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UNIVERSIDAD AUTONOMADE SAN LUIS POTOSI
Facultad de Ciencias
Nudos en Sistemas Dinamicos.
TESIS
que para obtener el ttulo de
Licenciado en Matematicas
P R E S E N T A:
Claudio Alejandro Garca Grimaldo
Director de tesis:
Dr. Hugo Cabrera Ibarra.
Abril del 2015. San Luis Potos, S.L.P., Mexico
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Indice general
1. Objetivo 5
1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Preliminares 7
2.1. Teora de nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2. Nudos anfiqueirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3. Nudos dociles vs. nudos salvajes . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.4. Suma conexa de nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.5. Enlaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.6. Diagramas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.7. Invariantes de nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.8. Numero de enlace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Trenzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1. Presentacion de Bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3. Relacion entre nudos y trenzas . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. Sistemas dinamicos 25
3.1. Clasificacion de los sistemas dinamicos . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Existencia y unicidad de soluciones . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3. Estabilidad de los sistemas dinamicos . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4. Sistemas dinamicos para trenzas 29
4.1. Funciones C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2. Representacion
de trenzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 31
5. Solucion Numerica del Sistema Dinamico 33
5.1. Creacion de una cuerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2. Creacion de dos cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6. Sistema de EDOS para representacion de nudos 49
6.1. Representacion de un enlace doble . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7. Conclusiones 51
8.Bibliografa 51
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4 INDICE GENERAL
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Captulo 1
Objetivo
El objetivo principal de esta tesis es la construccion de un
sistema dinamico representado como un conjunto
de ecuaciones diferenciales ordinarias, las que para ciertas
condiciones iniciales tengan como solucion un nudo
en R3. Para resolver este sistema se usaran metodos numericos
implementados por medio del software Octave;dicha solucion se vera
de manera grafica como un nudo en R3. Se llevara a cabo esto ultimo
estableciendoprimero un sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias que contenga a alguna cuerda de una trenza. Despues
se obtendra un unico sistema de ecuaciones que sera usado para
construir un nuevo sistema dinamico definido
en todo R3 el cual bajo ciertas condiciones iniciales tendra
como solucion a una trenza. Por ultimo se buscaransoluciones
periodicas; esto con el fin de obtener la cerradura de una trenza
que sera equivalente a un nudo
en R3.Para obtener de forma explcita las ecuaciones
diferenciales que conformaran el sistema dinamico y en el cual
esten contenidas las trenzas, usaremos un tipo particular de
funciones, las cuales nos permitiran construir un
tubo-vecindad en cada cuerda que componga a la trenza de tal
suerte que se eviten intersecciones entre las
cuerdas que la conforman.
En la Figura 1.1 se puede observar la cerradura de una
trenza
Figura 1.1: Cerradura de una trenza
1.1. Introduccion
Como se menciono en la seccion anterior se pretende encontrar
una relacion entre los sistemas dinamicos y los
nudos, entonces la idea clave que permitira encontrar dicha
relacion es la siguiente:
Una orbita cerrada (periodica) descrita en un flujo
tridimensional es un embebimiento del crculo S1 dentro
de una 3-variedad el cual constituye el estado fase del sistema;
de esta manera las soluciones periodicas del
sistema dinamico pueden estar anudadas. Es ampliamente conocido
el hecho que un nudo puede ser expresado
5
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6 CAPITULO 1. OBJETIVO
en terminos de cerradura de trenzas; a partir de este hecho,
nuestro objetivo es expresar de forma general
y explcita trenzas por medio de un sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias en un intervalo de tiempo
finito, posteriormente al hacer la solucion periodica, dada una
condicion inicial particular obtendremos el nudo
deseado.
Para lograr el objetivo (representar trenzas por medio de un
sistema dinamico), se usaran funciones de clase
C (i.e funciones que son infinitamente diferenciables), las
cuales nos permitiran realizar el giro necesariopara que cada
componente de la trenza se exprese, como se muestra en la Figura
1.2.
Con esto se encontrara que cualquier trenza esta dada por la
ecuacion siguiente
Figura 1.2: Grafica de la funcion
x =i
fi(x, y, z)
y =i
gi(x, y, z)
z = c
Donde c es una constante y f g son funciones de clase C cuyo
valor es igual a 1 en algun intervalo (, a) ycon valor 0 en otro
intervalo (b,) , con a < b. Dado el conjunto de ecuaciones
diferenciales ordinarias men-cionadas anteriormente, se definira el
sistema dinamico como la suma sucesiva de funciones C (combinadasde
una manera adecuada dependiendo de la trenza que queramos
representar). Para poder expresar algun
nudo en terminos de cerradura de una trenza, en las siguientes
secciones se proporcionara un algoritmo que
nos posibilite cumplir la finalidad planteada. En el Captulo 4
describiremos la idea general de como lograr
un sistema dinamico que nos permita obtener trenzas; por ultimo
en la Captulo 5 y 6 se mostrara de manera
general como usar los tubos-vecindad para crear un solo sistema
dinamico, el cual exhibira por completo a la
trenza, la que se empleara para cerrar dichas trenzas y obtener
el nudo pretendido.
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Captulo 2
Preliminares
2.1. Teora de nudos
2.1.1. Definiciones basicas
En esta seccion abordaremos los conceptos elementales de la
teora de nudos, los cuales junto con los conceptos
de trenzas y sistemas dinamicos seran la base sobre la que se
desarrollara el tema de la presente tesis. Para
un estudio minucioso de estas definiciones se pueden consultar
la Seccion 3.1 y el Captulo 4.
Definicion. El subconjunto K R3 es un nudo si existe un
homeomorfismo del crculo unitario S1 en R3cuya imagen es K. Donde
S1 es el conjunto de puntos (x , y , 0) en el plano que satisface
la ecuacion x2+y2 = 1.
En la Figura 2.1 se puede ver ejemplos de nudos.
Figura 2.1: Ejemplos de nudos
El nudo mas sencillo es la circunferencia estandar S1 vista en
R3, es decir, el conjunto de puntos:
{(x, y, 0) R3 |x2 + y2 = 1}.A este nudo se le nombra el nudo
trivial, el cual carece de anudamientos (Figura 2.2).
Notese que en la definicion de nudo, mencionada en el primer
parrafo de este apartado, la cuestion no se reduce
a ver cuando dos nudos K1 y K2 son homeomorfos ya que todos son
homeomorfos a S1 y en consecuencia
homeomorfos entre s.
Con esto se puede observar que la propiedad de estar anudado, no
es una propiedad topologica intrnseca del
7
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8 CAPITULO 2. PRELIMINARES
Figura 2.2: El nudo trivial
espacio formado por los puntos del nudo, sino que mas bien se
relaciona a la forma en que este se encaja en
R3. Con base en esto daremos la definicion de cuando dos nudos
son similares.Definicion. Dos nudos K1 y K2 son semejantes si
existe un homeomorfismo
h : R3 R3 tal que h (K1) = K2.
Por ejemplo, en la Figura 2.3 los nudos (a) y (b) son
semejantes, as comolos nudos (c), (d), (e) y (f). Para
ver que (c) y (d) son semejantes, colocamos uno encima del otro
y ponemos un espejo en medio.
Sin embargo, la experiencia fsica nos dice que el trebol
dextrogiro y levogiro no son iguales, es decir, si los
Figura 2.3: Algunas equivalencias de nudos.
construimos con un pedazo de cuerda no podemos transformar uno
en el otro, unicamente podremos hacerlo
mediante el uso de un espejo. Esto nos dice que nuestra
definicion de nudos semejantes no corresponde con
la idea fsica que tenemos de que dos nudos sean iguales, por lo
que tenemos que buscar una definicion mas
adecuada. Veamos que es lo que falla en nuestra definicion de
semejanza. Todo homeomorfismo h de R3 ens mismo preserva la
orientacion o invierte la orientacion; h invierte la orientacion si
transforma una referencia
dextrogira (Figura 2.4) de R3 en una referencia levogira y
preserva la orientacion si la deja igual.El concepto fsico de
igualdad de nudos corresponde a mover continuamente un nudo en R3
hasta poder
obtener el otro, lo cual se lleva a cabo mediante
homeomorfismos. La definicion de semejanza no corresponde
al concepto fsico puesto que no se puede transformar una
referencia dextrogira en una levogira si se emplea
unicamente homeomorfismos que preserven la orientacion
(isotopas). Por lo tanto se necesita dar una nueva
definicion que este mas acorde con el concepto fsico de que dos
nudos son iguales.
Definicion. Dos nudos K1 y K2 son equivalentes si existe un
homeomorfismo h : R3 R3 que preserve la
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2.1. TEORIA DE NUDOS 9
Figura 2.4: Referencias dextrogira y levogira.
orientacion tal que h (K1) = K2. Tal equivalencia se denotara
por K1 = K2.
2.1.2. Nudos anfiqueirales
Dada la discusion anterior, la experiencia fsica nos dice que
los treboles dextrogiro y levogiro no son equi-
valentes, sin embargo existen nudos que s lo son a su imagen en
el espejo; un ejemplo de esto lo podemos
encontrar en elnudo 8, el nudo 8 dextrogiro se puede transformar
en el nudo 8 levogiro como el que se muestra
en la figura 2.5. Dado lo anterior damos la siguiente
definicion.
Definicion. Un nudo K es anfiqueiral si existe un homeomorfismo
que invierte la orientacion:
h : R3 R3 y que cumple que h(K) = K.
Figura 2.5: Equivalencia del nudo 8 dextrogiro y el nudo 8
levogiro.
2.1.3. Nudos dociles vs. nudos salvajes
En el presente trabajo de tesis se restringira el estudio a una
clase de nudos, los nudos dociles, los que
posteriormente se representaran mediante un sistema dinamico1. A
continuacion se otorga la definicion de esta
clase de nudos.
1Una definicion precisa sobre esto se desarrolla en en el
captulo 4
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10 CAPITULO 2. PRELIMINARES
Definicion. Un nudo poligonal es aquel formado por una union
finita de segmentos de recta llamados aristas
cuyos puntos extremos son los vertices del nudo. Un nudo es
docil si es equivalente a uno poligonal. Los nudos
que no son dociles se llaman salvajes.
Los ejemplos anteriores que se han presentado, son nudos
dociles, en la Figura 2.6 se da un ejemplo de lo que
es un nudo salvaje.
Figura 2.6: Ejemplo de un nudo salvaje
De este punto en adelante al momento de hablar de nudos se hara
referencia solo a nudos dociles.
2.1.4. Suma conexa de nudos
Dados dos nudos orientados K1 y K2 se puede definir una
operacion entre ellos que permita crear un nuevo
nudo, a este mecanismo se le nombrara la suma conexa de los
nudos K1 y K2, la que se denotara por
K1 #K2. Este nuevo nudo creado por medio de la suma conexa se
obtiene al suprimir un intervalo en cada
nudo presente en la suma conexa para despues insertarlos a lo
largo de este intervalo, de tal forma que las
orientaciones coincidan como lo muestra la Figura 2.7. Se dice
que un nudo es nudo primo si no puede
expresarse como K1 #K2 donde K1 y K2 son nudos no triviales.
