Soluciones Exam 2007 2008

Departamento de Ingeniera de Software y Sistemas Informticos Ingeniera Tcnica en Informtica de Sistemas Ingeniera Tcnica en Informtica de Gestin ASIGNATURA: ROBTICA Curso 2008/2009 Soluciones a losPROBLEMAS DE EXAMEN del CURSO 07/08 Versin 2 (10-12-2008) Preparados por: Carlos Cerrada Somolinos Juan Jos Escribano Rdenas Profesores de la asignatura Soluciones a los PROBLEMAS DE EXAMEN del CURSO 07/081 Enunciado del PROBLEMA de Enero de 2008 Enlafiguraserepresentadeformaesquemtica unrobotde2gradosdelibertad(d,).Unobjeto rgidosituadoenelreadetrabajodelrobotqueda localizado por su sistema de referencia Sp. El extremo del robot tiene asociado un sistema de referencia Sf, y seconsideracomosistemadereferenciaabsolutola basedelrobotS0:{X0,Y0},desdelaquesemidela localizacin del robot (d, ).Enelextremodelrobotsedisponedeuna cmaradevisinquepermitemedirlaposiciny orientacindelobjeto(x,y,)definidascomola posicin del origen de Sp y el ngulo girado, medidos todos ellos respecto al sistema Sf. Se pide: 1)Supuestos conocidos los valores de (x,y,) y la localizacin del robot (d, ), obtener la localizacin del objeto Sp en la base de referencia absoluta S0. 2)Verificarqueelresultadoanterior es correcto aplicndolo al caso de que el objeto se encuentre: a)Coincidente con el propio sistema de referencia del extremo del robot Sf. b) Orientadocomoelextremodelrobot,perodesplazadodelmismo1unidadenla direccin normal al eje de la articulacin d (o sea, en la direccin del eje Yf). 3)SupuestaconocidalalocalizacindelobjetoSpenlabasedereferenciaabsolutaS0, calcular la localizacin del robot (d, ) para que el origen del sistema Sfdel extremo coincida con el origen del sistema del objeto Sp (o sea, resolver el problema cinemtica inverso).Determinarparaestalocalizacindelrobotlosvaloresde(x,y,)que obtendr la cmara. 4)Obtenerlosvaloresconcretosde(d,)yde(x,y,)delapartadoanteriorparauna localizacindelobjetoenlascoordenadasabsolutas(3,4)yconunaorientacinde 90. Yf d S0 X0 Y0 Xf Sf Sp Soluciones a los PROBLEMAS DE EXAMEN del CURSO 07/082 Solucin al PROBLEMA de Enero de 2008 1)Consideraciones previas: Usaremos la notacin aTb para representar la matriz de transformacin homognea (MTH) genrica que permite el cambio de coordenadas del sistema Sa al sistema Sb. Portratarsedeunrobotplanopodemosemplearcoordenadascartesianasde dimensin2y,consecuentemente,homogneasde3.PortantolasMTHsernde dimensin 3x3 (en el texto se resuelve un problema similar con matrices de 4x4). Apartirdelasiguientefiguraylosdatosdelenunciadosededucequehayque obtener las siguientes MTH: -oTf que localiza el sistema del extremo del robot Sf respecto al sistema base So, y que depende de los 2 grados de libertad del robot (d, ), -fTp quelocalizaelsistemadelobjetoSprespectoalextremodelrobotque soportalacmara,sistemaSf,yqueesfuncindelostresparmetrosque mide la cmara (x,y,), Estas MTH estn relacionadas por la siguiente ecuacin: (1) Estaecuacin(1)expresalasolucinaloquesepideenesteprimerapartado,es decir, la localizacin del objeto respecto a la base. Por tanto hay que obtener esas dos MTH