Capítulo 2 Sistemas Mecánicos I 2.1 Elementos mecánicos de parámetros concentrados 2.2 Sistemas mecánicos básicos Inercia Rigidez Amortiguamiento Fuerza Segunda ley de movimiento de Newton Respuesta libre Respuesta forzada con Simulink 1
Capítulo 2
Sistemas Mecánicos I
2.1 Elementos mecánicos de parámetros
concentrados
2.2 Sistemas mecánicos básicos
Inercia
Rigidez
Amortiguamiento
Fuerza
Segunda ley de movimiento de Newton
Respuesta libre
Respuesta forzada con Simulink
1
Elementos Mecánicos de Parámetros Concentrados: inercia
Masa, m Momento de Inercia Mecánico, J
Teorema del eje paralelo
2
m
J r dm
2J J md
2
21 ( ) 1
2 2
dx tT m mx
dt
2
21 ( ) 1
2 2
d tT J J
dt
Energía Cinética
Traslación Rotación
2
2
( )( )i
d x tf t m mx
dt
2
2
θ( )( ) θi
d tm t J J
dt
Fuerza Inercial Momento (torque) inercial
Unidades SI: kg-m2
Unidades SI: kg
Ejemplo
Cilindro
2 2
0
ρ ρh
V A
J r dV r dA dx
4 3 2 2 3 4
1 1 2 1 1 1 2 2
πρ
10
hJ R R R R R R R R 21
2J mR
2πdA rdr
3 4
0 0 0
22
xRh h
xJ r dr dx R dx
2 11x
R RR R x
h
1 2R R R
Ejemplo 2.1
Elementos Mecánicos de Parámetros Concentrados: inercia
2
m
J r dm
Ver MATLAB Ejemplo 2.1
Rigidez (constante del resorte)4
364t
Gdk
nR
Energía potencial Elástica
Traslación Rotación
Fuerza elástica Torque (momento) elástico
c c
Resorte helicoidal
1 2( ) ( ) ( ) ( )e t tf t k x t k x t x t 1 2( ) ( ) ( ) ( )e r rm t k t k t t
21
( )2
e tU k x t 21
( )2
e rU k t
42
64r
E G dk
nR
Unidades SI: N-mUnidades SI: N/m
Elementos Mecánicos de Parámetros Concentrados: resorte
G: módulo elasticidad transversal (shear modulus)
d: diámetro del alambre
n: número de vueltas
R: radio
E: módulo de Young (de elasticidad)
Serie Paralelo
Conexiones de resortes traslacionales
1 2f f f
1 2pk k k
1 2x x x
1 2f f f
1 2x x x
1 2
1 1 1
sk k k
Rigidez equivalente
Principios
Elementos Mecánicos de Parámetros Concentrados: resorte
6
Ejemplo 2.2
Elementos Mecánicos de Parámetros Concentrados: resorte
Rigidez equivalente
Aplicamos la misma fuerza:
Candidatos:
Rigidez individual:
Elementos mecánicos de parámetros concentrados
7
Amortiguadores
• Amortiguación: pérdida de energía
• Mecanismos de amortiguación:
• Viscoso
• De fricción
Elementos mecánicos de parámetros concentrados
8
Amortiguadores
• Amortiguamiento Viscoso:
• Fuerzas o torques son proporcionales a la velocidad relativa
entre un cuerpo en movimiento y el fluido que lo envuelve.
