Solucionario Ensayo MT-044

SOLUCIONARIO

ENSAYO MT- 044

SS

ICA

NM

TA

070

44

V1

1. La alternativa correcta es E.

Unidad temática Conjuntos numéricos

Habilidad Comprensión

El recíproco de 13

11 corresponde al inverso multiplicativo

11

13. Luego, su doble es

11

26

11

13·2 .

2. La alternativa correcta es D.


Habilidad Aplicación

25,075,0

25,0 =

4

1

4

34

1

=

4

44

1

= 1

4

1

= 25,04

1

3. La alternativa correcta es B.



Como el símbolo * corresponde a una suma entre números pares y representa una

multiplicación entre un número par y un impar, entonces la expresión se desarrolla de la

siguiente manera:

(2 * 3) + (4 * 12) - (3 * 16)

(2 · 3) + (4 + 12) – (3 · 16)

6 + 16 – 48

22 – 48

– 26




Analizando las alternativas, se tiene:

A) Verdadera, ya que al ser la cantidad subradical negativa pero el índice de la raíz par,

121- no puede ser un elemento del conjunto de los reales.

B) Verdadera, ya que 3

501 es entero porque 501 es divisible por 3 ya que al sumar los

dígitos 5 + 0 + 1 = 6, el cual es múltiplo de 3.

C) Verdadera, ya que 2,136252525…es un decimal semiperiódico que se puede expresar

como 25136,2 , por lo tanto es un racional.

D) Verdadera, ya que al ser la cantidad subradical negativa pero el índice de la raíz

impar, 3 8- es un número real.

E) Falsa, ya que 4 16- no es un real, puesto que la cantidad subradical es negativa y el

índice es par.

5. La alternativa correcta es C.

Unidad temática Proporcionalidad

Habilidad Análisis

Se tiene que m : n = 5 : 6, por lo tanto:

I) Falsa, ya que m + n = 11 solo en el caso en que m sea 5 y n sea 6, sin embargo la

razón solo implica una comparación entre las cantidades y no el valor de las

variables.

II) Falsa, ya que la propiedad fundamental de las proporciones implica que la

igualdad es entre el producto de los extremos y el producto de los medios.

Entonces: 6 · m = 5 · m.

III) Verdadera, ya que al amplificar las razones por tres se obtiene: 18

15

6

5

n

m.

Luego, en toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los

extremos, es decir, si 18

15

n

m, entonces 15 · n = 18 · m

Por lo tanto, la afirmación III es siempre verdadera.

6. La alternativa correcta es A.



Si M se inversamente proporcional al cuádruple de N, entonces se puede interpretar como

M · 4N = k

Luego, si M = 5 y N = 3, entonces k = 5 · 4 · 3 = 60. Como ya se tiene el valor de k, se

reemplaza N = 5 para obtener el valor de M.

M · 4 · 5 = 60

M =20

60

M = 3

Por lo tanto, cuando N = 5, M = 3.




Esquematizando la información se tiene:

secretarias horas informes

1 4 15

6 x 90

Las variables secretarias y horas son inversamente proporcionales y por otro lado, las

variables horas e informes son directamente proporcionales, entonces:

1 ∙ 4 ∙ 90 = 6 ∙ 15 ∙ x

x156

9041

Luego, 6 secretarias demorarán 4 horas en escribir 90 informes.


Unidad temática Porcentajes e interés


Las ponderaciones de las tres pruebas del semestre son las siguientes:

P1 = 25% = 0,25

P2 = 35% = 0,35

P3 = 40% = 0,4

La nota final está dada por:

NF = P1 · 0,25 + P2 · 0,35 + P3 · 0,4

NF = 4,2 · 0,25 + 5 · 0,35 + 6 · 0,4

NF = 1,05 + 1,75 + 2,4

NF = 5,2




Utilizando una proporción directa, se tiene:

100%

30%

huevos de total

blancos huevos

100

30

30

blancos huevos

30 · 30 blancos huevos · 100

9100

30 · 30blancos huevos

Si los huevos blancos son 9, entonces los huevos de color son 30 – 9 = 21. Por lo tanto la

diferencia entre los huevos color y los huevos blancos son 21 – 9 = 12.


Unidad temática Potencias


2

1

22 21

(Desarrollando las potencias)

2

1

42

1

(Restando en el numerador)

2

12

7

(Dividiendo las fracciones)

71

2 ·

2

7


Unidad temática Ecuaciones de primer grado


Edad de Pedro = x

Edad de José = y

Edad de Pedro en 10 años = x + 10

Edad de José en 10 años = y + 10

Por lo tanto, la igualdad que se pide en el enunciado es:

4

3

10y

10x


Unidad temática Álgebra


Se tiene (x ◊ y = –y – xy) y (x Ω y = x + 3y), entonces:

((–3) ◊ 4) = – 4 – (–3) · 4 = – 4 + 12 = 8

Luego, 8 Ω (–2) = 8 + 3 · (–2) = 8 – 6 = 2




5 – 3t = – 16 (Despejando t)

– 3t = – 16 – 5 (Desarrollando)

– 3t = – 21 (Multiplicando por – 1)

3t = 21 (Dividiendo por 3)

t = 7




Dada la expresión (x – 2y + 3x – 5xy – 8y + 2xy) se puede reducir operando los términos

semejantes. Luego:

x + 3x – 2y – 8y – 5xy + 2xy = 4x – 10y – 3xy


Unidad temática Álgebra.


(2x – y)(2y + x) (Multiplicando término a término)

(2x ∙ 2y) + (2x ∙ x) – (2y ∙ y) – xy (Desarrollando)

4xy + 2x2 – 2y

2 – xy (Operando términos semejantes)

2x2 +3xy – 2y

2




x

58

x

3 (Amplificando por x para quitar los denominadores)

3 + 8x = 5 (Despejando x)

8x = 5 – 3 (Desarrollando)

8x = 2 (Dividiendo por 8)

4

1

8

2x

Luego, 32

1

8

1

4

1

8

4

1

8

x.




Se tiene que 2n)(mnm , entonces:

2q)5(p)q5(pΔ (Desarrollando el cuadrado de binomio)

)q5(pΔ = 5(p2 – 2pq +q

2) (Multiplicando por 5 cada término)

)q5(pΔ = 22 5q10pq5p




c8 – d

8 (Expresando c

8 y d

8 como cuadrados)

2424 )(d)(c (Factorizando como una suma por su diferencia)

)d)(cd(c 4444



Habilidad Análisis

222 xyxyyxx (Reordenando los términos)

y)xy(1y)(1x

)xy(xyy)x(x

2

222

y)xy)(1(x2

y)y)(1x(x

Luego:

I) Verdadera, ya que según lo anterior, (x + y) es factor de la expresión.

II) Verdadera, ya que según lo anterior, (1 – y) es factor de la expresión.

III) Verdadera, ya que según lo anterior, x es factor de la expresión.

Por lo tanto, las tres expresiones son factores de 222 xyyxxyx .

(Factorizando)

(Factorizando los paréntesis)

(Factorizando la primera expresión)




2c4c

c (Factorizando el denominador)

c)c(4

c (Simplificando)

c4

1



Habilidad Análisis

Buscar los divisores de una expresión equivale a encontrar los factores. Luego

1)·(x1)(x 2 = 1)1)(x1)(x(x , entonces:

I) Verdadera, ya que 1)1)(x(x)11)(x(x1)1)(x1)(x(x 222

II) Falsa, ya que no hay manera de obtener una suma de cuadrados.

III) Falsa, ya que no hay manera de obtener un cuadrado de binomio con (x + 1)

Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.


Unidad temática Potencias


34 )2a( (Expresando el cubo del término numérico y literal)

343 )(a2)( (Desarrollando) 128a


Unidad temática Raíces


3:300)4875( (Descomponiendo las raíces)

3:)3 · 1003 · 163 · 25( (Desarrollando)

3:)3 · 100 3 · 163 · 25( (Calculando las raíces exactas)

3:)310343(5 (Sumando las raíces)

113:311 (Dividiendo)




Racionalizando la primera expresión:

2

224

24

224

22

22 ·

22

2

22

2

Sumando ambas expresiones:

2

22

2

224 (Desarrollando)

2

22224

2

26




Utilizando el método de igualación, se despeja x en la segunda ecuación.

13yx

3y1x

1x3y

Se igualan ambas ecuaciones:

13yy2

y3y12

4y3

y4

3

Luego, 4

5

4

32xy2x

Finalmente, 5

3

5

4 ·

4

3

4

54

3

x

y


Unidad temática Inecuaciones lineales


Este ejercicio se expresa como una inecuación ya que “por lo menos” se interpreta como

“igual o mayor que”.

“Viviana tiene $x, y si regala $3.000”, puede escribirse como (x – 3.000).

El dinero que tiene su hermano, puede escribirse como (x – 4.000).

Por lo tanto, “el doble del dinero que tiene su hermano”, se escribe como 2(x – 4.000)

Finalmente, la desigualdad queda expresada por:

4.000)2(x3.000x


Unidad temática Inecuaciones lineales


3

32x

4

23x (Multiplicando)

3)(2x · 42)-(3x · 3 (Aplicando la propiedad distributiva)

128x69x (Desarrollando)

6128x9x

18x

El conjunto solución descrito por la desigualdad, es el intervalo: ,18


Unidad temática Relaciones y funciones


Sea 2xf(x) , entonces el valor de )f(a 2 es:

222 )(a)f(a (Reemplazando a

– 2 en x )

42 a)f(a


Unidad temática Relaciones y funciones

Habilidad Análisis

Para encontrar el dominio, se debe restringir el denominador ya que este no debe ser cero.

Luego:

032x

32x

2

3x

Por lo tanto, el dominio de f(x) es IR2

3.


Unidad temática Función afín y función lineal


Una función de comportamiento lineal su puede construir dados 2 puntos. En este caso se

tiene la variable independiente puntaje y la variable que depende del puntaje, nota. Los

puntos son (0, 2) y (20, 7). Luego:

)x(xxx

yyyy 1

12

121 (Reemplazando los valores)

0)(x020

272y (Desarrollando)

x20

52y

2x4

1y

Evaluando en la función:

24

x(x)f (Reemplazando x = 16)

24

16f(16) = 4 + 2 = 6

Por lo tanto, un alumno tendrá nota 6 si obtiene 16 puntos.


Unidad temática Función parte entera y función valor absoluto


En esta función se relaciona el precio del viaje con la distancia recorrida, sin embargo el

cargo de los $50 se hace por cada 200 metros completamente recorridos, es decir, no hay

valores intermedios para la distancia. Esta es la razón por la cual la función es parte

entera, pues los $50 se multiplicarán solo por valores enteros. Además implica un valor

fijo de $250 aun cuando la distancia sea cero. De este modo la función que describe este

comportamiento es:

250200

x · 50n(x)


Unidad temática Función parte entera y función valor absoluto


Como definición del valor absoluto es la distancia que existe entre un valor y el 0. Ese es

el motivo por el cual si signo siempre es positivo. Las variaciones que pueda sufrir una

variable dentro de las barras del valor absoluto, solo indicarán un cambio en el punto de

referencia de la distancia, es decir, si para 3x es la distancia de tres unidades con

respecto al 0, entonces 31x corresponderá a los números a tres unidades de distancia

con respecto a -1. Por lo tanto la ecuación 45x indica a los dos números que se

encuentran a 4 unidades de distancia del número (-5).


Unidad temática Función cuadrática


k)3(x5)x(xf(x) (Desarrollando la función)

3k3x5xxf(x) 2

3k2xxf(x) 2

Para que la gráfica de la función cuadrática NO intersecte al eje de las abscisas, el

discriminante (∆) debe ser menor que cero.

Reemplazando los valores: a = 1, b = 2 y c = 3k en la fórmula del discriminante, se

tiene:

0 c · a · 4b2 (Reemplazando los valores)

03k)( · (1) · 42)( 2 (Desarrollando)

012k4 (Despejando k)

412k

12

4k (Simplificando)

3

1k

Por lo tanto, debe cumplirse que 3

1k .


Unidad temática Función cuadrática


Dada la función 248x2xf(x) 2 , el máximo valor que toma la función es la

ordenada del vértice, cuya fórmula es 4a

b4ac 2

.

Reemplazando los valores a = – 2, b= 8 y c = 24, se tiene:

328

256

8

64192

2)4·(

82)·244·( 2

Por lo tanto el máximo valor que toma la función es 32.




