-
Preparado por
Carlos Novillo M.
Feliz el hombre que halla la sabidura,y que obtiene
inteligencia;
porque valen ms que la plata,y produce ms beneficios que el
oro.
La sabidura vale ms que las piedraspreciosas;
Todas las cosas que puedas desear, no sepueden comparar a
ellas!
Proverbios 3.13-15
-
Carlos Novillo Montero Can
PROGRAMA DE ESTUDIO DESISTEMAS DIGITALES
OBJETIVOS DE LA ASIGNATURACapacitar al estudiante para que disee
circuitoscombinacionales y secuenciales de pequea y
medianacomplejidad, con circuitos integrados comercialesy con la
ayuda de tcnicas computacionales.
SNTESIS DEL PROGRAMASistemas de numeracin y aritmtica
binaria.lgebra de Boole. Diseo de circuitoscombinacionales.
Simplificacin de funciones.Redes de salidas mltiples [dispositivos
lgicosMSI]: sumador binario, codificadores,decodificadores,
multiplexor, demultiplexor,comparador de magnitud,
generador/chequeador deparidad. Multivibrador biestable: RS, D, JK
yT. Retenedor de datos [Latch] y registros.Contadores/Divisores de
frecuencia binarios.Registro de desplazamiento: Conversin S/P y
P/S.Anlisis y diseo de circuitos secuencialessincrnicos. Memorias
de semiconductor: ROM yRAM. Diseo combinacional y secuencial
utilizandomemorias ROM.
PROGRAMA DETALLADO
1. LGEBRA DE BOOLE
SISTEMAS DIGITALES - PROGRAMA - 4 -
Carlos Novillo Montero Can
OBJETIVO.- Al terminar este captulo el estudiante sercapaz de
reconocer los diferentes sistemas de numeracinrelacionados con los
dispositivos digitales: Compuertaslgicas, memorias,
microprocesadores y microcomputadores.Realizar operaciones
aritmticas con el sistema denumeracin binario. Conocer los cdigos
binariosalfanumricos. Utilizar los postulados, teoremas yconectivos
del lgebra de Boole para representar ysimplificar las funciones
lgicas que se utilizarn enel diseo digital.
1.1 Sistemas analgicos y digitales1.2 Sistemas de numeracin1.2.1
Aritmtica binaria1.2.2 Complemento restringido [complemento a
1]1.2.3 Complemento verdadero [complemento a 2]1.2.4 Otros cdigos
binarios: BCD, EXC-3, Gray, etc.1.2.5 Cdigos alfanumricos: EBCDIC y
ASCII1.3 Proposiciones y conectivos binarios1.3.1 Conectivo
AND1.3.2 Conectivo OR1.3.3 Operador NOT1.3.4 Compuerta NAND1.3.5
Compuerta NOR1.4 Postulados y teoremas del lgebra de Boole1.5
Universalidad de las compuertas NAND y NOR1.6 Simplificacin de
funciones utilizando lgebra
de Boole1.7 Formas estndar de las funciones Booleanas1.8
Representacin y simplificacin de funciones
-
SISTEMAS DIGITALES - PROGRAMA - 5 -
Carlos Novillo Montero Can
Booleana usando el mapa de Karnaugh1.8.1 Funciones
incompletamente especificadas
HABILIDADES DESARROLLADAS:- Diferenciar entre fenmenos fsicos
analgicos y
digitales.- Conocer diferentes tipos de numeracin,
especialmente
el binario, decimal y el hexadecimal.- Utilizar los postulados y
teoremas del lgebra de Boole
para simplificar las funciones booleanas.- Representar las
funciones booleanas en sus formas
cannicas [normalizadas] y simplificadas.
2. DISPOSITIVOS LGICOS MSI
OBJETIVO.- Al terminar este captulo el estudiante sercapaz de
construir circuitos combinacionales optimizadosa partir de diseos
que utilicen circuitos integradosde baja y mediada escala de
integracin (SSI y MSI).
2.1 Dispositivos Lgicos MSI [Redes de salidamltiple]
2.1.1 Definiciones2.1.2 Decodificadores de BCD-a-7
segmentos2.1.3 Sumador aritmtico binario2.1.4 Codificadores y
decodificadores2.1.5 Multiplexores y demultiplexores2.1.6
Comparadores de magnitud2.1.7 Generador/Chequeador de paridad2.2
Diseo usando circuitos MSI
SISTEMAS DIGITALES - PROGRAMA - 6 -
Carlos Novillo Montero Can
HABILIDADES DESARROLLADAS- Simplificar funciones booleanas
mediante el uso delmapa-K.- Disear circuitos combinacionales de
mediana escalade integracin.- Utilizar la tecnologa de CIs MSI para
implementar
circuitos combinacionales de mayor complejidad.
3. MULTIVIBRADORES BIESTABLES
OBJETIVO.- Al terminar este captulo el estudiante sercapaz de
relacionar los diferentes multivibradoresbiestables como las clulas
bsicas para el diseo decircuitos binarios secuenciales.
3.1 Dispositivos Multivibradores.3.1.1 Biestables RS asincrnico
y sincrnico3.1.2 Biestable tipo D3.1.3 Biestable RS, JK, D y T
Maestro-Esclavo [Master-
Slave]3.1.4 Entradas asincrnicas: Preset y Clear3.1.5 Biestable
Disparado por transicin [Edge-
Triggered]3.2 Aplicaciones de Flip-Flops3.2.1
Contadores/divisores de frecuencia asincrnicos3.2.2 Contadores
Ripple-Clock
HABILIDADES DESARROLLADAS- Analizar el funcionamiento de los
diferentes tipos
de multivibradores biestables.- Ilustrar la conversin entre los
diferentes tipos de
-
SISTEMAS DIGITALES - PROGRAMA - 7 -
Carlos Novillo Montero Can
biestables.
4. ANLISIS Y DISEO SECUENCIAL SINCRNICO
OBJETIVO.- Al terminar este captulo el estudiante sercapaz de
construir circuitos digitales secuenciales apartir de diseos que
utilicen circuitos integrados demediana complejidad.
4.1 Anlisis y diseo de circuitos secuencialessincrnicos
4.1.1 Anlisis de circuitos secuenciales4.2 Diseo de circuitos
secuenciales4.3.1 Contadores sincrnicos4.3.2 Contadores
Up/Down4.3.3 Contadores programables4.4 Registros de
desplazamiento4.4.1 Conversin Serie-Paralelo y Paralelo-Serie4.4.2
Contadores de anillo y Johnson4.5 Detectores de secuencia
HABILIDADES DESARROLLADASS Disear circuitos secuenciales
asincrnicos.S Disear circuitos secuenciales sincrnicos.S Disear
contadores binarios sincrnicos programables.- Disear contadores
binarios sincrnicos con CIs MSI.
5. MEMORIAS
OBJETIVO.- Al terminar esta unidad el estudiante sercapaz de
identificar los diferente tipos de memorias
SISTEMAS DIGITALES - PROGRAMA - 8 -
Carlos Novillo Montero Can
y su arquitctura para utilizarlas con otros circuitosdigitales.
Reconocer los diagramas de tiempo en losdiferentes tipos de
memorias. Modificar el formato delas memorias. Realizar diseos de
circuitoscombinacionales y secuenciales utilizando memorias
ROM.
5.1 Conexin memoria-microprocesador5.1.1 Terminologa usada5.2
Clasificacin de las memorias: ROM, PROM, EPROM,
EEPROM, RAM estticas y dinmicas5.3 Memorias solo para lectura
[ROM]5.3.1 Memoria ROM como encoder5.3.2 Memoria PROM5.3.3 Memorias
EPROM, EEPROM y Flash5.3.4 Temporizacin de la EPROM5.4 Memoria de
lectura/escritura [RAM]5.4.1 Arquitectura de la RAM5.4.2
Temporizacin de la RAM5.5 Arreglos de memorias5.6 Diseo de
circuitos digitales utilizando memorias
ROM5.6.1 Diseo combinacional5.6.2 Diseo secuencial
HABILIDADES DESARROLLADAS- Relacionar los diferentes tipos de
memorias con un
microprocesador y con el microcomputador.- Conocer las
diferencias y semejanzas con otros tipos
de memorias.- Conocer la arquitectura [partes constitutivas] y
la
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SISTEMAS DIGITALES - PROGRAMA - 9 -
Carlos Novillo Montero Can
temporizacin [formas de onda] de una ROM.- Modificar el formato
de las memorias RAM y ROM, para
aumentar la capacidad de almacenamiento de informacin.- Utilizar
memorias para el diseo de circuitos
combinacionales y secuenciales.
ANEXOS
1- Mtodo tabular Quine-McCluskey2- Otras funciones booleanas3-
Dispositivos Lgicos Programables [PLDs]4- Multivibradores
[Temporizadores]5- Punta de prueba digital6- Resumen de Circuitos
Integrados7- Diagrama de un reloj digital8- Matriz de 8x8 LEDs
BIBLIOGRAFA: [Autor. Ttulo. Editorial. Ciudad ao]
' Libros de texto:# Ronald J. Tocci/Neal S. Widmer. Sistemas
Digitales,
principios y aplicaciones, [Octava Edicin]. PrenticeHall
Hispanoamericana. Mxico 2003.
# M. Morris Mano. Diseo Digital. Prentice HallHipanoamericana.
Mxico 1987.
' Libros recomendados para consulta:# F. Hill y G. Peterson.
Switching Theory and Logical
Design. John Wiley & Sons. New York 1981.# John F. Wakerly.
Diseo Digital, principios y
prcticas. Prentice Hall Hipanoamericana. Mxico 2001.
SISTEMAS DIGITALES - PROGRAMA - 10 -
Carlos Novillo Montero Can
# M. Morris Mano. Arquitectura de Computadoras. PrenticeHall
Hipanoamericana. Mxico 1993.
# Texas Instruments. Diseo con Circuitos IntegradosTTL.
McGraw-Hill 1975.
# Manuales de los fabricantes de CIs TTL: TexasInstruments,
National Semiconductors, Motorola, ECG,NTE, Intel, Optoelectrnica,
etc.
# Revistas tcnicas y cualquier otro tipo de materialrelacionado
con esta asignatura.
# Sitios de Internet.
-
Carlos Novillo Montero Can
Micrfono
Seal Analgica
Lgica.- Disciplina filosfi-ca cuyo objeto es el estu-dio de la
estructura,fundamento y usos de lasexpresiones del conoci-miento
humano. Disposi-cin natural para racioci-nar con acierto.
Sistemas Digitales
CAPTULO 1INTRODUCCIN
SISTEMAS ANALGICOS Y SISTEMAS DIGITALES
Representacin Analgica.- Cantidad que se representapor medio de
otra que es proporcional a la primera.La deflexin de la aguja de un
velocmetro es pro-porcional a la velocidad de desplazamiento del
mvil.La posicin angular de la aguja representa el valorde la
velocidad y sigue cualquier cambio que ocurracuando el mvil acelera
o frena.
FIGURA 1.1
Velocmetro
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 2 -
Carlos Novillo Montero Can
Seal DigitalReloj Digital
Caracterstica de las cantidades analgicas.- Puedenvariar
gradualmente sobre un intervalo continuo devalores.
Representacin Digital.- No se utilizan valoresproporcionales
sino smbolos denominados dgitos.
FIGURA 1.2
Por ejemplo, en un reloj digital el tiempo se mideen horas,
minutos y segundos. El tiempo varacontinuamente, pero la lectura
digital no lo hacede la misma manera, sino que muestra el tiempo
cadasegundo. Una seal digital tiene un nmero finitode valores
discretos [fig.1.2], a diferencia de unaseal analgica que puede
tener un nmero infinitode valores en un rango finito de tiempo
[fig. 1.1].