Figura 2.7: Suma conexa de dos nudos
La suma conexa satisface las siguientes propiedades:
1. Esta bien definida salvo equivalencia,i.e. si K1 = K 1 y K2 =
K 2 entonces K1 #K2 = K 1 #K 2.2. Es asociativa, es decir cumple K1
#(K2 #K3) = (K1 #K2) #K3.3. Es conmutativa, i.e cumple que K1#K2 =
K2 #K1.
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2.1. TEORIA DE NUDOS 11
En la Figura 2.8 se muestra un ejemplo de la suma conexa de dos
nudos.
Figura 2.8: Manera en la que se lleva a cabo la suma conexa de
dos nudos.
2.1.5. Enlaces
Definicion. Un enlace es una coleccion ordenada finita de nudos
entre los cuales no hay interseccion alguna.
Cada nudo Ki se dice que es una componente del enlace. En la
Figura 2.9 se presentan ejemplos de enlaces.
Figura 2.9: Ejemplos de enlaces: en la Figura (a) se representan
los anillos de Boromeo: tres nudos enlazados,
en (b) el nudo trivial, es el unico nudo que compone al
enlace
As como existe una manera de saber si dados dos nudos, estos son
equivalentes entre s, para los enlaces
tambien existe una forma de saber si dos enlaces son
equivalentes.
Definicion. Dos enlaces L = {K1, K2, , Km} y L = {K 1, K 2, , K
n} son equivalentes si se satisfacenlas siguientes condiciones:
1. m = n, es decir, L y L tienen el mismo numero de
componentes.
2. Existe un homeomorfismo de R3 en s mismo que preserva la
orientacion que manda la coleccion K1 Km en la coleccion K 1 K
n.
2.1.6. Diagramas regulares
A un nudo generalmente lo especifica una proyeccion, de hecho
todos los ejemplos presentados son proyecciones
de los nudos correspondientes.Consideremos la proyeccion
paralela dada por
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12 CAPITULO 2. PRELIMINARES
: R3 R3 (x, y, z) = (x, y, 0).
Si K es un nudo (o enlace) diremos que (K) = K es la proyeccion
de K. Ademas, si K tiene asignada una
orientacion, K hereda la orientacion de forma natural, sin
embargo, K posee varios puntos de interseccion.
Un punto p de K es llamado punto de de cruce si la imagen
inversa 1(p) K contiene mas de un puntode K.
En general, K puede ser muy complicado en cuanto a numero y tipo
de puntos de cruce, no obstante es posible
que K sea equivalente a otro nudo cuya proyeccion sea simple.
Para un nudo poligonal, las proyecciones mas
simples son las de los nudos que estan en posicion regular.
Figura 2.10: Cruces en una proyeccion regular
Definicion. Un nudo (o enlace) esta en posicion regular si su
proyeccion satisface lo siguiente:
1. Los unicos puntos de cruce de K son dobles.
2. Ningun punto doble es la imagen de ningun vertice de K.
La segunda condicion asegura que todo punto doble represente a
uno solo de cruce como en la Figura 2.10;
los que son dobles como en 2.10(b) estan prohibidos puesto que
existe un vertice en un punto doble, lo cual
viola la condicion.
La proyeccion de un nudo en posicion regular se dice que es una
proyeccion regular. Dichas proyecciones
presentan un problema mas por resolver: En un punto doble de una
proyeccion regular no es claro si el nudo
pasa por arriba o por abajo de s mismo, para eliminar esta
ambiguedad cambiaremos un poco esta imagen
cerca de los puntos de cruce, se hace un esbozo con el afan de
que parezca cortada, indicando as que parte
pasa por abajo y cual por arriba. A lo dibujado de esta manera
le llamaremos diagrama regular del nudo
K.
En la figura 2.11 (a) se muestra como deber ser un diagrama
regular, (b) tambien lo es pero no representa al
mismos nudo de (a), (c) es una forma incorrecta de lo que sera
un diagrama regular.
2.1.7. Invariantes de nudos
Un mecanismo para determinar si dados dos nudos son o no
equivalentes entre ellos, es buscar alguna propiedad
de los nudos que se mantenga cuando los nudos se deformen y as
saber que dichos nudos no son equivalentes.
A esta propiedad se le conoce como invariante de nudos.
En general, un invariante de nudos es una condicion necesaria,
esto es:
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2.1. TEORIA DE NUDOS 13
Figura 2.11: En esta grafica solo (a) muestra un diagrama
regular del nudo trebol.
Si dos nudos son equivalentes entonces sus invariantes son
iguales.
La condicion de ser suficiente no siempre es cierta, es decir en
la mayora de los caso el recproco es falso.
Dicho lo anterior, si dos nudos son iguales en consecuencia sus
invariantes son iguales, o equivalentemente si
sus invariantes son distintos entonces los nudos no son iguales.
De esta manera encontrar invariantes de nudos
da una forma para saber si dos nudos no son equivalentes.
El primer ejemplo de invariante de nudos que se obtiene
inmediatamente de la equivalencia de enlaces, es
el numero de componentes; en el cual si dos enlaces tienen
distinto numero de componentes no pueden ser
equivalentes.
En la presente seccion se enunciaran algunos de los invariantes
mas usados en la teora de nudos.
Movidas de Reidemeister
Kurt Reidemeister en los anos 20s describio una serie de reglas
que permite pasar de un primer diagrama
regular a un segundo diagrama regular sin tener que fijarnos en
la transformacion del nudo original. Dichas
reglas se conocen como movidas de Reidemeister. Las movidas de
Reidemeister son una util herramienta
que permite, a traves del uso de diagramas regulares,
transformar dicho diagrama regular mediante isotopa
en otro nudo equivalente en posicion regular K.
Las movidas de Reidemeister son tres y se conocen como del tipo
I, tipo II y tipo III, y se describen como en
la Figura 2.12.
Reidemeister demostro que dos nudos (o enlaces) pueden ser
deformados uno en el otro si y solo si sus
diagramas regulares pueden transformarse, usando una sucesion
finita de movidas de los tres tipos descritos
en la figura anterior2.
En la Figura 2.13 se presenta un ejemplo de como a traves de
movidas de Reidemeister el primer nudo que se
presenta, es equivalente al nudo trebol.
Numero mnimo de cruces
Dado un diagrama regular D de un nudo K el numero de puntos de
cruce es finito, a pesar de que este numero
de cruces no determina un invariante de nudos (considere el
ejemplo de la Figura 2.14), en cambio se pueden
2Una demostracion de este hecho se puede encontrar en [2]
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14 CAPITULO 2. PRELIMINARES
Figura 2.12: Movidas de Reidemeister.
Figura 2.13: Equivalencia de nudos mediante movidas de
Reidemeister.
considerar todos los diagramas regulares del nudo K y denotar
como c (K) el numero mnimo de puntos de
cruce de la coleccion de todos los diagramas de K,
c (K) = min c(D).
Donde D es conjunto de todos los diagramas regulares del nudo K.
En este caso, claramente c (K) es un
invariante del nudo K.
2.1.8. Numero de enlace
A continuacion se vera un invariante para enlaces orientados
denominado como el numero de enlace,
que pretende medir que tanto dos curvas se enredan una en la
otra. En este invariante se asignara el valor +1
o 1 a los puntos de cruce de un diagrama regular orientado con
lo que podemos definir la nocion de cruceorientado. Una muestra de
estos cruces se puede ver en la Figura 2.15.
Definicion. Sea D el diagrama regular de un enlace con dos
componentes L = {K1, K2 }. Sea K1 u K2el conjunto de los puntos de
cruce del diagrama D en donde las imagenes proyectadas de K1 y K2
tienen
interseccion no vaca. Vease que K1uK2 no contiene a los puntos
de cruce de las proyecciones de K1 y K2 que
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2.1. TEORIA DE NUDOS 15
Figura 2.14: Equivalencia de dos nudos triviales por medio de
movidas de Reidemeister
Figura 2.15: Diagrama regular de cruces orientados
tienen puntos de auto-interseccion de las componentes del nudo.
Se define entonces el numero de enlace de
K1 y K2 por la siguiente ecuacion:
lk (K1, K2) =1
2
pK1uK2
sign(p). (2.1)
Se denota como K2 la componente K2 del enlace L = lk(K1,K2). Con
esto se tiene que el numero deenlace depende de la orientacion del
diagrama D.
Numero de Coloracion
Definicion. Sea D el diagrama regular de un nudo ( o enlace) K.
Se dice que el diagrama D del nudo es
tricoloreable si al colorear los arcos de D con tres colores
distintos ( por ejemplo: rojo,amarillo, naranja), se
tiene que en cada uno de los puntos de cruce, se cumple:
1. Estan presentes los tres colores mencionados
anteriormente.
2. Aparece solo un color de los citados.
Dado un nudo K, tal que, existe un diagrama regular de K que sea
tricoloreable,se puede probar que si se
cumple que todo diagrama regular de cualquier otro nudo tambien
lo es, entonces se tiene que ambos nudos
son tricoloreables. Esta propiedad es un invariante de nudos.
[2]
Como ejemplo de un nudo tricoloreable tomemos el nudo trebol y
representemos su diagrama en la Figura
2.16.
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16 CAPITULO 2. PRELIMINARES
Figura 2.16: El nudo trebol a la izquuierda de la grafica es
tricoloreable, a la derecha el nudo ocho no es
tricoloreable, se necesitan 4 colores distintos para
colorearlo
Como se puede observar el nudo trebol es tricoloreable, en la
Figura 2.16 se representa el diagrama regular
del nudo 8 el cual no lo es, al ser esta propiedad un invariante
de nudos, se tiene que dichos nudos no son
equivalentes.
2.2. Trenzas
A lo largo de esta seccion se daran los conceptos basicos de la
Teora de Trenzas.
Definicion.Considerese un cubo B en R3. En la cara superior del
cubo B, tomese n puntos A1, A2, , Any los siguientes puntos A1,
A
2, , An en la cara inferior del cubo B, como se muestra en la
Figura 2.17.
Se define una n-trenza como la coleccion de cuerdas no anudadas
tal que cada una inicia y baja en al-
Figura 2.17: Grafica de la reprsentacion de una n-trenza dentro
de un cubo
guno de los puntos A1, A2, , An, de la cara superior y finaliza
cada una de las cuerdas en algun puntoA1, A
2, , An de la cara inferior del cubo B. Se considera que dos
trenzas son equivalentes si una puede ser
deformada en la otra a traves de isotopas que fijan los puntos
extremos de las cuerdas.
As como los nudos se pueden representar por diagramas regulares,
similarmente se consigue obtener el de una
trenza. El procedimiento para representar una trenza por medio
de un diagrama regular es el siguiente:
Los puntos A1, A2, , An se unen de forma directa por segmentos
de lneas a los puntos A1, A2, , An.De esta forma se obtiene una
trenza particular, llamada la n-trenza trivial,la que se puede ver
en la Figura
2.18.
