Sistemas de Optimización de Recursos · fin de maximizar las utilidades y minimizar los costos. Para llevar a cabo esta tarea los administradores ... Dentro de la Investigación

Marzo, 2010

Sistemas de Optimización de Recursos


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I. Historia. Durante la Segunda Guerra Mundial, hacia 1941, un grupo de científicos se reunió para estudiar la mejora de las complejas operaciones militares, principalmente en el área de logística. Estimulados por el evidente éxito de la investigación de operaciones en lo militar, los industriales comenzaron a interesarse en este nuevo campo. Como la explosión industrial seguía su curso al terminar la guerra, los problemas causados por el aumento de la complejidad y especialización dentro de las organizaciones pasaron a primer plano. Comenzó a ser evidente para un gran número de personas, incluyendo a los consultores industriales que habían trabajado con o para los equipos de investigación de operaciones durante la guerra, que estos problemas eran básicamente los mismos que los enfrentados por la milicia, pero en un contexto diferente. De esta forma, la investigación de operaciones comenzó a introducirse en la industria, los negocios y el gobierno. Para 1951, ya se había introducido por completo en Gran Bretaña y estaba Estados Unidos en proceso de hacerlo. Se pueden identificar por lo menos otros dos factores que jugaron un papel importante en el desarrollo de la investigación de operaciones durante este periodo. Uno es el gran progreso que ya se había hecho en el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área. Después de la guerra, muchos científicos que habían participado en los equipos de investigación de operaciones o que tenían información sobre este trabajo, se encontraban motivados a buscar resultados sustanciales en este campo; de esto resultaron avances importantes. Un ejemplo sobresaliente es el método simplex para resolver problemas de programación lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzig. Muchas de las herramientas características de la investigación de operaciones, como programación lineal, programación dinámica, líneas de espera y teoría de inventarios, fueron desarrolladas casi por completo antes del término de la década

de 1950. Además del rápido desarrollo teórico, el segundo factor que dio un gran ímpetu a la investigación de operaciones fue el advenimiento de las computadoras. Para manejar de una manera efectiva los complejos problemas inherentes a esta disciplina, por lo general se requiere un gran número de cálculos; llevarlos a cabo a mano puede resultar casi imposible. Entonces el desarrollo de la computadora electrónica digital, con su capacidad para realizar cálculos aritméticos, miles o tal vez millones de veces más rápido que los seres humanos, fue una gran ayuda para la investigación de operaciones.

II. Propósito. Una de las tareas de los administradores de las diversas disciplinas es tomar decisiones sobre diferentes cursos de acción o alternativas, lo cual implica la asignación de los recursos de las empresas. El objetivo primordial de la Investigación de Operaciones es la asignación óptima de los recursos para Maximizar una función de utilidad o Minimizar una función de costo. Más específicamente, las herramientas de la Investigación de Operaciones determinan las diferentes alternativas a partir de los cursos de acción

disponibles y luego evalúan las alternativas utilizando para ello una Función Objetivo, que permite seleccionar la mejor, a fin de proporcionar mayor información para la toma de decisiones gerenciales. Las técnicas de Investigación de Operaciones puede dividirse


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de muchas formas, una y la más común es tomando las condiciones de certeza o incertidumbre que existen al momento de hacer el modelo para la toma de decisión, o sea, clasifica las decisiones bajo condiciones Determinísticas o Probabilísticas. El campo determinístico comprende entre otros: - Programación Lineal - Programación por Metas - Programación Entera - Programación Dinámica - Programación no - lineal - Análisis de Redes (Máximo flujo, transporte, asignación) - Administración de Proyectos (CPM) El Campo Probabilístico comprende entre otros: - Modelos / Cadenas de Markov - Modelos de Sistemas de Servicios (colas) - Simulación de Sistemas - Administración de Inventarios - Análisis de Decisiones - Administración de Proyectos (PERT)

III. La Toma de Decisiones Gerenciales y

los Modelos. Se ha preguntado alguna vez ¿Cuál es una de las razón de ser de los administradores? Veamos ¿qué es lo que encontramos en cualquier empresa? La respuesta es: Recursos. Todas las empresas cuentan con recursos, sean éstos humanos, financieros, equipo o de otro tipo. ¿Qué se

espera que los administradores hagan con éstos recursos? Los accionistas esperan que los recursos sean invertidos, asignados y/o utilizados de una forma eficiente y eficaz, a fin de maximizar las utilidades y minimizar los costos. Para llevar a cabo esta tarea los administradores deben (o deberían) desarrollar los modelos respectivos y evaluar las alternativas factibles a través de funciones de

rendimiento. Estos modelos son representaciones de su empresa y su entorno. Un punto importante, es que la mayoría de administradores utilizan modelos aún y cuando no se dan cuenta.