Sin embargo, para fines prcticos, una sealdigital se limita a
solamente dos niveles: alto obajo, como se indica en la fig. 1.3,
en la que puedeverse que el nivel bajo corresponde a un rango
devalores que va desde 0V hasta 0,8V para voltajes deentrada y
desde 0V hasta 0,4V para voltajes de salida.
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 3 -
Carlos Novillo Montero Can
FIGURA 1.3
El nivel alto corresponde a un rango de voltajesque va desde 2V
hasta 5V para la entrada y desde 2,4Vhasta 5V para la salida. Estos
valores de voltajepara entrada y salida, que proporcionan
losfabricantes, corresponden a la tecnologa de circuitosintegrados
conocida como TTL [Lgica de Transistorcon Transistor] que se
utilizar en las Prcticas.
IHV VOLTAJE DE ENTRADA ALTO 2V - 5V
ILV VOLTAJE DE ENTRADA BAJO 0V - 0,8V
O HV VOLTAJE DE SALIDA ALTO 2,4V - 5V
O LV VOLTAJE DE SALIDA BAJO 0V - 0,4V
IHI CORRIENTE DE ENTRADA ALTO 20A - 50 A
ILI CORRIENTE DE ENTRADA BAJO -1,6mA
O HI CORRIENTE DE SALIDA ALTO -400A
O LI CORRIENTE DE SALIDA BAJO 16mA
Los valores que se indican en la tabla anteriorcorresponden a la
tecnologa TTL estndar y varan
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 4 -
Carlos Novillo Montero Can
de acuerdo con las sub-tecnologas de fabricacin.
Caracterstica de las cantidades digitales.- Varan en
etapasdiscretas.
ANALGICO: Variacin Continua
DIGITAL: Variacin Discreta
La lectura de fenmenos fsicos analgicos se prestaa
interpretaciones.
La lectura digital no presenta ambigedades.
Sistema Analgico.- Dispositivo que maneja informacinfsica
representada en forma analgica. Las cantidadesvaran en un intervalo
continuo de valores.
SISTEMA DIGITAL.- Maneja informacin discreta, puedeser
electrnico, mecnico, magntico o neumtico.
Ventajas de las Tcnicas Digitales
# MAYOR FACILIDAD PARA DISEAR CON CIs
# MAYOR FLEXIBILIDAD PARA IMPLEMENTAR LOS DISEOS
# FACILIDAD PARA ALMACENAR INFORMACIN
# MAYOR EXACTITUD Y PRECISIN
# PROGRAMACIN DE LA OPERACIN
# MAYOR INMUNIDAD AL RUIDO
# MAYOR GRADO DE INTEGRACIN
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 5 -
Carlos Novillo Montero Can
LIMITACIN DE LAS TCNICAS DIGITALES
EL MUNDO REAL ES FUNDAMENTALMENTE ANALGICO
Aplicaciones de los Circuitos Digitales
# COMPUTADORAS, CALCULADORAS
# MEDICIN DEL TIEMPO: RELOJES Y CRONMETROS
# TELEFONA DIGITAL
# RADIO Y TELEVISIN DIGITAL [ALTA FIDELIDAD]
# GRABACIN DE AUDIO Y VIDEO
# FOTOGRAFA MODERNA Y PROCESAMIENTO DIGITAL DE IMGENES
# EQUIPO MDICO
# MEDICINA COMPUTARIZADA A DISTANCIA
# REA INDUSTRIAL
# EXPLOTACIN PETROLERA
# SIMULACIN
# GENERADORES DE SEAL
# CONTROL ELECTRNICO EN AUTOMVILES
# CONTROL INTELIGENTE DE TRFICO
# EQUIPO DE MEDICIN: OSCILOSCOPIOS, ANALIZADORES Y
MULTMETROS
DIGITALES
# ELECTRODOMSTICOS: LAVADORAS, HORNOS DE MICROONDAS, ETC.
# VIDEO JUEGOS
FIGURA 1.4
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 6 -
Carlos Novillo Montero Can
SISTEMAS DE NUMERACIN
Sistema de Numeracin.- Se define como un conjuntode cifras y
siglas reunidas segn algunas leyesmatemticas para representar
valores numricos. Porejemplo, al nmero 352.91 se lo puede
representarde la siguiente forma.
MSD , + LSD 352.91 = 300 + 50 + 2 + 0.9 + 0.01,
. PUNTO DECIMAL
[MSD = Most Significant Digit Dgito ms significante]
[LSD = Least Significant Digit Dgito menossignificante]
Otra forma de escribir el nmero 352.91 es
352,91 = 3x100 + 5x10 + 2x1 + 9x0,1 + 1x0,01,
o tambin,
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 7 -
Carlos Novillo Montero Can
Del ejemplo se deduce que un sistema de numeracinest
caracterizado por los parmetros: Base, Dgitosy Ponderacin.
1. La Base del Sistema de Numeracin: B, puede sercualquier
entero positivo diferente de 0 y 1.Entonces B puede tomar los
valores 2, 3, 4, 5,6, ..., etc.
BASE
SISTEMA DE
NUMERACIN
2 BINARIO BIN
8 OCTAL OCT
10 DECIMAL DEC
16 HEXADECIMAL HEX
2. Los Dgitos del Sistema de Numeracin, son los smbolosque usan
los sistemas de numeracin pararepresentar cantidades o valores
numricos. Unsistema de numeracin de base B tiene B dgitos[smbolos o
guarismos] diferentes, estos son:0, 1, 2, ..., etc., hasta [B - 1].
Enconsecuencia, los sistemas de numeracin antesindicados usan los
siguientes smbolos o dgitos.
BASESISTEMA DE
NUMERACINDGITOS DEL SISTEMA DE NUMERACIN
2 BINARIO 0 y 1
8 OCTAL 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7
10 DECIMAL 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9
16 HEXADECIMAL 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y
F
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 8 -
Carlos Novillo Montero Can
Con la ayuda de estos smbolos como dgitos, sepuede expresar
cualquier cantidad.
3. Ponderacin, la base elevada a un exponente sedenomina
ponderacin o peso. Un valor numricopuede expresarse como un
sumatorio de productosentre los dgitos del sistema y una serie
ordenadade ponderaciones, correspondientes a las potenciaspositivas
o negativas de la base como se indicaa continuacin.
Este es un Sistema de Numeracin Posicional enel que la
ponderacin del dgito depende de suposicin dentro del nmero. De
manera que, el dgitode la derecha tiene la menor ponderacin
[menossignificante] y el de la izquierda, la mayorponderacin [ms
significante].
BDesarrollo Polinomial.- A un nmero cualquiera N selo puede
expresar de la siguiente manera.
Que en forma simplificada puede escribirse as
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 9 -
Carlos Novillo Montero Can
donde
B =
=
i =
m + 1 =
p =
Base del sistema de numeracincorrespondiente.Cualquiera de los
dgitos del sistemade numeracin.Lugar que ocupa el dgito en la
serieordenada que representa una cantidad oun valor numrico.Nmero
de dgitos correspondiente a laspotencias positivas (parte
entera).Nmero de dgitos correspondiente a laspotencias negativas
(partefraccionaria).
Los dgitos correspondientes a las potenciaspositivas y los
correspondientes a las potenciasnegativas estn separados por una
coma o un punto,dividiendo as en dos partes a los
dgitosrepresentativos.
Los dgitos a la izquierda del punto corresponden a la
parte entera [ponderaciones $ 1].
Los dgitos a la derecha del punto corresponden a la
parte fraccionaria [ponderaciones < 1].
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 10 -
Carlos Novillo Montero Can
Entonces, el nmero, en la base de numeracinB, quedara como:
B m m-1 0 -1 -2 -p+1 -pN = ... , ... Parte Entera,Parte
Fraccionaria
Conversin de la Base Decimal a una Base Cualquiera
B.- El procedimiento para convertir un nmero decimal10 B[X ] a
su equivalente en base B [X ], consiste en
10dividir el nmero en dos partes: entera [E ] y10fraccionaria [F
].
10 10 10A X = E ,F
Donde
10 101. E es la parte entera de X , tal que
10 102. F es la parte fraccionaria de X , tal que
Para determinar los coeficientes , que vendrana ser los dgitos
en el nuevo sistema de numeracin,
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 11 -
Carlos Novillo Montero Can
se procede en dos partes.
101 Parte entera E o
Si a este polinomio se lo divide por B, se tiene
C C C
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 12 -
Carlos Novillo Montero Can
El nmero en base B quedara como sigue
m 0Donde , ..., , representan los dgitos de la parteentera en el
nuevo sistema de numeracin.
102 Parte fraccionaria F o
Si a este polinomio se multiplica por B, se tiene:
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 13 -
Carlos Novillo Montero Can
1 2 3Donde E , E , E , etc. representan las partes1 2 3enteras
de los resultados y F , F , F , etc., las
nuevas partes fraccionarias. Este proceso continaphasta que F =
0, siempre que esto sea posible o hasta
obtener un error # . Donde es el mximo errorpermisible. La parte
fraccionaria del nmero quedarade la siguiente manera.
-1 -pEn este caso, , ..., , representan los dgitosde la parte
fraccionaria en el nuevo sistema denumeracin.
10Ejemplo.- Transformar el nmero 5142.36 a base:hexadecimal,
octal y binaria.
1 Parte entera [hexadecimal].o.
0 0 Residuo R = 6 = [LSD]
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 14 -
Carlos Novillo Montero Can
1 1 Residuo R = 1 =
2 2 Residuo R = 4 =
3 3 Residuo R = 1 = [MSD]
10 16A E = 1416
1 Parte entera [octal].ro.
0 0 Residuo R = 6 = [LSD]
1 1 Residuo R = 2 =
2 2 Residuo R = 0 =
3 3 Residuo R = 2 =
4 4 Residuo R = 1 = [MSD]
10 8A E = 12026
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 15 -
Carlos Novillo Montero Can
1 Parte entera [binario].o.
5142 0 0 [LSB]
12571 1 1285 1 2
3642 0 321 1 4
5160 0 80 0 6
740 0 20 0 8
910 0 5 1 10
112 0 1 1 12 [MSB]
0
Cociente Resid. Dgito
10 16A E = 1 0100 0001 0110
2 Parte fraccionaria [hexadecimal]o.
1 -1 10,36 X 16 = 5.76 E = 5 = F = 0,76 1 = 0,76 x 16-1
2 -2 20,76 X 16 = 12.16 E = 12 = F = 0,16 2 = 0,16 x 16-2
3 -3 30,16 X 16 = 2.56 E = 2 = F = 0,56 3 = 0,56 x 16-3
10 16A F = 0.5C2
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 16 -
Carlos Novillo Montero Can
2 Parte fraccionaria [octal]o.
1 -1 10.36 X 8 = 2.88 E = 2 = F = 0.88 1 = 0.88 x 8-1
2 -2 20.88 X 8 = 7.04 E = 7 = F = 0.04 2 = 0.04 x 8-2
3 -3 30.04 X 8 = 0.32 E = 0 = F = 0.32 3 = 0.32 x 8-3
4 -4 40.32 X 8 = 2.56 E = 2 = F = 0.56 4 = 0.56 x 8-4
10 8A F = 0.2702
2 Parte fraccionaria [binario]o.
1 -1 1 0,36 X 2 = 0,72 E = 0 = F = 0,72 1 = 0,72 x 2 -1
2 -2 2 0,72 X 2 = 1,44 E = 1 = F = 0,44 2 = 0,44 x 2 -2
3 -3 3 0,44 X 2 = 0,88 E = 0 = F = 0,88 3 = 0,88 x 2 -3
4 -4 4 0,88 X 2 = 1,76 E = 1 = F = 0,76 4 = 0,76 x 2 -4
5 -5 5 0,76 X 2 = 1,52 E = 1 = F = 0,52 5 = 0,52 x 2 -5
6 -6 6 0,52 X 2 = 1,04 E = 1 = F = 0,04 6 = 0,04 x 2 -6
7 -7 7 0,04 X 2 = 0,08 E = 0 = F = 0,08 7 = 0,08 x 2 -7
8 -8 8 0,08 X 2 = 0,16 E = 0 = F = 0,16 8 = 0,16 x 2 -8
9 -9 9 0,16 X 2 = 0,32 E = 0 = F = 0,32 9 = 0,32 x 2 -9
10 -10 100,32 X 2 = 0,64 E = 0 = F = 0,64 10 = 0,64 x 2-10
11 -11 110,64 X 2 = 1,28 E = 1 = F = 0,28 11 = 0,28 x 2-11
12 -12 120,28 X 2 = 0,56 E = 0 = F = 0,56 12 = 0,56 x 2-12
10 2A F = 0,010111000010
De manera que 10 16 5142,36 , / 1 416,5C2
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 17 -
Carlos Novillo Montero Can
10 85142,36 , / 12 026,217 2710 2 5142,36 , / 1 0100 0001
0110,0101 1100 0010
El error es = 0,56 x 8 = 0,56 x 16 = 0,56 x 2-3-4 -12= 136,72 x
10 .-6
Conversin desde Cualquier Base B a Decimal.- Paraconvertir un
nmero expresado en base B a decimal,se usa directamente la ecuacin
del desarrollopolinomial.
