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Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal yresuélvelo gráficamente para comprobarlo:
2x – y = 1
– 4x + 2y = – 2 }
Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal yresuélvelo gráficamente para comprobarlo:
3x + 2y = 6
2x – y = 4 }Solución:Los coeficientes de las variables no son proporciona-les, por tanto, el sistema es compatible determinado.Las rectas son secantes.
3 2— ? —2 – 1
Representación gráfica:
Primera ecuación:
3x + 2y = 6
3xy = 3 – —2
ò A(0, 3)ò B(2, 0)
Segunda ecuación:
2x – y = 4
y = 2x – 4
ò C(0, – 4)ò D(3, 2)
4
Primera ecuación:
2x – y = 1
y = 2x – 1
ò A(0, – 1)ò B(2, 3)
Solución:Los coeficientes de las variables son proporcionales, ylo son con los términos independientes; por tanto, elsistema es compatible indeterminado. Las dos rectasson la misma. Multiplicando la 1ª ecuación por – 2 seobtiene la 2ª ecuación.
2 – 1 1— = — = —– 4 2 – 2
Representación gráfica:
Solo representaremos la 1ª recta, ya que ambas rec-tas son la misma.
3
Solución:Los coeficientes de las variables son proporcionales,y no lo son con los términos independientes; portanto, el sistema es incompatible. Las rectas sonparalelas.
Resuelve el siguiente sistema e interpreta la solu-ción gráficamente:
y = x2 + 4x – 1
y = 2x + 2 }
Resuelve el siguiente sistema formado por dos cir-cunferencias e interpreta gráficamente el resultado:
x2 + y2 – 4x – 2y = 20
x2 + y2 – 12x + 2y = – 12 }
Resuelve el siguiente sistema e interpreta la solu-ción gráficamente:
xy = 6
3x – 2y = 0 }
Resuelve el siguiente sistema formado por unahipérbola y una circunferencia e interpreta la solu-ción gráficamente:
xy = 4
x2 + y2 = 17 }Solución:
Se resuelve por sustitución, se despeja de la 1ª ecua-ción la incógnita y, y se sustituye en la 2ª ecuación.
Se obtienen las soluciones:
x1 = 4, y1 = 1
x2 = – 4, y2 = – 1
x3 = 1, y3 = 4
x4 = – 1, y4 = – 4
La interpretación gráfica es que la hipérbola y la cir-cunferencia son secantes. Se cortan en cuatro puntos:A(4, 1), B(– 4, – 1), C(1, 4) y D(– 1, – 4)
12
Solución:Se resuelve por sustitución, se despeja y de la 2ª ecua-ción y se sustituye en la 1ª ecuación.
Se obtienen las soluciones:
x1 = 2, y1 = 3
x2 = – 2, y2 = – 3
Interpretación gráfica:
Son una hipérbola y una recta.
La hipérbola y la recta son secantes. Se cortan endos puntos:
A(2, 3) y B(– 2, – 3)
11
Solución:
Se restan las dos ecuaciones y se obtiene una ecua-ción de 1er grado. Se despeja en esta ecuación unaincógnita y se sustituye en la ecuación de una de lascircunferencias.
Se obtienen las soluciones:
x1 = 6, y1 = 4
x2 = 2, y2 = – 4
La interpretación gráfica es que las dos circunferen-cias son secantes. Se cortan en dos puntos:A(6, 4) yB(2, – 4)
10
Solución:Se resuelve por igualación.
Se obtienen las soluciones:
x1 = 1, y1 = 4
x2 = – 3, y2 = – 4
Interpretación gráfica:
Son una parábola y una recta.
La parábola y la recta son secantes, se cortan en dospuntos:
A(1, 4) y B(– 3, – 4)
9
A P L I C A L A T E O R Í A
A(1, 4)
B(–3, –4) y = x2 + 4x – 1
X
Y
y = 2x + 2
A(2, 3)
B(–2, –3)3x + 2y = 0
xy = 6
X
Y
4. Problemas de sistemas
Resuelve mentalmente el siguiente problema: «el área de un rectángulo es de 20 m2 y su longitud más su anchura esde 9 m. Halla sus dimensiones».
Resuelve gráficamente el siguiente sistema lineal yclasifícalo por el número de soluciones:
3x + y = 6
x – y = – 2 }
Clasifica mentalmente el siguiente sistema linealy resuélvelo gráficamente para comprobarlo:
x – 2y = 1
– 3x + 6y = – 3 }
Clasifica mentalmente el siguiente sistema linealy resuélvelo gráficamente para comprobarlo:
3x – 4y = – 13
x + 3y = 0 }Solución:Los coeficientes de las variables no son proporciona-les; por tanto, el sistema es compatible determinado.Las rectas son secantes.