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Dentro del análisis de los recursos de la empresa, es necesario tener en cuenta que los accionistas han puesto en nuestras manos un conjunto de recursos financieros, los cuales debemos administrar y hacer crecer por medio de la operación de la empresa. Estos recursos generan un flujo continuo de fondos que debe ser controlado por el Administrador. El esquema siguiente ejemplifica esta situación:

El administrador a su nivel, debe siempre encontrarse en un proceso de modelaje y evaluación de las situaciones de decisión en la empresa y considerar que el principal parámetro apara decidir sobre cualquier curso alterno de acción es el rendimiento en términos financieros, especialmente para las entidades con fines de lucro. Para otro tipo de entidades, como las sin fines de lucro o de proyección social, deberemos considerar otros parámetros.

1. Modelos. Definición y Clasificaciones. Un modelo es la representación de algo real, o sea, la abstracción selectiva de algo. Los modelos se clasifican en tres tipos: físicos, esquemáticos y matemáticos. Los modelos

físicos son los más familiares, representan versiones a escala de objetos reales, los juguetes populares y de colección son ejemplos de este tipo. Así mismo, a nivel profesional, los diseñadores de aviones, automóviles, barcos construyen "prototipos", los cuales son estudiados bajo diversas circunstancias para probar su desempeño. Los modelos esquemáticos son un poco más abstractos que los anteriores, pretenden a través de gráficos, cartas o dibujos representen una realidad. Ejemplos de este tipo de modelo son los organigramas, el gráfico de punto de equilibrio, los gráficos de flujos de efectivo, los gráficos de proyectos en redes (CPM/PERT) entre otros. Finalmente los modelos matemáticos son los más abstractos de todos. Para muchas personas es difícil entender el significado de sus variables y parámetros, y finalmente el significado de los valores de sus variables, así como de los símbolos matemáticos utilizados. La razón es que en estos modelos utilizan funciones y ecuaciones que no tienen un parecido visual con los objetos o situaciones reales. Los modelos son útiles en la toma de decisiones por dos razones: - Reducen las situaciones complejas a situaciones sencillas. - Proporcionan un medio para "predecir" el resultado de una decisión, esta información es importante para la toma de decisiones. Así mismo, refuerza a quienes toman decisiones intuitivamente. Una ventaja adicional es que los parámetros de los modelos pueden modificarse y así evaluar diferentes escenarios y sus posibles resultados. Dentro de la Investigación de Operaciones podemos encontrar diferentes tipos de modelos, como se muestra a continuación:


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1.1 Modelos Matemáticos Los modelos matemáticos pueden representar la toma de decisiones dentro de una empresa, o un proyecto, o una situación de toma de decisiones. Hay que recordar que un modelo no representa el todo sino una parte de él, una parte significativa del sistema o situación que deseamos analizar. Al tener una situación donde se debe tomar una decisión es necesario definir el sistema y sus componentes y luego simplificarlo para comprender como interactúa con su entorno, que variables externas inciden en él y cuales son las variables sobre las que se tiene incidencia. En la figura #1 se presenta un "Modelo" del "Ciclo del Modelo". Este esquema contiene básicamente tres momentos: La formulación o modelación, la deducción y la interpretación.

Figura N° 1

a. Formulación. Primeramente se requiere de la definición del marco del sistema y el objetivos que se pretende alcanzar. A continuación se deben definir los elementos que serán parte del sistema, así como los tipos de recursos requeridos y sus disponibilidades en cantidades y tiempo, los requerimientos externos e internos, las metas y restricciones. Simultáneamente deben de determinarse cuales aspectos serán ignorados, así como las asunciones que pueden o deben ser hechas. El resultado es el modelo matemático que representa la situación a analizar. b. Deducción Involucra la selección y el uso de técnicas y herramientas para resolver el modelo planteado. La lógica con que las técnicas son aplicadas deben ser válidas y las operaciones matemáticas deben ser lo más precisas posibles. c. Interpretación Involucra el juicio humano para traducir las conclusiones del modelo al sistema real. Se deben verificar o validar las respuestas o soluciones obtenidas del modelo. Definiciones, conceptos y ejemplos.