HEjemplo 1.- Convertir el nmero EC9,0B5 a su10equivalente
decimal (N ).
10N / E X 16 + C X 16 + 9 + 0 X 16 + B X 16 + 5 X 162 -1 -2
-310N = 14X246 + 12X16 + 9 + 0 + 11X0,00390625 +
+ 13X0,00024414110N = 3584 + 192 + 9 + 0,04296875 +
0,0012207031
2Ejemplo 2.- Convertir el nmero 11 0101,101 a su10equivalente en
base decimal (N )
10N = 1X2 + 1X2 + 0 + 1X2 + 0 + 1 + 1X2 + 0 + 1X25 4 2 -1 -310N
= 32 + 16 + 4 + 1 + 0,5 + 0,125
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 18 -
Carlos Novillo Montero Can
Otra forma, sera sumando las ponderaciones delos 1s que aparecen
en el nmero binario, como seindica a continuacin.
La siguiente tabla muestra algunas potencias de2 til para
facilitar la conversin de binario naturala decimal o viceversa.
n 2 2n -n
0 1 1
1 2 0,5
2 4 0,25
3 8 0,125
4 16 0,0625
5 32 0,03125
6 64 0,015625
7 128 0,0078125
8 256 0,00390625
9 512 0,00195313
10 1024 0,0009766
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 19 -
Carlos Novillo Montero Can
Direccin IP [IP Address].- Una direccin IP [InternetProtocol] es
nica y sirve para direccionar a uncomputador especfico conectado a
Internet o a unared local. La direccin tiene el formato a.b.c.d
dondea, b, c y d son nmeros entre 0 y 255 inclusive yse pueden
expresar en decimal o en binario, estnsujetos a una serie de reglas
y convenciones. Todaslas comunicaciones entre los computadores que
seencuentran conectados a Internet se basan endirecciones IP.
Ejemplo.- La direccin IP: 192.137.205.10, expresadaen decimal,
representarla en binario.
10 2Entonces: 192 = 1100 000010 2137 = 1000 100110 2205 = 1100
110110 2 10 = 0000 1010
Por tanto, la direccin IP correspondiente
es11000000.10001001.11001101.00001010 en binario.
Una tabla que resulta til para trabajar condirecciones IP, se
indica a continuacin.
2 2 2 2 2 2 2 2 DEC7 6 5 4 3 2 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 128
1 1 0 0 0 0 0 0 192
1 1 1 0 0 0 0 0 224
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 20 -
Carlos Novillo Montero Can
1 1 1 1 0 0 0 0 240
1 1 1 1 1 0 0 0 248
1 1 1 1 1 1 0 0 252
1 1 1 1 1 1 1 0 254
1 1 1 1 1 1 1 1 255
0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 1 0 2
0 0 0 0 0 1 0 0 4
0 0 0 0 1 0 0 0 8
0 0 0 1 0 0 0 0 16
0 0 1 0 0 0 0 0 32
0 1 0 0 0 0 0 0 64
1 0 0 0 0 0 0 0 128
Direccin MAC.- Es una direccin nica que se adjudicaa toda
estacin final [computador conectado aInternet] dentro de la
infraestructura (entre ellosse encuentran los adaptadores de LAN en
la placa base,a puertos de conmutadores y puertos de enrutadoreso
routers). Tambin se la conoce como direccin fsicao Ethernet de un
host.
Aritmtica Binaria.- Todas las operaciones aritmticasconocidas en
el sistema de numeracin decimal, puedentambin realizarse en
cualquier otro sistema denumeracin, para ello se aplican las mismas
reglasde la aritmtica comn. Aqu se estudiaran las cuatrooperaciones
bsicas: suma, resta, multiplicacin ydivisin, aplicadas al sistema
de numeracin binario.
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 21 -
Carlos Novillo Montero Can
TABLA DELA SUMA
0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10
TABLA DELA RESTA0 - 0 = 01 - 0 = 11 - 1 = 0
Suma Binaria
Ejemplo.- Dados los valores binariosde A y B obtener S = A
+B.DondeA = 101 1001,1110B = 100 0111,0011
1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 Carry [Exceso]
101 0 1 1 0 0 1 , 1 1 1 0 [= 89,875 ]
10 1 0 0 0 0 1 1 , 0 0 1 1 [= 67,1875 ]
101 0 0 1 1 1 0 1 , 0 0 0 1 [= 157,0625 ]
Entonces,2 10S = 1001 1101.0001 [/ 157.0625 ]
Resta Binaria
Ejemplo.- Dados los valores binariosde A y B obtener R = A
-B.Donde:A = 110 1101,1001B = 101 1110,0101
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 22 -
Carlos Novillo Montero Can
TABLA DE LAMULTIPLICACIN
0 x 0 = 00 x 1 = 01 x 0 = 01 x 1 = 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 Borrow [Pedir prestado]
101 1 0 1 1 0 1 , 1 0 0 1 [= 109,5625 ]
10- 1 0 0 0 0 1 1 , 0 1 0 1 - [= 67,3125 ]
100 1 0 1 0 1 0 , 0 1 0 0 [= 42,2500 ]
Entonces2 10R = 10 1010,01 [42,25 ]
Multiplicacin Binaria
Ejemplo.- Dados los valoresbinarios de A y Bobtener P = A x
B.Donde:
10A = 1101,101 [13,625 ]10B = 1010,011 [10,375 ]
101 1 0 1 , 1 0 1 [= 13,625 ]
10x 1 0 1 0 , 0 1 1 [= 10,375 ]
1 1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 1 0 1 0 0
1 1 0 1 1 0 1 0
101 0 0 0 1 1 0 1 , 0 1 0 1 1 1 [= 141,359375 ]
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 23 -
Carlos Novillo Montero Can
TABLA DELA DIVISIN0 1 = 01 1 = 1
Entonces
2 10P = 1000 1101,0101 11 [/ 141,359372 ]
Divisin Binaria
Ejemplo.- Dados los valores binariosde A y B obtener Q = A B y
el Residuo.
10A = 110 0101,101 [101,625 ]10B = 1101,01 [13,25 ]
) ) ) ) )
1 1 0 0 1 0 1 1 0 , 1 110101
1 1 0 1 0 1 111,101
1 1 0 0 0 0 1
1 1 0 1 0 1
1 0 1 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 1
Entonces
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 24 -
1.- El trmino bit significa dgito binario, del ingls binary
digit.
Carlos Novillo Montero Can
2 10 Q = 111,101 [/ 7,625 ]2 10RESIDUO = 0,10011 [/ 0,59375
]
Finalmente, conviene indicar que cualquier operacinmatemtica,
simple o compleja, puede resolverse enforma de sumas.
Representacin de Nmeros Bipolares UtilizandoComplementos.- La
representacin por medio decomplementos sirve para trabajar con
nmeros positivosy negativos, es decir con cantidades bipolares.
Paraindicar el signo se emplea un dgito adicional. Enel caso del
sistema de numeracin binaria, que esel que se utiliza en las
computadoras, generalmenteel 0 indica el signo positivo y el 1 el
signo negativo[convenio que se usar]. El dgito para el signo
ocupala posicin ms significante.Para trabajar con complementos es
necesario
establecer un determinado nmero de dgitos, tantopara la parte
entera como para la fraccionaria y,como se mencion, un bit ms para
el signo.1La representacin de cantidades por medio de
complementos facilita la realizacin de lasoperaciones aritmticas
bsicas, puesto que se usanlos mismos circuitos sumadores binarios;
esto se debeal hecho de que a la resta se la puede implementar
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 25 -
2.- En el sistema binario, al Complemento Restringido [a B-1] se
lodenomina Complemento a 1 y en decimal, Complemento a 9.
Carlos Novillo Montero Can
mediante una suma entre el minuendo y el complementodel
substraendo.En las computadoras, los dispositivos digitales
[sumadores, comparadores, registros, etc.] trabajancon un
determinado nmero bien definido de dgitosbinarios, por tanto
conviene acostumbrarse arepresentar las cantidades binarias con un
mismonmero de cifras. Por ejemplo, para un microprocesador
10[CPU] de 8-bits, el 0 se escribe como
10 20 / 0000 0000 ,
10el 1 , como
10 21 / 0000 0001 ,
10el 127 , como
10 2127 / 0111 1111 .
En los sistemas de numeracin existen dos tipos decomplemento,
que se los utiliza con mucha frecuencia:Complemento Restringido y
Complemento Verdadero.
Complemento Restringido (a B-1).- El ComplementoRestringido de
un nmero se encuentra indicando2
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 26 -
Carlos Novillo Montero Can
primero, con cuantos dgitos efectivos se va atrabajar, luego se
agrega el dgito del signo.Generalmente se usa el 0 para indicar una
cantidadpositiva y (B - 1) para indicar una cantidad negativa.Una
vez realizado este proceso, al nmero as obtenidose lo resta de [B -
1]s, tantos como dgitos tengala nueva representacin del nmero. En
el caso delsistema de numeracin binario [base 2], se resta de1s [2
- 1]s, como puede verse a continuacin.
Ejemplo: Encontrar el complemento restringido2[complemento a 1]
del nmero 11 1001.0110 1 .
Considere que se va a trabajar con 11 dgitos parala parte entera
8 dgitos para la parte fraccionariay el dgito adicional para el
signo.
Signo
, + 11 1001,0110 1 = 0000 0011 1001,0110 1000 ___ valor numrico
___
Observe que la parte entera del nmero originalsolamente tiene
6-bits, por lo que es necesariocompletar con 5 ceros a la
izquierda; de la mismamanera, la parte fraccionaria se completa con
los0s necesarios hacia la derecha, a esto hay que agregarel bit del
signo, que es el 0 que est al extremoizquierdo. Por claridad se han
realizado agrupacionesde 4-bits.
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 27 -
Carlos Novillo Montero Can
A continuacin, se procede a restar el nmero asobtenido de un
valor formado por tantos 1s como bitstenga el nuevo nmero.
Signo;
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1- 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0
1 , 0 1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 , 1 0 0 1 0 1 1 1 ____Dgitos
correspondientes al valor numrico_____
En este caso, el bit del extremo izquierdo de larespuesta,
indica que el resultado es un nmero consigno negativo, es decir
S
10+ 11 1001,0110 1 = 0000 0011 1001,0110 1000 [/ +57,40625 ]
S
10- 11 1001,0110 1 = 1111 1100 0110,1001 0111 [/ -57,40625 ]
es la representacin de los nmeros positivo ynegativo en
complemento a 1 respectivamente.