3 – 4— ? —1 3
Representación gráfica:
Primera ecuación:
3x – 4y = – 13
3x + 13y = ———4
ò A(1, 4)ò B(– 3, 1)
Segunda ecuación:
x + 3y = 0
x = – 3y
19
1 – 2 1— = — = —– 3 6 – 3
Representación gráfica:
Solo representaremos la 1ª recta, ya que ambas rec-tas son la misma.
Primera ecuación:
x – 2y = 1
x = 2y + 1
ò A(1, 0)ò B(5, 2)
Solución:
Los coeficientes de las variables son proporcionales,y lo son con los términos independientes; por tanto,el sistema es compatible indeterminado. Las dos rec-tas son la misma. Multiplicando la 1ª ecuación por – 3se obtiene la 2ª ecuación.
18
Solución:Primera ecuación:
3x + y = 6
y = 6 – 3x
ò A(0, 6)ò B(2, 0)
Segunda ecuación:
x – y = – 2
y = x + 2
ò C(0, 2)ò D(– 2, 0)
Solución x = 1, y = 3
Como tiene una solución, el sistema es compatibledeterminado.
17
x y0 62 0
x y1 05 2
x y1 4
– 3 1
x y0 2
– 2 0
3x + y = 6
P(1, 3)
x – y = –2
X
Y
x – 2y = 1–3x + 6y = –3
X
Y
Clasifica mentalmente el siguiente sistema linealy resuélvelo gráficamente para comprobarlo:
2x – 3y = 5
– 2x + 3y = 5 }
2. Resolución algebraica de sistemaslineales
Resuelve el siguiente sistema por el método másadecuado y razona por qué eliges ese método:
y = 2x + 10
y = x + 7 }
Resuelve el siguiente sistema por el método másadecuado y razona por qué eliges ese método:
4x – 3y = 23
2x + 5y = – 21 }
Resuelve el siguiente sistema:
2x – =
+ =
Solución:
Primero se eliminan los denominadores.
Se obtiene: x = 3, y = 1
3112
4x – 3y4
y3
225
3x – y5
23
Solución:
Se resuelve por reducción, multiplicando la 2ª ecua-ción por 2 y restándosela a la 1ª
Se obtiene: x = 2, y = – 5
22
Solución:
Se resuelve por igualación, ya que la incógnita y estádespejada en las dos ecuaciones.
Se obtiene: x = – 3, y = 4
21
Solución:
Los coeficientes de las variables son proporcionales,y no lo son con los términos independientes; portanto, el sistema es incompatible. Las rectas sonparalelas.2 – 3 5— = — ? —
Resuelve el siguiente sistema e interpreta la solu-ción gráficamente:
y = – x2 + 4x + 1
x + y = 5 }
Resuelve el siguiente sistema formado por dos cir-cunferencias e interpreta el resultado:
x2 + y2 = 18
x2 + y2 – 4x – 4y + 6 = 0 }
Resuelve el siguiente sistema:
x – 3y = – 5
xy – 2x – y = 1 }
Resuelve el siguiente sistema:
xy = 3
x2 + y2 – 4x – 4y + 6 = 0 }
4. Problemas de sistemas
Se mezcla aceite de oliva que cuesta a 3 € el litrocon aceite de girasol que cuesta a 1 € el litro. Sitenemos 40 litros de mezcla a un precio de 2,5 €el litro, ¿cuántos litros de aceite de cada clase sehan mezclado?
Solución:
x = litros de aceite de oliva.
y = litros de aceite de girasol.
x + y = 40
3x + y = 40 · 2,5 }x = 30 litros de aceite de oliva.
y = 10 litros de aceite de girasol.
29
Solución:
Se resuelve por sustitución, se despeja la incógnita yde la 1ª ecuación, y se sustituye en la 2ª ecuación.
Se obtienen las soluciones:
x1 = 3, y1 = 1
x2 = 1, y2 = 3
28
Solución:
Se resuelve por sustitución, se despeja x de la 1ª ecuación y se sustituye en la 2ª ecuación.