Objetivo. Es lo que se desea lograr al asignar los recursos disponibles en la organización. Generalmente se expresa como la maximización de una función de ganancia o en la minimización de una función de costo. Recursos. Son los elementos o factores con que cuenta la organización. Estos pueden ser financieros, humanos, materiales y/o tiempo disponible. Son finitos y generalmente escasos. Las acciones a llevarse a cabo consumen estos recursos y este consumo se expresa a través de variables de decisión y restricciones.


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Figura N° 2

Figura N° 3


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Variables de Decisión. Representan las acciones reales sobre las cuales tiene incidencia el "Tomador de Decisiones". El tomador puede decidir sobre estas acciones (diferentes carteras donde invertir, diferentes productos a comprar, diferentes medios de difusión donde colocar anuncios, diversos monto a invertir en diferentes planes de inversiones, diferentes montos para los diversas acciones dentro de una cartera de préstamos). Para llevar a cabo estas acciones se requiere utilizar los recursos disponibles, este consumo de recurso se expresa a través de los coeficientes de las variables de decisión dentro de las restricciones. Planos e Hiper Planos. El número de variables de decisión determina el número de Hiper-Planos que tendrá el conjunto convexo. Si tenemos dos variables estaremos en un plano bidimensional, si tenemos tres variables, estaremos en un plano tridimensional. Por tanto, podemos afirmar que en la medida que el número de variables aumente, aumentará el número de alternativas posibles. (ver figuras #4 y #5)

Figura #4 Dos dimensiones

Figura #5 Tres dimensiones

Decisiones. Las decisiones se representan por números reales que toman las diversas variables de decisión. Los valores de estas variables representan diferentes niveles de intensidad de una acción o cantidad de actividad que van a llevarse a cabo y se denotan por la combinación de los valores de X1, X2, ... Xn

Ejemplo # 1. Sean: X1 : Número de anuncios a ser colocados en el medio de difusión "Radio". X2: Número de anuncios a ser colocados en el medio de difusión "Televisión". Una alternativa es X1= 5 y X2 = 10, otra alternativa es X1= 0 y X2 = 8 (existen un sin fin de alternativas posibles). Cada par de valores (X1, X2) genera una alternativa diferente.

Ejemplo # 2. Sean: X1 : Monto invertido en el proyecto "agropecuario" X2: Monto invertido en el proyecto de "vivienda" Una alternativa es X1= 350,000 y X2 = 100,000, otra alternativa es X1= 25,000 y X2 = 80,000. Cada par (X1, X2) es una alternativa. Para un modelo particular pueden existir infinito número de alternativas. En ambos ejemplos las variables son elementos sobre los cuales se puede decidir la intensidad de cada alternativa. Para el ejemplo #1 los valores de las variables de decisión representan respectivamente las cantidades de anuncios a ser contratados. Para el ejemplo # 2 representan el monto a ser invertido.

Metas. De acuerdo a la escuela europea, se dividen en dos tipos: Estructurales y de Contenido Metas

Estructurales.


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Son aquellas que muestran la forma (estructura) que deberá de tener la alternativa

óptima.

Metas de Contenido. Se relacionan a los deseos, limitantes u obligaciones. Se sub-dividen en restricciones

y en aspiraciones.

Restricciones. Se representan por desigualdades o igualdades. Las desigualdades pueden clasificarse en dos tipos. Las primeras se refieren a limitantes internos o externos, tales como recursos, políticas de venta o compra (son del tipo ≤). Las segundas se refieren a compromisos que se tengan en la organización (son del tipo ≥). En ambos casos, las restricciones determinan, limitan y eliminan un infinito número de alternativas posibles. Las restricciones se componen de variables con coeficientes y valores numéricos. Las variables se colocan a la izquierda y los valores numéricos a la derecha. Nota: El valor al lado derecho de las

restricciones no debe ser negativo. Si al

formular una restricción el valor al lado

derecho fuese negativo, deberá multiplicarse

toda la restricción por (-1) e invertir la

dirección de la desigualdad.

Si la restricción es una igualdad sólo se

cambian los signos del coeficiente de cada

variable.

Aspiraciones. Son deseos dentro de la organización, se diferencian de las primeras en que éstas pueden ser reconsideradas y modificadas posteriormente, generalmente con cierta facilidad.

Relación entre Restricciones y Alternativas Inicialmente se podría decir que existe un número casi infinito de alternativas, pero este universo va reduciéndose más y más en la medida que agreguemos restricciones. Contrariamente a lo que sucede cuando se

incrementa el número de variables de

decisión, que hace que el número de Hiper planos se incremente y esto a su vez hace que el universo de alternativas se incremente. Nota: Una restricción de igualdad restringe

enormemente el hiper plano, por lo tanto

debemos tener mucho cuidado al usar una de

estas restricciones al momento de modelar un

sistema real.