Una forma fcil [algoritmo] para obtener elcomplemento a 1 de un
nmero binario es: primerocompletar el nmero de bits requerido, y
luego cambiarlos 0s por 1s y los 1s por 0s. Por ejemplo,
paraobtener el complemento a 1 de: A = 1010 1101,1001,con el nmero
de bits del ejemplo anterior, se tendr
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 28 -
Carlos Novillo Montero Can
S+ A = 0000 1010 1101,1001 0000,
entonces su complemento a 1 ser S
- A = 1111 0101 0010,0110 1111.
Una aplicacin prctica de la representacin decantidades usando
complementos, es en operacionesde sustraccin puesto que se la puede
convertir asuma, si previamente se obtiene el complemento
delsustraendo. Para realizar la operacin
R = A - B,
se obtiene el complemento de B, que se representarcomo B ,
entonces*
R = A - B = A + (-B) = A + B*
puesto que B = -B, representa el complemento de B.*
Sustraccin con Complemento a 1.- Los siguientesejemplos
ilustrarn la metodologa que se debe seguircuando se trabaja con
complemento a 1.
Ejemplo 1.- Mediante el uso del complemento a 1,realice la
operacin A - B, con los siguientes datos.
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 29 -
Carlos Novillo Montero Can
A = 111 0110,101B = 100 1100,10
111 0110,101 - 100 1100,1010[118,625 - 76,5] .
Como se indic, es necesario que el minuendo yel substraendo
tengan el mismo nmero de dgitos,tanto para la parte entera como
para la fraccionariay que se aada un bit para el signo. En este
ejemplose utilizarn 11-bits para la parte entera, ocho parala
fraccionaria y 1 para el signo, de manera que lascantidades
originales tendran la siguienterepresentacin. S + A = 111 0110,101
= 0000 0111 0110,1010 0000 + B = 100 1100,10 = 0000 0100 1100,1000
0000
ahora, se debe sacar el complemento a 1 delsubstraendo, como se
indic anteriormente. S B* = - B = 1111 1011 0011,0111 1111
Luego se procede a realizar la suma entre elminuendo y el
complemento a 1 del substraendo.
Signo;
0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 , 1 0 1 0 0 0 0 0- 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1
1 , 0 1 1 1 1 1 1 1
Exceso 1[Carry]
0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 , 0 0 0 1 1 1 1 1 _Dgitos
correspondientes al valor numrico_
42,121093751
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 30 -
Carlos Novillo Montero Can
Se observa la generacin de un exceso [carry],tambin se ve que la
respuesta no es exacta. Paragenerar la respuesta correcta, es
necesario sumarel exceso, que se form, al bit menos significantedel
resultado previo, como se indica a continuacin.
S0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 , 0 0 0 1 1 1 1 1
10 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 , 0 0 1 0 0 0 0 0
10 [42,125 ]
Este nuevo valor s corresponde al resultado exactode la resta
pedida. Este procedimiento, de sumar elexceso al dgito menos
significante, debe seguirsecada vez que se genere un carry al
realizaroperaciones con complemento restringido.
Al analizar la respuesta de este ejemplo, se veque el bit del
signo es 0, lo que implica un valorpositivo como era de esperarse
al restar un nmeromenor de uno mayor.
En el siguiente ejemplo, se estudia el caso derestar una
cantidad mayor de otra menor.
Ejemplo 2.- Realice la siguiente operacin:
1010 1101,0011 - 1 1101 0001,101,10[173,1875 - 465,625]
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 31 -
Carlos Novillo Montero Can
utilice complementos a 1, 11-bits para la parteentera, 8-bits
para la parte fraccionaria y el bitdel signo.
S +A = + 1010 1101,0011 = 0000 1010 1101,0011 0000 +B = + 1 1101
0001,101 = 0001 1101 0001,1010 0000
B* = - 1 1101 0001,101 = 1110 0010 1110,0101 1111
Como siempre, la respuesta se obtiene sumando elminuendo con el
complemento a 1 del substraendo.
S0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 , 0 0 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 , 0 1 0 1 1 1 1 11 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
, 1 0 0 0 0 1 1
Como puede verse, no se ha generado un carry. Elbit del signo es
1, lo que implica un resultadonegativo. Cuando se resta un nmero
mayor de unomenor, usando complementos, se genera un carry = 0.Como
el resultado es negativo, para obtener lamagnitud de la respuesta,
es necesario sacarnuevamente el complemento de la respuesta,
entonces
S1110 1101 1011,1000 1111 / -001 0010 0100,0111 0000
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 32 -
3.- En el sistema binario, al Complemento Verdadero [a B] se lo
denominaComplemento a 2 y en decimal, Complemento a 10.
Carlos Novillo Montero Can
El equivalente decimal de la respuesta sera
-292,43751
En este caso, ya no es necesario hacer el ajustepara obtener la
respuesta exacta.
Complemento Verdadero (a B).- Para obtener elComplemento
Verdadero de un nmero se procede de3un modo similar que para
obtener el complementorestringido. Es decir, se trabaja con un
nmerodefinido de dgitos para la parte entera y para lafraccionaria
a ms del dgito del signo que siguesiendo [B - 1] y que se escribe
en el extremoizquierdo del nmero [dgito ms significante]. Enel caso
de Complemento Verdadero, la resta se realizade un 1 seguido de
tantos 0s como dgitos tenga elnuevo nmero; el 1 se lo escribe antes
de la columnadel signo.
Ejemplo.- Obtener el complemento verdadero2[complemento a 2] del
nmero binario A = 11 0101.01 .
Trabaje con 7-bits para la parte entera, 4-bits parala parte
fraccionaria y 1-bit para el signo.
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 33 -
Carlos Novillo Montero Can
S , +A = + 11 0101,01 = 0011 0101,0100
Observe que la parte entera del nmero originalsolamente tiene
6-bits, por lo que es necesariocompletar con 0s a la izquierda; de
la misma manera,la parte fraccionaria se completa con los
0snecesarios hacia la derecha, a esto hay que agregarel bit del
signo, que es el 0 que est al extremoizquierdo. Despus se procede a
restar el nmero asobtenido de un valor formado por tantos 0s como
bitstenga el nuevo nmero a los que se agrega un 1 alextremo
izquierdo, como se muestra en seguida.
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0
- 0 0 1 1 0 1 0 1 , 0 1 0 01 1 0 0 1 0 1 0 , 1 1 0 0 _____ valor
numrico ______
En este caso el bit del extremo izquierdo, indicaque el
resultado es un nmero con signo negativo,es decir S
10 + 11 0101,01 = 0011 0101,0100 [= + 53,25 ]10 - 11 0101,01 =
1100 1010,1100 [= - 53,25 ]
es la representacin de los nmeros positivo y
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 34 -
Carlos Novillo Montero Can
negativo en complemento a 2 respectivamente.Otra forma de
conseguir el complemento a 2 de un
nmero binario es obtener, en primer lugar, elcomplemento a 1 del
nmero y luego sumar 1 al bitmenos significante [al bit del extremo
derecho].Tambin puede sacarse el complemento a 2 de un
nmerobinario, empezando por el extremo derecho [menossignificante]:
se copian todos los 0s hasta encontrarel primer 1 que tambin se lo
copia, a partir de esepunto todos los dems dgitos se complementan
unoa uno [es decir, se cambian los 0s por 1s y los 1spor 0s].
Aritmtica con Complemento Verdadero.- Al igual queen el caso del
complemento a 1, el complemento a 2puede emplearse para convertir
una operacin desustraccin en una de suma, si previamente se
obtieneel complemento a 2 del substraendo. De manera que,para
realizar la operacin
R = A - B,
se obtiene el complemento a 2 de B, que tambin serepresentar
como B , entonces*
A - B = R = A + B*
puesto que B = -B, representa el complemento a 2*de B.
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 35 -
Carlos Novillo Montero Can
Ejemplo 1.- Realice la operacin A - B, usandocomplemento a 2.
Emplee 10-bits para la parte entera,4-bits para la parte
fraccionaria y uno para el signo.Los valores de A y B se indican en
el ejemplo.
10A = 1110 0001,1011 [= 225,6875 ]10B = 1101 0000,1101 [=
208,8125 ]
10A + A = 000 1110 0001,1011 [= + 225,6875 ]10 + B = 000 1101
0000,1101 [= + 208,8125 ]
10A B = 111 0010 1111,0011 [= - 208,8125 ]*
La sustraccin, usando complemento a 2 se realizasumando el
minuendo con el complemento a 2 delsubstraendo, como se observa a
continuacin.
SA = 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 , 1 0 1 1
+ B* = 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 , 0 0 1 1Exceso
se deshecha1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 , 1 1 1 0
10Respuesta = 16,875
En el caso del trabajar con complemento verdadero,el dgito del
carry se deshecha. Esto simplifica elproceso aritmtico. Debido a
esto, el complemento
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 36 -
Carlos Novillo Montero Can
a 2 es el ms utilizado en las computadoras digitales.En el
ejemplo anterior, se ve que el bit del signo
es 0, lo que implica un resultado positivo. Si setuviera un
resultado negativo [bit del signo iguala 1], habra que obtener el
complemento a 2 delresultado para conocer su magnitud, como se
estudiaen el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.- Realice la operacin A - B, usandocomplemento a 2.
Emplee 11-bits para la parte entera,4-bits para la parte
fraccionaria y uno para el signo.Los valores de A y B se indican a
continuacin.
10A = 110 1001,0011 [= 105,1875 ]10B = 1011 0110,1001 [=
182,5625 ]
10A + A = 0000 0110 1001,0011 [= + 105,1875 ]10 + B = 0000 1011
0110.1001 [= + 182,5625 ]
10A B = 1100 0100 1001,0111 [= - 182,5625 ]*
La sustraccin, usando complemento a 2 se realizasumando el
minuendo con el complemento a 2 delsubstraendo, como se indica a
continuacin.
SA = 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 , 0 0 1 1
+ B* = 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 , 0 1 1 11 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0
, 1 0 1 0
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 37 -
Carlos Novillo Montero Can
Puesto que el dgito del signo es 1, la respuestaes negativa, si
se quiere obtener la respuesta endecimal con signo, es necesario
sacar el complementoa 2 de la respuesta binaria, como se ve en
seguida.
2R = -000 0100 1101,0110 , o lo que es lo mismo
10Respuesta = -77,375
Ejemplo 3.- Con los siguientes datos binarios realicela operacin
aritmtica indicada. Todo el procesodebe realizarlo en complemento a
2, nicamente elresultado final convertirlo a decimal.
Datos:A = 1 1 1 0 1 1 0 1 , 1 0 0 1
B = 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 , 1 0 1
C = 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 , 1 1 1
D = 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 , 1 0 0 1
Operacin aritmtica
1 2 1 2R = (D - A) R = (C - B) R = R - R
Se utilizarn 13-bits para la parte entera, 5-bitspara la parte
fraccionaria y 1-bit para el signo.Entonces
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 38 -
Carlos Novillo Montero Can
S+ A = 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 , 1 0 0 1 0
+ B = 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 , 1 0 1 0 0
+ C = 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 , 1 1 1 0 0
+ D = 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 , 1 0 0 1 0
S- A = 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 , 0 1 1 1 0
- B = 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 , 0 1 1 0 0
Entonces
S
+ D = 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 , 1 0 0 1 0
- A = 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 , 0 1 1 1 0
1R = 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 , 0 0 0 0 0
S+ C = 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 , 1 1 1 0 0
- B = 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 , 0 1 1 0 0
2R = 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 , 0 1 0 0 0
2puesto que este resultado parcial [R ] es negativopara realizar
la operacin correctamente hay quevolver a obtener el complemento a
2 de este valor.Es decir
S2R = 11 1101 0000 1001,0100 0
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 39 -
Carlos Novillo Montero Can
por tanto,
R2 = 00 0010 1111 0110,1100 0
finalmente
S
1+ R = 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 , 0 0 0 0 0
2+ R = 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 , 1 1 0 0 0
R = 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 , 1 1 0 0 0
La respuesta binaria es
2Respuesta = +000 0101 0101 1100,1100 0
y en decimal
10R = 2 + 2 + 2 +2 + 2 + 2 + 2 + 210 8 6 4 3 2 -1 -2
10R = 1024 + 256 + 64 +16 + 8 + 4 + 0,5 + 0,25 =+1372,75
10Respuesta = +1372,75
Cdigos de Numeracin Binaria.- La representacin decantidades por
medio de algn arreglo de dgitos sedenomina nmero, cdigo o palabra.