Se obtienen las soluciones:
x1 = 4, y1 = 3
x2 = – 2, y2 = 1
27
incógnita y se sustituye en la ecuación de una delas circunferencias.Se obtiene la solución:x = 3, y = 3La interpretación gráfica es que las dos circunfe-rencias son tangentes. Se cortan en un punto,A(3, 3)
Solución:Se restan las dos ecuaciones y se obtiene una ecua-ción de 1er grado. Se despeja en esta ecuación una
26
Solución:Se resuelve por igualación despejando y de la 2ª ecuación.
Se obtienen las soluciones:
x1 = 4, y1 = 1
x2 = 1, y2 = 4
Interpretación gráfica:
Son una parábola y una recta.
La parábola y la recta son secantes. Se cortan en dospuntos: A(4, 1) y B(1, 4)
Halla dos números sabiendo que el doble del pri-mero más el segundo es igual a 13, y que la sumade sus cuadrados es 34
En un garaje hay 50 vehículos entre coches ymotos y el número de ruedas total, sin contar lasde repuesto, es 160. ¿Cuántos coches y cuántasmotos hay en el garaje?
Una chapa tiene 28 m de perímetro. Si le corta-mos 2 m de largo y otros 2 m de ancho, el área dela nueva chapa es de 24 m2. Halla las dimensionesde la chapa inicial.
Solución:
2x + 2y = 28
(x – 2)(y – 2) = 24 }x + y = 14
xy – 2x – 2y = 20 }Se resuelve el sistema por sustitución, despejando laincógnita y de la 1ª ecuación.
La soluciones del sistema son:
x1 = 8, y1 = 6
x2 = 6, y2 = 8
Por tanto, los lados de la plancha inicial miden 8 m y 6 m
32
Solución:x = nº de coches.y = nº de motos.
x + y = 50
4x + 2y = 160 }x = 30 coches.y = 20 motos.
31
Solución:
2x + y = 13
x2 + y2 = 34 }Se resuelve el sistema por sustitución, despejando laincógnita y de la 1ª ecuación.
La soluciones del sistema son:
x1 = 5, y1 = 3
27 11x2 = —, y2 = —5 5
Como el problema decía dos números, ambas solu-ciones son válidas.
30
x
y
y – 2
x – 2
Resuelve gráficamente el sistema planteado en elsiguiente gráfico:
Haz la interpretación gráfica.
Solución:
x = – 4, y = 2
Las dos circunferencias se cortan en un punto A(– 4, 2) y, por tanto, son tangentes.
Halla los puntos de corte de las siguientes funcio-nes: y = x2, y = x3
La suma de dos números es 5, y la suma de susinversos es 5/6. Halla ambos números.
Resuelve el siguiente sistema:
y = x
y = }
La suma de las edades de un padre y su hija es de70 años. Dentro de 10 años la edad del padre seráel doble de la edad de su hija. ¿Qué edad tieneahora cada uno?
Se mezcla café de tipo A que cuesta a 6 € el kilocon café de tipo B que cuesta a 4 € el kilo. Si tene-mos 120 kilos de mezcla que sale a 4,5 € el kilo, ¿cuántos kilos de café de cada clase se han mezclado?
Tres kilos de manzanas y dos kilos de naranjascuestan 9 €. Dos kilos de manzanas y dos kilos denaranjas cuestan 7 €. ¿Cuánto vale el kilo de man-zanas y el kilo de naranjas?
53
Solución:
x = kilos de café tipo A
y = kilos de café tipo B
x + y = 120
6x + 4y = 120 · 4,5 }x = 30 kilos de café tipo A
y = 90 kilos de café tipo B
52
Solución:
x + y = 70
x + 10 = 2(y + 10) }Se resuelve por igualación.
La solución es
Edad del padre: x = 50 años.
Edad de la hija: y = 20 años.
51
Solución:
Se resuelve por igualación.
x = √—x
x2 = x
x2 – x = 0
x(x – 1) = 0 ò x1 = 0, x2 = 1
x1 = 0, y1 = 0
x2 = 1, y2 = 1
√x
50
Solución:x + y = 5
1 1 5— + — = —x y 6 }m.c.m.(x, y, 6) = 6xy
x + y = 5
6x + 6y = 5xy }Se resuelve por sustitución:
Se obtienen las soluciones:
x1 = 2, y1 = 3
x2 = 3, y2 = 2
Luego los números son 2 y 3
49
Solución:
Hay que resolver el sistema formado por las ecua-ciones; se resuelve por igualación.
x3 = x2
x3 – x2 = 0
x2(x – 1) = 0 ò x1 = 0, x2 = 1
Las soluciones del sistema son:
x1 = 0, y1 = 0
x2 = 1, y2 = 1
Luego los puntos comunes de las dos funciones son: