Solidos geométricos

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Definición.- Un Sólido o Cuerpo Geométrico es una figura geométrica de tres

dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en

consecuencia tiene un volumen.

POLIEDROS

Son sólidos geométricos de muchas caras, cuyas caras se componen de una

cantidad finita de polígonos planos que encierran un volumen finito y no nulo; que

contienen los siguientes elementos:

Caras: Son las superficies planas que forman el poliedro, las cuales se interceptan entre sí.

Aristas: Son los segmentos formados por la intersección de dos (2) caras.

Vértices: Son los puntos donde se interceptan 3 o más aristas.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS

A. POLIEDROS REGULARES: son aquellos cuyas caras son todas polígonos

regulares, congruentes entre sí (de igual medida) y cuyos ángulos poliedros

son iguales. Existen solamente 5 poliedros regulares: Tetraedro, Hexaedro,

Octaedro, Dodecaedro, Icosaedro.

Tetraedro regular: Formado por cuatro triángulos equiláteros. Es el que

tiene menor volumen de los cinco en comparación con su superficie. Está

formado por 4 caras, 6 aristas y 4 vértices.

Hexaedro regular: (cubo): Formado por seis cuadrados. Permanece estable

sobre su base. Está formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.

Octaedro regular: Formado por ocho triángulos equiláteros. Gira libremente

cuando se sujeta por vértices opuestos. Está formado por 8 caras, 12 aristas y

6 vértices.

Dodecaedro regular: Formado por doce pentágonos regulares. Tiene 12

caras, 30 aristas y 20 vértices.

Área

Volumen

Área lateral

Área total

Volumen

Área

Volumen

Área

Volumen

Icosaedro regular: Formado por veinte triángulos equiláteros. Es el que

tiene mayor volumen en relación con su superficie. Tiene 20 caras, 30 aristas

y 12 vértices.

TEOREMA DE EULER

La fórmula de Euler establece que, en un poliedro convexo: el número de caras +

números de vértices= número de aristas + 2. 

Si:  

C: número de caras

      V: número de vértices 

      A: número de aristas, 

Fórmula:      C + V = A + 2

Importante del teorema de Euler son:

No puede existir un poliedro convexo con menos de seis aristas, cuatro caras

y cuatro vértices.

Sólo existen cinco poliedros convexos cuyas caras sean polígonos de igual

número de lados y cuyos ángulos poliedros tengan entre sí el mismo número

de aristas y que son: tetraedro, octaedro, icosaedro, hexaedro y dodecaedro.

La suma de todas las caras de un poliedro convexo es igual a tantas veces

cuatro rectos como el número de vértices que tiene menos dos.

Ejemplos

1. Probamos con el tetraedro

C + V = A + 2; 4+4=6+2; 8=8

2. Probamos con el icosaedro

C + V = A + 2; 20+12=30+2; 32=32

Área

Volumen

B. POLIEDROS IRREGULARES: Son aquellos que no tienen sus caras como

polígonos regulares ni sus ángulos poliedros iguales.

B.1 Prismas: Los prismas son poliedros que se encuentran limitados por dos

polígonos planos congruentes y paralelos entre sí que se llaman bases y por

tres o más paralelogramos que se llaman caras laterales.

Sección recta: Es la sección que se obtiene sobre un plano perpendicular a las

aristas laterales.

Altura: La altura de un prisma es la distancia entre sus bases.

Clasificación De Los Prismas

1. Prisma Recto: Cuando las aristas laterales son perpendiculares a los planos

de las bases.

Donde:

PB: perímetro de la base.

h: altura

B: área de la región de una base

Área de la superficie lateral: es la suma de las áreas de las regiones de

todas las caras laterales.

ASL=PB.h

Área de la superficie total: es la suma de las áreas de las regiones de todas

las caras

AST=ASL+2.B

Volumen

V=B.h

2. Prisma Oblicuo: Cuando las aristas laterales no son perpendiculares a los

planos de las bases.

Área de la superficie lateral: es la suma de las áreas de las regiones de todas

las caras laterales.

ASL=PSR.a

Área de la superficie total: es la suma de las áreas de las regiones de todas

las caras

AST=ASL+2.B

Volumen

V=B.h

Donde:

PSR: perímetro de la sección recta.

a: arista lateral

B: área de la región base

ASR: área de la región de sección recta

h: altura

3. Prisma Regular: Este prisma es recto y su base es un polígono regular.

Área de la superficie lateral: es la suma de las áreas de las regiones de todas

las caras laterales.

ASL=PB.h

Área de la superficie total: es la suma de las áreas de las regiones de todas

las caras

AST=ASL+2.B

Volumen

V=B.h

B.2 Pirámide: La pirámide es un poliedro que tiene una sola base y tantas caras

laterales en forma de triángulos como lados tenga la base y que se unen en un

punto denominado vértice.

Apotema: es el segmento que parte del centro de cada uno de los lados de la base y

llega hasta el vértice. Mide la altura de sus caras laterales.

Altura: es la distancia vertical que hay de la base al vértice de la pirámide.

Donde:

PB: perímetro de la base.

h: altura

B: área de la región de una base

Clasificación

1. Pirámide recta: es aquella que la altura parte justamente del centro de la base

y llega al vértice.

Ap2= h2+ap2

AL=PB.Ap 2

AT=AL+AB

V=AB.h 3

2. Pirámide oblicua: es aquella que la altura no parte justamente desde el centro

de la base; puede partir de otro punto de la base o incluso desde fuera de la

base.

Ap2= h2+ap2

AL=PB.Ap 2

AT=AL+AB

V=AB.h 3

Donde:

PB: perímetro de la base.

Ap: apotema de la pirámide

ap: apotema de la base

AB: área de la base.

h: altura

Donde:

PB: perímetro de la base.

Ap: apotema de la pirámide

ap: apotema de la base

AB: área de la base.

h: altura

3. Pirámide regular: es una pirámide recta, cuya base es un polígono regular

(triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono…) y que todas su caras laterales son

iguales.

Ap2= h2+ap2

AL=PB.Ap 2

AT=AL+AB

V=AB.h 3

EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE SOLIDOS GEOMÉTRICOS

1. Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista.

2. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista.

Donde:

PB: perímetro de la base.

Ap: apotema de la pirámide

ap: apotema de la base

AB: área de la base.

h: altura

3. Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5 cm de arista.

4. Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10 cm de arista, sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6.88 cm.

5. Calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de arista.

6. Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.

7. Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral.

8. Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.

9. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de diagonales 12 y 18 cm.

b.1 clases

b.1.1 Prismas: Los prismas son cuerpos poliedros que poseen 2 caras basales

iguales, paralelas y poligonales (triángulo, cuadrilátero, pentágono).

Fórmula

Área lateral = Producto del perímetro de la base por la altura.

AL = p. h

Área Total = Área lateral más el área de las dos bases.

AT = AL + 2 · Área de la base

Volumen = Área de la base por su altura

V = AB · h

Prisma triangular: posee 5 caras, 9 aristas y 6 vértices. Sus caras basales corresponden a triángulos.

Prisma cuadrangular: posee 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.

Prisma rectangular: posee 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. Sus caras basales corresponden a rectángulos.

Prisma pentagonal: posee 7 caras, 15 aristas y 10 vértices. Sus caras basales corresponden a pentágonos.

b.1.2 Pirámides: Es un poliedro definido por un polígono base y cuyas caras

laterales son triángulos que poseen un vértice común (V),

denominado vértice de la pirámide, que no está contenido en el plano base.

La recta que pasa por el vértice de la pirámide y el centro geométrico de la

base se denomina eje de la pirámide (e). Las pirámides se clasifican en:

Fórmula

Área lateral = Producto del perímetro de la base por la apotema de la pirámide, partido todo por dos.

AL =    

Área total = Área lateral + Área de la base

AT = AL + AB

Volumen = Un tercio del  área de la base por altura

 V  = 

Pirámide regular: Es aquella que tiene de base un polígono regular y sus caras laterales iguales.

Pirámide irregular: Es aquella que tiene de base un polígono irregular.

Pirámide convexa: Es aquella cuya base es un polígono convexo (Todos sus ángulos menores que 180°, todas sus diagonales son interiores.).

Pirámide cóncava: Es aquella cuya base es un polígono cóncavo (Si un ángulo mide más de 180°, Si una de sus diagonales es exterior.).

Pirámide recta: Es aquella en la que todas sus caras laterales son triángulos isósceles y la altura cae al punto medio de la base.

Pirámide oblicua: Es aquella en la que alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles.

1. CUERPOS REDONDOS: Son sólidos geométricos que tienen superficies curvas, tales como: el cilindro, el cono y la esfera.

a) La esfera: Es un cuerpo sólido limitando por una superficie curva cuyos

puntos equidistan de otro interior llamado centro de la

esfera.

El cono: El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.

Área lateral =  Producto del radio por la generatriz y por p.

AL =. r. g

Área Total = Área lateral más el área de la base.

AT =. r. (g + r)

Volumen del Cono = Un tercio del área de la base por la altura.

a)   V= 

El cilindro: El cilindro es el cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados.

Área lateral  = Longitud de la circunferencia base por la generatriz.

AL = 2· · r · g

Área total = Área lateral más el área de las dos bases.

AT = 2· · r (g + r)

Volumen = Producto del área de la base por la altura.

V = . r2. h

EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁREAS Y VOLÚMENES II

1. Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista.

2. Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista.

3. Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5 cm de arista.

4. Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10 cm de arista, sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6.88 cm.

5. Calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de arista.

6. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de de diagonales 12 y 18 cm.

7. Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.

8. Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral.

9. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.

10. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.

11. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.

12. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm.

13. Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm.

14. Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.

15. Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.

16. Calcular el volumen de una semiesfera de 10 cm de radio.

17. Calcula el área y el volumen del siguiente casquete esférico.

18.Calcular el área y el volumen de una zona esférica cuyas circunferencias tienen de radio 10 y 8cm, y la distancia entre ellas es de 5 cm.