• Traslacional:
• Rotacional:
Coeficiente de amortiguación viscoso
Fuerza de amortiguación:
Torque de amortiguación:
Elementos mecánicos de parámetros concentrados
9
Amortiguadores
• Coeficiente de amortiguación viscoso (c):
c = función de parámetros geométricos y de
materiales
• Ley de Flujo Viscoso de Newton:
Tensión de Corte:
Coeficiente de viscosidad dinámico Gradiente de la velocidad relativa entre la
superficie móvil y la fija
• Fuerza de amortiguación:
Elementos mecánicos de parámetros concentrados
10
Ejemplo 2.3
Amortiguadores
Elementos mecánicos de parámetros concentrados
11
Ejemplo 2.3
Velocidad del fluido a una distancia z de la superficie fija:
Entonces:
La fuerza de amortiguación (arrastre) es:
Pero:
Entonces:
Amortiguadores
g
v
dz
zdv
)(
Coeficiente de Amortiguación
2 42
16i i
t
o i
Dl Dc R
D D
Energía Disipada
(perdida)
Fuerza de amortiguación Torque de amortiguación
Amortiguadores de Pistón
1 2( ) ( ) ( ) ( )d t tf t c x t c x t x t 1 2( ) ( ) ( ) ( )d r rm t c t c t t
2
( )d tU c x t dt 2
( )d rU c t dt
3
2
ir
o i
D lc
D D
Traslación Rotación
12
Elementos mecánicos de parámetros concentrados
Di: diámetro del pistón
l: longitud del pistón
Do: diámetro del cilindro
ρ: densidad del fluido
μ: coeficiente de viscosidad dinámica
R: resistancia del fluido
Serie Paralelo
Principios
Conexiones de amortiguadores
1 2f f f
1 2pc c c
1 2x x x
1 2f f f
1 2x x x
1 2
1 1 1
sc c c
Coeficiente de
amortiguación
equivalente
x1
c1f
c2
x2x
c1
f
c2
13
Elementos mecánicos de parámetros concentrados
Elementos mecánicos de parámetros concentrados
14
Amortiguación de Coulomb (o de fricción seca)
Ocurre en la
interface entre dos
cuerpos en
movimiento relativo
y en contacto
Fuerza de fricción:
Energía disipada:
coeficiente de
fricción
cinemática
fuerza normal
Elementos mecánicos de parámetros concentrados
15
Actuación (función de fuerza)
Inercia
Resorte
Amortiguador
Actuación o fuerza
sistema mecánico
(fuerzas o torques)
f genera desplazamiento xm causa una rotación θ
Sistemas mecánicos: Segunda ley de Newton
Equación para sistemas de un DOF
LibreNo amortiguada
1
n
i
i
mx f
1
θn
ti
i
J m
Traslación Rotación
Respuesta
Forzada
Natural
Amortiguada
No amortiguada
Amortiguada
(Frecuencia natural, ωn)
=
16
Sistemas Mecánicos: respuesta natural
Sistema traslacionalSegunda ley de Newton
Frecuencia Natural, ωn
mx kx 0k
x xm
sin ωx X t
2ω 0x x
ω ωn
k
m
0
0
0 0
0 0
sin ω sin ω
ω cos ω ω cos ω
n nt t
n n n nt t
x X t X t
v X t X t
0
0sin ωn
xX
t
0
0ω cos ωn n
vX
t
Modelo matemáticoCondiciones iniciales
Solución
Amplitud
17
Palancas Mecánicas
Amplificación, a
Aproximación de rotación pequeña
Reubicación de inercia
" ' θC Cz CC CC l
B B A
A A B
z l fa
z l f
Reubicación de rigidez
2
AB A
B
lm m
l
2
AB A
B
lk k
l
Bn
B
k
m
18
Sistemas Mecánicos: respuesta natural
19
Ejemplo 2.4: Sistema de palanca+masa+resorte
Sistemas Mecánicos: respuesta natural
= 15,81 rad/s
20
Ejemplo 2.4: Diagrama de Cuerpo Libre
Sistemas Mecánicos: respuesta natural
= 14.51 rad/s
Modelo Matemático:
Solución de la ecuación diferencial:
Ver MATLAB/Ejemplo 2.4
Sistemas Mecánicos: respuesta natural
Sistemas de engranajes
11 1 2 2 2
2 2 1 1 1 2
θ θ θ
θ θ θt
t
mN R
N R m
Sistemas Mecánicos: respuesta natural
Sistemas de engranajes
Ejemplo 2.5
2
1,1 1 2
2
e
Nk k k
N
Dados:
J1, J2, k1, k2, N1, N2
Encuentre: ωn
Energía elástica potencial:
Pero,
Energía cinética:
= 416.10 rad/s
Ver MATLAB/Ejemplo 2.5
Sistemas mecánicos: respuesta libre amortiguada
Sistema traslacionalSegunda Ley de Newton
Modelo Matemático
Solución
mx cx kx
2( ) sin 1nt
nx t Xe t
22
0 0 0 0
2
21 0
0 0
2ξ ω ω1
ω 1 ξ
ω 1 ξtan
ξω
n n
n
n
n
v v x xX
x
v x
Si se conocen las Condiciones Iniciales:
22ξω ω 0n nx x x
n
k
m
2 n
c
m
Factor de amortiguación
Frecuencia Natural
23
Caso Subamortiguado
Definimos: Frecuencia amortiguada
24
Respuesta de un sistema libre amortiguado
Sistemas mecánicos: respuesta libre amortiguada
= 0.064s
25
Ejemplo 2.7
Sistemas mecánicos: respuesta libre amortiguada
Relación:
Energía perdida en
amortiguación viscosa:
Energía total perdida por el sistema: Sistema equivalente:
Coeficiente de amortiguación equivalente: = 51.25 N-m-s
26
Sistemas de Primer Orden
Sistemas mecánicos: respuesta forzada con Simulink
Constante de TiempoSensitividad estática
(ganancia)
27
Ejemplo 2.8: Sistema de Primer Orden
Sistemas mecánicos: respuesta forzada con Simulink
Entrada:
Parámetros:
Del diagrama del cuerpo libre:
(2da Ley de Newton)
Donde:
Forma útil para
trabajar en Simulink:
28
Sistemas mecánicos: respuesta forzada con Simulink
Ejemplo 2.8: Sistema de Primer Orden
Ver MATLAB/SIMULINK/Ejemplo 2.8
29
Sistemas mecánicos: respuesta forzada con Simulink
Ejemplo 2.8: Sistema de Primer Orden
k1=100N/m; c1=20N-s/m k2=200N/m; c2=20N-s/m
k3=100N/m; c3=10N-s/m
30
Sistemas de Segundo Orden
Sistemas mecánicos: respuesta forzada con Simulink
Factor de amortiguaciónFrecuencia natural
31
Ejemplo 2.9: Sistema de Segundo Orden
Sistemas mecánicos: respuesta forzada con Simulink
Modelo físico
Diagrama de Cuerpo libre
32
Ejemplo 2.9: Sistema de Segundo Orden
Sistemas mecánicos: respuesta forzada con Simulink
Segunda Ley de Newton
Para rotaciones
pequeñas:
Combinando estas ecuaciones se llega a:
33
Ejemplo 2.9: Sistema de Segundo Orden
Sistemas mecánicos: respuesta forzada con Simulink
Comparando con la forma estándar de la ecuación:
34
Ejemplo 2.10: Sistema de Segundo Orden
Sistemas mecánicos: respuesta forzada con Simulink
ωn = 13.13 rad/s;
ξ = 0.29;
K = 4,31
35
Ejemplo 2.10: Sistema de Segundo Orden
Sistemas mecánicos: respuesta forzada con Simulink
Ver MATLAB/SIMULINK/Ejemplo 2.10 Ver MATLAB/Ejemplo 2.10
36
Ejemplo 2.10: Sistema de Segundo Orden
Sistemas mecánicos: respuesta forzada con Simulink
37
Problemas
Capítulo 2: Sistemas Mecánicos I
Elementos mecánicos de parámetros concentrados: inercia
Problema 2.1
38
Elementos mecánicos de parámetros concentrados: resortes
Problema 2.4
39
Elementos mecánicos de parámetros concentrados: amortiguación
Problema 2.7
40Ver MATLAB/Problema 2.7