Si se supone que para una n trenza se conectan las cuerdas como
sigue: A1 con Ai1 , A2 con Ai2 , , Ancon Ain . Entonces podemos
asignar a la trenza la permutacion:
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2.2. TRENZAS 17
Figura 2.18: Representacion en un diagrama regular de la
n-trenza trivial
(1 2 ni1 i2 in
)
A esta permutacion la llamaremos la permutacion de la trenza
.
Se puede observar que la permutacion de la n-trenza trivial es
la permutacion identidad. Sea Bn el conjunto
de todas las clases de equivalencia de las n-trenzas. Si se
toman dos elementos y del conjunto Bn, se puede
definir el producto de dos n-trenzas y . La manera de llevar a
cabo esto es la que se describe a continuacion:
Se une la base del cubo que contiene a la trenza con la cara
superior del cubo que contiene al trenza , de
esta forma se obtiene un paraleleppedo que contiene una nueva
trenza, la que se nombrara como el producto
de las trenzas y , y se denota dicho producto como , vease la
Figura 2.19. En general el producto no es
conmutativo, es decir no se cumple que = .
Figura 2.19: Producto de dos trenzas
Bajo este producto el conjunto Bn de trenzas adquiere estructura
de grupo. Con la ayuda de los diagramas de
trenzas podemos verificar que el grupo es asociativo, el
elemento neutro esta dado por la n- trenza trivial, la
cual se denota por e. Si consideramos la base del cubo que
contiene a la trenza como una espejo, entonces
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18 CAPITULO 2. PRELIMINARES
el reflejo de en dicho espejo sera el inverso de , esto es 1 se
observara como en la Figura 2.20.
Figura 2.20: Producto de una trenza por su inverso
Se verifica con estas propiedades que para todo elemento existe
un elemento 1 tal que
, 1 que 1 = e = 1.
El grupo que conforma a Bn, sera llamado el grupo de
n-trenzas.
2.2.1. Presentacion de Bn
Muchas veces es mas facil definir a un grupo mediante algunos de
sus elementos llamados generadores y algunas
relaciones entre ellos. Para que el concepto quede mas claro,
veamos un ejemplo.
Sea G el grupo formado por el conjunto 1, a, b y la
multiplicacion dada por la tabla de la Figura 2.21.
Figura 2.21: Tabla de los elementos 1, a, b
La tabla anterior, tiene 9 entradas, pero usando el hecho
(obtenido de la entrada de en medio) que b = a2,
podemos reducir la informacion necesaria para determinar el
grupo diciendo que los elementos del grupo son
1, a y a2 y el hecho de que a3 = 1. As, el grupo en cuestion es
descrito mas eficientemente si notamos que
el elemento a genera al grupo, que la ecuacion a3 = 1 es
satisfecha y que ninguna de las ecuaciones a2 = 1
o a = 1 se cumple. Lo anterior, se denomina una presentacion del
grupo G, dada por el generador a y la
relacion a3 = 1 y esto se denota por
a|a3 = 1.
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2.2. TRENZAS 19
En general, una presentacion consta de un conjunto de
generadores x = {x1, x2, . . .}y un conjunto de relacionesr = {r1,
r2, . . .} denotados por
x|r
.
A las combinaciones posibles de los elementos de r, se les llama
la consecuencia de r. Por ejemplo, si tenemos
las relaciones r = a3 = 1 , b = a2 entonces ba = 1 es una
consecuencia de r.
Un grupo puede tener muchas presentaciones diferentes y una
cuestion importante al respecto es saber cuando
dos presentaciones diferentes corresponden al mismo grupo.
Definicion. Decimos que dos presentaciones son equivalentes si
corresponden a grupos isomorfos.
Veamos ahora como es la estructura del grupo de trenzas. En
primer lugar el grupo de 1-trenzas B1 contiene
solamente un elemento: la 1-trenza trivial. Por lo tanto B1 = e.
Para n 2, los grupos Bn son de ordeninfinito, es decir, tienen un
numero no finito de elementos. A pesar de esto, existe una manera
muy facil de
describir los elementos de Bn dando una presentacion.
Como vimos en el inicio de esta seccion, para dar una
presentacion, necesitamos dar la lista de generadores y
las relaciones que satisfacen.
El grupo de n-trenzas Bn tiene n 1 generadores denotados por i(i
= 1, . . . , n 1) dados de la siguientemanera: El generador i es la
trenza que conecta a Ai con A
i+1, a Ai+1 con A
i (este segundo cruza por
arriba) y conecta los restantes Aj con Aj mediante lineas
rectas. En la Figura 2.22 se muestra el diagrama del
generador i y su inverso.
Al multiplicar dichos generadores se obtienen elementos del
grupo de trenzas. Recprocamente, todo elemento
Figura 2.22: Diagrama regular de (a) i y (b) 1i
de Bn se expresa como producto de los generadores i y sus
inversos 1i . Para ver esto, dividimos el diagrama
regular de una trenza a traves de lineas horizontales paralelas,
de tal manera que en cada rectangulo que
obtengamos quede unicamente un punto de cruce. Si dos puntos de
cruce estan al mismo nivel, luego si se
mueve uno de ellos un poco hacia arriba y el otro hacia abajo
podemos eliminar este problema.
Como un ejemplo, en la Figura 2.23 se muestra que la trenza esta
dada por 13 12312 .
Es as que se observa como las n-trenzas i generan al grupo Bn.
En el caso de B2, tenemos que hay un solo
generador 1 y por lo tanto, todo elemento de B2 es una potencia
de 1 o de su inverso 11 . Por consiguiente
B2 es un grupo cclico infinito, es decir, es isomorfo al grupo
de los numeros enteros Z, donde el elemento m1
-
20 CAPITULO 2. PRELIMINARES
Figura 2.23: La trenza como producto de los i
corresponde al entero m. Intuitivamente esto corresponde a que
la trenza se tuerza m veces hacia la izquierda
si m es positivo o a la derecha si m es negativo.
Cuando n 3 la descripcion algebraica de un elemento de Bn como
producto de las i no es unico. Porejemplo las 4-trenzas 13 y 31 son
equivalentes ( vease la Figura 2.24). En consecuencia, en el grupo
de
4-trenzas, B4, se satisface la relacion 13 = 31.
Ademas, las 4-trenzas 121 y 212 tambien son equivalentes como lo
muestra la Figura 2.25. De ah que
Figura 2.24: Equivalencia entre trezas
tambien se cumple la relacion: 121 = 212 La igualdad tambien se
cumple si consideramos n-trenzas
en general (n 3), las cuales son llamadas relaciones de trenzas
del grupo Bn. De hecho, si dos n-trenzas sonequivalentes se
transforma una en la otra usando varias veces estas igualdades. Con
lo anteiror tenemos que
la presentacion de Bn esta dada por:
Bn =
1, . . . , n1 | 1j = j1 (|i j| 2)
ii+1i = i+1ii+1 (i = 1, 2, . . . , n 2)
2.3. Relacion entre nudos y trenzas
Como mencionamos en la introduccion queremos expresar nudos en
terminos de trenzas, lo cual se llevara a cabo
representando el nudo a traves de la clausura de una trenza.
Para conseguirlo, se definira un sistema dinamico, el
cual tenga como solucion un campo vectorial periodico, el que
para condiciones iniciales particulares tendra una
orbita periodica como solucion, la cual contiene el nudo
deseado. Se validara la construccion anterior, usando
-
2.3. RELACION ENTRE NUDOS Y TRENZAS 21
Figura 2.25: Relaciones en B4
el Teorema de Alexander, donde se muestra que dado cualquier
nudo existe una algoritmo que nos permite
expresarlo como la cerradura de una trenza.
Consideremos una n-trenza y conectemos, respectivamente, los n
puntos A1, . . . , An de la tapa superior del
cuadrado donde esta la trenza, con los puntos A1, . . . , An de
la base del cuadrado, pero esta vez, mediante
arcos paralelos que estan fuera del cuadrado, como se muestra en
la Figura 2.26.
Obtenemos de esta manera el diagrama regular de un nudo o
enlace, al cual decimos que es la cerradura de
Figura 2.26: La cerradura de una trenza
la trenza. Usualmente se le asigna una orientacion a cada cuerda
de la trenza que comienza desde el punto Ai
y se mueve hacia abajo dentro del cubo de la trenza. Es por esto
que a partir de cualquier trenza podemos
obtener un nudo o enlace orientado cerrando la trenza. El
recproco tambien es cierto y es conocido como el
Teorema de Alexander.
Teorema 1. Dado un nudo (orientado) K arbitrario, entonces es
equivalente (con orientacion) a algunnudo que se ha obtenido a
partir de una tranza.
Prueba:
Suponga que D es un diagrama regular orientable de un nudo K. Se
lleva a cabo un corte a D en algun punto
-
22 CAPITULO 2. PRELIMINARES
(pero no en un punto de cruce). Jalemos las partes finales este
corte, de tal manera que se obtenga ahora un
diagrama regular de T (1, 1) ovillo. Vease la Figura 2.27.Se
demuestra a continuacion la manera de transformar este ovillo en
una trenza . Notese primero, que el
Figura 2.27: Diagrama regular del nudo
nudo que se obtiene al realizar la cerradura del ovillo K en el
diagrama anterior es equivalente a K.
Si el T (1, 1) ovillo tiene un maximo local m, entonces tiene un
mnimo local. Si m = 0, entonces T es unatrenza, y la prueba ha
finalizado. As que supongamos que m > 0, por lo tanto existe un
arco ab en T tal que
se conecta un mnimo local a con un maximo local b. Vease la
Figura 2.28 (a).
Ademas supongase que ab tiene interseccion con otras partes del
ovillo en n lugares. Se marca n+ 1 puntos
Figura 2.28: Arco en un segmento del ovillo
en el arco ab, i.e., a = a0, a1, . . . , an = b tal que el arco
ai, ai+1 tenga interseccion en un solo punto con el
ovillo K, como se observa en Figura 2,28(a).
A continuacion se reemplaza el arco a0, a1 por el arco a0P1P1a1.
Vease Figura 2.28 (b). El arco(mas largo)
P1P1 vive fuera del ovilloK y los arcos a0P
1 y a1P1 son seleccionados de tal forma que si a0a1 pasa por
debajo(o arriba) de otro segmento, entonces los arcos a0P1 y
a1P1 tambien pasen por abajo (o por arriba) de
todos los otros segmentos. El resultado de las manipulaciones
descritas anteriormente seran un 2 ovillo.Se sigue inmediatamente
que el nudo (orientado) obtenido al unir (fuera del cuadrado) los 4
puntos de este
2 ovillo por medio de curvas es equivalente al nudo original. Al
emplear el mismo metodo con respecto de
-
2.3. RELACION ENTRE NUDOS Y TRENZAS 23
los arcos a1a2, . . . , an1an, eventualmente se formara un (n +
1, n 1) ovilloK que no tiene un maximo,ni un mnimo local en a y b
respectivamente y por lo tanto habra a lo mas m 1 maximos y mnimos
locales.De esta forma al continuar con este mismo proceso con el
resto de los m 1 maximos y mnimos locales, sellegara a un T ovillo
que no tiene maximos y mnimos locales. Este T ovillo sera nuestra T
trenzabuscada.