En el sistemade numeracin binaria existen varias formas de
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 40 -
Carlos Novillo Montero Can
codificar o de representar cantidades. A continuacinse muestran
las ms comunes.
Cdigo Binario Natural.- En este cdigo, los bits a laizquierda
del punto se denominan enteros y los dela derecha fraccionarios.
Las ponderaciones sonpositivas y ascendentes hacia la izquierda a
partirdel punto y negativas y descendentes hacia la derechadel
punto. La siguiente tabla muestra los nmerosenteros de 4-bits
[binario] con sus equivalentes en:octal, decimal, hexadecimal, BCD,
EXC-a-3 y GRAYobserve que en BCD existen 6-cdigos binarios queno se
utilizan.
Otros Cdigos Binarios.- El Binario Natural es el cdigoms
comnmente usado; sin embargo, existen otrasformas de codificar la
informacin, dependiendo delprocesamiento que se le dar a la
misma.
BIN OCT DEC HEX BCD EXC-3 GRAY
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 2 2 2 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1
0 0 1 1 3 3 3 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 4 4 4 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0
0 1 0 1 5 5 5 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1
0 1 1 0 6 6 6 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
0 1 1 1 7 7 7 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0
1 0 0 0 10 8 8 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 41 -
Carlos Novillo Montero Can
1 0 0 1 11 9 9 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1
1 0 1 0 12 10 A 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 13 11 B 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0
1 1 0 0 14 12 C 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0
1 1 0 1 15 12 D 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1
1 1 1 0 16 13 E 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1
1 1 1 1 17 15 F 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
Decimal Codificado en Binario (BCD).- En el cdigo BCD[Binary
Coded Decimal = Decimal Codificado enBinario], cada dgito decimal
est representado porun grupo de 4-bits, a esta agrupacin se la
denominaquad. Cada quad tiene 4-bits [con ponderaciones:8, 4, 2 y
1] con 10 valores permisibles de 0 a 9.En la codificacin BCD, los
quads con valoressuperiores a 9 [1010, 1011, 1100, 1101, 1110,
1111]no estn permitidos, por tanto, nunca se usan en BCD.
10De modo que para representar el nmero 12 en BCDBCDsera 1 0010
. Al cdigo BCD se lo utiliza
principalmente en diferentes tipos de medidores depanel, por
ejemplo en voltmetros digitales.
Cdigo Exceso de 3.- Puede decirse que el cdigo excesode 3 es una
modificacin del cdigo BCD, puesto queel primero se forma aadiendo 3
al cdigo BCD.Eventualmente se lo utiliza en lugar del BCD debidoa
que posee ventajas en algunas operacionesaritmticas. La tabla
anterior muestra el cdigoexceso de 3 y su equivalente BCD.
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 42 -
Carlos Novillo Montero Can
Cdigo de Gray [Reflejado].- Es un cdigo binario enel que la
posicin del bit no tiene significacinnumrica [ponderacin]; sin
embargo, cada cdigo deGray corresponde a un mismo nmero decimal.
Fcilmentese lo puede transformar a su equivalente binario.En la
tabla anterior se presentan los cdigos de Grayy binario natural
para los nmeros del 0 hasta el15. Despus se hace una comparacin
entre los doscdigos para determinar las relaciones que
permitanconvertir el uno en el otro y viceversa.Como puede verse en
esta tabla, en el cdigo de
Gray, cuando el valor de un nmero cambia, latransicin de un
cdigo al siguiente implica el cambiode un solo dgito a la vez.Por
observacin de la tabla, puede decirse que la
conversin del cdigo de Gray al cdigo binario serealiza de la
siguiente manera: El bit correspondienteal extremo izquierdo [MSB]
es el mismo tanto enel cdigo de Gray como en el binario; al
continuarhacia la derecha, si el siguiente bit de Gray es
1,entonces el prximo bit binario es el complementodel anterior bit
binario. Pero si el siguiente bitde Gray en 0, entonces el prximo
bit binario esla copia del bit binario anterior.
Ejemplo: 1010 [Gray] A 1100 [binario]
CG CB 1110 0110 0011 A 1011 1011 1101
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 43 -
Carlos Novillo Montero Can
De igual manera, la conversin de cdigo binario acdigo de Gray
puede deducirse a partir de la tablaanterior. El MSB binario es el
mismo MSB de Gray;continuando la lectura hacia la derecha, cada
cambioen el cdigo binario produce un 1 y cada no cambioproduce un 0
en el cdigo de Gray.
CB CGEjemplo: 1011 A 1110
CB CG1110 0101 1000 A 1001 0111 0100
El cdigo de Gray es til en aquellas aplicacionesen las que
pueden presentarse cdigos intermediosfalsos, que podran ocurrir en
otros cdigos.
Cdigos Bipolares.- Existe una gran variedad de cdigosbinarios,
entre otros: Signo-Magnitud, Complementoa 1, Complemento a 2,
Binario Desplazado [Offset],Todo Complementado, etc. Estos cdigos
sirven pararepresentar cantidades tanto positivas como
negativas[para lo cual un dgito representa el signo y losotros la
magnitud del nmero]. Los cdigos bipolaresms comunes [para 4-bits
incluido el signo] se indicanen la siguiente tabla.
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 44 -
Carlos Novillo Montero Can
VALOR
DECIMAL
SIGNO
MAGNITUD
BINARIO
OFFSET
COMPLEMENTO
a-1
COMPLEMENTO
a-2
7 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
6 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
5 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
4 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
2 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
-1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
-2 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0
-3 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1
-4 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0
-5 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1
-6 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0
-7 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1
-8 0 0 0 0 1 0 0 0
Los cdigos Signo-Magnitud y Binario Offsetconceptualmente son
simples, pero representandificultades al querer implementarlos en
software.Mucho ms fcil es implementar los cdigos Complementoa-1 y
Complemento a-2, que son los ms usados en lascomputadoras. El cdigo
signo-magnitud y el complementoa 1 tienen dos cdigos binarios para
representar elvalor decimal 0, lo que constituye un problema.
Cdigos Alfanumricos.- Son cdigos que sirven para
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 45 -
Carlos Novillo Montero Can
representar caracteres tanto numricos comoalfabticos, en los que
tambin se incluyen loscdigos correspondientes a los signos de
puntuacin,de control y otros: , , #, $, %, /, &, *, (, ),_, -,
+, , etc. Uno de ellos es el cdigo EBCDIC[Extended Binary-Coded
Decimal Interchange Code].Es un cdigo que usa 8 dgitos binarios
pararepresentar un carcter simple, dando un mximoposible de 256
caracteres. Es utilizado como unsistema de cdigo en muchos
computadores. El cdigoEBCDIC es simplemente el cdigo BCD extendido
a 8-bits.
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 46 -
Carlos Novillo Montero Can
Asignacin de Cdigos EBCDICParte I
HEX MSD 0 1 2 3 4 5 6 7
BITS
b7 0 0 0 0 0 0 0 0
b6 0 0 0 0 1 1 1 1
b5 0 0 1 1 0 0 1 1
b 0LSD9 b3 b2 b1 0 1 0 1 0 1 0 1b 4
0 0 0 0 0 NUL DLE DS SP & -
1 0 0 0 1 SOH DC1 SOS
2 0 0 1 0 STX DC2 FS SYN
3 0 0 1 1 ETX DC3
4 0 1 0 0 PF RES BYP PN
5 0 1 0 1 HT NL LF RS
6 0 1 1 0 LC BSEOB
ETBUC
7 0 1 1 1 DEL ILPRE
ESCEOT
8 1 0 0 0 CAN
9 1 0 0 1 RLF EM \
A 1 0 1 0 SMM CC SM ! | :
B 1 0 1 1 VT . $ ' #
C 1 1 0 0 FF IFS DC4 < * % @
D 1 1 0 1 CR IGS ENQ NAK ( ) _
E 1 1 1 0 SO IRS ACK + ; > =
F 1 1 1 1 SI IUS BEL SUB ? "
Caracteres de Comando
NUL Null
SOH Start of Heading
STX Start of Text
ETX End of Text
PF Punch Off
HT Horizontal Tab
LC Lower Case
DEL Delete
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 47 -
Carlos Novillo Montero Can
RLF Reverse Line Feed
SMM Start of Manual Message
VT Vertical Tabulation
FF Form Feed
CR Carriage Return
SO Shift Out
SI Shift In
DLE Data Link Escape
DC1 Device Control 1
DC2 Device Control 2
DC3 Device Control 3
RES Restore
NL New Line
BS Backscape
IL Idle
CAN Cancel
EM End of Medium
CC Cursor Control
IFS Interchange File Separator
IGS Interchange Group Separator
IRS Interchange Record Separator
IUS Interchange Unit Separator
DS Digit Select
SOS Start of Significance
FS Field Separator
BYP Bypass
LF Line Feed
EOB/ETB End of B lock/End of
Transmission Block
PRE/ESC Prefix/Escape
SM Set Mode
ENQ Enquiry
ACK Ackmowledge
BEL Bell
SYN Synchronous Idle
PN Pench On
RS Reader Stop
UC Upper Case
EOT End of Transmission
DC4 Device Control 4
NAK Negative Acknowledge
SUB Substitute
SP Space
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 48 -
Carlos Novillo Montero Can
Asignacin de Cdigos EBCDICParte II
HEX MSD 8 9 A B C D E F
BITS
b7 1 1 1 1 1 1 1 1
b6 0 0 0 0 1 1 1 1
b5 0 0 1 1 0 0 1 1
b 0LSD9 b3 b2 b1 0 1 0 1 0 1 0 1b 4
0 0 0 0 0 { } \ 0
1 0 0 0 1 a j ~ A J 1
2 0 0 1 0 b k s B K S 2
3 0 0 1 1 c l t C L T 3
4 0 1 0 0 d m u D M U 4
5 0 1 0 1 e n v E N V 5
6 0 1 1 0 f o w F O W 6
7 0 1 1 1 g p x G P X 7
8 1 0 0 0 h q y H Q Y 8
9 1 0 0 1 i r z I R Z 9
A 1 0 1 0
B 1 0 1 1
C 1 1 0 0
D 1 1 0 1
E 1 1 1 0
F 1 1 1 1
bits 7654 3210Ej. Cdigo de la letra N = 1101 0101 = D5H
Ejemplo.- Encuentre el cdigo EBCDIC [HEX] delsiguiente texto:
Politcnica Nacional.
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 49 -
Carlos Novillo Montero Can
P o l i t e c n i c a
D7 96 93 89 A3 85 83 95 89 83 81 40
N a c i o n a l .
D5 81 83 89 96 95 81 93 4B
Otro cdigo alfanumrico de 7-bits, muy utilizadopor la mayora de
fabricantes de computadoras, esel ASCII [American Standard Code for
InformationInterchange], cuya tabla se muestra a continuacin.