3x3)(2x (Elevando al cuadrado)

223)(x3) (2x

96xx3)(2x 2

Caso 1

96xx3)(2x 2 (Desarrollando)

96xx32x 2

0128x2x (Factorizando)

2)6)(x(x = 0 (Despejando)

2x6x 21

Caso 2

96xx3)(2x 2 (Desarrollando)

6x4x0 2 (Factorizando)

Las soluciones no son reales.

Se tienen dos soluciones que resuelven la ecuación, luego se reemplazan cada una de

ellas:

Para x = – 6

3x3)(2x (Reemplazando)

363))6 ((2 (Desarrollando)

3)9(

39 (NO se cumple la igualdad)

Para x = – 2

3x3)(2x (Reemplazando)

323))2 ((2 (Desarrollando)

1)1(

11 (Se cumple la igualdad)

Por lo tanto, la solución de la ecuación es – 2.


Unidad temática Función logarítmica

Habilidad Análisis

I) Verdadera, ya que 225

1152

225

1log 2

15 .

II) Verdadera, ya que x112xlog2

11, por lo tanto x = 11.

III) Falsa, ya que 27x327log 3

x , por lo tanto 3

1x .

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.


Unidad temática Función exponencial


Para solucionar una ecuación exponencial, se deben igualar las bases. Entonces:

2x

14x

82

1 (Igualando las bases)

2x314x1 )(2)(2 (Desarrollando potencia de una potencia) 63x14x 22 (Operando los exponentes)

63x14x (Desarrollando)

7x = 5 (Despejando x)

7

5x




Para este problema se tienen los siguientes datos:

k = $100.000

i = 4% = 0,04

n = 3 (esto ocurre porque un año tiene 4 trimestres, entonces 12 trimestres = 3 años)

Reemplazando los datos en la fórmula del interés compuesto: n)i1(kc

30,04)(1 · 100000c

3(1,04) · 100000c

Por lo tanto, la expresión 3(1,04) · 100000 permite calcular el capital final que tiene

Catalina.


Unidad temática Triángulos


Si el triángulo ABC es equilátero de lado 8 cm, y D y F son puntos medios de sus lados

respectivos, entonces el triángulo ADF es equilátero de lado 4 cm.

El área de un triángulo equilátero se calcula como 4

3lado2

. Reemplazando resulta

344

316

4

342

.

Por lo tanto, el área sombreada mide 34 cm².


Unidad temática Geometría de proporción


Por trío pitagórico, al amplificar por 4 el trío 3, 4, 5 resulta 12, 16, 20. Luego, si

EG = 12 cm y EF = 20 cm, entonces CB = 16 cm.

Como ABC EGF, entonces FGCB .

Por lo tanto, FG mide 16 cm.




Dado que BEBC , entonces el triángulo BEC es rectángulo en B. Como los catetos

miden BE = 5 cm y BC = 12 cm, entonces por trío pitagórico, EC = 13 cm.

Como CDBC y BEBC , entonces BE//CD . Luego, DCE = BEC = . Como

EDC = , entonces DCE EDC, luego el triángulo CDE es isósceles en E. Es

decir, ED = EC = 13 cm.

Al trazar la altura EF del triángulo CDE, el cuadrilátero CFEB es un rectángulo.

Entonces CF = BE = 5 cm. Además, F es el punto medio de CD , luego FD = CF = 5 cm,

por lo cual CD = 10 cm.

El perímetro de un triángulo se calcula como la suma de sus tres lados. Entonces,

Perímetro CDE = (CD + ED + EC) = (10 + 13 + 13) = 36.

Por lo tanto, el perímetro del triángulo CDE mide 36 cm.

F


Unidad temática Transformaciones isométricas

Habilidad Conocimiento

En una transformación isométrica cambia solo la posición de los puntos, pero se mantiene

la posición relativa entre ellos. Esto hace que se mantengan las medidas de la figura,

como en este caso el área.

Por lo tanto, el área del nuevo triángulo es 12, igual al área del triángulo original.




Un giro de 270° en sentido horario con respecto a un punto, significa que la figura

describa tres cuartos de vuelta en el sentido de las manecillas del reloj, con respecto al

punto dado.