y multiplicarlas. Por un lado se tiene que oTf = Rotz()T(d,0). Por otro lado, la relacin entre el objeto y la cmara cumple:fTp = T(x,y)Rotz(). p oTp fTp yxSp oTf Yf d So Xo Yo Xf Sf Yp Xp pffopoT T T = = =1 0 0 1 0 00 1 00 11 0 000 dS C SdC S C dS SS CTfoSoluciones a los PROBLEMAS DE EXAMEN del CURSO 07/083 Operando tenemos En resumen: (2) loqueequivaleadecirquelaposicinyorientacindelobjetoreferidosalsistemabase son: (3) 2)Caso a): Sielsistemadelobjetocoincideconeldelextremoesquelosparmetros que mide la cmara son nulos, es decir (x,y,) = (0,0,0). Sustituyendo estos valores en la expresin (2) quedara: que lgicamente coincide con oTf., como se aprecia en la figura siguiente: = = =1 0 0 1 0 0y C Sx S CdS C SdC S CT T Tpffopo + + + + + + +=1 0 0) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( yC S d x C SyS C d x S CTpo =1 0 02 _ dS C SdC S CTa po = =1 0 0 1 0 0001 0 01 00 1y C Sx S CS SS CyxTpf + + + + + + +=+ + + ++ =1 0 0) ( ) ( ) () ( ) ( ) (1 0 0 yC S d x C SyS C d x S CdS yC xS C C S S S C C SdC yS xC C S S C S S C C) () () ( + =+ + = + =pppyC S d x yyS C d x xSoluciones a los PROBLEMAS DE EXAMEN del CURSO 07/084 y que es equivalente a: Caso b): Sielsistemadelobjetocoincideenorientacinconeldelextremo,ysu origen se encuentra a 1 unidad sobre el eje Yf significa que los parmetros que mide lacmarason(x,y,)=(0,1,0).Sustituyendoestosvaloresenlaexpresin(2) quedara: Tambinsepodrahaberdeducidopormtodosgeomtricossiseobservala composicin en las dos figuras siguientes: y que es equivalente a: + =1 0 0112 _ C dS C SS dC S CTb poSp Yf Yp oTp fTp 1 oTf d So Xo Yo Xf Sf Xp dC-1S dS+1C d dS Sp Yp 1 dC Xf Xp 1C 1S Yf ===a pa pa pdS ydC x2 _2 _2 _ =+ = =b pb pb pC dS yS dC x2 _2 _2 _11Sf oTp Sf Sp oTf Yf Yp d So Xo Yo Xf Xp Soluciones a los PROBLEMAS DE EXAMEN del CURSO 07/085 3)Consideraciones previas: Comoseapreciaenlafiguradelapartado1(oenlanuevaquesehadibujado abajoalaizquierda,querepresentaalobjetoenunalocalizacindiferente),enel caso general no es suficiente con conocer la localizacin del objeto (xp, yp, p) en el sistema base para poder calcular los valores articulares del robot (d, ). En efecto, sera preciso conocer tambin los parmetros medidos por la cmara (x,y,). En el supuesto concreto que plantea este apartado, y que se dibuja en la figura de la derecha,losorgenesdeSfySpcoinciden.Estehechoimplicaquelaposicindel objetomedidaporlacmarasernula(noaslaorientacin),porloquelos parmetros de cmara valdrn: (x,y,) = (0,0,). En esta situacin s es factible calcular los valores articulares del robot solo a partir delaposicindelobjeto,loquesuponeresolverelProblemaCinemticoInverso para este robot, como se indica en el enunciado. El PCI se puede tratar de resolver a partir de la ecuacin (3), o simplemente razonando por mtodos geomtricos sobre la figura de la derecha. En definitiva, sustituyendo los valores de cmara en la expresin (3), o realizando simples consideraciones geomtricas en dicha figura, llegamos a las siguientes ecuaciones: (4) de donde se obtienen fcilmente las siguientes expresiones que resuelven el PCI: (5) Por otro lado, a