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 50 -
Carlos Novillo Montero Can
Asignacin de Cdigos ASCII
HEX
LSD9
MSD 6 0 1 2 3 4 5 6 7
BITS
b7 0 0 0 0 0 0 0 0
b6 0 0 0 0 1 1 1 1
b5 0 0 1 1 0 0 1 1
b3 b2 b1 b4b0
0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 0 NUL DLE SP 0 @ P ` p
1 0 0 0 1 SOH DC1 ! 1 A Q a q
2 0 0 1 0 STX DC2 " 2 B R b r
3 0 0 1 1 ETX DC3 # 3 C S c s
4 0 1 0 0 EOT DC4 $ 4 D T d t
5 0 1 0 1 ENQ NAK % 5 E U e u
6 0 1 1 0 ACK SYN & 6 F V f v
7 0 1 1 1 BEL ETB ' 7 G W g w
8 1 0 0 0 BS CAN ( 8 H X h x
9 1 0 0 1 HT EM ) 9 I Y i y
A 1 0 1 0 LF SUB * : J Z j z
B 1 0 1 1 VT ESC + ; K [ k {
C 1 1 0 0 FF FS , < L \ l |
D 1 1 0 1 CR GS - = M ] m }
E 1 1 1 0 SO RS . > N ^ n ~
F 1 1 1 1 SI US / ? O _ o DEL
Caracteres de Comando
NUL Null, or all zeros
SOH Start of Heading
STX Start of Text
ETX End of Text
EOT End of Transmission
ENQ Enquiry
ACK Acknowledge
BEL Bell (audible or attention signal)
BS Backspace
HT Horizontal Tabulation (punched
-
CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 51 -
Carlos Novillo Montero Can
card skip)
LF Line Feed
VT Vertical Tabulation
FF Form Feed
CR Carriage Return
SO Shift Out
SI Shift In
DLE Data Link Escape
DC1 Device Control 1
DC2 Device Control 2
DC3 Device Control 3
DC4 Device Control 4 (stop)
NAK Negative Acknowledge
SYN Synchronic Idle
ETB End of Transmission Block
CAN Cancel
EM End of Medium
SUB Substitute
ESC Escape
FS File Separator
GS Group Separator
RS Record Separator
US United Separator
DEL Delete
SP Space
Ejemplo.- Encuentre el cdigo ASCII [HEX] del siguientetexto:
Politcnica Nacional.
P o l i t e c n i c a
50 6F 6C 69 74 65 63 6 69 63 61 20
N a c i o n a l .
4 61 63 69 6F 6 61 6C 2
D:\-\SD_Cpas\SD-Cap1Col.wpd
Revisin: Septiembre - 2008
-
1.- George Boole, matemtico ingls del siglo XIX, invent el
lgebrabinaria o lgica que lleva su nombre: lgebra booleana.
Carlos Novillo Montero Can
l g e b r a d e B o o l e
El lgebra de Boole utiliza variables que tienensolo dos valores
posibles, esto lo sintetiz Shannonusando ideas que inicialmente las
expres elmatemtico ingls: George Boole . A diferencia de1las
variables del lgebra comn [que pueden tomarun nmero infinito de
valores en un rangodeterminado], una variable booleana, por ejemplo
A,puede tomar solamente 2 valores, que generalmentese los relaciona
con VERDADERO y FALSO. Sin embargo,se les puede asignar otros
valores, tal como:caliente/fro, macho/hembra, alto/bajo, etc.
Pararepresentar los 2 posibles valores de las variablebooleanas se
utilizan los smbolos 0 y 1. GeneralmenteA = 1 significa que A es
VERDADERO en un sentidobooleano, mientras que A = 0 indica que A es
FALSO.Entonces una variable booleana puede estar relacionadaa algn
tem de informacin, por ejemplo, A = 1,significa que un interruptor
asociado con A estabierto y A = 0 significa que el mismo
interruptorest cerrado. Otra variable, B, puede relacionarsea la
temperatura de una habitacin, siendo VERDADERAcuando la temperatura
exceda los 21C y FALSA en otrocaso o viceversa.
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 58 -
Carlos Novillo Montero Can
Las variables booleanas no toman valores cuantitativos, pero
pueden usarse para representar informacin cuantitativa.
Porejemplo, se pueden usar 4-variables booleanas pararepresentar un
nmero binario de 4-dgitos. Cadavariable puede estar relacionada a
uno de los coefi-cientes del nmero binario, indicando que el
coefi-ciente tiene un valor de 1 cuando la variable es VERDA-DERA y
un valor 0 cuando es FALSA [o el inverso deesto]. De esta manera
las 16 posibles combinaciones
10pueden estar relacionadas a las cantidades 0-15 ,que puede
tomar el nmero binario. Conociendo losvalores VERDADERO/FALSO de
cada una de las variables,posibilitar el clculo de la cantidad que
ellarepresenta. Para trabajar con variables booleanas,se utilizan
operadores similares a los del lgebracomn. A estos operadores
booleanos comnmente selos conoce como conectivos lgicos.
Proposiciones y Conectivos Lgicos
Proposicin Planteamiento de un teorema o de un problema quese
debe demostrar o resolver.
Premisa Supuesto material, no necesariamente vlidolgicamente, a
partir del que se infiere una conclusin.
Conectivo Son los operadores [o compuertas] del lgebra de
Boole,similares a los del lgebra comn, y representan a los
circuitos digitales ms fundamentales. En este captulo
se describe su operacin mediante el uso del lgebra
de Boole. Se estudia cmo pueden combinarse entre
s varias compuertas para implementar circuitos lgicos
ms complejos.
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 59 -
Carlos Novillo Montero Can
VariableBooleana
Las variables booleanas slo pueden tomar dos valores
lgicos: 0 o 1. En un circuito lgico, una variable
booleana puede representar ausencia o presencia de
voltaje. En una proposicin lgica, la variable booleana
puede ser falsa o verdadera. En general slo tienen dos
opciones posibles.
A continuacin se dan algunos ejemplos de variablesbooleanas.
L L0 1
FALSO VERDADERO
BAJO ALTO
ABIERTO CERRADO
ARRIBA ABAJO
APAGADO ENCENDIDO
FRO CALIENTE
NOCHE DA
DESCONECTADO CONECTADO
SIN VOLTAJE CON VOLTAJE
NEGATIVO POSITIVO
NO SI
Conectivo AND [Conjuncin Y].- Sirve para unir doso ms
proposiciones que pueden ser verdaderas ofalsas, por ejemplo, sea
la proposicin compuesta:
Y = Somos estudiantes de la EPN y asistimos a laclase de
Sistemas Digitales
Para analizar cundo la proposicin Y es verdaderao cundo es
falsa, se la divide en dos subpro-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 60 -
Carlos Novillo Montero Can
posiciones: A y B.
A = Somos estudiantes de la EPNB = Asistimos a la clase de
Sistemas Digitales
Con la ayuda de la siguiente tabla, se puededeterminar cuando la
proposicin Y es verdadera ofalsa.
B A Y B A Y
FALSO FALSO FALSO F F F
FALSO VERDADERO FALSO F V F
VERDADERO FALSO FALSO V F F
VERDADERO VERDADERO VERDADERO V V V
TABLA DE VERDAD DEL CONECTIVO AND DE 2-ENTRADAS
En la tabla anterior, si no somos estudiantes dela EPN, entonces
la proposicin A es FALSA y si noasistimos a la clase de Sistemas
Digitales, laproposicin B tambin es FALSA, por tanto Y es FALSA.De
igual manera, si somos estudiantes de la EPN, Aes VERDADERA, si no
asistimos a la clase de SistemasDigitales, B es FALSA, entonces Y
es FALSA. Si no somosestudiantes de la EPN, A es FALSA, si
asistimos a laclase de Sistemas Digitales, B en VERDADERA, pero
Ysigue siendo FALSA. Finalmente si somos estudiantesde la EPN, A es
VERDADERA; si asistimos a la clasede Sistemas Digitales, B es
VERDADERA, por tanto Yes VERDADERA.
El conectivo AND implica que una proposicin es
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 61 -
Carlos Novillo Montero Can
FIGURA 1.5 a) b) c)
VERDADERA cuando todas las subproposiciones que laconforman son
VERDADERAS.
La conjuncin es la proposicin de que A y B sonciertos. A los
conectivos lgicos se los puedeimplementar fsicamente de diferentes
maneras, entreotras con interruptores y recibe el nombre
decompuerta AND, cuyo circuito se muestra en la fig.1.5 (a) y los
smbolos lgicos utilizados en lasrepresentaciones esquemticas en la
fig. 1.5 (b).La fig. 1.5 c) muestra el smbolo IEEE del
CI-7400,junto con la tabla de verdad. Si a una respuesta FALSA
Lse le asigna el valor lgico 0 [0 ] y a una respuestaLVERDADERA
se le asigna el valor lgico 1 [1 ], la tabla
anterior puede escribirse como se muestra en lasiguiente tabla,
que es la forma ms comn depresentar una tabla de verdad. Cuando se
hace as,esta tabla puede relacionarse con un producto lgico[no
producto aritmtico] y la proposicin Y puedeexpresarse as
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 62 -
Carlos Novillo Montero Can
FIGURA 1.6 a) b)
B A Y
L L L0 0 0
L L L0 1 0
L L L1 0 0
L L L1 1 1
TABLA DE VERDAD DEL CONECTIVO AND PARA 2-ENTRADAS
En el circuito de la fig. 1.5 (a), un interruptorL Labierto
significa 0 y un interruptor cerrado, 1 ,
L Lun LED apagado = 0 y un LED encendido = 1 .
La fig. 1.6 a) muestra la distribucin de pinesdel CI-7408 que
tiene 4 compuertas AND de 2-entradas.
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 63 -
Carlos Novillo Montero Can
La fig. 1.6 b) muestra la circuitera de una compuertaAND con
tecnologa TTL, con salida Totem-Pole. Losdiodos de las entradas
sirven para proteger a lacompuerta de voltajes negativos y reciben
el nombreingls de diodos clamp.
Conectivo OR [Disyuncin O].- Sirve para separardos o ms
proposiciones que pueden ser VERDADERAS oFALSAS. Sea la proposicin
compuesta:
Y = Jaime, sabe jugar ftbol o bsquet?
Para saber cundo la proposicin Y es VERDADERA ocundo es FALSA,
se la divide en dos subproposiciones:A y B.
A = Jaime sabe jugar ftbol B = Jaime sabe jugar bsquet
La siguiente tabla permite analizar en qucondiciones la
proposicin Y es verdadera o falsa.
B A Y B A Y
FALSO FALSO FALSO F F F
FALSO VERDADERO VERDADERO F V V
VERDADERO FALSO VERDADERO V F V
VERDADERO VERDADERO VERDADERO V V V
TABLA DE VERDAD DEL CONECTIVO OR DE 2-ENTRADAS
En la tabla anterior, si Jaime no sabe jugarftbol, entonces la
proposicin A es FALSA y si nosabe jugar bsquet, la proposicin B
tambin es FALSA,por tanto Y es FALSA. Si Jaime sabe jugar ftbol,
A
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 64 -
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FIGURA 1.7 a) b) c)
es VERDADERA, pero no sabe jugar bsquet, B es FALSA,entonces Y
es VERDADERA. Si Jaime no sabe jugar ftbol,A es FALSA, pero si sabe
jugar bsquet, B en VERDADERA,entonces Y es VERDADERA. Finalmente si
Jaime sabe jugarftbol, A es VERDADERA, y sabe jugar bsquet, B
esVERDADERA, por tanto Y es VERDADERA. Si a una respuesta
LFALSA se le asigna el valor lgico 0 [0 ] y a unarespuesta
VERDADERA se le asigna el valor lgico 1
L[1 ], la tabla anterior puede escribirse como semuestra en la
siguiente tabla. Cuando se hace as,esta tabla puede relacionarse
con una suma lgica[no suma aritmtica] y la proposicin Y
puedeexpresarse as
B A Y
L L L0 0 0
L L L0 1 1
L L L1 0 1
L L L1 1 1
TABLA DE VERDAD DEL CONECTIVO OR PARA 2-ENTRADAS.
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 65 -
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La fig. 1.8 a) muestra la distribucin de pinesdel CI-7432 que
tiene 4 compuertas OR de 2-entradas.La fig. 1.8 b) muestra la
circuitera de una compuertaOR con tecnologa TTL con salida
Totem-Pole.
