

Misal ruang vektor berdimensi berhingga, dimensinya = n

Ambil s1 dengan demikian s1 juga berhingga, oleh karena itu ruang vektor s1

juga berdimensi berhingga.

Ambil: , karena S . S berhingga berhingga.

S berdimensi berhingga berdimensi berhingga

19. V adalah ruang dari ruang vektor W berdimensi berhingga . Buktikan dimensi

(V) dim (W)

Bukti:

Misal: dimensinya = n (berhingga)

Ambil dim (W) = n

karena V W

. Dimensinya juga berhingga yaitu dim (V) =P

Dari dim (V) dim (W). (terbukti)

20. Buktikan bahwa sub ruang R3 hanyalah garis-garis melalui titik asal, bidang-

bidang melalui titik asal, sub ruang nol, dan R3 itu sendiri.

Bukti:

sub ruang R3 yaitu:

berdimensi satu hanya garis melalui titik asal

berdimensi dua bidang melalui titik asal

berdimensi nol sub ruang nol

berdimensi tiga = R3 itu sendiri

17. Misal ruang vektor tersebut berdimensi berhingga pada V.

dengan dimensi V = 2

S bebas linear. Karena S adalah basis ambil n+1 vektor bebas linear

adalah bebas linear dari himpunan V, tapi dimensi

, kontradiksi dengan

SOLUSI LATIHAN 4 · Web viewdari soal 6a diperoleh matriks eselon tereduksi, , c) dari soal 6c diperoleh Jadi d) diperoleh 3 persamaan: Dari soal 6d diperoleh , , Jadi 8. A = B =

Documents