Ejemplo. La Figura 2.29 (a) (d)muestra la manera de realizar el
procedimiento descrito en el Teorema deAlexander.
Se tiene que si dos trenzas son equivalentes, por consiguiente
sus respectivas cerraduras seran equivalentes
Figura 2.29: Uso del teorema de Alexander para pasar de un nudo
a un trenza.
como nudos o enlaces. Sin embargo es posible obtener nudos (o
enlaces) equivalentes a partir de dos trenzas que
no lo son. Un ejemplo de ello esta dado por la trenza trivial e
B1 y el generador 1 B2, cuyas cerradurasnos dan el nudo trivial, a
pesar de que la primera es una 1-trenza y la segunda una 2-trenza,
de ah que no
son equivalentes. De donde se infiere que, si se pretende
aplicar la teora de trenzas a la teora de nudos, se
debe explicar claramente cual es la clase de trenzas cuya
cerraduras nos dan nudos equivalentes. Para ello
introduciremos el concepto de M-equivalencia y los movimientos
de Markov.
Definicion. Sea B la union de los grupos B1, B2, . . . , Bn, . .
. , es decir,
B =k1
Bk
Se Puede aplicar en B las siguientes operaciones llamadas
movimientos de Markov:
1. Si es un elemento del grupo de trenzas Bn, entonces M1 es la
operacion que transforma a en la
n-trenza 1, donde es algun elemento de Bn, vease la Figura 2.30
(a). Se dice que el elemento1 es el conjugado de .
2. La operacion M2 es la que transforma a una n-trenza en alguna
de las dos (n+1)-trenzas n o 1n
donde n es el generador de Bn+1, vease la Figura 2.30 (b).
-
24 CAPITULO 2. PRELIMINARES
Figura 2.30: Movimientos de Markov
Definicion. Sean y dos elementos de B. Si se puede transformar
en aplicandose los movimientos deMarkov M1 y M2 y sus inversos
M
11 y M
12 un numero finito de veces, entonces se dice que es Markov
equivalente (o simplemente M-equivalente) a y se denota por .El
siguiente Teorema muestra que la M-equivalencia es el concepto
fundamental que conecta a los nudos y a
las trenzas.
(Teorema de Markov). Sean K1 y K2 dos nudos (o enlaces)
orientados, los cuales pueden ser formados a
partir de las trenzas 1 y 2 respectivamente, entonces:
K1 = K2 1 2.
Se tiene por el Teorema de Markov que un nudo (o enlace) K se
puede obtener como la cerradura de un
numero infinito de trenzas. Dentro de este conjunto de trenzas
existe una trenza con el mnimo numero de
cuerdas. La trenza es llamada la trenza mnima de K y el numero
de cuerdas de es el ndice de trenza
de K y es denotado por b(K) y es un invariante de nudos.
-
Captulo 3
Sistemas dinamicos
Los sistemas dinamicos son sistemas cuyos parametros internos
(variables de estado) siguen una serie de reglas
temporales. Se denominan sistemas porque estan descritos por un
conjunto de ecuaciones (sistema) y dinamicos
ya que sus parametros varan con respecto a alguna variable t,
que generalmente es el tiempo. El estudio de
los sistemas dinamicos puede dividirse en 3 areas:
1. Dinamica aplicada: modelado de procesos por medio de
ecuaciones de estado que relacionan estados
pasados con estados futuros.
2. Matematicas de la dinamica: se enfoca en el analisis
cualitativo del modelo dinamico.
3. Dinamica experimental: experimentos en laboratorio,
simulaciones en computadora de modelos dinami-
cos.
En este trabajo se enfocara en el estudio de las matematicas de
la dinamica.
3.1. Clasificacion de los sistemas dinamicos
Los sistemas dinamicos se dividen en dos clases: aquellos en los
que el tiempo vara continuamente y en los que
transcurre discretamente. Los sistemas dinamicos continuos:
Llamados as porque la variable independiente
t cambia de manera continua. Se expresan con ecuaciones
diferenciales, las que pueden ser ordinarias, en
derivadas parciales y ecuaciones diferenciales con retrasos. Por
otro lado si la variable independiente t, donde
t es el tiempo, es discreto los sistemas se reflejan por medio
de ecuaciones de diferencias, tambien conocidas
como mapas iterados. Un sistema dinamico continuo n-dimensional
se puede representar por la ecuacion:
x = F (x).
donde x = [x1, x2, , xn] es un vector en Rn y x = d([x1, x2, ,
xn])dt
.
Un sistema dinamico visto como un sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias puede ser de dos categoras:
1. Sistema dinamico autonomo. El sistema se representa por una
sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias autonoma ,de la formadx
dt= f(x) en el cual la variable t, no aparece de manera
explcita.
Un ejemplo de un sistema autonomo es el siguiente,
x = ax donde x R y a es una constante que toma valores en R. En
este ejemplo, en la parte derechade la igualdad, la variable
independiente no esta presente, razon por la cual es un sistema
dinamico
autonomo.
25
-
26 CAPITULO 3. SISTEMAS DINAMICOS
2. Sistema dinamico no autonomo. Es un sistema donde la variable
t aparece de forma explcita en
el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias comodx
dt= f(x, t)donde x U Rn y t R. Como
ejemplo se muestra el siguiente sistema de 2 ecuaciones
diferenciales ordinarias:
x = 2xt
y = 3x+ y
3.2. Existencia y unicidad de soluciones
A continuacion, se daran algunos resultados basicos relativos a
la existencia y unicidad de sistemas dinamicos
(o de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, si
se prefiere). Para ello, se considera un sistema de
ecuaciones no autonomo:
x = f(t, x). (3.1)
donde f(t, x) es continua y lipschitziana en algun abierto U R
Rn.En el presente trabajo se usan funciones de clase C; en el
siguiente par de proposiciones veremos que dichasfunciones cumplen
ser Lipschitz y de esta manera poder usar los teoremas de
existencia y unicidad que se
describen posteriormente.
Proposicion. Cualquier funcion con derivada acotada es Lipschitz
continua. Sea X un intervalo y sea f :
X R una funcion continua en X, derivable en int(X) y tal que su
derivada es acotada. Entonces f esLipschitz continua en X.
Demostracion. Supongamos que existe M 0 tal que
|f (x)| M (3.2)
En seguida se demostrara que f es Lipschitz continua en X y que
M es un coeficiente de Lipschitz para f en
X. Sean x1, x2 X. Hay tres casos: x1 < x2, x1 = x2 y x1 >
x2. Primero se considera el caso x1 < x2.Aplicando el teorema
del valor intermedio a la funcion f en el intervalo [x1, x2],
existe un punto c (x1, x2) talque f(x2)f(x1) = f (c)(x2x1). Notemos
que c (x1, x2) int(X). Sacando el valor absoluto y aplicandola
hipotesis (3.2) obtenemos que |f(x2) f(x1)| = | f (c)|| (x2 x1)| M
|(x2 x1)|. El caso (x1 > x2) seconsidera de manera similar (solo
se intercambian los papeles de x1 y x2), y en el caso x1 = x2
tenemos que
|f(x2) f(x1| = 0 = M |x2 x1|. Proposicion. Cualquier funcion
continuamente diferenciable en un intervalo finito cerrado es
Lipschitz con-
tinua. Sea f C1 en [a, b], esto es, f es derivable en [a, b] y f
es continua en [a, b]. Entonces f es Lipschitzcontinua en [a,
b].
Demostracion. Se sabe que una funcion continua en un intervalo
finito y cerrado es acotada. Por consecuen-
cia, f es acotada, y podemos aplicar la proposicion anterior.
Una vez establecidas las dos proposiciones anteriores, se procede
ha enunciar los siguientes teoremas.
Teorema 1. Sea (t0, x0) U . Entonces existe una solucion de
(3.1) que pasa por el punto x0 en t = t0,denotada por x(t, t0, c0),
con | t t0| suficientemente pequeno. Esta solucion es unica en el
sentido de quecualquier otra solucion de (3.1) que pase por x0 en t
= t0 debe ser igual a x(t, t0, x0) en su intervalo de
definicion en comun.
En otros terminos, las orbitas de X coinciden o son disjuntas.
Esto es, el abierto U se puede descomponer en
una union disjunta de curvas diferenciables, pudiendo cada una
de ellas ser:
-
3.3. ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DINAMICOS 27
a) Imagen biunvoca de un intervalo de R,b) Un punto, o
c) Difeomorfa a un crculo.
Demostracion Teorema 1. El resultado es consecuencia directa del
Teorema de Picard, ver [8]. El Teorema 1 solo garantiza existencia
y unicidad para intervalos de tiempo suficientemente pequenos.
El
siguiente resultado nos permite extender a aquellos intervalos
de existencia de las soluciones.
Teorema 2. Sea C U R Rn, donde C es un abierto. Entonces la
solucion x(t, t0, x0) puede ser extendidaunvocamente (en sentido
positivo y negativo) en t hasta la frontera de C.
Demostracion Teorema 2 Ver [8] .
3.3. Estabilidad de los sistemas dinamicos
Para visualizar el comportamiento de las variables de estado de
un sistema dinamico se puede hacer en forma de
serie de tiempo (grafica de una variable de estado vs. tiempo),
o en forma de espacio fase. El espacio fase de un
sistema n-dimensional x = F (x) es el lugar donde todos los
posibles estados de un sistema son representados,
cada variable dependiente del sistema se representa como un eje
de un espacio multidimensional y cada punto
equivale a cada posible estado de las variables del mismo. En
este tipo de representacion el tiempo se vuelve
un parametro implcito.
El espacio fase esta descrito por un campo vectorial. Un campo
vectorial en Rn es una funcion que asignaa cada punto en Rn un
vector n-dimensional.Se dice que una singularidad (puntos, ciclos o
subconjuntos del espacio fase) del espacio fase es estable,
sumidero o atractor si toda trayectoria que comienza cerca de
ella se aproxima a tal singularidad conforme el
tiempo transcurre. De hecho si dicha region atrae a todas las
trayectorias del espacio fase, recibe el nombre
de atractor global.
Una singularidad del espacio fase es Liapunov-estable si todas
las trayectorias que comienzan suficientemente
cercanas a ella se mantienen cercanas a esta durante todo el
tiempo.
Por ultimo, una singularidad es inestable, repulsor o fuente
cuando no es ni atractor ni Lyapunov-estable, es
decir, las trayectorias que inician cercanas a ella divergen
conforme pasa el tiempo.
Las singularidades x para las cuales x = F (x) = 0 son llamadas
puntos fijos o crticos; en estos puntos el
campo vectorial que determina la direccion de las trayectorias
en el espacio fase es nulo.