Operador NOT [Inverter o Inversor].- Se lo define paraun solo
argumento; el operador NOT invierte el valor
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 66 -
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lgico del argumento de entrada; tambin se lo conocecomo Inversor
o Complemento.
A Y A Y
L LF V O 1
L LV F 1 O
TABLA DE VERDAD DEL OPERADOR NOT
La funcin lgica del inversor se la representamediante la
siguiente ecuacin booleana.
El circuito del inversor con interruptor y contransistor se
muestra en la fig. 1.9 a); los smbolos
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 67 -
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a) b)FIGURA 1.10 COMPUERTA NOT TTL [TOTEM-POLE]
FIGURA 1.11 a) b) c)
lgicos en la fig. 1.9 b) y el smbolo IEEE en lafig. 1.9 c). La
fig. 1.10 a) muestra la distribucinde pines del CI-7404 que tiene 6
compuertas NOT. Lafig. 1.10 b) muestra la circuitera de una
compuertaNOT con tecnologa TTL con salida Totem-Pole.
Compuerta NAND [Conectivo NAND].- Es un dispositivocompuesto por
un conectivo NOT conectado a la salidade un compuerta AND, como se
muestra en la fig. 1.11a); las figs. 1.11 b) y c) corresponden a
los smboloslgicos.
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 68 -
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FIGURA A.12 a) b) c)
B A Y
L L L0 0 1
L L L0 1 1
L L L1 0 1
L L L1 1 0
TABLA DE VERDAD DEL CONECTIVO NAND PARA 2-ENTRADAS
La fig. 1.12 a) muestra la distribucin de pinesdel CI-7400 que
tiene 4 compuertas NAND de 2-entradas.La fig. 1.12 b) muestra la
circuitera de unacompuerta NAND con tecnologa TTL con salida
Totem-Pole. Se observa que la estructura circuital esidntica al de
la compuerta NOT, la nica diferenciaes que el transistor de entrada
tiene un solo emisoren la compuerta NOT y varios emisores en
lascompuertas NAND [en este caso dos].
La fig. 1.13 a) muestra la distribucin de pinesdel CI-7401 que
tiene 4 compuertas NAND de 2-entradas.
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 69 -
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a) b) c)FIGURA 1.13 4-COMPUERTA NAND DE 2-ENTRADAS SALIDA
COLECTOR ABIERTO
La fig. 1.13 b) muestra la circuitera de unacompuerta NAND de
tecnologa TTL con salida enColector Abierto [O. C. = Open
Collector].
La fig.1.13 c) muestra el smbolo lgico IEEE delCI-7401, observe
el rombo subrayado a la salida dela compuerta, que indica que se
trata de salidas encolector abierto.
Compuerta NOR [Conectivo NOR].- Se obtieneconectando una
compuerta NOT a la salida de unacompuerta OR, como se indica en la
fig. 1.14 a);las figs. 1.14 b) y c) muestran los smbolos lgicosde
la compuerta NOR, la fig. 1.14 d) corresponde alsmbolo IEEE.
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 70 -
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La fig. 1.15 a) muestra la distribucin de pinesdel CI-7402 que
tiene 4 compuertas NOR de 2-entradas.La fig. 1.15 b) muestra la
circuitera de unacompuerta NOR con tecnologa TTL con salida
Totem-
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 71 -
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FIGURA 1.16 a) b) c)
Pole.
Conjuntos Universales o Completos.- El conjunto decompuertas
AND-OR-NOT [A-O-N] constituye un conjuntouniversal o funcionalmente
completo, porque usandoexclusivamente estas 3-compuertas se puede
implementarcualquier circuito lgico, desde el ms simple hastael ms
complejo. Por ejemplo, el computador digitalms grande est
constituido por millones de compuertasA-O-N combinadas de alguna
manera.
Como un ejemplo de ello se va a implementar lafuncin
OR-Exclusiva [XOR] usando compuertas A-O-N.Un ejemplo de proposicin
XOR sera: En estemomento, Jaime se encuentra jugando ftbol o
estesquiando, Es obvio que Jaime no puede realizar losdos deportes
al mismo tiempo. La siguiente tabla deverdad muestra la definicin
de la funcin XOR.
El circuito de la compuerta XOR requiereinterruptores de doble
posicin, y se muestra en la
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 72 -
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FIGURA 1.17 a) b)
fig. 1.16 a). La fig. 1.16 b) corresponde a lossmbolos de la
compuerta XOR y la fig. 1.16 c)corresponde al smbolo IEEE.
B A Y
L L LO O O
L L LO 1 1
L L L1 O 1
L L L1 1 O
La fig. 1.17 a) muestra la implementacin de lacompuerta XOR
utilizando el conjunto de compuertasA-O-N, mientras que la fig.
1.17 b) muestra ladistribucin de pines del CI-7486/386 que
correspondea 4 compuertas XOR; los inversores sirven para generar y
; la compuerta 2 genera el trmino ; la
compuerta 3 genera el trmino , finalmente lacompuerta 1 genera
la funcin , quees la funcin XOR.
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 73 -
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Resumen de Compuertas Lgicas Bsicas
CI Y FUNCINSMBOLO-1
[TRADICIONAL]
SMBOLO-2
[IEEE - ANSI]
TABLA DE
VERDAD
AND
7408
0R
7432
NOT
7404
NAND
7400
NOR
7402
XOR
7486
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 74 -
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Postulados y Teoremas del lgebra de Boole.- En el lgebrade Boole
existen varios postulados, identidades yteoremas bsicos.
Postulado.- Principio cuya admisin es necesaria paraestablecer
una demostracin. Verdad evidente que nonecesita demostrarse.
Identidad.- Igualdad cuyos dos miembros son idnticos.
Teorema.- Enunciado de una proposicin o de unapropiedad que se
demuestra por un razonamiento lgicoa partir de hechos dados o de
hiptesis, includosen este enunciado. Proposicin cientfica que se
puededemostrar.
Postulados [de Huntington] 0 x 0 = 0 1 + 0 = 1
0 x 1 = 0 1 + 0 = 1
1 x 0 = 0 0 + 1 = 1
1 x 1 = 1 0 + 1 = 0
= 0 = 1 Complemento
PRODUCTO LGICO SUMA LGICA
Principio de Dualidad.- Si se observa los postuladosy las
relaciones algebraicas anteriores, se ve quehay dos formas para
cada uno de ellos. Esto pareceimplicar que debera comprobarse ambas
relaciones.
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 75 -
2.- Taylor L. Booth.- Digital Network and Computer Systems.-
WileyInternational Edition.- 1978.
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Sin embargo, el principio de dualidad simplifica2el esfuerzo.
Este principio establece que cada teorematiene un dual que se puede
obtener:
a) INTERCAMBIANDO LOS OPERADORES AND Y OR DE LAS
EXPRESIONES.
b) INTERCAMBIANDO LOS ELEMENTOS 0 Y 1 DE LAS EXPRESIONES.
c) LA FORMA DE LAS VARIABLES [SI LAS HUBIERA] NO CAMBIA.
0 . 1 = 0 a . 1 = a 1 + 0 = 1 a + 0 = a
En el caso de que existan variables, estaspermanecen sin
cambios.
ADVERTENCIA.- Si es el dual de la funcin esto no implica que las
dos expresiones
sean iguales. La verdad de esta advertencia severifica fcilmente
examinando las funciones en losejemplos dados arriba.
Este principio permite demostrar dos teoremas conel esfuerzo de
una sola prueba. Si se puede probar,con una serie de pasos lgicos,
que un teorema dadoes verdadero, entonces, inmediatamente se sabe
queel dual del teorema original tambin es verdadero,puesto que el
dual de los pasos lgicos que pruebanel teorema original, prueban el
teorema dual.
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 76 -
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Proposiciones Elementales.- Las proposiciones bsicaso
elementales del lgebra de Boole se establecen apartir de las tablas
de verdad de los conectivos ANDy OR, como se indica en la siguiente
tabla.
a . a = a a + a = a Idempotencia [Tautologa] Complementos
a . 1 = a a + 0 = a Identidadesa . 0 = 0 a + 1 = 1 Elementos
nulos
Involucin
Leyes Fundamentales
Ley CONMUTATIVA
Ley ASOCIATIVA
Ley DISTRIBUTIVA
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 77 -
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Teoremas
Teorema de ABSORCIN (COBERTURA)
Teorema de REDUNDANCIA
Demostracin Tabular
Y X X + Y
O O 1 O O O
O 1 O O 1 1
1 O 1 1 1 1
1 1 O O 1 1
La tabla anterior es una forma vlida de realizarla demostracin
de una igualdad [identidad] booleana.Recibe el nombre de
demostracin por induccincompleta, porque se analizan todas las
posiblescombinaciones de las variables de entrada. En estecaso se
observa que las dos columnas de la derechason iguales, lo que
implica que los dos lados de laidentidad booleana son iguales.
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 78 -
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Teorema de CONSENSO
Teorema de COMBINACIN
Teorema de DeMORGAN
Teorema de Expansin de SHANNON
Ejemplo.- Aplicacin del teorema de expansin deShannon. Expandir
la funcin simplificada: F= . En primera instancia se expandir
lavariable B que falta en el segundo trmino y despusse completar la
variable C que falta en el primertrmino.
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 79 -
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Simplificacin de Funciones Booleanas Utilizando los
Teoremas del lgebra de Boole.- La ecuacin booleanade una funcin
lgica se la puede obtener de su tablade verdad; en general ser
posible simplificar esaecuacin para obtener la funcin ms simple
posible,la funcin booleana simplificada es la que seimplementar con
las compuertas lgicas. Laimportancia de la simplificacin se debe a
que alreducir el nmero de compuertas se disminuye el nmerode
conexiones, el tamao fsico del circuito, lapotencia disipada por el
mismo, el costo total e,inclusive, el nmero de errores que
puedenintroducirse cuando se implementa el circuito. Elcircuito que
se implementar es el que tenga el menornmero de compuertas y el
menor nmero de conexiones.Una forma de simplificar una ecuacin
booleana esmediante el uso de los postulados y teoremas dellgebra
de Boole que se acaba de estudiar. Esto seilustra con los
siguientes ejemplos.
Ejemplo 1.- Utilizando compuertas A-O-N, implementarla siguiente
funcin booleana. Despus simplificarla funcin, implementarla con
compuertas A-O-N.Comparar los dos circuitos.
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 80 -
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F I G U R A 1 . 1 9C I R C U I T OSIMPLIFICADO
FIGURA 1.18 CIRCUITO NOSIMPLIFICADO
IDENTIDADCOMPLEMENTOS
DISTRIBUTIVAIDEMPOTENCIA DISTRIBUTIVACOMPLEMENTOSIDENTIDAD
El circuito no simplificado, correspondiente ala ecuacin
original se muestra en la fig. 1.18 yla funcin simplificada se
indica en el circuito dela fig. 1.19; se observa que este ltimo es
muchoms sencillo que el circuito sin simplificar. De modoque el
circuito de la fig. 1.19 es el que debeutilizarse en la
prctica.
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 81 -
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FIGURA 1.20 CIRCUITO NO SIMPLIFICADO
F I G U R A 1 . 2 1 C I R C U I T OSIMPLIFICADO
Ejemplo 2.- Utilizando compuertas A-O-N, implementarla siguiente
funcin booleana. Despus simplificarla funcin e implementarla con
compuertas A-O-N.Comparar los dos circuitos.
La funcin simplificada es .
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 82 -
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El circuito no simplificado, correspondiente ala ecuacin
original se muestra en la fig. 1.20 yla funcin simplificada se
indica en la fig. 1.21.Se observa que el segundo circuito es mucho
mssencillo que el circuito sin simplificar, amboscumplen la misma
funcin, sin embargo, el ingenieronecesariamente debe optar por el
segundo [mssimplificado].
Problemas.- Simplificar las siguientes funcionesbooleanas.
Demostrar que
Ejemplo.- Determinar la ecuacin booleana del circuitode la fig.