partir de la 3 ecuacin de la expresin (4) y teniendo en cuenta la consideracin comentada respecto a los parmetros de cmara, tenemos: Yp (x,y)(xp,yp)p SpYf d So Xo Yo Xf Sf Xp Yf Yp(xp,yp) p d So Xo Yo Xf Xp ) ( + ===pppdS ydC x2 2p pppy x dxyarctg+ == Soluciones a los PROBLEMAS DE EXAMEN del CURSO 07/086 (6) 4)Setratasimplementedesustituirvaloresenlasexpresiones(5)y(6)anteriores,para (xp, yp, p)= (3,4,90), resultando: ) , 0 , 0 ( ) , 0 , 0 ( ) , , ( = =ppp pxyarctg y x 5 4 3 13 ' 53342 2= + == =darctg ) 87 ' 36 , 0 , 0 ( ) 13 ' 53 90 , 0 , 0 ( ) , 0 , 0 ( ) , , ( = = = py xSoluciones a los PROBLEMAS DE EXAMEN del CURSO 07/087 Enunciado del PROBLEMA de Febrero de 2008 Se pretende que el robot de la figura, que tiene 2 gradosdelibertad(d,),realicetrayectorias rectilneasencartesianas,comolaindicadaentrelos puntos ji y jf. Considrense los siguientes valores para lospuntosylostiemposparticularesaconsideraren el ejercicio. 440) 2 , 2 ( ) , () 2 , 2 ( ) , (= === = == =i ffif f fi i it t T contty x jy x j 1)Obtenerlaecuacindelatrayectoriaen cartesianaspedidaenlosdossupuestos siguientes: a)Interpolacinlinealentrelosdospuntos extremos (velocidad constante). b) Interpolacintrapezoidalde2tramos parablicos,elprimeropara(0,T/2)yel segundo para (T/2,T). NOTA:Serecuerdaquelaecuacindelperfil trapezoidalpedidosepuedededucirfcilmente del que aparece en el texto, quedando: = = = +=2224) (2 / ) (22 / 02) (Tjs aj signo sj j jsiendoT t T T tas jT t tas jt ji ffi 2)Elcontrolcinemticodeesterobotmuestrealatrayectoriaytransformalospuntos seleccionadosmediantesucinemticainversaalespacioarticular.Porsimplicidad suponer que slo se obtiene un punto intermedio jm correspondiente al punto medio de la trayectoria. Obtener los valores articulares asociados a los tres puntos: (di, i), (dm, m)y(df,f).NOTA:pararesolveresteapartadonoesnecesariohaberresueltoel anterior. 3)Obtener los interpoladores lineales para las dos articulaciones (d, ) en los dos tramos formados con los tres puntos anteriores, es decir: }} ) , ( ) , ( 2 / ) ( ), () , ( ) , ( 2 / 0 ) ( ), (2 21 1f f m mm m i id y d entre T t T t t dd y d entre T t t t d 4)Calcularelerrorcometidoentrelatrayectoriaidealdelapartado1)ylainterpolada del apartado 3) en el instante t=1 para los dos supuestos a) y b) considerados. (xm,ym)(x,y) d S0 X0Y0 (xi,yi)(xf,yf)Soluciones a los PROBLEMAS DE EXAMEN del CURSO 07/088 Solucin del PROBLEMA de Febrero de 2008 1)Trayectorias cartesianas en los dos casos siguientes: Caso a): La ecuacin general del interpolador lineal en cartesianas es: ii tii fjt tt tj j t j + = ) ( ) ( (1) Particularizando para cada una de las dos coordenadas (x,y) tendremos: Trayectoria en x: 20 40) 2 2 ( ) ( ) ( + = + =txt tt tx x t xii tii f por tanto quedara 4 0 2 ) ( = t t x (1a1) Trayectoria en y: 20 40) 2 2 ( ) ( ) ( + = + =tyt tt ty y t yii tii f por tanto quedara 4 0 2 ) ( = t t t y (1a2) Caso b): Se trata de particularizar la ecuacin general del enunciado a cada una de las dos coordenadas cartesianas (x,y), con lo que tendremos: Trayectoria en x: = + == == = = 4 2 0 2 ) (2 0 0 2 ) () (00 2 2t t