Sistemas MAE125 – Álgebra Linear II - NYU Courant · Lineares Sobre o Curso Introdução Motivação Deﬁnições Geometria Resolução Casos Fáceis Equivalência Primeiro Exemplo

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CasosEspeciaisSist. Homogêneos

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MAE125 – Álgebra Linear II

Prof. Paulo Goldfelde-mail: [email protected]: C-112/B

quintas-feiras: aulas teóricas (slides)listas de exercícios

terças-feiras: aulas de exercícios (discussão)

http://www.dma.im.ufrj.br/˜goldfeld

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Motivação:uniformizar o cursoabrir espaço para exercíciosunificar horários e provas

Meta:

X aulas em slides

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Seu feedback é importante e bem-vindo.Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 56

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Livros

Anton & Rorres, Álgebra Linear com AplicaçõesLay, Álgebra Linear e suas AplicaçõesLeon, Álgebra Linear com AplicaçõesStrang, Linear Algebra and its ApplicationsHefferon, Linear Algebra (disponível na internet)qualquer livro de Álgebra Linear


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Avaliação

duas provas, pesos iguais: MP =P1 + P2

2MP ≥ 7.0 ⇒ aprovado, MF = MPMP < 3.0 ⇒ reprovado3.0 ≤ MP < 7.0 ⇒ prova final

MF =MP + PF

2faltando P1 ou P2, MF = 0.3(P1 + P2) + 0.7(PF)

segunda-chamada:substitui PFrequer justificativa escritaé mais difícil


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Datas

16/08 – Auditório do CT



25/09 – 1a prova

27/11 – 2a prova

04/12 – prova final


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Motivação - 1o Exemplo

Problema: há dois tipos de moeda, indistinguíveis excetopelo peso. As de material X pesam 10 g cada e as dematerial Y, 20 g cada. Se um conjunto de 100 moedaspesa 1.25 Kg, quantas são do material X?{

x + y = 10010x + 20y = 1250


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Problema: há dois tipos de moeda, indistinguíveis excetopelo peso. As de material X pesam 10 g cada e as dematerial Y, 20 g cada. Se um conjunto de 100 moedaspesa 1.25 Kg, quantas são do material X?{

x + y = 10010x + 20y = 1250


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Problema: a combustão do propano produz dióxido decarbono e água. Encontre a, b, c e d de forma a balanceara equação da reação: a C3H8 + b O2 −→ c CO2 + d H2O.

balanço de C: 3a = cbalanço de H: 8a = 2dbalanço de O: 2b = 2c + d

3a +0b −1c +0d = 08a +0b +0c −2d = 00a +2b −2c −1d = 0


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Problema: existe uma parábola γ da forma y = ax2 + bx + cpassando pelos pontos (0, 1), (1, 3), (2, 4) e (3, 9)?

(0, 1) ∈ γ ⇒ 1 = a(02) + b(0) + c(1, 3) ∈ γ ⇒ 3 = a(12) + b(1) + c(2, 4) ∈ γ ⇒ 4 = a(22) + b(2) + c(3, 9) ∈ γ ⇒ 9 = a(32) + b(3) + c

0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9


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0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9


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Motivação

Quase todos os problemas da Álgebra Linear recaemna resolução de sistemas lineares. As técnicas pararesolvê-los nos acompanharão por todo o curso.

A resolução de sistemas lineares está no coração dequase todos os softwares de computação científica.Neste caso, os sistemas podem ter centenas demilhões de incógnitas.


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Motivação

Quase todos os problemas da Álgebra Linear recaemna resolução de sistemas lineares. As técnicas pararesolvê-los nos acompanharão por todo o curso.

A resolução de sistemas lineares está no coração dequase todos os softwares de computação científica.Neste caso, os sistemas podem ter centenas demilhões de incógnitas.


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Sistema m × n (m equações em n incógnitas)

a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = b1

a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = b2...

.... . .

......

am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = bm

matriz aumentada︷︸︸︷a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn︸︷︷︸

matriz de coeficientes

b1

b2...

bm

︸︷︷︸lado direito


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Sistema m × n (m equações em n incógnitas)

a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = b1

a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = b2...

.... . .

......

am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = bm

matriz aumentada︷︸︸︷a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn︸︷︷︸

matriz de coeficientes

b1

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bm

︸︷︷︸lado direito


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Matriz m × n (m linhas, n colunas)

Am×n =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

m linhas

=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

n colunas


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Exemplo:{

1x +1y = 21x −1y = 0

[1 1 21 −1 0

]

(2, 0)

(0, 2)

(1, 1)

Solução única. Conjunto-solução: {(1, 1)}


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Exemplo:{

1x +1y = 22x +2y = 2

[1 1 22 2 2

]

(2, 0)

(0, 2)

(0, 1)

(1, 0)

Sem solução. Conjunto-solução: { }


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Geometria

Exemplo:{

1x +1y = 22x +2y = 4

[1 1 22 2 4

]

(2, 0)

(0, 2)

Infinitas soluções.Conjunto-solução: {(x , y) | x + y = 2} = {(t , 2− t) | t ∈ R}


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Conjunto-Solução

Um sistema linear de equações tem sempre:ou uma única solução;ou nenhuma solução;ou infinitas soluções.

Compare com o caso não-linear:


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Conjunto-Solução

Um sistema linear de equações tem sempre:ou uma única solução;ou nenhuma solução;ou infinitas soluções.

Compare com o caso não-linear:


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Sistemas “Fáceis”

Matriz de coeficientes diagonal 3 0 0 50 −2 0 40 0 1 −2

3x1 = 5−2x2 = 4

x3 = −2

Conjunto-solução:{(

53,−2,−2

)}

Definição (matriz diagonal)

A é diagonal se aij = 0 ∀ i 6= j .


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Matriz de coeficientes diagonal 3 0 0 50 −2 0 40 0 1 −2

3x1 = 5−2x2 = 4

x3 = −2

Conjunto-solução:{(

53,−2,−2

)}

Definição (matriz diagonal)

A é diagonal se aij = 0 ∀ i 6= j .


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Matriz de coeficientes triangular 3 1 3 20 −2 1 −50 0 2 −2

3x1 +x2 +3x3 = 2

−2x2 +x3 = −52x3 = −2

Substituição para trás:

2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2

3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1

Definição (matriz triangular superior)

A é triangular superior se aij = 0 ∀ i > j .


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3x1 +x2 +3x3 = 2

−2x2 +x3 = −52x3 = −2


2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2

3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1




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3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1




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3x1 +x2 +3x3 = 2

−2x2 +x3 = −52x3 = −2


2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2

3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1




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3x1 +x2 +3x3 = 2

−2x2 +x3 = −52x3 = −2


2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2

3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1




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Sistemas Equivalentes

Definição (sistemas equivalentes)

Dois sistemas (nas mesmas variáveis) são equivalentes setêm o mesmo conjunto-solução.[

1 1 21 −1 0

] 1 2 31 −1 03 1 4

(2, 0)

(0, 2)

(1, 1)

(3, 0)

(0,

32

)(1, 1)

(43, 0

)Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 56

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Estratégia para Solução de Sistemas Lineares

Buscar sistema equivalente “fácil”:na forma escalonada (“tipo” triangular) ouna forma totalmente escalonada (“tipo” diagonal).


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Gerando Sistemas Equivalentes

Fatos a serem lembrados:{A = BC = D

⇔{

C = DA = B

A = AB = CB = C

⇔{

B = C

A = BC = DE = F

A = B

f (A, C, E) = f (B, D, F )E = F

contra-exemplo: (−1)2 = (1)2 6⇒ − 1 = 1


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⇔{

C = DA = B

A = AB = CB = C

⇔{

B = C

A = BC = DE = F

A = B

f (A, C, E) = f (B, D, F )E = F

contra-exemplo: (−1)2 = (1)2 6⇒ − 1 = 1


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⇔{

C = DA = B

A = AB = CB = C

⇔{

B = C

A = BC = DE = F

⇒

A = B

f (A, C, E) = f (B, D, F )E = F

contra-exemplo: (−1)2 = (1)2 6⇒ − 1 = 1


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⇔{

C = DA = B

A = AB = CB = C

⇔{

B = C

A = BC = DE = F

⇒6⇐

A = B

f (A, C, E) = f (B, D, F )E = F

contra-exemplo: (−1)2 = (1)2 6⇒ − 1 = 1


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⇔{

C = DA = B

A = AB = CB = C

⇔{

B = C

A = BC = DE = F

⇒6⇐

A = B

f (A, C, E) = f (B, D, F )E = F

contra-exemplo: (−1)2 = (1)2 6⇒ − 1 = 1


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Operações Fundamentais

1 Trocar a ordem das linhas[l1 b1l2 b2

]∼

[l2 b2l1 b1

]2 Multiplicar uma linha por um escalar não-nulo[

l1 b1l2 b2

]∼

[l1 b1αl2 αb2

]3 Substituir linha por sua soma com múltiplo de outra[

l1 b1l2 b2

]∼

[l1 b1

l2 + αl1 b2 + αb1

]4 Descartar linhas só de zeros[

l1 b10 0 · · · 0 0

]∼

[l1 b1

]Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 56

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]∼

[l2 b2l1 b1


l1 b1l2 b2

]∼

[l1 b1αl2 αb2


l1 b1l2 b2

]∼

[l1 b1

l2 + αl1 b2 + αb1


l1 b10 0 · · · 0 0

]∼

[l1 b1


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]∼

[l2 b2l1 b1


l1 b1l2 b2

]∼

[l1 b1αl2 αb2


l1 b1l2 b2

]∼

[l1 b1

l2 + αl1 b2 + αb1


l1 b10 0 · · · 0 0

]∼

[l1 b1


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]∼

[l2 b2l1 b1


l1 b1l2 b2

]∼

[l1 b1αl2 αb2


l1 b1l2 b2

]∼

[l1 b1

l2 + αl1 b2 + αb1


l1 b10 0 · · · 0 0

]∼

[l1 b1


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−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

l3 ← l3 + 3l1

3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )

3 13 4 16+ −3 −6 −12 6

0 7 −8 22


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Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

l3 ← l3 + 3l1

3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )

3 13 4 16+ −3 −6 −12 6

0 7 −8 22


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

l3 ← l3 + 3l1

3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )

3 13 4 16+ −3 −6 −12 6

0 7 −8 22


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Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

l3 ← l3 + 3l1

3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )

3 13 4 16+ −3 −6 −12 6

0 7 −8 22


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Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

l3 ← l3 + 3l1

3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )

3 13 4 16+ −3 −6 −12 6

0 7 −8 22


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Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3

l3 ← l3 + l2

0 −7 11 −25+ 0 7 −8 22

0 0 3 −3


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Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3

l3 ← l3 + l2

0 −7 11 −25+ 0 7 −8 22

0 0 3 −3


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Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3

l3 ← l3 + l2

0 −7 11 −25+ 0 7 −8 22

0 0 3 −3


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Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3

l3 ← l3 + l2

0 −7 11 −25+ 0 7 −8 22

0 0 3 −3


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Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1

l3 ←

13

l3


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Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1

l3 ←

13

l3


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Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1

l3 ←

13

l3


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Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1

∼

−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1

l1 ← l1 + 4l3 l2 ← l2 − 11l3

−1 −2 −4 2+ 0 0 4 −4

−1 −2 0 −2

0 −7 11 −25+ 0 0 −11 11

0 −7 0 −14


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Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1

∼

−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1

l1 ← l1 + 4l3 l2 ← l2 − 11l3

−1 −2 −4 2+ 0 0 4 −4

−1 −2 0 −2

0 −7 11 −25+ 0 0 −11 11

0 −7 0 −14


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Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1

∼

−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1

l1 ← l1 + 4l3 l2 ← l2 − 11l3

−1 −2 −4 2+ 0 0 4 −4

−1 −2 0 −2

0 −7 11 −25+ 0 0 −11 11

0 −7 0 −14


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Primeiro Exemplo

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Forma Escalonada

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Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1

∼

−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1

l1 ← l1 + 4l3 l2 ← l2 − 11l3

−1 −2 −4 2+ 0 0 4 −4

−1 −2 0 −2

0 −7 11 −25+ 0 0 −11 11

0 −7 0 −14


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Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

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Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1

∼

−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1

l2 ← −

17

l2


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Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1

∼

−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1

l2 ← −

17

l2


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Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

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Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1

∼

−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1

l2 ← −

17

l2


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Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

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Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1

∼

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← l1 + 2l2

−1 −2 0 −2+ 0 2 0 4

−1 0 0 2


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Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1

∼

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← l1 + 2l2

−1 −2 0 −2+ 0 2 0 4

−1 0 0 2


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Primeiro Exemplo

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Forma Escalonada

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Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1

∼

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← l1 + 2l2

−1 −2 0 −2+ 0 2 0 4

−1 0 0 2


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Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

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Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1

∼

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← l1 + 2l2

−1 −2 0 −2+ 0 2 0 4

−1 0 0 2


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Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

∼

1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← −l1

x1 = −2x2 = 2x3 = −1

Conjunto-solução: {(−2, 2,−1)}


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Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

∼

1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← −l1

x1 = −2x2 = 2x3 = −1



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

∼

1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← −l1

x1 = −2x2 = 2x3 = −1



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

∼

1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← −l1

x1 = −2x2 = 2x3 = −1



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Primeiro Exemplo

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

∼

1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← −l1

x1 = −2x2 = 2x3 = −1



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Plano de Ação paraa Solução de Sistemas Lineares

Para onde vamos?Forma escalonada e forma totalmente escalonadaComo vamos?Algoritmo de eliminação de GaussO que fazer quando chegarmos lá?Solução de sistemas na forma totalmente escalonada


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz




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Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Forma Escalonada

Definição (forma escalonada)

Diz-se que uma matriz está (na forma) escalonada seo número de zeros no início de cada linha aumentaestritamente de uma linha para outra enão há linhas só de zeros.

4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6

X

4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6

×Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 56

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Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Forma Escalonada



4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6

X

4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Forma Escalonada



4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6

X

4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Forma Escalonada



4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6

X

4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Forma Escalonada



4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6

X

4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6


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Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Pivot

Definição (pivot)

São denominados pivots os primeiros elementos não nulosde cada linha de uma matriz escalonada.

4 −7 0 −14 40 0 5 0 −10 0 0 −13 6


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Pivot

Definição (pivot)

São denominados pivots os primeiros elementos não nulosde cada linha de uma matriz escalonada.

4 −7 0 −14 40 0 5 0 −10 0 0 −13 6


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Forma Totalmente Escalonada

Definição (forma totalmente escalonada)

Uma matriz está totalmente escalonada seestá escalonada,os pivots são todos 1’s eos pivots são os únicos não-nulos de suas colunas.

1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6

X

1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz




1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6

X

1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz




1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6

X

1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz




1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6

X

1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz




1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6

X

1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6


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Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Eliminação de GaussParte I – Forma Escalonada

Descarte linhas só de zeros.p ← (no de linhas).k ← 1.Enquanto k < p, repita:

Considere apenas as linhas lk , lk+1, . . . , lp.Identifique a coluna não nula mais à esquerda.Troque linhas para obter pivot não nulo.Anule as entradas abaixo do pivot,subtraindo de lk+1, lk+2, . . . , lp múltiplos de lk .Descarte linhas só de zeros.p ← (no de linhas).k ← k + 1.


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Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Eliminação de GaussParte II – Forma Totalmente Escalonada

Execute a Parte I do algoritmo.Repita, para k = p, p − 1, . . . , 1:

Divida lk pelo seu pivot, tornando-o 1.Anule as entradas acima do pivot,subtraindo de l1, l2, . . . , lk−1 múltiplos de lk .


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Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Exemplo de Eliminação de Gauss

2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10

6 18 11 0 14


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Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10

6 18 11 0 14

Início da Parte I: escalonamento da matrizDescarte linhas só de zeros.p ← 4.k ← 1.


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Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10

6 18 11 0 14

Início do primeiro laço.Considere apenas as linhas l1, l2, l3 e l4


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Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10

6 18 11 0 14

Identifique a coluna não nula mais à esquerda.Troque linhas para obter pivot não nulo.


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Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10

6 18 11 0 14

Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l2, l3, l4 múltiplos de l1.


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Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 0 −3 60 0 −1 2 −20 0 2 −3 2

Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l2, l3, l4 múltiplos de l1.


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Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 0 −3 60 0 −1 2 −20 0 2 −3 2

Descarte linhas só de zeros.p ← 4k ← 2


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Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 0 −3 60 0 −1 2 −20 0 2 −3 2

Considere apenas as linhas 2, 3 e 4


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Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 0 −3 60 0 −1 2 −20 0 2 −3 2



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Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 2 −3 2



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Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 2 −3 2

Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l3 e de l4 múltiplos de l2.


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2

Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l3 e de l4 múltiplos de l2.


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2

Considere apenas as linhas 3 e 4


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2

Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l4 um múltiplo de l3.


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 0 0

Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l4 um múltiplo de l3.


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 0 0

Descarte linhas só de zeros.p ← (no de linhas)


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 6

Descarte linhas só de zeros.p ← 3


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 6



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 6

Fim da Parte I: matriz já está escalonada.Início da Parte II: escalonamento totalk ← 3Divida l3 pelo seu pivot .


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 1 −2

Fim da Parte I: matriz já está escalonada.Início da Parte II: escalonamento totalk ← 3Divida l3 pelo seu pivot .


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 1 −2

Anule as entradas acima do pivot ,subtraindo de l1, l2 múltiplos de l3.


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 0 60 0 −1 0 20 0 0 1 −2

Anule as entradas acima do pivot ,subtraindo de l1, l2 múltiplos de l3.


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 0 60 0 −1 0 20 0 0 1 −2

k ← 2Divida l2 pelo seu pivot .


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 0 60 0 1 0 −20 0 0 1 −2



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 3 0 60 0 1 0 −20 0 0 1 −2

Anule as entradas acima do pivot ,subtraindo de l1 múltiplos de l2.


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 0 0 120 0 1 0 −20 0 0 1 −2

Anule as entradas acima do pivot ,subtraindo de l1 múltiplos de l2.


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


2 6 0 0 120 0 1 0 −20 0 0 1 −2



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


1 3 0 0 60 0 1 0 −20 0 0 1 −2



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


1 3 0 0 60 0 1 0 −20 0 0 1 −2

Anule as entradas acima do pivot .Fim da Parte II: a matriz está totalmente escalonada.


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Existência de Solução

Notação:{

0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade

1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }

sistema inconsistente


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


Notação:{



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


Notação:{



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


Notação:{



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Exemplos

Exemplo (sistema inconsistente)

1 0 00 1 00 0 1


1 −3 0 5 00 0 1 2 00 0 0 0 1


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Exemplos


1 0 00 1 00 0 1


1 −3 0 5 00 0 1 2 00 0 0 0 1


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Solução Única

2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

x1 = ?x2 = ?...

...xn = ?

⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}

solução única


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Solução Única


.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

x1 = ?x2 = ?...

...xn = ?


solução única


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Solução Única


.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

x1 = ?x2 = ?...

...xn = ?


solução única


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Solução Única


.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

x1 = ?x2 = ?...

...xn = ?


solução única


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Exemplos

Exemplo (sistema com solução única)

1 0 0 −20 1 0 00 0 1 11


1 0 0 0 70 1 0 0 −40 0 1 0 −30 0 0 1 13


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Exemplos


1 0 0 −20 1 0 00 0 1 11


1 0 0 0 70 1 0 0 −40 0 1 0 −30 0 0 1 13


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Infinitas Soluções

3o caso: sistema totalmente escalonadonão se enquadra nos casos anteriores 1 −3 0 5 0 4

0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2

Suponha conhecidos os valores de x2 e x4:

{x2 = rx4 = s

O sistema pode ser reescrito:1x1 = 4 +3r −5s

1x3 = −2s1x5 = −2


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2


{x2 = rx4 = s


1x3 = −2s1x5 = −2


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2


{x2 = rx4 = s


1x3 = −2s1x5 = −2


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Infinitas Soluções – cont.

1x1 = 4 + 3r − 5s

1x3 = −2s1x5 = −2

r e s conhecidos; sistema em 3 incógnitas: x1, x2 e x3: 1 0 0 4 + 3r − 5s0 1 0 −2s0 0 1 −2

Solução única: (4 + 3r − 5s, −2s, −2)


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


1x1 = 4 + 3r − 5s

1x3 = −2s1x5 = −2




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


1x1 = 4 + 3r − 5s

1x3 = −2s1x5 = −2




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


Sistema em x1, x3 e x5:x1 = 4 +3 r −5 s

x2 = rx3 = −2 s

x4 = sx5 = −2


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s

x2 = rx3 = −2 s

x4 = sx5 = −2


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



x2 = rx3 = −2 s

x4 = sx5 = −2

Conjunto-solução:

{(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}

ou ainda:


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



x2 = 0 +1 r +0 sx3 = 0 +0 r −2 s

x4 = 0 +0 r +1 sx5 = −2 +0 r +0 s

Conjunto-solução:

{(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}

ou ainda:


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



x2 = 0 +1 r +0 sx3 = 0 +0 r −2 s

x4 = 0 +0 r +1 sx5 = −2 +0 r +0 s

Conjunto-solução:

{(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}

ou ainda:

{(4, 0, 0, 0,−2)+ r(3, 1, 0, 0, 0)+s(−5, 0,−2, 1, 0) | r , s ∈ R}


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


Nomenclatura:

x2, x4 − variáveis livresr , s − parâmetrosx1, x3, x5 − variáveis dependentes

Variáveis Livres

Tomam-se como variáveis livres aquelas associadas acolunas sem pivots.Número de variáveis livres = n − p, onden = (no de incógnitas) = (no de colunas)p = (no de pivots) = (no de linhas após escalonamento)

p{ [

0 1 0 ?0 0 1 ?︸︷︷︸

n

??

]variáveis livres: x1 e x4


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Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


Nomenclatura:


Variáveis Livres


p{ [

0 1 0 ?0 0 1 ?︸︷︷︸

n

??



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


Nomenclatura:


Variáveis Livres


p{ [

0 1 0 ?0 0 1 ?︸︷︷︸

n

??



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Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Outro Exemplo com Infinitas Soluções

[0 1 3 0 −70 0 0 1 4



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Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


[0 1 3 0 −70 0 0 1 4


Sistema original:x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


[0 1 3 0 −70 0 0 1 4


Com eqs. p/ variáveis livres:x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


[0 1 3 0 −70 0 0 1 4


Com eqs. p/ variáveis livres:x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s

Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}


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Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Gerando Soluções


Fazendo r = 0 e s = 0, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 0(1, 0, 0, 0) + 0(0,−3, 1, 0) = (0,−7, 0, 4).

Fazendo r = 3 e s = −2, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 3(1, 0, 0, 0)− 2(0,−3, 1, 0) = (3,−1,−2, 4).


Para cada escolha dos parâmetros r e s, uma soluçãodistinta é gerada.


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Gerando Soluções







SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Gerando Soluções







SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Gerando Soluções







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Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Discussão de Existência e Unicidade

A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

− inconsistente

1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

− solução única

caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres


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Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

− inconsistente

1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?




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Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

− inconsistente

1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

− inconsistente

1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

− inconsistente

1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

− inconsistente

1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?




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Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

− inconsistente

1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada

0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0

−→

0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

? ? ? ?

0 ? ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗

? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0

−→

0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

? ? ? ?

0 ? ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗

? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0

−→

0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

? ? ? ?

0 ? ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗

? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0

−→

0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

? ? ? ?

0 ? ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗

? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0

−→

0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

? ? ? ?

0 ? ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗

? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0

−→

0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

? ? ? ?

0 ? ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗

? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0

− inconsistente

? · · · ? ?

0 · · · ? ?...

.... . .

......

0 0 · · · ?




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0

− inconsistente

? · · · ? ?

0 · · · ? ?...

.... . .

......

0 0 · · · ?




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0

− inconsistente

? · · · ? ?

0 · · · ? ?...

.... . .

......

0 0 · · · ?




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0

− inconsistente

? · · · ? ?

0 · · · ? ?...

.... . .

......

0 0 · · · ?




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0

− inconsistente

? · · · ? ?

0 · · · ? ?...

.... . .

......

0 0 · · · ?




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0

− inconsistente

? · · · ? ?

0 · · · ? ?...

.... . .

......

0 0 · · · ?




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0

− inconsistente

? · · · ? ?

0 · · · ? ?...

.... . .

......

0 0 · · · ?




SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0

√π 9

0 0 0 0 311

−→ inconsistente

13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0

−→ infinitas soluções1 variável livre

2 2 −8 12 00 e3 11 1 1

20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3

−→ solução única


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0

√π 9

0 0 0 0 311


13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0


2 2 −8 12 00 e3 11 1 1

20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0

√π 9

0 0 0 0 311


13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0


2 2 −8 12 00 e3 11 1 1

20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0

√π 9

0 0 0 0 311


13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0


2 2 −8 12 00 e3 11 1 1

20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0

√π 9

0 0 0 0 311


13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0


2 2 −8 12 00 e3 11 1 1

20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0

√π 9

0 0 0 0 311


13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0


2 2 −8 12 00 e3 11 1 1

20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Sistemas Homogêneos

Definição

sistema homogêneoa11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = 0a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = 0

......

. . ....

...am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = 0

Definição (solução trivial)

O vetor nulo (0, 0, . . . , 0) é sempre solução do sistemahomogêneo. Esta solução é chamada solução trivial.


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...

. . ....

...? · · · ? 0

∼

∗ · · · ∗ 0...

. . ....

...∗ · · · ∗ 0

Forma escalonada nunca apresenta linha[

0 · · · 0].

Determina-se p (escalonamento):

p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)

p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



. . ....

...? · · · ? 0

∼

∗ · · · ∗ 0...

. . ....

...∗ · · · ∗ 0


0 · · · 0].





SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



. . ....

...? · · · ? 0

∼

∗ · · · ∗ 0...

. . ....

...∗ · · · ∗ 0


0 · · · 0].





SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



. . ....

...? · · · ? 0

∼

∗ · · · ∗ 0...

. . ....

...∗ · · · ∗ 0


0 · · · 0].





SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



. . ....

...? · · · ? 0

∼

∗ · · · ∗ 0...

. . ....

...∗ · · · ∗ 0


0 · · · 0].





SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado

[0 1 3 0 −70 0 0 1 4

] x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


[0 1 3 0 −70 0 0 1 4

] x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


[0 1 3 0 −70 0 0 1 4

] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


[0 1 3 0 −70 0 0 1 4

] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s


[0 1 3 0 00 0 0 1 0

] x1 = 1 rx2 = −3 sx3 = 1 sx4 = 0


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


[0 1 3 0 −70 0 0 1 4

] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s


[0 1 3 0 00 0 0 1 0

] x1 = 1 rx2 = −3 sx3 = 1 sx4 = 0


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


[0 1 3 0 −70 0 0 1 4

] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s


[0 1 3 0 00 0 0 1 0

] x1 = 1 r 0 sx2 = 0 r −3 sx3 = 0 r 1 sx4 = 0 r 0 s

Conjunto-solução:{r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


Sistema homogêneo com solução única:? · · · ? 0? · · · ? 0...

. . ....

...? · · · ? 0

∼

· · · ∗ 0...

. . ....

...0 · · · 0

Sistema não-homogêneo com mesma matriz:? · · · ? ?? · · · ? ?...

. . ....

...? · · · ? ?

∼

· · · ∗ ∗...

. . ....

...0 · · · ∗

ou

· · · ∗ ∗

.... . .

......

0 · · · ∗0 · · · 0


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Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



. . ....

...? · · · ? 0

∼

· · · ∗ 0...

. . ....

...0 · · · 0


. . ....

...? · · · ? ?

∼

· · · ∗ ∗...

. . ....

...0 · · · ∗

ou

· · · ∗ ∗

.... . .

......

0 · · · ∗0 · · · 0


SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



. . ....

...? · · · ? 0

∼

· · · ∗ 0...

. . ....

...0 · · · 0


. . ....

...? · · · ? ?

∼

· · · ∗ ∗...

. . ....

...0 · · · ∗

ou

· · · ∗ ∗

.... . .

......

0 · · · ∗0 · · · 0


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Sobre o Curso


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Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz



. . ....

...? · · · ? 0

∼

· · · ∗ 0...

. . ....

...0 · · · 0


. . ....

...? · · · ? ?

∼

· · · ∗ ∗...

. . ....

...0 · · · ∗

ou

· · · ∗ ∗

.... . .

......

0 · · · ∗0 · · · 0


SistemasLineares

Sobre o Curso


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Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


sistema homogêneo tem solução única⇓

sistema não-homogêneo{

ou tem solução únicaou não tem solução

sistema homogêneo tem k variáveis livres⇓


ou tem k variáveis livresou não tem solução

Voltaremos a estas questões ao falarmos de núcleo.


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Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz










SistemasLineares

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Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz










SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz

Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes

[1 2 42 5 9

]∼

[1 2 40 1 1

]∼

[1 0 20 1 1

]

[1 2 −12 5 −3

]∼

[1 2 −10 1 −1

]∼

[1 0 10 1 −1

]

[1 2 4 −12 5 9 −3

]∼

[1 2 4 −10 1 1 −1

]∼

[1 0 2 10 1 1 −1

]

Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.


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Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


[1 2 42 5 9

]∼

[1 2 40 1 1

]∼

[1 0 20 1 1

]

[1 2 −12 5 −3

]∼

[1 2 −10 1 −1

]∼

[1 0 10 1 −1

]

[1 2 4 −12 5 9 −3

]∼

[1 2 4 −10 1 1 −1

]∼

[1 0 2 10 1 1 −1

]



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Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


[1 2 42 5 9

]∼

[1 2 40 1 1

]∼

[1 0 20 1 1

]

[1 2 −12 5 −3

]∼

[1 2 −10 1 −1

]∼

[1 0 10 1 −1

]

[1 2 4 −12 5 9 −3

]∼

[1 2 4 −10 1 1 −1

]∼

[1 0 2 10 1 1 −1

]



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Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


[1 2 42 5 9

]∼

[1 2 40 1 1

]∼

[1 0 20 1 1

]

[1 2 −12 5 −3

]∼

[1 2 −10 1 −1

]∼

[1 0 10 1 −1

]

[1 2 4 −12 5 9 −3

]∼

[1 2 4 −10 1 1 −1

]∼

[1 0 2 10 1 1 −1

]



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Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


[1 2 42 5 9

]∼

[1 2 40 1 1

]∼

[1 0 20 1 1

]

[1 2 −12 5 −3

]∼

[1 2 −10 1 −1

]∼

[1 0 10 1 −1

]

[1 2 4 −12 5 9 −3

]∼

[1 2 4 −10 1 1 −1

]∼

[1 0 2 10 1 1 −1

]



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Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


[1 2 42 5 9

]∼

[1 2 40 1 1

]∼

[1 0 20 1 1

]

[1 2 −12 5 −3

]∼

[1 2 −10 1 −1

]∼

[1 0 10 1 −1

]

[1 2 4 −12 5 9 −3

]∼

[1 2 4 −10 1 1 −1

]∼

[1 0 2 10 1 1 −1

]



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Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


[1 2 42 5 9

]∼

[1 2 40 1 1

]∼

[1 0 20 1 1

]

[1 2 −12 5 −3

]∼

[1 2 −10 1 −1

]∼

[1 0 10 1 −1

]

[1 2 4 −12 5 9 −3

]∼

[1 2 4 −10 1 1 −1

]∼

[1 0 2 10 1 1 −1

]



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Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


[1 2 42 5 9

]∼

[1 2 40 1 1

]∼

[1 0 20 1 1

]

[1 2 −12 5 −3

]∼

[1 2 −10 1 −1

]∼

[1 0 10 1 −1

]

[1 2 4 −12 5 9 −3

]∼

[1 2 4 −10 1 1 −1

]∼

[1 0 2 10 1 1 −1

]



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Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


[1 2 42 5 9

]∼

[1 2 40 1 1

]∼

[1 0 20 1 1

]

[1 2 −12 5 −3

]∼

[1 2 −10 1 −1

]∼

[1 0 10 1 −1

]

[1 2 4 −12 5 9 −3

]∼

[1 2 4 −10 1 1 −1

]∼

[1 0 2 10 1 1 −1

]



SistemasLineares

Sobre o Curso


Definições

Geometria


Equivalência

Primeiro Exemplo

Plano de Ação

Forma Escalonada

Algoritmo

Exemplo Detalhado

Após Escalonamento


Mesma Matriz


[1 2 42 5 9

]∼

[1 2 40 1 1

]∼

[1 0 20 1 1

]

[1 2 −12 5 −3

]∼

[1 2 −10 1 −1

]∼

[1 0 10 1 −1

]

[1 2 4 −12 5 9 −3

]∼

[1 2 4 −10 1 1 −1

]∼

[1 0 2 10 1 1 −1

]



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