Ejemplo # 3. Si el número de anuncios a ser colocados en el medio "Radio" debe ser inferior o igual a 10,

la restricción sería: X1 ≤ 10. Si se desean al menos 5 anuncios en el medio "Televisión", la

restricción 6 sería: X2 ≥ 5.

Ejemplo # 4. Si el costo de cada anuncio en el medio "Radio" es de $12,000 y deseamos invertir menos de $150,000, la restricción que representa el gasto efectuado sería:

12,000*X1 ≤ 150,000

Alternativas. Son el conjunto de combinaciones potenciales

de los niveles de las acciones que puede formular el Tomador de Decisiones. Cada alternativa es un conjunto formado por los

valores específicos de cada una de las variables de decisión que existen en el modelo. En general podemos afirmar que existe un infinito número de alternativas potenciales para una situación en particular (salvo que todas las restricciones sean igualdades). Al filtrar éstas alternativas dentro de las restricciones, este universo disminuye. Las alternativas que cumplen con todas y cada una de las restricciones se llaman alternativas

factibles. Estas alternativas son evaluadas a través de la función objetivo a fin de seleccionar la mejor alternativa. Esta será aquella(s) que obtenga el mejor valor (resultado) dentro de la función objetivo. A esta alternativa se le denominará alternativa

optima.


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Solución Optima. La alternativa que logra el mejor desempeño, está determinada por una expresión llamada Función Objetivo, compuesta por conjunto de variables de decisión y/o variables de

holgura o excedente ( y sus coeficientes), donde cada una tienen un valor diferente de cero (salvo en casos de degeneración). El conjunto de variables (decisión y holgura)

con valores mayores a cero es llamado "la solución óptima" (Salvo en el caso de una solución óptima múltiple). O sea, la solución óptima no son los valores de las variables sino el conjunto de variables con valor diferente de cero que se encuentran en la alternativa óptima.

Función Objetivo. Es una meta de contenido que maximiza una función de ingreso (ganancia) o minimizar una función de costo. Se expresa como una función matemática que describe el propósito u objetivo planteado. Esta función se describe utilizando las variables de decisión. El propósito de la función objetivo es evaluar todas y cada una de las alternativas factibles, o sea, todas y cada una de las alternativas

potenciales que cumplen con todas y cada una de las restricciones. Al final de la evaluación se selecciona una alternativa (o varias) que es las que logra el mejor desempeño en la función objetivo.

Ejemplo # 5 Se desea maximizar el alcance de una campaña publicitaria, donde un anuncio en la radio alcanza a 25,000 personas y cada anuncio en televisión alcanza a 75,000 personas. La función objetivo se describiría de la siguiente forma: F.O. Max. 25,000*X1 + 75,000* X2

Ejemplo # 6 Si los costos de un anuncio son de $12,000 y $45,000 respectivamente para el medio de

radio y televisión y deseamos minimizar la inversión en publicidad, tendríamos que la función objetivo sería establecida como: F.O. Min. Z = 12,000*X1 + 45,000* X2

Programación Lineal Cuando el modelo matemático contiene variables de primer orden (no están elevadas a una potencia mayor a uno, ni son cuadráticas, ni exponenciales etc.), el modelo se llama de primer orden o modelo lineal. La Programación Lineal es la técnica para modelar y resolver la toma de decisiones sobre asignación de recursos cuando el gasto, la utilidad y las restricciones se consideran funciones lineales. La modelación de Toma de Decisiones esta muy relacionada con la asignación de recursos escasos - mano de obra, materiales, máquinas y capital - en la mejor manera posible de tal manera que los costos se minimicen y/o las utilidades o retornos se maximicen. En el modelo de programación lineal más básico se asume que las variables de decisión son no-negativas, esto es necesario establecerlo al menos en el modelo. Ahora con los programas de software más avanzados esta condición no es necesaria establecerla al momento de introducir el modelo al software.

Formulación Hay tres pasos básicos para construir un modelo de programación lineal. I. Identificar las variables de decisión y representar las en forma de símbolos algebraicos. II. Identificar todas las metas de contenido (restricciones) y expresarlas como ecuaciones lineales o desigualdades, las cuales son funciones lineales de las variables de decisión. III. Identificar el objetivo que se pretende lograr, ya sea Maximizar o Minimizar. Esto requiere establecer el criterio para evaluar a todas y cada una de las alternativas factibles.


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