xt t xt xax x xi f y por tanto 4 0 2 ) ( = t t x (1b1) Trayectoria en y: + = + + == + = = = = = = = = 4 2 / 4 ) 4 (21) 1 ( 2 ) (2 / 4 021) 1 ( 2 ) () (14) 4 ( 4 411 ) (4 2 2222 2t t t yt t t yt yTyay signo sy y yi f y por tanto + =4 2 ) 4 (2122 0212) (22t tt tt y (1b2) Soluciones a los PROBLEMAS DE EXAMEN del CURSO 07/089 2) SetrataderesolverelProblemaCinemticoInverso(PCI)enlostrespuntos pedidos,ycuyascoordenadasson(directamentedelgrfico,conlosvalores particulares del ejercicio): ji = (xi, yi) = (2,2); jm = (xm, ym) = (2,0); jf = (xf, yf) = (2,-2). Para ello, y dada la simplicidad del robot, se resuelve primero el Problema Cinemtico Directo (PCD) y a partir de l se deducen las ecuaciones del PCI. Tenemos, aplicando consideraciones geomtricas al dibujo del enunciado, lo siguiente: xytgd y xd yd x== +== 2 2 2sincos(2) por tanto el PCI quedara resuelto a partir de las siguientes expresiones: xyarctgy x d=+ =2 2 Aplicando estas ecuaciones a los tres puntos pedidos tendremos: = = == = + = + = =4 /228284 ' 2 2 2 2 2 ) ( ) () 2 , 2 ( ) , (2 2 2 2 arctgxyarctgy x dy xiiii i ii i = = == + = + = =0202 0 2 ) ( ) () 0 , 2 ( ) , (2 2 2 2arctgxyarctgy x dy xmmmm m mim m == == = + = + = =4 /228284 ' 2 2 2 ) 2 ( 2 ) ( ) () 2 , 2 ( ) , (2 2 2 2 arctgxyarctgy x dy xffff f ff f Resumiendo: ) 4 / , 83 ' 2 ( ) , () 0 , 2 ( ) , () 4 / , 83 ' 2 ( ) , ( ===f fm mi iddd Soluciones a los PROBLEMAS DE EXAMEN del CURSO 07/0810 3)Setratadecalculardenuevovariosinterpoladoreslineales(salvoqueahoraesen coordenadas articulares), por los que es aplicable la misma ecuacin general (1). Primer tramo: Entre los puntos (di, i) y (dm, m), para 0 t T/2: 283 ' 0 83 ' 2 83 20 20) 83 , 2 2 ( ) ( ) (1t tdt tt td d t dii mii m = + = + = = + = + =21 4 / 4 /0 20) 4 / 0 ( ) ( ) (1t tt tt ttii mii m Resumiendo: 2 021 4 / ) (283 ' 0 83 ' 2 ) (11 = =ttttt d Segundo tramo: Entre los puntos (dm, m) y (df, f), para T/2 t T: 2283 ' 0 2 22 42) 2 83 , 2 ( ) ( ) (2+ = + = + =t tdt tt td d t dmm fmm f 224 / 02 42) 0 4 / ( ) ( ) (2 = + = + =t tt tt ttmm fmm f Resumiendo: 4 2124 / ) (2283 ' 0 2 ) (22 =+ =ttttt d Soluciones a los PROBLEMAS DE EXAMEN del CURSO 07/0811 4)Endefinitivanospidencalcularladistanciaentredospuntosencoordenadas cartesianasendossituacionesdiferentes,correspondientesaloscasosa)yb)del apartado1).Peroenlasdossituacionesunodelospuntoseselmismo:elgenerado con la trayectoria del apartado 3) para t=1. Calculemos primeramente ese punto. En primer lugar hay que calcular los valores de (d, ) interpolados en ese instante, a losquedenominaremos( ) ) 1 (), 1 ( d .Teniendoencuentaqueelinstantet=1se encuentra en el Primer tramo utilizaremos las ecuaciones correspondientes: ( ) ) 8 / , 415 ' 2 ( ) 1 (), 1 (8 / )211 ( 4 / ) 1 ( ) 1 (415 ' 22183 ' 0 83 ' 2 ) 1 ( ) 1 (11 = = = == = =dd d Apartirdeellossepuedenobtenerlascoordenadascartesianasdelextremodel robot en el instante t=1, a los que denominaremos( ) ) 1 ( ), 1 ( y x , aplicando la solucin a su PCD obtenida en la expresin (2): ( ) ) 922 ' 0 , 227 ' 2 ( ) 1 ( ), 1 ( 922 ' 0 ) 8 / sin( 415 ' 2 ) 1 (sin ) 1 () 1 ( 227 ' 2 ) 8 / cos( 415 ' 2 ) 1 (cos ) 1 () 1 ( = = = == = =y xd yd x A continuacin habr que calcular el otro punto en cada una de las dos situaciones mencionadas y evaluar el error como la distancia entre puntos. El otro punto se calcula enambassituacionessustituyendot=1enlasrespectivasecuacionesquedefinenlas trayectorias cartesianas. Casoa):Bastarconsustituirt=1enlasecuaciones(1a1)y(1a2)paraobtenerlas coordenadas del punto buscado en la trayectoria del caso a) del apartado 1), punto al que denominaremos (xa(1), ya(1)): ( ) ) 1 , 2 ( ) 1 ( ), 1 (1 1 2 2 ) 1 (2 ) 1 (= = = ==a aaay xt yx Podemos calcular los errores en x, en y, y el absoluto entre ambos puntos: Error en x: 227 ' 0 227 ' 2 2 ) 1 ( ) 1 ( = = = x x ea xa Error en y: 078 ' 0 922 ' 0 1 ) 1 ( ) 1 ( = = = y y ea ya Error absoluto del caso a), ea: 243 ' 0 078 ' 0 227 ' 02 2 2 2= + = + =a ay x ae e eSoluciones a los PROBLEMAS DE EXAMEN del CURSO 07/0812 Casob):Bastarconsustituirt=1enlasecuaciones(1b1)y(1b2)paraobtenerlas coordenadas del punto buscado en la trayectoria del caso b) del apartado 1), punto al que denominaremos (xb(1), yb(1)): ( ) ) 5 ' 1 , 2 ( ) 1 ( ), 1 (5 ' 1 1212212 ) 1 (2 ) 1 (2 2= = = ==b bbby xt yx Podemos calcular los errores en x, en y, y el absoluto entre ambos puntos: Error en x: 227 ' 0 227 ' 2 2 ) 1 ( ) 1 ( = = = x x eb xb Error en y: 578 ' 0 922 ' 0 5 ' 1 ) 1 ( ) 1 ( = = = y y eb yb Error absoluto del caso b), eb: 62 ' 0 578 ' 0 227 ' 02 2 2 2= + = + =b by x be e e Resumiendo: 62 ' 0243 ' 0==baee Ambos casos quedan representados grficamente en la siguiente figura. Soluciones a los PROBLEMAS DE EXAMEN del CURSO 07/0813 Enunciado del PROBLEMA de Septiembre de 2008, Original Lafigurarepresentalaestructuradeunrobotplanodedosgradosdelibertad, caracterizadosporlasvariablesarticulares(q1,q2).Elextremodelrobotestobligadoa moverse sobre el eslabn OB. Se pide: 1)ResolverelProblemaCinemticoDirectoparaesterobot,esdecir,obtener x=f1(q1,q2); y=f2(q1,q2). (NOTA: se aconseja por mtodos geomtricos).2)ResolverelProblemaCinemticoInversoparaesterobot,esdecir,obtener q1=g1(x,y); q2=g2(x,y). (NOTA: se aconseja tambin por mtodos geomtricos).3)ObtenerlaexpresindelamatrizJacobianadeesterobot.Buscareinterpretarlas configuraciones singulares si es que existen.4)Calcularlaposicinyvelocidaddelextremoparalossiguientesvalores:L=1m;(q1,q2) = (/6 rad, /6 rad); (q'1,q'2) = (/10 rad/s, /10 rad/s). B (x,y) Y0 q1 O L L q2 X0 Solucin problema septiembre 2008 1) (x, y) = (R cos(), R sen()) R =2L cos(q2) = (q1+q2) Luego (x, y) = (2L cos(q2) cos( (q1+q2)), 2L cos(q2) sen( (q1+q2))) =(-2L cos(q2) cos(q1+q2), 2L cos(q2) sen(q1+q2)) 2) x2+y2 =4 L2 cos2q2 ==> 3) R B (x,y) Y0 q1 O L L q2 X0 =4L2[-cos(q2) sen q2 sen2(q1+q2)+cos2(q2)sen(q1+q2)cos(q1+q2)-cos(q2)sen( q2)cos2(q1+q2)-cos2(q2)cos(q1+q2)sen(q1+q2)] =4L2[-cos(q2)sen(q2)(sen2(q1+q2)+cos2(q1+q2))] =-4L2cos(q2)sen(q2) Puntos singulares |J | =0 ==>cos(q2)sen(q2) =0 ==>sen(2q2) =0 ==>2q2 =K con K=0,1,2, ... q2=Kcon K=0,1,2, ... El robot est totalmente extendido o totalmente recogido 4) x =-2*1*cos(/6)*cos(/3) =-0.87 m y =2*1* cos(/6)*sen(/3) =1.5 m =