Por lo tanto, si la figura adjunta se gira 270°, en sentido horario, respecto del punto

P, resulta




Si al punto P(3, 2) se le aplica una simetría con centro en el punto (1, – 1), significa que

se gira en 180° con respecto a él. Luego, el punto queda en la posición (– 1, – 4), como

indica la figura.

Si luego se le aplica una simetría con respecto

al eje X, cambia solo el signo de la segunda

coordenada, quedando en la posición (– 1, 4),

como indica la figura.

Por lo tanto, el punto resultante es (– 1, 4).



Habilidad Análisis

El punto P tiene coordenadas (– 6, – 4). Luego:

I) Verdadera, ya que si al punto P se le aplica el vector de traslación T(– 1, 1),resulta

(– 6, – 4) + T(– 1, 1) = (– 7, – 3).

II) Verdadera, ya que si al punto P se le aplica una simetría con respecto al eje X,

cambia solo el signo de la segunda coordenada, quedando en la posición (– 6, 4).

III) Verdadera, ya que si al punto P se le aplica una simetría con respecto al origen,

solo cambian los signos de las componentes (giro de 180°), quedando en la

posición (6, 4).

1 2 3– 1

1

2

3

4

– 4

– 3

– 2

– 1

x

y

• P(3, 2)

•(– 1, – 4)

•

•(– 1, 4)

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.




Si las baldosas son cuadradas de 50 cm de lado, entonces el área de cada baldosa mide

50² = 2.500 cm².

Como 1 metro es igual a 100 centímetros, entonces 1 metro cuadrado es igual a

100² = 10.000 centímetros cuadrados. Luego, como la superficie de la terraza es de

25 metros cuadrados, al transformar el área a centímetros cuadrados resulta

(25·10.000) = 250.000 cm².

Si la terraza está cubierta con x baldosas, entonces se cumple 2.500·x = 250.000.

Entonces x = 500.2

000.250 = 100.

Por lo tanto, para teselar la terraza se necesitan 100 baldosas.


Unidad temática Cuadriláteros

Habilidad Análisis

I) Verdadera, ya que tienen la misma medida dado que el rectángulo tiene sus cuatro

ángulos rectos.

II) Verdadera, ya que una de las diagonales es eje de simetría de la figura.

III) Verdadera, ya que en todos los paralelógramos las diagonales se dimidian.

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.



Habilidad Conocimiento

En dos triángulos semejantes, la razón de semejanza es igual a la razón en la que se

encuentran dos lados homólogos o dos elementos secundarios homólogos (alturas,

transversales de gravedad, etc.), así como también a la razón en la que se encuentran los

perímetros.

Por lo tanto, la alternativa correcta es E, ya que el cuadrado de la razón de semejanza

corresponde a la razón en la que se encuentran las áreas de los triángulos.




La razón en la que se encuentran las áreas de dos triángulos semejantes corresponde al

cuadrado de la razón de semejanza. La razón de semejanza, por su parte, corresponde a la

razón en la que se encuentran dos lados homólogos.

Luego, 9

1

3

1

6

2

AB

DE

ΔCAB Área

ΔCDE Área222

Por lo tanto, la razón entre el área del triángulo CDE y el área del triángulo CAB es 1 : 9.




Como DC//AB , entonces según el teorema general de Thales, DE

AD

CE

BC.

Reemplazando los valores conocidos resulta 7

8 =

DE

5, y al despejar queda DE =

8

35.

Por lo tanto, el valor del trazo DE es 8

35.


Unidad temática Circunferencia y círculo


Si AB es diámetro de la circunferencia, entonces el arco BA mide 180°. Como el arco

BC mide 50°, entonces el arco CA mide (180° – 50°) = 130°.

Un ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del arco que subtiende, entonces

652

130

2

CAarcoCBA .

Por lo tanto, el ángulo CBA mide 65°.




Como el arco AC es 15

2 de la circunferencia, entonces su medida es 48360

15

2.

Luego, el ángulo AOC también mide 48°.

Dado que AB es diámetro de la circunferencia, entonces el ángulo AOC y el ángulo

COB son suplementarios. Como AOC = 48°, entonces COB = (180° – 48°) = 132°.



Habilidad Análisis

Al llevar el enunciado a un dibujo resulta:

Según el teorema de la secante con la tangente en la circunferencia, cuando estas se

intersectan en un punto exterior, el producto del segmento exterior por el segmento

completo en la secante es igual al cuadrado de la tangente. Entonces, en la figura, se

puede plantear PBPAPT2

.

PA = (PO – AO) = (20 – 8) = 12 y PB = (PO + OB) = (20 + 8) = 28. Entonces, al

reemplazar los valores conocidos, queda PT² = (12·28) = 336.Al aplicar raíz cuadrada

resulta PT = 2142116336 .

Por lo tanto, la medida de la tangente es 214 cm.


Unidad temática Geometría analítica


El coeficiente de posición corresponde al término independiente en la ecuación principal

de la recta. Esta se debe despejar de la ecuación general dada:

2x + 3y – 9 = 0 3y = – 2x + 9 y = x3

2 + 3

OAB

T

•P

8

20

Por lo tanto, el coeficiente de posición de la recta L es 3.




Como ACAB y CBA = 45°, entonces el triángulo ABC es isósceles rectángulo en

A.

En todo triángulo rectángulo isósceles, la hipotenusa es igual al cateto multiplicado por

.2 Entonces, BC = AB 2 = 25 .

Por lo tanto, el valor de BC es 25 .




Como RSPQ y QRPR , entonces se puede aplicar el teorema de Euclides en el

triángulo PQR. Según este, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la

altura es igual al producto de las medidas de las proyecciones de los catetos sobre la

hipotenusa.

Entonces, en la figura, se puede plantear SQPSRS2

. Al reemplazar los valores

conocidos, queda 4² = 1 SQ. Luego, SQ = 16.

Por lo tanto, SQ mide 16 cm.


Unidad temática Trigonometría


El seno de un ángulo corresponde a la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la

hipotenusa. Luego, sen α = hipotenusa

opuesto cateto = 0,8

AC

BC =

5

4

Entonces, es posible escribir cada segmento en términos de una constante de

proporcionalidad: BC = 4k y AC = 5k. Luego, por trío pitagórico, AB = 3k.

La secante de un ángulo corresponde a la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente

al ángulo. Luego, sec α = adyacente cateto

hipotenusa =

AB

AC =

k

k

3

5

= 3

5

Por lo tanto, el valor de sec es 3

5


Unidad temática Volúmenes y superficies

Habilidad Análisis

En un paralelepípedo, el volumen corresponde al producto entre el largo, el ancho y la

altura. En este caso, la profundidad cumple la función de altura. Entonces, en el Modelo

A se utiliza (3 2 1) = 6 m³ de agua y en el Modelo B se utiliza (2 2 1,5) = 6 m³ de agua.

Luego:

I) Falsa, ya que en ambos modelos se utiliza la misma cantidad de agua.

II) Verdadera, ya que se calculó inicialmente.

III) Verdadera, ya que (6 + 6) = 12 m³.

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.


Unidad temática Probabilidad


El planteamiento corresponde a un ordenamiento de 5 datos (permutación), de manera

que cada elemento se repite una vez. El número de resultados distintos se calcula como

5! = 5 4 3 2 1 = 120.

Por lo tanto, se pueden formar 120 agrupaciones distintas.




Al lanzar dos dados, de las 36 combinaciones posibles,

La combinación (1,1) da como suma 2.

Las combinaciones (1,2) y (2,1) dan como suma 3.

Las combinaciones (1,3), (2,2) y (3,1) dan como suma 4.

Las combinaciones (1,4), (2,3), (3,2) y (4,1) dan como suma 5.

Las combinaciones (1,5), (2,4), (3,3), (4,2) y (5,1) dan como suma 6.

Las combinaciones (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1) dan como suma 7.

Las combinaciones (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) y (6,2) dan como suma 8.

Las combinaciones (3,6), (4,5), (5,4) y (6,3) dan como suma 9.

Las combinaciones (4,6), (5,5) y (6,4) dan como suma 10.

Las combinaciones (5,6) y (6,5) dan como suma 11.

La combinación (6,6) da como suma 12.

Entonces, el espacio muestral del experimento de anotar la suma es

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Por lo tanto, el espacio muestral tiene 11 elementos.




