Sistemas de ecuaciones

SISTEMAS DE ECUACIONES

CYNDY ARGOTE SIERRAMÉTODOS NUMERICOSUNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

MÉTODOS DE ELIMINACIÓN

MÉTODO DE GAUSS

MÉTODO DE GAUSS JORDAN

MÉTODOS ITERATIVOS

MÉTODOS DE DESCOMPOSICIÓ

N

DESCOMPOSICIÓN LU

MÉTODO DE CHOLESKY

METODOS GRAFICOS

REGLA DE CRAMER

Para poder aplicar la regla de Cramer es buena idea se debe tener absolutamente claro como se hallan determinantes.La regla de Cramer es un proceso que ayuda a resolver sistemas de ecuaciones lineales que tengan la misma cantidad de ecuaciones e incógnitas, es un método que aplica los determinantes.

PASOS A SEGUIR…

1. Hallar la matriz ampliada asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las variables de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la ultima columna que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

2. Calcular el determinante de la matriz dada.

3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:

a) Ir sustituyendo la primera columna del determinante de la matriz, por los términos independientes

b) Dividir el resultado de esté determinante entre el determinante de la matriz para hallar el valor de la primera incógnita.

c) Continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.

Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos

ecuaciones con dos incógnitas, encontrar los valores de X e Y.

3X – 2Y = 1 x + 5Y = 3

SOLUCIÓN1. Hallando la matriz ampliada de A

X Y b

2. Calcular el determinante de A

3. El ultimo paso consiste en calcular las incógnitas

4. Al llegar a este punto hemos hallado nuestras incógnitas de manera sencilla y rápida, también aplica para sistemas de mayor banda.

MÉTODOS DE ELIMINACIÓN

MÉTODO DE GAUSS SIMPLE

Este método es también conocido como método de eliminación simple de Gauss, es una de las primeras técnicas empleadas por actuarios, mate máticos e ingenieros para la resolución de sistemas de ecuaciones. El método comprende dos fases:

• Eliminación de las incógnitas hacia adelante: tiene el objetivo de reducir el sistema original a una forma triangular superior.

• Sustitución hacia atrás.

Ejemplo: Aplicando el método de eliminación de Gauss, resuelva el

sistema original a una forma triangular superior.

SOLUCIÓN1. Para llevar igualar las ecuaciones 1 y 2 y eliminar una de

sus incógnitas procedemos a multiplicar la primera ecuación por 0,1/3

1

2

3

2. Resto las ecuaciones 1 y 2

3. Obteniendo como resultado

4. Ahora procedemos a realizar el mismo procedimiento desarrollado anteriormente entre las ecuaciones 1 y 2 pero ahora entre las ecuaciones 1 y 3, obteniendo como resultado

5. Una vez hecho lo anterior se procede a eliminar X2 de la ecuación 3 multiplicando la ecuación 2 por -0,19/7,0033.

1

2

2

3

6. El resultado obtenido se le resta a la ecuación 3.

7. Obteniendo:

8. Ahora entra en juego la segunda fase, sustitución hacia atrás.

9. Cuando se tienen estos valores procedemos a hallar las demás incógnitas.

Reemplazamos el valor de X3 en la ecuación 2, hallando así X2

De igual forma en la primera ecuación para hallar el valor de X1

METODOS ESPECIALES

Este método surge como una simplificación de la factorización LU sobre una matriz tridiagonal.Para este método encontramos cuatro ecuaciones fundamentales.

* U11= b1* Uk,k= bk-Lk,k-1*Uk-1,k* Uk-1,k= Ck-1* Lk,k-1= a

Uk-1,k-1

METODO DE THOMAS

Pasos a seguir1. Identificar los vectores como se muestra a continuación

a = Banda que se encuentra debajo de la diagonal principal.b = Diagonal principal.c = Banda que se encuentra encima de la diagonal principal.r=Valores a los que esta igualada la ecuación.

2. Aplico las 4 ecuaciones fundamentales de Thomas para un K que varia, por ejemplo para un sistema de ecuaciones de 4*4 K varia desde 2 hasta 4.

3. Cuando hemos hallado los valores de L y U, y se realiza la siguiente operación L*d=r . (siendo r un vector de incógnitas).Mediante esta operación y una sustitución progresiva hallo los valores de d.

4. Finalmente realizo la operación U*X=d (X vector incógnitas). Mediante una sustitución regresiva hallo los valores de X.

Ejemplo Resolver el siguiente sistema por el método de Thomas.

=

1. Identificar vectores

2. Aplicar las 4 ecuaciones fundamentales de ThomasPara K=1

Para K=2

Para K=3

Para K=4

3. Ahora L*d=r

* =

Mediante una sustitución progresiva hallo los valores de d

Finalmente U * x = d

* =

Mediante una situación regresiva hallo valores de x

BIBLIOGRAFIA