-
28 CAPITULO 3. SISTEMAS DINAMICOS
-
Captulo 4
Sistemas dinamicos para trenzas
La finalidad de este captulo es establecer un conjunto de
sistemas dinamicos los cuales contendran como
solucion a alguna trenza, en la que la clausura sea equivalente
a algun nudo (como se establecio en el teorema
de Alexander). Las soluciones del sistema dinamico seran
representadas en el espacio R3. La idea clave esmediante sistemas
dinamicos definir el comportamiento de las cuerdas y de esta manera
describir a una
determinada trenza.
4.1. Funciones C
En esta seccion se dara la construccion de una funcion de clase
C, la que posteriormente se usara a lo largode este y los
siguientes captulos para fabricar un sistema dinamico particular.
Para esto se hace uso de las
definiciones que se enuncian enseguida.
Definicion. Una transformacion diferenciable : O O se llama un
difeomorfismo de O en O si esdiferenciable,uno a uno, sobreyectiva
y su transformacion inversa 1 es diferenciable.Lema. Si A y B son
dos subconjuntos disjuntos de Rm, entonces existe una funcion
infinitamente diferenciable la cual es identicamente 1 en el
conjunto A y 0 en el conjunto B.
Se exhibe a continuacion una funcion que cumpla las
caractersticas enunciadas en el lema anterior:
Dados a, b R, tal que 0 < a < b, tomese el conjunto A = (,
a) y el conjunto B = (b,). Ademas seconsidera la siguiente funcion
f en R como sigue:
f(x) =
exp(
1
x b 1
x a)
si a < x < b
0 otro caso(4.1)
Entonces f es infinitamente diferenciable.
Demostracion. Puesto que f(t) = 0 si t < a o si t > b se
tiene por lo tanto que fk(t) = 0, y fk(t) es
de clase C en estos puntos del dominio de la funcion. Ahora
cuando a < t < b, la funcion es infinitamente
diferenciable puesto que f(t) se puede escribir como composicion
de funciones h(t) =b a
(t b)(t a) ; t 6= a 6= by g(t) = exp(t), ambas funciones
infinitamente diferenciables y por ende f(t) = g(h(t)) tambien lo
es. Resta
ver que f es continua e infinitamente diferenciable en los
puntos t = a y t = b. En las siguientes lneas se
presenta la prueba de que esto se cumple cuando t = a ; la
demostracion de cuando t = b es similar.
i) Continuidad de f en t = a. lmta+
f(t) = lmta+
exp
(b a
(t b)(t a))
29
-
30 CAPITULO 4. SISTEMAS DINAMICOS PARA TRENZAS
Puesto que a < t < b entonces t a > 0 y t b < 0, de
este modo lmta+
(t b)(t a) = 0 y se tiene
lmta+
exp
(b a
(t b)(t a))
= 0 entonces lmta+
f(t) = lmta
f(t) = f(a) = 0 entonces f es continua en t = a.
ii) lmtaf(t) = 0
Cuando a < t < b se tiene que f(t) = exp
(1
(t b) 1
(t a))
= exp
(b a
(t b)(t a))
. Sea u(t) =
(t b)(t a) se tiene en consecuencia que f(t) = exp(
r
u(t)
)donde r = b a.
Entonces dudt = 2t (a+ b) = 2t c con c = a+ b con lo qued
dt( ru ) =
r
u2(2t c) = (2rt rc)u2 en con-
secuencia f = (2rt rc)u2exp( ru ) por lo tanto f = p1t u2exp( ru
), donde p1(t) = (2rt rc), r, c Res un polinomio en t con subndice
1 en p1(t) correspondiente al orden de la derivada en f
(t).Dado lo anterior, se tiene que:
f (t) = ( p1(t)u2 + (2c 4t) p1(t)u 4r p1(t))(u4 exp( ru ) =
p2(t)u4exp(dfracru), donde p2(t) es un polino-
mio en t con subndice 2 que corresponde al orden de f
(t).Supongase que esto es valido para n = k 1, i.efk1(t) =
pk1(t)u2(k1)exp( ru ) por lo que f
k(t) = ( pk(t)u2 + (2c 4t) pk(t)u 4r pk(t))(u2k exp( ru ) =
pk(t)u2kexp( ru ), donde pk(t) es un polinomio con el subndice k
correspondiente al orden de f
k(t). Con lo
que se prueba que tambien es valido para n = k.
Consecuentemente k N se tiene que lmta+
fk(t) = lmta+
(pk(t)u2kexp(
r
u) = pk(a) 0 ( por la regla de
LHospital: u2kexp( ru ) 0 cuando t a).Por otro lado tenemos que
lm
tafk(t) = 0 lm
tafk(t) = lm
ta+fk(t)lm
taf(t) = 0.
Por ultimo se prueba que fk(a) existe y es igual a cero para
todo k N.
La demostracion se hara por induccion. Notese que f(a) =
lmta
f(t) f(a)t a = lmta
f(t)
t a =exp
(r
(t b)(t a))
t a =0.
Supongase que esto valido para n = k
Entonces fk+1(a) = lmta
fk(t) fk(a)t a = lmta
fk(t)
t a = lmta1
t a pk(t)u2kexp(
r
u) = 0 con lo que se sigue
quef es infinitamente diferenciable.
Usando la funcion f , se fabrica la siguiente funcion:
F (x) =
bxf(t)dt b
af(t)dt
La cual toma el valor de 1 para todo x R tal que x a y 0 para x
b. Esta funcion tambien es de claseC. Esto como consecuencia del
teorema fundamental del calculo (TFC), puesto que si
F (x) =
bxf(t)dt b
af(t)dt
= por el TFC se tiene que F existe y cumple
F (t) =f(t) b
af(t)dt
, como f(t) es continua, se deduce que F existe y es continua;
inductivamente se tiene que
F k existe y es continua para todo k en los naturales, esto a
causa del TFM y lo demostrado anteriormente.
Con todo lo anterior,se implementa la funcion en Rm como:
(x1 , xm) = F (x21 + + x2m). (4.2)
-
4.2. REPRESENTACION DE TRENZAS 31
Donde se tiene que es diferenciable y toma el valor de 1 para
x21 + + x2m a y 0 para x21 + + x2m b,que de manera abreviada y
haciendo abuso de notacion se escribira como (x; a, b).
4.2. Representacion de trenzas
En esta seccion se pretende encontrar un sistema dinamico el
cual contendra a alguna trenza, la que sera ob-
tenida a traves del teorema de Alexander a partir de algun nudo
dado. Usando el sistema coordenado de la
Figura 4.1 se puede observar que una trenza esta compuesta por
diversas cuerdas, cada una de las cuales
presenta al menos un giro en una cierta franja vertical ( en un
intervalo de la coordenada z). Por lo tanto si se
puede encontrar un sistema dinamico que represente este giro,
entonces solo bastara repetir el proceso para
conseguir el numero apropiado de giros que componen a la
trenza.
El sistema de ecuaciones diferenciales que se establece de forma
general para cada cuerda es el siguiente:
dx
dt= G1(x, y, t)
dy
dt= G2(x, y, t)
dz
dt= G3(x, y, t)
Donde G1, G2 , G3 son funciones de x, y, t. En el caso de G3 se
tomara como un valor constante de c = 1.
A continuacion se detalla la manera de como obtener el sistema
de ecuaciones diferenciales, estableciendo
Figura 4.1: Representacion de una cuerda
quienes seran G1 y G2, cada una como combinacion de suma y resta
de funciones de clase C. Despues deestudiar el comportamiento de x
respecto de t, se tiene que:
x = (t; a, b) (t; b, c) a < b < c; a, b, c R (4.3)
Esto ultimo permite obtener un giro en la cuerda, de tal forma
que en el plano xz exista una trayectoria
descendente, como se observa en la Figura 4.2 (en la cual el
tiempo va de 2 < t < 3 ).
Si se quiere obtener un comportamiento ascendente, la ecuacion
para x es:
x = (t; b, c) (t; a, b) a < b < c; a, b, c R (4.4)
-
32 CAPITULO 4. SISTEMAS DINAMICOS PARA TRENZAS
Figura 4.2: Grafica de x vs t donde t esta ubicado en el eje
horizontal
De manera similar mediante funciones C combinadas de una manera
adecuada se consigue lo buscado parala coordenada y de la siguiente
forma:
y = (t; a, (a+b2 )) (t; (a+b2 ), b) + (t; ( b+c2 ), c) (t; c, (
b+c2 ) (a < b < c) (4.5)
Esto se hara cuando se desee un resultado en el que la cuerda
pase por encima de otra cuerda.
Puesto que se ha establecido que el valor de z sera constante,
el sistema de ecuaciones para una cuerda que
realice un giro, tenga un comportamiento descendente y permita
pasar por encima de otra cuerda es:
x = (t; a, b) (t; b, c) a < b < c
y = (t; a, (a+b2 )) (t; (a+b2 ), b) + (t; ( b+c2 ), c) (t; c, (
b+c2 ))
z = 1
(4.6)
En general si se tiene una cuerda ascendente o descendente, que
pase por encima o por debajo de otra, se
puede establecer un sistema de ecuaciones diferenciales de la
forma:
x =p
i=1((t; ai, bi) (t; bi, ci)), (ai < bi < ci)
y =p
i=1((t; ai, (ai+bi2 )) (t; (ai+bi2 ), bi)+
+(t; ( bi+ci2 ), ci) (t; ci, ( bi+ci2 ))) (ai < bi <
ci)
z = 1
(4.7)
En la que el valor de p es el numero total de giros ascendente
y/o descendentes que realice la cuerda, y el
smbolo indicara si la cuerda realiza un comportamiento en
ascenso o descenso para cada giro i, as como sipasa por arriba o
por abajo de otra cuerda.
-
Captulo 5
Solucion Numerica del Sistema
Dinamico
En la presente seccion se describira un algoritmo que permita
obtener a traves de metodos numericos una
solucion particular al sistema de ecuaciones diferenciales
planteado en el captulo anterior, con condiciones
iniciales x(0), y(0) y z(0); las trayectorias que se obtengan
como solucion particular para cada uno de los
sistemas de ecuaciones diferenciales, seran equivalentes a las
n-cuerdas que formen alguna n-trenza dada.
Para llevar a cabo esto, se usara el programa Octave1 el cual
permite resolver de manera numerica cada
uno de los sistemas de ecuaciones diferenciales (uno para cada
cuerda de la n-trenza ) que se han planteado
anteriormente.
5.1. Creacion de una cuerda.
Primero, la funcion:
f(t) =
exp(1
t b 1
t a ) si a < t < b0 otro caso (5.1)
se implementara por medio del siguiente codigo:
function result = fpiece (t)
if (t = b)
result=0;
else
result = exp(1./(t-b)-1./(t-a));
1Octave sera el programa usado en lo que resta de este trabajo
para solucionar numericamente los sistemas de ecuaciones
diferenciales
33
-
34 CAPITULO 5. SOLUCION NUMERICA DEL SISTEMA DINAMICO
end
end
Donde fpiece es la funcion f .
Con base en la construccion anterior, la funcion:
F (x) =
bxf(t)dt b
af(t)dt
(5.2)
sera generada numericamente con el siguiente codigo:
function calcularc=testc(t)
La funcion testc(t) es la implementacion de la funcion (5.2)
calcularc=(quad(@fpiecemidle,(t),3)/(quad(@fpiecemidle,2,3)));
end
En donde se ha implementado la funcion quad de la librera de
Octave, que permite integrar numericamente
la funcion (5.2).
Una vez hecho esto, se escribe el codigo a implementar en Octave
para:
x = (t; a, b) (t; b, c); a < b < c
Donde la funcion se define como en el captulo anterior. Cuya
solucion para una condicion inicial x(0)
dada, presentara un solo giro, ademas la cuerda tendra una
trayectoria descendente. El codigo para obtener
la solucion numerica de la ecuacion diferencial x es:
function xpunto=testc(t)
Donde la funcion testc(t) representa a la funcion dx/dt
xpunto=(quad(@fpiecemidle,(t),3)/(quad(@fpiecemidle,2,3)))
-(quad(@fpiecemidle2,(t),4)/(quad(@fpiecemidle2,3,4)));
end
(t; a, b) se representa numericamente por:
(quad(@fpiecemidle,(t),3)/(quad(@fpiecemidle,2,3)));
(t; b, c) se representa numericamente por:
(quad(@fpiecemidle2,(t),4)/(quad(@fpiecemidle2,3,4))).
Los valores que tomamos para a , b y c son: a = 2, b = 3, c =
4.
En la Figura 5.1 se presenta el comportamiento de x contra
t.
Si se quiere que la solucion presente un solo giro y la
trayectoria de la curva solucion tenga un resultado
ascendente, se tiene la ecuacion diferencial ordinaria para x
como sigue:
x = (t; b, c) (t; a, b); a < b < c
El codigo implementado para el caso particular donde los valores
a , b, y c valen 2, 3 y 4 respectivamente es:
function calcularc=testasc(t)
En el que la funcion testasc(t) es la funcion dx/dt
calcularc=(quad(@fpiecemidle2,(t),4)/(quad(@fpiecemidle2,3,4))
-(quad(@fpiecemidle,(t),3)/(quad(@fpiecemidle,2,3)))
end
-
5.1. CREACION DE UNA CUERDA. 35
Figura 5.1: Grafica de x t donde t esta ubicado en el eje
horizontal
Figura 5.2: Grafica de x contra t donde t esta ubicado en el eje
horizontal
(t; a, b) se representa numericamente por:
(quad(@fpiecemidle,(t),3)/(quad(@fpiecemidle,2,3)));
(t; b, c) se representa numericamente por:
(quad(@fpiecemidle2,(t),4)/(quad(@fpiecemidle2,3,4))).
La Figura 5.2 representa la grafica de x contra t. El codigo
escrito para poder generar la grafica de esta figura
es:
El comando linspace sirve para indicar el punto inicial y punto
final del tiempo en el
cual se desarrollara el sistema dinamico.
t=linspace(0,6,200);
Se define la funcion por partes f(t) de la siguiente forma:
f=((t=b)).*0+((t>a)&(ta)&(t
-
36 CAPITULO 5. SOLUCION NUMERICA DEL SISTEMA DINAMICO
Ecuacion de la funcion phi(t,2,3): donde
phi(t,2,3)=-(cumtrapz(t,f))./ff1;
f=((t=3)).*0+((t>2)&(t2)&(t3)&(t3)&(t
-
5.1. CREACION DE UNA CUERDA. 37
dy/dt = phi(t;a,(a+b)/2)-phi(t;(a+b)/2,b)
+phi(t;t,(b+c)/2,c)-phi(t;b,(b+c)/2)
donde se han tomado los valores para a, b y c; a=2, b=3 y
c=4.
function calcular4=testay(y,t)
La funcion dy/dt esta representada numericamente por la funcion
testay(y,t)
calcular4=quad(@lpiecemidle,t,5/2)/(quad(@lpiecemidle,2,5/2))
-quad(@mpiecemidle,t,3)/(quad(@mpiecemidle,5/2,3))
+quad(@npiecemidle,t,4)/(quad(@npiecemidle,7/2,4))
-quad(@opiecemidle,t,7/2)/(quad(@opiecemidle,3,7/2));
end
En donde la funcion lpiecemidle se creo a traves del siguiente
codigo:
function resultado = lpiecemidle(s)
if (s = 5/2)
resultado=0;
elseif (s > 2)
resultado = exp(1./(s-5/2)-1./(s-2));
elseif(s < 5/2)
resultado = exp(1./(s-5/2)-1./(s-2)) ;
end
end
De manera analoga se crearon las funciones:
mpiecemidle, npiecemidle y opiecemidle.
(t; a, (a+b2 )) es
quad(@lpiecemidle,t,5/2)/(quad(@lpiecemidle,2,5/2))
(t; (a+b2 ), b) es
quad(@mpiecemidle,t,3)/(quad(@mpiecemidle,5/2,3))
(t; ( b+c2 ), c) es
quad(@npiecemidle,t,4)/(quad(@npiecemidle,7/2,4))
(t; c, ( b+c2 )) es
quad(@opiecemidle,t,7/2)/(quad(@opiecemidle,3,7/2)).
En la Figura 5.3 se presenta la grafica del comportamiento de y
contra t. Para poder generarla la grafica, se
Figura 5.3: Representacion del comportamiento y vs t de en el
plano yt.
escribio el siguiente codigo:
-
38 CAPITULO 5. SOLUCION NUMERICA DEL SISTEMA DINAMICO
Script con el que obtiene la grafica para dy/dt,tal que:
phi(t;a,(a+b)/2)-phi(t;(a+b)/2,b)+phi(t;t,(b+c)/2,c)-phi(t;b,(b+c)/2).
El comando linspace sirve para indicar el punto inicial y punto
final del tiempo en
el cual se desarrollara el sistema dinamico.
t=linspace(0,6,200);
Se define la funcion por partes f(t) de la siguiente forma:
f=((t=b)).*0+((t>a)&(t2)&(t2)&(t5/2)&(t5/2)&(t7/2)&(t7/2)&(t3)&(t3)&(t
-
5.2. CREACION DE DOS CUERDAS 39
plot(t,ypunto);
Como se dijo anteriormente la ultima rutina implementada sirve
para que la cuerda generada pase por encima
de otra cuerda. Si se desea el efecto contrario, esto es, que la
cuerda de una trenza pase por debajo de otra
cuerda se hace el cambio de signos () en la ecuacion (5.3), este
cambio permitira obtener el efecto buscado.Al hacer esto la
ecuacion diferencial ordinaria para y, sera:
y = (t; (a+b2 ), b) (t; a, (a+b2 ) + (t; c, ( b+c2 ) (t; ( b+c2
), c) (a < b < c) (5.4)
La siguiente figura muestra la grafica de y contra t, la que una
vez solucionado el sistema de ecuaciones
diferenciales permitira que la cuerda pase por debajo de otra
cuerda.
Figura 5.4: Comportamiento y contra t de en el plano yt para una
cuerda que pase por abajo de otra cuerda
5.2. Creacion de dos cuerdas
Una vez que se han creado los codigos para las ecuaciones
diferenciales ordinarias para x y y y tomando en
cuenta que la ecuacion diferencial ordinaria en z sera z = 1, se
hace uso del sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias (5.7) para crear dos cuerdas; esto se lograra de
forma numerica, obteniendo la solucion particular
para dicho sistema de ecuaciones diferenciales con la condicion
inicial: x(0) = 1 , y(0) = 0 , z(0) = 0. Esta
solucion particular representara a la primer cuerda, la que
tendra un movimiento descendente en el plano xz y
pasara por arriba de la segunda cuerda. A continuacion se usa
nuevamente el sistema de ecuaciones diferenciales
(5.7) para generar la segunda cuerda; tomando en cuenta que para
esta cuerda se busca un comportamiento
ascendente en el plano xz y que ademas pase por debajo la
primera cuerda, se haran los cambios de signos
pertinentes en el sistema de ecuaciones diferenciales (9),
incluyendo ademas la solucion particular para tal
sistema con la condicion inicial: x(0) = 0 , y(0) = 0 , z(0) =
0. Por ultimo se grafican ambas soluciones en una
misma ventana con lo cual se conseguira una representacion
similar a la Figura 5.5.
Con base en lo dicho en el anterior parrafo, se prosigue con la
escritura de la siguiente rutina ,la cual permite
llevar a cabo el objetivo planteado en tal parrafo.
Codigo en Octave para la solucion del sistema de ecuaciones
diferenciales para 2 cuerdas
El siguiente script nos permite resolver dossistemas de 3
ecuaciones diferenciales cada uno
con condiciones iniciales dadas,mediante el comando "lsode" de
Octave.
Una vez hecho por medio de la funcion "plot3" de Octavese
graficaran ambas soluciones las que
representaran una trenza compuesta por dos cuerdas.
-
40 CAPITULO 5. SOLUCION NUMERICA DEL SISTEMA DINAMICO
Figura 5.5: Una 2-trenza en R3, generada con el programa
KnotPlot
Las condiciones iniciales para el primer sistema (1) son:
x(0)= 1, y(0)=0, z(0)= 0.
Las condiciones iniciales para el segundo sistema (2) son:
x(0)= 0, y(0)=0, z(0)= 0.
t=0:0.1:6; este vector marca el inicio del tiempo ti=0,
con saltos equiespaciados de 0.1 hasta el
tiempo final tf= 6
ycuerda1=lsode(@sistdinamico,[1,0],t);ycuerda1 es el primer
sistema (1)
ycuerda2=lsode(@sistdinamico2,[0,0],t);ycuerda2 es el segundo
sistema (2)
plot3(t,ycuerda1(:,2),ycuerda1(:,1) )
hold on
plot3(t,ycuerda2(:,2),ycuerda2(:,1) )
hold off
______________________________________________________
La funcion sistdinamico establece el siguiente
sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
para la primer cuerda
(descendente y por arriba de otra cuerda) de la trenza.
dx/dt = phi(t;a,b)-phi(t;b,c)
dy/dt = phi(t;a,(a+b)/2)-phi(t;(a+b)/2,b)
+phi(t;t,(b+c)/2,c)-phi(t;b,(b+c)/2)
dz/dt = 1
Con valores en t: a = 2, b = 3, c = 4;
function sistedo=sistdinamico(x,t)
dx/dt es la funcion testc(x,t)
dy/dt es la funcion testay(x,t)
-
5.2. CREACION DE DOS CUERDAS 41
dz/dt es la funcion constante 1
sistedo=[testc(x,t),testay(x,t), 1];
end
________________________________________________________
La funcion sistdinamico2 establece el siguiente
sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
para la segunda cuerda
(ascendente y por abajo de otra cuerda) de la trenza.
dx/dt = phi(t;b,c)-phi(t;a,b)
dy/dt = phi(t;(a+b)/2,b)-phi(t;a,(a+b)/2)
-phi(t;t,(b+c)/2,c)+phi(t;b,(b+c)/2)
dz/dt = 1
Con valores en t: a = 2, b = 3, c = 4;
function sistedo2=sistdinamico2(x,t)
dx/dt es la funcion testc(x,t)
dy/dt es la funcion testay(x,t)
dz/dt es la funcion constante 1
sistedo2=[testasc(x,t),testabajo(x,t)];%
end
En la figura 5.6 se muestran varias graficas obtenidas como
resultado de lo anterior.
Similarmente se puede crear cualquier cuerda de una trenza por
medio de un sistema dinamico resolviendo
Figura 5.6: Trenza en R3 compuesta por 2 cuerdas, generadas con
el programa Octave
la Ecuacion 4.7 para cada cuerda que componga a la trenza.
Para ejemplificar esto ultimo, en las siguiente lneas se
representa por medio de un sistema dinamico a la
trenza de 3 cuerdas cuya cerradura constituye al nudo
trebol.
Ejemplo. Tomese al nudo trebol como el que se muestra en la
Figura 5.7. En seguida se dara una representacion
de una 2-trenza as como el conjunto de sistemas dinamicos que
definen a dicha cuerda.
En la Figura 5.8, el nudo trebol con el que iniciamos puede ser
obtenido como la clausura de esta 2-trenza.
En seguida se presentan los sistemas dinamicos para cada cuerda
que constituye a dicha trenza.
-
42 CAPITULO 5. SOLUCION NUMERICA DEL SISTEMA DINAMICO
Figura 5.7: El nudo trebol expresado en terminos de una
3-trenza
Figura 5.8: Diagrama regular de la 3-trenza
Para la primer cuerda se define el siguiente sistema de
ecuaciones diferenciales:
x = (t; b, c) (t; a, b) + (t; d, e) (t; e, f) + (t; g, h) (t;h,
i)
y = (t; a, (a+b2 ) (t; (a+b2 ), b) + (t; ( b+c2 ), c) (t; b, (
b+c2 ))
+(t; (d+e2 ), e) (t; d, (d+e2 ) + (t; ( e+f2 ), f) (t; e, ( e+f2
))
+(t; g, ( g+h2 ) (t; ( g+h2 ), h) + (t; (h+i2 ), i) (t;h, (h+i2
))
z = 1
(5.5)
En donde a, b, c, d, e, , f, g, h, i son escalares en R
estrictamente mayores que cero.Para la segunda cuerda, basta
modificar el sistema dinamico que se dio anteriormente haciendo el
cambio
signo por donde este sea requerido. Dando condiciones iniciales
para cada sistema, se resuelven y graficanambas soluciones
particulares.
Como se menciono anteriormente se da solucion a cada uno de los
sistemas numericamente. En los siguientes
parrafos se procede a escribir la rutina que permitio encontrar
las dos soluciones.
Codigo para la solucion de las cuerdas que componen a la
2-trenza con cerradura equivalente al
nudo trebol.
El siguiente script nos permite resolver dos sistemas de 3
ecuaciones diferenciales
cada uno con condiciones iniciales dadas, una vez hecho esto,
por medio de la funcion
"plot3" se graficaran ambas soluciones las que representaran una
2-trenza cuya cerra-
dura conformara un nudo trebol.
Las condiciones iniciales para el primer sistema son:
-
5.2. CREACION DE DOS CUERDAS 43
x(0)= 1, y(0)=0, z(0)= 0.
Las condiciones iniciales para el segundo sistema son:
x(0)= 0, y(0)=0, z(0)= 0.
t=0:.1:12; este vector marca el inicio del tiempo ti=0,
con saltos equiespaciados de 0.1 hasta eltiempo final tf= 12
ycuerda1=lsode(@sistdinamico,[1,0],t); ycuerda1 es el primer
sistema
ycuerda2=lsode(@sistdinamico2,[0,0],t);ycuerda2 es el segundo
sistema
plot3(t,ycuerda1(:,2),ycuerda1(:,1) )
hold on
plot3(t,ycuerda2(:,2),ycuerda2(:,1) )
hold off
_______________________________________________________
La funcion sistdinamico establece el siguiente sistema de
ecuaciones diferenciales
ordinarias para la primer cuerda (descendente y por arriba de
otra cuerda)
de la trenza.
dx/dt = phi(t;a,b)-phi(t;b,c)+phi(t;t,e,f)-phi(t;d,e)
+ phi(t;g,h)-phi(t;h,i)
dy/dt = phi(t;a,(a+b)/2)-phi(t;(a+b)/2,b)
+phi(t;t,(b+c)/2,c)-phi(t;b,(b+c)/2)
+phi(t;(d+e)/2,e)-phi(t;d,(d+e)/2)
+phi(t;(e+f)/2,f)-phi(t;e,(e+f)/2)
dz/dt = 1
Con valores en t: a = 2, b = 3, c = 4; d =5, e = 6, f = 7; g =8
, h = 9, i = 10;
function sistedo=sistdinamico(x,t)
dx/dt es la funcion testc(x,t)
dy/dt es la funcion testay(x,t)
dz/dt es la funcion constante 1
sistedo=[testc(x,t),testay(x,t), 1];
end
________________________________________________________
Funcion que determina a la ecuacion diferencial dx/dt
function calcularc=testc(x,t)
calcularc=(quad(@fpiecemidle,(t),3)./(quad(@fpiecemidle,2,3)))
-(quad(@fpiecemidle2,(t),4)./(quad(@fpiecemidle2,3,4)))
+(quad(@hpiecemidle,(t),7)./(quad(@hpiecemidle,6,7)))
-(quad(@ipiecemidle,(t),6)./(quad(@ipiecemidle,5,6)))
+(quad(@jpiecemidle,(t),9)./(quad(@jpiecemidle,8,9)))
-(quad(@kpiecemidle,(t),10)./(quad(@kpiecemidle,9,10)));
end
_______________________________________________________
Funcion que determina a la ecuacion diferencial dy/dt
donde dy/dt es creada numericamente por la funcion
testay(x,t)
function calcular4=testay(x,t)
calcular4=
quad(@lpiecemidle,t,5/2)/(quad(@lpiecemidle,2,5/2))
-
44 CAPITULO 5. SOLUCION NUMERICA DEL SISTEMA DINAMICO
-quad(@mpiecemidle,t,3)/(quad(@mpiecemidle,5/2,3)
+quad(@npiecemidle,t,4)/(quad(@npiecemidle,7/2,4))
-quad(@opiecemidle,t,7/2)/(quad(@opiecemidle,3,7/2))
+quad(@ppiecemidle,t,6)/(quad(@ppiecemidle,11/2,6))
-quad(@qpiecemidle,t,11/2)/(quad(@qpiecemidle,5,11/2))
+quad(@esepiecemidle,t,13/2)/(quad(@esepiecemidle,6,13/2))
-quad(@rpiecemidle,t,7)/(quad(@rpiecemidle,13/2,7))
+quad(@upiecemidle,t,17/2)/(quad(@upiecemidle,8,17/2))
-quad(@vpiecemidle,t,9)/(quad(@vpiecemidle,17/2,9))
+quad(@wpiecemidle,t,10)/(quad(@wpiecemidle,19/2,10))
-quad(@zpiecemidle,t,19/2)/(quad(@zpiecemidle,9,19/2));
end
_______________________________________________________
function sistedo=sistdinamico(x,t)
dx/dt es la funcion -testc(x,t)
dy/dt es la funcion -testay(x,t)
dz/dt es la funcion constante 1
sistedo2=[-testc(x,t),-testay(x,t)];
end
Las Figura 5.9 permite ver distintas graficas de la 2-trenza en
el espacio tridimensional.
S bien se ha logrado establecer un sistema de ecuaciones
diferenciales para cada cuerda, se tiene que dar
Figura 5.9: La 3-trenza represetada como solucion de us sistema
dinamico yz
un sistema dinamico para cada una que componga a la trenza que
se pretende representar. Como se puede
observar en el Ejemplo 1 para definir una dos trenza como la de
la Figura 5.8, se necesitan dos sistemas de
ecuaciones, uno para cada cuerda que de la describe. Sin embargo
con este procedimiento aun no se puede
establecer un sistema dinamico que represente a una trenza; con
esto en mente el siguiente objetivo se centra
en obtener uno solo sistema de ecuaciones diferenciales que
defina no solo a la 2-trenza de el ejemplo citado
-
5.2. CREACION DE DOS CUERDAS 45
sino a cualquier n-trenza. La idea general para cumplir con este
proposito es combinar de manera adecuada
todas las ecuaciones que representan a las cuerdas de la
n-trenza en una solo sistema, de tal suerte que se evite
cualquier interseccion que se pudiera presentar entre ellas, con
lo que finalmente este unico sistema describira a
toda la n-trenza. En seguida se explica con mas detalle la forma
de lograr esto. La forma de conseguir alcanzar
esta meta planteada es crear un tubo-vecindad como el de la
Figura 5.10; en dicha grafica se puede ver que
se ha creado un tubo vecindad alrededor de cada cada cuerda,
ademas cada tubo tiene como centro a una de
las cuerdas de la trenza. El fin de la creacion de tal tubo, es
que dentro de este todas las trayectorias sigan la
trayectoria de la cuerda central y que fuera de el la dinamica
sea cero; esto es que x = 0, y = 0 y z = 0 en
el exterior de cada tubo. Otro acierto que se obtiene al hacer
esto es evitar la confluencia entre las cuerdas.
Definicion. Se define la m-cuerda de una trenza como el conjunto
de m curvas suaves en R3 que tieneninterseccion vaca entre ellas.
Con base en lo dicho en el parrafo anterior y en esta definicion se
tiene que:
conforme el radio de los tubos-vecindad disminuye, existira un
tubo alrededor de cada cuerda el cual no
tendra interseccion con el resto de los otros. Siguiendo este
camino, se pretende conseguir un solo sistema
dinamico para toda la trenza de tal suerte que evitaremos que
exista cruces entre las cuerdas y as alcanzar
el fin buscado. Para poder crear estos tubos vecindad se hara
uso de la funcion C (la se ha empleado a lo
Figura 5.10: Tubo vecindad alrededor de cada cuerda de una
dos-trenza
largo de este trabajo) definida de la forma
= ((x x1)2 + (y y1)2); 1, 2) (5.6)
En donde (x1, y1) es la coordenada correspondiente a la cuerda
central para cada valor de t en el que esta de-
finida la funcion; los valores 1 y 2 indican los diametros de
los tubos, los cuales se deben escoger de tal
forma que sean lo suficientemente pequenos para impedir que haya
interseccion entre los tubos. Finalmente se
combina la ecuacion 4.7 con la ecuacion 5.6 para obtener el
siguiente sistema
x =m
j=1 j xj
y =m
j=1 j yj
z =m
j=1 j
(5.7)
Donde m es el numero total de cuerdas de la trenza, j es la
funcion tubo para la j-esima cuerda y xj , yj
componen el sistema dinamico para la j-esima cuerda, obtenido en
la Ecuacion 4.7.
Con base en este proceder, se ha obtenido un solo sistema
dinamico que define a la trenza en su totalidad. En
el siguiente ejemplo se muestra la forma de como usar la
Ecuacion 5.7.
-
46 CAPITULO 5. SOLUCION NUMERICA DEL SISTEMA DINAMICO
Ejemplo 2. Tomemos de nuevo el nudo trebol presentado en el
ejemplo anterior, as como la 2-trenza
que tambien fue usada. Recordar que esta 2-trenza al realizar su
cerradura representa al nudo trebol.
Sea (x1, y1) y (x2, y2) las coordenadas de la primer y segunda
cuerda para un valor en particular de t, a
continuacion se describe el sistema dinamico que definira por
completo a esta dos trenza.
x = ((x x1)2 + (y y1)2); 1, 2)
(t; a, b) (t; b, c) + (t; e, f) (t; d, e) + (t; g, h) (t;h,
i)
+ ((x x2)2 + (y y2)2); 1, 2)
(t; b, c) (t; a, b) + (t; d, e) (t; e, f) + (t;h, i) (t; g, h)y
= ((x x1)2 + (y y1)2); 1, 2)
(t; a, (a+b2 ) (t; (a+b2 ), b) + (t; ( b+c2 ), c) (t; b, ( b+c2
))
+(t; (d+e2 ), e) (t; d, (d+e2 ) + (t; ( e+f2 ), f) (t; e, ( e+f2
))
+(t; g, ( g+h2 ) (t; ( g+h2 ), h) + (t; (h+i2 ), i) (t;h, (h+i2
))
+ ((x x2)2 + (y y2)2); 1, 2)
+(t; (a+b2 ), b) (t; a, (a+b2 ) + (t; b, ( b+c2 ) (t; ( b+c2 ),
c)
+(t; d, (d+e2 ) (t; (d+e2 ), e) + (t; e, ( e+f2 ) (t; ( e+f2 ),
f)
+(t; ( g+h2 ), h) (t; g, ( g+h2 ) + (t;h, (h+i2 ) (t; (h+i2 ),
i)z = ((x x1)2 + (y y1)2); 1, 2)
+ ((x x2)2 + (y y2)2); 1, 2)
(5.8)
Donde a, b, c, d, e, f, g, h, i, 1, 2 R+.Codigo para encontrar
la 2-trenza a traves del metodo 2.
_________________________________________________________________
El siguiente script permite reolver el sistema dinamico
de manera particular para distintas condiciones iniciales
dadas; dicho sistema es representado por la funcion
fintcontrol2
t=0:.2:12;
y=lsode(@fintcontrol2,[1,1,0,0,0,0],t);
y2=lsode(@fintcontrol2,[0,1,0,0,0,0],t);
y3=lsode(@fintcontrol2,[1.1,1,0.1,0,0,0],t);
y4=lsode(@fintcontrol2,[0.1,1,0,0,0,0],t);
y5=lsode(@fintcontrol2,[0.9,1,0,0,0,0],t);
-
5.2. CREACION DE DOS CUERDAS 47
y6=lsode(@fintcontrol2,[0,1,-0.15,0,0,0],t);
y7=lsode(@fintcontrol2,[1.15,1,0,0,0,0],t);
y8=lsode(@fintcontrol2,[0.1,1,0.1,0,0,0],t);
plot3(t,y(:,3) ,y(:,1),"1")
hold on
plot3(t,y2(:,3) ,y2(:,1),"2")
plot3(t,y3(:,3) ,y3(:,1),"3")
plot3(t,y4(:,3) ,y4(:,1),"4")
plot3(t,y5(:,3) ,y5(:,1),"2")
plot3(t,y6(:,3) ,y6(:,1),"5")
plot3(t,y7(:,3) ,y7(:,1),"4")
plot3(t,y8(:,3) ,y8(:,1),"5")
hold off
La funcion fdoscontrol establece numericamente el comportamiento
de la funcion
= ((x x1)2 + (y y1)2); 1, 2)presente en la ecuacion (15), con
valores 1 = 0,20 y 2 = 0,25.
function control2=fdoscontrol(t)
format short
if (t=0.25)
control2=-(quad(@fpiece,t,0.25)/(quad(@fpiece,0.20,0.25)));
else
control2=(quad(@fpiece,t,0.25)/(quad(@fpiece,0.20,0.25)));
end
end
______________________________________________________
La funcion fintcontrol establece el siguiente
sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
para ambas cuerdas que definen completamente a la 2-trenza.
Con valores en t: a = 2, b = 3, c = 4 ,
d = 5, e = 6, f = 7 ,
g = 8, h = 9 , i = 10.
function integtotal=fintcontrol2(x,t)
integtotal=[fdoscontrol((x(1)-x(2)).^2+(x(3)-x(4)).^2).*testc(x,t)
+fdoscontrol((x(1)-x(5)).^2+(x(3)-x(6)).^2).*(testasc(x,t)),testc(x,t),
fdoscontrol((x(1)-x(2)).^2+(x(3)-x(4)).^2).*testay(x,t)
+fdoscontrol((x(1)-x(5)).^2+(x(3)-x(6)).^2).*(gtestay(x,t))
,testay(x,t),testasc(x,t),gtestay(x,t)];
end
-
48 CAPITULO 5. SOLUCION NUMERICA DEL SISTEMA DINAMICO
La grafica obtenida al resolver el sistema de ecuaciones
diferenciales anterior para distintos valores en las
condiciones iniciales se muestra en las siguientes figuras.
Figura 5.11: Representacion del tubo vecindad de una
3-trenza
-
Captulo 6
Sistema de EDOS para representacion
de nudos
En esta seccion, se establecera un sistema de ecuaciones
diferenciales para representar nudos. La idea es usar
el sistema de ecuaciones diferenciales descrito anterirormente
el cual, para ncondiciones iniciales distintas
generaba a una n-trenza. Por otra parte como se menciono en el
Captulo 3, cualquier nudo se puede obtener
a traves de la cerradura de una trenza; por consiguiente la
trenza que hemos conseguido por medio del sistema
5.8 le aplicaremos la cerradura para obtener un nudo. Para poder
llevar a cabo esta tarea,a tal sistema se le
hara una variacion en z de tal suerte que el campo vectorial
ahora sea periodico. De esta manera lograremos
unir los dos puntos finales del espacio de fase en el punto del
tiempo para el cual se haya completado el periodo.
Para poder llevar a cabo esto, consideremos el siguiente
sistema:
x1 =m
j=1 j x1j
x2 =m
j=1 j x2j
z =m
j=1 j 2
1 z2
(6.1)
En el que xj(t) vector solucion en R2 para la j-esima cuerda sea
una funcion C,
x : [0, pi ] R2. (6.2)Ademas
j : R2 R (6.3)es una funcion C la cual vale 1 si x Uj , 1 j K, y
0 si x R\Vj , en donde cada Uj sea un subconjuntoabierto y acotado
en R2, tal que existen vecindades abiertas disjuntas Vj de Uj para
la que se cumple
Vj Uj y Vj Vk = j 6= k 1 j, k K. (6.4)
6.1. Representacion de un enlace doble
En esta parte ejemplificaremos el uso del sistema de ecuaciones
diferenciales descrito en el inicio de la seccion.
Se representara a un doble enlace compuesto por dos nudos
triviales como la cerradura de una 2-trenza, la
que obtendremos con el siguiente sistema
49
-
50 CAPITULO 6. SISTEMA DE EDOS PARA REPRESENTACION DE NUDOS
x = ((x x1)2 + (y y1)2); 1, 2)(t; a, b) (t; b, c) + (t; e, f)
(t; d, e) + ((x x2)2 + (y y2)2); 1, 2)(t; b, c) (t; a, b) + (t; d,
e) (t; e, f)
y = ((x x1)2 + (y y1)2); 1, 2)(t; a, (a+b2 ) (t; (a+b2 ), b) +
(t; ( b+c2 ), c) (t; b, ( b+c2 ))+ (t; (d+e2 ), e) (t; d, (d+e2 ) +
(t; ( e+f2 ), f) (t; e, ( e+f2 ))+ ((x x2)2 + (y y2)2); 1, 2)+ (t;
(a+b2 ), b) (t; a, (a+b2 ) + (t; b, ( b+c2 ) (t; ( b+c2 ), c)+ (t;
d, (d+e2 ) (t; (d+e2 ), e) + (t; e, ( e+f2 ) (t; ( e+f2 ), f)
z = ((x x1)2 + (y y1)2); 1, 2) 2
1 z2+ ((x x2)2 + (y y2)2); 1, 2) 2
1 z2
(6.5)
Donde a, b, c, d, e, f, 1, 2 R+ y x, y estan definidos en el
intervalo [0, pi].Nuevamente solucionaremos numericamente el
sistema de ecuaciones diferenciales descritas anteriormente, en
las siguiente figuras se mostraran las graficas que describen a
este doble enlace.
Figura 6.1: Grafica de un doble enlace obtenido por un sistema
de ecuaciones diferenciales
-
Captulo 7
Conclusiones
El objetivo principal de la tesis fue, dado un determinado nudo,
construir un sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias, el cual tuviera la propiedad de que para cierta
condicion inicial, la solucion que pasa por esta
condicion fuera una orbita periodica y ademas formara dicho nudo
en el espacio R3.Es ampliamente conocido el hecho que un nudo puede
ser expresado en terminos de cerradura de trenzas. A
partir de esto, el objetivo se centro en expresar mediante un
sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
definidas en un intervalo de tiempo el cual satisface que, para
n condiciones iniciales, las trayectorias solucion
formaran explcitamente la n-trenza. Para obtener las ecuaciones
diferenciales del sistema dinamico y en el
cual esten contenidas las trenzas, se uso un tipo particular de
funciones que permitieron construir una tubo-
vecindad en cada cuerda de la trenza. Posteriormente al hacer
periodica la solucion con una condicion inicial
particular se obtuvo el nudo deseado.
Para resolver de manera numerica este sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias, se empleo el software
Octave; dicha solucion se represento de manera grafica como un
nudo.
Por otra parte en [4], J. Birman y R. Williams fueron de los
primeros en mostrar orbitas periodicas anudadas
en sistemas dinamicos. Recientemente, en [5,6,7] tambien se
abordo el problema de la realizacion de nudos a
traves de sistemas dinamicos esto es, dado un cierto nudo se
busca poder construir o encontrar un sistema
dinamico que tenga al nudo como orbita periodica.
Algunos de los problemas a futuro son obtener una generalizacion
de los resultados de [3,6,7] para alguna clase
diferente de sistemas dinamicos, as como determinar si existe
alguna relacion entre los invariantes de nudos
o 3-trenzas, como el polinomio corchete, y los sistemas
dinamicos generados en [3].
51
-
52 CAPITULO 7. CONCLUSIONES
-
Bibliografa
[1] Yi Song, Stephen P. Banks and David Diaz. Dynamical Systems
on Three Manifolds Part I: Knots, Links
and Chaos. University of Sheffield. 2008
[2] Kunio Murasugi. Knot Theory and Its Applications.
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1991.
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[13] Won Y. Yang, Wenwu Cao, Tae S.Chung, John Morris. Applied
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53