En un cálculo de probabilidad, es posible conjeturar la posibilidad de que ocurra un cierto

resultado, pero no se puede asegurar el resultado específico en un caso puntual.

Sin embargo, según la ley de los grandes números “al repetir un experimento aleatorio

una gran cantidad de veces, la frecuencia relativa de cada suceso tiende a aproximarse a

la probabilidad teórica del suceso”, idea que aparece representada en la alternativa D.




Una probabilidad corresponde a la razón entre cantidad de casos favorables a un evento y

cantidad de casos posibles de un experimento. Luego, podemos plantear:

P(hombre) = posibles casos

favorables casos

alumnos de cantidad

hombres de cantidad =

5

3

Si el curso tiene 45 alumnos, entonces la cantidad de hombres es 455

3 = 27.

Por lo tanto, en el curso hay (45 – 27) = 18 mujeres.




La condición “que NO sea mayor que 4” significa “que NO sea 5 ni 6”. O sea, los casos

favorables son 1, 2, 3 y 4. Una probabilidad corresponde a la razón entre cantidad de

casos favorables a un evento y cantidad de casos posibles de un experimento. Luego,

podemos plantear:

P(NO mayor que 4) = posibles casos

favorables casos =

6

4 =

3

2

Por lo tanto, la probabilidad de que el número NO sea mayor que 4 es 3

2.



Habilidad Análisis

En este caso, es posible guiarse por el triángulo de Pascal:

El total de casos es (1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1) = 32

La frase “a lo menos en dos” significa “como mínimo en dos”, o sea, podría ser en dos,

tres, cuatro o cinco. Luego, la cantidad de casos en los que a lo menos en dos de ellas sale

sello son:

2 sellos 10 casos

3 sellos 10 casos

4 sellos 5 casos

5 sellos 1 caso

Total 26 casos

Por lo tanto, la probabilidad de que a lo menos en dos de ellas salga sello es 16

13

32

26.

5ca

ras

/ 0

sel

lo

4 c

aras

/ 1

sel

lo

3 c

aras

/ 2

sel

los

2 c

aras

/ 3

sel

los

1 c

aras

/ 4

sel

los

0 c

ara

/ 5

sel

los

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1




Como el 60% de los trabajadores de la empresa son hombres, entonces el 40% de los

trabajadores de la empresa son mujeres. Es decir, la probabilidad de que al elegir un

trabajador al azar sea mujer es 100

40.

De las mujeres, el 40% están casadas, lo que significa que el 60% están solteras. Es decir,

la probabilidad de que al elegir una mujer al azar sea soltera es 100

60.

Entonces, la probabilidad de que sea una mujer soltera es 100

24

100

40

100

60 = 24%.

Por lo tanto, al elegir un trabajador al azar, la probabilidad de que sea una mujer soltera

es 24%.


Unidad temática Estadística

Habilidad Análisis

I) Falsa, ya que todos los datos tienen la misma frecuencia (2) lo que significa que la

muestra no tiene moda.

II) Falsa, ya que al ordenar los datos de menor a mayor resulta:

0,25 – 0,25 – 0,55 – 0,55 – 0,75 – 075.

Los datos que ocupan la posición central son 0,55 y 0,55, y la mediana

corresponde al promedio de ellos, o sea 0,55.

III) Falsa, ya que la media aritmética (promedio) es

...51666,06

1,3

6

75,055,025,075,055,025,0 que no es un valor

perteneciente a los datos.

Por lo tanto, las tres afirmaciones son falsas.




La media aritmética (o promedio) es 6,215

39

23154

2534135241

La mediana corresponde al dato que ocupa la posición central al ordenarlos de menor a

mayor: 1 – 1 – 1 – 1 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 3 – 4 – 4 – 4 – 5 – 5. Entonces, la mediana es 2.

La moda corresponde al dato que tiene la mayor frecuencia, es decir, 2.

Por lo tanto, se cumple que moda = mediana < media aritmética.



Habilidad Análisis

I) Falsa, ya que la moda corresponde al dato que tiene la mayor frecuencia, es decir

650.

II) Verdadera, ya que sumando todas las frecuencias (3 + 7 + 10 + 7 + 8 + 5) = 40.

III) Verdadera, ya que la media aritmética (o promedio) es

25,68140

250.27

5871073

5800875077001065076003550 > 650.

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.



Habilidad Evaluación

(1) Paulina recibe más dulces que Mauricio. Con esta información, no es posible

determinar la cantidad de dulces que recibe cada uno, ya que podrían ser 1 y 9, 2 y

8, 3 y 7 o 4 y 6.

(2) El número de dulces que recibe cada uno corresponde a números primos. Con esta

información, no es posible determinar la cantidad de dulces que recibe cada uno,

ya que podrían ser 3 y 7, 5 y 5 o 7 y 3

Con ambas informaciones, es posible determinar la cantidad de dulces que recibe cada

uno, ya que la única opción es que Paulina reciba 7 dulces y Mauricio reciba 3 dulces.

Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.




(1) El 30% de los alumnos NO son hombres. Con esta información, es posible

determinar el número de hombres, ya que significa que el 70% de los alumnos son

hombres. Luego, la cantidad de hombres corresponde al 70% de 30, es decir,

2130100

70.

(2) La razón entre hombres y mujeres es 7 : 3. Con esta información, es posible

determinar el número de hombres, ya que si se utiliza la constante de

proporcionalidad k, entonces el total de alumnos es (7k + 3k) = 30. Luego, k = 3 y

el número de hombres es 7k = 7 3 = 21.

Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.




(1) a es par. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de

b

0

)3(

a, ya que no se conoce el valor de b.

(2) b es múltiplo de 3. Con esta información, no es posible determinar el valor

numérico de b

0

)3(

a, ya que no se conoce el valor de b.

Con ambas informaciones, no es posible determinar el valor numérico de b

0

)3(

a, ya que

no se conoce el valor de b.

Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.




(1) La cantidad de bacterias se duplica cada 20 minutos. Con esta información, no es

posible determinar la cantidad de bacterias que hay en el estudio de un cultivo, ya

que no se conoce la cantidad inicial de bacterias ni el tiempo transcurrido desde el

inicio del cultivo.

(2) Desde el inicio del cultivo han pasado 6 horas. Con esta información, no es

posible determinar la cantidad de bacterias que hay en el estudio de un cultivo, ya

que no se conoce la cantidad inicial de bacterias ni cada cuánto se reproducen.

Con ambas informaciones, no es posible determinar la cantidad de bacterias que hay en el

estudio de un cultivo, ya que no se conoce la cantidad inicial de bacterias.

Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.


Unidad temática Cuadriláteros


(1) ABCD es un rectángulo de diagonal igual a 15 cm y AB = 9 cm. Con esta

información, es posible determinar el área del triángulo AED, ya que por trío

pitagórico se determina que el largo del rectángulo mide 12 cm y en consecuencia

que su área mide (9 12) = 108 cm². Los cuatro triángulos formados por las

diagonales en un paralelogramo tienen igual área, entonces el área del triángulo

AED mide 4

108 = 27 cm².

(2) ACBD , donde AC y BD son diagonales. Con esta información, no es posible

determinar el área del triángulo AED, ya que no se dan valores numéricos.

Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.


Unidad temática Geometría analítica


Según el gráfico, ambos vectores tienen la misma coordenada vertical (que llamaremos

b). Entonces, las coordenadas del vector son (a, b) y las coordenadas del vector

son (– 2, b). Luego:

(1) + = (1, 4). Con esta información, es posible determinar el valor numérico de

a, ya que se puede plantear (a, b) + (– 2, b) = (1, 4) a – 2 = 1 a = 3.

(2) – = (5, 0). Con esta información, es posible determinar el valor numérico de

a, ya que se puede plantear (a, b) – (– 2, b) = (5, 0) a + 2 = 5 a = 3.

Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.




(1) La desviación típica o estándar es 0 y el primer dato es 5. Con esta información,

es posible determinar los valores de los 100 datos de una muestra estadística, ya

que si la desviación típica o estándar es 0, entonces todos los datos son iguales.

Como sabemos que uno de ellos es 5, entonces todos los datos de la muestra valen

5.

(2) La media aritmética (o promedio) es 5. Con esta información, no es posible

determinar los valores de los 100 datos de una muestra estadística, ya que solo se

puede saber que la suma de datos es 500, pero no el valor de cada uno.

Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.

mp

m

p m

p

Solucionario Ensayo MT-044

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