1.22.
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 83 -
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En el circuito de la fig 1.22, el inversor [com-puerta 4] genera
; la compuerta AND [2], generael trmino ; la compuerta XOR [3], el
trmino
; finalmente, la compuerta OR [1], genera lafuncin: , que es la
respuesta.
Universalidad de las Compuertas NAND y NOR.- Dela misma manera
en que las compuertas A-O-N, cons-tituyen un conjunto completo, la
compuerta NAND, porsi sola, constituye un conjunto completo, es
decirutilizando exclusivamente compuertas NAND se puedeimplementar
cualquier red lgica, por compleja quesea. Lo mismo podemos decir de
la compuerta NOR.
Ejemplo.- Utilizando solamente compuertas NAND,implementar la
compuerta XOR, cuya funcin estdefinida como
[Involucin]
[DeMorgan]
FIGURA 1.22
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 84 -
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FIGURA 1.23
FIGURA 1.24
La salida del circuito de la fig. 1.23 es. En la fig. 1.23, un
circuito XOR con
compuertas NAND, se ve que el nmero de conectivosque se ha
requerido para implementar la compuertaXOR, utilizando compuertas
NAND, es el mismo que elque se us con compuertas A-O-N.
El circuito de la fig. 1.24, con solo 4-compuertasNAND de
2-entradas, tambin corresponde a unacompuerta XOR, es decir, .
Ejemplo.- Utilizando solamente compuertas NOR,implementar la
compuerta XOR, cuya funcin estdefinida como
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 85 -
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FIGURA 1.25
[Involucin]
[DeMorgan]
En la fig. 1.25 se ve que el nmero de compuertasNOR que se
requieren para implementar la compuertaXOR, es el mismo que el que
se us con compuertasA-O-N o con compuertas NAND [fig. 1.23].
Ejemplo.- Simplificar la funcin que se indica acontinuacin,
implementar la funcin simplificadacon compuertas A-O-N y con
compuertas NAND.
Si se agrupan los trminos 1 y 3 se elimina la
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 86 -
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variable B, y que dara el trmino ACD, al agruparlos trminos 2 y
5, tambin se elimina la variableB, el trmino que queda es , al
agrupar lostrminos 1 y 4, se elimina la variable A, el trminoque
queda es BCD, as mismo, al agrupar los trminos5 y 6, se elimina la
variable D y el trmino que quedaes . Por tanto la funcin en una
primerasimplificacin quedara como
En la ecuacin anterior pueden agruparse los trmino1 y 2, porque
solo cambia la variable C, que es laque se eliminar. Finamente la
funcin simplificadaquedara como
Que puede implementarse con compuertas A-O-N. Parahacerlo con
compuertas NAND, puede utilizarse la mismametodologa que se utiliz
para implementar la funcinXOR con compuertas NAND y NOR, que fueron
Involuciny el teorema de DeMorgan. De modo que la funcinbooleana
para la implementacin con compuertas NANDqueda como
La fig. 1.26 , muestra el circuito implementado
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 87 -
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FIGURA 1.26
con A-O-N y con NAND. Las compuertas 5 y 6 [NOT],tambin pueden
implementarse con NAND.
Ejemplo.- Simplificar la funcin que se indica acontinuacin,
implementar la funcin simplificadacon compuertas A-O-N y con
compuertas NOR.
Si se agrupan los trminos 1 y 3 se elimina lavariable X, lo que
genera el trmino , alagrupar los trminos 3 y 4, se elimina la
variabley, el trmino que queda es [X + Z], y al agrupar lostrminos
3 y 5, se elimina la variable Z, el trmino
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 88 -
Carlos Novillo Montero Can
FIGURA 1.27
que queda es , puede observarse que el trmino2 no puede
agruparse con ninguno y por tanto no sepuede simplificar. La funcin
simplificada quedaracomo
Que puede implementarse con compuertas A-O-N. Parahacerlo con
compuertas NOR, puede utilizarse la mismametodologa que se utiliz
para implementar la funcinXOR con compuertas NAND y NOR, que fueron
Involuciny el teorema de DeMorgan. De modo que la funcin
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 89 -
Carlos Novillo Montero Can
FIGURA 1.28
booleana para la implementacin con compuertas NORquedara
como
La fig. 1.27 muestra el circuito implementado conA-O-N y con
NOR. Las compuertas 6, 7 y 8 [NOT],tambin pueden implementarse con
NOR.
Representacin de las variables booleanas.- Para representaruna
variable booleana [en el Laboratorio], por ejemplola variable A, se
puede utilizar un interruptor y
DCuna resistencia y un voltaje de 5V .
La fig. 1.28, muestra el circuito, de manera quecuando el
interruptor est abierto la variable A toma
Lel valor 1 y cuando est cerrado la variable A tomaLel valor 0
.
Cuando se tiene un grupo de variables booleanas,se puede usar el
circuito que se muestra en la fig.1.29 En este caso se utiliza un
DIP-Switch de 8interruptores, con lo que pueden tener hasta
8posibles variables [A, B, C, D, E, F, G y H].
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 90 -
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FIGURA 1.29
Para poder observar el valor que toma una variablede salida, por
ejemplo la variable Y, se puedeutilizar el circuito de la fig.
1.30, que usa un LEDy un transistor NPN, que funciona como
amplificadorEmisor-Comn que trabaja en corte y saturacin.
Cuando la seal Y [salida de una compuerta AND,Lpor ejemplo] toma
el valor 0 el transistor est en
FIGURA 1.30
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 91 -
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corte y el LED no se enciende, cuando la seal Y =L1 , el
transistor se satura aproximadamente a 10mACC[V = 5V] y el LED se
enciende.
Formas Estndar de las Funciones Booleanas.- Se havisto que es
posible describir una funcin booleanamediante una tabla de verdad
que muestra los valoresde la funcin para todas las posibles
combinacionesde 0s y 1s de sus argumentos o variables de entrada.De
la misma manera, se ha visto que otra forma depresentar el
comportamiento de una funcin es medianteuna ecuacin booleana. En
esta seccin se estudiarcmo obtener una ecuacin booleana que est
descritapor una tabla de verdad.
Representacin de una Funcin Booleana Utilizando los
1s de la Tabla de Verdad [Minterms].- Para esto seutilizar el
siguiente ejemplo: Disear un circuitolgico que tiene de 3-variables
de entrada [C, B yA] y una variable de salida [Y], de tal manera
quecuando en las entradas haya un nmero impar de 1s,
Lla salida [Y] tome el valor 1 , en cualquier otroLcaso la
salida debe ser 0 . Este circuito recibe el
nombre de detector/generador de paridad.
Solucin.- La siguiente tabla de verdad muestra elcomportamiento
del circuito lgico pedido. Para re-solver este problema se han
utilizado 4-variables
1 2 3 4 Lauxiliares: Y , Y , Y y Y , una por cada 1 que
tiene
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 92 -
Carlos Novillo Montero Can
la variable de salida Y. Cada variable auxiliar generaun
producto lgico de las variables de entrada [por
4ejemplo, Y = CBA], adems tiene un mnimo de 1s yun mximo de 0s.
Por esta razn, a los trminosgenerados por cada una de las variables
auxiliares[1s, en la tabla de verdad], se lo denomina trminomnimo
(minterm).
4 3 2 1C B A Y Y Y Y Y minterms
O O O O O O O O
O O 1 1 O O O 1
O 1 O 1 O O 1 O
O 1 1 O O O O O
1 O O 1 O 1 O O
1 O 1 O O O O O
1 1 O O O O O O
71 1 1 1 1 O O O CBA = m
Puede observarse que en cada uno de los trminosgenerados, estn
presentes las 3-variables de entrada,en su forma normal o en su
forma complementada. Ahorabien, la variable de salida Y,
corresponde a la sumalgica de las 4-variables auxiliares, es
decir
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 93 -
Carlos Novillo Montero Can
A este tipo de ecuacin booleana, en la que encada trmino estn
presentes todas las variables deentrada, en su forma normal o en su
formacomplementada, se la denomina forma estndar o formacannica. En
este caso
FORMA CANNICA DISYUNTIVA
SUMA DE TRMINOS MNIMOS [MINTERMS]
SUMA EXPANDIDA DE PRODUCTOS
DESCOMPOSICIN EN MINTERMS
A los minterms, se los representa con una m[minscula] y un
subndice que corresponde alequivalente decimal del nmero binario
del que
2 10proviene; por ejemplo, m111 / m7 . De modo que, enel ejemplo
anterior, la correspondiente ecuacintambin se expresa de las
siguientes maneras
En general, una funcin de N-variables de entradapuede tener
hasta 2 minterms. Para el caso de 3-Nvariables de entrada, los
correspondientes minterms
0 1 2 3 4 5 6 7seran: m , m , m , m , m , m , m y m . Cada
mintermse genera de la siguiente manera: si la variable de
Lentrada tiene el valor 0 , la variable aparececomplementada; si
la variable de entrada tiene el
Lvalor 1 la variable aparece en su forma normal [sin
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 94 -
Carlos Novillo Montero Can
FIGURA 1.31
complemento].En la mayora de ocasiones se puede simplificar
una funcin cannica booleana. En el ejemplopropuesto, es posible
hacer esto, en cuyo caso laecuacin simplificada es la que se indica
acontinuacin.
Y = A r B r C
El circuito lgico se indica en la fig. 1.31.
En algunos casos es posible generalizar el diseode un circuito
lgico. De la ecuacin anterior seve que para implementar un
detector/generador deparidad impar de mayor nmero de variables de
entradapuede generalizarse. Por ejemplo para 4-variablesde entrada
[D, C, B, A], la funcin de salida ser
que requiere 3 compuertas XOR como se muestra en la
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 95 -
Carlos Novillo Montero Can
FIGURA 1.32
fig. 1.32.
Representacin de una Funcin Booleana Utilizando los
0s de la Tabla de Verdad [Maxterms].- La funcinbooleana de un
circuito lgico puede escribirse uti-lizando los 0s de la tabla, en
vez de los 1s comose hizo anteriormente. En este caso, en lugar de
tenersumas de productos se tienen productos de sumas ycada 0 genera
un factor en la ecuacin co-rrespondiente.
Ejemplo.- Disear un circuito digital que disponede 3-entradas
[C, B y A] y una salida [Y]. La salidadebe ser 1 cuando en las
entradas haya un nmero imparde 1s [detector/chequeador de
paridad].
C B A Y Maxterms
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 96 -
Carlos Novillo Montero Can
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
A los trminos generados por cada uno de los 0sde la tabla de
verdad, se los denomina trmino mximo(maxterm). Puede observarse que
en cada uno de lostrminos generados, estn presentes las
3-variablesde entrada, en su forma normal [cuando la variable
Lcorrespondiente vale 0 ] o en su forma complementadaL[cuando la
variable correspondiente vale 1 ]. De ma-
nera que la ecuacin completa utilizando los 0s dela tabla de
verdad quedara como se muestra en lasiguiente ecuacin.
Esta ecuacin booleana, tambin es una formaestndar o forma
cannica. En este caso
FORMA CANNICA CONJUNTIVA
PRODUCTO DE TRMINOS MXIMOS [MAXTERMS]
PRODUCTO EXPANDIDO DE SUMAS
DESCOMPOSICIN EN MAXTERMS
En general, una funcin de N-variables de entradapuede tener
hasta 2 maxterms. Para el caso de 3-Nvariables de entrada, los
correspondientes maxterms
0 1 2 3 4 5 6 7seran: M , M , M , M , M , M , M Y M . Cada
maxterm
-
CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 97 -
Carlos Novillo Montero Can
se genera de la siguiente manera: si la variable deLentrada
tiene el valor 0 , la variable aparece en
su forma normal [sin complemento]; si la variableLde entrada
tiene el valor 1 la variable aparece
complementada. A los maxterms, se los representa conuna M
[mayscula] y un subndice que